Polynômes hyperboliques
SiK=RouK=C, on note Pol(Kn) l’algèbre des fonctions polynomiales surKn, dont la base canonique est constituée des fonctions monômes x 7→ xm11. . . xmnn, où m1,. . .,mn sont dans N et x1, . . . , xn sont les coordonnées dex. Par convention, on aura toujoursx0j = 1, même lorsquexj= 0. L’écriture d’une fonction polynomiale comme combinaison linéaire de fonctions monômes étant unique, on utilisera par la suite les motsmonôme etpolynômepour désigner des fonctions monômes ou polynomiales.
Ledegrédu monômexm11. . . xmnn est l’entierm1+· · ·+mn. Un polynômeP de Pol(Kn) est dithomogènede degréds’il est combinaison linéaire des monômes de degréd. Les polynômes homogènes de degrédsurKn forment donc un espace vectoriel que l’on note Homd(Kn). Les éléments de Hom2(Kn) sont appelés formes quadratiques surKn.
Si V est un espace vectoriel surK de dimension finie n, le choix d’une base B deV permet d’identifierV à Kn; on peut donc parler de polynômes et de polynômes homogènes sur V. On admettra que ces deux notions sont indépendantes du choix deB, et on notera Pol(V) (respectivement Homd(V)) l’espace vectoriel formé des polynômes (respectivement des polynômes homogènes de degréd) surV.
Si j et k sont deux entiers relatifs, on notera Ji;jK l’ensemble des entiers relatifs i tels que j ≤ i ≤k. Si k < j,Ji;jKest donc vide.
Préambule
1. SoitP∈Homd(Rn) etv∈Rn. Calculer
n
X
j=1
vj
∂P
∂xj
(v) en fonction deP(v).
Le problème traite des polynômes hyperboliques. SoitV un espace vectoriel réel de dimension n ≥1, soit d≥1 un entier eta∈V un vecteur non nul ; on dit qu’un polynôme homogènepde degrédsurV (donc un élément de Homd(V)) esthyperbolique dans la directionasi d’une partp(a)6= 0, et d’autre part, pour tout vecteurx∈Rn, les racines du polynôme à une variable
t7→p(ta−x)
sont réelles. Remarquons que sisest un réel non nul, pest encore hyperbolique dans la direction desa; ce qui explique l’emploi du motdirection dans la terminologie ci-dessus.
2. Vérifier que dans cette définition, les racines det7→p(ta−x), comptées avec leurs multiplicités, sont au nombre ded.
Ces racines seront notéesλ1(x, a), . . . , λd(x, a) et rangées dans l’ordre croissant : λ1(x, a)≤ · · · ≤λd(x, a).
Si, de plus, pour toutxnon colinéaire àales inégalités sont strictes, i.e.
∀x∈Ra , λ1(x, a)<· · ·< λd(x, a), on dit quepeststrictement hyperbolique dans la directiona.
3. Exprimer p(x) au moyen de p(a) et des (λj(x, a))1≤j≤d. Soit s ∈ R. Exprimer en fonction du signe desles (λj(sx, a))1≤j≤d et les (λj(x+sa, a))1≤j≤d au moyen des (λj(x, a))1≤j≤d.
4. Montrer que la fonction S 7→det(S) est un polynôme homogène sur l’espace Symm(R) des matrices symétriques réelles de taillem, et que ce polynôme est hyperbolique dans une direction convenable.
5. Pour quelles valeurs de l’entierk compris entre 1 etn, la forme quadratique donnée par q(x) =
k
X
j=1
x2j−
n
X
j=k+1
x2j
est-elle hyperbolique surRn, dans une direction convenable ?
6. Soitd≥2 etpdans Homd(V) hyperbolique dans une directiona, montrer que la formule x7−→
n
X
j=1
aj ∂p
∂xj
(x)
définit un polynôme hyperbolique dans la même direction. On notera ce polynômea· ∇p.
7. Soitn≥2 etd∈J1;nK. On définit surRn led-èmepolynôme symétrique élémentaireΣd par Σd(x) = X
1≤j1<···<jd≤n
xj1. . . xjd.
Montrer que Σd est hyperbolique dans la directione= (1, . . . ,1).
PARTIE II - Continuité des racines
8. Soitnet d deux entiers strictement positifs, etF :Rn →Rd une fonction. On se donne un élément xdeRn. On suppose que, pour toute suite (xm)m∈N dansRn qui converge versx, il existe une sous- suite (xϕ(k))k∈N (avecϕ strictement croissante) telle que la suite (F(xϕ(k)))k∈N converge vers F(x).
Montrer queF est continue enx.
9. Soitpdans Homd(V) un polynôme hyperbolique dans une direction a, oùd≥1 et dim(V) =n≥1.
On définit l’application Λ :
V −→Rd
x7−→(λ1(x, a), . . . , λd(x, a)).
a) Si une suite (xm)m∈N deV est bornée, montrer que les suites (λj(xm, a))m∈N pour 1≤j ≤d, sont bornées elles-aussi.
b) En utilisant la question 8, montrer que Λ est continue.
PARTIE III - Le cône du futur
Soitpdans Homd(V) est hyperbolique dans la direction a, on désigne parC(p, a) l’ensemble des vecteurs x∈V qui satisfont λ1(x, a)>0.
10. Vérifier queC(p, a) est étoilé par rapport àa. MontrerC(a· ∇p, a)⊃C(p, a).
On suppose jusqu’à la fin de cette partie quepest strictement hyperbolique dans la directiona.
11. Soitb dansC(p, a),xdansV et jdansJ1;dK, montrer que la fonctionϕj :
R−→R
t7−→λj(tb+x, a) est surjective. Sid≥2, à quelle condition existe-t-ilj etkdistincts et tdansRtels queϕj(t) =ϕk(t) ?
est concave et que C(p, a) est un cône convexe, i.e. stable par multiplication par un réel strictement positif et convexe.
15. Soit xet bdansC(p, a). Montrerλ1(x, b)>0.
16. En déduire que sib appartient àC(p, a) alorsC(p, b) =C(p, a).
PARTIE IV - Le cas général
On admet dans cette partie l’énoncé suivant (légèrement moins précis qu’unlemme de Rouché) : SoitP,QdansC[X],ω dansCet εdansR∗+. SiP(ω) = 0 et
sup{|Q(z)| ; |z−ω|=ε}<inf{|P(z)| ; |z−ω|=ε} , alorsP+Qadmet au moins une racineω0 vérifiant|ω0−ω|< ε.
17. Soit R dans Pol(C2) un polynôme s’annulant en (0,0). On suppose que le polynôme x 7→ R(x,0) n’est pas nul et on note mla multiplicité de sa racine x= 0. De même, on suppose que le polynôme y7→R(0, y) n’est pas nul et on noterla multiplicité de sa racine y= 0.
a) Montrer qu’il existe des entiers strictement positifsα et β premiers entre eux, et deux polynômes R0 etR1vérifiant les conditions suivantes :
— ∀(x, y)∈R2,R(x, y) =R0(x, y) +R1(x, y) ;
— ∃Q0∈C[X],∀(x, y)∈R∗×R,R0(x, y) =xmQ0(yα/xβ) et 0< βdeg(Q0)≤m;
— R1 est une combinaison linéaire de monômesxiyj pour lesquelsαi+βj ≥αm+ 1.
VérifierQ0(0)6= 0.
b) Monter qu’il existe des polynômes Rb dansC[X] etS dans Pol(C2) satisfaisant l’identité R(zuα, uβ) =uαm(R(z) +b uS(z, u)).
Montrer de plus queRb possède une racine non nulleω.
c) Si ω n’est pas réelle, montrer que pour tout u dans C assez petit, il existe z dans C\R tel que R(zuα, uβ) = 0.
18. On reprend les notations de la question précédente et on suppose que lorsque y est réel, les racines deR(x, y) sont toutes réelles.
a) Montrer que les racines deRb sont toutes réelles.
b) Montrer que l’ensemble des racines deRbest stable par multiplication pare2iαπ/β. En déduireβ ≤2.
c) En considérant aussi les points de la forme (zuα,−uβ), montrer qu’en faitβ= 1.
d) En déduire r≥m.
19. Soit p un polynôme homogène de degré d ≥ 1 sur un espace vectoriel réel V de dimension n ≥ 2, hyperbolique dans la direction dea6= 0.On ne suppose pas quepsoit strictement hyperbolique.On se donnebdansC(p, a).
a) Soit xdansV ets∗ dansR; on utilise les fonctionsϕj définies à la question 11. Soitt∗ une racine réelle det7→p(s∗a−tb−x), de multiplicitér. Montrer qu’au plusrd’entre les fonctionsϕjprennent la valeurs∗ ent∗.
b) En déduire quepest hyperbolique dans la directionb.
Les démonstrations des autres résultats de la partie III restant valables, on pourra utiliser par la suite que
— x7→λ1(x, a) est concave etC(p, a) est un cône convexe ;
— si b∈C(p, a), alorsC(p, b) =C(p, a).
est ditesymétriquesi, pour tous vecteurs x1, . . . , xddansV et pour toute permutation σdansSd. M(xσ(1), . . . , xσ(d)) =M(x1, . . . , xd).
Une forme d-linéaire symétrique est une application M comme ci-dessus, qui satisfait de plus, pour tous vecteursy1, x1, . . . , xd dansV et pour tous réels λ, µ,
M(λx1+µy1, x2, . . . , xd) =λM(x1, x2, . . . , xd) +µM(y1, x2, . . . , xd). SoitM une forme d-linéaire symétrique. La fonction pdéfinie par
∀x∈V , p(x) =M(x, . . . , x), est alors polynomiale, homogène de degréd.
On suppose quepest hyperbolique dans la direction dea6= 0 et qu’on a p(a)>0.
20. Soit bdansC(p, a).
a) Montrer, pour xdansV,dM(x, b, . . . , b) =p(b)
d
X
j=1
λj(x, b).
b) En déduire M(a, b, . . . , b)≥p(a)1/dp(b)(d−1)/d.
21. Vérifier quex7−→M(a, x, . . . , x) est un polynôme hyperbolique surV, dans la direction dea.
22. Montrer que pour tout choix des vecteurs x1, . . . , xd dansC(p, a), on a M(x1, . . . , xd)≥
d
Y
j=1
p(xj)1/d.
On pourra faire un raisonnement par récurrence sur le degréd.
23. Applications
a) On supposed= 2 et M définie positive. Soitαetβ des réels etu,v dansV vérifiantα2> p(u) et β2> p(v). Montrer
M(u, v)≤√ α2p
β2−p
(α2−p(u))(β2−p(v)). b) PourAdansMd(R) une matrice carrée à coefficients positifs, montrer l’inégalité
X
σ∈Sd
a1σ(1). . . adσ(d)≥d! Y
1≤i,j≤d
a1/dij .
PARTIE VI - Concavité dep1/d sur le cône C(p, a)
On reprend les notations de la partie V. On pourra admettre que pour tout polynôme homogènepde degréd surV, il existe une formed-linéaire symétriqueM surV telle quep(x) =M(x, . . . , x) pour toutxdansV.
24. On supposep(a)>0. Soitxety dansC(p, a). En exprimantp(x+y) au moyen de M, montrer p(x+y)≥(p(x)1/d+p(y)1/d)d.
En déduire que la fonctionx7−→p(x)1/d est concave surC(p, a).
25. Montrer que l’ensemble des matrices symétriques réelles de taille det à spectre inclus dansR∗+est un 7−→ 1/d
On considère dans cette partie un polynôme homogènepsur un espace vectorielV de dimensionn≥3. On suppose quepest strictement hyperbolique dans la direction dea, de degréd≥2. Comme on ne considérera pas d’autre direction d’hyperbolicité quea, on noteraλr(x) au lieu deλr(x, a). On se donne trois indices i, j,kdansJ1;dKvérifiantj≤ietk+ 1 =i+j. On suppose, jusqu’à la question 29, qu’il existe deux vecteurs x,y dansV tels que
λk(x+y)< λi(x) +λj(y). 26. Montrer qu’on a nécessairement k≥2.
27. Montrer qu’il existe u,v dansV satisfaisant
λk(u+v)< λi(u), λr(v)<0 sir < j, λr(v)>0 sir≥j .
28. On choisit un élément λ∗ de l’intervalle ]λk(u+v);λi(u)[, et on considère les fonctions (ϕr)1≤r≤d de Rdans lui-même définies parϕr(t) =λr(u+tv). En examinant les valeurs deϕrent= 0,t= 1 et au voisinage de±∞, donner un minorant du nombre de solutions de l’équationϕr(t) =λ∗. Ce minorant dépend de l’indicer.
29. En déduire que le nombre de racines du polynômet7−→p(λ∗a−u−tv) est minoré pard+ 2.
30. Finalement, en conclure que si des entiers i,j,`dansJ1;dKvérifient`≥i+j−1, alors on a
∀(x, y)∈V2 λ`(x+y)≥λi(x) +λj(y).
31. Cette inégalité est-elle encore vraie lorsque le polynôme hyperboliquepn’est pas strictement hyperbo- lique ?
ENS 2013 - MP - Composition D
Préambule
1. Puisqu’une une fonction polynomiale est de classeC∞, il en va de même pour l’application définie surR part7−→P(tv), i.e. par homogénéitét7−→tdP(v). La dérivée en 1 de cette dernière application estd×
P(v), et donc d’après la formule deLeibniz, on obtient l’identité d’Euler
n
X
j=1
vj
∂P
∂xj(v) =d×P(v).
2. Par continuité du polynômet7→p(ta−x) enaet homogénéité, on a, pourtréel non nul, p(ta−x) =tdp(a−x/t) =td(p(a) + o+∞(1)).
On en déduit, puisquep(a) est non nul, p(ta−x) ∼
+∞p(a)td et donc on a affaire à un polynôme de degrédet de coefficient dominantp(a). En particulier d’après le théorème ded’Alembert-Gauss et par hypothèse d’hyperbolicité, le nombre de racines réelles, comptées avec multiplicité, de ce polynôme est égal à son degré, i.e. son nombre de racines estd.
3. Par homogénéité et d’après ce qui précède,t7→p(x−ta) = (−1)dp(ta−x) est de coefficient dominant p(a), et donc par factorisation et évaluation en 0, p(x) =p(a)
d
Y
j=1
λj(x, a).
Soitj dansJ1;dK. Sis= 0, par homogénéité,t7→p(ta) étant monomiale de degréd, toutes ses racines sont nulles et λj(sx, a) = 0 = sλj(x, a). Si s est non nul, toujours par homogénéité, pour t réel, p(ta−sx) = 0 si et seulement sip(ts−1a−x) = 0, i.e.ts−1 est racine deu7→p(ua−x). Sis >0, la multiplication parsest croissante et on en déduitλj(sx, a) =sλj(x, a), et sis <0, elle est décroissante etλj(sx, a) =sλd+1−j(x, a), i.e.
λj(sx, a) =sλk(x, a) aveck=j ouk=d+ 1−j selon qu’on as≥0 ou non.
Comme, de même, p(ta−x−sa) = p((t−s)a−x), par croissance de la translation par s, on a λj(x+sa, a) =s+λj(x, a).
PARTIE I - Exemples
4. D’après la formule développée du déterminant, c’est une application polynomiale surMm(R) et donc aussi sur Symm(R). Par multilinéarité du déterminant c’est un polynôme homogène de degrém. On a det(Im) = 16= 0. Enfin, d’après le théorème spectral, pourS symétrique réelle,χS = det(XIm−S) est scindé surR, i.e.
S7−→det(S) est un polynôme homogène de degrédsur Symm(R), hyperbolique dans la direction deIm.
5. SoitadansRn. On munitRn de sa base canonique (ej)1≤j≤n et de la norme euclidienne canonique.
On poseE= Vect(ej)j≤k etF = Vect(ej)j>k, de sorte qu’on aRn=E⊕F. On écrit alorsa=u+v avec (u, v) ∈ E×F. On a donc q(a) =kuk2− kvk2. Siq(a)> 0 etk > 1, on dispose de xdans E orthogonal àuet non nul car dim(E)≥2, et donc, pourtdansR on a
q(ta−x) =ktu−xk2− ktvk2=t2kuk2+kxk2−t2kvk2=t2q(a) +kxk2≥ kxk2>0.
Siq(a)<0 etk < n−1, on dispose dexdansF orthogonal àv et non nul, car dim(F)≥2, et donc, pour tdans Ron aq(ta−x) =t2q(a) +q(x) = t2q(a)− kxk2<0. Dans ces deux cas, on a affaire à des polynômes ne s’annulant pas, doncqn’est pas hyperbolique dans la direction dea. On en conclut que siqest hyperbolique dans la direction dea, alors soit q(a)>0 etk= 1 (cark≥1), soitq(a)<0 (et donck < n) etk=n−1.
Réciproquementt réel etxdansRn, sik= 1 et a=e1 on écritx=αe1+y avec (α, y)∈R×F, et il vientq(ta−x) = (t−α)2− kyk2 et doncqest hyperbolique dans la direction dee1; sik=n−1 et a=en on écritx=αen+y avec (α, y)∈R×E, et il vientq(ta−x) =kyk2−(t−α)2 et doncq est hyperbolique dans la direction deen. Par conséquent
qest hyperbolique dans un direction convenable si et seulement sik= 1 ouk=n−1.
6. Remarquons que siP est un polynôme de degré au moins 2 et scindé sur Ravec des racines dans un intervalleI, alorsP0 est scindé et ses racines sont dansI. En effet, en écrivantP =αQm
j=1(X−xj)nj avecx1<· · ·< xmdes réels etn1, . . . , nmdes entiers naturels non nuls. Alors, pour toutjdansJ1;mK, P0admetxj comme racine de multipliciténj−1 (i.e.xj n’est pas racine deP0 sinj= 1) et, sij < m, d’après le théorème deRolle,P0 admet une racine dans ]xj−1;xj[, et donc admet
m
X
j=1
nj−1 racines comptées avec multiplicité, soit deg(P)−1 ou encore deg(P0) racines. Ces racines sont comprises entre x1 et xmet appartiennent donc àI.
Puisque pest polynomial, il en va de même pour ses dérivées partielles et donc x 7→ a· ∇p(x) est polynomial. Par homogénéité dep, pourt et uréels et xdansV, on a p(t(x+ua)) =tdp(x+ua) et chacun des deux membres est polynomial enu, donc de classeC∞ sur R. On en déduit, en évaluant la dérivée en 0 de ces fonctions de u, par définition du gradient, ta· ∇p(tx) = tda· ∇p(x) et donc, si t est non nul, a· ∇p(tx) = td−1a· ∇p(x). Puisque d ≥ 2, par continuité de ∇p en 0 il vient a· ∇p(0) = 0 et doncx7→a· ∇p(x) est un polynôme homogène de degré d−1. De plusa· ∇p(ta−x) est la dérivée en t de u 7→ p(ua−x). Cette dernière fonction est un polynôme scindé sur R et donc il en va de même de sa dérivée d’après la remarque faite ci-dessus. Enfin, d’après la question 3,a· ∇p(a) = d×p(a) et donca· ∇p(a)6= 0 puisque p(a) est non nul, par hyperbolicité dep. Par conséquent a· ∇pest homogène de degréd−1 et hyperbolique dans la directiona.
7. On pose, pourJ ⊂J1;nK, ΣJ=Q
j∈Jxj de sorte qu’on a, par définition, pourddansJ1;nK, Σd= X
|J|=d
ΣJ
où la somme porte sur les parties deJ1;nK de cardinald. PouridansJ1;nKon a ∂ΣJ
∂xi
= 0 sii6∈J et
∂ΣJ
∂xi
= ΣJ\{i} sinon. Il en résulte
e· ∇ΣJ=X
j∈J
ΣJ\{j}
et donc, puisqu’il y a une bijection entre les couples (J, j) avec |J|=det j ∈J, et les couples (I, j) avec|I|=d−1 etj6∈I donnée par (I, j)7→(I∪ {j}, j), et qu’il y a n−d+ 1 tels couples àIfixé,
e· ∇Σd=X
(J,j)
ΣJ\{j}=X
(I,j)
ΣI = (n−d+ 1)Σd−1.
Il résulte donc de la question précédente que si Σdest hyperbolique dans la direction deealors il en va de même pour (n−d+ 1)Σd−1et donc aussi de Σd−1puisquen−d+ 16= 0. Comme Σnest homogène de degrén, Σn(e) = 16= 0 et, pourxdansRn ett dansR,
Σn(te−x) =
n
Y
j=1
(t−xj)
Σn est hyperbolique dans la direction dee, et ainsi par récurrence descendante, Σd est hyperbolique dans la direction dee.
PARTIE II - Continuité des racines
8. SiF n’est pas continue enx, on dispose deεdansR∗+tel que pour toutmdansN, il existexmdans la boule ouverte de centrexet de rayon 2−mtel queF(xm) n’appartienne pas à la boule ouverte de centre F(x) et de rayonε. En particulier on a limxm=xet toute valeur d’adhérence de (F(xm)) appartient au complémentaire, fermé, de cette dernière boule ouverte. Ceci est contradictoire avec l’hypothèse faite surF et donc F est continue enx.
9. a) SoitjdansJ1;dK. Si (λj(xm, a)) n’est pas bornée, on dispose d’une sous-suite (ym) de (xm) telle que lim|λj(ym, a)|= +∞. Comme (xm) est bornée, il en va de même pour (ym) et donc (ym/λj(ym, a)) est une suite définie à partir d’un certain rang et tendant vers 0. Par homogénéité on a
p
a− 1
λj(ym, a)ym
= 1
λj(ym, a)dp(λj(ym, a)a−ym) = 0
et donc, par continuité dep, p(a) = 0, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse d’hyperbolicité. Il en résulte que (λj(xm, a)) est bornée.
b) SoitxdansRnet (xm) tendant versx. Puisqu’on a affaire à une suite convergente, elle est bornée. Il résulte de la question précédente que (Λ(xm)) est également bornée et donc, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrassdans l’espace vectoriel de dimension finieRn, on dispose d’une sous-suite (ym) de (xm) telle que (Λ(ym)) converge. On noteλsa limite. De plus on a, pourt réel,
∀m∈N p(ta−ym) =p(a)
d
Y
j=1
(t−Λ(ym)j)
et donc par continuité depet des formes coordonnées surRd, p(ta−x) =p(a)
d
Y
j=1
(t−λj).
Or l’ensemble
u∈Rd
u1≤u2≤ · · · ≤ud est fermé en tant qu’image réciproque du produit cartésien de fermés (R+)d par l’applicationu7→(u2−u1, . . . , ud−ud−1), continue car linéaire en dimension finie. Comme (Λ(ym)) est à valeurs dans ce fermé, il en va de même de sa limiteλ, i.e.
pour toutj dansJ1;dK,λj(x, a) =λj ou encore λ= Λ(x). Il résulte donc de la question précédente que Λ est continue.
PARTIE III - Le cône du futur
10. Soit xdansC(p, a) ettdans [0; 1]. D’après la question 3, et puisque 1−t est positif, λ1(ta+ (1−t)x, a) =t+λ1((1−t)x, a) =t+ (1−t)λ1(x, a),
i.e.λ1(ta+(1−t)x, a)) est combinaison convexe des deux réels strictement positifs 1 etλ1(x, a). Puisque R∗+ est convexe, on en déduitλ1(ta+ (1−t)x, a))>0 et donc C(p, a) est étoilé par rapport àa.
D’après l’étude menée en question 6, pourxdansV, les racines det7→a· ∇p(ta−x) sont incluses dans tout intervalle contenant les racines det 7→p(ta−x). En particulier six∈C(p, a), on peut prendre R∗+ comme tel intervalle et on en conclutx∈C(a· ∇p, a), i.e. C(a· ∇p, a)⊃C(p, a).
