Master 2 Agr´egation, Math´ematiques, Universit´e de Nice Sophia-Antipolis, UE5 - 3 - Espaces Lp. Exercice 1 (In´egalit´es de H¨older et de Minkowski)

Master 2 Agr´egation, Math´ematiques, Universit´e de Nice Sophia-Antipolis, UE5 - 3 - Espaces L^p.

Exercice 1 (In´egalit´es de H¨older et de Minkowski)

On fixe un ouvert Ω de ^RN. Pour tout p∈[1,+∞],on note

L^p(Ω) ={f : Ω→^R, f mesurable, kfk_p <∞},

o`ukfkp = (^R_Ω|f(x)|^pdx)^1/p pour p <+∞, et kfk^∞ = inf{C >0, pp x∈Ω, |f(x)| ≤ C}, avec inf∅= +∞.

On note L^p(Ω) l’ensemble quotient de L^p(Ω) par la relation d’´equivalence d’´egalit´e presque partout (pour cette relation, f ∼ g si et seulement si {x ∈ Ω, f(x) 6= g(x)} est de mesure de Lebesgue nulle).

Montrer les r´esultats suivants.

Th´eor`eme, In´egalit´e de H¨older : Soient p, q ∈ [1,+∞] deux exposants conjugu´es (i.e. 1/p+ 1/q= 1). Alors, pour toutes fonctions mesurables f, g : Ω→^R, nous avons

kf gk₁≤ kfk_pkgk_q.

Th´eor`eme, In´egalit´e de Minkowski : Soit p∈[1,+∞] etf, g ∈ L^p(Ω). Alors, f+g ∈ L^p(Ω) et kf +gk_p ≤ kfk_p+kgk_p.

Corollaire : Pour toutp∈[1,+∞], (L^p(Ω),k kp) est un espace vectoriel norm´e.

In´egalit´e de H¨older g´en´eralis´ee : Soient pi ∈ [1,+∞] des exposants avec 1 ≤ i ≤ k tels que 1/p= 1/p1+· · ·+ 1/pk≤1. Alors, pour toutes fonctions fi ∈L^pi(Ω), nous avonsf =f1· · ·fk∈ L^p(Ω) et

kfk_p ≤ kf₁k_p1· · · kf_kk_pk.

Exercice 2 (Compl´etude des espaces L^p) 1) Montrer le r´esultats suivant :

Th´eor`eme de Riesz-Fischer : Pour tout ouvert Ω de ^RN et pour tout p ∈ [1,+∞], L^p(Ω) est un espace de Banach.

2) Remarquer que la preuve du th´eor`eme pr´ec´edent montre la r´eciproque partielle du th´eor`eme de Lebesgue suivante :

Sifn →f dans L^p(Ω), alors il existe une sous-suite (fϕ(n)) qui converge pp vers f et il existe une fonction h∈L^p(Ω) telle que pp x∈Ω,∀n ∈^N, on a |f_ϕ(n)(x)| ≤h(x).

Exercice 3 (Inclusions et interpolation)

En g´en´eral, il n’y a pas d’inclusion, mais citons deux exceptions notables :

1) Si l’espace Ω est de mesure finie, les espaces L^p(Ω) sont d´ecroissants avec p, ie p ≥ q ⇒ L^p(Ω) ⊂L^q(Ω).

2) Le cas des “espaces discrets” ℓ^p(^N, µ) (o`u µ est la mesure de comptage sur P(<sup>N</sup>)) est `a l’oppos´e : ils sont croissants avec p, ie p≤q ⇒ ℓ^p(^N)⊂ℓ^q(^N).

3) Montrer le ph´enom`ene d’interpolation des espaces L^p suivant :

Th´eor`eme, In´egalit´e d’interpolation : Soient 1≤p≤q≤ ∞etf ∈L^p(Ω)∩L^q(Ω).Alors, pour tout r ∈[p, q],f ∈L^r(Ω) et

kfk_r ≤ kfk^α_p kfk¹_q^−α, o`u 1 r = α

p + 1−α

q , 0≤α ≤1.

4) Soitf ∈L^∞([a, b]). Montrer quef ∈L^p([a, b]) pour tout 1≤p≤+∞et quekfkp →

p→+∞kfk^∞.

5) Soitf ∈L^∞(^R)∩L^p0(^R) avecp0 <+∞. Montrer quef ∈L^p([a, b]) pour toutp0 ≤p≤+∞

et que kfkp →

p→+∞kfk^∞.

Exercice 4 (In´egalit´es de Young)

On cherche `a montrer que si f ∈ L^p(Ω), g ∈ L^q(Ω) avec p, q, r ∈ [1,+∞] et 1

r + 1 = 1 p + 1

q, alors f ∗g ∈L^r(Ω) et kf ∗gk_r≤ kfk_pkgk_q.

1) Traiter le casp= 1.

2) Traiter le casr= +∞.

3) Traiter les autres cas. (Penser `a l’in´egalit´e de H¨older g´en´eralis´ee.) Exercice 5 (Continuit´e uniforme)

On reprend les notations de l’exercice pr´ec´edent. Montrer que dans le casr = +∞, f ∗g est uniform´ement continue. (On commencera par le cas o`u f est continue `a support compact.)

R´ef´erences : Br´ezis, Chambert-Loir, Rudin