Vers la recherche des avantages de la technologie dans la résolution de problèmes par calculatrices symboliques et Cabri-Géomètre

Vers la recherche des avantages de la technologie dans la résolution de problèmes par calculatrices symboliques et Cabri-Géomètre¹

Fernando Hitt

Université du Québec à Montréal Cinvestav-IPN

fhitta@data.net.mx

Manuel Santos PURDUE University

Cinvestav-IPN msantos@mail.cinvestav.mx

Résumé

L’évasion des enseignant(e)s de l’utilisation de la technologie dans les cours des mathématiques peut être liée aux types de problèmes qu’ils utilisent dans la classe. En général, ces problèmes on peut les classifier comme exercices et très fréquemment ils ne sont pas vus comme un moyen pour développer habiletés dans la résolution des problèmes. Quelles types de problèmes doivent choisir les enseignant(e)s pour utiliser la technologie de façon efficiente? Les reformes faites du curriculum reconnaissent que l’utilisation de la technologie joue un rôle important dans l’apprentissage des mathématiques. La Technologie est utilisée comme un terme générique qui inclus plusieurs types de logicielles, et des calculatrices (symboliques et graphiques), et ainsi que d’autres dispositifs. Dans ce travail nous faisons des réflexions autour de principes basiques que puissent promouvoir une nouvelle culture sur la compréhension visuelle et celle liée à la résolution des problèmes en utilisant la technologie.

Introduction

Les reformes faits du curriculum reconnaissent que l’utilisation de la technologie joue un rôle important dans l’apprentissage des mathématiques. La Technologie est utilisée comme un terme générique qui inclus plusieurs types de logicielles, et ainsi que des calculatrices (symboliques et graphiques), et d’autres dispositifs. Chacune de ces technologies peut offrir un avantage particulier aux étudiants pour développer des caractéristiques spéciales sur la pensé mathématique. Alors, il est intéressant de trouver et d’explorer des nouveaux chemins où la technologie devienne important dans les tâches mathématiques. Par exemple, pour arriver à une représentation liée à la tâche via l’utilisation d’un logiciel dynamique, nous avons besoin d’une réflexion de la tâche en termes des propriétés associes à des règles d’utilisation d’un certain logiciel. En plus, les représentations très fréquemment sont susceptibles d’être examines via les caractéristiques numériques comme, celles de distances, des superficies, des périmètres ou bien des angles et en traînant des certaines parts de l’objet représenté et en observant les effets de l’action effectuée. D’où, l’utilisation de logiciels dynamiques nous fourni des outils que puissent nous aider à visualiser et analyser l’information importante liée à des tâches montrant des caractéristiques

mathématiques que ne se trouve pas facilement dans les approches classiques. Dans ce sens, l’utilisation de logiciels dynamiques représente une nouvelle voie pour observer des liaisons dès un point de vue visuelle et soit importante pour la tâche en cours.

Dans quelle mesure est-il possible d’inclure des mathématiques de qualité en utilisant toutes les deux approches dans le dessin et l’implémentation d’activités d’apprentissage dans les cours des mathématiques ? Avant de discuter cette question là, il est important d’identifier une collection d’exemples dans lesquelles les deux approches nous montrent leurs forces et leurs contraintes. L’objectif de ce projet c’est l’analyse des productions sémiotiques des enseignant(e)s et des étudiant(e)s avec et sans technologie et ainsi que la catégorisation des aspects de qualité liée à des tâches mathématiques.

Arrière-plan du projet

En les dernières 30 ans, la résolution des problèmes a été identifiée comme une activité essentielle dans l’apprentissage des mathématiques chez les étudiant(e)s. Des nombreux projets de recherche ont été emmenés, en abordant des différents aspects en liant avec la résolution des problèmes. Comme une conséquence, la plupart de la littérature inclus deux éléments fondamentaux, et des aspects théoriques sur la résolution de problèmes dans l’apprentissage des mathématiques et ainsi que des aspects pratiques pour l’implémentation d’activités instructionelles dans les courses des mathématiques (Whimbey & Lochhead, 1976; Schoenfeld, 1985; Curcio, 1987; Silver, 1990; Romberg, 1995). Les récentes propositions curriculaires identifient l’utilisation de la technologie comme un ingrédient clé pour le développement d’expériences d’apprentissage compatibles avec la pratique de la discipline (NCTM, 2000). Néanmoins, une partie de la littérature concernant la recherché actuelle, rapporte le rôle important de la technologie dans l’apprentissage des mathématiques chez les étudiant(e)s. Il est important d’observer aussi, que beaucoup de travaux fondamentaux dans la résolution de problèmes jusqu’aux années 90, ont été, principalement, basés sur des expériences chez les étudiant(e)s avec papier et crayon. Par exemple, des résultats importants du travail de Schoenfeld sont issus de l’observation des individus (des mathématiciens et des étudiants) lors de leurs travail dans la résolution d’un problème non routinière et, en général, les individus se sont concentrés dans la résolution du problème proposé sans utiliser technologie.

Dans cette perspective, c’est important d’analyser une production d’une enseignante des mathématiques, où de façon naturelle l’enseignante a suivi deux processus, ceux sans utiliser la technologie et en utilisant une calculatrice graphique. Dans cette perspective, Hitt (1996) a analysé leurs approches suivies par des enseignant(e)s de niveau secondaire sur des tâches liées à des problèmes non routiniers (ceux dessinés par Selden et al., 1989); Un des résultats a été que même les enseignant(e)s dans une situation inusuelle restent presque toujours dans le domaine algébrique sans faire des articulations nécessaires par rapport à d’autres représentations; les résultats ont été très similaires à ceux qui ont obtenu par Selden et al., chez les étudiants d’ingénierie lesquels avaient passé un cours de calcul différentiel dans leur première année à l’université. Ainsi, les mêmes problèmes ont été posés aux même enseignant(e)s dans un environnement technologique (avec des ordinateurs), il y a eu un changement complet et leurs argumentations furent restreindre à ce qu’ils voiaient dans l’écran et sans faire dans ce cas là l’articulation entre d’autres représentations comme l’algébrique pour générer un processus algébrique.

Dès un point de vue théorique, nous avons tenu compte qu’un concept mathématique est construit à travers les différentes tâches de conversion entre des représentations par l’articulation de leurs représentations libre de contradictions. Alors, notre premier objectif était d’analyser un problème qu’a été posé par un professeur à un groupe d’étudiants dans un cours de 3^e semestre d’université, le problème a demandé notre attention, parce que le professeur de ce cours a interdit à ses étudiants d’utiliser la calculatrice graphique parce que « pour faire des mathématiques on n’a pas besoin de la technologie » ! De fait, cela c’est qu’il a dit à ses étudiants des mathématiques et ainsi que d’économie: “…les calculatrices sont interdites dans mon cours. Ici vous allez faire des mathématiques, et pour ça vous n’avez pas besoin d’une calculatrice!” Alors, il a donné à ses étudiants le problème suivant:

Calculer:

2

0 1

dx x−

∫

Alors, nous nous posons la question : Quelle type de connaissances sont nécessaires pour résoudre le problème ? Le professeur, après qu’il n’y a pas eu de réponse, alors, il a fait le calcul dès point de vue algébrique. Et nous nous demandons : Qu’est-ce que les étudiants ont retenu de ce processus ? Il semble que…

Alors, une étudiante de cette cours a demandé à un autre professeur une explication de ce que son professeur avait fait algébriquement. L’explication qu’elle a reçu est la suivante. Première approche: « Voyons premièrement le comportement de la fonction

x 1

x 1

1 1

− x Figure 1

On voit qu’il s’agit d’un intégral impropre. La fonction tend vers l’infini lorsque x → 1^- et lorsque x → 1⁺. Alors, nous devons calculer l’intégral de zéro à un petit peu avant x = 1 et un petit peu après 1 à 2. Alors, pour ε > 0 donné,

∫

∫

∫

−

→ + −

= −

−

2 01 1

0 0 2

0 1 1 ^ε _ε 1

ε

ε x

Lím dx x

Lím dx x

dx

C’est-à-dire,

(

) (

)

1 ^{0 0}

2 0

=

− +

+

−

=

− = ^{→ →}

∫

x

dx L .

L’étudiante a été étonnée parce que l’approche de ce professeur fut totalement différente de ce qu’elle avait eu dans son cours. Elle a dit : « Le dernier professeur avait commence avec un graphe ! » Et elle avait questionné, est-ce qu’un autre professeur va résoudre le problème de la même façon ? La réponse fut : « Nous pouvons toujours essayer avec un autre mathématicien. Nous sommes intéressées par le problème, l’attitude de ton professeur et la façon de résoudre le même problème pour d’autres membres de la communauté. Trouve-toi un autre professeur et posé-lui le même problème, tu dois écrire tout ce qui tu peux de ses commentaires!!! » Elle (l’étudiante) l’a fait et elle est venue avec la démarche suivante :

“Nous avons une intégral impropre. Alors, étant donné ε > 0, nous devons calculer:

4 2 1 2

1 1

2 01 1

0 0 2

0

= +

=

− =

− +

− =

∫ ∫

∫

−

→ K

ε ε ε

ε x

Lím dx x

Lím dx x

dx .”

Nous n’avons que deux différentes approches, un qui utilise premièrement les représentations graphiques et une conversion à la représentation algébrique. L’autre dès un point de vue des représentations algébriques seulement. L’étudiante a dit qu’elle avait compris au moment où elle a vu l’approche graphique et la conversion vers le processus algébrique!

Après, parce que le problème à attirée notre attention, dans un cours pour des enseignant(e)s en service du niveau secondaire, où l’accent a été mit sur l’importance de la visualisation mathématique, nous avons utilisé ce problème là. La plupart des enseignant(e)s ont trouvé que l’intégral était zéro. Un parmi eux, a écrit que l’intégral est approximativement 1 (voir Figure 2)

Figure 2

Seulement une enseignante sur les neuf a résolu le problème, mais ce qui est surprenant c’est qu’elle a dessiné un graphique erroné ! Mais son processus algébrique a été correct. Il semble qu’elle a donné beaucoup plus d’importance a son processus algébrique qu’à son graphique. De fait, elle a été placé dans une situation contradictoire, dès point de vue logique, entre ses deux résultats l’algébrique et celui du point de vue graphique (voir Figure 3). Il existe la possibilité qu’elle ne s’est pas rendu compte de la contradiction à laquelle l’enseignant s’était placé. Mais, il semble qu’elle a fait une fausse interprétation de son graphe pour se mettre en accord avec son processus algébrique.

Figure 3 Que peut arriver quand la technologie est tout prêt ?

Continuant avec le même problème, mais cette fois ci dans une interview chez un enseignante de secondaire:

Interviewer: Calculer

2

0

1

dx x −

∫

Enseignante: L’intégral est l’aire au-dessous de la courbe... Alors, qu’est-ce que nous pouvons faire pour annuler la valeur absolue? Je vais initier la résolution dès un point de vue algébrique… dans ce cas je dois trouver une formule pour calculer l’intégral…

1 1

1 ( 1) 0

x si x

x x si x

− −

− = − − <

≥0

1 0 x− ≥ ;

2

0 1

dx x−

∫

^{( )}

^{( )}

0

1 2 2 1 2 1 1

u x u dv u x

dv dx

= −  −

⇒ = = − → +

= 

∫

( )

2 1 00 2 1/ 2 1/ 2 2

1 0

0 0

1 2 2 2

1

xx

dv x

u x

dx u u

dv dx x

− + <

− <

>

= − + = − ⇒ − = − = − = −

−

=

∫ ∫

Interviewer. Peux-tu te souvenir de la question originale: Calculer

2

0 1

dx x−

∫

Enseignante: Bien,…l’intégral est donné dans deux parties, et celles-ci vont nous donner zéro, mais… j’ai besoin d’un graphe avant de donner ma dernière réponse…

Enseignante:

OUI L’INTÉGRAL EST ZÉRO.

Figure 4

Nous pouvons voir que l’enseignante a graphiqué deux fonctions et − au lieu de la fonction,

−1

x

(

)

1 ) 1

( = −

x x

f , avec 0 . Il semble qu’elle n’a pas été à l’aise avec sa réponse, parce qu’elle a dit de plus.

≤2

≤x

Enseignante: Puis-je utiliser une calculatrice?

Interviewer: Oui, pourquoi pas!

Enseignante: Huyyy!!! [exclamation au moment lors de voir la réponse dans l’écran de la calculatrice symbolique TI92, puisque l’intégral est égal à 4 et aussi, elle a obtenu un graphe différent]

Figure 5 Enseignante:

2 1 2

0 1 0 1 1

dx dx dx

x x

−ε

= +

− −

∫ ∫ ∫

Nous pouvons tirer les observations suivantes:

• Les enseignant(e)s lorsqu’ils étaient étudiants ont acquis quelques connaissances qu’ils utilisent lorsqu’ils sont dans leurs courses comme enseignant(e)s. Et oui, ceci c’est normal, mais, s’ils ont reçu une approche formelle, alors dans leurs courses ils vont mettre l’accent sur les représentations algébriques et les autres représentations vont être moins d’important pour eux.

• Si les enseignant(e)s considèrent que la technologie peut leur aider, mais ils sont dans leurs courses avec une idée classique sur l’apprentissage des mathématiques, alors ils vont essayer de faire plus efficient leur approche classique ; sans faire une réflexion approfondie sur le rôle qui peut jouer la technologie dans une nouvelle approche sur l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques.

Voici le point de vue de Zimmermann lié a cette problématique (1990, p. 136):

Conceptuellement, le rôle de la pensé visuelle est très fondamental dans la compréhension du calcul, il est très difficile d’imaginer un cours avec succès dans lequel on ne met pas l’accent sur les éléments visuels du thème. Ça, c’est simplement vrai si le cours a l’intention de mettre l’accent dans la compréhension conceptuelle ; cette compréhension conceptuelle manque dans l’enseignement actuelle. La

manipulation symbolique est très répandue et… dans ce processus on a perdu l’esprit du calcul.

Est-ce que nous avons besoin d’une nouvelle culture en s’appuyant sur la compréhension visuelle et ainsi que de la résolution de problèmes?

Les observations que nous avons fait, autour de la résolution de problèmes dans des environnements différents, nous montrent que les processus qui utilisent les étudiants est très bornés au contexte, en général, et ils se sont limités à las représentations algébriques.

Ils n’articulent pas les différentes représentations qu’ils ont besoin pour la résolution du problème envisagé. Il semble que nous avons besoin de développer chez l’étudiant une approche différente que puisse de façon naturelle, provoquer l’utilisation des différentes représentations dans la résolution de problèmes. Ainsi, sous cette perspective là, nous avons besoin d’avoir des problèmes où ils puissent utiliser la technologie pour promouvoir leur pensé visuelle et ainsi que des images dynamiques. Nous allons montrer cette idée par des exemples.

1. Étant donné un triangle T, base B (voir Figure 6). Où est-ce que nous pouvons placer le point P pour construire une ligne parallèle à B, de telle façon que celle-là passé par P et aussi que l’aire de toutes les deux parties soit la même.

i) Une approche traditionnelle pour ce problème est liée à la reconnaissance de la ligne parallèle à B que va produire un triangle t semblable à T (Figure 6).

a b A c

B

C

P X Q

X

t

Figure 6

La proportionnalité des triangles et la condition sur l’aire du triangle t doit être égale à la moitié de l’aire du triangle T, on obtient comme résultat que

a = 2A

2 ; b= 2B

2 ;and c= 2C

2 . La construction du segment a, peut se faire en

prenant compte un triangle isocèle avec des côtés égaux au segment A. Dans ce cas là, l’hypoténuse sera 2A et la moitié correspondra au segment a.

ii) Par l’aide d’un logiciel dynamique, il est possible d’examiner le comportement de toutes les deux aires pour s’approcher à la distance SP et ainsi dessiner la ligne parallèle qui va diviser le triangle dans deux aires égaux.

Le tableau ci-dessous nous donne une idée aussi claire sur l’approchement de la valeur SP. Cependant, le graphe nous donne un comportement continu de toutes les deux aires et aussi, on peut voir que le point d’intersection va déterminer la valeur de SP (Figure 7).

x y

0.87 cm 0.87 cm

a b A c

B

C

P X Q

X

t T 12

34 56 78 109

3.15 2.08 12.14 2.94 2.54 11.67 2.70 3.16 11.05 2.45 3.85 10.37 2.07 5.01 9.21 1.58 6.79 7.43 1.49 7.11 7.10 1.45 7.28 6.94 1.29 7.95 6.26 0.87 9.77 4.44 SP Area of

triangle t Area of PQRS

Area of triangle t = ^{9.77 cm2}

Area of PQRS= ^{4.44 cm2}

S R

1 1

Figure 7

Nous pouvons observer que, l’utilisation du logiciel deviendra comme un outil très puissant pour représenter l’aire de variation d’un graphe. On peut regarder aussi que la première approche met l’accent dans la manipulation correcte des propriétés de la figure sans donner une information explicite celle du comportement des aires. Ainsi, l’approche

dynamique est liée à la production numérique de donnés et après par ceux-ci, on peut tracer le graphe et finalement regarder les relations entre les variables en jeu.

2. Supposons que nous avons un triangle ABC comme celui de la Figure 8, et soit P un point arbitraire placé sur un côté du triangle ABC. Donnes un argument mathématique pour démontrer qu’il y a un triangle équilatéral, avec ses trois sommets sur les côtés du triangle ABC –et de plus qu’un de ses sommets soit P.

C

A

B P

Figure 8

C

A

B P

Figure 9

i) Une approche dynamique. Pouvons-nous dessiner un triangle équilatéral avec un sommet P et un autre sommet placé sur le segment AB? Où est-ce que l’autre sommet va se placer? Quelle est la trajectoire du troisième sommet lorsque le point Q parcourt le segment AB? Le logiciel inclus des instructions que puissent nous aider à résoudre ces questions.

C

A

B P

Q R

Figure 10

Dans la Figure 10, le point Q est quelconque placé sur AB; le segment PQ est utilisé comme référence pour dessiner le triangle équilatéral PQR. Lorsque le point Q parcourt le segment AB, la construction ne change pas et c’est possible déterminer la trajectoire du point R (voir Figure 11).

m

60.0 ° 3.34 cm 3.34 cm

3.34 cm

C

A

B P

Q

R L

R'

Q'

Figure 11

Nous pouvons observer dans la Figure 11 que le sommet R reste toujours sur une droite et ainsi l’intersection de la droite m avec le segment BC nous donnera le sommet cherché. C’est-à-dire, l’utilisation du logiciel nos a muni d’information nécessaire pour imaginer sur l’existence de ce triangle équilatéral.

Dans tous les deux exemples que nous venons de donner, l’utilisation de la technologie est important pour explorer le comportement des différentes variables en jeu, car, d’autres cas il est très difficile déterminer, comme par exemple dans un environnement de papier-crayon.

Alors, il y a encore un ensemble de questions que nous voulons commenter. Par exemple, lorsque quelques tâches sont faites par des approches traditionnelles et en s’appuyant par les technologiques.

1. Quel type de pensé mathématique peut se construire par l’utilisation de la technologie?

2. La pensé des étudiant(e)s et plus cohérent en utilisant la technologie par rapport à des approches basées dans des activités avec papier-crayon?

3. Quelles caractéristiques autour de la démonstration en mathématiques sont privilégiées par l’utilisation de la technologie?

4. Quel rôle vont jouer les représentations dynamiques à l’intérieur de la pensé mathématique des étudiant(e)s?

5. Quelle type de questions se demande l’étudiant(e) et suive lors de travailler des tâches mathématiques avec technologie?

Notre intérêt c’est de travailler avec des étudiants de niveau secondaire (9 à 12, 15 à 18) et de première année d’université. Dans la première phase du projet notre objectif était de travailler avec des problèmes routiniers dans ceux que, régulièrement se trouvent dans quelques manuels traditionnels, mais en leur transformant dans non-routiniers. C’est-à-dire,

l’idée c’était de documenter des caractéristiques qualitatives montrés par les étudiants lorsqu’ils travaillent le même type de problèmes en utilisant la technologie. Ici, c’est pertinent de nous nous poser quelques questions : Est-ce que les étudiants peuvent transformer les problèmes routiniers vers non-routiniers ? Comment pouvons-nous caractériser leurs approches au moment qu’ils utilisent la technologie ? En plus, une propriété notable d’un logiciel dynamique est-ce que les étudiants puissent construire des représentations dynamiques de quelques tâches. D’ailleurs nous sommes intéressés en explorer dans quelle mesure ces représentations puissent aider à l’étudiant(e) dans la visualisation et production des conjectures ou des liaisons particulières. Par ailleurs, nous sommes aussi intéressés dans l’analyse de leurs arguments et de leurs explications données dans leurs soutien de leurs conjectures. Dans quelques cas, les étudiants auront l’opportunité de lier ou vérifier les propriétés mathématiques des concepts qu’ils ont étudié auparavant, en utilisant la technologie.

En relation avec l’utilisation de calculatrices symboliques nous dessinâmes des tâches dans lesquelles les étudiants peuvent utiliser ces outils pour trouver des expressions générales liées à un phénomène quelconque. L’idée c’est que les étudiants aient une aide puissante (par la technologie), et de même des ressources mathématiques. En effet, quelques avantages lorsque les étudiants utilisent la technologie, sont ceux que nous voulions explorer, parce que la complexité dans la résolution d’un problème dès point de vue classique, peut immobiliser un étudiant(e). C’est-à-dire, notre hypothèse c’est qu’en utilisant la technologie les étudiants peuvent travailler des problèmes complexes que dans un environnement classique où ils ont besoin de ressources mathématiques sophistiqués.

En utilisant quelques tâches ad hoc, sorti de quelques problèmes des manuels et ainsi que des problèmes proposés par les étudiant(e)s, nous encourageons aux à analyser leur connaissance par une nouvelle approche avec la technologie et ainsi pouvoir développer des idées nouvelles que difficilement peuvent être développes dans un environnement de papier-crayon.

Un d’autre thème d’intérêt c’est la promotion pour articuler plusieurs idées mathématiques en utilisant la technologie. Par exemple, une tâche qu’au départ puisse déclencher l’utilisation de quelques ressources algébriques et qu’elles puissent être

transformées vers des différentes représentations pour avoir une discussion plus approfondie chez les étudiants.

Réflexions

Nous avons observé dans nos études que les problèmes cognitifs des étudiants peuvent être provoqués par leurs enseignant(e)s. En général, les enseignant(e)s ont une tendance à utiliser presque toujours, seulement, des procédures algébriques. Et lorsqu’ils ont dans un environnement technologique, les enseignant(e)s ont comme tendance, si le problème est non routinier, à utiliser les processus algébriques usuels. Enfin, une nouvelle approche en utilisant la technologie doit prendre compte de ce type de problèmes, alors, il y a une nécessité urgente de créer une nouvelle culture que puisse promouvoir une compréhension visuelle et ainsi qu’une nouvelle approche dans la problématique liée à la résolution de problèmes.

Références

Curcio F. R. (1987) (Ed.) Teaching and learning. A problem solving focus. National Council of Teachers of Mathematics: Resto, VA; The Council.

Eisenberg T. & Dreyfus T. (1990) On the Reluctance to Visualize in Mathematics. In Visualization in Teaching and Mathematics (Zimmermann W. & Cunningham S.

Editors), MAA Series. USA.

Hitt F. (1996) Résolution des problèmes non-routiniers et utilisation des nouvelles technologies. Proceedings of CIEAEM 47 (C. Keitel editor), Berlin, pp. 283-289.

Romberg T. (1995) (Ed.) Reform in school mathematics and authentic assessment. Albany, NY: State University of New York.

Selden, Mason & Selden (1989) Can Average Calculus Students Solve Nonroutine problems? Journal of Mathematical Behavior 8, 45-50.

Santos, Manuel. (2000). Students’ approaches to the use of technology in mathematical problem solving. Paper presented at the working group Representation and Mathematics Visualization. PMENA, Tucson Arizona.

Whimbey A. & Lochhead J. (1979) Problem solving and comprehension. Sixth Editors Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Zimmermann W. (1990) Visual Thinking in Calculus. In Visualization in Teaching and Mathematics (Zimmermann W. & Cunningham S. Editors), MAA, No. 19.