Méthodologie pour les mathématiques.

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ECE 2 - Mathématiques

Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015 Méthodologie

Méthodologie pour les mathématiques.

I Généralités sur les sujets de concours.

Les sujets de concours ne sont pas construits comme des exercice de TD, et ne peuvent pas être traités comme tels. Ils peuvent, selon les cas, être plus ou moins diciles, et parfois beaucoup plus diciles que les années précédentes.

Cela ne change en rien le niveau des candidats, ni la moyenne nale : plus le sujet est dicile, plus la moyenne sera remontée, mais un candidat, quel que soit son niveau, peut viser la même note quel que soit le type de sujet (facile ou dicile, ou entre les deux, etc...)

Il ne faut pas se laisser déstabiliser et rester lucide : que les calculs ou les notations soient lourdes ou pas, les méthodes restent les mêmes ; et si on sait les faire dans des cas simples et qu'on sait calculer, il n'y a pas de raison qu'on ne sache pas les faire dans les cas plus compliqués.

Il faut savoir traduire les questions : utiliser les dénitions de l'énoncé pour comprendre ce que l'on doit en réalité prouver, et déterminer la méthode connue à utiliser pour le prouver.

Il faut bien lire les questions, et chercher à chaque fois à utiliser les questions précédentes : un sujet n'est pas un ensemble de questions sans rapport, mais la construction d'un raisonnement global menant à un résultat. Dans ce cadre, plus le sujet est dicile, plus le nombre de questions utilisant les précédentes augmente.

Il faut apprendre à avancer dans un sujet sans en résoudre toutes les questions : lorsqu'on est bloqué sur une question, il faut la passer assez rapidement ; on peut passer du temps sur une question, à condition qu'on ait une piste et qu'on sache comment la traiter. Rester très longtemps sur une question alors qu'on n'a aucune idée de comment la traiter est une perte de temps stérile.

Il est hors de question de sortir d'une épreuve sans avoir au moins regardé toutes les questions : si c'est le cas, c'est que vous n'avez pas sauté assez vite certaines questions et avez perdu trop de temps ; n'oubliez pas que les dernières parties peuvent avoir été traitées en classe (on peut toujours rêver !), ou vous appa- raître plus facile que le reste, et qu'il serait alors terrible de ne pas les avoir regardé !

Des ches très complètes sur toutes les méthodes à connaître permettront, en n d'année, de réviser ecacement le travail fait toute l'année, mais ce n'est pas une garantie : les sujets peuvent être déstabili- sants et vous faire complètement "péter les plombs" : pour l'éviter, il faudra avoir un maximum de maîtrise sur les méthodes pour ne pas les oublier et savoir les appliquer même sur des questions plus diciles, et faire totalement conance à votre travail de l'année : vous devez être persuadés que vous êtes prêts, que quel que soit le sujet, vous connaissez les méthodes pour le traiter, an de ne pas vous laisser perturber par des questions posées bizarrement ou un sujet dicile, et continuer à donner le meilleur de vous-même.

Ainsi votre état d'esprit devra être irréprochable le jour J (ou plutôt pendant trois semaines) : votre application, votre concentration, votre volonté de réussir et de vous battre jusqu'à la dernière seconde, votre positivité (ne jamais se décourager !), votre calme et votre sérénité face à la diculté (ne jamais paniquer !) devront être à leur maximum pour donner le meilleur de vous-mêmes.

Enn il faut toujours soigner au maximum le début des épreuves, surtout en mathématiques.

En eet, tant que vous n'êtes pas encore "chauds", le risque de vous tromper sur des questions même faciles est décuplé, et en allant trop vite au début, vous risquez de vous embarquer extrêmement mal en

"plantant" des résultats essentiels pour la suite.

De plus le début de votre copie est une prise de contact du correcteur avec vous :

• Si elle est très rigoureuse et sans faille, le correcteur, parti sur une excellente impression et convaincu de lire un excellent élève, sera enclin à vous "lâcher du lest" pour la suite sur votre rédaction et les éventuelles petites fautes que vous feriez.

• Au contraire, s'il a l'impression que vous n'êtes pas rigoureux et/ou que vous essayez de l'arnaquer, il sera très précis et ne vous laissera rien passer. Il s'agit donc de le mettre en conance dès le début en étant très précis et rigoureux, pour ensuite accélerer pour traiter un maximum du sujet.

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II La stratégie pour être le plus ecace possible en temps limité.

1) Stratégie générale

Avant de se présenter à une épreuve, il faut absolument avoir en tête et maîtriser à la perfection la bonne

"stratégie" d'approche pour être le plus ecace possible.

Pour optimiser la note obtenue en quatre heures, quelque soit le niveau du candidat, l'objec- tif est de passer le maximum de son temps à traiter des questions qu'on maîtrise bien, ou le temps passé aura une très forte probabilité d'être converti en un maximum de points, et de les faire avec la plus grande précision possible pour ne pas perdre de points sur la rédaction.

Une question trop dicile, soit parce qu'elle ne relève pas d'une méthode vue en classe, soit parce qu'elle relève d'une méthode que vous ne maîtrisez pas, n'a aucune chance (sauf miracle) d'être traitée correc- tement et dans un temps raisonnable : si on s'y attaque, on y perd en général beaucoup de temps, avec une très grande chance d'avoir fait n'importe quoi et de n'avoir aucun point. Ces questions doivent être passées le plus vite possible.

En ne traitant que des questions dont on maîtrise la méthode, on doit alors pouvoir aller au bout des sujets pour y faire toutes les questions que l'on sait très bien faire. Ensuite, si jamais il reste un peu de temps, on peut revenir sur des questions précédentes : soit parce qu'on a reconnu une méthode classique mais qu'on maîtrise moyennement et qu'on a donc passer, pour s'y essayer (cette fois-ci sans risque, puisqu'il ne reste plus de questions plus simples donc plus rentables non traitées) ou bien pour les meilleurs, essayer de répondre à des questions où on n'a reconnu aucune méthode vue en cours.

Pour éviter de sauter les trois quarts des questions et répondre à un maximum, nous allons donc travailler pendant l'année, et il faudra maîtriser le jour des concours, tous les types de questions qui seront

"abordables" le jour du concours, an de pouvoir répondre à la grande majorité des questions.

2) Comment analyser une question

A chaque question, on doit mettre en place un espèce d'algorithme de recherche, toujours le même, pour prendre en main la question (évidemment certaines fois on n'en a pas besoin car la méthode saute aux yeux) :

• Traduire totalement la question (traduction des hypothèses en fonction des données de l'énoncé, des dénitions du cours et des méthodes qui nous disent comment aborder nombre tel ou tel type de questions, avec tel ou tel théorème et telle ou telle approche).

• On regarde parmi les questions précédentes si une ou plusieurs sont en rapport.

si oui (question précédente en rapport), on cherche un point d'ancrage pour passer du résultat précédent au nouveau : soit une méthode classique qui se révèle à utiliser à la lumière du résultat dont on dispose, soit (dans le cas d'une expression à transformer, d'une égalité ou d'une inégalité à obtenir) quelque chose qui se trouve dans les deux expressions mais qui a été transformé dans la nouvelle : en comprenant quelles sont les transformations et en les appliquant une par une à tout le résultat, on doit arriver au résultat à prouver. Si il reste une petite diérence, on rééchit encore aux calculs ou transformations supplémentaires qui peuvent permettre de nir.

si non (aucune question en rapport), on cherche à comprendre quelle(s) méthode(s) connue(s) peuvent ou doivent s'appliquer ici, et on les met en oeuvre pour répondre. On peut aussi reconnaître, pour les meilleurs, un résultat compliqué relevant d'une astuce mais qui a été travaillée dans l'année (cours d'approfondissement, révisions Essec/HEC) ou une preuve du cours : dans ce cas, soit on se rappelle de la méthode/de la preuve du cours et on fonce, soit on ne s'en rappelle plus et on saute immédiatement.

• Si rien de tout ça ne s'applique, au bout de 5 minutes au maximum (c'est très important de ne pas passer plus de temps à chercher une question sans trouver ; par contre si avec ce qui précède on a trouvé comment traiter la question, cela peut mettre plus de temps pour répondre, car la rédaction peut être longue ou les calculs) on passe la question.

En procédant ainsi, on doit arriver au bout de n'importe quel sujet en 4 heures ou moins. Ensuite s'il reste du temps sur les 4 heures on peut passer plus de temps sur certaines questions sautées en essayant de rééchir beaucoup plus et de trouver une preuve ne relevant pas des méthodes usuelles, ou relevant d'une méthode usuelle qu'on maîtrise mal (seulement une fois qu'on a été au bout du sujet ! !).

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III Travailler en DM

An d'optimiser l'ecacité du travail en DM, on pourra appliquer la méthode de travail suivante :

• On commence par traiter le DM jusqu'à la n comme un DS (en sautant les questions si on ne voit pas rapidement comment faire), mais évidemment on peut y passer plus de 4h si nécessaire pour aller au bout.

• On revient sur les questions passées en essayant d'y trouver un raisonnement non évident ou non classique (pas trop longtemps).

• On va voir les indications :

si la méthode annoncée était classique, traiter la question avec cette méthode puis essayer de comprendre pourquoi on a raté cette méthode : que n'a-t-on pas vu qu'on aurait du voir ? Ensuite, on peut écrire cette méthode et le cas particulier non vu dans un cahier/carnet prévu à cet eet, qui recense les questions manquées pour pouvoir les relire régulièrement et ne pas refaire la même erreur.

si la méthode n'était pas classique, les indications doivent a priori indiquer le raisonnement qu'il fallait suivre. On peut alors essayer de traiter la question avec cette indication : si on y arrive, c'est très bien, et on peut écrire l'astuce dans un autre cahier prévu pour les astuces rencontrées et comprises dans l'année (uniquement pour les meilleurs). Sinon, on laisse tomber et on étudiera éventuellement le corrigé (ou on vient poser une question au professeur pour essayer de comprendre, et on réessaie...).

• Une fois la copie corrigée rendue par le professeur, on regarde toutes les questions où on a perdu des points à cause de la rédaction, et on essaie de comprendre ce qu'on a mal fait (le corrigé permet de voir la bonne rédaction) ainsi que les questions qui sont indiquées comme des méthodes usuelles qui ont été mal ou pas traitées : on se demande alors si on connaissait ou pas cette méthode ; si on la connaissait, on essaie de comprendre pourquoi on ne l'a pas vu (quelle indication on a on a raté, quelle question précédente on a oublié de prendre en compte, quel partie de la question on a mal lu, etc...) an de ne pas refaire la même erreur.

Ainsi le travail en DM doit pouvoir permettre :

• d'acquérir à la fois la bonne stratégie de résolution ecace pour les sujets en temps limité (premier traitement du sujet sans indications et dans les conditions d'un DS, sauf qu'on se laisse éventuelle- ment plus de temps),

• d'approfondir la connaissance des méthodes et du cours bien maîtrisé et qu'on a reconnu et traité lors de ce sujet (en répondant aux questions proprement à l'aide des méthodes),

• d'améliorer la connaissance des méthodes et du cours qu'on maîtrise mal en reprenant les questions non trouvées à l'aide des indications,

• de s'améliorer en calcul en menant à bien tous les calculs (en s'acharnant s'il le faut jusqu'à ce qu'ils soient justes),

• d'améliorer sa rédaction en reprenant (dans un cahier prévu à cet eet) une fois la copie rendue toutes les questions où on a perdu des points alors qu'on savait la traiter, et en notant ce qu'il aurait fallu faire (quels arguments doivent être écrits, comment une explication aurait due être tournée, etc...),

• d'améliorer sa lecture des sujets (analyse des questions, lecture des questions précédentes) en réé- chissant lors du corrigé (ou lorsqu'on va voir les indications) aux fautes de lecture d'énoncé qu'on a réalisé pour ne pas voir la méthode à utiliser.

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IV Réviser pendant les vacances (ou avant un DS, très ponctuelle- ment)

Avant un DS (en beaucoup moins de temps, seul le premier point de la liste qui suit est concerné) et surtout pendant les vacances, il est important de réviser ou revoir ce qui a été fait depuis le début de l'année. Cependant il est irréaliste d'essayer de refaire tous les exercices de TD ou de DM et DS de l'année en entier. Il faut donc cibler les bonnes choses à faire, avec plusieurs objectifs :

• Améliorer sa lecture des sujets et sa connaissance des méthodes à appliquer : pour ce faire, on reprend tous les sujets de DM et DS depuis le début de l'année, sans jamais faire les calculs : à chaque question, on analyse la question et on cherche quelle est la bonne méthode à appliquer. Ensuite on vérie avec la che d'indications ou carrément avec le corrigé que c'était la bonne, et on passe à la question d'après.

A chaque fois que la méthode n'est pas trouvée, on essaie de comprendre ce qui nous a manqué : la méthode n'était pas ou mal connue (elle fait alors partie des méthodes à revoir au point 2) ou bien on a mal analysé la question (on cherche alors à comprendre ce qui a été mal fait pour l'améliorer).

• Travailler des méthodes qui sont mal ou pas maîtrisées (jamais plus de quelques-uns à chaque fois, pour pouvoir les maîtriser vraiment ecacement) : lorsqu'on n'a pas bien maîtrisé une méthode pendant le cours et les TD, si on pense avoir susamment progressé depuis pour s'y réattaquer, on reprend le TD aérent et on fait le ou les exercices correspondants. Ensuite on peut également regarder et refaire, dans les DM/DS faits depuis le début de l'année, les exercices ou les questions relevant de cette méthode, pour s'assurer qu'on a bien compris.

Ce type de travail est dicile à mener car on est seul et on ne dispose pas de l'aide du professeur ou d'un camarade pour comprendre ce qui n'est pas clair : il ne faut donc pas y passer trop de temps, cela devient vite stérile.

• Travailer les bases de calcul : si on a des dicultés avec certaines bases de calcul, on peut faire entre 30 minutes et 1 heure par jour ou on ne fait que des calculs (à trouver dans un livre, ou dans un TD de cette année ou l'année dernière, ou encore dans un TD sur internet, à condition que ce soit un TD d'ECE et que le résultat soit donné ou qu'il y ait un corrigé) pour s'améliorer : dans l'ordre de nécessité (absolue pour les premiers !) : les produits matriciels, le calcul de dérivée, le calcul de l'inverse d'une matrice par pivots, le calcul des valeurs propres par pivots, le calcul de primitive, le calcul de limites et l'obtention d'équivalent, le calcul de sommes nies et innies, le calcul du terme d'ordren des suites arithmético-géométriques, récurrentes doubles et imbriquées, la résolution de systèmes d'équations non linéaires par substitution.

Ce travail est une nouvelle fois pas évident à mener seul, car on ne dispose pas de quelqu'un pour corriger nos erreurs : il est principalement mis en oeuvre en TD où le professeur vous indique à chaque fois votre erreur pour que vous puissiez refaire mieux, et en DM ou un camarade qui a réussi ce calcul peut également vous montrer où est l'erreur. Si on décide de le mener lors des vacances, il faut veilleur à choisir des calculs pour lesquels on dispose d'un corrigé détaillé (TD, DM, DS de l'année).

• Approfondir les méthodes maîtrisées et d'entraîner à la résolution complète des questions : on fait le devoir à rendre pour la rentrée.

• Approfondir les méthodes à plus haut niveau, en traitant un sujet relevant des méthodes classiques mais dans des cas souvent compliqués : on fait le devoir d'approfondissement.