1. 1pt
Epreuve de mathématiques EXERCICE 1 2.5 points
i) Calculer, pour 𝑛 = 2, ∑𝑛𝑘=1𝑘(𝑛 − 𝑘) 0.5pt ii) Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, ∑𝑛+1𝑘=1𝑘(𝑛 + 1 − 𝑘) = ∑𝑛𝑘=1𝑘(𝑛 − 𝑘)+𝑛(𝑛+1)
2 . 1pt iii) Démontrer par récurrence que ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2,: ∑𝑛𝑘=1𝑘(𝑛 − 𝑘)=𝑛(𝑛−1)(𝑛+1)
6 . 1pt EXERCICE 2 3points
Dans un désert il ya des serpents, des souris et des scorpions.
Chaque matin, chaque serpent mange une souris ; chaque midi, chaque scorpion pique un serpent (ce dernier meurt) et chaque soir, chaque souris mange un scorpions.
Au bout de trois jours, il ne reste plus qu’un animal : une souris. Combien y avait-il de souris? De serpents ? De scorpions ?
EXERCICE 3 : 4.5points
Soit le nombre complexe 𝑍 = (−1 + 𝑖√3)(1 + 𝑖).
1. Déterminer la forme algébrique et la forme trigonométrique de Z. 1.5pt 2. Déduire les valeurs exactes de cos (11𝜋
12) 𝑒𝑡 𝑠𝑖𝑛 (11𝜋
12). 1pt 3. Montrer que 𝑍6 est un nombre imaginaire pur que l’on déterminera. 1pt 4. Déterminer le plus petit entier naturel non nul 𝑛 pour lequel 𝑍𝑛 soit un réel. 1pt EXERCICE4 : 5points
1. Résoudre dans ℂ l’équation 𝑧4+ 4𝑖 = 0. 1.5pt 2. Lineariser 𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥. 1.5pt 3. Dans le plan complexe muni d’un repère (𝑂, 𝑈⃗⃗ , 𝑉⃗ ), on considère 𝑀(𝑥; 𝑦) un point d’affixe 𝑧.
Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan vérifiant :|𝑧̅ + 1| = |𝑧 + 3𝑖| . 2pts EXERCICE5 : 5points
On considère l’application f, de ℂ vers ℂ, définie par : 𝑔(𝑧) = 𝑧3+ (1 − 6𝑖)𝑧2+ (−13 − 𝑖)𝑧 + 10𝑖 + 2.
2. Montrer que l’équation 𝑔(𝑧) = 0 admet une solution imaginaire pur 𝑧1. 1.5pt 3. Déterminer les complexes 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 tels que pour tout 𝑧 ∈ ℂ, 𝑔(𝑧) = (𝑧 − 𝑧1)(𝑧2+ 𝑏𝑧 + 𝑐).1pt 4. Résoudre dans ℂ l’équation 𝑧2+ 𝑧 − 4𝑖𝑧 − 5 + 𝑖 = 0. 1.5pt 5. Déduire dans ℂ les solutions de l’équation 𝑔(𝑧) = 0. 1pt
ANNEE SCOLAIRE 2016-2017 SEQUENCE N0 1
CLASSE : TD DUREE : 2H Coef : 04
LYCEE DU MANENGOUBA DEPARTEMENT DE
MATHEMATIQUES
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