Chapitre 6 Les applications lin´eaires

(1)

Chapitre 6

Les applications lin´ eaires

Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee

(2)

1 Généralités 2

1.1 D´efinitions . . . 2

1.2 Structure . . . 4

1.3 Noyau . . . 5

1.4 Ensemble image . . . 7

1.5 Image d’une base . . . 8

2 Matrice et application lin´eaire 10 2.1 D´efinition . . . 10

2.2 Op´erations . . . 12

2.2.1 Image d’un vecteur . . . 12

2.2.2 Somme et produit par un scalaire . . . 13

2.2.3 Composition . . . 13

2.2.4 R´eciproque . . . 14

2.2.5 Liens entre noyau de matrice et d’application, image de matrice et d’application . . . 14

3 Rang 15 3.1 Rang d’une application lin´eaire . . . 15

3.2 Théorème du rang . . . 16 4 Exercices du td Espaces vectoriels et applications linéaires niveau 2A 18

(3)

Chapitre 6: Les applications linéaires Généralités

Dans tout ce chapitre, on note :

• K pour d´esigner R ouC.

• n, m etp sont trois entiers naturels non nuls.

• G, H etT trois K espaces vectoriels. Ils ne sont pas n´ecessairement de dimension finie.

1 G´ en´ eralit´ es

1.1 D´ efinitions

Soit f : G → H une application. On dit que f est une application linéaire ou est un morphisme si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1. ∀(x, y)∈G², f(x+y) =f(x) +f(y).

2. ∀(x, λ)∈G×K, f(λx) =λf(x).

D´efinition 1

• On note L(G, H) l’ensemble des applications lin´eaires de G dans H.

• Les applications linéaires deG dansK sont appelées desformes linéairesdeG.

On note L(G,K) ou G^∗ leur ensemble.

• Les applications lin´eaires de G dans G sont appel´ees des endomorphismes de G. On note L(G) leur ensemble.

• Les applications lin´eaires bijectives de G dans H sont appel´ees des isomor- phismes. On note GL(G, H) leur ensemble.

• S’il existe une application lin´eaire bijective deG dans H, on dit queGetH sont isomorphes ou isomorphes en tant que K-espace vectoriel.

• Les applications lin´eaires bijectives de G dans G sont appel´ees des automor- phismes deG. On note GL(G) leur ensemble.

D´efinition 2

Soit f :G→H une application.

f est lin´eaire si et seulement si ∀(x, y, λ)∈G²×K, f(λx+y) = λf(x) +f(y).

Proposition 3

M´ethode:

Pour montrer qu’une application est linéaire, il suffit donc de calculer, pour tout vecteur x et y et pour tout scalaireλ, la quantitéλf(x) +f(y) et montrer que c’est la même chose que f(λx+y).

(4)

, Exemple :

1. Les applications suivantes sont lin´eaires :

f₀ : (

R³ →R²

(x;y;z) 7→(x+ 3y;z) f₂ :

(

R[X] →R²

P 7→(P(4);P⁰(4)) f3 :

(C¹(R) → C⁰(R) f 7→f⁰

f₅ :







C⁰(R) → C¹(R)

f 7→x7→

Z x 7

f(t)dt f₇ :

(

Kⁿ →K

(x₁, x₂,· · · , x_n) 7→u₁x₁+u₂x₂+· · ·+u_nx_n f1 :

(

R² →R (x;y) 7→x+ 3y Λ :

(

R[X] →R⁴

P 7→(P(0);P(4);P(3);P(7)) f₄ :







C⁰(R) →R

f 7→

Z 2 7

f(t)dt

f6 :

(M_n(K) → M_n(K)

X 7→A×X

avecA une matrice d’ordren connue et (u₁, u₂,· · ·, u_n) un vecteur deKⁿ connu. On note que f1,f4etf7sont des formes linéaires (on aurait pu citer aussi l’espérance d’une variable aléatoire intégrable comme forme linéaire), f₇ donne le produit scalaire dans Kⁿ avec (u₁, u₂,· · · , u_n).

2. Aucune des deux applications suivantes n’est lin´eaire : f₁ :

(

R³ →R²

(x;y;z) 7→(3y−z+ 1;z+ 2x) f₂ : (

R1[X] →R³

x+yX 7→(4|y|; 2x;x+ 3y) 3. L’applicationid_G

(G →G

x 7→x , appel´eeapplication identit´e de G, est un endomorphisme de G.

4. L’application 0L(G,H)

(G →H

x 7→0_H, appel´ee application nulle de L(G, H), est une application lin´eaire.

5. Soit α un scalaire. L’application hα

(G →G

x 7→αx est un endomorphisme de G. On l’appelle homoth´etie vectorielle de rapport α de G.

Soit f :G→H une application lin´eaire. On a :

• f(0_G) = 0_H.

• ∀(x₁,· · · , x_n)∈Gⁿ,∀(λ₁,· · · , λ_n)∈Kⁿ, f

n

X

k=1

λ_kx_k

!

=

n

X

k=1

λ_kf(x_k).

Proposition 4

(5)

* Remarque :

Pour prouver quef appartient `aL(G, H), il est inutile de prouver quef(0_G) = 0_H, c’est automatique si on sait que :

∀(x, y, λ)∈G²×K, f(λx+y) = λf(x) +f(y).

On note la diff´erence avec les sous-espaces vectoriels.

- Exercice 1 :

L’applicationf suivante est-elle un endomorphisme ? f :

(

R2[X] →R2[X]

P 7→2XP −(X+ 1)²P⁰

1.2 Structure

L(G, H) est un espace vectoriel.

Proposition 5

Soientg,g₁ etg₂ trois éléments deL(G, H). Soientf,f₁ etf₂ trois éléments deL(H, T).

• f ◦g est un ´el´ement de L(G, T).

• (f1+f2)◦g =f1◦g+f2◦g.

• f ◦(g₁+g₂) = f◦g₁+f ◦g₂.

• Si f est un isomorphisme de H dans T, f⁻¹ est un isomorphisme deT dans H.

Proposition 6

* Remarque :

On n’utilise pas la lin´earit´e pour prouver ceci :

(f₁+f₂)◦g =f₁◦g+f₂◦g.

Par contre, on l’utilise pour d´emontrer que : f◦(g₁+g₂) =f ◦g₁+f ◦g₂.

Soit f un endomorphisme de G. Soit k un entier naturel. On pose :

f^k =







f◦ · · · ◦f

| {z }

kfois

si k>1 Id_G si k= 0.

D´efinition 7

(6)

+ Mise en garde :

Attention, quandf est une application linéaire, f² n’est pas f×f mais f ◦f. De manière générale, il n’y a pas de produit, a priori, dans un espace vectoriel.

Formule du binˆome de Newton

Soient f et g deux endomorphismes deG. Si f ◦g =g◦f, on a alors : (f+g)ⁿ=

n

X

k=0

n k

f^kg^n−k. Proposition 8

1.3 Noyau

Dans toute cette partie f est un ´el´ement de L(G, H).

• On appelle noyau de f l’ensemble des vecteurs de G dont l’image par f est le vecteur nul. On note Ker(f) cet ensemble. On a :

Ker(f) ={x∈Gtel que f(x) = 0_H}.

• Soit A un matrice d’ordre n. On appelle noyau deA l’ensemble suivant : Ker(A) =

X ∈ Mn,1(K) tel queA×X = 0Mn,1(K) . D´efinition 9

, Exemple :

• Si f est l’application suivante f : (

C³ →C1[X]

(x₁, x₂, x₃) 7→x₁+x₂+x₃+x₁X alors, pour tout (x1, x2, x3) de C³, on a :

(x1, x2, x3)∈Ker(f)⇐⇒f(x1, x2, x3) = 0

⇐⇒x₁+x₂+x₃+x₁X = 0

⇐⇒

( x₁+x₂+x₃ = 0

x₁ = 0 par identification des cœfficients d’un polynˆome

⇐⇒x₂ =−x₃ et x₁ = 0 On en d´eduit que Ker(f) est {(0,−x, x), x∈C}.

• Si A est la matrice





1 1 1 1 0 0 1 0 0



 alors Ker(A) est









 0

−x x



, x∈K





 .

(7)

• Si g est l’application suivante g :

(

C2[X] →C2[X]

x₁+x₂X+x₃X² 7→(x₁+x₂) +x₁X+x₁X² alors Ker(g) est...

• Tout plan vectoriel dans R³ est le noyau d’une forme lin´eaire non nulle et r´eciproquement.

• Pour l’op´eration de d´erivation, le noyau, c’est l’ensemble des fonctions constantes.

• Pour ∆ :

(C¹(R) → C⁰(R)

f 7→f⁰−f le noyau, c’est ...

• On peut reprendre les exemples de l’introduction des espaces vectoriels. On avait not´e S₂ l’ensemble des suites (u_n)_n∈

N telles que :

∀n∈N, un+2 =un+1+un

et S₃, l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables ϕtelle que :

∀x∈R, 3ϕ⁰⁰(x)−18ϕ⁰(x) + 24ϕ(x) = 0.

On peut voir S₂ comme S₃ comme des noyaux d’applications lin´eaires, les applications suivantes : f :

(· · · → · · ·

· · · 7→ · · · etg :

(· · · → · · ·

· · · 7→ · · · v´erifient que : Ker(f) = S₂ et Ker(g) =S₃.

Ker(f) est un sous-espace vectoriel de G.

Proposition 10

On a :

f est injective ⇐⇒Ker(f) = {0_G}. Proposition 11

M´ethode:

Pour montrer qu’une application linéaire est injective, il suffit donc d’expliciter son noyau. On résout donc l’équationf(x) = 0_H d’inconnuexélément deG. Si 0_G est la seule solution alorsf est injective.

Sinon,f n’est pas injective.

, Exemple :

On peut expliciter facilement les noyaux de ces deux applications :

(8)

1. f₁ : (

R³ →R³

(x;y;z) 7→(3y−z;z;z+ 2x) 2. f₂ : (

R1[X] →R³

x+yX 7→(−x−3y; 4x+ 12y;x+ 3y) On obtient alors sans difficult´e que f₁ est injective et f₂ ne l’est pas car :

Ker(f₁) ={(0; 0; 0)} et Ker(f₂) = {y×(−3 +X), y ∈R}.

1.4 Ensemble image

Dans toute cette partie f est un ´el´ement de L(G, H).

• On appelle image de f l’ensemble des images par f des vecteurs de G. On note Im (f) cet ensemble. On a :

Im (f) = {f(x), x∈G}.

• Soit A un matrice de taille p×n. On appelle image de A le sous-ensemble de Mp,1(K) suivant :

Im (A) ={A×X, X ∈ M_n,1(K)}. D´efinition 12

, Exemple :

• Si f est une forme lin´eaire deG alors Im (f) est {0_G} ouK.

• Si A est

1 1 1

0 1 0

etB est



 1 0 0 1 5 6



alors Im (A) est ... et Im (B) est ...

• Si on a :

f : (

R³ →R²

(x;y;z) 7→(x+y+z;y) etg : (

R² →R³

(x;y) 7→(x;y; 5x+ 6y) alors Im (f) est ... et Im (g) est ...

• Si on a : f :

(

R³ →R1[X]

(x;y;z) 7→(x+y+z) +yX et g : (

R1[X] →R2[X]

x+yX 7→x+ (y−x)X² alors Im (f) est ... et Im (g) est ...

Im (f) est un sous-espace vectoriel de H et on a :

f est surjective ⇐⇒Im (f) = H.

Proposition 13

(9)

* Remarque :

Etre bijectif signifie ˆˆ etre injectif et surjectif. On en d´eduit que f est un isomorphisme entre G etH si et seulement si :

Ker(f) = {0_G} et Im (f) =H.

• Soit (e₁, e₂,· · ·, e_m) une famille de G, on a :

f(Vect (e₁, e₂,· · · , e_m)) = Vect (f(e₁), f(e₂),· · · , f(e_m)).

• En particulier, si (e₁, e₂,· · · , e_m) est une famille g´en´eratrice de G, on a alors : Im (f) = Vect (f(e₁), f(e₂),· · · , f(e_m)).

• En particulier, si (e1, e2,· · · , em) est une base de G, on a alors : Im (f) = Vect (f(e₁), f(e₂),· · · , f(e_m)). Proposition 14

* Remarque :

On connaˆıt donc aisément une famille génératrice de Im (f) et des équations cartésiennes de Ker(f).

, Exemple : Si on a :

f : (

R³ →R²

(x;y;z) 7→(x+y+z;y) et g : (

R1[X] →R2[X]

x+yX 7→x+ (y−x)X² alors Im (f) est Vect (· · ·) et Im (g) est Vect (· · ·).

1.5 Image d’une base

Soitf un ´el´ement de L(G, H). On noteG = (g₁, . . . , g_p) une famille deGetHla famille (f(g₁), . . . , f(g_p)).

• Si H est libre alors G est libre.

• Si G est libre etf injective alors H est libre.

Proposition 15

(10)

Soit f un ´el´ement de L(E, F) avec E etF des espaces vectoriels de dimension finie. On note C = (c₁, . . . , c_n) une base deE et F la famille (f(c₁), . . . , f(c_n)).

• F est libre si et seulement si f est injective.

• F est g´en´eratrice de F si et seulement si f est surjective.

• F est une base de F si et seulement sif est un isomorphisme.

Proposition 16

• Soient (b₁, . . . , b_n) une base de E et (c₁, . . . , c_n) une famille de vecteurs de F avec E et F des espaces vectoriels de dimension finie. Il existe une et une seule application lin´eaire f deE dans F tel que :

∀j ∈J1, nK, f(b_j) = c_j.

• Une application linéaire est donc caractérisée par l’image qu’elle donne d’une base.

Proposition 17

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente proposition. On note bien qu’il faut vérifier que (b₁, . . . , b_n) est une base de E pour affirmer connaˆıtre totalement une application linéaire de E dans F. Par contre, (c₁, . . . , c_n) n’est pas forcément une base de F.

, Exemple :

Ainsi, on prouve aisément l’existence et l’unicité de l’application linéaire deR² dansR[X]f vérifiant : f(1,2) = 3 +X² etf(1,1) = 3X−X²

car ((1,2),(1,1)) est une base de R².

SoientE etF des espaces vectoriels de dimension finie. On suppose que E est de dimension n.

• E et F sont isomorphes si et seulement si dim(E) = dim(F).

• E est isomorphe `aKⁿ. Proposition 18

- Exercice 2 :

Soit Λ l’application suivante : Λ :

(

C[X] →Cⁿ⁺¹

P 7→(P(z₀), . . . , P(z_n))

(11)

Chapitre 6: Les applications lin´eaires Matrice et application lin´eaire

avec (z₀, z₁,· · · , z_n) unn+1-uplet de nombres complexes distincts et connus. On note Λ_nla restriction de Λ `a Cn[X]. On pose : L=

n

Y

i=0

(X−z_i) et, pour touti deJ0, nK, on pose :

L_i(X) = Y

j∈J0,nKtel quej6=i

X−z_j z_i−z_j

. 1. Λ est-elle injective ? Λn est-elle injective ?

2. ´Evaluer (Λ(L₀), . . . ,Λ(L_n)) et en d´eduire que (L₀, . . . , L_n) est une base de Cn[X].

3. En d´eduire que Λ est surjective.

2 Matrice et application lin´ eaire

Dans toute cette partie, E et F seront des espaces vectoriels de dimension finie. E sera de dimension n et F de dimension p.

2.1 D´ efinition

Soient B= (b₁, . . . , b_p) une base de F et C = (c₁, . . . , c_n) une base deE.

Soit f une application lin´eaire de E dans F. ∀j ∈ J1, nK, on note (a_1,j, . . . , a_p,j) les coordonn´ees def(c_j) dans la baseB, on a donc :

∀j ∈J1, nK, f(c_j) =a_1,jb₁+a_2,jb₂+· · ·+a_p,jb_p.

On a MatB(f(c₁)) =





 a_1,1

... a_p,1





, . . . ,MatB(f(c_n)) =





 a_1,n

... a_p,n





.

On appelle matrice de l’application lin´eaire f relativement aux bases C et B la matrice suivante :

MatC,B(f) = MatB(f(c₁), . . . , f(c_n))

=







a_1,1 · · · a_1,n ... . .. ... a_p,1 · · · a_p,n





. D´efinition 19

On utilise les notations pr´ec´edentes.

• On appelle matrice canoniquement associée à l’application linéaire f la matrice de l’application linéaire f relativement aux bases canoniques de F et de E.

• Soit f un endomorphisme deE. On peut, pour définirf, utiliser la même base au départ et à l’arrivée. SoitC une base deE, on note MatC(f) la matrice MatC,C(f).

D´efinition 20

(12)

* Remarque :

Dans le cas d’un endomorphisme, les matrices associées sont carrées. Dans le cas général, le nombre de ligne de la matrice est la dimension de l’espace d’arrivée et le le nombre de colonne de la matrice est la dimension de l’espace de départ.

, Exemple :

1. La matrice canoniquement associ´ee aux applications lin´eaires suivantes : (a) f₁ :

(

R³ →R³

(x;y;z) 7→(y+z;x;y+ 4x) (b) f₂ :

(

R² →R³

(x;y) 7→(x+ 4y; 2x;x−y) (c) f₃ :

(

R2[X] →R²

x+yX +zX² 7→(y+z;y+ 4z)

(d) f₄ : (

R² →R4[X]

(x;y) 7→x+ 2yX³+ (x−y)X⁴ (e) f₅ :

(

R →R³ (x) 7→(x; 0; 2x) (f) f₆ :

(

R³ →R (x;y;z) 7→x−z sont respectivement .... car ... .

2. On peut aussi donner la matrice canoniquement associ´ee `a Λ avec : Λ :

(

Cⁿ[X] →Cⁿ⁺¹

P 7→(P(1), . . . , P(n)) 3. Soit n B une base de E, on a : MatB(Id_E) =I_n.

4. Mat(0L(E,F)) = 0_p,n.

5. Soient λ un r´eel et h_λ l’homoth´etie vectorielle de rapport λ deE. MatB(h_λ) =λI_n.

6. On noteC la base canonique deR²,Bla base canonique deR²[X],Dla base ((1; 1),(−1; 1)) de R²,E la base

−X,1 3+ 1

3X,1 + 13X+ 3X²

deR²[X]. Soitf l’application lin´eaire suivante :

f : (

R2[X] →R²

x+yX+zX² 7→(x−y,3x−z) On a :

MatB,C(f) =

1 −1 0

3 0 −1

MatE,C(f) =

1 0 −12

0 1 0

MatE,D(f) = 1 2×

1 1 −12

−1 1 12

Comme on le constate dans cet exemple, la matrice d’une application lin´eaire d´epend des bases choisies.

(13)

Soient B une base deF etC une base de E. Soientf etg deux applications lin´eaires de E dans F. On a :

MatC,B(f) = MatC,B(g) si et seulement si f =g.

Les matrices associées caractérisent donc les applications linéaires.

Proposition 21

* Remarque :

On peut donc définir une application linéaire de trois fa¸cons différentes : 1. En donnant une matrice dans des bases spécifiées

2. En donnant l’image d’une base de l’espace de d´epart 3. En explicitant toutes les images.

2.2 Op´ erations

2.2.1 Image d’un vecteur

Soit f une application lin´eaire de E dans F. Soient B = (b1, . . . , bp) une base de F et C = (c₁, . . . , c_n) une base deE.

Soit x un vecteur de E, on a :

MatB(f(x)) = MatC,B(f)×MatC(x). Proposition 22

, Exemple :

On peut ainsi expliciter facilement l’application lin´eaire f deR3[X] dansR³ dont la matrice canoniquement associ´ee est la matriceA suivante :

A=





1 2 3 2 4 5 6 2 7 8 9 2



.

C’est f : (

R3[X] →R³

x+yX +zX²+tX³ 7→(x+ 2y+ 3z+ 2t,4x+ 5y+ 6z+ 2t,7x+ 8y+ 9z+ 2t) car, pour tout (x, y, z, t)∈R⁴, en notantC la base canonique deR³ etB la base canonique de R³[X], on

(14)

a :

Mat_C f((x+yX+zX²+tX³))

= Mat_B,C(f) Mat_B (x+yX+zX²+tX³)

=





1 2 3 2 4 5 6 2 7 8 9 2



×





 x y z t







=





x+ 2y+ 3z+ 2t 4x+ 5y+ 6z+ 2t 7x+ 8y+ 9z+ 2t





Pour tout (x, y, z, t)∈R⁴, on a donc :

f((x+yX+zX²+tX³)) = (x+ 2y+ 3z+ 2t)×(1,0,0) + (4x+ 5y+ 6z+ 2t)×(0,1,0) + (7x+ 8y+ 9z+ 2t)×(0,0,1)

= (x+ 2y+ 3z+ 2t,4x+ 5y+ 6z+ 2t,7x+ 8y+ 9z+ 2t).

On peut poursuivre cet exemple en se donnant les bases suivantes :

• C1 la base canonique deR³ et B1 la base canonique de R³[X]

• C₂ la base canonique deR³ et B₂ la base (1, X + 1,(X+ 1)², X³) de R3[X]

• C₃ la base ((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)) deR³ et B₃ la base canonique de R3[X]

• C4 la base ((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)) deR³ et B4 la base (1, X + 1,(X+ 1)², X³) de R³[X]

Pour toutideJ1,4K, on peut alors aisément expliciter l’application linéairef_i deR3[X] dansR³ telle que MatB_i,C_i(f_i) soit A et l’application linéaire g_i de R³ dans R3[X] telle que MatC_i,B_i(g_i) soit ^tA.

2.2.2 Somme et produit par un scalaire

Soient B une base de F, C une base de E, f et g deux applications lin´eaires de E dans F et λ un scalaire. On a :

MatC,B(f+g) = MatC,B(f) + MatC,B(g) et MatC,B(λf) = λMatC,B(f).

Proposition 23

2.2.3 Composition

SoientT un espace vectoriel de dimensionm,Bune base deF,C une base deEetDune base de T. Soient g une application linéaire de E dans F et f une application linéaire deF dans T.f ◦g est alors une application linéaire deE dans T et on a :

MatC,D(f ◦g) = MatB,D(f)×MatC,B(g).

Proposition 24

(15)

Soient f un endomorphisme de E, B une base de E et k un entier naturel. f^k est alors un endomorphisme deE et on a :

MatB f^k

= (MatB(f))^k. Proposition 25

2.2.4 R´eciproque

Soit f une application lin´eaire de E dans F. Soient B une base de F et C une base de E. On a :

MatC,B(f) est inversible ⇔f est un isomorphisme deE dans F.

Sif est un isomorphisme deE dans F, on a alors :

MatB,C(f⁻¹) = (MatC,B(f))⁻¹. Proposition 26

2.2.5 Liens entre noyau de matrice et d’application, image de matrice et d’application

Soitf une application lin´eaire deE dansF. Soient Bune base deF etC une base deE.

• Soit xun vecteur de E. On a :

x∈Ker(f)⇔Mat_C(x)∈Ker(A).

• Soit y un vecteur de F. On a :

y∈Im (f)⇔MatB(y)∈Im (A).

Proposition 27

(16)

3 Rang

3.1 Rang d’une application lin´ eaire

Soit f une application lin´eaire deE dans G.

On appelle rang def, et on note rang(f), la dimension du sous-espace vectoriel Im (f) deG.

D´efinition 28

* Remarque :

• Si on note C = (c₁, . . . , c_n) une base de E avec E un espace vectoriel de dimension n alors le rang de f est le rang de la famille (f(c₁,). . . , f(c_n)). Les notion de rang d’une application lin´eaire et de rang d’une famille de vecteurs se rejoignent donc.

• On note qu’on a défini le rang dans le cas où l’espace de départ est de dimension finie. L’espace d’arrivée n’est pas forcément de dimension finie.

• Lorsque l’espace d’arrivée est aussi de dimension finie alors les notion de rang d’une application linéaire, de rang d’une matrice et de rang d’une famille de vecteurs se rejoignent. Soit f une application linéaire de F dans E avec E un espace vectoriel de dimension n et avec F un espace vectoriel de dimension p. Soient D une base de E et B = (b₁, . . . , b_p) une base de F. Soit A= MatB,D(f). On appelle (C₁, . . . , C_p) ses p vecteurs colonnes. On a :

rang(A) = rang (C₁, . . . , C_p)

= rang (f(b₁), . . . , f(b_p))

= rang(f)

M´ethode:

Pour calculer le rang d’une application linéaire dont les espaces de départ et d’arrivée sont de dimension finie, on fait une interprétation matricielle et on calcule le rang de cette matrice associée en l’échelonnant. On sait en effet que, si f une application linéaire de E dans F avec E et F des espaces vectoriels de dimension finie, si D est une base quelconque de E et B une base quelconque deF, alors on a :

rang(f) = rang (MatD,B(f)).

, Exemple :

On peut calculer le rang de deux applications suivantes : f :

(

R³ → C⁰(R)

(x;y;z) 7→(x+ 3y) cos +zsin et g : (

R2[X] →R²

P 7→(P(4);P⁰(4)) On obtient...

(17)

Chapitre 6: Les applications lin´eaires Rang

3.2 Th´ eor` eme du rang

1. Soitf une application lin´eaire de E, un espace vectoriel de dimension finie, dans G. rang(f) et dim(E) sont reli´es par la relation suivante :

dim(E) = rang(f) + dim(Ker(f)).

2. SoitA une matrice de taille n×p. On a :

p= rang(A) + dim(Ker(A)).

Th´eor`eme 29

Ce théorème est extrêmement important, on va voir, après un exemple, quelques-unes de ses conséquences.

, Exemple :

Soit l’application suivante :

Λ : (

R2[X] →R²

P 7→(P(0);P(4))

On peut vérifier facilement sur ce cas particulier le théorème du rang. En effet, de rang (Λ) =· · · et dim(Ker (Λ)) =· · ·, on déduit que rang (Λ) + dim(Ker (Λ)) =· · ·

Soit f une application lin´eaire de E, un espace vectoriel de dimension finie, dansG. On a :

• rang(f)6dim(E).

• rang(f) = dim(E) si et seulement si f est injective.

Proposition 30

Soit f une application lin´eaire de E dans F avec E et F des espaces vectoriels de dimension finie . On a :

• rang(f)6min(dim(F),dim(E)).

• rang(f) = dim(E) si et seulement si f est injective.

• rang(f) = dim(F) si et seulement si f est surjective.

• rang(f) = dim(E) = dim(F) si et seulement si f est bijective.

Proposition 31

, Exemple :

On peut déduire aisément de la proposition précédente si l’application suivante est injective : f :

(

R³ → C⁰(R)

(x;y;z) 7→(x+ 3y) cos +zsin On obtient...

(18)

* Remarque :

Notez la différence entre ces deux propositions : dans le deuxième cas, on suppose l’espace d’arrivée de dimension finie. Ce n’est pas le cas dans le premier cas.

¨) Corollaire 32 :

Soit A une matrice ayant n lignes etp colonnes. On a rang(A)6min(n, p).

On suppose dans cette proposition que E et F sont deux espaces vectoriels de mˆeme dimension et de dimension finie. Soit f une application lin´eaire de E dans F. Soient B une base deF et C une base de E. On note :A = MatC,B(f).

Les conditions suivantes sont ´equivalentes : 1. f est injective.

2. f est surjective.

3. f est bijective.

4. A est inversible.

Proposition 33

¨) Corollaire 34 :

Soit A une matrice ayant n lignes etn colonnes. On a :

rang(A) =n ⇐⇒A est inversible

* Remarque :

L’injectivité est en général plus facile à démontrer que la surjectivité. Pour démontrer qu’un endomorphisme est un automorphisme, il suffit de démontrer son injectivité.

- Exercice 3 :

Soit Φ l’application suivante :

Φ : (

Cn[X] →Cn[X]

P 7→P(X+ 1)−P

Après avoir démontré que Φ était un endomorphisme de Cn[X], donner une base de son noyau puis une base de son image.

(19)

Chapitre 6: Les applications lin´Exercices du td Espaces vectoriels et applications lin´eaires eaires niveau 2A

4 Exercices du td Espaces vectoriels et applications lin´ eaires niveau 2A

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

D´eterminer lesquels des ensembles F suivants sont des espaces vectoriels : 1. F ={P ∈R[X] tel que P⁰(5) = 2}.

2. F ={λ(1,2) + (0,1), λ∈R}.

3. F d´esigne ici l’ensemble des matrices inversibles d’ordre 3.

4. F d´esigne ici l’ensemble des matrices sym´etriques d’ordre 3.

5. F désigne ici l’ensemble des suites à valeur réelles de limite nulle.

. Exercice 2 :

A-t-on F ⊂G(resp. F =G, resp F ⊃G) avec : F = Vect 1 + 2X+X²,1−3X+ 2X²

et G= Vect 5X−X²,3 +X+ 4X² .

. Exercice 3 :

Soient A etB les ensembles suivants :

A={P ∈R3[X] tel que P(4) = 0} et B ={P ∈R3[X] tel que P⁰(4) = 0}.

D´emontrer queAetB sont des espaces vectoriels puis d´eterminer une base deA, deB puis deA∩B.

. Exercice 4 :

Donner la dimension des espaces vectoriels suivants : 1. Vect ((1,1,0),(1,−1,1),(0,1,−1)).

2. {(x₁,· · · , x_n)∈Rⁿ tel que x₁+· · ·+x_n = 0} avecn un entier naturel non nul.

3. L’ensemble des matrices sym´etriques d’ordre 3 dont la somme de la premi`ere ligne est nulle.

4. {(un)n∈N tel que ∀ n∈N, un+2 =−6un+ 5un+1}.

5.

( (

R ^- R

x ^- P(x) cos(x) +Q(x) sin(x), (P, Q)∈R¹[X]

) .

. Exercice 5 :

1. Soit F la famille (X³ +X²+X+ 1,2X³+ 2X²−2X−2, X³+ 1). F est-elle libre ? 2. Mˆeme question avec :

F = (

R ^- R

x ^- 1 ,

(

R ^- R x ^- exp(x),

(

R ^- R

x ^- exp(−x)

! .

(20)

. Exercice 6 :

Soient e₁, e₂, e₃, e₄ des ´el´ements quelconques d’un espace vectoriel E. On pose f₁ =e₁+e₂ , f₂ =e₂+e₃ , f₃ =e₃+e₄ , f₄ =e₄−e₁ . 1. Peut-on exprimer e1 en fonction de f1, f2, f3, f4?

2. Même question avece₂, puis avec e₃ et enfin avec e₄. 3. L’égalité suivante est-elle vraie :

Vect (f₁, f₂, f₃, f₄) = Vect (e₁, e₂, e₃, e₄).

. Exercice 7 :

Dire si les applications suivantes sont des applications lin´eaires : 1. f₁ :

(

R³ →R[X]

(x, y, z) 7→(x+y)X⁴−zX

2. f₂ : (

R⁹[X] →R⁹[X]

P 7→P⁰

3. f₃ :







C¹(R) →R

f 7→

Z 5 0

f(t)dt

4. f₄ : (

R¹[X] →R³

x+yX 7→(x+y, y,0) Expliciter noyau et image des applications lin´eaires de cet exercice.

. Exercice 8 : On appelle B la matrice





−1 1 1

0 0 0

0 1 3



. On note B1 la base canonique de R²[X] et B2 la base de R2[X] suivante : (1, X, X +X²). Expliciter les endomorphismesf₁, f₂ et f₃ de R2[X] d´efinies par :

1. MatB1(f₁) =B. 2. MatB1,B2(f₂) = B. 3. MatB2,B1(f₃) = B.

Expliciter noyau et image des applications lin´eaires de cet exercice.

. Exercice 9 :

Après avoir prouvé son existence, expliciter l’ application linéaire f de R² dans M₂(R) telle que : f(3,0) =

1 0 0 0

et f(2,4) =

1 1 1 1

.

Expliciter noyau et image de l’ application lin´eaire de cet exercice.

. Exercice 10 :

Expliciterf et d´eterminer une base de l’image et du noyau de l’applicationf de Rn[X] dansRm[X]

(netmdeux entiers naturels non nuls à déterminer) canoniquement associée àA avecAdéfinie par :

A=

1 2 2

2 2 0

puis A=





0 0 0 1 0 0 1 0 0





(21)

. Exercice 11 :

Soit E un espace vectoriel et (e₁, e₂, e₃) une base deE.

1. Après avoir prouvé son existence, déterminer le noyau et l’image de l’ endomorphismef deE telle que :

f(e₁) = e₁+e₂+e₃ f(e₂) = e₂+e₃ f(e₃) = 2e₁

2. Expliciter, lorsque cela a un sens, une base de Ker(f −aId_E) avec a un r´eel.

. Exercice 12 :

Soit ϕl’application d´efinie par : ϕ:

(C²(R) → C⁰(R)

f 7→f⁰⁰−3f⁰+ 2f .

Montrer que ϕest une application lin´eaire puis donner une base de son noyau.

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 13 :

Montrer que la famille suivante de R^R est une famille libre : (x7→ |x−k|)_(16k650).

-) Exercice 14 :

Soit A le sous-espace vectoriel de M₂(R) engendr´e parI₂ et J la matrice

1 1 0 1

. 1. Trouver une base et la dimension de A.

2. Montrer queA est stable par produit et inverse.

3. R´esoudre l’ ´equation suivante d’inconnues X ∈A : X² =I₂.

4. Soient n un entier naturel et X un élément de A. Évaluer Xⁿ. -) Exercice 15 :

Soient n supérieur à 2, A un espace vectoriel de dimension n et Eet F deux sous-espaces vectoriels deA. L’ensemble E+F, appelée somme de E et de F, est l’ensemble suivant :

E+F={e+f,(e, f)∈E×F}. 1. Montrer queE+F est un espace vectoriel.

2. Repr´esenter Vect ((0,0,1)) + Vect ((1,0,0)).

3. Montrer que dim(E+F)6dim(E) + dim(F).

4. Montrer que si E∩F={0_A}, alors dim(E+F) = dim(E) + dim(F).

(22)

- Exercice 16 :

E d´esigne ici l’espace des fonctions de R dansR de classe C^∞. On consid`ere les fonctions suivantes : f₁ :x7→sin(x), f₂ :x7→cos(x), f₃ :x7→xsin(x) et f₄ :x7→xcos(x).

On note F l’espace vectoriel engendr´e par ces fonctions et u l’application de F dans F qui `a tout

´el´ement f deF associe f⁰⁰−f.

1. Montrer queB = (f₁, f₂, f₃, f₄) est une base de F.

2. Montrer queu est un endomorphisme de F et expliciter sa matrice A dans la base B.

3. Donner le noyau de u.

- Exercice 17 :

On consid`ere f l’application suivante : f :

(

R[X] →R[X]

P 7→ −4P +XP⁰+ (X² −1)P⁰⁰(X) 1. D´etermine le noyau de f.

2. Soit n un entier naturel et ϕ_n, la restriction de f `a Rn[X]. Montrer que ϕ_n est un endomorphisme de Rn[X].

3. ϕ_n est-elle bijective ?

4. D´eterminer les r´eels a tels queϕn−aid_R_n_[X_] soit un isomorphisme.

- Exercice 18 :

Soient E un espace vectoriel de dimension 4 et f un endomorphisme de E tels que : f² = 0 et f 6= 0.

1. Montrer que Im (f)⊂Ker(f) et en d´eduire que le rang de f vaut 1 ou 2.

2. Montrer que si rang(f) = 1 alors il existe une baseB de E tel que :

Mat_B(f) =







0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0





 .

3. Montrer que si rang(f) = 2 alors il existe une baseB de E tel que :

MatB(f) =







0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0





 .

4. Conclure.

(23)

Exercices bonus

M Exercice 19 :

D´eterminer lesquels des ensembles F suivants sont des espaces vectoriels : 1. F ={P ∈R[X] tel que P(5) +P⁰(3) = 0}.

2. F ={(x, y, z)∈R³ ; x²+y = 0}.

3. F ={(x, y, z)∈R³ ; x+ 4z = 0 et x+y+z = 0}.

4. F ={λX+µ(X²−1), (λ, µ)∈R²}.

5. F ={(u_n)n∈N tel que u_n+1 = 3u_n+ 5}.

6. F désigne ici l’union de l’ensemble des polynômes de degré supérieur à 10 et de l’ensemble contenant uniquement le polynôme nul.

7. F d´esigne ici l’union des points du cercle trigonom´etrique et de l’origine.

8. F d´esigne ici l’ensemble des matrices inversibles d’ordre 4.

9. F d´esigne ici l’ensemble des matrices diagonales d’ordre 3.

10. F désigne ici l’ensemble des matrices d’ordre 4 dont la somme des éléments vaut 0.

11. F désigne ici l’ensemble des matrices d’ordre 3 dont la somme des éléments de la diagonales vaut 2.

_) Exercice 20 :

Pour tout entier natureln, on consid`ere les fonctions de Rdans R d´efinies par :

∀x∈R, a_n(x) = (cos(x))ⁿ, b_n(x) = cos(nx) et s_n(x) = sin(nx).

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

Vect (a₀, . . . , a_n) = Vect (b₀, . . . , b_n).

2. On considère maintenant, pour tout entier naturel n, a_n, s_n et b_n comme des fonctions de R dans C, i.e. des éléments duC-espace vectoriel C^R.

(a) La fonctionx7→exp (i100x) appartient-elle `a Vect (a₀, a₁,· · · , a₂₀₀) ?

(b) La fonctionx7→exp (i100x) appartient-elle `a Vect (b₀, b₁,· · · , b₂₀₀, s₀, s₁,· · · , s₂₀₀) ? _) Exercice 21 :

SoientAetB deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielE tels que A∪B soit un sous-espace vectoriel deE. Montrer que A⊂B ou B ⊂A.

M Exercice 22 :

Soient E unK espace vectoriel et (e₁, e₂, e₃) une base deE. On d´efinit :

f₁ =e₁+e₂, f₂ =e₃, f₃ =e₁ −e₂, f₄ =e₃−e₁ et f₅ =e₃+ 2e₂. (f₁, f₂, f₃) (resp. (f₁, f₄, f₅), resp. (f₁, f₂, f₃, f₄)) ) est-elle une famille libre ?

M Exercice 23 :

Dire si les applications suivantes sont des applications lin´eaires :

(24)

1. f₁ : (

R³ →R³ (x;y;z) 7→(z;y; 0) 2. f2 :

(

R2[X] →R³ x+yX+zX² 7→(x, z, x)

3. f₃ : (

R³ →R³

(x;y;z) 7→(x−y;y; 0) 4. f4 :

(

R^N →R³ (u_n)_n∈

N 7→(u₁, u₂−2u₃, u₄) _) Exercice 24 :

Soient n un entier naturel et A etB deux matrices d’ordre n. On veut prouver que : rang (A×B)>rang (A) + rang (B)−n.

On note f et g les endomorphismes canoniquement associées à A et B et h la restriction de f à Im (g).

1. Expliciter le noyau et l’image de h en fonction de f et g.

2. Montrer que rang (A×B) = rang(g)−dim (ker(h)). 3. Conclure.

_) Exercice 25 :

Soient E un espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E tels que : idE =f ◦g.

1. On suppose dans cette question que E est de dimension finie.

(a) Prouver quef est un automorphisme.

(b) Que peut-on en d´eduire sur g? 2. Peut-on dire que g est f⁻¹?