Preparer son entree en TS - Mathematiques - Partie 1 - S PLUOT
Exercice 1
Les racines d’un polynôme sont les valeurs annulant ce polynôme.
Pour un polynômea·x2+b·x+cdu second degré, le nombre de racines existantes dépend du discriminant :
∆ < 0
Aucune solution
∆ = 0
1 solution
− b 2·a
∆ > 0
2solutions
−b− p∆
2·a ; −b+p
∆ 2·a
Résoudre les équations suivantes :
a. x2+ 4x−5 = 0 b. 2x2−13x+ 15 = 0 c. x2+x+ 1 = 0 d. x2+ 5x+ 2 = 0 e. −3x2+ 6x−2 = 0 f. 3x2−2x+ 1 = 0 Exercice 2
On considère la fonction polynomeP de degré 3 définie par : P(x) = 3x3+x2−8x+ 4
1. Déterminer les valeurs dea,b,ctel que : P(x) = (x+ 2)(
a·x2+b·x+c)
2. En déduire l’ensemble des zéros du polynômeP. Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :
a. 2x2−8x+ 2⩾0 b. 3x2−5x+ 2
−3x2+ 4x−2 ⩽0 c. 2x−5
2x−1 <x+ 1 x+ 3 Exercice 4
Dans le plan muni d’un repère (
O;I;J)
, on considère les courbesCfetCgreprésentatives des fonctionsf etgdéfinies par :
f(x) =x2+3
2·x−1 ; g(x) =−1
2·x2+x+ 1
-4 -3 -2 -1 I 2 3 4
-2 -1 2
J
O
C
fC
gOn répondra algébriquement aux questions ci-dessous : 1. Déterminer les zéros des fonctions f et g. (c’est à dire
les antécédents de0 par chacune de ces deux fonctions) 2. Déterminer, algébriquement, la position relative des
courbesCf etCg. Exercice 5
On considère la fonctionf définie surRpar la relation : f(x) = 1
3·x3−x2−3x+ 1
La courbeCf représentative de la fonctionf est donnée dans le repère(
O;I;J)
orthogonal ci-dessous :
-3 -2 -1 I 2 3 4 5 6
-8 -6 -4 -2 2 4
J O
C
f1. Graphiquement, dresser le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle [
−3 ; 6]
. (on n’indiquera pas les valeurs des images)
2. a. Déterminer l’expression de la fonctionf′. b. Dresser le tableau de signe de la fonctionf′ surR. 3. Que remarque-t-on?
Exercice 6
On considère la fonctionf définie surR+ par la relation : f(x) = 1
x2−x+ 1
Dans le plan muni d’un repère (
O;I;J)
, on considère la courbeCf représentative de la fonctionf:
2 3 4
I J
O
C
fM
On considère un point M appartenant à la courbe Cf
d’abscisse x et on construit comme l’indique la figure ci- dessus un rectangle où les points O etM sont des sommets de celui-ci.
On note A(x)l’aire de ce rectangle en fonction de la valeur dex.
1. Donner l’expression de la fonctionA.
2. a. Déterminer l’expression de la fonctionA′dérivée de https ://chingatome.fr
la fonctionA.
b. Dresser le tableau de signe de la fonctionA′. c. Dresser le tableau de variations de la fonction A. 3. Quel est la position du pointM afin que l’aire du rect-
angle soit maximale?
Exercice 7
On considère la suite( un)
définie par :
u0= 1 ; un+1= 2·un+ 3n pour toutn∈N. 1. a. Déterminer les cinq premiers termes de(
un) . b. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de (
un
) 2. Montrer que la suite géométrique(
vn
)de premier terme v0 et de raison3 vérifie la relation :
vn+1= 2·vn+ 3n. Exercice 8
On considère la suite( un)
n∈Narithmétique de premier terme
−3et de raison4.
1. Donner l’expression du termeunen fonction de son rang n.
2. Quel est le rang du terme de la suite ( un
) ayant pour valeur605
3. Déterminer la valeur de la sommeS définie par : S=u0+u1+·+u100
Exercice 9
On considère la suite( un
)définie par : u0= 0 ; un+1=−1
2·un+ 1 pour toutn∈N 1. Déterminer les cinq premiers termes de la suite(
un) . 2. On considère la suite(
vn
)définie par :
vn=un−2
3 pour toutn∈N
a. Déterminer les quatre premiers termes de la suite (vn)
.
b. Etablir que pour tout entier naturel n, on a : vn+1=−1
2·vn
c. Donner la nature et les valeurs des éléments carac- téristiques de la suite(
vn
).
3. a. Déterminer la valeur de la sommeS′ définie par : S′=v0+v1+· · ·+v14
b. Déterminer la valeur de la sommeS définie par : S=u0+u1+· · ·+u14
4. a. Donner l’expression du termevnen fonction de son rangn.
b. Donner l’expression du terme un en fonction de son rangn.
Exercice 10
On considère la suite ( un)
définie surN par la relation de récurrence suivante :
u0= 0 ; un+1=un−2n+ 11
1. a. A l’aide du logiciel de votre choix, tracer le nuage de points associé au 15 premiers termes de cette suite.
b. Faire une conjecture quant à la nature de la courbe passant par ces points.
2. a. Déterminer la fonction f définie par un polynôme du second degré, vérifiant les relations :
u0=f(0) ; u1=f(1) ; u11=f(11) b. Donner l’expression réduite de l’expression :
f(x+1)−f(x).
c. Etablir l’expression des termes de la suite ( un
) en fonction de leur rangn.
Exercice 11
Une fabrique de chocolats construit dans l’année des boîtes de chocolats dont 50 % avec du chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et20 %de chocolats blancs.
70 % des boîtes présentent des chocolats natures alors que les autres boîtes contiennent des chocolats sont fourrés de caramel. Ces proportions sont indépendantes du chocolat utilisé pour confectionner la boite.
On considère les évènements :
L: “le chocolat au lait est utilisé” ; N: “le chocolat noir est utilisé” ; B: “le chocolat blanc est utilisé” ; N a: “les chocolats sont natures” ;
C: “les chocolats sont fourrés au caramel” ; Tous les résultats seront donnés sous forme décimale.
1. Dresser l’arbre pondéré associé à cette situation.
2. On choisit en sortie d’usine, au hasard, une boite pro- duite. Déterminer les probabilités des évènemnts suiv- ants :
a. “la boite contient des chocolats noir et nature”
b. “la boite contient des chocolats noir ou nature”
3. L’entreprise fixe les prix des boîtes de la manière suiv- ante :
le prix de base d’une boîte de chocolat est de9e; si le chocolat utilisé est le chocolat noir alors le prix est majoré de4e;
si le chocolat utilisé est le chocolat blanc alors le prix est majoré de2e;
si les chocolats sont fourrés au caramel, le prix de la boîte augmente de2e.
La variable aléatoire X associe à boîte produit par l’usine son prix de ventre.
a. Dresser le tableau représentant la loi de probabilité associée à la variable aléatoireX.
b. Déterminer l’espérance de la variable aléatoireX ar- rondi au dixième près.
Exercice 12
Une usine produit des sacs. On suppose que la probabilité (arrondie au centième)qu’un sac soit défectueux est égale à 0,03.
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On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs dans pro- duction d’une journée. La production est suffisamment im- portante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 sacs. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe le nombre de sacs défectueux.
1. Justifier que la variable aléatoireX suit une loi binomi- ale dont on précisera les paramètres.
2. Quelle est la probabilité de l’évènement “au moins un sac est défectueux”? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.
3. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléa- toireX.
Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
Exercice 13
On considère les deux algorithmes ci-dessous : Algorithme 1
u ← 4
Pour i allant de 1 à 53
u ← u + 3 Fin Pour
Algorithme 2 u ← 1
Pour i allant de 1 à 4 u ← 2×u + 1
Fin Pour
Pour chacun des algorithmes, donner la valeur contenue dans la variableuaprès l’exécution de l’algorithme.
Exercice 14
On considère la suite( un
)géométrique de premier terme de 2et de raison 2:
1. Saisir l’algorithme ci-dessous.
n ← 0 u ← 2
Tant que u < 1000 u ← 2×n n ← n + 1 Fin Tant que
Interpréter la valeur de la variable n à la fin de l’exécution de l’algorithme.
2. Modifier l’algorithme pour connaitre le rang du premier terme supérieur à5000.
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