Master 2 Agr´egation, Math´ematiques, Universit´e de Nice Sophia-Antipolis, UE5 - 1 - Transformation d’Abel.
Prologue
Rappeler la Tranformation d’Abel.
Exercice 1 (Th´eor`eme d’Abel)
Montrer que si un = anvn o`uan d´ecroit vers 0 et vn complexes tels que les sommes partielles de Pvn soient born´ees, alors Pun converge. (Indication : quel est le nom du th´eor`eme ?)
Exercice 2 (Produit de s´eries)
On d´efinit le produit de convolution de deux s´eriesPun et Pvn par wn =
n
X
k=0
ukvn−k.
1) Question de cours : Montrer que siPunetPvnsont absolument convergentes alorsPwnest absolument convergente et
+∞
X
n=0
wn=
+∞
X
n=0
un
! +∞
X
n=0
vn
!
.(Indication : notant les sommes partielles avec des lettres majuscules, comparer Wn, Un·Vn etW2n.)
2) Donner un exemple o`u Pun etPvn sont convergentes, mais pasPwn.
3) Th´eor`eme de Cauchy-Mertens : Montrer que siPunCVA etPvnCV, alorsPwnconverge et
+∞
X
n=0
wn=
+∞
X
n=0
un
! +∞
X
n=0
vn
!
.(Indication : Commencer par traiter le casP+∞n=0vn= 0 et remarquer que Wn =Pnk=0ukVn−k.)
Exercice 3 (Th´eor`eme d’Abel non tangentiel) Soit f(z) =Panzn une s´erie enti`ere telle que S =
+∞
X
n=0
an converge. Pour α ∈[0, π/2[, on pose Dα ={|z|<1 ; z = 1−ρeiθ, θ∈[−α, α], ρ∈]0,cosα]}.
1) Dessiner Dα. Pr´eciser pourquoi est-ce que le rayon de convergence R de Panzn satisfait R ≥1 ?
2) Montrer que f(z)−S = (z−1)
+∞
X
n=0
Rnzn o`u Rn =
+∞
X
k=n+1
ak. (Indication : quel est le nom du th´eor`eme ?)
3) Montrer que pourz ∈Dα, on a l’in´egalit´e |z−1|
1− |z| ≤ 2 cosα. 4) En d´eduire que lim
z→1, z∈Dα
f(z) =
+∞
X
n=0
an.
Exercice 4 (Th´eor`eme d’Abel et produit de s´eries)
1) Quel est le cas particulier de l’exercice 3 pour les s´eries enti`eres r´eelles ? 2) Avec les notations de l’exercice 2, on pose f(x) =
+∞
X
n=0
unxn, g(x) =
+∞
X
n=0
vnxn et h(x) =
+∞
X
n=0
wnxn. Montrer quef(x)g(x) = h(x) pour tout x∈]0,1[.
3) En utilisant le 1), montrer que siPun,PvnetPwnconvergent, alors
+∞
X
n=0
wn =
+∞
X
n=0
un
! +∞
X
n=0
vn
!
. Bibliographie : Gourdon, Pommellet
