A.P.M.E.P.
Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie \ 5 mars 2015
EXERCICE1 5 points
Commun à tous les candidats
Le plan est rapporté à un repère orthogonal³ O,−→
ı ,→−
´ . Soitaun nombre réel strictement positif.
On note∆ala droite d’équation y=axetΓla courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal³
O,→− ı,−→
´ .
Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d’intersection deΓet∆asuivant les valeurs de a.
Pour cela. on considère la fonctionfadéfinie pour tout nombre réelxpar fa(x)=ex−ax.
On admet pour tout réelaque la fonctionfaest dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels.
1. Étude du cas particulier a=2
La fonctionf2est donc définie pour toutxréel parf2(x)=ex−2x.
a. Étudier les variations de la fonction f2surRet dresser son tableau de variations surR(on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition.
b. En déduire queΓet∆2n’ont pas de point d’intersection.
2. Étude du cas général oùaest un réel strictement positif a. Déterminer les limites de la fonctionfaen+∞et en−∞.
b. Étudier les variations de la fonction fasurR. Montrer alors que le minimum surRde la fonction faesta−alna.
c. Étudier le signe dea−alnasuivant les valeurs du nombre réel strictement positifa.
d. Déterminer selon les valeurs du réelale nombre de points communs àΓet∆a.
EXERCICE2 5 points
Commun à tous les candidats
Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles.
À la sortie de fabrication, 5 % d’entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients.
On dit qu’une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1 000 heures. On observe que 2 % des puces livrées ont une durée de vie courte.
On noteLl’évènement « La puce est livrée ».
On note C l’évènement « La puce a une durée de vie courte c’est-à-dire inférieure ou égale à 1 000 heures ».
Étant donné deux évènementsAetB, on notePA(B) la probabilité conditionnelle de l’évènementBsachant que l’évènementAest réalisé.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
1. On tire au hasard une puce fabriquée par l’entreprise.
a. Donner la valeurPL(C).
b. Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1 000 heures ?
c. Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ?
Dans la suite de l’exercice on s’intéresse seulement aux puces livrées aux clients.
2. On appelleX la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d’une telle puce.
On suppose queXsuit une loi exponentielle de paramètreλ.
a. Montrer queλ=−ln(0,98) 1000 .
b. Calculer la probabilité qu’une puce ait une durée de vie supérieure à 10 000 heures. On arrondira le résultat à 10−3près.
c. CalculerP(200006X630000). On arrondira le résultat à 10−3près. Interpréter ce résultat.
3. Les ingénieurs de l’entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu’avec ce nouveau procédé la probabilité qu’une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à 0,003.
On prélève au hasard 15 000 puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de 15 000 puces revient à effectuer un tirage avec remise de 15 000 puces parmi l’ensemble de toutes les puces élec- troniques produites par l’entreprise et prêtes à être livrées.
On appelleY la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échan- tillon.
a. Justifier queY suit une loi binomiale de paramètresn=15000 et p=0,003.
b. Calculer l’espérance de la variable aléatoireY. c. Calculer, à 10−3près, la probabilitéP(406Y 650).
EXERCICE3 5 points
Commun à tous les candidats
L’espace est rapporté au repère orthonormé³ O,−→
ı,−→
,−→ k´
. On désigne parRl’ensemble des nombres réels.
On rappelle que deux droites de l’espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Soient le pointA1de coordonnées (0 ; 2 ;−1) et le vecteur−→
u1de coordonnées
1 2 3
. On appelleD1la droite passant parA1et de vecteur directeur−→
u1. On appelleD2la droite qui admet pour représentation paramétrique
x = 1+k
y = −2k
z = 2
(k∈R).
Le but de l’exercice est de prouver l’existence d’une droite perpendiculaire à la fois àD1etD2. 1. a. Donner une représentation paramétrique deD1.
b. Donner un vecteur directeur deD2
³on le notera−→
u2
´. c. Le pointA2(−1 ; 4 ; 2) appartient-il àD2?
Nouvelle-Calédonie 2 5 mars 2015
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
2. Démontrer que les droitesD1etD2sont non coplanaires.
3. Soit le vecteur→− v
−6
−3 4
. On définit la droite∆1passant parA1et de vecteur directeur−→
v et la droite∆2
passant parA2et parallèle à∆1.
Justifier que les droitesD1et∆1sont perpendiculaires.
Dans la suite, on admettra que les droitesD2et∆2sont perpendiculaires.
4. SoitP1le plan défini par les droitesD1et∆1etP2le plan défini par les droitesD2et∆2. a. Soit le vecteur→−
n
17
−22 9
. Vérifier que−→
n est un vecteur normal au planP1. b. Montrer queP1etP2ne sont pas parallèles.
5. Soit∆la droite d’intersection des plansP1etP2. On admettra que le vecteur→−
v est un vecteur direc- teur de∆.
Utiliser les questions précédentes pour prouver qu’il existe une droite de l’espace perpendiculaire à la fois àD1et àD2.
EXERCICE4 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On note (un) et (vn) les suites réelles définies, pour tout entier natureln, par
u0=1v0=0 et
½ un+1 = p
3un−vn
vn+1 = un+p 3vn . 1. Calculer les valeurs deu1,v1,u2,v2.
2. On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs deuN etvN pour un entier naturelN donné.
a. On donne l’algorithme suivant :
Entrée : Nest un nombre entier Variables : Kest un nombre entier
Sest un nombre réel Test un nombre réel Initialisation : Affecter 1 àS
Affecter 0 àT Affecter 0 àK Traitement : Tant queK<N
Affecterp
3S−T àS AffecterS+p
3T àT AffecterK+1 àK Fin Tant que
Sortie : AfficherS AfficherT
Faire fonctionner cet algorithme pourN=2. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous :
S T K
1 0 0
p3 p
3 1
Nouvelle-Calédonie 3 5 mars 2015
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
b. L’algorithme précédent affiche t-il les valeurs deuN etvNpour un entierNdonné ?
Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l’algorithme proposé qui affiche bien les valeurs deuN etvNpour un entierN.
3. On pose, pour tout entier natureln,zn=un+ivn. On noteale nombre complexea=p
3+i.
a. Démontrer que, pour tout entier natureln,
zn+1=azn.
b. Écrireasous forme exponentielle.
c. En déduire que, pour tout entier natureln,
un = 2ncos³nπ 6
´
vn = 2nsin³nπ 6
´
Nouvelle-Calédonie 4 5 mars 2015
