TSTMG 13 DST2 15 octobre 2016 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Quelques d´eriv´ees
1. f0(x) = 3 2. g0(x) =−4x+ 5
Exercice 2 : ´Etude de fonction
Soitf la fonction d´efinie sur [−3; 2] par g(x) =x3+x2−5x+ 3 1. g0(x) = 3x2+ 2x−5 ;
2. ∆ = 4 + 4×3×5 = 64. Les solutions sont −2−8 6 =−5
3 et −2 + 8 6 = 1.
x
g0(x)
g
−3 −53 1 2
+ 0 − 0 +
0 0
256 27 256
27
0 0
5 5
3. g(3) = 24 etg0(3) = 27 + 6−5 = 28, l’´equation esty= 28(x−3) + 5 = 28x−84 + 24 donc y= 26x−60 Exercice 3 : Probl`eme 1
On consid`ere la s´erie statistique `a deux variables (xi ; yi).
1. Le nuage de points (xi ; yi) associ´e `a cette s´erie statis- tique est trac´e dans le rep`ere de l’annexe 1.
2. La moyenne desxi est ¯x= 4,5. La moyenne desyi est
¯
y= 8,6375. DoncG(4,5; 8,6375).
3. (a) `A l’aide de la calculatrice, une ´equation de la droite d’ajustement deyenxde ce nuage de points par la m´ethode des moindres carr´es esty= 1,22x+ 3,14.
Les coefficients sont arrondis au centi`eme.
(b) On d´ecide de r´ealiser un ajustement de la s´erie sta- tistique (xi ; yi) `a l’aide de la droiteD d’´equation y= 1,2x+ 3,1.
La droite D est trac´ee dans le rep`ere de l’annexe 1.
4. `A l’aide de la question pr´ec´edente, donnons une esti- mation du chiffre d’affaire du tourisme en France en 2016.
Le rang de l’ann´ee 2016 est 11. Rempla¸consxpar cette valeur dans l’´equation de la droite.y= 1,2×11+3,14 = 16,3.
Le chiffre d’affaires en ligne pourrait ˆetre estim´e en 2016, selon ce mod`ele, `a 16,3 milliards d’euros.
Baccalauréat STMG A. P. M. E. P.
Annexe (à rendre avec la copie)
Annexe 1, exercice 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Rang de l’année CA en milliards d’euros
+ +
+ +
+ +
+ +
D
Antilles–Guyane 5 15 juin 2016
Exercice 4 : Probl`eme 2 (25 minutes)
On s’int´eresse `a une mod´elisation de la propagation de l’´epid´emie de la grippe en France durant l’hiver 2014 - 2015.
Les relev´es statistiques, fournis par le r´eseau Sentinelle, du nombre de cas pour 100 000 habitants sur la p´eriode du 29 d´ecembre 2014 au 1er mars 2015 ont permis de mettre en ´evidence une courbe de tendance, `a l’aide d’un tableur.
Soitf la fonction d´efinie, pour toutx∈[2 ; 10], par
f(x) =−30x2+ 360x−360.
On admet quef(x) mod´elise le nombre de malades d´eclar´es pour 100 000 habitants au bout dexsemaines ´ecoul´ees depuis le d´ebut de l’´epid´emie.
On noteCsa courbe repr´esentative dans le plan muni d’un rep`ere orthogonal.
Partie A
A partir du graphique de l’annexe 2, r´` epondre aux questions suivantes :
T13 DST2 Page 2 sur 3 1. Selon ce mod`ele, au bout de six semaines le pic de l’´epid´emie a ´et´e atteint. Nous lisons l’abscisse du sommet de la
parabole.
2. Le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a ´et´e sup´erieur ou ´egal `a 600 est 4. De la semaine 4
`
a la semaine 8, sur cet intervalle, la courbe est situ´ee au dessus de la droite d’´equationy= 600.
3. (a) Montrons quef(x)>600 ´equivaut `a −x2+ 12x−32>0.
f(x)>600
−30x2+ 360x−360>600
−30x2+ 360x−360−600>0
−30x2+ 360x−960>0 30 −x2+ 12x−32>0
Puisque 30 est un nombre r´eel strictement positif, nous pouvons diviser les deux membres de l’in´egalit´e par 30.
Nous obtenons ainsi l’in´egalit´e demand´ee.
(b) D´eterminons alors les solutions de−x2+ 12x−32 = 0. Ceci est une ´equation du second degr´e, calculons alors ∆.
∆ = 122−4×(−1)×(−32) = 144−128 = 16. Le trinˆome admet donc deux racines x1=−b−√
b2−4ac
2a x2= −b+√
b2−4ac 2a d’o`ux1=−12−4
−2 = 8 x2= −12 + 4
−2 = 4.
Par cons´equent−x2+ 12x−32 =−(x−4)(x−8).
En dressant un tableau de signes nous obtenons sur R
x −∞ 2 4 8 10 +∞
−(x−4)(x−8) − − 0 + 0 − − Il en r´esulte que l’ensemble des solutions sur [2 ; 10] de l’in´equationf(x)>600 est [4 ; 8].
(c) Nous retrouvons le r´esultat obtenu dans la question 2.
Partie B
1. (a) Calculonsf0(x), o`u f0 d´esigne la fonction d´eriv´ee def sur l’intervalle [2 ; 10]
f0(x) =−30(2x) + 360 =−60x+ 360 = 60(−x+ 6).
puis r´esolvons l’in´equationf0(x)>0 sur cet intervalle.
Sur R−x+ 6>0 est ´equivalent `ax66.
L’ensemble des solutions de l’in´equation est [2 ; 6]
(b) Dressons le tableau de variations def sur l’intervalle [2 ; 10].
Etudions d’abord le sens de variation de´ f.
Si pour toutx∈I, f0(x)<0 alors la fonctionf est strictement d´ecroissante surI.
Pour x∈]6 ; 10], f0(x)<0, par cons´equent f est strictement d´ecroissante sur cet intervalle.
Si pour toutx∈I, f0(x)>0 alorsf est strictement croissante surI.
Pour x∈[2 ; 6[, f0(x)>0 par cons´equentf est strictement croissante sur cet intervalle.
Dressons le tableau des variations de la fonctionf sur l’intervalle [2 ; 10].
Baccalauréat STMG A. P. M. E. P.
2. Déterminons le nombre de plaintes enregistrées en 2013.
Entre 2011 et 2013 le coefficient multiplicateur est 1,834. Par conséquent, le nombre de plaintes enregistrées en France en 2013 est 1036×1,834 c’est-à-dire environ 1 900 plaintes.
EXERCICE2 6 points
On s’intéresse à une modélisation de la propagation de l’épidémie de la grippe en France durant l’hiver 2014 - 2015.
Les relevés statistiques, fournis par le réseau Sentinelle, du nombre de cas pour 100 000 habitants sur la période du 29 décembre 2014 au 1ermars 2015 ont permis de mettre en évidence une courbe de tendance, à l’aide d’un tableur.
Soitf la fonction définie, pour toutx∈[2 ; 10], par
f(x)= −30x2+360x−360.
On admet quef(x) modélise le nombre de malades déclarés pour 100 000 habitants au bout dexsemaines écoulées depuis le début de l’épidémie.
On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal.
Partie A
À partir du graphique de l’annexe 2, répondre aux questions suivantes :
1. Selon ce modèle, au bout de six semaines le pic de l’épidémie a été atteint. Nous lisons l’abscisse du sommet de la parabole.
2. Le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a été supérieur ou égal à 600 est 4. De la semaine 4 à la semaine 8, sur cet intervalle, la courbe est située au dessus de la droite d’équationy=600.
3. a. Montrons quef(x)!600 équivaut à−x2+12x−32!0.
f(x)!600
−30x2+360x−360!600
−30x2+360x−360−600!0
−30x2+360x−960!0 30!
−x2+12x−32"
!0
Puisque 30 est un nombre réel strictement positif, nous pouvons diviser les deux membres de l’inégalité par 30. Nous obtenons ainsi l’inégalité demandée.
b. Déterminons alors les solutions de−x2+12x−32=0. Ceci est une équation du second degré, calculons alors∆.
∆=122−4×(−1)×(−32)=144−128=16. Le trinôme admet donc deux racines x1=−b−#
b2−4ac
2a x2= −b+#
b2−4ac 2a d’oùx1=−12−4
−2 =8 x2=−12+4
−2 =4.
Par conséquent−x2+12x−32= −(x−4)(x−8).
En dressant un tableau de signes nous obtenons surR
x −∞ 2 4 8 10 +∞
−(x−4)(x−8) − − 0 + 0 − −
Il en résulte que l’ensemble des solutions sur [2 ; 10] de l’inéquationf(x)!600 est [4 ; 8].
c. Nous retrouvons le résultat obtenu dans la question 2.
Partie B
1. a. Calculonsf′(x), oùf′désigne la fonction dérivée def sur l’intervalle [2 ; 10]
f′(x)= −30(2x)+360= −60x+360=60(−x+6).
puis résolvons l’inéquationf′(x)!0 sur cet intervalle.
SurR−x+6!0 est équivalent àx"6.
L’ensemble des solutions de l’inéquation est [2 ; 6]
b. Dressons le tableau de variations def sur l’intervalle [2 ; 10].
Étudions d’abord le sens de variation def.
Si pour toutx∈I,f′(x)<0 alors la fonctionf est strictement décroissante surI.
Pourx∈]6 ;10], f′(x)<0, par conséquentf est strictement décroissante sur cet intervalle.
Si pour toutx∈I,f′(x)>0 alorsf est strictement croissante surI.
Pourx∈[2 ; 6[, f′(x)>0 par conséquentf est strictement croissante sur cet intervalle.
Dressons le tableau des variations de la fonctionf sur l’intervalle [2 ; 10].
x 2 6 10
f′(x) + 0 −
Variations def
240 240
720
2. a. Calculons le nombre dérivé def en 3.
f′(3)=60(−3+6)=180
b. La tangente àCau point d’abscisse 3 est tracée dans le repère de l’annexe 2. Son équation esty=180(x−3)+450 ouy=180x−90.
Antilles–Guyane 2 15 juin 2016
2. (a) Calculons le nombre d´eriv´e def en 3.
f0(3) = 60(−3 + 6) = 180
(b) La tangente `aCau point d’abscisse 3 est trac´ee dans le rep`ere de l’annexe 2. Son ´equation esty= 180(x−3)+450 ouy= 180x−90.
3. On admet que le r´eel f0(x) repr´esente la vitesse de propagation de l’´epid´emie au bout dexsemaines.
La grippe se propage-t-elle plus vite au bout de 3 semaines ou de 4 semaines ?
Pour y r´epondre, calculons f0(4). f0(4) = 60(−4 + 6) = 120. Comme f0(4) < f0(3), la grippe se propageait plus rapidement au bout de trois semaines qu’au bout de quatre semaines.
T13 DST2 Page 3 sur 3
Baccalauréat STMG A. P. M. E. P.
Annexe (à rendre avec la copie)
Annexe 2, exercice 2
200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nombre de semaines Nombre de malades déclarés pour 100 000 habitants
C
Antilles–Guyane 6 15 juin 2016
