Existence globale pour un fluide inhomogène

AN N A L

E S

E D L ’IN IT ST T U

F O U R IE R

ANNALES

DE

L’INSTITUT FOURIER

Hammadi ABIDI & Marius PAICU

Existence globale pour un fluide inhomogène Tome 57, n^o3 (2007), p. 883-917.

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EXISTENCE GLOBALE

POUR UN FLUIDE INHOMOGÈNE

par Hammadi ABIDI & Marius PAICU

Résumé. — Dans cet article on s’intéresse à l’existence et l’unicité globale de solutions pour le système de Navier-Stokes à densité variable, lorsque la donnée initiale de la vitesse est dans l’espace de Besov homogène de régularité critique B⁻¹⁺

N p

p,1 (R^N). Notons que ce résultat fait suite aux résultats de H. Abidi qui a gé- néralisé le travail de R. Danchin. Toutefois, dans les travaux antérieurs, l’existence de la solution est obtenue pour1< p <2Net l’unicité est démontrée sous l’hypo- thèse plus restrictive1< p6N.Notre résultat répond à la question de l’existence pour tout1< p <+∞et de l’unicité dans la plage1< p62N.L’intérêt de ce théorème est qu’on obtient alors des espaces de régularité d’indices négatifs, dans lesquels toute donnée initiale devient petite en présence des fortes oscillations.

Abstract. — In this article we are interested in the existence and global uniqueness of the solution for the equation of inhomogeneous fluid, when the ini- tial velocity is in the critical homogeneous Besov spaceB⁻¹⁺

N p

p,1 (R^N). Let us note that this result followed upon the results of H. Abidi which generalized the work of R. Danchin. However, the existence of solutions is obtained when1< p <2N and uniqueness is shown under more restrictive assumption 1< p6 N.Our re- sult resolves the question of the existence for all 1 < p < +∞and uniqueness for 1< p 62N. As an interesting application of this theorem, we obtain global existence for oscillating initial data.

1. Introduction

Dans cet article, nous allons étudier l’équation de Navier-Stokes inho- mogène, qui modélise l’évolution d’un fluide visqueux, incompressible et à densité variable. Ce système a déjà été étudié par plusieurs auteurs, et on

Mots-clés :équations de Navier-Stokes inhomogènes, existence globale, unicité.

Classification math. :35Q30, 35B30, 76D03, 76D05.

trouve une riche littérature (voir par exemple, [1], [2], [12], [8] [13], [15], [19], [21], [25],...). Rappelons le système

(INS)











∂_tρ+ div(ρu) = 0

∂t(ρu) + div(ρu⊗u)−2 div µ(ρ)M

+∇Π =ρf divu = 0

(ρ, u)_|t=0= (ρ₀, u₀), oùM = ¹₂ ∇u+^t∇u

, ρ est la densité, uest le champ de la vitesse, Π est la pression etµ est la viscosité qui est fonction régulière strictement positive et peut dépendre de la densité.

On va rappeler brièvement les résultats déjà connus sur ce système. Tout d’abord, on a des résultats "à la Leray" sur l’existence globale des solutions faibles. La démonstration repose sur des méthodes de compacité et sur l’estimation d’énergie suivante :

k√

ρu(t)k²_L2(R^N)+ 2 inf

x µ(x) Z t

0

k∇u(s)k²_L2(R^N)ds6k√

ρ0u0k²_L2(R^N), valable pour les solutions régulières. Les solutions faibles ont été construites par P.-L. Lions [21] et par B. Desjardins [13]. Dans [14] est étudiée l’exis- tence d’une solution faible globale lorsque la viscosité est variable. D’autre part, même en dimension deux, l’unicité de ces solutions reste une ques- tion ouverte, même lorsque la viscosité est constante. Citons à présent le résultat de R. Danchin [12] dans le cas de la viscosité constante, qui montre que le système est globalement bien posé en dimension deux, lorsque (ρ⁻¹₀ −1, u0)∈H^1+α(R²)×H^α(R²)pourα >0.

Dans la suite, on va discuter les résultats sur les solutions fortes dans le cas de la viscosité constante. Les premiers résultats on été obtenus, par La- dyzhenskaya et Solonnikov [20] sur un domaine bornéΩavec condition de Dirichlet aux bords, dans le cadre de l’espace de SobolevW^2−2q,q (q > N, N = 2,3) et pour une densité régulièreρ0∈C¹(Ω).Récemment, R. Dan- chin [11], a étudié ce système dans les espaces de Besov homogènes de régularité critique. Notons que le système a une invariance par changement d’échelle, c’est-à-dire, si (ρ, u) est une solution du système avec donnée initiale(ρ0, u0), alors

(ρ, u)λ= (ρ(λ²·, λ·), λu(λ²·, λ·))

est aussi une solution du système (IN S), avec donnée initiale (ρ0(λ·), λu0(λ·)).Ainsi l’espace invariant par ce changement d’échelle est (ρ, u)∈ B_2,1^N2 ×B_2,1^−1+N2.R. Danchin obtient pour le système de Navier-Stokes inho- mogène un théorème à la Fujita-Kato, en montrant l’existence et l’unicité

locale pour des données initiales quelconques dans ces espaces critiques et l’existence et l’unicité globale pour des données initiales petites. Récem- ment, H. Abidi [1] a traité le cas d’une viscosité variable et obtient des solutions dans les espaces de Besov construits sur lesL^p.Il obtient le théo- rème suivant (concernant la définition de l’espace de Besov homogèneB_p,r^s voir la définition 2.1).

Théorème 1.1. — [1]Soient1< p <2N,0< µ6µ, u₀∈B

N p−1 p,1 (R^N) avec divu0 = 0, f ∈ L¹_loc(R⁺;B

N p−1

p,1 (R^N)) et a0 = _ρ¹

0 −1 ∈ B

N p

p,1(R^N).

Alors il existe une constante positivecdépendant deN, pet de la fonction µtelle que si

ka₀k

B

N p p,1

6c,

il existe un T ∈ (0,+∞] tel que le système (IN S) admet une solution (a, u,∇Π)vérifiant

a∈Cb([0, T);B

N p

p,1), u∈Cb([0, T);B

N p−1

p,1 )∩L¹(0, T;B

N p+1 p,1 ), et ∇Π∈L¹(0, T;B

N p−1 p,1 ).

De plus, cette solution est unique lorsque1< p6N.D’autre part, il existe une constantec⁰ strictement positive dépendant deN, µet ptelle que si

ku0k

B

N p−1 p,1

+kfk

L¹(R+;B

N p−1

p,1 )6c⁰µ¹ avecµ¹=µ(1),alorsT = +∞.

Toutefois, pour le système de Navier-Stokes homogène (ρ = cste), on connaît l’existence et l’unicité globale de la solution pour des données initiales petites dans l’espace de Besov homogèneB⁻¹⁺

N p

p,1 (R^N)pour tout 1< p <∞(voir [4]). Le résultat de Cannone-Meyer-Planchon, généralise le théorème classique de Fujita- Kato [17], qui assure l’existence et l’unicité de la solution dans l’espace de Sobolev homogèneH¹²(R³),respectivement le théorème de Kato [18] d’existence et unicité dans l’espaceL³(R³),à des espaces de Besov d’indice négatif. L’intérêt d’un tel résultat vient du fait qu’une donnée initiale de norme grande dans l’espace L³(R³)devient pe- tite en présence des oscillations dans la norme de l’espaceB⁻¹⁺

N p

p,1 lorsque N < p <+∞. En particulier, on obtient que les oscillations rapides de la donnée initiale stabilise le système de Navier-Stokes classique dans le sens que le flot engendré existe globalement en temps. Plus précisément, on a :

Théorème 1.2. — [4] Soient1 < p <+∞ et u0 ∈B

N p−1

p,1 (R^N)champ de divergence nulle. Alors il existe un temps T >0 tel que le système de Navier-Stokes classique admet une unique solution

u∈C_b

[0, T);B

N p−1 p,1

∩L¹ 0, T;B

N p+1 p,1

. De plus, il existe une constantec >0 assez petite telle que si

ku0k

B

N p−1 p,1

6cν alors il existe une unique solution globale en temps

u∈Cb

R+;B

N p−1 p,1

∩L¹ R+;B

N p+1 p,1

.

Dans cet article, nous allons démontrer l’existence et l’unicité globale de la solution pour un système à densité variable lorsque la donnée initiale est fortement oscillante. Pour cela, il faudra travailler dans un espace d’in- dice de régularité négatif. Notons que le résultat de [1] ne permet pas de construire une solution globale unique pour des données dans des espaces d’indice négatif, puisqu’on a l’unicité de la solution uniquement dans le cas 1< p 6N. Notons aussi qu’on a l’existence d’une solution globale faible lorsque N < p < 2N pour des données petites. Dans cet article, on va démontrer qu’en fait, le système(IN S)est globalement bien posé pour des données initiales oscillantes, lorsque _ρ¹

0 −1 ∈ B

N p1

p₁,1 et u₀ ∈ B

N p2−1 p₂,1 avec sup(_p¹

1,_p¹

2)6 inf(_p¹

1,_p¹

2) +_N¹ et _p¹

1 +_p¹

2 > N². Notons qu’on obtient les résultats de H. Abidi [1] comme cas particulier de notre théorème en faisant p1 =p2. L’amélioration obtenue dans notre résultat vient exactement du fait de travailler avec la densité et le champ de la vitesse dans des espaces de Besov construits sur des espaces de Lebesgue différents. La méthode de la démonstration s’appuie sur l’effet régularisant pour l’équation de la chaleur (pour plus de précisions voir [6]). Plus précisément on dispose d’un résultat d’analyse harmonique dû à R. Danchin [10], qui est une inégalité du type inégalité de Poincaré pour les fonctions localisées en fréquences. Cela nous permet de gagner deux dérivées sur la solution de l’équation de la chaleur à partir du laplacien, et donc, pour une donnée initiale deB⁻¹⁺

N p

p,1 (R^N)on trouve que la solution appartient à l’espaceL¹([0, T];B¹⁺

N p

p,1 ).D’autre part, notons que le fait de travailler avec des champs de vecteurs qui sont dans les espaces de BesovL¹_t(B¹⁺

N P

p,1 )permet d’avoir un champ L¹_t(Lip) et cela est fortement utile lorsqu’on étudie l’équation de transport vérifiée parρ.

C’est la raison principale pour laquelle on ne peut pas travailler avec une donnée initialeu0∈B⁻¹⁺

N

p,r p pour r >1.

Dans la suite, on s’intéresse à l’étude du système (IN S) avec viscosité constante et à des solutions à densité strictement positive. Notons que la conditioninf

x ρ(t, x) > 0 est vérifiée dès que inf

x ρ(0, x) > 0 car ρ(t, x) vérifie une équation de transport par un champ lipschitzien et de divergence nulle, ce qui implique queinf

x ρ(t, x) = inf

x ρ(0, x). On peut ainsi effectuer le changement d’inconnue a = ¹_ρ −1. Le système devient (en supposant µ= cste)

(]INS)











∂ta+u· ∇a= 0

∂_tu+u· ∇u+ (1 +a) ∇Π−µ∆u

=f divu= 0

(a, u)_|t=0= (a₀, u₀).

Avant d’énoncer les résultats, on rappelle que l’opérateur de Leray P est le projecteur orthogonal sur les champs à divergence nulle. On note Q= I− P le projecteur sur les champs de type gradient. Notre résultat principal est le suivant :

Théorème 1.3. — Soient 1 6 p1 < ∞ et 1 < p2 < ∞ tels que sup(_p¹

1,_p¹

2) 6 N¹ + inf(_p¹

1,_p¹

2). Il existe une constante c dépendant de N, p₁ et p₂ telle que pour u₀ ∈ B⁻¹⁺

N p2

p₂,1 (R^N) avec divu₀ = 0, f ∈ L¹(R+;B⁻¹⁺

N p2

p₂,1 (R^N))tel queQf∈L²(R+;B⁻²⁺

N p2

p₂,1 (R^N))eta0∈B

N p1

p₁,1(R^N) où

ka0k

B

N p1 p1,1

6c, les assertions suivantes sont vraies.

Si _p¹

1 +_p¹

2 > _N¹, alors il existe T ∈(0,+∞] tel que le système (]IN S) admette une solution(a, u,∇Π)vérifiant

a∈Cb [0, T);B

N p1

p₁,1

∩Le^∞_T(B

N p1

p₁,1), u∈Cb([0, T);B⁻¹⁺

N p2

p₂,1 )∩L¹_T(B¹⁺

N p2

p₂,1 )∩Le^∞_T (B⁻¹⁺

N p2

p₂,1 ) et ∇Π∈L¹_T(B⁻¹⁺

N p2

p₂,1 ).

De plus, il existe une constantec⁰ strictement positive dépendant de N et ptelle que si

ku₀k

B

N p2−1 p2,1

+kfk

L¹(R+;B

N p2−1 p2,1 )6c⁰µ,

alorsT = +∞.En outre, cette solution est unique lorsque _N² 6 p¹₁ +_p¹

2. Remarque 1.4. — Remarquons que si p₁ = p₂, alors on retrouve le théorème 1.1 dans le casµ= cste.

Remarque 1.5. — Notons aussi que ce théorème nous permet de cons- truire une solution (locale en temps en général, respectivement globale lorsque la donnée initiale est petite devant la viscosité), pouru₀∈B⁻¹⁺

N p2

p₂,1

(R^N)et pour tout1< p₂<+∞. En effet, il suffit par exemple de considérer la densité telle quea0=ρ⁻¹₀ −1∈B_N¹ ₁(R^N)lorsqueN 6p2<+∞,dans le cas1< p2< Non peut prendre par exemplep1=p2(d’autre choix sont possibles, notamment il suffit quep1 vérifiesup(1,_N^{N p}_+p²

2)6p16N^{N p}−p²2).

D’autre part, on obtient une unique solution pour toutu₀∈B⁻¹⁺

N p2

p₂,1 (R^N) pour tout 1 < p2 6 2N, pour cela il suffit par exemple de considérer a₀ =ρ⁻¹₀ −1∈B

N p1

p₁,1(R^N)avecp₁ = ^2N₃ lorsqueN 6p₂62N, et lorsque 1< p2 < N,il suffit de prendre par exemple p1=p2 (plus généralement,

1

p₁ ∈[sup(_p¹

2 −_N¹,_N² −_p¹

2),inf(1,_N¹ +_p¹

2)]).

Remarque 1.6. — En particulier, le théorème 1.3 implique l’existence d’une unique solution globale pour le système (IN S), lorsque la donnée initiale(ρ0, u0)est de la forme

x∈infR³

ρ0>0, a0=ρ⁻¹₀ −1∈ S(R³) et u0= sin x3

ε

(−∂2φ, ∂1φ,0), avec φ ∈ S(R³), a₀ de norme petit et ε > 0 assez petit. En effet, il est facile à vérifier l’affirmation suivante. Soientφ∈ S(R^N),k∈R^N, |k| 6= 0 et (σ, p, r)∈R^∗+×[1,∞)².Alors, la fonction φ_ε(x) = φ(x)e^ix·k/ε petite dans l’espaceB^−σ_p,r.Plus précisément on a

kφεk_B^−σ

p,r 6C(φ)ε^σ, oùC(φ) =kφkB_p,r^σ .

Remarque 1.7. — En suivant la même démarche que [1] et en utilisant le fait que l’espace de Besov est stable par l’action d’une fonctionC^∞(voir par exemple [22]), le théorème précédent reste valable lorsqueµdépend de la densité de manière régulière sous l’hypothèse supplémentairep16p2. Pour éviter les complications techniques on a choisi de donner la démonstration uniquement dans le cas où la viscosité est constante.

2. Notations et définitions 2.1. Notations

On dit que A .B s’il existe une constante c strictement positive telle que A 6 cB, et A ≈ B si A . B et B . A. Soient X un espace de

Banach etp∈[1,∞],on désigne parL^p(0, T;X)l’ensemble des fonctionsf mesurables sur(0, T)à valeurs dansX,telles quet7−→ kf(t)kX appartient àL^p(0, T).On noteC([0, T);X)l’espace des fonctions continues de[0, T)à valeurs dansX etCb([0, T);X)^d´=^efC([0, T);X)∩L^∞(0, T;X).On désigne parp⁰ l’exposant conjugué depdéfini par ¹_p+_p¹0 = 1.

2.2. Théorie de Littlewood-Paley

Dans cette section, nous allons rappeler brièvement la décomposition de Littlewood-Paley homogène et définir les espaces fonctionnels dans lesquels nous allons travailler. Pour cela, nous utilisons une décomposition dyadique de l’unité (voir par exemple [5]). Soientϕet χ∈C^∞ telles que suppϕ⊂ {³₄ 6|ξ|6 ⁸3},suppχ⊂ {|ξ|6⁴3} et

X

q∈Z

ϕ(2^−qξ) = 1 ∀ξ6= 0 et χ(ξ) = 1−X

q∈Z

ϕ(2^−qξ).

On définit les opérateurs de localisation en fréquences ∆_q et S_q deL(S⁰) par :

∆q u=ϕ(2^−qD)u pour tout q∈Z, S_qu=χ(2^−qD)u= X

p6q−1

∆_pu pour tout q∈Z.

Notons que pour une distribution tempérée u∈ S⁰(R^N), la fonction ∆_qu est une fonction analytique à croissance lente. Si de plus, il existe un réels tel queu∈H^s(R^N), alors on a∆_quappartient à l’espace ∩_σ∈RH^σ(R^N).

De plus, on a :

u=X

q∈Z

∆_qu ∀u∈ S⁰(R^N)/P[R^N]

oùP[R^N]est l’ensemble des polynômes (voir par exemple [23]). Par ailleurs, la décomposition de Littlewood-Paley vérifie la propriété de presque ortho- gonalité :

(2.1)

∆k∆qu≡0 si |k−q|>2 et ∆k(S_q−1u∆qu)≡0 si |k−q|>5.

Définition 2.1. — Soient s∈ R, (p, r)∈[1,+∞]² et u∈ S⁰(R^N), on note

kukB^s_p,r d´ef

= X

q∈Z

2^rqsk∆quk^r_Lp

¹_r

avec le changement habituel pour r = +∞. On définit l’espace de Besov homogèneB^s_p,r(R^N)par :

– B_{p r}^s ={u∈ S⁰(R^N) | kukB_{p r}^s <+∞}, lorsque s < ^N_p ou s= ^N_p et r= 1.

– B_{p r}^s ={u∈ S⁰(R^N) | ∀ |α|=k, ∂^αu∈B^s−k_{p r} }, lorsque ^N_p +k6 s < ^N_p +k+ 1,k∈N, ous= ^N_p +k+ 1et r= 1.

Comme conséquence de l’inégalité de Bernstein (voir par exemple [5]) et par définition deB_p,r^s on a la proposition suivante :

Proposition 2.2.

(i) Il existe une constantec strictement positive telle que

(2.2) c⁻¹kuk_Bs

p,r 6k∇uk_Bs−1

p,r 6ckuk_Bs p,r. (ii) Pourp16p2et r16r2, on aB_p^s_1,r1 ,→B^s−N(

1 p1−_p¹

2) p2,r2 . (iii) Sip∈[1,∞],alorsB

N p

p,1,→B

N

p,∞p ∩L^∞.

(iv) Interpolation réelle :(B_p,r^s1, B_p,r^s2)θ, r⁰ =B_p,r^θs20^+(1−θ)s1 pour0< θ <1 (voir par exemple[24]).

Proposition 2.3. — Soient p1, p2, r ∈ [1,+∞], (s1, s2) ∈ R² et p ∈ [1,+∞],alors on a les inégalités suivantes :

si ¹_p 6 p¹1 +_p¹

2 ets1+s2+Ninf 0,1−_p¹

1 −_p¹

2

>0,alors

R(u, v)

B

s1 +s2 +N p−N

p1−N p2 p,r

.kuk_B^s1

p1,rkvk_B^s2 p2,∞. Si ¹_p 6p¹1+_p¹

2, s1+s2= 0et _p¹

1 +_p¹

2 61, alors

R(u, v) B

N p−N

p1−N p2 p,∞

.kuk_B^s1

p1,1kvk_B^s2 p2,∞. Si ¹_p 6p¹₂+_λ¹ 61avecλ∈[1,∞] etp16λ,alors

kTuvk

B^{s1 +s2 +}

N p−N

p1−N p2 p,r

.kvk_B^s2 p2,r





 kuk_B^s1

p1,∞ sis1+^N_λ < ^N_p

1

kuk_B^s1

p1,1 sis₁+^N_λ = ^N_p

1

et

kTuvk

B

s1 +s2 +N p−N

p1−N p2 p,r

.





 kvk_B^s2

p2,∞kuk_B^s1

p1,r si s1+^N_λ <_p^N

1

kvk_B^s2

p2,rkuk_B^s1

p1,1 si s₁+^N_λ =_p^N

1.

Remarque 2.4. — Des lois de produits de ce type ont été déjà données par exemple dans [6] et [24].

Preuve. — D’après la décomposition de J.-M. Bony [3], on a : uv=Tuv+Tvu+R(u, v)

avec

Tuv=X

q∈Z

Sq−1u∆qv et R(u, v) =X

q∈Z

∆qu∆eqv

où∆eqv= (∆_q−1+ ∆q+ ∆q+1)v.On applique l’opérateur∆k sur R(u, v), on trouve

∆_kR(u, v) = X

k−q63

∆_k ∆_qu∆e_qv . Pour étudier le terme de reste il y a deux cas : _p¹

1 +_p¹

2 61 et1< _p¹

1 +_p¹

2. Si _p¹

1 + _p¹

2 6 1, grâce aux inégalités de Bernstein et de Hölder, on a la majoration suivante :

k∆kR(u, v)kL^p.2^{N k(p11+p12−1p)} X

k−q63

k∆qukL^p1k∆eqvkL^p2. Et par suite

2^{k(s1+s2+Np−pN1−pN2)}k∆kR(u, v)kL^p

. X

k−q63

2^{(k−q)(s1+s2)}2^qs1k∆qukL^p12^qs2k∆e_qvkL^p2,

ainsi l’inégalité de Young implique que2^{k(s1+s2+Np−pN1−pN2)}k∆_kR(u, v)k_Lp ∈

`^r(Z),dès ques1+s2>0 lorsque _p¹

1 +_p¹

2 61.

Maintenant si 1 < _p¹

1 +_p¹

2, alors p2 6p⁰₁ avecp⁰₁ l’exposant conjugué dep₁,c’est-à-dire, _p¹

1 +_p¹0 1

= 1,et par suite les inégalités de Bernstein de Hölder impliquent

k∆kR(u, v)kL^p.2^{N k(1−1p)} X

k−q63

k∆qukL^p1k∆e_qvk

L^p01

.2^{N k(1−1p)} X

k−q63

k∆qukL^p12^{N q(}

1 p2−_p¹0

1

)k∆e_qvkL^p2.

On remplace _p¹0 1

par1−_p¹

1, on trouve 2^{k(s1+s2+Np−pN1−pN2)}k∆kR(u, v)kL^p

. X

k−q63

2^{(k−q)(s1+s2+N−pN1−pN2)}2^qs1k∆qukL^p12^qs2k∆eqvkL^p2,

enfin l’inégalité de Young implique que2^{k(s1+s2+Np−pN1−pN2)}k∆kR(u, v)kL^p∈

`^r(Z)dès que s₁+s₂+N −^N_p

1 −_p^N

2 >0. On suit la même démarche que dans le premier cas, on en déduit la deuxième inégalité sur le terme du reste car on a besoin seulement de2^{k(Np−pN1−pN2)}k∆kR(u, v)kL^p∈`^∞(Z).

Pour le terme de paraproduit, on a :

∆kTuv= X

|k−q|64

∆k S_q−1u∆qv .

Démontrons maintenant les inégalités sur le paraproduit. Si ¹_p 6 p¹₂+_λ¹ 6 1avecp₁6λ.Alors les inégalités de Hölder et de Bernstein impliquent :

k∆kT_uvkL^p.2^{kN(p12+λ1−1p)} X

|k−q|64

kSq−1uk_Lλk∆qvkL^p2.

Mais par définition de l’opérateurS_q et l’inégalité de Bernstein, on a l’es- timation suivante :

kS_q−1uk_Lλ.2^{q(pN1−Nλ−s1)}





 kuk_B^s1

p1,∞ sis1+^N_λ < ^N_p

1

kuk_B^s1

p1,1 sis1+^N_λ = ^N_p

1. Remarquons que siu∈L^λ, alors :

kSq−1uk_Lλ .kuk_Lλ. Et par suite, on a :

kTuvk

B

s1 +s2 +N p−N

p1−N p2 p,r

.kvk_B^s2 p2,r





 kuk_B^s1

p1,∞ sis₁+^N_λ < ^N_p

1

kuk_B^s1

p1,1 sis1+^N_λ = ^N_p

1. L’autre inégalité se démontre de la même manière mais on utilise le fait que 2^{q(s1+Nλ−pN1)}S_q−1u∈ `^r(L^λ),sis₁+^N_λ < _p^N

1 et dans`¹(L^λ),sis₁+^N_λ = ^N_p

1. En effet, sis1+^N_λ < _p^N

1,alors : kSq−1uk_Lλ . X

j6q−2

2^{j(pN1−Nλ−s1)}2^js1k∆jukL^p1

. 2^{q(pN1−Nλ−s1)} X

j6q−2

2^{(j−q)(pN1−Nλ−s1)}ajkuk_B^s1 p,r

6 C2^{q(pN1−Nλ−s1)}˜a_qkuk_B^s1 p,r, où˜a_j = P

j6q−2

2^{(j−q)(pN1−Nλ−s1)}a_j∈`^r(Z), lorsques₁+^N_λ < ^N_p

1,sinon, c’est- à-dire,s1 + ^N_λ = _p^N

1,on akSq−1uk_Lλ .kuk_B^s1

p,1.D’où la proposition.

Comme conséquence de la proposition précédente, on a le corollaire sui- vant.

Corollaire 2.5. — Soient (p, p₁, p₂, r, λ₁, λ₂) ∈ [1,∞]⁶ tels que ¹_p 6

1 p₁ +_p¹

2, p16λ2, p26λ1, ¹_p 6 p¹₁ +_λ¹

1 61 et ¹_p 6 p¹₂ +_λ¹

2 61.Alors on a les inégalités suivantes :

si s1+s2+Ninf(0,1− _p¹

1 −_p¹

2) >0, s1+_λ^N

2 < _p^N

1 et s2+ _λ^N

1 < ^N_p

2. Alors :

(2.3) kuvk

B

s1 +s2−N( 1p1+ 1p2−1 p) p,r

.kuk_B^s1

p1,rkvk_B^s2 p2,∞, lorsques1+_λ^N

2 = _p^N

1 (resp. s2+ _λ^N

1 = _p^N

2)on remplacekuk_B^s1

p1,rkvk_B^s2 p2,∞

(resp. kvk_B^s2

p2,∞)parkuk_B^s1

p1,1kvk_B^s2

p2,r (resp. kvk_B^s2

p2,∞∩L^∞), sis₁+_λ^N

2 = _p^N

1

ets2+_λ^N

1 =_p^N

2 on prendr= 1.

Si s₁+s₂= 0, s₁∈(_λ^N

1 −_p^N

2,^N_p

1 −_λ^N

2]et _p¹

1 +_p¹

2 61,alors :

(2.4) kuvk

B

−N( 1p1+ 1p2−1 p) p,∞

.kuk_B^s1

p1,1kvk_B^s2 p2,∞. Si|s|< ^N_p pour p>2 et−^N_p0 < s <^N_p sinon, alors : (2.5) kuvkB_p,r^s .kukB_p,r^s kvk

B

N p,∞p ∩L^∞

. Sis+N−^N_p >0, alors on a :

(2.6) kuvk_Bs

p,r.kuk

L²∩B^s+N−

N p 2,r

kvk

L²∩B^s+N−

N p 2,r

.

Remarque 2.6. — En général dans la suitepsera égal à p1 ou àp2 et

1 λ = _p¹

1 −_p¹

2 sip16p2, respectivement _λ¹ = _p¹

2 −_p¹

1 sip26p1.

Pour étudier le système (]IN S) nous avons besoin d’utiliser l’effet ré- gularisant de l’équation de la chaleur. Pour cela on introduit les espaces Le^ρ_T(B_p,r^s )découverts par J.-Y. Chemin et N. Lerner dans [7].

Définition 2.7. — Soient s ∈ R,(r, ρ, p) ∈ [1,+∞]³ et T ∈]0,+∞], on dit alors quef ∈Le^ρ_T(B_p,r^s ),si

kfk

eL^ρ_T(B^s_p,r) d´ef

= X

q∈Z

2^qrsZ T 0

k∆qf(t)k^ρ_Lpdt^r_ρ¹_r

<∞, avec le changement usuel sir=∞.

Pour θ∈[0,1], on a :

(2.7) kuk

Le^ρ_T(B^s_p,r)6kuk^θ

Le^ρ_T¹(B_p,r^s1)kuk^1−θ eL^ρ_T²(B_p,r^s2)

avec ¹_ρ = _ρ^θ

1 +^1−θ_ρ

2 ets=θs₁+ (1−θ)s₂.

Remarquons que l’inégalité de Minkowski, implique que : kuk

Le^ρ_T(B^s_p,r)6kuk_L^ρ

T(B^s_p,r) si ρ6r et kuk_L^ρ

T(B^s_p,r)6kuk

Le^ρ_T(B^s_p,r) si r6ρ.

Remarque 2.8. — Le corollaire 2.5 reste vrai dans les espacesLe^ρ_T(B_p,r^s ).

Par exemple, on a : kuvk

eL^ρ_t(B^s_p,r).kuk

eL^ρ_t¹(B_p,r^s )kvk eL^ρ2(B

N p,∞p ∩L^∞)

où ¹_ρ = _ρ¹

1 + _ρ¹

2 et |s| < ^N_p lorsque p> 2 respectivement −^N_p0 < s < ^N_p sinon.

3. Estimations pour l’équation de transport et pour l’équation de Stokes

On remarque que le système de Navier-Stokes avec densité variable(INS)g est formé par une équation de transport sur la densité et par une équation de Stokes sur le champ de la vitesse. On commence ainsi par donner les estimations nécessaires pour l’équation de transport et pour le système de Stokes non stationnaire :

Proposition 3.1. — Soient (p1, p2) ∈ [1,+∞]², s ∈]−1− ^N_p

2,1 + Ninf(_p¹

1,_p¹

2)[si _p¹

1+_p¹

2 61ets∈]−1−_p^N0 1

,1 +Ninf(_p¹

1,_p¹

2)[si _p¹

1+_p¹

2 >1 oùp⁰₁l’exposant conjugué dep1(resp. s= 1 +Ninf(_p¹

1,_p¹

2))etr∈[1,+∞]

(resp. r = 1). Soit u un champ de vecteurs à divergence nulle tel que

∇u ∈ L¹(0, T; B

N p2

p2,r∩L^∞) (resp. u ∈ L¹(0, T; B

N p2+1

p2,1 )). Supposons que ρ₀ ∈ B_p^s

1,r, f ∈ L¹(0, T;B_p^s

1,r). Soit ρ ∈ L^∞(0, T;B_p^s

1,r)∩C([0, T]; S⁰) une solution du système suivant :

∂_tρ+u· ∇ρ=f, ρ_|t=0=ρ0.

Alors il existe une constanteC strictement positive dépendant deN et s telle que :

(3.1) kρk eL^∞_T(B_p^s

1,r)6e^CU(t) kρ0kB^s_p

1,r + Z t

0

kf(τ)kB^s_p

1,rdτ , oùU(t) = Rt

0k∇u(τ)k

B

N p2 p2,r∩L^∞

dτ.(resp. U(t) = Rt 0ku(τ)k

B

N p2+1 p2,1

dτ).

Preuve. — On applique∆_qà l’équation, après on multiplie par|∆qρ|^p1−2

∆qρ. On obtient : 1

p1

d

dtk∆qρk^p_L¹p1+ Z

∆q(u· ∇ρ)|∆qρ|^p1−2∆qρ dx6k∆qfkL^p1k∆qρk^p_L¹p⁻¹1

D’après la décomposition de Bony, on peut écrire :

∆_q(u· ∇ρ) = ∆q(T_ui∂_iρ) + ∆_q(T_∂iρuⁱ) + ∆_q(R(uⁱ, ∂_iρ)).

D’autre part, le terme∆_q(T_ui∂_iρ)peut s’écrire à l’aide des commutateurs : S_q−1u· ∇∆qρ+ X

|q−q⁰|61

(S_q⁰₋₁−S_q−1)u· ∇∆q∆_q⁰ρ

+ X

|q−q⁰|64

[∆q, Sq⁰−1u]· ∇∆q⁰ρ.

En tenant compte du fait que : Z

Sq−1u· ∇∆qρ|∆qρ|^p1−2∆qρ dx= 0.

On injecte cela dans l’estimation sur l’équation de transport et on trouve : 1

p1

d

dtk∆qρk^p_L¹p1 6(kFqkL^p1 +k∆qfkL^p1)k∆qρk^p_L¹p⁻¹1

avec : Fq

d´ef

= ∆q( X

|q−q⁰|64

∆q⁰u· ∇Sq⁰−1ρ) + ∆q( X

q⁰>q−3

∆q⁰u· ∇∆eq⁰ρ)

+ X

|q−q⁰|61

(Sq⁰−1−S_q−1)u· ∇∆q∆q⁰ρ+ X

|q−q⁰|64

[∆q, Sq⁰−1u]· ∇∆q⁰ρ

où∆eq = ∆_q−1+ ∆q + ∆q+1. Commedivu = 0, alors si _p¹

1 +_p¹

2 6 1 les inégalités de Bernstein et de Hölder, donnent :

k∆q(∆q⁰u· ∇∆eq⁰ρ)kL^p1 .2^qk∆q(∆q⁰u∆eq⁰ρ)kL^p1

.2^q(1+pN2)k∆q⁰ue∆q⁰ρk

L

p1p2 p1 +p2

.2^q(1+pN2)k∆q⁰ukL^p2k∆e_q⁰ρkL^p1. Vu que :

k∆eq⁰ρkL^p1 62^−q0saq⁰kρkB^s_p

1,r

oùa_q⁰ ∈`^r. Comme la transformée de Fourier de ∆_q⁰uest localisée dans une couronne2^q0C, alors :

k∆q⁰ukL^p2 .2^−q

0(_p^N

2+1)

k∇uk

B

N p2 p2,∞

.