Electromagnétisme & Ondes -Interfaces- Licence de Physique

1

Electromagnétisme & Ondes -Interfaces- Licence de Physique

Sommaire

1. Rappel des équations de Maxwell dans les milieux et conditions aux interfaces,

2. Phénomène de propagation et caractéristiques de l’onde électromagnétique dans un milieu diélectrique non chargé.

3. Comportement de l’onde électromagnétique à l’interface de deux diélectriques (l.h.i).

4. Lois de Snell-Descartes, formules de Fresnel et leur interprétation 5. Aspects énergétiques à l’interface : comportement des coefficients de

transmittance et de réflexion.

6. Ondes évanescentes à travers des exemples exploités notamment en microscopie, effet Tunnel optique et effet Goos-Hanchen.

7. Comportement des ondes dans un conducteur et dans un plasma : phénomènes d’absorption et de dispersion ainsi que l’effet de peau.

A.Kassibakassiba@univ-lemans.fr,

2 Antenne téléphonie mobile

Guide d’ondes (micro-ondes)

Antenne pour génération d’onde à polarisation circulaire

Antenne TV numérique (Walles 2005)

Antenne à cornet pour bande X (10 Ghz)

Ondes Electromagnétiques: Génération, Réception

3

Rappels

A. Résultats d’électrostatique

-Une distribution de charges surfaciques sur une surface

finie crée en tout point de l’espace un potentiel électrostatique donné par : ⁼

∫∫

4 0

) 1

( S r

M dS

V σ

πε

-Une distribution de charges volumiques dans un volume fini crée

en tout point de l’espace un potentiel électrostatique donné par : ⁼

∫∫∫

) 0 (

4 ) 1 (

V r

M dV

V ρ

πε

-Potentiel électrostatique crée par un dipôle électrique : 3

4 0

) .

( r

r M p

V πε

r r

=

4

B. Caractéristiques d’un diélectrique polarisé

Densités de charges et de courants de polarisation

Un diélectrique polarisé comporte des dipôles électriques induits à l’échelle atomique ou moléculaire. Ces dipôles permettent de définir en tout point du diélectrique, la polarisation P(A)

r

qui est une grandeur macroscopique définie par :

dv p A d P

r r

= ) (

p d r

représente la somme des dipôles individuels contenus dans le volume dv autour de A.

A dv

xM

r

Diélectrique Polarisé

5

Exemple d’effets liés à la polarisation d’un milieu:

Phénomène Electro-optique

Exemple d’effets liés à la polarisation d’un milieu:

Phénomène Electro-optique

Changement de l’indice de réfraction d’un milieu sous l’action d’un champ électrique

=

Applications :

Commutateur optique, multiplexage de signaux,..

Modulation électrooptique Communications optiques

Faisceau transmis Polarisation verticale

Faisceau transmis Polarisation HORIZONTALE

6

ε

∆

Changement de permittivité diélectrique ≡Perturbation de l’indice de réfraction ∆n_ij

Static electrical fieldE Optical wave E^ω

(pulsation ω)

Origine Physique: Polarisabilité de la matière Origine Physique: Polarisabilité de la matière

>

<

= µ ^r r

N P

Pockels Term Kerr term [χ^(3)(-ω^;0,0,ω^)]

[χ^(2)(-ω^;0,ω^)]

{

+

=^P0 ε₀ [χ⁽¹⁾( ω;ω)]

P r

r E+

r ω

E E

r r

2 +...}

{

+

= µ⁰ ε₀ [α( ω;ω)]

µ^{r r} [β ^(-ω^;0,ω^)]E+^[γ ^(-ω^;0,0,ω^)]

r ω

E E

r r

2 +...}

7

Charges de polarisation

Le potentiel électrique crée par l’ensemble des dipôles contenus dans le diélectrique en un point extérieur M, est donné par :

r dv r A P r

r p M d

V

V V

∫∫∫

∫∫∫

=

) (

3 ) 0

( 3 0

).

( 4

. 1 4

) 1 (

r r r

r πε πε

En utilisant la relation d’analyse vectorielle :

grad r r P

P div r

div P 1

. )

(

r r r

−

=

et le théorème de Green Ostrogradsky,

∫∫

∫∫∫

S

dv E div S

d

E. .

) (

r r

r

le potentiel électrique crée par le diélectrique au point M est donné par :

r dv P dS div

r n M P

V

V

S

∫∫∫

∫∫ ⁻

=

) ( )

(

4

1 .

4 ) 1 (

r r r

πε πε

8 nr

vecteur unitaire normale à la surface du diélectrique

n P r r

= . σ

P div

− r ρ =

Tout se passe comme si

le diélectrique polarisé est porteur d’une densité de charge surfacique et de charges en volumes distribuées avec la densité volumique

Milieu Polarisé

9

Courants de polarisation

Lorsqu’un diélectrique est excité par un champ électrique variable, la polarisation induite va dépendre du temps et les charges liées peuvent présenter une excursion de part et d’autre de la surface du diélectrique.

Ces mouvements de charges liées peuvent être assimilés à des courants de polarisations dont l’intensité s’exprime par :

dS t n P dt

I dQ

S lié pol

r r

)

.

∫∫

^∂ _∂

=

=

denisté de courant dit de polarisation

t j

P

∂ ∂

= r r

Aire encerclée par le cycle d’hystérésis dans la représentation D-E

10

C. Matériaux aimantés

Origine microscopique de l’aimantation d’un milieu

Courants ampériens équivalents aux trajectoires électroniques au sein du matériau magnétique , l’aimantation étant perpendiculaire au plan de la feuille.

Matériau magnétique

C’est la structure électronique d’un atome qui conditionne ses propriétés magnétiques et celles du matériau

11

Propriété macroscopique d’un matériau ferromagnétique

Une substance est dite magnétique lorsqu’elle acquiert une aimantation macroscopique

sous l’action d’un champ magnétique extérieur. L’intensité de l’aimantation est définie par : dv m A d J

r r

= ) (

En présence de cette aimantation, le champ magnétique dans le milieu se compose du champ

magnétique appliqué et du champ magnétique résultant de l’aimantation et qui s’exprime par :

B

J r r

µ

=

On peut montrer que dans un milieu magnétique sollicité par un champ magnétique

variable, il existe des courants liés à l’aimantation dont la densité est définie par :

j

rot J r r

=

12

D. Conducteurs

Milieux à charges libres pouvant se déplacer sur des distances très grandes par rapport aux dimensions atomiques.

Bien que les charges liées existent les phénomènes de polarisation sont faibles .

Les courants d’aimantation sont aussi faibles à l’exception de matériaux ferromagnétiques.

La densité de courant est donnée par :

libre aim lié libre

tot

j j j j

j

r r r r

r = + + ≈

densité de charges libres :

ρ

= ρ

+ ρ

13

Neutralité électrique d’un conducteur

A la suite d’une excitation électrique, des fluctuations de la densité de charges peuvent se produire. L’équation de conservation de la charge électrique s’exprime par :

0 ) E ( t div )

E ( t div

t 0 j

div

libre libre

libre libre

= σ

∂ + ρ

=∂ σ

∂ + ρ

∂

∂ = ρ +∂

r r

r

Si on tient compte uniquement des charges libres (en supposant les phénomènes de polarisation faibles) alors :

0 t

0

e ) r ( ) t , r ( t 0

ε

−σ

ρ

= ρ

= ⇒ ε +σρ

∂ ρ

∂ r r

Si on considère un métal tel que le cuivre 10^{18 0} 0

0

→

≈ ⇒ ^−ε

σ

εσ ^t

e

La neutralité électrique d’un conducteur est toujours réalisée aux fréquences basses (Hors UV,X)

14

I.Lois générales de l’électromagnétisme dans les milieux

Nécessité d’une théorie du champ moyen

Ecrire les équations de Maxwell qui sont les formulations du champ électromagnétique dans un espace mésoscopiqueoù le champ est considéré comme uniforme.

A cette échelle, la matière est considérée comme ayant une répartition continue.

permettent de contourner cette difficulté.

( ) ^{D r , H r}

Or une description correcte d’un milieu polarisé ou aimanté nécessite de travailler à l’échelle atomique Ou moléculaire .

Problème: la matière est discontinue à ces échelles et le champ électromagnétique le sera aussi.

les champs intermédiaires

15 Rappels : Equations de Maxwell

( ) ^{E r , B r} ( ) ^{D r , H r}

Expriment des relations entre champs moyens uniformes dans un volume Mésoscopique en fonction des champs vrais et intérmédiaires:

et

.

Formulations locales reliant le champ électromagnétique à ses sources

a.Equation de Maxwell-Gauss ∫∫ =

) (

0 ) .(

. int S

Q S

S d

E

ε

r r

0

) tot

M ( E

div ε

=ρ r

lié libre

tot

= ρ + ρ

ρ

P

lié div

− r

=

ρ ρlibre =ρ₊+ρ₋

div ( ε

E r + P r ) = ρ

16

= D

r

P

0

E r r +

Vecteur déplacement électrique ou induction électrique :

ε

L’équation de Maxwell-Gauss est donc formulée dans

le cas général sous la forme :

div D r = ρ

Equation de Maxwell-Ampère (M-A)

Sa formulation intégrale découle du théorème d’Ampère exprimé en fonction du champ magnétique et en régime statique par:

∫ = µ

) C (

I d

. B l

r r

En régime variable, il faut considérer les courants de déplacements et si le milieu comporte aussi bien des densités liées au courant de conduction , de polarisation ou d’aimantation, la formulation locale de l’équation de M-A s’écrit :

t j E

B

rot

∂ µ ∂ ε + µ

=

r r

r

17

0 t ) j E

( div ) B rot (

div

=

∂ µ ∂ ε + µ

=

r r r

t 0 j

div

=

∂ ρ + ∂ r

Conséquence de l’équation M-A

permet d’établir l’équation deconservation de la charge:

. . aim lié libre

tot

j j j

j

r r r

r = + +

Avec

Conduction

Polarisation

Aimantation

L’équation de M-A peut être ré écrite sous la forme :

(

)

j t B J

rot _{libre 0}

0

r r r

r r

+

∂ ε +∂

=











 −

µ le vecteur excitation magnétique B J

H

0

r r

r −

=µ

t j D H

rot

∂ + ∂

= r r r

18

Equation de Maxwell-Flux (M-Flux)

Elle traduit la conservation du flux de

B r

0 B div r =

Valable quelque soit le milieu

Equation de Maxwell-Faraday (M-F)

Découle de la relation de Faraday à la base de l’induction électromagnétique

dt d d

. E

e

) C (

eur electromot induit

. m . e . f

− Φ

=

= ∫ l

r r

L’utilisation du théorème de Stokes et la permutation de la dérivation temporelle et l’intégration spatiale ( valable lorsque que Surface et Contour sont fixes dans un repère galiléen) permet de déduire l’équation de M-F s’écrit :

t E B

rot ∂

− ∂

=

r r

19

( )

) H , D (

r r

0 B div r =

libre

D div r = ρ

t E B

rot ∂

− ∂

= r r

t j D

H

rot

∂ + ∂

= r r r

Equations intrinsèques

Equations dépendantes du milieu

M-Flux

M-G M-F

M-A

Récapitulatifs des Equations de Maxwell

20

2- Caractéristiques des milieux - Retour sur les champs intermédiaires

= D

r

P

0E r r+ ε

B J H

0

r r

r −

= µ

E j

j

r r

r = = σ

Dans un milieu polarisé, le vecteur induction électrique est

Dans un milieu aimanté, le vecteur excitation magnétique est Dans un milieu possédant des charges libres, la densité de courant est donnée par la loi d’Ohm locale :

Avec une conductivité réelle dans un domaine de fréquence

<10¹⁴Hz pour un bon conducteur.

21

b- Cas particulier : milieux (conducteurs, polarisé ou aimantés) homogènes, linéaires et isotropes

Linéarité : exprime des relations de causalité linéaires, en d’autres termes que les effets (polarisation, aimantation, conductivité) sont proportionnels aux excitations (électrique, magnétique, électrique).

Conduction E

j

n Aimantatio H

J

on Polarisati E

P

m e

: :

0 : r r

r r

r r

σ χ

χ ε

=

=

=

m e,χ

χ

σ

Isotropie: les grandeurs de proportionnalité et

représentant respectivement la susceptibilité électrique, magnétique et la conductivité sont des grandeurs non tensorielles. Les propriétés du milieu sont les mêmes dans toutes les directions de l’espace. Il n’y a pas de directions privilégiée.

Homogénéité: Les propriétés sont les mêmes en tout point du milieu.

Il n’y a pas de régions privilégiées.

22

3. Conditions aux limites – Equations aux interfaces

Milieu 1

Milieu 2

Etablir les relations de passage pour le champ électromagnétique (champ vrais et intermédiaires) à la traversée d’une surface de séparation de deux milieux linéaires homogènes et isotropes

4 équations de passage déduites à partir de l’intégration des quatre équations de Maxwell

23

A- Intégration des équations (intrinsèques) de Maxwell Maxwell-Faraday (M-F) : l’opération d’intégration sur la surface délimitée par le parcours(Γ)

∫  →

∫ =−

∂ ⇒

∫∫ ∂

−

=

∫∫

− →

Γ Γ

Γ

n

n n X

X

0 X )

( )

S ( )

S (

0 dx

. dt B .d d l d . E S d t. S B

d . E

rot l

r r r r

r r

On en déduit la première relation de continuité indépendamment de la nature des deux milieux :

2 T 1

T

E

E r

r =

Conservation de la composante tangentielle des champs électriques à la traversée de deux milieux.

0 B div r =

) ( Σ

2 N 1

N

B

B r r =

Maxwell-Flux

l’intégration de l’équation intrinsèque

sur le volume délimitée par la surface fermée donne

Conservation de la composante normale du champ magnétique à la traversée des deux milieux

24

B- Intégration des équations de Maxwell MG et MA Composante normale de l’induction électrique

Intégration de l’équation M-G sur le volume délimité par la surface

( Σ ) dv

dv D

div ∫∫∫

∫∫∫ ^{r = ρ}

Σ = Σ − = −

∫∫

∫

X

X libre

X

n

n n

r r r r

r

).

( lim

. 2 1

) (

2 /

2

0 /

ρ

12 libre 1

N 2

N

D n

D r r r

σ

=

−

nr12

normale locale à l’interface orientée dans le sens milieu (1) >>(2).

libre 0

libre

= Lim

X ρ

σ

Densité de charges libres à l’interface entre les deux milieux

25

C. Composante tangentielle de l’excitation magnétique

Intégration de l’équation M-A sur la surface délimitée par le parcours

( Γ )

S d j S

d H

rot

S

r r r

r

.

. ∫∫

∫∫

Γ

=

qui peut s’écrire aussi sous la forme :

dx j

n l

l d

H

Xn libre

X_n

∫

∫

Γ

∧

=

2 / 12 ) 0

(

lim . .

r r r r

12 s

1 T 2

T

H j n

H r r r r

∧

=

−

X j lim

j

0 s X

r r

=

densité de courants superficielle.

26

Chap. II- Structure de l’onde plane

dans le vide et dans les milieux diélectriques non chargés

1.Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique non chargé

0 B div r =

0 E div r =

t E B

rot ∂

−∂

= r r

t B E

rot ₀

∂ εµ ∂

= r r

M-Flux M-G M-F M-A

2. Equation de propagation

= ⇒

∂

− ∂

∆ 0

t E v

E 1

2 2

r r r

= ⇒

∂

− ∂

∆ 0

t B v

B 1

2 2

r r

r

v c

= ε

3- Solution en ondes planes

Lorsqu’on se place suffisamment loin des sources, on peut chercher comme solutions pour les équations de propagation des solutions sous la forme d’ondes planes définies par :



 



 + +



 



 −

= v

r . t u g v E

r . t u f E ) t , r (

E _{01 02}

r r r

r r r

r r

27

 

 



 − v

r . t u

r r

I

E

r

représente le terme de propagation

sont indépendants du temps et des variables d’espace.

 

 



 −

= v

r . t u f E ) t , r (

E

r r r

r r

Onde plane progressive OPP:

Plans d’onde

Vecteur d’onde

28

4. Onde plane progressive monochromatique OPPM

( ^{ω − + φ} )

= E cos t k . r )

t , r (

E r r r

r r

φ ω , k ,

r

représentent respectivement la pulsation, le vecteur d’onde et la phase à l’origine.

Λ π λ =

= π

π π=

= ω

2 2 u k

N T 2 2 r r

N , T

ω ,

Λ

= λ vT, , k

r caractérisent la source et le milieu

( vecteur d’onde (pulsation spatiale), période spatiale, fréquence spatiale) .

29

5. Structure de l’onde OPPM

a- Transversalité de l’OPPM dans un milieu l.h.i

) r . k t ( j 0

e E ) t , r (

E

r

r r

−

=

( E )

ℜ r

) r . k t ( j 0

e B ) t , r ( B

rr

r r

r =

opérateurs jω t =

∂

∂

j k

r r

−

=

∇

et

Equations de Maxwell dans le vide ou dans un diélectrique non chargé :

E B

k B

E k

0 B . k 0

E . k

0

r r

v r r r

r r r

r

ω εµ

−

=

∧ ω

=

∧

=

=

C’est donc une onde transversale électromagnétique TEM valable dans un milieu h.l.i

30

b- Polarisation de l’OPPM

Considérons le cas d’une onde qui se propage dans la direction de l’axe Oz :

) kz t cos(

E ) t , r ( E

) kz t cos(

E ) t , r ( E

y 0 y

0 y

x 0 x

0 x

φ +

− ω

=

φ +

− ω r =

r

x 0 y

0 −φ

φ

=

φ E0x,E0y

Selon le déphasage et les valeurs de

on peut avoir différents polarisations :

x 0 y

0 −φ

φ

=

φ

0 , π

x 0 y

0 −φ

φ

=

φ 2

±π

y 0 x

0 E

E =

Rectiligne si =

Circulaire si ⁼

On parlera de polarisation circulaire droite (+) si en regardant la lumière venant vers nous, l’extrémité de son champ électrique tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. Et inversement pour la polarisation circulaire gauche (-).

31

y 0 x

0,E

E φ=φ0y−φ0x

Elliptique (cas général) quelconques et aussi.

C’est une situation courante et analogue aux courbes de lissajous obtenus en électronique.

Les composantes du champ électrique sont liées par une équation de type équation d’une ellipse :

c-Impédance d’onde pour un diélectrique l.h.i non chargé

ε

= µ µ εµ

= µ

=

= ⁰

0 0 0

1 B E H Z E

Ω

=

− =

−

A V m . A

m . V

1 1

L’impédance du vide est Z0= 377Ωet varie comme n

Z=Z⁰ pour un diélectrique d’indice de réfraction n.

32

Télédétection par hyperfréquences Polarimétrie

Exemple: Emission Radar en polarisations horizontales (noir) et verticales (rouge) d'une onde électromagnétique.

L’onde rétrodiffusée peut avoir différentes polarisations.

Polarimétrie radar: technique d'analyse de la combinaison des polarisations de l’onde rétrodiffusée

HH - transmission et réception horizontales VV - transmission et réception verticales

HV - transmission horizontale et réception verticale, et VH - transmission verticale et réception horizontale.

Différents modes d’émission réception radar

http://ccrs.nrcan.gc.ca/resource/tutor/fundam/chapter3/08_f.php

Polarisation parallèle

Polarisation croisée

33

Exemple d'accentuation de différents éléments d'une zone agricole à l'aide de diverses polarisations (HH, VV, HV et composé couleur).

34

Energie électromagnétique

a- Densité d’énergie électromagnétique

L’onde électromagnétique transporte de l’énergie qui se manifeste par son action sur des charges

Il ya propagation de l’Onde et de l’énergie associée En présence de charges, le champ électromagnétique cède de l’énergie aux

charges, quantité qui s’exprime par la relation de Joule locale :

j

E r r

.

.

L’équation de Maxwell-Ampère

t E E E j E B rot

t j E B rot

libre ibre

∂ + ∂

=

∂ + ∂

=

r r r r r r

r r r

. . ).

( _{0 0}

0 0

εµ µ

εµ µ

D’après la relation de l’analyse vectorielle : div A B BrotA ArotB r r r r r r

. .

)

( ∧ = −

) ( .

) ( .

. div E B

t B B B E div E rot B B rot E

r r r

r r r r r r

r − ∧

∂

− ∂

=

∧

−

=

0 . )

(

. . .

) (

2 2

0 0

=

+





 +

∂ +∂

∧

⇒

∂ + ∂

∂ =

− ∂

∧

−

E E j B E B

div

t E E E t j

B B B E

div libre

r r r

r

r r r r

r r r r

µ ε µ

εµ µ

Ou encore

35

H E

r r r

∧

= Π



 



 +

= 2

. 2

.H ED

u B

r r r r

E j r r .

Le vecteur de Poynting

La densité d’énergie électromagnétique :

La puissance volumique communiquée aux charges libres :

Signification de l’équation locale pour l’énergie On considère un volume (V) où règne un champ

électromagnétique, (V) est entouré par une surface fermée (S) .

(V) (S)

L’intégration de l’équation locale sur ce volume :

dt dv d E j S

d _V

S

− ξ

= +∫∫∫

∫∫ Πr r r r

.

. _{( )}

) (

La diminution de l’énergie électromagnétique dans (V) résulte du flux du vecteur de Poynting à travers (S) et de l’énergie communiquée aux charges libres dans (V).

∫∫(_S)Π.dS r r

puissance électromagnétique qui émane du volume (V).

36

∫ ∧

=

Π ^Trép

rep

Trep E Hdt

T1 ⁰ r r. r

+ ∫

= ∫ ^Trép

rep Trép

rep

Trep HBdt

dt T D E

u T 0 0 .

2 . . 1

2 . 1

r r r

r

(

)

2

1 E H

r r r

∧ ℜ

= Π

( ^{. . *} )

4

1

H B D E u

r r r

r +

ℜ

=

Vecteur de Poynting moyen

Tout détecteur utilisé pour quantifier la puissance électromagnétique possède un temps de réponse Trep. Le résultat est donc une moyenne sur Trep:

densité d’énergie moyenne

en utilisant la notation complexe (* représente le complexe conjugué) .

qui représente l’intensité de l’onde ou la puissance par unité de surface

v u dt S d . v u dt S d .

dξ=Π = ⇒ =Π

r r r

r r r

Vitesse de propagation de l’énergie

Dans un volume de base dS et sans dissipation , la variation de l’énergie pendant dt est:

Vitesse de propagation de l’énergie

37 Cas particuliers:

1. Vitesse de propagation de l’énergie pour une OPPM

phase k k

k

v u Z u

v

E H E

u

u Z E H E

r r r

r

r r r r

=

=

=

= +

=

=

∧

= Π

0

2 2 0 2

2

1 1

2 2

1

εµ ε

µ ε ε

2. Cas de superposition d’ondes

Exemple : onde stationnaire = résultats de la superposition de deux ondes de mêmes caractéristiques à l’exception des vecteurs de propagation de sens contraire.

La valeur moyenne du vecteur de Poynting doit être calculée à partir des champs résultants et non à partir des vecteurs de Poynting associés à chaque onde.

38

ChapIII- Réflexion et Réfraction des ondes électromagnétiques OPPM sur la surface de séparation entre deux diélectriques l.h.i non chargés On part d’un acquis (1) et on montrera les points (2) et (3)

0 j

; 0

;

0

r r =

= σ

= ρ

E

r H

r

B r

D r

1. Conditions à l’interface entre deux milieux diélectriques l.h.i et non chargés

Continuité des composantes tangentielles de et Continuité des composantes normales de et

2. Lois de Snell-Descartes

Déjà utilisées en optique géométrique, elles se déduisent naturellement des équations de Maxwell.

3. Formules de Fresnel et leur discussion ainsi

que les aspects énergétiques

39

A)Lois de Descartes

Référentiel Oxyz + une onde incidente qui tombe sur la surface de séparation entre deux milieux (1) et (2).

z i y i i i

i

, k r , u r u r u r

γ + β

= ω

z r y r x r r r

r,kr ,ur ur ur ur

γ + β + α

= ω

z t y t x t t t

t,kr ,ur ur ur ur

γ + β + α

= ω

(

)

j t 0 , r 0 , i 0 t , r , i

t , r , i t , r ,

e

E E

r r

r

r =

( ) ( ) ^j( ^{t k.r})

t 0 r . k t j r 0 r . k t j i 0

t t ) T ( r r ) T ( i i ) T

(

e E e E e

E

r r r r

r r

r r

r

+

=

( ) ( ) j( t k x k y)

t 0 y B k x k t j r 0 y k t j i 0

t t t t t ) T ( r

r r r r ) T ( i

i i ) T

(

e E e E e

E r

+ r

= r

x k y k t x k y k t y k

t

i

− β = ω − β − α = ω − β − α

ω

Grandeurs caractéristiques de l’OPPM incidente :

Grandeurs équivalentes pour l’onde réfléchie et transmise :

Les champs correspondants :

Condition de continuité de la composante tangentielle du champ électrique en z=0 s’écrit :

Cette égalité est possible si les trois arguments sont égaux :

Relation valable à tout instant et en tout point du plan Oxy.

k E

B 1

2

40

t r

i

= ω = ω

ω

t

0

r

= α =

α

t t r r i

i

k k

k β = β = β

r

i

= β

β

t t i

isin k sin

k θ = θ

θ

= θ

Conclusion 1 :

conservation de la pulsation de l’onde incidente

Le plan d’incidence (défini par le vecteur d’onde incident et la normale locale à la surface), de réflexion et de transmission sont confondus en un plan unique.

Ceci constitue la première loi de Descartes : Le rayon incident (k_i) et la normale locale à l’interface (Oz) définissent le plan d’incidence qui contient aussi le rayon réfléchi (kr) et transmis (kt).

Equivalent à la loi de Descartes (loi des sinus pour la réfraction) : Conclusion 3 :

Conclusion 2 :

k E

B 1

2

41

Ei

r

⊥

⊥

, t r

y z

Ei ki

θi θ_r kr

kt θt

B) Formules de Fresnel pour une onde OPPMR

•Coefficients de Fresnel pour la réflexion et la transmission en fonction de la polarisation de l’onde.

•Aspects énergétiques accompagnant le phénomène de réflexion et de transmission.

Champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence Composantes des vecteurs d’ondes

) cos , sin , 0 ( );

cos , sin , 0 ( );

cos , sin , 0

( _{i i r i i i t t t t}

i

i k k k k k

kr = θ − θ r = θ θ r = θ − θ

La continuité des composantes tangentielles (à l’interface) du champ

E

r

ot or

oi E E

E + =

La continuité des composantes tangentielles de B:

0 t z r

i

B B

B r + r = r

Les champs magnétiques s’expriment sous la forme :

ω

=

∧

t , r , i

E B k

r r r

42

Les champs électriques sont orientés dans la direction Ox :

) u sin u (cos k e

E u e E ) u cos u k (sin

Br_i ⁱ _ir_{y i}r_{z 0i} ^{j( t k}r^i.rr⁾r_{x 0i} ^{i j( tk}r^i.rr⁾ _ir_{y i}r_z θ + ω θ

−

=

∧ θ

− ω θ

= ^{ω− ω−}

) u sin u (cos k e

E u e E ) u cos u k (sin

Br_r ⁱ _ir_{y i}r_{z 0r} ^{j( tk}r^r.rr⁾r_{x 0r} ^{i j( tk}r^r.rr⁾ _ir_{y i}r_z θ

− ω θ

=

∧ θ + ω θ

= ^{ω− ω−}

) u sin u (cos k e

E u e E ) u cos u k (sin

Br_t ^t _tr_{y t}r_{z 0t} ^{j( tk}r^t.rr⁾r_{x 0t} ^{t j(t k}r^t.rr⁾ _tr_{y t}r_z θ + ω θ

−

=

∧ θ

− ω θ

= ^{ω− ω−}

En projetant selon Oy (direction tangentielle) :

t t

0 t i r

0 i i i

0

i

E cos k E cos k E cos

k θ − θ = θ

ot or

oi

E E

E + =

Avec

les coefficient de réflexion et de transmission :

t 1 2 i

i oi

ot

k cos cos k

cos 2 E

t E

θ +

θ

= θ

⊥ =

Avec la relation du sinus kisinθi =ktsinθt

) sin(

sin cos t 2

t i

t i

θ + θ

θ

= θ

⊥

) sin(

) sin(

0 0

t i

t i i

r

E r E

θ θ

θ θ

+

− −

=

⊥

=

43

2 . Discussion des formules de Fresnel

Les coefficients de réflexion et de transmission s’expriment uniquement en fonction de

θ

Comportement de pour une incidence proche de la normale Cas : n1<n2

2 1

1 2

1 2

1

2

n n t n n et

n n r n

= + +

= −

⊥

r

t

Problème de déphasage

est négatif pour tout angle d’incidence. Ceci entraîne un déphasage du champ réfléchi par rapport au champ incident (retournement du champ à l’interface).

étant positif , il n’y a pas de déphasage entre le champ incident et le champ transmis.

⊥

⊥

, t r

⊥

⊥

, t r

44

1 2 c

c n

sin n

/ θ =

θ

Cas : n1 > n2 :La relation de sinus indique l’existence d’un angle limite d’incidence

Au delà de l’angle limite il y a réflexion totale.

La transition entre réflexion+transmission à réflexion pure s’effectue sans discontinuité (voir une expérience avec réflexion interne par un prisme). Or l’absence de transmission remet en cause les relations de passages aux interfaces.

On re-formule le coefficient de réflexion :

2 1

i 2 2 i 2 t i

2 1

i 2 2 i 2 t i

i 0 r 0

n sin cos n

n sin cos n

E r E











 − θ

+ θ











 − θ

− θ

=

⊥=

avec

i t i c i i

t

c n

sin n

; 2 n

sinθ =n π>θ >θ ⇒ θ >

.

Le champ électrique de l’onde transmise:

) r . k t ( j ot t

e

E E

r r

r

r =

) cos , sin , 0 ( k

k_t= _t θ_t − θ_t r

i t i t t

t sin

n k n sin

k  θ







=  θ et

1 n sin

jk n n sin

1 n k sin 1 k cos

k ² _i

2 i t i 2 2 i t t 2 t t

t  θ −







± 

=

 θ







−

= θ

−

= θ

Le coefficient de réflexion devient dans ce cas complexe