Université de Cergy-Pontoise - Licence L3-S6 - année universitaire 2013-2014 Examen - Analyse Complexe - Session 2 (23 juin 2014)
Durée : 2h00 - Ni documents ni calculatrices/smartphones/tablettes ne sont autorisés.
Question de cours
Soit f :C→C une fonction holomorphe sur C\ {z0} qui admet en z0 ∈Cun pôle simple. Montrer que le résidu de f en z0 est donné par la formule :Resz0(f) = limz→z0(z−z0)f(z).
Exercice I
Soita:R→Retb:R→Rdeux fonctions dérivables sur R.
Pour z=x+iy∈C avec(x, y)∈R2, on posef(z) =a(x) cos(y) +ib(x) sin(y). 1. SoientP =Re(f)etQ=Im(f). Donner l'expression des dérivées partielles ∂P
∂x,∂P
∂y, ∂Q
∂x, ∂Q
∂y à l'aide des dérivées des fonctionsaetb.
2. Supposons dorénavant que pour tout x∈Ron a :
a0(x) =b(x) b0(x) =a(x) (∗) (a) Montrer quef est holomorphe surC.
(b) Montrer quea vérie une équation diérentielle d'ordre 2 qu'on résoudra.
(c) En déduire que f est alors de la forme ∀z∈C, f(z) =Aez+Be−z avec (A, B)∈R2. (Indication : résoudre le système(∗))
Exercice II
SoitD={z∈C| |z|<1}le disque unité.
1. Quel est le rayon de convergence de la série entière
+∞
X
n=0
1
n+ 1zn+1? On note F(z) la somme de cette série entière.
2. Étudier la convergence de la série dans les pointsz=±1.
Question bonus : Étudier le comportement de la série sur tout le cercle de convergence.
3. Montrer queF vérie : ∀z∈D, F0(z) = 1
1−z etF(0) = 0. 4. Pourz∈D, on poseφ(z) = (1−z)eF(z).
(a) Calculerφ0(z) pourz∈D.
(b) En déduire que pour toutz∈D,eF(z) = 1 1−z. Exercice III
Pour α >0, on dénit la fonctionf parf(z) = eiz z2+α2.
1. Trouver les zéros du numérateur et du dénominateur de cette fraction. En déduire les singularités de la fonction f et préciser leur nature (apparentes, pôles (et de quel ordre) ou bien essentielles).
2. Calculer les résidus de la fonction f au voisinage de ses pôles éventuels.
(Indication : on pourrait utiliser la "Question de cours")
3. PourR > α, soitCR+={z∈C | |z|=R etIm(z)>0}, à savoir le demi-cercle supérieur de centre0et de rayonR, et soitγRle lacet constitué du segment réel[−R, R]suivi deCR+parcouru une fois dans le sens trigonométrique direct (faire un dessin). Montrer que pour toutR > αon a :I
γR
f(z)dz = πe−α α . 4. Montrer que si z ∈ CR+ avec R > α, alors on a |f(z)| ≤ 1
R2−α2, et ensuite que l'on a, pour tout R > α,
Z
CR+
f(z)dz
≤ πR R2−α2. 5. En déduire que lim
R→+∞
I
γR
f(z)dz = Z +∞
−∞
f(x)dx. 6. Conclure, en trouvant la valeur de I =
Z +∞
−∞
eix
x2+α2dx, puis deJ = Z +∞
−∞
cosx x2+α2dx.
