Sulle singolarità delle frontiere orientate di misura minima

A NNALI DELLA

S ^CUOLA N ^ORMALE S UPERIORE DI P ^ISA Classe di Scienze

D IONISIO T RISCARI

Sulle singolarità delle frontiere orientate di misura minima

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 3

^e

série, tome 17, n

^o

4 (1963), p. 349-371

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ORIENTATE DI MISURA MINIMA (1)

Nota di DIONISIO TRISCARI

(Messina)

Nella memoria

[5]

^{E. De}

Giorgi

^{ha iniziato lo} studio dei

problemi

^di

regolarizzazione

^delle frontiere orientate di ^area

minima,

ed ha stabilito che

una

parte

^{della frontiera}

(la frontiera ridotta)

^{è una}

ipersuperficie

^localmente

regolare ; (cfr. [5],

^Teor.

VI,

pag.

56).

In

questo

^{lavoro viene}

ripresa

^tale

ricerca,

dando alcune condizioni necessarie _per 1’esistenza di eventuali

punti singolari.

^{Il risultato}

principale

è il Teorema XVIII in cui si _{prova che} l’esistenza di

punti singolari

^{è le-}

gata

^a

quella

^{di coni}

singolari

^di misura minima.

1. ^- Per comodità del lettore _vengono

qui riportati

^{teoremi e defini-}

zioni di

[4], [5]

cui si fa riferimento nella

presente

^{nota e sono stabilite} alcune notazioni che saranno

seguite

^{in tutto il} resto del lavoro.

Per

ogni

^intero

positivo n

sarà indicato con Rn lo

spazio

euclideo n-di-

mensionale ;

ⁱⁿ

particolare

^{R = R1} denoterà la retta reale. Penseremo sem-

pre lo

spazio

Rn dotato di struttura di

spazio

vettoriale :

precisamente

^dati

due

punti

^{x =}

(Xi’

^{..., =}

(Yl

^{... ,}

Yn)

porremo :

dati un

punto X=(X1’

^...,

xn)

^{ed un numero reale a porremo :}

Pervenuto alla Redazione il 30 Novembre 1963.

(í) ^Lavoro eseguito nell’ambito del gruppo ^di ricerca n. 9 del Comitato Nazionale _per la Matematica del C.N.R., nell’anno accademico 1962-63.

dati due

punti,

ⁱ indicheremo il loro

prodotto

scalare con il simbolo :

porremo infine :

Data una funzione

f (x)

derivabile in un

aperto

^A porremo :

date due

funzioni f,

g definite in Rn indicheremo il loro

prodotto

di compo- sizione con il simbolo :

Conformemente alle convenzioni usate in

[2], [3]

converremo

che, ogni qualvolta

^si

parlerà

^di insiemi contenuti in Rn e di funzioni ivi

definite,

intenderemo riferirci _{sempre ad} insiemi di Borel ed a funzioni di Baire.

Per

ogni

^{insieme E c Rn} indicheremo con

7E

^{la sua} frontiera e con

.E

⁼

(E U

^{la sua}

chiusura ;

per

ogni punto

^{x E Rn e} per

ogni

^numero

positivo

y indicheremo

rispettivamente

^{con i simboli :}

l’ipersfera aperta

^e

l’ipersfera

chiusa di centro x e

raggio e .

Se x coincide

con

l’origine

^delle

coordinate,

ⁱⁿ

luogo

^di

A~ (x), °e (x),

scriveremo

più

^bre-

vemente

Ae,

⁹

°e.

¹

Detta mis E la misura secondo

Lebesgue

^del

generico

insieme E C

Rn,

⁵

indicheremo con il simbolo :

la misura

dell’ipersfera

di R’~ di

raggio

^unitario.

Dato un certo numero di relazioni _a,

fl,

y, .., indicheremo con il simbolo :

l’insieme

degli

elementi x che verificano

queste relazioni ;

^{dati un insieme E}

ed una funzione

f (x)

definita in

E,

indicheremo con il simbolo :

l’immagine

^{di .E mediante}

f,

cioè l’insieme descritto da

f (,~)

^al variare di x

in E.

Per

ogni

^{insieme E C Rn e} per

ogni

^{intero k}

&#x3E; 0,

indicheremo con il simbolo

Hk (.E )

^la misura k-dimensionale di Hausdorff dell’insieme

E,

^{che è}

data come è noto

(cfr. [4~~

^n°

2,

^n°

3)

dalla formula :

La misura di Hausdorff è ^una funzione d’insieme

completamente

^{additiva e}

mai

negativa (eventualmente infinita)

^e

per k

^{= n coincide con} l’ordinaria misura di

Lebesgue.

Dalla

(1.1)

^{si vede}

poi

subito che se per ^un certo k risulta finita la misura

gk (E),

^{allora :}

Si verifica altres _{che per} varietà sufficientemente

regolari

^{la misura di}

Hausdorff coincide con la misura elementarmente

definita ; precisamente

^se

.T è un intervallo chiuso di

.Rk ~ (y)~ ... ~ fn (y)

^{sono n funzioni definite in T}

ivi uniformemente

Lipschitziane (ipotesi

banalmente verificata

quando le f

sono continue ^con le derivate

parziali prime)

^{e la}

corrispondenza f

^{che al}

generico punto

y ^E T associa il

punto f (y)

⁼

( f1 (y),

...,

fn (y))

^{E Rn è}

biunivoca,

allora l’insieme

_E= f (T)

^{ha una misura di} Hausdorff fornita dalla:

ove

gli

elementi della matrice

quadrata 1B

^sono dati dalla :

Si definisce

poi

la misura

go ^(E~

^{nel modo}

seguente :

^{se E è formato}

da un numero finito di

punti, Ho ^(E)

^{coincide con tale} numero ; altrimenti è :

Data una funzione vettoriale d’insieme :

definita _per

ogni

insieme di Borel di

Rn ,

^@

completamente additiva, limitata,

la sua variazione totale :

è _pure una funzione di insieme

completamente

^{additiva e}

limitata ;

^porremo

per

convenzione, per

^{c Rn ed}

f (x)

definita in E :

Infine,

^per

^ogni

^{insieme E C}

Rn , indicheremo

^{con il}

simbolo (x, E)

la funzione caratteristica di

E,

^{cioè la funzione che vale 1 in E e vale 0}

in Rn - E.

2. ^- Richiamiamo ora, ^con lievi ritocchi

formali,

alcune nozioni conte- nute in

[2], [3], [7].

Sia E

C Rn

^e sia ~

2 ;

per

ogni

^numero

positivo A poniamo :

esiste

allora,

^{finito o}

infinito,

^{il limite :}

detto

perimetro

^{di E.}

Vale il

seguente (2)

TEOREMA I. Condizione necessaria e

sufficiente perchè P (.E) sia finito

^è

che esista una

funzione

vettoriale di insieme

completamente

^{additiva e limitata}

«

(B), de, finita

per

ogni

insieme B C

Rn, verificante

^le

formule

^di Gauss-Green

(2) ^Cfr.

[2],

^{Teoremi II e} IV ;

[4],

pag. 6, ^{Teor. I.}

generalizzate :

per

ogni funzione

g

(x) de, finita

ⁱⁿ

Rn,

@ ivi continua insieme alle derivate par- ziali

_prime

^{ed a}

supporto compatto.

^{In tal caso risulta :}

La condizione

(2.3) può esprimersi

^{dicendo che la} misura vettoriale a è il

gradiente,

^{nel senso} della teoria delle

distribuzioni, di Q (x, .E) ; esprimeremo questo

^fatto

ponendo

per convenzione :

Il

perimetro

^P

(E)

^{è nna} funzione semicontinua

rispetto

^alla convergenza in

media ; precisamente

^{vale il}

seguente (3)

TEOREMA 11. Sia

Eh

^una successione di insiemi di

Rh ,

^{9 .E un insieme di}

Rn

verificate

^{la :}

(3) ^Cfr.

[2],

^Teorema VII ;

(4),

pag. 7, ^{Teor. II.}

Allora si ha :

Fra le successioni

approssimanti

^{un insieme E hanno un}

particolare

^inte-

resse

quelle

costituite da domini

poligonali.

Precisamente,

^{detto àominio}

poligonale ogni

^{insieme E C Rn che sia la}

chiusura di ^un

aperto

^{e la} cui frontiera

7E

sia contenuta nell’unione di

un numero finito di

iperpiani

^di

Rn,

^{vale il}

seguente

TEOREMA III. Se E ha

perimetro finito,

^{esiste una} successione ^di domini

poligonali veri, ficanti

^le condizioni :

Gli insiemi

approssimabili

^{in media} mediante domini

poligonali

^{aventi pe-}

rimetro limitato sono stati introdotti da R.

Caccioppoli

ⁱⁿ

[1 ] ;

^tali

^insiemi,

per i teoremi II e

III,

^{sono tutti e soli}

^gli

^{insiemi di}

^perimetro finito,

^che

sono chiamati

perciò

insiemi di

Caccioppoli.

Per le

applicazioni

^{al calcolo delle}

variazioni,

oltre al teorema di se-

micontinuità II interessa il

seguente

^{teorema di}

compattezza (4) :

TEOREMA IV. Dati un insieme limitato L C

Rn,

^{urc numero}

ed una successione

(Eh

di insiemi

verificante

^le condizioni :

esistono un insieme .E C ^{Rn ed una} successione subordinata alla succes-

sione

(-Eh),

tali che risulti :

Nello studio delle

proprietà

locali delle frontiere di insiemi di

Cacciop- poli

^{interessa il}

seguente (5)

TEOREMA V. Sia E C Rn ^un insieme di

Caccioppoli

^e

sia ~

^un

_punto

^di R.

Allora,

per

ogni

^numero

_positivo

e, l’insieme ^E fl

Ae (~)

^{è un insieme di}

(4) ^Cfr.

[3],

pago 98, ^Teor I;

[4],

pag. 8, ^Teor. IV, (5) ^Cfr.

[3],

pag. 100, ^Lemma III ; l4]. pag. 9 Teor. V.

Caccioppoli e

^{si ha}

inoltre,

per

ogni

^{B C Rn e} per

quasi

^{tutti i numeri po-}

sitivi _{p :}

ove v

(x)

^{è il versore} della normale interna a

(~).

Notiamo che dalla

(2.11)

discende immediatamente :

Alla

(2.11) può

^{darsi la, forma}

più suggestiva :

Con

procedimento

^{del tutto}

analogo

^a

quello seguito

per provare le

(2.11), (2.12)

^si provano le :

Dal Teorema V segue pure

facilmente, (cfr.

^De

Giorgi [5], (57),

^pag.

^{16) :}

per

quasi ogni

~O

&#x3E;

^0.

Dato un insieme di

Caccioppoli

^{.E C diremo}

frontiera

^{ridotta di}

.E ed indicheremo con il simbolo l’insieme dei

punti ~

^{che verificano}

le condizioni

seguenti :

1)

per

ogni

^numero

positivo p

^risulta:

2)

esiste determinato ^il limite :

3)

^{risulta :}

Tra le

proprietà

della frontiera ridotta ricordiamo

quelle

^{fornite dai}

seguenti

^teoremi

(6) :

TEOREMA VI. Per

ogni

^{insieme di}

Caccioppoli

^{.E C Rn e}

ogni punto

~

^E

9~*

.E risulta :

TEOREMA VII. Per

ogni

^{insieme di}

Caccioppoli

^{.E e per}

ogni

^insieme

B contenuti in

Rn,

^{risulta :}

ove y

(x)

^{è data della}

(2.18).

(6) ^Cfr

[4],

pag. 11, ^Teor. VI, ^VII.

Per evitare di scrivere il limite

(2.18)

^e

gli analoghi

limiti che ci dan-

no le

componenti

v1

(x),

^{... , vn,}

(x)

^{del vettore v}

(x),

porremo per convenzione :

per

Tale convenzione è

giustificata

osservando che dalle

(2.22)

segue

sabito,

per

ogni

^{B e} per

ogni

^funzione

f (x)

^{tale che}

gli integrali seguenti

^abbia-

no senso:

Notiamo inoltre che dalle

(2.21)

si deduce subito la :

3. ^- Diamo ora alcune definizioni e risultati relativi alle frontiere orientate di misura minima.

Conservando le notazioni introdotte in

[4],

consideriamo due insiemi

E,

^{L dello}

^spazio

^Rn

(con u h 2) ; supponiamo

^{che .E sia un} insieme di

Caccioppoli,

cioè abbia

perimetro P (.E ) finito,

^ed introduciamo tre funzioni della

coppia E,

^L di cui faremo uso nel

seguito.

Poniamo per definizione :

Diremo che l’insieme .E ha

frontiera

^{orientata di} misura minima su L

se risulta :

cioè :

Dalle

(3.1 )~ (3.3)

segue

immediatamente,

per

e

quindi,

essendo evidentemente :

se un insieme ha frontiera orientata di misura minima su .L’ ciò accade anche per

ogni

L CL’.

Dal teorema

II,

^{n° 3 di}

[4]

si deduce subito

che,

^se l’insieme L è

chiuso,

^{risulta :}

Un teorema di esistenza di insiemi aventi frontiera orientata di mis ura minima è il

seguente :

TEOREMA VIII. Dati in Rn un insieme di

Caccioppoli

^{E ed un insieme}

limitato L esiste un insieme di

Caccioppoli

^M

verificante

^le condizioni :

l’insieme M ha

frontiera

orientata di misura minimia su L.

I

seguenti

^teoremi

permettono

di caratterizzare il

comportamento

^delle

frontiere di area minima nell’intorno di un loro

punto.

TEOREMA IX

(7).

^{Dati in} R’n due insiemi di

Caccioppoli E,

^{F si} per

quasi

tutti i numeri

_positivi

o :

(~) ^Cfr.

[5],

pag. 5, ^{Teor. I.}

TEOREMA X.

(8)

^{.Dato un insieme di}

Caccioppoli

^{.E C Rn esiste un insie-}

me N C R di misura lineare

nulla,

^tale

che,

^se pt e, ^{r sono tre} numeri veri-

ficanti

^{le :}

si ha :

TEOREMA XI.

(9)

^{Sia E un insieme di}

Caccioppoli

^{di R?2 e siano r,} p, (2, q,

quattro

^numeri

veri, ficanti

^{le :}

risulta allora :

TEOREMA XII.

(1°)

^{Sia E un insieme di}

Caccioppoli

^{ed L un}

aperto

^di

Rn,

⁷ tali che risulti :

(8) ^cfr.

[5],

pag. 14, ^{Teor. V.}

(9) ^Cfr.

[5J,

pag. 15, ^{Teor VI.}

(1°) ^Cfr.

[5],

pag. 17, Teor. VII.

Sia e

^un

punto

^{interno ad L.}

Allora,

per

ogni

^numero

positivo

e minore della distanza

di ~

^{da Rn -}

L,

^{risulta :}

se

poi

^{oltre alla}

(3.13)

^{vale la :}

TEOREMA XIII.

(12)

^{Sia E un} insieme di

Caccioppoli

^di

Rn, (con n &#x3E; 2),

o ^{un numero}

positivo, $

^un

punto

^di

Rn ;

^siano

soddisfatte

^{le :}

ove o

(n)

^{è una costante}

dipendente

solo dalla dimensione n dello

spazio.

Risulta allora :

ed il vettore :

è una

funzione

continua in :

4. ^- Frontiera essenziale. Dato un insieme .E _C Rn diremo che un

punto

~

^{E Rn}

appartiene

^alla frontiera essenziale di

E,

^{se vale la}

seguente

relazione :

Osserviamo che nwn ^{è la} misura [n - 1)-dimensionale ^della frontiera della sfera unitaria di Bn .

(12) ^Cfr.

[5],

pag. 54, ^{Teor. V.}

Indicheremo con

%

^{.E la frontiera} essenziale di E.

Vale il

seguente

TEOREMA XIV. Se .E C Rn è un insieme di

Caccioppoli,

^{risulta : t}

DIMOSTRAZIONE. Cominciamo con il provare che :

Sia x un

punto

^{di Rn non}

appartenente

^ad

9g E;

^{esisterà allora un nu-}

mero p ^che verifica una delle due condizioni :

Nell’ipotesi (4.4)

per

ogni funzione g (x)

^{continua con le derivate} par- ziali

prime

^{in Rn ed il cui}

supporto

^sia contenuto in

Ae

^{risulta :}

e

quindi

per l’arbitrarietà

di g (x),

^{avremo :}

Ricordando la definizione di frontiera ridotta

(’3)

segne immediatamente ^la

(4.3).

In maniera

analoga

^si

procede nell’ipotesi (4.5).

Proviamo ^ora che :

Dato un

punto

^{x di Rn non}

appartenente

^ad

^F*

^E

possiamo

^{trovare un nu-}

mero e tale che :

(13) t;fr. (2.17), (2.18), (2.19).

.5. Annali della Scuola Norm. Sup. - ^Pisa.

allora,

^per

ogni g (x)

^{continua in R’~ con le sue derivate}

prime

^{ed a} sup-

porto

contenuto in

Ae (x)

avremo, ricordando ^le formule di Gauss-Green nella forma

(2.24) :

La

(4.10)

ci assicura

.E)

^{è in}

quasi

ovunque

uguale

^{ad una}

costante e

quindi

il teorema è dimostrato.

5. ^- Traslazione e dilatazione. Dato un vettore a E Rn indicheremo con ra la trasformazione

(traslazione)

^{che al}

generico punto

^{x E} Rn associa il

punto :

Dalle definizioni contenute in

[4], [5]

segue immediatamente ^{che se E} ha

perimetro finito,

ha pure

perimetro

finito l’insieme _7:a E.

Si verificano subito le relazioni :

Dato un numero e

&#x3E;

⁰ indicheremo

con b,

la trasfomazione

(dilatazione)

che al

generico punto

associa il

punto :

Si verificano subito le relazioni :

6. ^- Consideriamo ^un insieme di

Caccioppoli

^E

c Rn ;

diremo che un

punto

^{x E}

9g

^{E è un}

punto singolare

per la frontiera orientata di E se :

Dalle

(5.8), (5.9)

segue che, se x è

punto singolare

per la frontiera orientata di

E,

ra ^x è

punto singolare

per la frontiera orientata di _ra E.

Vogliamo

^ora dare delle condizioni necessarie

affinchè,

^{dato un insieme}

di

Caccioppoli

^{E C Rn ed un}

aperto

^{A c}

Rn,

l’intersezione E

n A contenga punti singolari.

Possiamo supporre ^{che uno di tali}

punti

^{coincida con l’ori-}

gine, ^poichè

^{in tal caso}

^possiamo

^sempre ricondurci mediante ^una trasla- zione.

Cominciamo con il provare i

seguenti

^lemmi.

LEMMA I. Dato un insieme di

Caccioppoli

^{.E C} R’n per

ogni

e risulta :

DIMOSTRAZIONE. Per il Teor.

V,

^{esiste una} successione di numeri po- sitivi

(gh)

verificante le :

Dalle

(6.3), (6.4)

^e dal Teor.

Il,

segue ^la

(6.2).

^c.v.d.

LEMMA Il. Sia E un insieme di

Caccioppoli,

^{A un}

aperto

di Rn conte- nente

l’origine

^{e sia :}

Sia ^una successione di numeri

positivi verificaute

la condizione :

Risulta

allora,

per

ogni

DIMUSTROZIONE. Cominciamo ^con l’osservare che _per

l’ipotesi

e per la

(5.13)

^{abbiamo :}

Essendo ed essendo

l’origine

interna ad

A, per h

^abbastanza

grande

^{avremo :}

(14) ^{Dire che una} proprietà è verificata per h abbastanza grande significa ^{che esiste}

un intero v tale che la proprietà ^è verificata per ogni h &#x3E; ^v.

Dalla

(6.9)

^{e dalla}

(6.8)

^e tenendo conto della

(3.14)

del Teor. XII si ha :

e

quindi

per ^il Lemma I segue :

da cui la

(6.7).

^c.v.d.

Dal Lemma

IL,

^{per il Teor.}

~v,

segue

LEMMA. II1. Sia _E un insieme di

Cacccioppoli

^{di A un}

aperto

^{di Rn}

contenente

l’origine

^{e sia :}

Sia ^una successione di numeri

positivi verificante

^la condizione :

Sia z

~&#x3E; 0 ;

esiste allora una successione

J

subordinata alla successione

J

tale che la successione di insiemi

converga ⁱⁿ media

(cioè

convergano in

Li

^le

rispettive

^funzioni

caratteristiche).

7. ^-

Vogliamo

^ora studiare le

proprietà

^del limite della successione

(6.12).

^A tale scopo supporremo, ^{in tutti i teoremi}

seguenti,

^{che E sia un}

insieme di

Caccioppoli,

^{A un}

aperto

^di

Rn, 1 Q , 1

^una successione di numeri

positivi

verificante la condizione :

sia inoltre :

Esista il limite L della successione cioè si abbia :

Snpporremo

inoltre che

l’origine

^{0 dello}

spazio

Rn verifichi la condizione :

Proviamo ora i

seguenti

^teoremi.

TEOREMA XV. _Dalla successione

può

^{estrarsi una} successione su-

bordinata tale

che,

per

quasi

tutti i numeri

positiroi

^{t T risulti :}

DIMOSTRAZIONE, Per le

(7.3) può

^{trovarsi una} successione subordinata

19’)

verificante le :

Integrando

per serie

(la

^{cosa è}

possibile

trattandosi di termini non nega-

tivi)

^si

ha : (15)

(15) ^{Per funzioni} reali estese non negative f (x), l’integrale ^{dx è definito dalle :}

se mis ,

se mis

ove si è posto :

Dalla

(7.9)

segue :

e

quindi

per

quasi

^{tutti i numeri t}

z,

Ne segue immediatamente ^la

(7.5).

Inoltre,

^dalla

(7.5)

segue pure per il Teor. IX:

Dalle

(7.3)

^e dal Teorema di semicontinuità segue

poi :

Tenendo conto della

(2.12),

si trova :

D’altra

parte,

^{per le}

(7.1), (7.4), (7.2),

^{si ha :}

Confrontando le

(7.14), (7.12), (7.15)

^e ricordando le

(3.4)

^e

(3.5),

^{si ha:}

Confrontando infine le

(7.12), (7.~.5)~ (7.16)

^{con le}

(3.4)

^e

(3.5)

^{si ottie-}

ne il teorema. c.v.d.

TEOREMA XVI. Nelle

ipotesi

ercunciate all’inizio del n.

7, l’origine

0 dello

spazio

^{Rn è}

punto singolare

^della

frontiera

orientata di

L,

^{9 cioé :}

DIMOSTRAZIONE. Per le

(3.16)

^e per la

(7.4),

^se è verificata la condizione :

deve essere :

ove ^a

(n)

^{è una} costante che

dipende

^solo dalla dimensione dello

spazio.

Dato ora un numero

positivo t --- t,

^{per le}

(7.1), (7.2)

^avremo:

per h

abbastanza

grande.

Dalle

(7.19)

si deduce

allora,

^sempre

^{per h}

abbastanza

grande :

Dalla

(7.21),

ricordando le

(7.5), (7.7)

del Teorema XV e la formula

(2.16),

si ricava :

per

quasi ogni t positivo

^r.

Dalle

(7.22)

segue subito ^la

(7.17); infatti,

^se

l’origine

^non

apparte-

nesse ad

9e E,

^{avremmo :}

se

l’origine appartenesse

^ad

9-*

^{E avremmo :}

c.v.d.

TEOREMA XVII. Nelle

ipotesi già

enunciate all’inizio del nO

7,

^{esiste un}

insieme N C R di misura lineare nulla tale

che, nell’ipotesi :

sia :

DIMOSTRAZIONE. Detto t un numero

positivo

tale che sia verificata la :

e

posto,

^per

per il Teor.

XI,

^avremo

che g (z)

^{è una funzione non} decrescente ^e

quindi

esiste il

Ricordando la

(7.7)

^{e la}

(5.15)

^{si trova :}

per

quasi

^{tutti i numeri}

positivi t

^T.

Dalla

(7.30)

^e dal Teor. X segue ^la

(7.26)

che dimostra il teorema. c.v,d.

La

(7.26)

ci assicura che L

è,

^{a meno} di insiemi di misura

nulla,

^l’in-

tersezione di un cono con vertice

nell’origine

^{e di una sfera} di centro nel-

l’origine ;

infatti .L è

equivalente

all’insieme L* ottenuto fissando un numero

Lo che verifica le

(7.25)

^e

ponendo :

per

per

Possiamo

perciò

concludere con il

seguente :

TEOREMA XVIII. rSe E è un insieme di

Caccioppoli

^di

Rn ,

9 A è un

aperto, $

^{è un}

punto

^di

R",

^{e sono}

verificate

^{le :}

allora esiste un insieme

L*,

intersezione di un cono con il vertice

nell’origine

e di una

sfera

di centro

nell’origi-rce

^{e di}

raggio positivo

z, tale

che,

per ^{t z} risulti :

ed inoltre

l’origine

^sia

punto singolare

per ^la

frontiera

^{orientata di}

L*,

^{cioè :}

In successivi lavori mostreremo come

questo

^teorema

permette

^{di esclu-}

dere,

^{in molti casi}

interessanti,

^la esistenza di

punti singolari

^{di frontiere}

orientate di misura minima.

BIBLIOGRAFIA

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