Existence globale de solutions pour certains systèmes de réaction diffusion de type gierermeinhardt

BADJI MOKHTAR-ANNABA

UNIVERSITY.

UNIVERSITE BADJI MOKHTAR-

ANNABA.

راتخم يجاب ةعماج

ةبانع

Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

Année : 2017

THÈSE

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de

DOCTORAT EN SCIENCES

EXISTENCE GLOBALE DE SOLUTIONS POUR CERTAINS

SYSTÈMES DE RÉACTION DIFFUSION DE TYPE GIERER-

MEINHARDT

Option :

Analyse Fonctionnelle et Systèmes Dynamiques

Présentée par

LOUAFI Hichem

DIRECTEUR DE THESE: BADRAOUI Salah Prof. U. Guelma

CO-DIRECTEUR: MAZOUZI Said Prof. U. B.M. Annaba

Devant le jury

PRÉSIDENT

BOUSSETILA Nadjib

Prof. U. Guelma

EXAMINATEUR

DJEBABLA Abdelhak

MCA U. B.M. Annaba

EXAMINATEUR NISSE Lamine

Prof. U. El-Oued

Remerciements

Tout d’abord, je remercie Dieu le tout Puissant de m’avoir donné le

courage et éclairé le chemin pour mener à bien ce travail.

Je tiens à remercier mon directeur de thèse, Monsieur BADRAOUI Salah,

Professeur à l'Université de Guelma, pour avoir accepté de diriger mes

travaux de recherches. Je le remercie pour la patience, la gentillesse et la

disponibilité dont il a fait preuve. Qu’il trouve ici l'expression de ma très

grande gratitude.

Je tiens aussi à exprimer ma plus profonde gratitude à Monsieur

MAZOUZI Said, Professeur à l'Université de Annaba et co-directeur de

thèse pour son soutien et sa patience. Ses critiques constructives, ses

précieux conseils, ses relectures pointilleuses m’ont été d’une aide

précieuse.

Mes sincères remerciements vont particulièrement à Monsieur

BOUSSETILA Nadjib , professeur à l’Université de Guelma, d’avoir

accepté de présider le jury.

De même je remercie Monsieur DJEBABLA Abdelhak, maître de

conférences à l'Université de Annaba pour l'honneur qu'il m'a fait de bien

vouloir accepter de faire partie du jury, malgré ses innombrables

occupations au niveau du département de Mathématiques.

Je tiens à adresser ma profonde gratitude à Madame LABIDI Soraya,

maître de conférences à l'Université de Annaba d’avoir accepté

d’examiner ce travail.

Un grand respect s'adresse à l'honorable membre de jury ; Monsieur

NISSE Lamine, professeur à l’Université de Oued-Souf.

Résumé

L'objet général de notre travail est l’étude de l’existence globale –en temps- des

solutions pour des systèmes de Réaction-Diffusion à réaction fractionnaire de

type Gierer-Meinhardt.

Ce type de systèmes a une vaste application aux domaines de la Biologie et de la

Biochimie.

Nous avons étudié l'existence globale des solutions pour un certain système

R-D de type Gierer-Meinhardt composé de trois équations.

Par ailleurs, nous avons généralisé l'étude de l'explosion des solutions pour le

système EDO associé au système de Gierer-Meinhardt à m équations. Ce modèle

est composé d'un activateur et de (m-1) inhibiteurs.

Nos techniques sont basées sur la construction de fonctionnelles de Lyapunov,

les semi-groupes, les formes quadratiques, etc.

Mots-clés: Systèmes de Réaction-Diffusion, systèmes de Gierer-Meinhardt ,

modèle activateur-inhibiteur, existence globale, explosion en temps fini,

fonctionnelle de Lyapunov, semi- groupe.

Abstract

The general purpose of our work is to study the global existence -in time- of

solutions for Reaction-Diffusion systems with fractional reaction of

Gierer-Meinhardt type.

This type of systems has a wide applications in the fields of Biology and

Biochemistry.

We studied the global existence of solutions for a system of Gierer-Meinhardt

type of three equations.

Next, the study of blow up of solutions was generalized for the ODE associated

with the Gierer-Meinhardt system correspond of m equations. This model is

composed with one activator and (m-1) inhibitors.

Our techniques are based on the construction of Lyapunov functional,

semi-groups, quadratic forms, etc.

Keywords: Reaction-Diffusion systems, Gierer-Meinhardt systems,

Activator-Inhibitor model, Lyapunov functional,

semigroup, global existence, blow up.

صخلم

فدٍنا

واعنا

هم

ٌُ ةحَسطلأا يرٌ

ٓهكنا دُجُنا ةسازد

-همزهن ةبسىناب

-لُهحن

ضعب

ممج

َ معفنا دز

ا

لا

زاشتو

ذ

تا

نا

معافت

نا

عُو هم ْسسك

ﭭ

زاسٔ

-دزاٍىم

اٍن ٓتنا

َ إجُنُٕبنا تلااجم ٓف ةعساَ تاقٕبطت

.ءإمٕكُٕبنا

دقن

ٓهكنا دُجُنا ةسازدب اىمق

لُهحن

ةهمج

ﭭ

زاسٔ

-دزاٍىم

ذ

تا

تلاداعم ثلاث

.

،ِسخأ ةٍج هم

ةسازد اىمّمع

لُهح زاجفوا

ةهمج

قفاسمنا ةٔداعنا ةٕهضافتنا تلاداعمنا

ة

ن

ةهمج

ﭭ

زاسٔ

-دزاٍىم

ذ

تا

m

ةنداعم

ٌَُ

ًهصأ واظو

أ

َ طشىم هم نُكم جذُمو

(m-1)

.طبثم

دمتعت

ةهمعتسمنا تإىقتنا

ّهع ةسازدنا يرٌ ٓف

ﺇ

ءاشو

ةٕعبات

فُوُبإن

ةٕعٕبستنا لاكشلأا ،سمزنا فاصوأ ،

،

.خنﺇ

تاملكلا

ةيحاتفملا

:

ممج

زاشتولااَ معافتنا

،

ةهمج

ﭭ

زاسٔ

-دزاٍىم

،

أ

طشىم جذُمو

-طبثم

،

ةٕعبات

،فُوُبإن

،سمزنا فاصوأ

ٓهكنا دُجُنا

ا زاجفواَ

لُهحن

.

Table des matières

0.1 Introduction Générale . . . 3

1 Notations et Notions Générales 5 1.1 Notations générales . . . 5

1.1.1 Espaces fonctionnels . . . 6

1.2 Notions générales . . . 7

1.2.1 Formules de Green . . . 8

1.2.2 Seconde loi de Fick . . . 9

1.2.3 Formes Quadratiques . . . 10

1.2.4 Quelques inégalités utiles . . . 11

1.2.5 Semi-Groupes et Générateurs In…nitésimaux . . . 13

2 Introduction aux Systèmes de Réaction-Di¤usion 16 2.1 Introduction . . . 16

2.2 Modélisation . . . 17

2.3 Exemples . . . 18

2.3.1 En bioécologie . . . 18

2.3.2 En électronique . . . 19

2.4 Existence globale des solutions . . . 20

3 Systèmes de Réaction-Di¤usion de type Gierer-Meinhardt 30 3.1 Introduction . . . 30

3.3 Etude de l’existence globale des solutions de système de Gierer-Meinhardt d’ordre deux . . . 33

3.3.1 Principe de Maximum . . . 34

4 Existence globale de solutions pour certains systèmes de R-D de type

Gierer-Meinhardt 40

4.1 Existence globale et Explosion en temps …ni de solutions à trois

com-posantes de systèmes de R-D de type Gierer-Meinhardt . . . 40

4.1.1 Etude de l’existence globale en temps des solutions . . . 41

4.1.2 Explosion en temps …ni des solutions pour le système EDO associé . 60

4.2 Existence globale des solutions d’un système de type Gierer-Meinhardt couplé 63

4.2.1 Etude de l’existence globale . . . 65

5 Etude de l’explosion en temps …ni des solutions d’un Système Général

0.1

Introduction Générale

Les systèmes de réaction-di¤usion sont des systèmes d’équations di¤érentielles couplés aux dérivées partielles de type parabolique. Aujourd’hui, ces systèmes reçoivent un grand traité d’attention, pour la richesse de la structure de leurs ensembles de solu-tions. De tels systèmes modélisent des phénomènes apparaissant dans des secteurs variés: chimie, biologie, neurophysiologie, épidémiologie, combustion, génétique des populations, etc. Les individus di¤èrent d’un problème à un autre: en chimie, par ex-emple, ils représentent des substances chimiques; en biochimie, ils peuvent représenter des molécules; en métallurgie, des atomes; en dynamique des populations, ce sont des humains; en génétique des populations, ils représentent des caractères. En biophysique, ils représentent des charges électriques ou bien des di¤érences de potentiel et en envi-ronnement, ce sont des animaux ou des plantes d’une forêt, d’une mer ou bien d’un ‡euve.

L’étude du présent travail est l’existence globale et/ou l’explosion (blow up) en temps …ni des solutions de Systèmes de Réaction-Di¤usion de type Gierer-Meinhardt formés d’équations aux dérivées partielles de type parabolique avec une réaction frac-tionnaire. On utilise dans cette optique quelques méthodes fonctionnelles et algébriques telles que la construction des fonctionnelles de Lyapunov, les semi-groupes, les formes quadratiques, etc.

La thèse est structurée comme suit:

Chapitre.1: On rappelle les notations et les notions préliminaires nécessaires

en vue de les utiliser dans les chapitres suivants. On insistera, en particulier, sur quelques théorèmes généraux d’analyse fonctionnelle, sur les espaces de Sobolev, les semi-groupes, quelques inégalités utiles et la positivité des formes quadratiques.

Chapitre 2: On donne des applications concrètes des systèmes de réaction-di¤usion

dans plusieurs domaines du monde réel.

Ainsi exposera des méthodes générales transformant les phénomènes naturelles à des Systèmes de Réaction-Di¤usion de la forme

@u

en utilisant la seconde loi de Fick.

Par ailleurs: On étudiera quelques exemples dans des domaines variés: En bioécologie, électronique et en génétique des populations.

En…n, on donnera un exemple d’étude de l’existence globale en temps des solutions d’un système de réaction-di¤usion avec une matrice de di¤usion triangulaire.

Chapitre 3: Dans ce chapitre nous traiterons un système de Gierer-Meinhardt qui

est un type célèbre parmi les systèmes de Réaction-Di¤usion. On donnera ensuite une forme pratique de ce système modélisant un certain phénomène biologique. D’autre part, on présentera un exemple de modélisation pour la coloration des coquilles de mer. Finalement, on étudiera l’existence globale des solutions d’un système de Gierer-Meinhardt à deux équations.

Au Chapitre 4: Nous établirons l’existence globale des solutions d’un certain

système de Réaction-Di¤usion de type Gierer-Meinhardt composé de trois équations, appliqué à la biologie végétale; au développement des plantes dans un domaine appelé phyllotaxie (disposition des palmes sur le stipe de la plante). Pour cette raison on appliquera quelques lemmes auxiliaires d’estimation ainsi que des théorèmes qu’on prouvera à l’aide de la construction d’une fonctionnelle de Lyapunov. Nous allons également discuter l’explosion -en temps …ni- du système EDO correspondant.

D’autre part on étudiera l’existence globale des solutions d’un système couplé à quatre équations de type Gierer-Meinhardt modi…é à l’aide de la modi…cation de Conway-Cooper sur la troisième équation.

Finalement, dans le Cinquième Chapitre, on généralisera l’étude de l’explosion des solutions du système EDO associé au système de type Gierer-Meinhardt à m

Chapitre 1

Notations et Notions Générales

1.1

Notations générales

étant un domaine borné non vide de RN_{, de frontière @ .}

d désignera la mesure super…cielle sur @ :

On dé…nit le gradient d’une fonction u (x1; x2; :::; xn) par:

grad u =_{ru = (} @u @x1 ; @u @x2 ; :::; @u @xn ); (1.1.1)

et son Laplacien par

u = n X i=1 @2u @x2 i : @u

@ est la dérivée normale de u extérieure à @ ; c’est-à-dire:

@u

@ =ru !;

où ! désigne le vecteur unitaire de la normale extérieure à @ :

C( ) est l’espace vectoriel des fonctions continues dans :

Ck_{( ) est l’espace des fonctions k fois continûment di¤érentiables sur ; où k est un}

entier positif non nul et on a

C1( ) = \

k 0

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet i.e. toute suite de Cauchy est convergente.

D( ) est l’espace des fonctions C1 _{à support compact contenu dans :}

D0_{( ) est l’espace des distributions sur c’est-à-dire l’espace des formes linéaires}

continues sur D( ):

1.1.1

Espaces fonctionnels

Lp_{( )est l’espace des fonctions u mesurables sur telles que}R

jujpdx <_{1; 1} p <₁ muni de la norme kukpLp_{( )} = 1 j j Z jujpdx: (1.1.2)

L1_{( )est l’espace des fonctions u mesurables telles que juj M; p:p(presque partout)}

sur ; _{où M est une constante. L}1_{( ) est muni de la norme}

kukL1( )= sup

x2

ess_{ju (x)j :} (1.1.3)

On a aussi, si (X; k:k_X) est un Banach;

Lp

(0; T; X) = nu _{mesurable de [0; T ] ! X;} R₀T _kukp_Xdt < _{1; si 1} p <₁o muni de

la norme: kukpLp_(0;T;X) = Z T 0 kuk p Xdt (1.1.4) L1_{(0; T; X) =} (

u _{mesurable de [0; T ] ! X; sup ess}

t2(0;T ) kukX

<₁

)

muni de la norme:

kukL1_(0;T;X) = sup ess

t2(0;T ) kukX . (1.1.5) C0; _{( ) = u} 2 C ( ) ; sup x;y2 ju(x) u(y)j jx yj <1 avec 0 < < 1: Ck; ( ) = u _{2 C}k( ) ; Dju_{2 C}0; ( ) _{8j; jjj} k :

On dé…nit l’espace H1_{( ) par}

H1( ) = u_{2 L}2( ); @u

@xi 2 L

muni de la norme kuk2H1_{( )} = Z juj2dx + Z _Xn i=1 @u @xi 2 dx = Z juj2dx + Z jruj2dx: (1.1.6) Généralement on a pour m 2 N

Hm( ) = u _{2 L}2( ); D u_{2 L}2( ) pour tout _{2 N}N _{véri…ant j j} m

muni de la norme kuk2_Hm_{( )} = X j j m Z jD uj2dx = X j j m kD uk2L2_{( )} ; (1.1.7) où D = @ 1+ 2+:::+ n @x 1 1 @x 2 2 :::@xnn et j j = n P i=1

i la dérivée au sens des distributions.

Dé…nissons l’éspace Wm:p_{( ) (1 p <} 1) par Wm:p( ) =_{fu 2 L}p( ); D u_{2 L}p( );_{j j} m_g muni de la norme kukpm:p = X j j m kD ukp_Lp_{( )}; 1 p < +1: (1.1.8) On rappellera que H1 ( ) ; Hm

( ) ; Wm:p_{( ) sont appelés des espaces de Sobolev.}

1.2

Notions générales

Déterminants principaux successifs d’une matrice Soit la matrice carrée d’ordre n

(ai;j)_{1 i;j n} = A = 0 B B B B B @ a11 a12 ::: a1n a21 a22 ::: a2n ::: ::: ::: ::: an1 an2 ::: ann 1 C C C C C A (1.2.9)

Ses déterminants principaux successifs sont notés par det 1; det 2; :::; det n; et écrits sous la forme:

det 1 = a11; det 2 = a11 a12 a21 a22 ; :::; det n = a11 a12 ::: a1n a21 a22 ::: a2n ::: ::: ::: ::: an1 an2 ::: ann : (1.2.10)

1.2.1

Formules de Green

Nous rappelons maintenant quelques formules de Green qui généralisent au cas multi-dimensionnel la formule d’intégration par parties en dimension une. Elles sénoncent de la manière suivante:

Théorème 1.2.1 On suppose que est un domaine ouvert de frontière @ continue par

morceaux.

Alors, si u et v sont des fonctions de H1_{( ), on a}

Z @u @xi vdx = Z u@v @xi dx + Z @ uv _id , 1 i n; (1.2.11)

on désigne par i le ieme cosinus directeur de la normale à @ dirigée vers l’extérieur

de et on écrit _i = (!:!ei), d la mesure super…cielle sur @ :

Preuve. _{Si u (resp. v) appartient à H}1_{( ), il existe une suite (um) (resp. (vp))}

de _{D( ) qui converge vers u dans H}1_{( )}

(resp. vers v dans H1_{( )) [D( ) dense dans}

H1( )]:

On a pour les fonctions um et vp de D( )

Z @um @xi vpdx = Z um @vp @xi dx + Z @ umvp id , 1 i n; (1.2.12)

on obtient l’expression (1.2.11) par passage à la limite dans la formule précédente.

Corollaire 1.2.1 _{Pour toute fonction u de H}2

( ) et toute fonction v de H1_{( ), on a la} formule de Green _Z ( u) v = Z @ @u @ vd Z rurv: (1.2.13)

Preuve. Donnons une conséquence de Théorème (1.2.1). On pose u = n P i=1 @2_u @x2 i

, le Laplacien d’une distribution u. Alors, si u est une fonction

de H2_{( )}

, on a d’après (1.2.11) pour toute fonction v de H1_{( )}

Z ( u) v = n X i=1 Z _@2_u @x2 i vdx = n X i=1 8 < : Z _@u @xi @v @xi dx Z @ @u @xi v _id 9 = ; = n X i=1 Z _@u @xi @v @xidx Z @ @u @ vd = Z rurvdx Z @ @u @ vd :

Remarque 1.2.1 _{La formule (1.2.11) reste valable si u; v 2 C}1_{et la formule (1.2.13)}

reste valable si u 2 C2_{; v}

2 C1_:

Remarque 1.2.2 les formules de Green sont des généralisations de la formule d’intégration

par parties de la dimension une à la dimension n.

1.2.2

Seconde loi de Fick

Considérons le ‡ux de particules d’une certaine espèce, les particules peuvent être des molécules, des atomes, des défauts ponctuels, des électrons libres ou des trous électroniques, etc. Soit C(x; t) leur concentration, exprimée en nombre de particules ou d’atomes par unité de volume.

On dé…nit le ‡ux de di¤usion F comme la quantité de matière (particules) par seconde qui traverse l’unité d’aire d’une surface normale au mouvement de transfert étudié. F est aussi appelé la densité de courant de particules. En présence d’un gradient de concentration, on admet qu’il s’établit un ‡ux de particules(un écoulement de particules) dans le sens descendant le gradient, et que ce ‡ux est proportionnel au gradient correspondant:

F = D@C

où D est appelé coe¢ cient de di¤usion ou di¤usivité.

Le signe négatif indique que le ‡ux di¤use de la région ayant une forte concentration de particules à la moins forte.

La seconde équation de Fick exprime qu’en tout point x la variation temporelle de la concentration C(x; t) en fonction de sa variation spatiale au voisinage de ce point par la relation:

@C

@t =

@F

@x; (1.2.15)

cette équation décrit comment le changement dans la concentration dans un élément de volume est déterminé par le changement (variation) dans le ‡ux entrant et le ‡ux sortant du volume.

En combinant les équations (1.2.14) et (1.2.15), on obtient: @C @t = @ @xD @C @x:

Si D est indépendant de la concentration, on obtient: @C

@t = D

@2_C

@x2:

Remarque 1.2.3 L’équation (1.2.14) est connue sous le nom de "Première Loi de

Fick".

Remarque 1.2.4 La première équation de Fick (1.2.14) est utilisée en régime permanent

seulement, c’est à dire lorsque le ‡ux de particules ne dépend pas du temps. La deuxième loi de Fick exprime non plus un régime permanent de di¤usion, mais un régime transitoire.

1.2.3

Formes Quadratiques

Soi la matrice réelle symétrique D = (aij)1 i;j n .

Dé…nition 1.2.1 Le polynôme homogène du second degré relativement à n variables

u1; u2; :::; un

n X i;j=1

aijuiuj: (1.2.16)

Désignons la matrice-colonne (u1; u2; :::; un) par u et la forme quadratique par A(u; u) = n X i;j=1 aijuiuj; (1.2.17)

qu’on peut écrire

A(u; u) = uTDu: (1.2.18)

Théorème 1.2.2 Une forme quadratique est dite dé…nie positive, i.e.

A(u; u) > 0; u 6= 0;

si, et seulement si, tous les déterminants principaux successifs de sa matrice des coe¢ -cients, sont positifs, i.e.

det 1 > 0; det 2 > 0; :::; det n > 0: (1.2.19)

Preuve. Voir Gantmacher [13] page (308).

1.2.4

Quelques inégalités utiles

Inégalité de Cauchy Soit a, b 2 R; > 0; alors

jabj ₂a2+ 1

2 b

2

Preuve. L’inégalité de Cauchy est un cas particulier de l’inégalité de Young

suiv-ante:

Inégalité de Young

Soit f une fonction continue et croissante sur [0; c]; où c > 0.

f (0) = 0_{, a 2 [0; c] et b 2 [0; f (c)], alors} ab Z a 0 f (x) dx + Z b 0 f 1(x) dx (1.2.20)

Preuve. On commence par l’expression

g (a) = ab

Z a

0

f (x) dx: (1.2.21)

On prend b > 0 comme un paramètre. Puisque g0(a) = b f (a) et la fonction f est

croissante, on a

g0(a) > 0 pour 0 < a < f 1(b) ;

g0(a) = 0 pour a = f 1(b) ;

g0(a) < 0 pour a > f 1(b) :

De cela, g (a) est une valeur maximale de la fonction g atteinte en a = f 1_{(b) :}

Ainsi

g (a) max g (x) = g f 1(b) : (1.2.22)

Par intégration par parties on aura

g f 1(b) = bf 1(b) Z f 1_(b) 0 f (x) dx = Z f 1_(b) 0 xf0(x) dx:

Si on prend y = f (x), l’égalité ci-dessus devient:

g f 1(b) =

Z b

0

f 1(y) dy: (1.2.23)

En comparant (1.2.21), (1.2.23), et (1.2.22), on obtient (1.2.20) (Voir Mitrinovic, Pecaric et Fink [38]).

La fonction f (x) = xp 1 _{avec p > 1 dans chaque intervalle [0; c] satisfait les}

condi-tions précédentes. On applique (1.2.20) utilisant 1

p + 1 q = 1 on obtient 8a; b 2 R+ : ab a p p + bq q: (1.2.24)

Si on remplace la fonction f (x) par xp 1 _{dans (1.2.20) où > 0; alors on obtient}

l’inégalité de Young en : 8a; b 2 R+ : ab ap+( p) q p q b q_{: (1.2.25)} Ce qui donne 8a; b 2 R+ : ab ap+ ( )p11 _bq_:

Inégalité de Hölder

Soit p > 1 et q > 1 des nombres réels liés par la relation 1_p +1_q = 1 alors

8 (f; g) 2 Lp( ) Lq( ) : Z jf (x) g (x)j dx Z jf (x)jpdx 1 p Z jg (x)jqdx 1 q : (1.2.26)

1.2.5

Semi-Groupes et Générateurs In…nitésimaux

Soit T (t) une fonction dé…nie sur [0; +1[ à valeurs dans l’espace d’opérateurs linéaires bornés qui appliquent l’espace de Banach (E; k:k) dans lui-même, T (t) : E ! E:

Dé…nition 1.2.2 On dit que T (t) est un semi-groupe fortement continu ou de classe C0

si:

i) T (0) = I:

ii) T (t + s) = T (t) T (s); pour tout t; s 0;

iii) T (t)u est continue comme fonction de t, pour chaque u …xée i.e. lim

t!t0

T (t)u = T (t0)u; pour tout t0 0 et tout u_{2 E (…xée) :}

Théorème 1.2.3 Soit T (t) un semi-groupe fortement continu, alors il existe des

con-stantes réelles ! et C(!) telles que

kT (t)k C(!) exp !t; pour tout t 0

Remarque 1.2.5 Dans le cas C(!) = 1; ! = 0, le semi-groupe T (t) est dit de contrac-tions.

Dé…nition 1.2.3 Considérons dans E le sous-espace vectoriel

D(A) = u_{2 E} lim

t!0 1

t(T ( t) I) u existe dans E ;

et pour tout u 2 D(A); dé…nissons l’opérateur A par Au = lim

t!0 1

t(T ( t) I) u:

Cet opérateur de domaine de dé…nition D(A) est appelé générateur in…nitésimal du semi-groupe T (t):

Théorème 1.2.4 Si le semi-groupe T (t) est de classe C0; alors D(A) est dense dans E:

Preuve. Voir Pazy [41] page 5.

Proposition 1.2.1 Soit T (t) un semi-groupe fortement continu sur E de générateur

in-…nitésimal A; alors on a

i) Pour u 2 D(A); T (t)u 2 D(A) et on a dT (t)

dt u = AT (t)u = T (t)Au; pour tout t 0.

ii) Pour u 2 E t Z 0 T (s)uds_{2 D(A) et A} 0 @ t Z 0 T (s)uds 1 A = T (t)u u:

Preuve. Voir Pazy [41].

Dé…nition 1.2.4 Soit = z _{2 C : 1} < arg z < _{2; 1} < 0 < _{2; et pour tout z 2}

soit T (z) un opérateur linéaire dans un espace de Banach E. La famille T (z), z 2 est

un semi-groupe analytique (holomorphe) sur si

i) z 7 ! T (z) est une application analytique sur :

ii) T (0) = I et lim

z2 ;z !0T (z)u = u pour tout u2 E:

iii) T (z1+ z2) = T (z1)T (z2) pour z1; z2 2 :

Un semi-groupe est appelé analytique s’il est analytique sur un certain secteur _C

contenant le demi-axe réel positif.

Il est clair que la restriction d’un groupe analytique à l’axe réel est un semi-groupe continu.

Considérons le problème d’évolution non homogène à valeur initiale 8 < : d dtu(t) = Au(t) + f (t); t > 0 u(0) = u0; (1.2.27) dé…ni dans un espace de Banach E où f : [0; ) ! E et A est le générateur in…nitési-mal d’un semi-groupe fortement continu T (t) sur E.

Proposition 1.2.2 _{Si f 2 L}1(0; ; E); alors pour tout u0 2 E; le problème (1.2.27) admet une seule solution donnée par

u(t) = T (t)u0+

t Z 0

T (t s)f (s)ds; 0 t

Chapitre 2

Introduction aux Systèmes de

Réaction-Di¤usion

2.1

Introduction

Les problèmes de Réaction-Di¤usion s’écrivent sous une forme générale: @u

@t D u = f (u); (2.1.1)

où l’inconnue: u(x; t) = (u1(x; t); :::; um(x; t)) est un vecteur de variables,

la réaction: f (x; t; u(x; t)) = (f1(x; t; u(x; t)); :::; fm(x; t; u(x; t)) est généralement non

linéaire, D est une matrice carrée m m dé…nie positive et diagonalisable appelée

matrice de di¤usion. Les termes de réaction sont le résultat de toute interaction entre les composantes de u, par exemple, en chimie u est un vecteur de concentrations chim-iques, et f représente l’e¤et des réactions chimiques sur ces concentrations. Le terme

D u représente les di¤usions moléculaires à travers la frontière de la réaction.

Les conditions aux bords seront choisies selon l’origine et la nature du problème étudié: s’il n’y a pas d’immigration des individus à travers la frontière du domaine sur lequel le problème est posé, on choisit les conditions aux bords homogènes de Neumann. S’il n’y a pas d’individus sur la frontière, on prend les conditions aux bords homogènes de Dirichlet. L’inconnue (la solution qu’on cherche) est un vecteur dont les composantes sont généralement des fonctions positives: en chimie, par exemple,

c’est un vecteur de concentrations chimiques; en biochimie ou en métallurgie, c’est un vecteur de concentrations en nombres de molécules ou d’atomes respectivement; en dynamique des populations et en environnement, c’est un vecteur de densités de populations humaines, animales ou végétales...

Les conditions initiales sont généralement positives; puisqu’il s’agit de concentra-tions, densités, charges électriques ...

2.2

Modélisation

Pour simpli…er et exposer l’origine des équations de Réaction-Di¤usion proposons nous à titre d’exemple l’étude d’une population avec densité u(x; t), vivant et déplaçant dans un conteneur. Pour décrire le mouvement, nous introduisons une autre quantité de

charge; le ‡ux de particules J (x; t) 2 Rn_{. A chaque emplacement x et à chaque instant}

t, le ‡ux J (x; t) est un vecteur qui pointe dans la direction générale de circulation à cet endroit. Sa grandeur jJ(x; t)j, est proportionnelle à la quantité de particules qui circulent dans cette direction par unité de temps. Plus précisément, le ‡ux J joue le même rôle que le ‡ux de la chaleur, ou le ‡ux de concentration pour un réacteur

chimique. Considérons un volume d’essai de frontière et nous équilibrons les ‡ux

entrants et sortants sur à travers . Plus simplement:

Changement de u dans =‡ux à travers + Changement relié à la naissance et la mort.

Donc on obtient d dt Z u(x; t)dV = Z J (x; t)dS + Z f (u(x; t)) dV;

où f (u(x; t)) décrit le changement relié à la naissance et la mort, dV désigne l’intégration

sur l’espace Rn

et dS représente l’intégration sur la surface Rn 1_.

Utilisant le théorème de divergence on aura Z J (x; t)dS = Z div J (x; t)dV; d’où _Z d dtu f (u) + div J dV = 0:

Cette dernière équation est satisfaite dans chaque volume de test . Ainsi (si la mesure

dV n’est pas dégénéré) il en résulte que

d

dtu f (u) + div J = 0: (2.2.2)

Ensuite, on a besoin d’une expression du ‡ux en termes de distribution de population comme dans les réactions chimiques, ça nous conduit à utiliser la seconde loi de Fick

J = D_ru:

On suppose que le ‡ux J est proportionnel au gradient négatif de la distribution de particules. Si nous combinons la loi d’équilibre (2.2.2) avec la seconde loi de Fick, nous obtenons l’équation de réaction-di¤usion,

d

dtu = D u + f (u) : (2.2.3)

Remarque 2.2.1 Dans le cas où f (u) = 0 , l’équation (2.2.3) devient l’équation de la

chaleur.

2.3

Exemples

2.3.1

En bioécologie

Le modèle décrivant la prédation des proies de densité spatiale u par des prédateurs de densité spatiale v est décrit par le système de réaction-di¤usion

8 > > > > < > > > > : @u @t a @2_u @x2 @u @x + u(p qv) = 0 @v @t b @2_v @x2 @u @x + v(r su) = 0 ; _{dans (0; 1) R;}

avec des conditions initiales véri…ant : 8 < : 0 u0(x) 0 v0(x) pour x 2 R;

où a, b > 0; p, r, q, s, , , , et désignent des constantes positives et u0(x)

u(0; x), v0(x) v(0; x) sont des fonctions données. Les inconnues sont u = u(x; t) et

v = v(x; t):

Physiquement, les constantes p et q sont les cœ¢ cients décrivant la croissance de la densité du prédateur, tandis que le cœ¢ cient s décrit la décroissance de la densité de la proie due à la présence du prédateur.

2.3.2

En électronique

Prenons comme exemple la di¤usion du phosphore dans le silicone. On dope une plaque de silicium par le phosphore (en la chau¤ant par exemple); le phénomène est décrit par les trois réactions:

V + I _{$ < 0 >;}

P + V _{$ E;}

P + I _{$ F:}

La première réaction décrit la neutralisation d’une lacune V (un lieu où se trouve un atome de silicium) par l’occupation de son lieu par un atome de Silicium interstitiel

I (c’est un atome de Silicium qui ne se trouve pas dans sa place habituelle). Dans

la deuxième, un atome de Phosphore substitutionnel P prenant la place d’une lacune

V, crée un complexe de type E, tandis que dans la troisième réaction, un atome de

Phosphore substitutionnel P prenant la place d’un atome de Silicium interstitiel I crée un complexe de type F . Les trois réactions sons réversibles.

Si on note par [V ] ; [E] ; [I] ; [F ] et [P ] les concentrations en nombre de lacunes V , nombre de complexes du type E, nombre d’atomes de Silicium interstitiel I, nombre de complexes de type F et nombre d’atomes de Phosphore substitutionnel P; en appliquant la loi de conservation de la masse et en tenant compte de la di¤usion de chaque type

on aboutit au système de Réaction -Di¤usion suivant: 8 > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > : @ @t[V ] = d1 [V ] k1[P ] [V ] + k2[E] k0([V ] [I] [Veq] [Ieq]) @

@t[E] = d1 [E] + k2[P ] [V ] k2[E]

@

@t[I] = d3 [I] k3[P ] [I] + k4[F ] k0([V ] [I] [Veq] [Ieq])

@

@t[F ] = d4 [F ] + k4[P ] [I] k4[F ]

@

@t[P ] = d5 [P ] k5[P ] [V ] + k2[E] k3[P ] [I] + k4[F ]

; x_{2 ; t > 0;}

avec conditions aux bords bien choisies et conditions initiales positives. Voir Kouachi [26].

2.4

Existence globale des solutions

Considérons comme exemple, le système de Réaction-Di¤usion avec une matrice de di¤usion triangulaire:

ut = a u f (x; t; u; v) ; x2 ; t > 0; (2.4.4)

vt = c u + d v f (x; t; u; v) ; x2 ; t > 0 (2.4.5)

supplémenté par les conditions aux limites et initiales suivantes: @u

@ =

@v

@ = 0; x2 @ ; t > 0 (2.4.6)

u (x; 0) = u0(x) ; v (x; 0) = v0(x) ; x2 (2.4.7)

où _{est un ouvert borné dans R}N de frontière @ de classe C1. Supposons que:

(H1) Les constantes réelles a; d; c et sont données par

a > 0; d > 0; > 0 _{et c 2 R:}

(H2)u0; v0 2 C sont des fonctions non négatives.

(H3) f : [0;_{1) R R ! R est une fonction continue mesurable localement}

lipshitzienne en u; v:

(H4)f (x; t; 0; ) = 0 _{pour tout x 2 ; t > 0; 2 R:}

(H6)_{il existe une fonction localement lipshitzienne ' dans R et deux constantes réelles}

k > 0; > 0 telles que

0 f (x; t; ; ) k' ( ) e _{pour tout x 2 ; t > 0;} 0; 0

Le système (2.4.4)-(2.4.7) a été étudié extensivement dans les années récentes pour des cas variés, voir [2] [37] [17] [25] [23] [24] [3] [5].

Dans ce qui suit, on donne une réponse complète pour l’existence globale -en temps-des solutions de cette classe de systèmes et par une preuve uni…ée, où nous utilisons la théorie des semi-groupes et la fonctionnelle de Lyapunov.

Théorème 2.4.1 _{Si a 6= d; c} (a d) et v0 _{a d}c u0 0; alors sous les hypothèses

(H1)-(H6), il existe une solution locale unique nonnégative (u; v) pour le système (2.4.4)-(2.4.7).

Preuve. _{Pour 1 < p < 1; les opérateurs A}p et Bp dé…nis par

D (Ap) = D (Bp) = u2 W2;p( ) ;

@u

@ j@ = 0

Apu = a u _{pour u 2 D (A}p) ; Bpu = d u _{pour u 2 D (B}p)

génèrent deux semi-groupes analytiques sur l’espace Lp_{( ) notés Sa(t) et Sd(t)}

re-spectivement. Par ailleurs, la restriction de Ap et Bp sur C est m-accretive.

Soit Ep l’opérateur dé…ni par

D (Ep) = u2 W2;p( ) ;

@u

@ j@ = 0 ;

Epu = c u pour u 2 D (Ep) ;

alors, l’opérateur matrice Mp =

0 @Ap 0 Ep Bp 1 A de domaine D₁(Mp) = u2 W2;p( ) pour tout p > n; u2 C ; @u @ j@ = 0 2

génère un semi-groupe analytique fS (t)gt 0d’opérateurs linéaires bornés dans l’espace

C C (cf. [25] [41] et autres).

Comme l’application,

est continue mesurable localement Lipschitzienne en u; v dans l’espace C C , alors le problème (2.4.4)-(2.4.7) admet une solution classique locale unique dans l’intervalle

(0; T ) : Par ailleurs, il est bien connu que l’implication suivante est vraie

(_{8t 2 (0; T}max) ; ku (t)k₁+kv (t)k₁ Const:) =) Tmax= +1;

où Tmax est le temps maximal d’existence

Par le principe de maximum (cf.[44]), il est clair que d’après la condition (H3) on a

0 u _ku0k₁ pour tout x 2 ; t > 0 (2.4.8)

Si c = 0; et comme u 0; alors f (x; t; u; v) 0 d’après (H5) et par (H6) et le

théorème de comparaison (cf. [44]), on obtient v 0:

Si c > (a d) et v0 c a du0 0; en posant w = v c a du , alors d’après (2.4.4)-(2.4.7), on aura wt = d w + + c a d f (x; t; u; v) sur (0;1) ; @w @ = 0 sur @ (0;1) ; (2.4.9) w0 = v0 c a du0:

Par le théorème de comparaison (cf. [44]), on obtient que w 0; et par conséquent

v c

a du 0

Théorème 2.4.2 Sous les hypothèses du théorème 2.4.1, la solution du système

(2.4.4)-(2.4.7) existe globalement.

Lemme 2.4.1 _{Supposons a 6= d : Soit (u; v) la solution du système (2.4.4)-(2.4.7) donnée}

par le Théorème 2.4.1; alors, pour toute constante > 0; il existe une constante =

( ) > 0 telle que la fonctionnelle

t _{7 ! L (u (t) ; v (t)) =}

Z

e(u+ )2+ vdx

est noncroissante sur (0; Tmax) :

Noter que L est une fonctionnelle de Lyapuvov.

Preuve. Notons w = (u + )2 + v: Les équations (2.4.4)-(2.4.5) donnent pour

tout t 2 (0; Tmax) L0(t) = Z 2 @u @t (u + ) + @v @t e (u+ )2+ v_dx = Z (2 (u + ) (a u f ) + (c u + d v f )) e(u+ )2+ vdx = 2a Z (u + ) uewdx 2 Z (u + ) f ewdx + c Z uewdx + d Z vewdx Z f ewdx donc L0(t) = 2a Z (u + ) uewdx + c Z uewdx + d Z vewdx + Z [ 2 (u + )] f ewdx (2.4.10) I1+ I2+ I3+ I4:

Utilisant la formule de Green, on aura

I1 2a Z (u + ) uewdx = 2a Z rur [(u + ) ew] dx = 2a Z ruh(_{ru) e}w+ _re(u+ )2+ v (u + )idx

= 2a Z ru f(ru) + (u + ) [2 (u + ) (ru) + rv]g ewdx = 2a n X j=1 Z _@u @xj @u @xj + (u + ) 2 (u + ) @u @xj + @v @xj ewdx = 2a Z

jruj2+ (u + ) 2 (u + )_jruj2+ _rurv ewdx

= 2a Z jruj2ewdx 4a Z (u + )2_jruj2ewdx 2a Z (u + ) (_{ru) (rv) e}wdx (2.4.11) et I2 c Z uewdx = c Z (_{ru) re}wdx = c Z (_{ru) re}(u+ )2+ vdx = c Z (_{ru) [2 (u + ) (ru) + rv] e}wdx = c n X j=1 Z @u @xj 2 (u + ) @u @xj + @v @xj ewdx = 2 c Z (u + )_jruj2ewdx 2c Z (_{ru) (rv) e}wdx (2.4.12) et I3 d Z vewdx = d Z (_{rv) re}wdx = d Z (_{rv) re}(u+ )2+ vdx = d Z (_{rv) r (u + )}2+ v e(u+ )2+ vdx = d n X j=1 Z @v @xj 2 (u + ) @u @xj + @v @xj ewdx = 2 d Z (u + ) (_{ru) (rv) e}wdx 2d Z jrvj2ewdx: (2.4.13)

Comme u+ _ku0k+ ; alors par l’inégalité de Young- jabj ₄1a2+ b2 ;on

obtient I1 = 2a Z jruj2ewdx 4a Z (u + )2_jruj2ewdx 2a Z (u + ) (_{ru) (rv) e}wdx

2a Z jruj2ewdx 4a Z 2 jruj2ewdx + 2a Z (u + )_{j(ru) (rv)j e}wdx 2a Z jruj2ewdx 4a Z 2 jruj2ewdx + 2a (_ku0k + ) Z j(ru) (rv)j ewdx 2a Z jruj2ewdx 4a Z 2 jruj2ewdx + 2a (_ku0k + ) Z 1 4 j(ru)j 2 + _j(rv)j2 ewdx: Ainsi I1 2 4 2a 4a 2 +2a (_ku0k + )₄1 3 5Z _jruj2 ewdx + 2a (_ku0k + ) Z j(rv)j2ewdx (2.4.14) et I2 = 2 c Z (u + )_jruj2ewdx 2c Z (_{ru) (rv) e}wdx 2 _jcj Z (u + )_jruj2ewdx + 2_jcj Z j(ru) (rv)j ewdx 2 _jcj Z (_ku0k + ) jruj2ewdx + 2jcj Z ₁ 4 j(ru)j 2 + _j(rv)j2 ewdx: Ainsi I2 2 jcj (ku0k + ) + 2jcj 1 4 Z jruj2ewdx + 2_jcj Z j(rv)j2ewdx (2.4.15) et I3 = 2 d Z (u + ) (_{ru) (rv) e}wdx 2d Z jrvj2ewdx 2 d Z (u + )_{j(ru) (rv)j e}wdx 2d Z jrvj2ewdx 2 d Z (_ku0k + ) 1 4 j(ru)j 2 + _j(rv)j2 ewdx 2d Z jrvj2ewdx alors I3 2 d (ku0k + ) 1 4 Z jruj2ewdx + 2 d (_ku0k + ) 2d Z jrvj2ewdx: (2.4.16)

Il est clair que I4 =R [ 2 (u + )] f ew_{dx est négative.}

Donc de (2.4.14)-(2.4.16) et (2.4.10) on trouve L0(t) 2a 4a 2+ 2a (_ku0k + ) 1 4 Z jruj2ewdx + 2a (_ku0k + ) Z j(rv)j2ewdx + 2 _{jcj (ku}0k + ) + 2jcj 1 4 Z jruj2ewdx + 2_jcj Z j(rv)j2ewdx +2 d (_ku0k + ) 1 4 Z jruj2ewdx + 2 d (_ku0k + ) 2d Z jrvj2ewdx

ou encore L0(t) A Z jruj2ewdx + B Z j(rv)j2ewdx (2.4.17) où A = 2a 4a 2+ 2a (_ku0k + ) 1 4 + 2 jcj (ku0k + ) + 2 jcj 1 4 +2 d (_ku0k + ) 1 4 (2.4.18) B = 2a (_ku0k + ) + 2jcj + 2 d (ku0k + ) 2d : (2.4.19)

Estimons > 0; > 0 et > 0 pour avoir A 0et B 0:Pour cet object, A 0

si 1 8 2a (_ku0k + ) + 2jcj + 2 d (ku0k + ) a + 2a 2 _{jcj (ku}0k + ) : Aussi, B 0;si d 2 (a + d) (_ku0k + ) + jcj :

Choisissons pour obtenir

1 8 2a (_ku0k + ) + 2jcj + 2 d (ku0k + ) a + 2a 2 _{jcj (ku}0k + ) d 2 (a + d) (_ku0k + ) + jcj ou 4 4ad (a + d)2 2 4 2 (a + d)2_ku0k + jcj (a + 3d) jcj2 2 4_{jcj (a + 3d) ku}0k 4 (a + d)2ku0k2+ 8ad 0:

Cette inégalité est réalisée si on choisit de manière que

4 0 @ 2 (a + d) 2 ku0k +_{jcj (a + 3d)} 1 A 0 B B B B B B @ 16 0 @ 2 (a + d) 2 ku0k +_{jcj (a + 3d)} 1 A 2 16 4ad (a + d)2 0 @ jcj 2 2_{+ 4} jcj (a + 3d) ku0k +4 (a + d)2_ku0k2+ 8ad 1 A 1 C C C C C C A 1=2 8 4ad (a + d)2 :

Donc, si nous prenons 1 8 2a (_ku0k + ) + 2jcj + 2 d (ku0k + ) a + 2a 2 _{jcj (ku}0k + ) d 2 (a + d) (_ku0k + ) + jcj 0 @ 2 (a + d) 2 ku0k +_{jcj (a + 3d)} 1 A 0 B B B B B B @ 0 @ 2 (a + d) 2 ku0k +_{jcj (a + 3d)} 1 A 2 4ad (a + d)2 0 @ jcj 2 ₂ + 4_{jcj (a + 3d) ku}0k +4 (a + d)2_ku0k2+ 8ad 1 A 1 C C C C C C A 1=2 2 4ad (a + d)2

on obtient que L0_{(t) 0; pour tout t 2 (0; T}

max)

Preuve du Théorème 2.4.2.

Comme ' est une fonction continue et comme u est bornée; alors, à partir de la condition (H6), il existe une constante positive M > 0 telle que

0 f (x; t; u; v) M e v: (2.4.20)

Choisissons = n dans le Lemme 2.4.1; alors il existe une constante > 0 telle que

pour la fonctionnelle

L0(t) =

Z

e(u+ )2+n vdx (2.4.21)

on aura

L0₀(t) 0; _{pour tout t 2 (0; T}max) : (2.4.22)

Comme u 0; alors de (2.4.21)-(2.4.22) on obtient

Z

en v(t)dx meas ( ) e(ku0k₁+ )

2

+n kv0k₁

pour tout t 2 (0; Tmax) : (2.4.23)

Il en résulte que e v _{2 L}1([0; Tmax) ; Ln( )) et

sup

0 t<Tmax

e v(t) _n [meas ( )]1 ne1n(ku0k1+ )

2

+ kv0k_{1 (2.4.24)}

et par suite, de (2.4.20) et (2.4.24), on aura f (:; :; u; v) 2 L1([0; Tmax) ; Ln( )) et

sup

0 t<Tmax

kf (:; t; u; v)kn M [meas ( )]1 nen1(ku0k1+ )

2

où k:kn est la norme de l’espace de Lebesgue Ln( ) : De (2.4.9), on obtient v (t) = Sd(t) v0 c a du0 + c a du (t) + + c a d Z 0 Sd(t s) f (:; s; u (s) ; v (s)) ds: (2.4.26)

Finalement, pour > 0 et 0 < T < Tmax , nous avons à partir de (2.4.9) que pour

tout t 2 (0; T ) v (t + ) = Sd( ) v (t) + c a du (t + ) c a dSd( ) u (t) + + c a d Z 0 Sd(t s) f (:; t + s; u (t + s) ; v (t + s)) ds: (2.4.27)

Utilisant l’estimation (1.1) de [16] avec " = n₂; il en résulte qu’il existe une constante

c (n) > 0 telle que si 0 < 1;alors

kSd( ) v (t)k₁ c (n) 2 3 kv (t)kn; kSd(t s) f (:; t + s; u (t + s) ; v (t + s))k₁ c (n) s2 3 kf (:; t + s; u (t + s) ; v (t + s))kn: Comme vn n! nn ne

n v _{, nous obtenons par (2.4.24) et (2.4.25) que}

kSd( ) v (t)k₁ c (n) 2 3 n! n [meas ( )] 1 n e1n(ku0k1+ ) 2 + kv0k_{1; (2.4.28)} kSd(t s) f (:; t + s; u (t + s) ; v (t + s))k₁ c (n) s2 3M [meas ( )] 1 n en1(ku0k1+ ) 2 + kv0k_{1: (2.4.29)} En outre kSd( ) u (t)k₁ Mde! ku0k₁ (2.4.30)

où Md _{et ! sont telles que kS}d(t)k Mde! ; pour tout t 0:

Via (2.4.28), (2.4.29) et (2.4.30) et par (2.4.27), on obtient

kv (t + )k1 c a dku0k1(1 + Mde ! ) +c (n) 1 2 3 n! n + 3M 3 p + c a d [meas ( )]1 nen1(ku0k1+ ) 2 + kv0k_{1 (2.4.31)}

d’après (2.4.31) on aura

kv (t)k1 C ( ;ku0k₁;kv0k₁) pour tout t 2 [0; Tmax) : (2.4.32)

Par conséquent, à partir de (2.4.8) et (2.4.32), on établit l’existence globale de la

Chapitre 3

Systèmes de Réaction-Di¤usion de

type Gierer-Meinhardt

3.1

Introduction

La formation des modèles dans le développement d’une organisation plus élevée hors d’un œuf simple fertilisé ou d’un tissu végétal est l’aspect le plus fascinant de la biologie. Une question centrale est pourquoi les palmes se disposent d’une manière organisée sur le stipe d’une plante? Cependant, un regard sur la nature inorganique indique que la formation de modèles (En anglais: Pattern formation) n’est pas particulière aux objets vivants. La formation de modèles est également la règle dans le monde non vivant; comme la formation de galaxies, nuages, chute de pluie, foudres, cristaux, érosion, toutes témoignent de la génération de structures commandées.

Il est instructif pour rechercher des principes communs dans la génération de ces structures; si une petite déviation d’une distribution homogène a une rétroaction posi-tive forte sur elle-même, la déviation augmentera. Par exemple, l’érosion procède plus rapidement à l’endroit ayant déja subi des dommages initiaux aléatoires, et les ‡euves contournés sont formés en dépit de la réparation homogène de la pluie presque tout le pays. Une grande dune de sable peut résulter d’une pierre dans un désert qui produit un abri de vent et peut accélérer ainsi localement le dépôt du sable; ce dépôt augmente l’avantage de la probabilité de dépôt de sable, et ainsi de suite.

En Biologie; Alfred Gierer et Hans Meinhardt ont formalisé cette observation et ont proposé un modèle moléculaire plausible pour modéliser la formation, composé de deux équations aux dérivées partielles formant un Système de Réaction-Di¤usion à réaction fractionnaire de type activateur-inhibiteur:

8 > < > : @a @t = a2 h aa + Da @2_a @x2 + a @h @t = a 2 hh + Dh @2h @x2 pour tout x 2 ; t > 0 (3.1.1)

Dans ce système, a est une substance autocatalytique à courte portée, (i.e.) activateur

et h est son antagoniste à longue portée, (i.e.) inhibiteur, @a

@t décrit le changement

de la concentration de l’activateur a par rapport au temps. Le premier terme du

membre de droite ( a

2

h) décrit le taux de production qui dépend non linéairement de

la concentration de l’activateur et de l’inhibiteur. Le nombre de molécules délabrées

par rapport au temps est proportionnel au taux de décomposition ( a) et au nombre

de molécules actuelles (a) (comme dans une ville le nombre de personnes décédées dépend du nombre d’habitants). L’échange des molécules est modélisé par la di¤usion

(Da@

2_a

@x2), (il y a d’autres modes possibles de propagation). La deuxième équation décrit

en termes analogues le changement de la concentration de l’inhibiteur. a est un petit

taux de production d’activateur qui est exigé pour lancer l’autocatalyse d’activateur à une concentration très basse (par exemple, dans le cas de la régénération).

Le modèle décrit la concentration d’une substance autocatalytique à courte portée; l’activateur, qui règle la production de son antagoniste à longue portée, l’inhibiteur (Gierer et Meinhardt, 1972, Gierer, 1981, Meinhardt, 1982). C’est certainement un modèle minimal, mais il fournit un pont théorique entre les observations d’une part et la déduction des mécanismes moléculaire-génétiques fondamentaux d’autre part.

La possibilité de construire de modèles par la réaction de deux substances qui dif-fusent avec di¤érents taux a été découverte par Turing (1952) [48]. Gierer et Meinhardt [15] ont prouvé que même si cette condition est satisfaite, seulement une classe très spéciale des réactions peut former des modèles dans le cas de l’autocatalyse locale et l’inhibition de long-portée. Des di¤érentes réalisations sont possibles : L’inhibition peut résulter d’un épuisement où l’autocatalyse peut être basée sur une inhibition d’une

inhibition. L’équation de Turing satisfait cette condition. Au terme de mécanisme de Gierer-Meinhardt, l’inhibition résulte d’un déplacement d’activateur par la di¤usion rapide de la substance.

3.2

Exemple de modélisation

Comment la coquille de mer s’embellit avec de telles couleurs?

Une cellule productrice-colorante infecte une voisine et après une partie de retard cette cellule également devient coloré et déclenche alternativement la prochaine voisine, et ainsi de suite jusqu’à la génération des lignes obliques.

Les modèles de la production de colorants sont plus communs avec les modèles des formations. La situation générale presque dans tous les modèles qui forment des systèmes est que les groupes des cellules se développent di¤éremment de leurs voisines. Pour la modélisation, supposons que la coloration dans la coquille est sous la commande d’une molécule; l’activateur a. La réaction inhibitrice peut résulter de l’épuisement d’un substrat, s.

La formulation mathématique de ces interactions (activateur-substrat) est donnée par le système de réaction-di¤usion de type Gierer-Meinhardt (compliqué) suivant (voir

Meinhardt [31]): ₈ > < > : @a @t = sa 2 _{a + D} a @2a @x2; @s @t = sa 2 _{s + D} s @2_s @x2; où a2 = a 2 1 + ka2 + 0:

L’activateur, a et sa molécule précurseuse, le substrat s, di¤usent d’une cellule à une

autre avec les taux Da et Ds respectivement et se délabrent avec les taux et .

Le substrat s produit avec le taux constant . La constante k est un paramètre de

contrôle, représente la densité de source et ₀ est une valeur initiale de production.

Ces équations nous permettent de calculer le changement de concentration de a et de

3.3

Etude de l’existence globale des solutions de

système de Gierer-Meinhardt d’ordre deux

Le système de Gierer-Meinhardt (3.1.1) d’ordre deux est l’origine des systèmes formés d’un activateur (a) et inhibiteur (h) , l’existence globale des solutions avec conditions aux bord de Neumann et conditions initiales a (x; 0) > 0 et h (x; 0) > 0 a été prouvée

par Roth [44] en 1984 pour N 3 , le même résultat est obtenu par Wu et Li [49] en

1990, à condition que a; h 1 _et

a soient convenablement petits.

D’une manière générale considérons le système de Réaction-Di¤usion qui généralise le système de Gierer-Meinhardt (3.1.1) (voir [15])

8 > > < > > : @u1 @t = a1 u1 u1+ b1 up₁ uq₂ + ; x2 ; t > 0, @u2 @t = a2 u2 u2 + b2 ur 1 us 2 ; x_{2 ; t > 0,} (3.3.2)

avec conditions aux bords de Neumann

@u1 @ = 0; @u2 @ = 0; x2 ; t > 0; (3.3.3) et conditions initiales u1(x; 0) = 1(x) > 0; x2 ; (3.3.4) u2(x; 0) = 2(x) > 0; x2 ; (3.3.5) où:

RN _{est un domaine borné de frontière régulière.}

Les constantes de di¤usions: a1 et a2 sont supposées positives.

; ; ; b1 et b2 sont des constantes positives,

p; q, r et s: des indices non négatifs avec p > 1:

0 < b1 b2:

En 1987, K. Masuda et K. Takahashi [36] ont prouvé l’existence globale des solutions

du système (3.3.2) sous la condition p 1_r < _{N +2}2 . Après quelques années, L. Mingde, C.

Shaohua et Q. Yuchun [35] ont trouvé en 1995 de meilleurs résultats, ils ont démontré

initiales arbitraires, ils ont prouvé aussi l’explosion en temps …ni des solutions dans

le cas où r > p 1 avec rq < (p 1)(s + 1) ou r > p 1 pour certaines valeurs

initiales, presque les mêmes résultats ont été démontré par Ph. Souplet et P. Quitner

[43], Ils ont établi l’existence globale des solutions sous la condition p 1_r < min _s+1q ; 1

et l’explosion sous p 1_r > min _s+1q ; 1 ; p 1_{r 6= 1:}

Remarque 3.3.1 1) Les auteurs de [35] et [43] ont prouvé l’explosion en temps …ni pour

les systèmes EDO associés.

2) Dans les deux derniers travaux, les auteurs ont supposé que b1 = b2 = 1, on va

analyser ces méthodes mais avec une hypothèse plus générale; 0 < b1 b2.

3) Pour plus de détail sur la discussion d’existence locale des solutions, voir [18], [45], [43] et autres.

3.3.1

Principe de Maximum

Les résultats essentiels sont les suivants

I)Soit (u1(t;.); u2(t;.)) la solution de (3.3.2). Alors pour tout (t; x) dans (0; Tmax)

;on a

u1(t; x) e b1tmin ( 1(x)) > 0; (3.3.6)

u2(t; x) e b2tmin ( 2(x)) > 0: (3.3.7)

Ces bornes nous donne que si Tmax<_{1; alors lim}

t!Tmax

sup_ku1(t)k₁=1

II) Il existe une constante c > 0 telle que

u1; u2 c; x_{2 ;} 0 < t < Tmax: (3.3.8)

Comme (u1)_t a1 u1 > 0 dans fu1 < g, on a u1 1 := min ( ; min 1)

dans [0;_{1[ : Alors u}2 satisfait (u2)_t a2 u2 > 0 dans

n u2 < ( r1 ) 1 (s+1)o et u2 2 := min ( r1 ) 1 (s+1)

; min ₂ dans [0;_{1[ : Prenons c = max (} 1; 2) :

Lemme 3.3.1 Soit p; q; r et s des constantes telles que, r > p 1 et rq > (p 1)(s + 1).

Pour tous h, , > 0, il existe c = c(h; ; ) > 0 et = ( )_{2 (0; 1), telles que,}

up 1+ vq+ ur+ vs+1+ + c u v ; ou u 0; v h:

Preuve. (voir [43] page 298)

Lemme 3.3.2 Supposons que u(x) > 0 et v(x) > 0. Alors pour tout ensemble d’indices

p0; q0; ; et satisfaisant < p0 < (non nécessairement positifs) et pour toute

constante c > 0, on a Z _up0 vq0d c Z _u v d + c (p0 ) ( p0) Z _u v d ; où = [q0( ) (p0 )] ( p0) 1:

Preuve. Par une application de l’inégalité de Young on achève la preuve.(voir

[35]).

Lemme 3.3.3 Soient u1; u2; solutions du problème (3.3.2). Alors on a:

1) 1 u1 ₁ max ; 1 1 ₁ := B1: 2) 1 u2 ₁ max b2 1 s+1 B r s+1 1 ; 1 2 ₁ ! := B2: Preuve. 1) On a d dt Z ₁ uk 1 d = k Z ₁ uk+1₁ a1 u1 u1+ b1 up₁

uq₂ + d ; où k est un entier positif,

= ka1 Z ₁ uk+1₁ u1d + k Z ₁ uk 1 d kb1 Z _up k 1 1 uq₂ d k Z ₁ uk+1₁ d :

Appliquons la formule de Green pour le terme

Z ₁

uk+1₁ u1d ; (en tenant compte des

conditions aux bords de Neumann), et puis utilisons l’inégalité de Young pour le terme k Z ₁ uk 1 d pour obtenir d dt Z ₁ uk 1 d k k k+1_{j j :}

Intégrant les deux membres de cette inégalité de 0 à t; on aura Z 1 uk 1 d Z 1 k 1 d + k k k+1_{j j t:}

En élevant les deux membres à la puissance 1_{k et en faisant tendre k vers +1, on trouve}

1

u1 ₁

max( ; 1

1 ₁

) = B1:

2) D’une façon similaire on a d dt Z ₁ uk 2 d = k (k + 1) a2 Z ₁ uk+2₂ jru2j 2 d + k Z ₁ uk 2 d kb2 Z _ur 1 us+k+1₂ d :

En utilisant le Lemme 3.3.2 pour Z 1 uk 2 d ; on obtient Z ₁ uk 2 d b2 Z _ur 1 us+k+1₂ d + b2 k s+1Z 1 ukr₁ s+1d ; ce qui donne d dt Z 1 uk 2 d k (b2) k s+1 1 k s+1 1Z ₁ ukr₁ s+1d k (b2) k s+1 1 k s+1 1 j j _u1 1 kr s+1 1 :

Intégrons de 0 à t, élevons à la puissance 1

k et faisons tendre k vers +1, pour avoir

1 u2 ₁ max b2 1 s+1 B r s+1 1 ; 1 2 ₁ ! = B2:

Théorème 3.3.1 Supposons que r > p 1 et rq > (s + 1) (p 1) ; alors, pour toute

1; 2; 11;

1

2 2 L1( ); le problème (3.3.2) admet une solution globale et bornée dans

l’intervalle de temps (0; 1):

Preuve. Pour tout n > 2, soit m > 0 su¢ samment petit, tel que

mn2_(a 1+ a2)2 4(m + 1)a2 a1n(n 1); et n 3m > 0: Soit w(t) = Z

un₁u₂md : Démontrons d’abords que w(t) est bornée pour tout t > 0:

Dérivant w(t); on obtient w0(t) = n Z un 1₁ um 2 a1 u1 u1+ b1 up₁ uq₂ + d m Z un₁ um+1₂ a2 u2 u2+ b2 ur₁ us 2 d = n(n 1)a1 Z un 2₁ um 2 jru1j 2 d + mn(a1+ a2) Z un 1₁ um+1₂ ru1ru2d mw(t) +nb1 Z un 1+p₁ um+q₂ d + n Z un 1₁ um 2 d m(m + 1)a2 Z un 1 um+2₂ jru2j 2 d + mw(t) mb2 Z _un+r 1 um+s+1₂ d :

Utilisant l’inégalité de Cauchy on aura

mn(a1 + a2) Z un 1₁ um+1₂ ru1ru2d m(m + 1)a2 Z un 1 um+2₂ jru2j 2 d +mn 2_(a 1+ a2)2 4(m + 1)a2 Z _un 2 1 um 2 jru1j2d : Donc on a w0(t) nb1 Z un 1+p₁ um+q₂ d mb2 Z un+r₁ um+s+1₂ d ( n m)w(t) + n Z un 1₁ um 2 d :

Après, choisissons _{2 (0; n) tel que}

k = n [rq (s + 1)(p 1)]

(r + 1 p) + n

q s 1

appliquant le Lemme 3.3.2, en prenant = r + n; = s + 1 + met = n ;on trouve nb1 Z un 1+p₁ um+q₂ d mb2 Z un+r₁ um+s+1₂ d + &1 Z un₁ u₂ d ; où = [(m + q) (r + ) (s + 1 + m) (p 1 + )] (r + 1 p) 1 = [rq (s + 1) (p 1) + (q s 1)] (r + 1 p) 1+ m; &1 = nb1(mb2 nb1) (p 1+ ) (r+1 p):

Ensuite, appliquant le Lemme 3.3.2 en prenant: = n; = m et = 0; on aura

&1 Z un₁ u₂ d m Z un 1 um 2 d + &2 Z 1 uk 2 d ; où

&2 = &1(m &1) (n ) :

D’une manière analogue, on obtient n Z un 1₁ um 2 d m Z un 1 um 2 d + &3 Z 1 um 2 d ; où &3 = n [ m (n )] (n 1): En…n, on a w0(t) &2 Z 1 uk 2 d + &3 Z 1 um 2 d (n 3m ) w(t);

multipliant par exp [(n 3m ) t] et appliquant le Lemme 3.3.3, on obtient

d dt(w(t) exp [(n 3m ) t]) &2B k 2 + &3B2m j j exp [(n 3m ) t] : Intégrant de 0 à t, on aura w(t) = Z un₁ um 2

d &2B2k+ &3B2m j j exp (n 3m )

1

Maintenant, démontrons que u1 et u2 sont bornées en utilisant l’estimation (3.3.9). Il est bien connu que le problème (3.3.2) a une paire de solutions locales uniques

u1; u2 2 C2;1( (0; 2 )) ; pour certain > 0: Supposons Au1 = d u1 u1; alors

A _{est le générateur in…nitésimal d’un semi-groupe holomorphe fe}tA

j0 t <_{1g dans}

L ( ) ; de domaine

D(A) = u1 u1 2 W2; ;

@u1

@ = 0 ,

où = N (N + 1) 2_{et N est la dimension de R}N_{:Par ailleurs il existe des constantes}

& > 1 et > 0; telles que

A12etA & 1 + t

1

2 e t; t > 0; (3.3.10)

où k.k dénote la norme de L ( ) : Ainsi la première équation du système (3.3.2) avec

@u1

@ = 0 et u1(x; 0) = 1(x);est équivalente à l’équation intégrale

u1(t) = etA 1+ t Z 0 e(t s)A b1up1(s) u q 2 (s) + ds:

Utilisant le théorème 1.6.1 cité au [18] et (3.3.10), on obtient

max u1(:; t) A 1 2u₁(t) (3.3.11) & 1 + t 12 e tk 1k + & t Z 0 e (t s)(t s) 12 _b 1 up₁ uq₂ + ds:

Supposons n > p et nq > pm: Appliquant le Lemme 3.3.2, on trouve up₁ uq₂ = Z up₁ uq₂ d Z un₁ um 2 d + Z 1 u₂d ; (3.3.12)

où = ( qn pm) (n p) 1 > 0: Alors les estimations (3.3.9), le Lemme 3.3.3, et

les équations (3.3.11), (3.3.12) impliquent

max u1(:; t) M 1 + t

1

2 ; t > : (3.3.13)

Chapitre 4

Existence globale de solutions pour

certains systèmes de R-D de type

Gierer-Meinhardt

4.1

Existence globale et Explosion en temps …ni de

solutions à trois composantes de systèmes de

R-D de type Gierer-Meinhardt

Le développement d’une plante, en biologie végétale, passe par une chaine d’étapes de formation des modèles, et parmi ces étapes, le phénomène de disposition des palmes sur le stipe (la tige) de la plante qu’on appelle en terme biologique: La Phyllotaxie. Meinhardt, Koch et Bernasconi [33] ont fait des études de modélisation dans ce do-maine et ont proposé un modèle mathématique qui décrit un mécanisme de réaction fractionnaire entre un Activateur a et deux inhibiteurs h et s:

8 > > > > > < > > > > > : @a @t = Da @2_a @x2 aa + a2 h(s + ka) + a; @h @t = Dh @2_h @x2 hh + a 2_; @s @t = Ds @2s @x2 ss + a: (4.1.1)

Plus généralement, considérons le système de réaction-di¤usion à trois équations 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : @u @t = a1 u 1u + up1 vq1(wr1 + ^c) + ; x2 ; t > 0, @v @t = a2 v 2v + up2 vq2wr2; x2 ; t > 0, @w @t = a3 w 3w + up3 vq3wr3; x2 ; t > 0, (4.1.2)

avec conditions aux bords de Neumann @u @ = 0; @v @ = 0 et @w @ = 0; x2 ; t > 0; (4.1.3) et conditions initiales u (x; 0) = ₁(x) > 0 v (x; 0) = ₂(x) > 0 (4.1.4) w (x; 0) = ₃(x) > 0

où _{i 2 C} pour tout i = 1; 2; 3:

RN est un domaine borné de classe C1 de frontière @ = .

Les constantes de di¤usions: a1; a2 et a3 sont supposées positives.

1, 2 et 3 sont des constantes positives,

p1; p2, p3; q1, q2, q3; r1, r2 et r3: des indices non négatifs.

> 0; ^c 0:

4.1.1

Etude de l’existence globale en temps des solutions

Présentons d’abord quelques hypothèses et conditions que nous allons utiliser dans la suite. Supposons que 0 < p1 1 < max p2min q1 q2+ 1 ;r1 r2 ; 1 ; p3min r1 r3+ 1 ;q1 q3 ; 1 : (4.1.5) Posons Aij = ai+ aj 2paiaj pour i; j = 1; 2; 3 :

Soient ; et des constantes positives telles que > 2 max 1; 2+ 3 1 ; (4.1.6) 1 > A2₁₂ 1; (4.1.7) 1 + 1 A2₁₂ 1 + 1 A2₁₃ > 1A23 A12A13 2 : (4.1.8)

Proposition 4.1.1 Le système(4.1.2) avec (4.1.3) et (4.1.4) admet une solution classique

locale unique (u; v; w) dans (0; Tmax) : Si Tmax <_{1 alors}

lim

t%Tmax

(_{ku (t; :)k1}+_{kv (t; :)k1}+_{kw (t; :)k1}) =₁

Preuve. Pour la preuve, voir Henry [18] et Ryan [45].

Lemme 4.1.1 Soient p; q; r; s; m; et n des constantes telles que

r > p 1

rm > (p 1)(n)

rq > (p 1)(s + 1)

Pour tous h, l, , , > 0, il existe C = C(h; l; ; ; ) > 0 et = ( )_{2 (0; 1), telles}

que xp 1+ yq+ _zm+ xr+ ys+1+ _zn+ + C x y z ; ou x 0; y h; z l: Preuve. On a xp 1 yq_zm = xr ys+1_zn p 1 r y qy(s+1)(pr 1)z mz (n)(p 1) r = pr1 x r ys+1_zn p 1 r y(s+1)(pr 1) qz (n)(p 1) r m = pr1 x r ys+1_zn p 1 r + _xr ys+1_zn y (s+1)(p 1) r qz (n)(p 1) r m;

pour un certain qui satisfait

0 < < min 0 B @ (s + 1)(p 1) r + q (s + 1) ; (n)(p 1) r + m (n) ; 1 p 1 r 1 C A : (4.1.9)

Donc xp 1 yq_zm = ( ) p 1 r x r ys+1_zn p 1 r + ₁ x r (y)(s+1)(pr 1) q+ (s+1)_z (n)(p 1) r m+ n: D’après (4.1.9) on trouve p 1 r + < 1; (s + 1)(p 1) r q + (s + 1) < 0; et (n)(p 1) r m + (n) < 0; d’où (y)(s+1)(pr 1) q+ (s+1) h (s+1)(p 1) r q+ (s+1) ; (4.1.10) et (z) (n)(p 1) r m+ (n) _l (n)(p 1) r m+ (n) : (4.1.11)

D’autre part, nous avons 1 x r = 1 x r y r y r z r z r ; (4.1.12) y h_{) y} r h r : (4.1.13) et z l _{) z} r l r : (4.1.14)

Donc, d’après (4.1.10), (4.1.11), (4.1.12), (4.1.13) et (4.1.14) on aura xp 1 yq_zm = ( ) p 1 r x r ys+1_zn p 1 r + ₁ x r (y) (s+1)(p 1) r q+ (s+1)_z (n)(p 1) r m+ n ( ) pr1 x r ys+1_zn p 1 r + ₁ x r h (s+1)(p 1) r q+ (s+1) l(n)(pr 1) m+ n = ( ) pr1 x r ys+1_zn p 1 r + ₁ x r h (s+1)(p 1) r q+ (s+1) l(n)(pr 1) m+ ny r y r z r z r ( ) pr1 x r ys+1_zn p 1 r + ₁ x r h (s+1)(p 1) r q+ (s+1) l(n)(pr 1) m+ ny r z r h r l r = ( ) pr1 _h (s+1)(p 1) r q+ (s+1) r l(n)(pr 1) m+ n r xr ys+1_zn p 1 r + _{y z} x r : Posant C1 = ( ) p 1 r _h (s+1)(p 1) r q+ (s+1) r l(n)(pr 1) m+ n r ; on obtient xp 1 yq_zm C1 xr ys+1_zn p 1 r + _{y z} x r : Rappelons l’inégalité de Young-"

f g "fp0 _{+ c} "gq0; avec f; g 0; " 0; c" = " 1 p0 1_{; p0; q0 > 0;} 1 p0 + 1 q0 = 1: Posons " = 1 C1 ; f = x r ys+1_zn p 1 r + ; g = y z x r ; p0 = 1 p 1 r + : On a 1 p0 + 1 q0 = 1 donne q0 = 1 1 p 1_r : Donc on obtient xp 1 yq_zm C1 1 C1 xr ys+1_zn + 1 C1 p 1+r r (p 1) r _{y z} x r (1 p_r1 ) ! ; alors xp 1 yq_zm xr ys+1_zn + C2 x y z r (1 p_r1 ) ; où C2 = C 1+_r p_(p1+r_{1) r} 1 ;

ce qui donne xp 1+ yq+ _zm+ xr+ ys+1+ _zn+ + C2 x y z 1 r (1 p_r1 ) :

En…n, prenant su¢ samment petit on obtient

xp 1+ yq+ _zm+ xr+ ys+1+ _zn+ + C x y z :

Lemme 4.1.2 Supposons que u (x) > 0; v (x) > 0 et w (x) > 0. Alors pour tout ensemble

d’indices p; q ; r; m; n; et satisfaisant < p < m (non nécessairement positifs) et

pour toute constante c > 0, on a Z up vq_wrdx c Z um vn_w dx + c (p )n(m p) Z u v w dx où = q (m ) n (p ) m p ; = r (m ) (p ) m p :

Preuve. Par application de l’inégalité de Young on achève la preuve.

Lemme 4.1.3 Soient u; v et w les solutions du problème (4.1.2)-(4.1.4). Alors on a:

1) 1 u ₁ max 1 1 ₁ ; 1 = A1: (4.1.15) 2) 1 vw ₁ max 0 B B B @ 1 2 3 ₁ ; 1 2+ 3 2 q2+r2+1 A2p2=q2+r2+1 1 1 C C C A= A2: (4.1.16) Preuve. 1) On a pour > 0 d dt Z ₁ u dx = Z ₁ u +1 @u @t dx = Z ₁ u +1 a1 u 1u + up1 vq1(wr1 + ^c) + dx = a1 Z u 1 ( u) dx + ₁ Z ₁ u dx Z _up1 1 vq1(wr1 + ^c)dx Z ₁ u +1dx:

Utilisant la formule de Green, on aura Z u 1 ( u) dx = ( + 1) Z 1 u +2 jruj 2 dx; alors d dt Z 1 u dx = ( + 1) a1 Z 1 u +2 jruj 2 dx + ₁ Z 1 u dx Z up1 1 vq1(wr1 + ^c)dx Z 1 u +1dx:

Appliquant l’inégalité de Young sur le terme 1

R ₁ u dx , on aura 1 Z ₁ u dx Z ₁ u +1dx + +1 1 j j ; d’où d dt Z ₁ u dx ( + 1) a1 Z ₁ u +2 jruj 2 dx + Z ₁ u +1dx + +1 1 j j Z _up1 1 vq1(wr1 + ^c)dx Z ₁ u +1dx ce qui donne d dt Z 1 u dx +1 1 j j : Intégrant de 0 à t , on trouve Z t 0 d dt Z 1 u dx d Z t 0 +1 1 j j d : Donc _Z 1 u dx 2 max Z ₁ 1 dx ; ₁+1_{j j t :}

En élevant les deux membres à la puissance 1 et en faisant tendre _{! +1 on aura}

1

u ₁ max

1

1 ₁

2) On a d dt Z ₁ (vw)kd = Z r (vw)k (vw)2k d = ka2 Z ₁ vk+1_wk v + k 2 Z ₁ vk_wk k Z _up2 vq2+k+1wr2+kd ka3 Z ₁ vk_wk+1 w + k 3 Z ₁ vk_wk k Z _up3 vq3+kwr3+k+1d :

Appliquant la formule de Green pour les termes Z 1 vk+1_wk vdx et Z 1 vk_wk+1 wdx ; Z 1 vk+1_wk vdx = Z r _vk+11_wk rvdx = (k + 1) Z 1 vk+2_wk(rv) 2 dx + k Z 1 vk+1_wk+1rvrwdx:

De la même façon on trouve

Z ₁ wk+1_vk wdx = (k + 1) Z ₁ wk+2_vk(rw) 2 dx + k Z ₁ wk+1_vk+1rvrwdx: Donc d dt Z 1 (vw)kd = ka2 0 @(k + 1)Z 1 vk+2_wk(rv) 2 dx + k Z 1 vk+1_wk+1rvrwdx 1 A ka3 0 @(k + 1)Z 1 wk+2_vk(rw) 2 dx + k Z 1 wk+1_vk+1rvrwdx 1 A +k ( ₂+ ₃) Z 1 vk_wk k Z up2 vq2+k+1wr2+kd k Z up3 vq3+kwr3+k+1d

= k (k + 1) a2 Z ₁ vk+2_wk (rv) 2 dx k2a2 Z ₁ vk+1_wk+1rvrwdx k (k + 1) a3 Z ₁ wk+2_vk (rw) 2 dx k2a3 Z ₁ wk+1_vk+1rvrwdx +k ( ₂+ ₃) Z 1 vk_wk k Z up2 vq2+k+1wr2+kd k Z up3 vq3+kwr3+k+1d = I + J où I = k (k + 1) a2 Z ₁ vk+2_wk(rv) 2 dx k2a2 Z ₁ vk+1_wk+1rvrwdx k (k + 1) a3 Z ₁ wk+2_vk(rw) 2 dx k2a3 Z ₁ wk+1_vk+1rvrwdx; J = k ( ₂+ ₃) Z 1 vk_wk k Z up2 vq2+k+1wr2+kd k Z up3 vq3+kwr3+k+1d : Pour I, on a I = Z 0 @ k (k + 1) a2_vk+21_wk (rv) 2 k2a2_vk+11_wk+1rvrw k (k + 1) a3_wk+21 _vk(rw) 2 k2_a 3_wk+11_vk+1rvrw 1 A dx = Z 0 @ k (k + 1) a2w2(rv) 2 k2a2vwrvrw k (k + 1) a3v2(rw)2 k2a3vwrvrw 1 A 1 vk+2_wk+2dx = Z Q 1 vk+2_wk+2dx où Q = k (k + 1) a2w2(rv)2+ k2a2vwr (v) r (w) +k (k + 1) a3v2(rw)2+ k2a3vwr (v) r (w) = k (k + 1) a2[wjrvj] 2 + k2a2[wr (v)] [vr (w)] +k2a3[w_{r (v)] [vr (w)] + k (k + 1) a}3[vjrwj]2