ecacu Bâtiment

Bâtiment & Gén i e

ecacu

Jacques LAMIRAULT

^{w,ndow•lnt•}rn•tExplo••• 13

Henri RENAUD

~ .i"<~>"JU...:. ^... ~,o-.;p.J~

MaÎtre de conférences École centrale de Nantes

Département Génie

civil

L

^OK

J

t-FOUCHER

3 1 rue de Fl eur us 75278 Paris Cedex 06

Agrégé de Génie civil IUFM de Nantes

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~ • ...;~---:

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..._..

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1 Calcul du béton armé aux états limites . . ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... .... ... .... . .. ... 5

1. Notions d'états Limites ... 00. 5 2. États limites ultimes el étals limit~s ùe service... 5

3. Principes généraux des justifications ... .. ... .. ... .. .. ... .... . .. ... ... ... .. ... .. ... ... .. ... 6

4. E.L.U. ou E.L.S.? ... :... 6

2 Formulaire des puulres .... ... ... .. ... .... ... . . .. .. . ... .. ... .. .. .... .... .. . .. .. .. . .. .. ... 7

1. Notations et conventions du formulaire des poutres ... ... .. ... .... ... ... 7

2. Formulaire des poutres .. .. ... ... .. ... .. ... .. ... .... ... ... ... .. . .. .. ... ... ... .. ... .. ... 8

3. Mode d'utilisation du formulaire ... .. ... .. .... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .... ... ... ... 12

3 Caractéristiques géométriques des sections ... 15

1 . Moment statique (rappels) . .... . ... .. ... ... .. . .. .. .. .. .... ... .. .. .. . .. . .. .. ... .. ... .. .. ... ... . .... . .... 15

2. Moment quadratique (rappels) ... 16

3. Tableau des caractéristiques des sections courantes ... ... ... .... .. ... 17

4. Section en forme de Té ... ... .... ... ... ... ... ... ... 18

5. Application aux sections courantes de béton armé ... ... ... ... ... ... 19

4 Actions permanentes et variables ... 23

1. Naturedesactions ... 00... 23

2. Évaluation des charges permanentes ... 24

3. F.valuation des charges d'exploitation ... 25

4. Application: calcul d'une descente de charges ... ... 26

5 Calcul des soli ici ta ti ons ... 00.... 29

1. Principe ... 29

2. Combinaisons d'actions ....

oo ... oo ... ... ... ... .. .. ... oo... .

30

3. Applications ...

oo ... .. .. ... ... oo .. ... ... oo ... oo.. ... ... .. ....

31

6 Bétons et aciers: caractéristiques .... .. .. . .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. .... .. .. ... .. ... .. .. .. . .. . .. .. ... .. . 35

1. Les bétons .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .... .. . .. .. ... .. . .. .. ... .. .. . .. .. ... .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. ... ... ... .. ... .. . . . .. .. . .. . 35

2. Les aciers ... :... 38

7 Déformations et contraintes de caJcuJ ... 00... 41

1. Etat limite de résistance ... .. . .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... ... .. ... ... ... ... .. . 41

2. État limite de service . .. ... .. ... .. .. . .. .. . .... .. . .. ... .. .. . .. ... .. ... .. ... .. .. ... .... . .. .. .. . .. .. ... .. . .. . 47

8 Semelles de fondations . .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. . .. .. . .... .. ... ... .. .. . .. .. ... .. .. . .... . .. .. ... .. .. . .... . .. .. . .. . 51

1. Sollicitations de calcul ... ... ... .. ... .. ... .. ... ... .. .. ... ... ... ... .. ... ... 51

2. Prédimensionnement des semelles .. ... ... .. ... ... ... ... .. ... .. .. ... .. ... .. ... .. ... . 52

3. Détermination des aciers tendus ... ... ... ... 54

4. Tableau d'arrêt pratique des barres des semelles et attentes ... 56

9 Pu leau x: cumpression centrée .... ... .. ... .. ... .. .. .. .... .. .. .. ... .. .. ... ... ... 59

1. Notations et rappels ... 59

2. Hypor.hèses ci'études ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... 60

3. Calcul des armatures longitudinales ... 60

4. Dispositions constructives ... .... ... ... ... ... 6 J S. Application ... .. .. . .... . . ... .. ... .. . .... .. . .. ... .. . .. .. ... .. .. ... ... .. .. ... .. .. . .. ... ... ... .. .. ... .. ... . 65

ISBN 2-216-01646-2

Toute représentation, :raduction, adaptation ou reproduction. même partielle, par :ou> procédés. cr. tous pays. :-aite sans autorisation

pt~laùk, e:>t illidte et expDserai< le cuntrcvcnant à des poursuites judiciaires (Réf. Loi du 11 ma-s 1957) . . . . - - - . . .

©Le~ Éuilious FOUCHER, Paris 1 993 W1ndows Internet Explorer &J OK

tttttttttttttttttttttt

10

Tirants: traction simple ... . 1. Hypothèses d'études ... . 2. Contrainte& de calcul ... . 3 . . Détermination des ~ecr.ions d'armatures

4. Dispositions réglementaires minimales ... .

11 E.L.li.R.:

flexion simple ... ..

1. Hypothèses d'études ... . 2. Contraintes de calcul ... ..

3. Combinaisons ... ..

4. Calcul ùe sullicila.tiuns ... . 5. Conditions d'équilibre d'une section rectangulaire ... . 6. l\1oment critique ultime ... . 7. l\1oment critique réduit ... .

8.

Calcul des armatures lungi tuùinaks lendue:s ... . 12

E.L.S.:

flexion simple ... . 1. I-I y po thèses d'études ... ..

2. Contraintes de calcul ... . 3. Combinaisons d'actions ... . 4. Calcul des sollicitations ... .

5.

Conditions d'équilibre d'une section rectangulaire ... .

6.

I\1oment

limite

de service ... . 7. l\1omentlimiteréduitdeservice ...... .

8.

Calcul des armatures longitudinales tendues ... . 13 Vérification des section~ ... . 1. Hypothèses de calcul ... . 2. Caractéristiques géométriques ... . 3. Expression de la contrainte normale au niveau d'une fibre ... . 14 Liaisons béton -

acier .... ... ... ... ... .. ... ... .

1. Contrainte d'adhérence ... . 2. Ancrage des aciers ... . 3. Entraînement des barœs isolées uu en pa4uet ... . 15 Effort tranchant: justifications et dispositions constructives ... ..

!. Contrainte tangente conventionnelle ... .

2. Contrajnle

iangt!nle linül~

uitiuie ... ... ... ... .

3. Armatures d'une poutre ... ..

4. Dispositions constructives minimales ... . 5. Effort tranchant réduit au voisinage d'un appui ... . 6. Justifications aux appuis ... . 7. Cas des dalles ... . 16 Micro-projet Bâtiment ... . 1 . Étude demandée ... ..

2. Valeurs caractéristiques et valeurs de calcul des matériaux ... .

3.

Calcul des éléments porteurs ... ..

4. Calcul des panneaux de dalles rectangulaires

sous chargement modéré uniforme ... .

67 67 67 67

68 73

73 73

74 74 74 77 77

78

83 83 83

84

g4

84 88 RR 89

95

96

96

97 103

103 103

108 111

Ill

1 1..., 11 L.

ll3 114

115

ll6 117 120 120 121 122 129

Annexe 1 Caractéristiques des aciers ... 135

Annexe 2 Contraintes limites des maté,riaux à J'E.L.S. ... 136

Annexe 3 Moments critiques réduits .. ... .... .. ... ... ... .... .... ... .... .. ... 137

Annexe 4 Tableaux de calcul à l'E.L.U.R. ... 138

Annexe 5 Tableaux de calcul à l'E.L.S. ... 140

•· ·• .

Les ouvragé.~ en béton armé sbnt calculés en respectant les règlements, . normes t;L . . Docu. men~s Techn~qÛes Unifiés ^: (D.T.{).) ... . en

. v1guenr. ... .. .. . .. .

Le B.A.E.L. (Règlement.Béton Aimé aux

État~

Limites) presënt les

règles techniques de: ~ ·

- conf:eption, . , ,

-:çaJcuJ

des

différents

ouvragee;

deol~r

sttlt t.: lttre'.IfA., . .

-justifications (vérifications diversl!s et dispositions constructives

minimales).·

Le,présent çhapi tre .a ·pour

objet d e famil.i~riser

k 1

e~teur aLt~

nu-. tions d'états limites. bases d'éfabbrat1oil ëlu règleine,nt B.A;E.L. 9l.

• • t.

Notions d

¹

états limites

^{(B.A.E.L. Al)}

• Dans le domaine des constructions, un état limite est celui qui salis-. fait strictement aux conditions prévues sous l'effel ùes actions (forces, moments ou coup1es) qui agissent sur Ja construction ou l'un de ses élémenls ).

• Quelles sont ces conditions

?

Citons: la stabilité, la résistance, la durabilité, Jes déformations non nuisibles pour satisfaire les fonctions techniques ci' utilisation ùes struc- tures.

Exemple: résister aux sollicitations imposées, à l'effet des intempé- ries, des dilatations, des retraits. etc.

D ' • ·

^~

,

rflDCtpt.S ge.t. etaUX

œ . États limites ultimes et états limites de service

Il est nécessaire. de bien différencier ces deux états qui sont à considérer dans tous les calculs B.A. soit clirec- temt;nl, soit implicitement pour l'un des états.

,

Etats Limites Ultimes (E.L.U.)

On distingue:

• État limite d'équilibre statique -+ Stabilité des constructions

(non glissement, non renversement).

• État limite ultime de résistance (~ymbule E.L.U.R.)

-+ Capacité ponante qui dépend des matériaux constitutifs (non rupture par écra~ement ou par allongement ex.œssif).

• État limite de stabilité de forme (symhole E.I .. U.S.F.) -+ Pas d'instabilité.

E xemple :

pour un poteau B.A., non-risque de flambe- ment.

NB. Ils concernent !a capacité portante et !a Limitation des risques de ruine de lu us ordres.

États Limites de Services (E. L. S. )

On distingue:

• État limite de compression du béton

~ Cuntraime de compression bornée par le règle- ment B. A.E. L.

• État limite de déformation

~ Limitation des désordres.

Exemple: flèche des planchers limitée pour réduire les désordres de fissuration des r.loisons ou de~

revêtementJ .w:ellés.

• État Jimite d'ouverture de tissures

~ Durabilité des ouvrages.

Exem ple:

non-corrosion des aciers.

NB. Ils cono~rneur les conditions d'utilisation des ouvrages ct la durabilité,

Calcul du béton armé aux états iimltes 5

1

3.: Principes généraux des justifications

Il s s'appliquent essentiellement pour:

• la sécurité

des ouvrages,

par util is aüon de coeffic ients de sécurité:

- coefficjent de maj oration pour les val eurs nominales des actions (charges permanentes , c harges d'exploitation, etc. );

-coefficien t de minoration pour les contraintes de

calcul

béton e t

acier;

• les combinaj!;ons d'actions

da ns

un

état li mite donné:

à l'E.L.U.

*

à I'R.L.S.

*

1,35

G + 1,50

Q

₈

G:

charges

permanentes Q

₈:

charges d'exploitation

*en général.

Les calculs justifie~ tif~ concernent à la fois:

-les états limites ultimes E.L.U., - les

états limites

de

service

E.L.S.

Par exemple, pour la détermination des sections d'acier:

Calcul à I'E.L.U.R. Calcul à l'E.L.S.

Si .

A..su <Aser'

on retient

A,er

Si A

su> A ₃er,

on

retient

A

su

E.L.U. ou E.L.S. ?

Remarque: les combinaisons détermi- nerzt les sollicitations les plus défavo- rables, comme par exemple dans le r:rH des poutrP.s uvee porte-à-faux ^Ot{ les cas de chargement des poutres continues.

Notations

M u moment de fl exion

à l'état limite ultime.

Mser

moment de Oe. üon

à l'état limite

de service .

A₅₀

section théorique

d'armature

à

l'E. L.U.

1\ser

section théorique

d'armature à

l'E.L.S.

Indiquer, dans les différents cas ci-dessous, quel ^~stl'état limite à considérer.

6

~. ÉtJuilihre

d'un mur de soutènement

Rxemple: stabilité au renversement

b. Cas de fissuration très préjudiciable

Exemple: limiwtiurt des contraintes de traction. des aciers

c. Cas de limitation de flèch e

Exemple:f< L/500 si la longueur L < 5,00 m.

d. Équilibre d'un poteau élancé (faible section , grande hauteur) e.

Contr<~inte::

de compression du béton impos6e

B.A. Guide de calcul

Réponse

a E.L.U. équilibre statique b

E.L.S.

c E.L.S.

d

E.L.U.S.F.

e E.L.S.

Formulaire clts poutres

But

Déterminer la vale ur

nurné~que

des sollicitations telles que :

- actions

aux

appuis, .

- effort tranchant, en particuljer au voisinage des appuis,

- moment de flexion, en particulier

Mf mnx: Wondowolnttrntl hplortr El

Démarche proposée

• Définir

les

li aisons mécaniques de la poutre (types d'appuis).

[ OK

=:J

• Dé ter miner le (ou les) cas de charge (cha rges uniformes, réparties, concentrées, etc .).

• Effectuer le schéma méc anique de la poutre chargée.

• Décoder et sélectionne r' dans le formulaire le (ou les) cas de chargement correspondant.

NB. Le fmmuluiJt~ c:i-uprès est limiré à quelques cas courants pour familia- ri.w-!r fp ll'r'tPur;, .wn utilisation .

• Choisir et utiliser les formu les

adéquat~

en appliquant, s'il y

a

lieu , le principe de superposition des états d'équilibre .

. ~ Notations et conventions du formulaire des poutres

Notati ons (figure

1)

A

B

x' x

q

p

C,D

a

R ,...R

₀

VA, VB x xo

Appui

de

gauche } , Appui

de rtmite

Travee AB

Ligne moyenne continue représentative de s cen- tres de surf ace des sections le long de la poutre Intensité de la charge uni formément répartie par mètre de poutre

Charge conce ntrée

Points d'application de la char ge

P

Dist~ce

de la chargt!

concenLr~e

à l'appui considéré Actions ùes appuis

A ^el B

sur la poutre

AB

Efforts tranchanrs aux appuis

A

et

B

Ah scisse

d'une

ection cou rante

Abscisse où s'exerce

le

moment maximal

M₀

dans la travée

AB

Moment de flexion dans une section d'abscisse

x

Moment maximal de flexion en travée

Cbar ::s cor centrées

Poutre sur appui simple

· Fig.l Schéma du cas de charge

Conventions (figure

2) ( 1)

Charge répartie uniforme

(2)

Charge concentrée

(3)

Coupl e de flexion

Types d'appuis:

( 4)

simples ou libres

( 5)

articulations

(6) enca~trement

à

une seule

extrémité

(7)

encastrement

à

chaque extrémité

(8)

Poutre continue

(à

plusieurs travées) R eprésentation des moments de flexion : diagramme disposé du côté de la fibre tendue de la poutre pour lever to ute équivoque quant à la disposition des aciers de traction

Représentation des efforts tranchants :

VA-RA ^et V₈ =-R8

dans le cas d'une poutre à une seule travée

AB

q

CD R l l lll

^{111111 111111}

t ;\

® L 6

<D C0

0 LA N 6

®

^{0 A B0}

.Fig. 2

® a ~

(1)~

^A

B ~

® /\ z ^b.

i\ 8

c

Schémas de représentation

tttttttttttttttttttttt

z

3

Poutres sur deux appuis simples

~

Cas de charge

q!m

lllllll 'IIIIIIIIIIIII Jl

TA

^B~

f ~·

RA= qL Rn= RA 2

Charge uniformément répartie

1'

a

r

^b

l c

A

t

~ B

P·b RA=-

L

P· a R n = -

L Charge

concentrée P

RA

= ~ (L -a)

^{Rn =RA}

Charge en trapèze régulier

Effort tranchant Moment de flexion

~~ ^f

^XL

^{j· t}

A

- B ~

_{A 8}

. qL . ..qL VA= - VB = -

2 2

, qL2

v(x)= - -qx 2

1 _A +

le _-

^B

1

V_ =RA V_=-R₈

AC CB

V_ signifie V entre A et C

AC

· \' _ signifie V entre Cet B

CB

avec

Q=

q (L- a)

V11

=

^~

0 -

^RA Vo

=

^{- RB}

2

qL

¹

L

M 0 =

S

pour xo =

2

M(x) =-(L-x)

qx

2

A . 8

~~

P·a·b

M 0

=

pour x0

=

^a

L

q[L

^{2 a2 ] L}

Mo = - - - -

^pour

x

0

= -

2 4 3 2

~

_~A

ts(: ^{r t}

^{x l.}

^j' r

s6

^{A _ J B} ~

A

, L 1. A'\_ / !]

" .. 4> ^'1 1 ---.J ~ ^{. • ' /}

•

_RA

= qL

^Tl

R

^{H -}

R ~

4

^{R8 =RA .,A}

⁼

^{A vn- - B}

Charge répartie (triangle isocèle)

RA=. -

qL

6

R~~ =

qL

-

3 Charge à réprutition variable

8

B.A. Guide de calcul

vr.r.) _. =-

qL [

₄

1-4 - x~

_L2

l

pour.x::::;-

^L

₂ ^{M0 = -qL}₁₂ ^{2 pour x0 =}₂ ^{L -}

qLx[ ( · x)2 ]

M(x)=

6

^1-

^Ï

L

Xo

= --=

-./3

M₀ = -·qL2 - pour

9/3

Observations

Flèche

5 qL⁴

f=

384 .

El ·

pour x= -L 2

Si

a

=

b

=

~

p 2 RA=-

2 Mo= -

P·L

4

PL

³

f = -

48 El

Charge uniformément répartie p 1m²

sur un trapèze

S =

^{aire du trapèze}

QI =

p· S

, Q¹

[L

²

^{a-;. ]}

Mo = 2(L-a)

4 - 3

AvecP= qL:

p 2 R,1

= 2

^=RB

.Mo = -

PL

6

V= 0 pour

x=~

2

AvecP=

q·L

- - 2

Rs

=-2

p

3

•

1

1 6

7

•

..:

Cas de charge

' ' f t " ¹

f lll ll =l ll ll qÎrl I l l ~ ¹¹ 11 ~

A +

1 ,

8

R,,

=

^{q (L + 2a) Ra =RA}

2 Charges uniformément réparties

p~ Hp

A +

^L

fB

RA

=

^{[> RLl =P}

Charges concentrées sur porte-à-faux

p . ^a R _ P(L+a) RA

= - - /) - ___.: _

^__:_1

Effort tranchant

,, a J. L .~ c.

r

1 ~ ^f+>.

A

~B

qL

vdr. =-

2

v

_g ⁸ = - qL -_')

...

L >~ ^(l 1 ^L

Cf]

B

V_11A =- P V.111 =P

..

v_.= o

AB

L L V_=RA

Charge concentrée A» Vc<n - P sur 1 porte-à-faux

Poutre encastrée à chaque extrémité

Cas de charge·· EtioJZt tranchant

qlm 1

1111111111

1 11 1 1111 1 1 ~

1111111111 111111111~

1 A

--:::::=]

Y.: A JJ

L _[.

L

t

1 1 l

qL _{R - qL}

RA=- 8 - -

2 2

Charge uniformément

VA

^{=RA V}8 =-Rfl répartie

' ^ù2

t : ^l'

^{U2 > '}

'A

^L

·J ⁾

⁺

^{t: -}

^11;1

RA= P/2 RB= P/2

" A ^=P/2

^{Vs- - P/2}

Charge concentrée fJ en L/2

Moment de flexion

} :1\=1:

_{A L B}

1

M o

=

q

-

^~ 'L²

-

4 a ^{2 )} à rm-portce · '

8

,

a- MA =Ma =-q-

2

(1

_.'\ ^L

t ^~

_B ^a

¹

M

0

=-P·a

lvl0 =M8 =- P· a

Momenl de flexion

~/

A 8

}

_~-

qL2 qL2

MA=- - Mn =- -

12 12

~~1

MA=

PL PL

-

Mn=--

8 8

Observations

V!IA signifie:

effort tranchant immédiatement à gauche de la section située en A VdA: V à droite deA

Moment constant de.1 à li

Sens des aerions aux appuis:

RA: vers le bas R₈: vers le haut

Observations

Pour .xo = L/2 :

v -

-u

"

qL2 Mo = -

24 Flèche=-qL4 -

384EJ

Pour x₀ = L/2 : V= 0 Mo- PL -

8

Formulaire des poutres 9

Cas de charge Effort tranchant

~ ^{;

1 ^<

D 8

1 ^- 1

u : ,,

" R,4 =P Ra =P VA =RA Va =-R8

Deux charges concen1rée1> P ¹ V en = 0

Charge conœnlrée P

L

Moment de flexion

~\ _~

a ~'

74 ~

^a

~

. l'a(L- a) M

MA=-

=

^B

L

Observations

Entre Cet D:

Pa² ,'Vf = -

L

Pour x₀ =a: V=O

2Pr/'(L- a)¹

Mo= ~

L'

Poutre encastrée à une extrémité et sur appui libre à l'autre

Cos de charge Effort tranchant Mument de flexion Observations

-

13

~m ~ _Ar+---..

^{1 L L} ₈

~

^3U4

~

^{\'= 0 pour Xr . = -3 8 L}

111J 1 11 1 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 §

w - - - --

-l?s;J~ .

_l. -, L

.,

~

^l l

^.l_r_

t

^L

^--~ !

^{1 L}

^~

^{M-0 pour x =} 3 ^{-4 L}

.,..

1

3 5

MA=O qL2

R ,t =-qi, R0 = -qL ^{Mn= - -}

8 8 V(.x) =RA - qx 8

Charge uniformément répartie VA= RA Vo =-Rn 9 ., 3L Mo= - qi/ pour x₀ =-

128 8

~ L/2 ^{L /' 1 l'l} J _Püüï xo

=

^{L/2 :}

1

-r AJ.

Lf2

1 !

^c••

^{r / j i}

·~

⁺

_{" 1}

^,'vf0

⁼

^{5 PL}

AE _{- A}

<::::..._==:=/

^B

³²

f

^{L 1} _{v" = RA= -}⁵ _P

. 16

Charge concenLTée en f./2 11 MA=O M₈ - - -3 PL

VB - -RB = - P 16

16

r-t _·~ ⁺

^{a ~'}

^{~~ /}

^{Pour x0 =a:}

A:

T

1

B I

M =Pa(L-a)²(2L+u)

AE

- _A~

8

1

0 2L~

t

^L

^·r-

L

1 VB =- ^{Pa (3L}

2 -a²)

=-Rn Pa(L²-a²⁾

Charge concentrée P ^{2L3 M;. -} 0 Ma=-

P(L

^a)2 (2L -a) 2V.

VA =

2L³ = R . ..._

10 B.A. Guide de calcul

1 .·

Poutres en console

Rn= qi.

1 Charge un.iforméwenl répartie

b

~

^{L D}

"

R₈ =P

Charge concentrée VA

Effort tranchant

V9

=

- qL V(x) = - px

b

=0 Vœ =- P

Poutres continues

(cas simples)

Mome1.1t de tlcxion

qL2 x2

M₈

= - -

M (x)

= -

q-

2 . 2

L

• 1

^A _{, (}

~~

_{b B}}

Ms =- Pb

Cnargé uniformémenl répat1ie

M₃

=

0 ~ Moment sur appuis

qlm qlm

. Observations

Flèche en .4 : . qL4

J

^{= 8EI}

Flèche en C : Pb³ f = JE!

Flèche en A : Pb²

f = - (?,L-!J)

6EI

. Moments en travée

M₁ _ 2

=

0,070qU

18 rrT'TTIII ,.,...,.-111-,-^{1 .---, , .:..,..--,1 ,} l--..-111 ,-,111-111

U

III"'TT'TIII"'T'TTIIIT'T"'i-IIIT'TTIII TTT"III T'TT'"III T'TT'"III T"T'T"'IIII

!

¹

~

^{2 6 3}

+--

^L

^{- - -}

^L

- - - - + . ,

R₁

=0,375qL

R₂ = l,250qL R_₁

=

^{0,375qL ~} Actions des appuis

Cas tlt: deux travées

qin: qin: q/111

11

1 1 ,

^{11111111111111111111111}

w

^{111 1, I,IIIIIIIIIIIIIIIIIIJIIIIIIIIIIIIIIIIII r r • r, r 1111} M₂^_ ₃ = o.o25qL2

1 '-' 2 ·3 4

L L L t.

1

~ R- ~= _0_,4_00_q_L ^______ R2 _=_ 1 _ ,1 _ 0_ ~L ^__ c_ as_ d_c_ tro - is _ t_ rn_ v:_~ _ =_1_ , 1_00-qL

^{_____ __}

R _ 4 _= _0_A_ OO _ q_L~~M _,_ -_ 4 _ = _0 . _ 08~

Formulaire des poutres 11

3 Mode d'utilisation du formulaire

•·>'~

•

~~~

1

:r.~:utft1

Poutre sur deux appuis

._ .... ••·••• •mr

Fig. 3 Schéma perspectif de la poutre

Données

• Appuis

simples

aux

extrémi tés

• Section de poutre : 20 cm x 50 cm

• Portée entre appuis : 8,00 rn

• Charge

d'exploitation unifonnémt::nl répartie : 12 000 ~lm ou 12 kN ou 0,012 MN

Hypothèses de fonctionnement

à

I'E.L.U.R.

Combinaison d'action

G charge permanente QB : charge d'exploitation

1,35 G + 1,5 Q₁₁ Déterminer:

- Les action aux appuis RA, R8 ;

-les efforts tranchanls VA, V8 et V(x) pour déter- miner les cadres et étriers;

- les moments de flexion M0 ^et M(x) pour déter- miner les sections d'acier tendu.

2 .

~

Poutre sur appuis libres

Données

• Section de poutœ B.A.

• Portée entre appuis

• Charge d'exploitation:

15cmx50cm 6,00 rn

- une

charge répartie en triangle isocèle sur toute la longueur L de la poutre (valeur max q₁=9000Nim);

une charge concentrée P

=

20 000 N à mi- portée .

~ Déterminer les valeurs n.wnériques de ^VA et de M₀

,;,te

... •~·~ pour un calcul de la section d'ar.ier à l'EL U.R.

12 B.A. Guide de calcul

charge permanente / charge. d'exploitation

A~tlllll{lll ~Il l flllll~

^B

_ 8.00

r

~Fig. 4__,. Ponue sur deux appuis

i f * ;

~

..

Réponse: application directe elu formulaire

• Charge permanente par mètre de poutre 0,20

x

^0,50

x

^{25 _000}

=

2 500 N/m

• Combinaison de charge ( 1,35 G

+

^{1 ,5QR)}

J ,35

x

2 500

+

1,5

x

12 000

=

21 375 K/m

• Utilisation du formulaire: cas n° 1 RA

=

R₈=qU2=855001\

VA =

85

500

N

et V ₈

= - ⁸⁵

⁵⁰⁰

^N

V(x)=qU2-qx=85500-2t375x pour

x =

¹

^{rn ---*}

^{V( l)}

=

^{64 125 N}

pour

x=

2

m ^{- 7}

V(2) = ⁴²

⁷⁵⁰

^N

pour x= 4 rn - 7 V( 4) = 0 L2

M₀ =q- - l71000Nm 8

. 213ï5

M(.x) _{. .} = - ₂ - ·x· (8- x)

pour x= l m~M(I)= 74812Nm pour x= 2

rn---*

M(2)

=

^{128 250}

Nm

Réponse: application du priadpe de superposition

Nature des charges Formulaire

Charge permanente uniformément répartie

qul- 1,35 XL 875

=

2 531 N/rn

• Effort tranchant à l'flppui A . . 6, 00 - VA = 2 531

x -

= 7 )93 N

2

• Moment de flexion à mi-portée

6, 002

M₀ =2 531

x -

8- = Il 390Nm

Charges d'exploit.ttion

• Charge répartie en tri angle isocèl e qû =

^{1. 5}

x

9 000

=

^{13 )00 N}

\l

=

13

500

x ⁶' OO = 20 250 N

.1\ 4

6,00?

M₀

=

13 SOOx--:;;; 40500Nrn 12

• Cha rge

cou<.:èlllrée

~.

= ^1,5

^p

=

^{30 000 N}

v

/1

-

^Pu

2

:;;; 15 000 N

Pu

Mo = - L

= 45

000 N

rn 4

Ca!

n(.

1

Ve

-q-

L 2

Charge pennanente: poids propre par mètre de poutre

0, 15 x 0.50 x 1 ,00 x 25 000 = 1

875

Nm

Application du principe de superposition Sommation de ré ultals partiels ci-contre:::

VA

= ^{7 59 3}

⁺

^{2 0 250}

⁺

^{1 5 000}

⁼

^{42 843}

^1\

,'\-1₀ =

11

390

+ 40 500 + 45

000 =

96

~YU ~rn

(

^x0 étant egal a ^{, '}

2" ^'·)

Wondowslnt•rntt E>q>lor•r UtJ

Calculer les mmnt>flfs d'enwslrement sur appuis et le moment maximal en travée à l'E.L. UR.

p Charge d exp:oitation p

7,00

Fig. 6 Poutre enc&strée à ses deux extrérrùtés

Données

Section: 20 cm x 5) cm; portée: 7,00 m Ln poutre supporte en char[? es d'exploitation:

- deux

charges concentrées

de

même ù1tensité,

J>

=

26 000 N, situées chw.:une à 1,25 rn de

chaque extrémiré. :

- une charge d'exploitarion t.mifnrmhnent répartie de

1 8 000

;.Jfm.

Réponse

Combinaison d'action: 1,35 G L.5 Qn

• Charges uniformément réparties p .rn.

qu=

1,35

^X 2 750

+ 1 ,5

^X 18 000

=

3U 712 Nfm Formulaire: <.:~ 11° 9 ~

MA =M ₈ = - 125 409 ]'\rn

M₀:;;; + 62 705 Nrn

• Charges concentrées d'exploitation Pu-

1 ,5

X

26 000 = ^{39 000 N}

Formulaire· ca ne 11 ----?

MA = M ₀

= - 40 045 N

rn M₀

= ⁺

^{8 705 Nm}

• Effet total des charges réparties et concentrées MA= M8

= -

165 454 Nrn

M₀

=+

7l410Nmpourx₀::: L 2

Formulaire des poutres 13 tttttttttttttttttttttt

Bu~

Déterminer,

pbur· une

~èction donnée

d'un,

~J.émem D§chi• ou cç>~npti­

mé, les caractéristiques géométriques qui servent à 'étudier, par la suite, l'équilibre d'une section B.A. sous t'effet des so1licitations.

1 Moment statique (symbole. Jl-1

5)

li sert à trouver le centre

de

gravité (C.d .G.) d'une surface donnée (S).

par rapport à ^un axe situé nans son plan.

Da11s le cas

q;u

béton armé, l'équation dite ... du «Moment

statique»

pcrlnct de trouver la

position

de la fibre neutre d'une section .. ( axe. Gx, ' passant par le centre de gravité (j).:

La distance dela fibre neutre

à

la fibre la pluscomprimée de la section permet de calêüler le moment quadratique par

rapport.

à l'axe Gx.

2 Moment quadratique (symbole /axe con~déré)

Il

intervient

dans le

l:alcul

des:

- êontraintes de. conipression dÙ

¹béton

t!l'Lle '

traction 'êtes aciers dâns une section de béton armé soumise à

un

moment dê flexion; - contraintes de cisaillement dues à l'effort tranchant;

- déforma~ons (exemples: flèche. des éléments).

Moment statique (rappels) Théorème

Le moment

statique

d'une

surface

plane par rapport à

un

axe passant dans son plan est égal au produit de l'aire de cette surface

par

la distance de son centre de gravité

(ou

centre de surface) à l'axe considéré:

M 1

_s

Ox=S·

_·C ^y

M~l Oy= s. x₀

Propriétés

Si l'axe Ox passe par le centre de gravité ~ Ms 1

Ox =

0

Si

l'axe

Oy

passe par le centre de gravité ~ M~

1 Oy

= 0

Principe de calcul pour une section homogène

Prenons une section en Té pour servir d'exemple:

Aire é lémentak e Distance du C.D.G. à l'axe

Ox Produit

Al.yl

A2.

Y1

A3· Y3

Cnités usuelles

Aire

totaleS ... cm²,

Ordonnée

y ... : ... ...

·cm:

Abscisse

x .. .. . .. ... ... . .. .. ... ... .

cm Moment statique M

8 ... cmJ

r-:'['' . 1

'-:- ,'

~~

^{'"7 y2}

Ms 1 Ox

= L A i ·

^{Y; = S · Yc}

Ms 1

Ox On en

déduit Yc;

= --..:.:... __

Fi ;Tl

;J

(it)i- --t-'·,~· __ ,

t

¹

Il

l ' • , , / ^{J . , .. ,}

^{-L...:...Y.._t} .i____ _ J _ -

s

^{0 x}

Caractéristiques géométriques des sections 15

f- Moment quadratique (rappels) Définition

Le moment quadrdlique d'un élément de surface plane par rapport

à

un axe Ox, situé dans

son

plan,

est

égal au produit de l'aire ds de cet élément par le carré de sa distance à l'axe considéré Ox.

Le moment quadratique de la surface plane S contenant tous les élément~

d'aire ds, par rapport à l'axe Ox, e5t égal à la summe des moments quadratiques élémentaires:

f

^{y m.ax}

lox =-

>mm

Méthode de

~:alcul

/ ds

Traitons un exemple simple, le cas de la section rectangulaire

• Calculons le mument quadratique pM rapport à l'axe Ox

• Soit un élémeUL de surface d'aire ds

=

b · dy Sa distance à l'axe

O x

est y qui varie entre 0 eth.

fox=

J

0 11

i ds -

J ;

^{1 / · b ·dy}

h . b³ Remarque: on obtient de m&me 1 ₀>' = - -

3

Théorème de Huyahens

( 1)

Le

moment quadratique d'une surface plane

S,

par rappo1t à un axe

Ox

de son plan, est égal à la somme:

• du moment quadratique lex de cette surface par rappott à l'axe GX, parallèle à Ox ^el passant par le C.d .G. (fig. 2);

• du produil de l'aire de la surface S par le carré de la distance y

c

du centre de gravité à J'axe Ox.

fox=lc;x + S · YG 2

Application à la section rectangulaire pour

détermin~r

Iax

T GX = 1 O.A -

S '

Y G 2

lex= -^bh; - b. h -

( h "

^{1 2}

3 2;

16 B.A. Guide de calcul

(2)

{ 3)

y y

dy

-

··'-"'

x

h y

- c; ,

w

^r

+ ⁰

^Yc;

tl. Tableau des caractéristiques des sections courantes

...

Furm~ de la section Aire Centre de gravité

~Nr

¹ _' ^{Rectangle Posi}tion de G

1._ G1 •

x

h

1

..:::: A = b x h

v, ^{- -} =

v ²

2

~-L

i

t

^{b 1}

t

4 '

Triongle

112 =

~h

;;,N 1

,=~ ~ - ~

^A

⁼

^-b

^x

^{2 -h \) 1}

^{= -}

^{h 3}

~ ~

J

1

b _{, <}

1 _-

^Disque

'

:P ₁

r:.D2 ^D

f{

^G•

v

- ·-·r-·-· -

^{Q A}

⁼

^{4 v 1}

⁼

^-2

⁼

^r

;:..-

~/

Remarque: le rayon de giration est tel que: r² ;;'x

=

^fxox(moment quadratique) A (aire de la section) suit

- Calculer en utilisant le tableuu ci-dessus ⁰ - Masquer les résultats indiqués ⁰

- Contr{Jler les résultats obtenus.

Section Résultats Section

Il. = 640 cm²

v,

=

^{20 çrn}

lax = 85 333 ^cm4

1

ox =

^{341 333 cm4 .}

_J EB

₄₀

_J 3

^~

J

¹⁶

J

A

=

^{640 cm2}

v,

=

^{13,33 cm}

lax

=

^{56 889 cm4}

1

ox =

^{170 667 cm4}

Moment quadratique Par rapport au C.doGo:

bh³ lxox

= -

12 Par rapport à la base:

bh³

1 XOT.

=

^-

3

bh¹ fx·x

=

^-

36 J x'x

=

^bh

3 -

12

nD^{4 4} f xox ^{= -}₆₄

=

^'itl'

₄

Résultat'i

A

-

6<10 cm²

v , ₌

^{8 cm}

lex

=

^{13 653 cm4}

1ox = ^{54 613 (.;[114}

A = 640 cm²

VI

=

^{14,28 cm}

1cx = 32 659 cm⁴ 1

Caractéristiques géométriques des sections 17

p~ Section en forme de Té

Établissons

les formules pour calculer Yc et J(jx dans une

scx;tjon

homogène

en

Té dans le

cas

où Yr; > h₀.

y

"

-

ho

,_ - - --

+

1 x

1 1

~~ ^v,

\

\

l

^bu

^L

., _..

b

r

1 ~) ^/ x

- , :)<

'--. ^{" /~}

· r,

1

^{;] '·,}

-,..., / ^{, /}

,' ::__ 1 \ ; 1 / <,

-- --

'""-

\

^{1 / , '-, '--,}

\ 1 ^'

·, 1 _,~\

1 \

~

1 ^\ 1

1 ^\

1 1

1

\

\

1

h

Eig.3~

6

Calcul de >o Calcul de lex

Calcul

dey₀

(ou v

₂⁾ CaJcul de lex en fonction de v₁ ~t de v₂ Aires Distance du C.d.G.

Produit ^Aires lex = J, + 1'2 + 1.3 à

l'axe

Ox

r ., ₃

s l

- bo ^·h h ^b0 h.,

IlL= bo· ^{vL Il} bo ^{. Vt}

-

- -

=

2 2 l

ho

(b b_{0 )} h~ ^.., b . v2 ³

s2 =

^{(b - bo) ho - .4.2 = b. v2 /2 =}

2

..,

"" 3

2 2 3

s =

SI +

s 2

^M5 f Ox ho h + (h - ho) lz₀

A₃ = (b - h₀^{) (v:<-} ho) _/3 (b ^{(v1 -} h₀)

= ₂ ⁼

b o)

3

f--- -

~ 2 3 3 ³

bu h~ + (b - bo) ho

ho v ,

b 112 (v ... - h₀)

Yc ⁼ = v2 Ir;x = +

- -

^{- (b - b}_{0 )} ^"

2S 3 3 3

NB. Choix de l'axe Ox passant par l'arrêre supérieure de la section. NB. Choix de l'axe G.'<· passant par {F. C.d .. G.

Les rectangles hachurés d'ain; Wt11l~ A₁ sonr à rlMJLire dans les caiculs.

Exemple numérique avec:

b₀=20cm; b=ROcm; h₀- 18cm; h=78cm. L'application des formules ci-dessus donne:

Yr:=26,13cm et lcx=1394443cm^4.

1 8 B .• A. Guide de calcul

- Choix préalable d'un r~férentiel Ox,

Oy .

- Choix de surfaces élémentaires.

- Détermination de Yc avec le moment statique.

- Utilisalion

du

zhéorème

de

Huyghens pour

lex

ou

I₀^x.

Rectangle Trapèze ₁ Té

Section en «I»

y

o l

^{.x y}

^t

^y

t

1

¹

' ho

J

1

^' 1

1 1 1

h ' ^{' '}

1 1

!

' ^'

1 1 ^hi

o l

^'--

0 x ~ ^y bo ^{01 x. bi x}

b = 1 5

cm

b = 30cm

b

=50 cm

b

= 65cm

h

=45 cm

h₀ = 20

cm

h₀

= 20cm

h₀

=

15

cm

h =45

cm

h

= 45 cm

^b₁ ⁼

22cm

h₀

= 12 cm

_h

=45cm

h₀ = 10

cm

h.₁ = 15

cm

*- Réponses ^{·' ·-V·'-:<'•'} ~~~~·~''"""'' VI

= 2lcm

VI

= 27, 214

cm _VI

= 28, 105 cm

!₀x

= 455 625 cm

⁴ !_{0 x}

= ^{683 438} cm

⁴ 1₀x = 1

159 380 cm

⁴ I o~~

=

¹

^{267 667}

^<.:m4

lex= 113

9 06 cm

⁴ !&x=

187 313 cm

^{4 ]&X=}

226

202

cm

⁴ lr_;y

= 256 606 cm

⁴

"

Application aux sections courantes de béton armé

Principes de calcul

(préliminaires indispensahles)

1° Le béton

tendu est

négligé

dans les calculs du C.d.G.

et

de

/G

(sauf

cas particuliers).

zo Le moment quadratique des aciers

I A

par rapport

à

l'axe passant

par leur propre centre de gravité est également négligé.

3°

La section

d'acier est prise équivalente à une section fictive de

béton:

coefficient d'équivalence

n pris égal à

15.

Exemple

Section d'acier constituée

par:

4 HA

14 +

4 HA

16

---7

Section totale

As=

14,20 cm

²

Section fictive équivalente en béton:

A

5

x

1 5

Soit: 14, 20 cm

²

x 15 = ^{213 cm}

²

4°

La hauteur utile de

la

section (symbole

d)

est égale

à la

distance de la fibre la

plus comprimée du béton au

C.d .G.

des aciers tendus.

Remarques

1. La hauœur uri le de la section. symbole d, est prise. égale à la distance enm? le Cd. G.

des aciers tendus et la fibre la plils comprimée de la section.

2. R,?ppel: le momem statique par rapport à un axe passant par le C.d.G. àe la section est nul

LM!GX=O _s

( éauatwn du second def:ré en Y dite du

« Mom~-.nl SUllÙJiiP. » j.

Caractéristiques géométriques des sections î 9