pour l'obtention du Grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS
(Fa ulté des S ien es Fondamentales et Appliquées)
(Dipl me National - Arrêté du 7 août 2006)
E ole Do torale : S ien es Pourl'Ingénieur & Aéronautique SPI&A
Se teur de Re her he : Mathématiques et leurs Intera tions
Spé ialité : Équations aux Dérivés Partielles et leurs Appli ations
Présentée par :
Sami INJROU
********************************
Étude numérique des équations de
Cahn-Hilliard non isotrope et non
isotherme
********************************
Dire teur de thèse : Alain MIRANVILLE
Co-dire teur de thèse : Morgan PIERRE
********************************
Soutenue le 19 juin 2009
devant la Commission d'Examen
********************************
JURY
P. KREJCI Dire teur deRe her he,A adémie desS ien es, Rép.T hèque Rapporteur
F.BOYER Professeur,UniversitéPaulCézanne,Aix-Marseille3 Rapporteur
G.GOLDSTEIN Professeur,UniversitédeMemphis,USA Examinatri e
F.PASCAL Professeur,E oleNormaleSupérieure. deCa han Examinateur
A.ROUGIREL MaîtredeConféren esHabilité,UniversitédePoitiers Examinateur
A.MIRANVILLE Professeur,UniversitédePoitiers Dire teur
Certaines personnes sont apables de transmettre une partiede leurs
onnais-san es ave tant de patien e, d'enthousiasme et de générosité qu'elles vous
transforment et transforment votre vie, dans le bon sens. Ce qu'elles vous
orentalors n'a pas de prix,à mon sens. Jene peux que remer ier
haleureu-sement les personnes ayant tenu e r le à un moment ou un autre de ma vie,
sans jamais espérer, malheureusement, réussir à leur rendre une partie de e
qu'elles m'ont donné.
Je tiens tout d'abord à remer ier la ministère de l'enseignement supérieur
en SYRIE pour le soutien nan ier, et l'ambassade syrienne à Paris pour sa
disponibilité et sa oopération, en parti ulier, je remer ie bien les gens qui se
hargent du bureau ulturel.
Mespremières pensées setournentvers mon o-dire teurde thèse,Morgan
PIERRE. Je lui suis tout d'abord in nimentre onnaissant d'avoir bien voulu
m'a epter omme étudiant, me proposer e sujet de thèse etme guiderdans
saréalisationdurant toutes es années. Jelui exprime maprofondegratitude.
Mer i Morgan pour ton amitié, ta patien e, tes remarques et tes indi ations
quim'ontfortementaidé etmotivé.J'aiététrès heureux detravaillerave toi.
Jeremer ie haleureusementAlainMIRANVILLE,quiaa eptéd'êtremon
dire teurde thèse etm'aapporté sonaide quand jelademandais,Mer i Alain
pour tout.
PavelKREJCI etFran kBOYERm'ontfaitl'honneurd'a epterd'êtreles
rapporteurs de ma thèse.
Gisèle GOLDSTEIN, Frédéri PASCAL et Arnaud ROUGIREL ont tous
a epter d'être membres de mon jury. Je les remer ie haleureusement et je
suis honoré de soutenirma thèse devant eux.
J'exprimemagratitudeàPierreTORASSO,quin'apasjamais essé deme
soutenir, de m'en ourager et de m'aiderpendant le Master2. Je remer ie
éga-lementledire teurdulaboratoirePolVANHAECKEpourses en ouragements
etsa disponibilité.
Mesannéesentantquethésardontété lesplusbellesannéesdemes études
etbeau oupedepersonnes ont ontribuéà efait.Toutd'abord,l'ambian eau
laboratoiredeMathématiquesetAppli ationsdePoitiersauraététrèsagréable
et respe tueuse. Je tiens également à remer ier Brigitte BRAULT, Jo elyne
ATTab, Nathalie MARLET, NathalieMONGIN etbien sûr BenoîtMETROT
pourladisponibilitéetlagentillessedontilsontfaitpreuvedurant es années.
Avant de terminerave le laboratoire,je m'adresse àlafamilledes do torants.
Mer iGuilhempour tesaidespré ieuses surtoutenLatexetenS ilab(tu esle
plus expert d'entre nous en Latex). Tou , je te bien remer ie de m'avoir fait
onnaître àFreeFem++et pour les dis utions en EDP etAnalyse numérique.
Jen'oubliepaslesan iensdo torantsAriane,MarieEve,Céline,Anne,Batoul,
Hélène, Caroline, Gang, Wesam, Willy, Houssam, Anouar, Le. Mer i pour les
bons momentspassés ensembles.
Mesamis syriens en Fran e Ayman, Azzam,Chadi, Eyad, Maher, Naël,Firas,
Mazen, Mostapha, je suis ravi de vous onnaître et de passer inq ans ave
vous, et je vous souhaite terminer vos thèses en bonnes onditions. Bonne
ontinuationpour Aliet Nasser.
Jeveuxbienremer ierMonsieurEdmondBizardpourses oursdefrançais,
quim'aideàenri hirmesvo abulairesenfrançais.J'aien nlajoiederemer ier
mafamille.Mer imère, quiprietoujourspourqueje réussisse, deta on an e
en moi. Mer i père, tu m'en ourages toujours de réaliser mes su ès par ton
élèbreproverbe "Quand tu friras, tu sauras. Quand tu prépareras le fourrage
tute réveilleras."Ceproverbeettavoixserépètentdansmesoreillesen même
temps quej'é ris e remer iement. Personne ne le omprend pas mais moioui
je le omprend bien. Mer i mes frères et mes s÷urs pour m'avoir soutenu et
en ouragépendantmesétudes.Finalement,jeremer ietoutspé ialement,mon
épouseOlade m'avoirsupportéetm'avoirsoutenuduranttoute laduréede la
thèse.
Mer i à touteset àtous eux qui m'ontsoutenu depuisle débutet jusqu'à
mon père,
mamère,
mon épouse Ola,
1 Introdu tion 3
1.1 Équationde Cahn-Hilliard . . . 3
1.2 Équationsde Cahn-Hilliard-Gurtinet motivationsde la thèse. . 4
1.2.1 Modèle de Cahn-Hilliardnon isotrope . . . 4
1.2.2 Modèle de Cahn-Hilliardnon isotherme . . . 6
1.3 Plan de la thèse . . . 7
2 Dérivation physique des équations de Cahn-Hilliard-Gurtin 9 2.1 Uneexpérien e physique . . . 9
2.2 Équation lassique de Cahn-Hilliardet appro he de Gurtin . . . 11
2.3 Dérivation de l'équation de Cahn-Hilliard non isotrope . . . 14
2.4 Dérivation de l'équation de Cahn-Hilliard non isotherme . . . . 18
3 Dis rétisations stables des équations de Cahn-Hilliard-Gurtin non isotropes 27 3.1 Introdu tion . . . 27
3.2 Problème ontinuet semi-dis rétisationen espa e . . . 28
3.3 Dis rétisation en espa e eten temps. . . 34
3.4 Simulationsnumériques en dimension 1 d'espa e . . . 42
3.4.1 Aspe ts algorithmiques . . . 42
3.4.2 Brisure de symétrie . . . 46
3.4.3 Linéarisation autourd'une solution onstante . . . 49
3.4.4 Énergielibre . . . 50
3.4.5 Choix du pas de temps . . . 53
3.5 Simulationsnumériques en dimension 2 . . . 55
4 Estimationsd'erreur pourleséquationsde Cahn-Hilliard-Gur-tin non isotropes 65 4.1 Leproblème ontinu . . . 65
4.2 Estimation d'erreur pour le problème semi-dis rétiséen espa e . 68 4.3 Estimation d'erreur pour le s héma omplètement dis rétisé . . 75
4.4 Simulationsnumériques en dimension 1 . . . 81
4.5 Résultats numériques en dimension 2 : . . . 95
4.5.1 S hémad'Euler impli ite . . . 95
4.5.2 S hémad'Euler semi-impli ite . . . 102
5 Étude numérique des équations de Cahn-Hilliard non
isoth-ermes 105
5.1 Équations et propriétés . . . 105
5.2 Dis rétisation en espa e eten temps. . . 107
5.3 Simulations numériques. . . 109
6 Annexe 117
6.1 Programme S ilab (équation de Cahn-Hilliard-Gurtin non
iso-trope en dimension 1). . . 117
6.2 ProgrammeFreeFem++(équationdeCahn-Hilliard-Gurtinnon
isotropeen dimension 2) . . . 121
6.3 Programme S ilab (équation de Cahn-Hilliard-Gurtin non
iso-therme en dimension 1). . . 123
Introdu tion
1.1 Équation de Cahn-Hilliard
L'équation de Cahn-Hilliard est fondamentale en s ien e des matériaux.
C'est une équation aux dérivées partielles qui dé rit le pro essus de
sépara-tion de phase dans un alliagebinaire. Un telpro essus peut être observé
lors-qu'unalliagebinaire,de ompositionhomogèneàtempératureélevée, ave une
on entration uniformede ha une des deux phases, est brutalementrefroidi :
le matériau devient alors inhomogène, les phases se séparent en domaines de
on entration relativement plus élevée en l'une oul'autre des phases.
L'équation de Cahn-Hilliards'é rit
∂u
∂t
(x, t) = D∆
f
′
(u(x, t)) − α∆u(x, t)
,
x ∈ Ω, t ≥ 0,
(1.1.1)où
u
est une densité d'atomes,Ω ⊂ R
3
est la régionde l'espa e o upée par le
matériau,
t
estlavariabletemporelle,x
lavariabled'espa e,et∆
l'opérateurde Lapla e.Lafon tionf
est engénéralunpotentielàdouble-puitsdontlespuits orrespondentauxphasesdumatériau.La onstanteD > 0
estun oe ientde diusionappelémobilité,etla onstanteα > 0
estliéeàlatensioninterfa iale: lavaleur√
α
donnelalargeurtypiqued'uneinterfa e.En e sens,l'équationde Cahn-Hilliardest un prototype de modèle àinterfa e diuse (par opposition àdes modèles à interfa e d'épaisseur nulle, ou àfrontièrelibre).
L'équation(1.1.1)aétéintroduiteàla ndes années1950parCahnet
Hil-liardpour omprendrequalitativementlephénomène de dé omposition
spino-dale[14,15℄.Traditionnellement,lesthéoriesdeséparationdephasedistinguent
en eetle phénomène de nu léation et lephénomène de dé omposition
spino-dale (voir par exemple [47℄). L'évolution par nu léation (ou germination) et
roissan e est ara tériséepar une première étape d'apparitionde germes
(nu- léides)d'une phase dans une autre, dans un état d'équilibre métastable,puis
en s'ampli ant onduisent àla séparation de phase.
L'équationde Cahn-Hilliarda été très étudiée, tant d'un pointde vue
ma-thématique qued'un point de vuenumérique.Il s'agitd'une équation
parabo-lique semi-linéaire et à e titre, on peut la rappro her de l'équation
d'Allen-Cahn (ou Ginzburg-Landau), aussi onnue des mathémati iens sous le nom
d'équation de la haleur semi-linéaire, et qui est également fondamentale en
s ien e des matériaux. Pour l'équation de Cahn-Hilliard, les questions
las-siques, outre l'existen e et l'uni ité pour diérents types de potentiels et de
onditions au bord, on ernent la dynamique engendrée par l'équation :
re- her hedessolutionsstationnaires,existen eetdes riptiond'attra teurs. D'un
pointde vuenumérique,l'équationdeCahn-Hilliardest lassiquement
dis réti-sée pardiéren es nies, éléments nis ouen orepar des méthodes spe trales.
Labibliographierelativeàl'équationde Cahn-Hilliardesttellementvaste qu'il
est di ile, sinon impossible, d'être exhaustif. Nous référons le le teur aux
synthès es [22, 49, 43℄ pour des référen es relatives aux questions évoquée s
i-dessus.
Aujourd'hui, un des intérêts majeurs de l'équation de Cahn-Hilliard est
d'apparaître dans un grand nombre de modèles plus sophistiqués. Nous
pou-vons iter, sans être exhaustif : des modèles ouplant Navier-Stokes et
Cahn-Hilliard[11, 12℄, oubien ouplantAllen-Cahn et Cahn-Hilliard[50, 28, 7℄, des
modèles de séparation de phase non isotherme [51℄,...Soulignons que la
dé-rivation lassique de (1.1.1) est faite en supposant que l'évolution se fait à
température onstante, i.e. de manièreisotherme. L'équationde Cahn-Hilliard
est plus généralement le prototype de modèles à interfa e diuse (modèles de
hamp de phase) qui ont a tuellement beau oup de su ès en s ien e des
ma-tériaux : à e sujet, le le teur pourra onsulter par exemple le site du GDR
Champde Phase [1℄.
Cettethèse sepla edans e ontexte de modèlesgénéralisantl'équationde
Cahn-Hilliard. Nous avons plus spé i quement étudié deux types de modèles
basés sur une appro he due àGurtin.
1.2 Équations de Cahn-Hilliard-Gurtin et
moti-vations de la thèse
1.2.1 Modèle de Cahn-Hilliard non isotrope
Le premiermodèle que nous avons étudié est une généralisation de
l'équa-tionde Cahn-Hilliardétabliepar Gurtindans [29℄.Ladérivationde e modèle
sera rappelée dans laSe tion2.2. En plus de l'intérêtmathématique et
numé-riqueintrinsèque à e modèle, un intérêt de son étude tient à la généralité de
Les équationss'é rivent :
∂u
∂t
− a · ∇
∂u
∂t
=
div(B∇w)
dansΩ × (0, +∞),
(1.2.1)w − b · ∇w = β
∂u
∂t
− α∆u + f
′
(u)
dansΩ × (0, +∞),
(1.2.2) oùu
est le paramètre d'ordre etw
le potentiel himique. Le domaineΩ
est un ouvert deR
d
(
1 ≤ d ≤ 3
),α > 0
etf
un polyn me à double-puits . La onstanteβ ∈ R
, les ve teursa, b ∈ R
d
et
B
, une matri e arrée de tailled
, satisfontla ondition de dissipativitéβx
2
+
t
yBy +
t
y(a + b)x ≥ 0
∀x ∈ R, ∀y ∈ R
d
,
qui est une onséquen e du Se ond Prin ipe de la Thermodynamique. Pour
avoir un problème bien posé, les équations i-dessus doivent être omplétées
par une ondition initiale et des onditions au bord (de type périodique en
général,voir[43, 40, 37℄).
Pour mettre en éviden e le rapport entre es équations et l'équation de
Cahn-Hilliard (1.1.1), il est possible, suivant [43℄, d'éliminer le potentiel
hi-mique
w
des équations. En prenant le divB∇
de (1.2.2) et en y inje tant la valeurde div(B∇w)
donnéepar (1.2.1),onobtientl'équationde Cahn-Hilliard généralisée :∂u
∂t
− d · ∇
∂u
∂t
−
div( ˜
B∇
∂u
∂t
) + α
div(B∇∆u) −
div(B∇f
′
(u)) = 0,
où
d = a + b
etB = βB −
˜
1
2
(a
t
b + b
t
a)
.Pour un matériau isotrope, on a
a = b = 0
etB = DI
,D > 0
, et ette équation auxdérivées partielless'é rit∂u
∂t
− Dβ∆
∂u
∂t
+ αD∆
2
u − D∆f
′
(u) = 0.
Ils'agitde l'équationde Cahn-Hilliardvisqueuse ,quiaété obtenue demanière
indépendanteparNovi k-Cohendans[48℄.Side plus
β = 0
,onretrouve l'équa-tion de Cahn-Hilliard lassique (1.1.1). Par opposition au as isotrope, nousquali erons parfois les équations (1.2.1)-(1.2.2) de modèle de Cahn-Hilliard
non isotrope, suivant Miranville etRougireldans [45℄.
LeséquationsdeCahn-Hilliardnonisotropes(1.2.1)-(1.2.2)ontétéétudiées
dans [9, 10, 16, 21, 38, 42, 43, 45, 37, 40, 41, 44℄. Les questions prin ipales
on ernent l'existen e et l'uni ité et plus généralement le ara tère bien posé
(détaillantnotammentletypede onditionsaubordpossiblesetleshypothèses
quel'énergie libre totale,
E(u) =
Z
Ω
α
2
|∇u|
2
+ f (u)dx,
(1.2.3)est une fon tionnelle de Lyapunov (
E(u(t)
dé roît ave le tempst
), et que la masse totaleest onservée :Z
Ω
u(x, t)dx =
Z
Ω
u(x, 0)dx,
∀t ≥ 0.
Un des obje tifs prin ipaux de la thèse a été de simuler numériquement
es équations et d'en faire l'analyse numérique. Parmi les diérents type de
dis rétisations possibles, nous avons hoisi une méthode d'éléments nis pour
ladis rétisation en espa e, et des s hémas de type impli iteou semi-impli ite
en temps. Ce sont les hoix lesplus naturels pour l'analyse numérique, ar les
espa es fon tionnels dans lesquelles vivent les solutions etles normes utilisées
sontdire tementliés àl'énergie libre (1.2.3).
Une des prin ipales di ultés pour simuler les équations (1.2.1)-(1.2.2),
omme dans tous les modèles de type Cahn-Hilliard, vient du fait qu'il s'agit
d'unmodèleàdeuxé helles:uneé hellema ros opique( elleoùvitla
on en-tration,del'ordrede1),etuneé hellemésos opique,liéeàlalargeurdes
inter-fa es, qui est typiquement de l'ordre de
√
α
. Cela oblige à maillerle domaineΩ
à la plus petite é helle, l'é helle mésos opique, e qui se révèle rapidement limitatifen terme de temps de al ul.D'autres di ultés ren ontrées sont plus propres aux équations
(1.2.1)-(1.2.2):dis rétisationenespa eparéléments nismixtes,demanièreàpouvoir
programmerrelativementfa ilement,s hémasen tempsimpli itesetdon non
linéaires. Nousverrons omment es di ultés ont été abordées.
1.2.2 Modèle de Cahn-Hilliard non isotherme
Le deuxième modèle que nous avons étudié est une équation de
Cahn-Hilliard non isotherme obtenue par Miranville et S himperna dans [46℄, en
utilisant l'appro he de Gurtin.
Les équationss'é rivent :
u
t
= ∆(
w
θ
),
(1.2.4)w = f
′
(u) − α∆u,
(1.2.5)c
v
θ
t
+ ∆(1/θ) = −f
′
(u)u
t
+ αu
t
∆u,
(1.2.6)où
u
est leparamètre d'ordre,w
le potentiel himique,etθ
est latempérature absolue. Les oe ientsc
v
> 0
etα > 0
sont onstants, etf
est un potentielnon onvexe (en général,un polyn me de degré
≤ 6
, f [5℄).Noussupposerons des onditionsauborddetypepériodique,demanièreàéviterlesproblèmesdebord,desortequeledomaine
Ω
oùsontposéesleséquationsestΩ = Π
d
i=1
]0, L
i
[
(
1 ≤ d ≤ 3
,L
i
> 0
pouri = 1, . . . , d
). Ces équations sont omplétées par des onditions initiales, et l'évolution est onsidérée pour des tempst ≥ 0
.On retrouve l'équation de Cahn-Hilliard lassique (1.1.1) en ne
onsidé-rant que les deux équations (1.2.4)-(1.2.5) ave une température
θ
onstante (et en éliminantw
). En e sens, on peut voir e système omme une pertur-bation non isotherme de l'équation de Cahn-Hilliard lassique. On peut voiraussi, et nous le montrerons, que les solutions stationnaires du système non
isotherme(1.2.4)-(1.2.6)sontlessolutionsstationnairesde l'équationde
Cahn-Hilliard lassique.
Le système (1.2.4)-(1.2.6) est fortementnon linéaire.Il est possible d'avoir
quelques estimations a priori ommela onservation de la masse et la
onser-vation de l'énergie, qui seront détaillées dans le Chapitre 5. Cependant, il est
di ile d'obtenir d'autres estimations, et notamment de gérer le membre de
droite dans (1.2.6). Pour es raisons, il n'y a a tuellement pas de résultat
d'existen e, même lo ale (en temps) pour e système.
Le but du Chapitre 5 est de simuler numériquement les équations
(1.2.4)-(1.2.6),de manièreàmieuxles omprendre.Nouspouvons espérer parexemple
répondre numériquement aux questionssuivantes :
-a-t-onexisten eglobaleentemps?Etnotamment,latempérature
θ
reste-t-elletoujours> 0
?-lasolution onverge-t-elle vers un étatd'équilibre, ommepourl'équation
de Cahn-Hilliardisotherme?
Pour simpli er l'étude,nous nous sommes restreintsà ladimension 1
d'es-pa e. Soulignonsqu'un autreintérêtde lasimulationnumérique est de
propo-ser un s héma numériquement stable pour ette EDP fortement non linéaire,
s héma qui pourrait éventuellement être appliqué à d'autres modèles pro hes
(par exemple des modèles de Cahn-Hilliard-Gurtin non isothermes plus
géné-raux), et en dimension d'espa e plus grande.
1.3 Plan de la thèse
La thèse est organisée de omme suit. Dansle Chapitre 2,après avoir
rap-pelé ladérivation phénoménologique de l'équationde Cahn-Hilliard lassique,
nousrappelonsdanslaSe tion2.3ladérivationde l'équationde Cahn-Hilliard
non isotropefaite par Gurtin [29℄, puis nous obtenons ladérivation de
l'équa-tion de Cahn-Hilliardnon isotherme faite dans [46℄.
Le Chapitre 3 donne des dis rétisations en espa e, puis en espa e et en
temps des équations de Cahn-Hilliard non isotropes, et établit lastabilité
prolongent les résultats théoriques. Ces simulations montrent également des
diéren es qualitatives et quantitatives entre les équations de
Cahn-Hilliard-Gurtin(1.2.1)-(1.2.2) etde Cahn-Hilliard lassique (1.1.1).
Dans le Chapitre 4, nous établissons des estimations d'erreur a priori en
norme d'énergie pour les dis rétisations introduites dans le Chapitre 3. Des
simulations numériques en dimension 1 et 2 d'espa e on rment les résultats
théoriques.
Le Chapitre 5 est une étude numérique d'un modèle (1.2.4)-(1.2.6) de
Dérivation physique des équations
de Cahn-Hilliard-Gurtin
L'équationdeCahn-Hilliardesttrèsimportanteenphysiquedesmatériaux.
Il s'agit d'une équation de onservation qui dé ritle transport d'atomes entre
ellulesunités.Cephénomènepeut-êtreobservé,parexemple,quandunalliage
binaireestsu sammentrefroidi.Nousobservons alorsunenu léationpartielle,
i.el'apparitiondenu léidesdanslematériau,ouune nu léationtotale,appelée
dé ompositionspinodale:lematériaudevientrapidementhétérogène,formant
une stru ture en grains ns. Dans une deuxièmeétape, àune é helle de temps
plus lente, il y a oales en e de es mi rostru tures.
2.1 Une expérien e physique
A titre d'illustration, nous montrons dans les Figures 2.1-2.3 des photos
extraites de la thèse de Troisième Cy le de C. Templier [56℄. Il s'agit
d'é han-tillonsd'unalliageAluminium/Zin (AL)observésenmi ros opieéle tronique.
L'alliageaétépréparé selonleproto olesuivant,appeléhypertrempe:dansune
en eintesous vide,unepetite quantité d'alliageest portée àl'étatliquidedans
un mi ro-four, puis projetée et é rasée entre deux plaques de uivre. L'alliage
solide ainsiobtenupossède une épaisseur etune formevariables;il est ensuite
taillépour avoirdes é hantillonsdontl'épaisseurvarieentre 60et140mi rons,
de manièreà pouvoir être utilisédans l'appareillage de diusion entrale. Les
é hantillons sont onservés dans l'azoteliquide en attendant leur utilisation.
DanslaFigure2.1,lesphotos(III.3),(III.4),(III.5),(III.6)montrent
respe -tivementdes alliagesAZ15%at.(Aluminium/Zin ave 15%de Zin en masse
atomique),AZ9.36%at.,AZ6.8%atetdel'aluminium,immédiatementaprès
hypertrempe.Pour servir de pointde omparaison,laphoto (III.7)montre un
alliageAZ9.36%ataprèstrempe lassique.Nousobservonsaprèshypertrempe
photo III.3, le rayon varie de 500 à5000 Å.
LaFigure2.2 montrel'évolutiond'un alliageAZ9.35 %à 235C. C'estune
évolutionde e typequiest modéliséequalitativementpar l'équationde
Cahn-Hilliard. La photo de gau he (III.10) montre l'alliage immédiatement après
hypertrempe, et elle de droite (III.11), le même alliage après évolution de
30mn à 235C. La Figure 2.3 illustre une manière d'étudier quantitativement
etteévolution,par lepro édéde diusion entrale auxrayons X: laphotode
droite (III.9) montre la ourbe de diusion de l'alliage immédiatement après
hypertrempe,ave un fais eau entralresserré, tandis que la photo de gau he
(III.8) montre la ourbe de diusion après évolution : le fais eau est moins
élevé eta deux pi s.
2.2 Équation lassique de Cahn-Hilliard et
ap-pro he de Gurtin
Lepointdedépartdeladérivationdel'équationdeCahn-Hilliardest
l'éner-gielibre de Ginzburg-Landau,de laforme:
Ψ = Ψ(u, ∇u) =
α
2
|∇u|
2
+ f (u),
α > 0,
(2.2.1)où
u
est le paramètre d'ordre (la densité d'atomes) etf
est un potentiel à double-puitsdontlespuits orrespondentauxphasesdumatériau.Unpotentielohérent thermodynamiquement est le potentiellogarithmique de la forme:
f (s) = −
1
2
θ
c
s + θ ln
1 + s
−
f(s)
s
Fig. 2.4
f (s)
Trèssouvent, epotentielestappro héparunpotentielpolyn mialdedegré
quatre de la forme(Figure2.4) :
f (s) =
1
4
(s
2
− β
2
)
2
,
β > 0.
(2.2.3)Lesdeux modèles onduisent àuneinterfa ediuse àl'intérieurdelaquelle
leparamètre subit de grandes variations;
α > 0
est liéà la tension de surfa e àl'interfa e.A n d'obtenir l'équation de Cahn-Hilliard, nous avons la onservation de
lamasse :
∂u
∂t
= −
divh
(2.2.4)où
h
est le ux de masse qui est lié au potentiel himiquew
par l'équation onstitutivepostuléesuivante (voir [19℄) :où
κ
estlamobilité(habituellementnoussupposonsqu'ils'agitd'une onstante stri tement positive, mais plus généralement,κ
dépend deu
i.eκ = κ(u)
et peutdégénérer).Lepotentiel himiqueesthabituellementladérivéedel'énergielibreparrapportauparamètred'ordre
u
,mais ettedé nitionestin ompatible ave la présen e de∇u
dansΨ
. Don ette dé nition doit être adaptée et à lapla e,w
est dé ni ommeune dérivée variationnelle/fon tionnelle deΨ
par rapport àu
:w = ∂
u
Ψ(u, ∇u) −
div(∂
∇u
Ψ(u, ∇u)) = −α∆u + f
′
(u),
(2.2.6)
où
∂
u
et∂
∇u
désignent les dérivées par rapport au premier et au deuxième argument respe tivement. Cette relation est bien a eptée et elle est réalistedu pointvue de la thermodynamique.
Finalementnous déduisons de (2.2.4),(2.2.6)l'équationde Cahn-Hilliard :
∂u
∂t
+ ακ∆
2
u − κ∆f
′
(u) = 0
(2.2.7) Tout en remarquant que es dérivations sont simples, élégantes etphysi-quement fondées, M. Gurtin y afait quelques obje tions (voir [29℄) :
il n'y a pas une séparation laire entre les lois de onservation et les
équations onstitutives;
leséquations onstitutivesontbesoind'êtrespé i éesapriori,en
parti u-lier,dans ladérivation de l'équation de Cahn-Hilliard,l'équation
onsti-tutive donnant le ux de masse en fon tion du potentiel himique est
postulée;
danslathéoriedeCahn-Hilliard,lepotentiel himiqueestdonné
onstitu-tivementen fon tionduparamètred'ordre
u
.Unetellerelationn'estplus valable sil'on veut onsidérer des systèmes qui sontloinde l'équilibre;il n'est pas lair omment es dérivations peuvent être généralisées en
présen e de pro essus tels quedéformationsou eets thermiques;
il n'est pas lair s'il y a ou non une loid'équilibre sous-ja ente qui peut
former une base pour des théoriesplus omplètes.
A n d'éviter es in onvénients,M. Gurtin a proposé une appro he qui, en
omparaisonave d'autres théoriesma ros opiquesdes paramètresd'ordre,
sé-parelesloisd'équilibredes équations onstitutivesetintroduitunenouvelleloi
d'équilibrepourlesmi ro-for esinternes.Notonsquelesmi ro-for esdé rivent
des for es asso iées à des on gurations mi ros opiques d'atomes, tandis que
lesfor es standard sont asso iées àdes é helles d'espa e ma ros opiques.
En supposant qu'il n'y ait pas mi ro-for es externes, la loi d'équilibre des
mi ro-for es est
divζ + π = 0,
(2.2.8)où
ζ
(un ve teur) orrespond aux mi ro- ontraintes etπ
(un s alaire) orres-pond aux mi ro-for es. L'introdu tion d'une telle loi d'équilibre est motivéeette loi d'équilibre des mi ro-for es fournit un équilibre pour les
inter-a tions au niveau mi ros opique, tandis que les for es standards sont
asso iées àdes é helles mi ros opiques;
a l'équilibre, l'exigen e que la variation première de l'énergie libre
s'an-nule, donne l'équation d'Euler-Lagrange div
ζ + π = 0
aveζ = ∂
∇u
Ψ
etπ = −∂
u
Ψ
(i i et dans la suite∂
s
f
désigne la dérivée partielle def
par rapport às
), qui représente une version statique de la loi de la mi ro-for e (2.2.8). Don (2.2.8) peut être onsidérée omme uneten-tative pour étendre à la dynamique une ara téristique essentielle de la
théoriestatique.
on pense que les lois physiques fondamentales on ernant l'énergie
de-vraient représenter letravailasso iéà haquepro essus inématique
( e-lui qui est asso ié au paramètre d'ordre i i). Don il semble plausible
d'avoirdesmi ro-for esdontletravaila ompagneles hangementsdans
le paramètre d'ordre. Ce travail est exprimé par des termes de la forme
∂u
∂t
, equiexpliquequelesmi ro-for essontdesquantitéss alairesplut t queve torielles.2.3 Dérivation de l'équation de Cahn-Hilliard non
isotrope
M. Gurtin a onsidéré des théories qui sont basées sur une version de la
deuxième loi qui est appropriée à une théorie purement mé anique. Plus
pré- isement, nous ommençons ave les deux lois de la thermodynamique (nous
supposons qu'il n'y apas d'apport de haleur extérieur):
Conservation de l'énergie:
d
dt
Z
R
edx = −
Z
∂R
q.νdσ + W(R) + M(R);
(2.3.1)Inégalitéd'entropie (inégalité de Clausius-Duhem) :
d
dt
Z
R
sdx ≥ −
Z
∂R
(
q
θ
).νdσ;
(2.3.2)I i,
R
est un volume de ontr le arbitraire,ν
est le ve teur unitaire normal sortant à∂R
,e
est l'énergie interne,q
est le ux de haleur,s
est l'entropie etθ
est la température absolue. De plusW(R)
est le travail surR
de toutes lesfor es extérieursàR
, etM(R)
est le uxd'énergie du aupar transport de masse.L'énergie libre est dé niepar :
Ainsi, en supposant que le système est isotherme, i.e
θ =
onstant, nous obtenons, en multipliant l'inégalité d'entropie (2.3.2) parθ
et en soustrayant l'inégalitérésultantede l'équationde l'énergie(2.3.1) :d
dt
Z
R
Ψdx ≤ W(R) + M(R).
(2.3.4)
Cette inégalitéindique que letaux selonlequel l'énergielibre augmentene
peut pas dépasser lasomme du travailet du uxd'énergie dû au transport de
masse.
Dans ette théorie,(le travail)est donnépar
W(R) =
Z
∂R
(ζ.ν)
∂u
∂t
dσ,
(2.3.5)et l'énergie libre, portée dans
R
par transport de masse, est dé nie à partir potentiel himique omme suit :M(R) = −
Z
∂R
w(h.ν)dσ,
(2.3.6)Ainsi,la version mé anique de la deuxièmelois'é rit
d
dt
Z
R
Ψdx ≤
Z
∂R
(ζ.ν)
∂u
∂t
dσ −
Z
∂R
w(h.ν)dσ.
(2.3.7)Cela donne, en intégrant par partie, en remarquant que le volume de ontr le
R
est arbitraire et en utilisant la loi d'équilibre des mi ro-for es (2.2.8) et la loide la onservation de lamasse (2.2.4), l'inégalité de dissipation suivante:∂Ψ
∂t
+ (π − w)
∂u
∂t
− ζ.∇
∂u
∂t
+ h.∇w ≤ 0.
(2.3.8) Don , nous avons deux lois de onservation :∂u
∂t
= −
divh
( onservation de masse),
(2.3.9)divζ + π = 0
(loid'équilibre des mi ro-for es),
(2.3.10) etl'inégalitéde dissipation :∂Ψ
∂t
+ (π − w)
∂u
∂t
− ζ.∇
∂u
∂t
+ h.∇w ≤ 0
(2.3.11) Nous avons besoin maintenant d'obtenir des équations onstitutives. Pourela, nous allons spé i er une liste de variables onstitutives, prise aussi large
que possible,desque lles les fon tions onstitutives
Ψ
,h
,ζ
etπ
sontautorisées à dépendre; puis, suivant B.D. Coleman and W. Noll (voir [18℄), nous allonses quantités.
Dans la théorie lassique, les variables onstitutives indépendantes sont
u
et∇u
,puis lepotentiel himiqueest donné en fon tiondeu
, unetelle relation étant obtenue en supposant que le système est pro he de l'équilibre. Ainsi, sil'on veut envisager des systèmes qui sont loin de l'équilibre, il semble
raison-nablede permettre à
w
et∇w
d'entrer dans lalistedes variables onstitutives indépendantes. Nous allons aussi permettre aux variables inétiques (i.e∂u
∂t
) d'entrer dans etteliste(nousrappelonsqueletravaildesmi ro-for esinternesest exprimé par des termes de etteforme).
Ainsi nous appelons
Z = (u, ∇u, w, ∇w,
∂u
∂t
)
la liste des variables onstitu-tives indépendantes et nous supposons queΨ
,h
,ζ
etπ
dépendent a priori deZ
. D'après l'inégalitéde dissipation (2.3.11) :(∂
u
Ψ(Z) + π(Z) − w)
∂u
∂t
+ (∂
∇u
Ψ(Z) − ζ).∇
∂u
∂t
+∂
∂u
∂t
Ψ(Z)
∂
2
u
∂t
2
+ ∂
w
Ψ(Z)
∂w
∂t
+∂
∇w
Ψ(Z)∇
∂w
∂t
+ h(Z).∇w ≤ 0.
(2.3.12) L'inégalité (2.3.12)est vraiepour toutles hamps(u, w)
(réguliers) eten tout point(x, t)
du domaine. Il est possiblede hoisiru
etw
tels queZ
,∂
2
u
∂t
2
,∂w
∂t
et∇
∂w
∂t
prennent des valeurs arbitraires en un point(x
0
, t
0
)
. En parti ulier, en hoisissant un hamp tel que∂
2
u(x
0
,t
0
)
∂t
2
= ∂
∂u
∂t
Ψ(Z(x
0
, t
0
))
,∂u(x
0
,t
0
)
∂t
= 0
,∇
∂u(x
0
,t
0
)
∂t
= 0
,∂w(x
0
,t
0
)
∂t
= 0
,∇
∂w(x
0
,t
0
)
∂t
= 0
, et∇w(x
0
, t
0
) = 0
, dans (2.3.12), ela implique que(∂
∂u
∂t
Ψ(Z(x
0
, t
0
)))
2
≤ 0
. Don∂
∂u
∂t
Ψ(Z(x
0
, t
0
)) = 0
, e qui veut dire que
Ψ
ne dépend pas de∂u
∂t
. Nous voyons de même queΨ
ne dépend ni dew
et nide∇w
( omme ave∂u
∂t
), i.e.Ψ = Ψ(u, ∇u)
. Noustrouvons de même queζ = ∂
∇u
Ψ.
(2.3.13)Ainsi,il reste l'inégalité de dissipation :
(∂
u
Ψ(u, ∇u) + π(Z) − w)
∂u
∂t
+ h(Z).∇w ≤ 0.
(2.3.14) Nousallonsutiliser lerésultat suivant :Proposition 2.3.1 Soit
F
une fon tion régulière deR
p
× R
q
dansR
q
telle queF (X, Y ).Y ≤ 0
(2.3.15)pour tous
X ∈ R
p
etY ∈ R
q
. AlorsF (X, Y ) = −B(X, Y )Y,
(2.3.16) oùB(X, Y )
, pour haque(X, Y )
, est une appli ation linéaire deR
q
dansR
q
et véri ant l'inégalitéY.B(X, Y ).Y ≥ 0.
(2.3.17)Démonstration. La variable
X
apparaît ommeun paramètre. Nous pouvons don l'enlever sans perte de généralité. Pourλ > 0
,F (λY ).λY ≤ 0
donF (λY ).Y ≤ 0
.Ainsi,quandλ −→ 0
,F (0).Y ≤ 0
pour toutY
.DonF (0) = 0
. Ainsi,F (Y ) =
Z
1
0
∇F (sY )ds
Y,
(2.3.18)pour tout
Y
.Ené rivantqueR
1
0
∇F (sY )ds = −B(Y )
,nous obtenonsF (Y ) =
−B(Y )Y
pour toutY
. D'où lerésultat.Remarque 2.3.2 Comme
B(X, Y )
dépend deY
, l'inégalité (2.3.17) n 'im-plique queB(X, Y )
est semi-dé nie positive. Cependant, quandF
est quasi-linéaire, 'est-à-dire quandF (X, Y )
est linéaire enY
pour haqueX
,F (X, Y ) = −B(X)Y,
(2.3.19)B(X)
est semi-dé nie positive.Plus généralement, la relation (2.3.19) est vraie au premier ordre en
Y
:F (X, Y ) = −B(X)Y − o(|Y |)
quandY → 0
(2.3.20) aveB(X)
semi-dé niepositive. LorsqueX
etY
sont tous les deux petits,F (X, Y ) = −BY − o(|X| + |Y |)
quandX, Y → 0
(2.3.21) aveB
onstante et semi-dé nie positive.Don d'après(2.3.14) en hoisissant
F (X, Y ) =
∂
u
Ψ(u, ∇u) + π(Z) − w
h(Z)
,
X = Z
etY =
∂u
∂t
∇w
, l'inégalité (2.3.15) est satisfaite. Don il existe une
matri e
A(Z)
deM
4
(R)
sous la forme suivante :A(Z) =
β(Z) a(Z)
b(Z) B(Z)
telle que :∂
u
Ψ(u, ∇u) + π(Z) − w = −β(Z)
∂u
∂t
− b(Z).∇w,
(2.3.22)h(Z) = −a(Z)
∂u
∂t
− B(Z)∇w.
(2.3.23)Enutilisantlesloisde onservationde lamasse(2.3.9)etd'équilibredes
mi ro-for es (2.3.10),nous avons l'équationde Cahn-Hilliardgénéralisée :
∂u
∂t
−
div(a(Z)
∂u
∂t
) =
div(B(Z)∇w),
(2.3.24)w − b(Z).∇w = ∂
u
Ψ −
div(∂
∇u
Ψ(u, ∇u)) + β(Z)
∂u
∂t
,
(2.3.25) où nous rappelons queZ = (u, ∇u, w, ∇w,
∂u
∂t
)
. Pour l'étude mathématique, noussupposeronsqueA(Z)
est onstante. En utilisantl'énergielibre lassique de Ginzburg-Landau (2.2.1), nous obtenons le système de Cahn-Hilliard nonisotrope suivant :
∂u
∂t
− a∇
∂u
∂t
= div(B∇w),
(2.3.26)w − b.∇w = β
∂u
∂t
− α∆u + f
′
(u),
(2.3.27)oùd'après laRemarque 2.3.2,
A
est semi-dé nie positive, i.e.βx
2
+
t
yBy +
t
y(a + b)x ≥ 0
∀x ∈ R, ∀y ∈ R
d
,
(2.3.28) détant ladimension d'espa e.2.4 Dérivation de l'équation de Cahn-Hilliard non
isotherme
Notre but dans ette se tion est d'obtenir un modèle pour la séparation
de phase non isotherme, à partirdes deux loisfondamentales de la
thermody-namique.Pour obtenirl'équation de Cahn-Hilliard non isotherme,nous
onsi-dérons l'appro he de Gurtin, basée sur la loi d'équilibre des mi ro-for es, en
suivant[46℄.
Danslessystèmesphysiquesréalistes,lestrempessontgénéralementmenées
sur une ertaine période de temps, de sorte que la séparation de phases peut
ommen eravantquelatempératurede trempe nalene soitatteinte.Deplus,
une a tivation thermiqueexternepeut êtreutilisée pour ontr lerlepro essus
de séparation et lastru ture spatiale qui en résulte. Ainsi,Alt et Pawlow ont
proposé dans [5℄ (voir aussi [4℄) un modèle pour une séparation de phase non
isotherme(voiraussi[31℄pourunmodèlepouruneséparationdephaseave un
refroidissement ontinu;le modèleest simplementl'équation de Cahn-Hilliard
ave des oe ients dépendant de la température). Leur modèle, que nous
rappelons à titre de omparaison, s'é rit ommesuit :
∂u
∂e
∂t
+
divq = 0
( onservation de l'énergie),
(2.4.2)h = −l
11
∇
w
θ
+ l
12
∇
1
θ
,
(2.4.3)q = l
22
∇
1
θ
− l
21
∇
w
θ
,
(2.4.4)w
θ
= ∂
u
ψ
θ
−
div(∂
∇u
ψ
θ
),
(2.4.5)l
11
> 0, l
22
> 0, l
11
l
22
− l
12
l
21
> 0,
oùh
est le ux de masse,e
est l'énergie interne,q
estle uxde haleur,w
estlepotentiel himique,θ
estlatempérature absolue etψ = ψ(u, ∇u, θ)
est l'énergie libre, qui est liée à l'entropies
par la relationthermodynamiqueψ = e − θs.
(2.4.6)I i,(2.4.5)aétéproposédans[5℄ ommeunegénéralisationdelarelation
orres-pondantedans laséparationde phase isotherme( orrespondant à
θ =
Const.); (2.4.1),(2.4.3)et(2.4.5)donnent,pourθ =
Const.etψ(u, ∇u) =
α
2
|∇u|
2
+f (u)
(l'énergie libre lassique de Ginzburg-Landau), l'équation de Cahn-Hilliard
(isotherme)etleséquations onstitutives(2.4.3)et(2.4.4)sontpostulées (voir
aussi [29℄). De plus, nous avons
s = −∂
θ
ψ,
(2.4.7)e = ∂
1
θ
ψ
θ
.
(2.4.8)Nous pouvons noter que la dérivation de e modèle suit prés de elle du as
isotherm (voir [5℄ et [29℄).Dans leur dérivation d'un modèle de Cahn-Hilliard
nonisotherm, MiranvilleetS himpernaontutilisél'appro hede Gurtin,basée
sur la loid'équilibredes mi ro-for es
divζ + π = 0,
(2.4.9)où
ζ
(un ve teur) est le mi ro- ontrainte etπ
(un s alaire) orrespond aux mi ro-for es internes. La relation fondamentale qui indique que leur modèlesest en a ord ave la thermodynamique est l'inégalitéd'entropie de
Clausius-Duhem (inégalité(2.4.15) i-dessous). Dans lesdérivations an iennes (ou plus
ré entes, omme elle de Frémond [27℄), la validité de (2.4.15) est
essentielle-ment un théorème; i i, le point de vue est inversé, et (2.4.15) est le point de
dynamique(voir[29℄,Annexe A ouse tion 2.3).
-Premièreloi ( onservation de l'énergie) :
d
dt
Z
R
edx = −
Z
∂R
q.νdσ + W(R) + M(R),
(2.4.10)où
R
est un volume de ontr le arbitraire,ν
est un ve teur unitaire normal sortant à∂R
,e
est l'énergieinterne,q
est le ux de la haleur. DeplusW(R)
estletravailsurR
detouteslesfor esextérieursàR
,etM(R)
estletauxselon lequel de l'énergieest ajoutée àR
par transport de masse (noussupposons i i qu'iln'y a pas de sour e de haleursupplémentaire). Nousavons (voir[29℄)W(R) =
Z
∂R
(ζ.ν)
∂u
∂t
dσ,
(2.4.11)M(R) = −
Z
∂R
wh.νσ,
(2.4.12)de sorte que (2.4.10)peut s'é rire omme
d
dt
Z
R
edx = −
Z
∂R
q.νdσ +
Z
∂R
(ζ.ν)
∂u
∂t
dσ −
Z
∂R
wh.νσ.
(2.4.13)En utilisant la formule de Green pour traiter les intégrales de surfa e, nous
trouvons
d
dt
Z
R
edx =
Z
R
(−
divq +
∂u
∂t
divζ + ζ.∇
∂u
∂t
− w
divh − h.∇w)dx,
equidonne,en utilisantla onservation delamasse(2.4.1)etlaloide
d'équi-libredes mi ro-for es(2.4.9)etenremarquantquelevolumede ontr le
R
est arbitraire,∂e
∂t
= −
divq + (w − π)
∂u
∂t
+ ζ.∇
∂u
∂t
− h.∇w.
(2.4.14) -Deuxième loi(inégalitéd'entropie):d
dt
Z
R
sdx ≥ −
Z
∂R
(
q
θ
).νdσ,
(2.4.15)où
s
est l'entropie etθ
est la température absolue,qui donne, en remarquant quele volumede ontr leR
est arbitraire,∂s
∂t
≥ −
div(
q
θ
).
(2.4.16)Nousmultiplions(2.4.14) par
1
θ
, nous obtenons∂
e
θ
∂t
− e
∂
1
θ
∂t
= −
div(
q
θ
) + q.∇
1
θ
+ (
w
θ
−
π
θ
)
∂u
∂t
+
ζ
θ
.∇
∂u
∂t
−
h
θ
.∇w.
(2.4.17)Commenoussavons de lathermodynamiqueque
ψ
θ
=
e
θ
− s
,nous déduisonsde (2.4.16)et (2.4.17)que∂
ψ
θ
∂t
− e
∂
1
θ
∂t
≤ q.∇
1
θ
+ (
w
θ
−
π
θ
)
∂u
∂t
+
ζ
θ
.∇
∂u
∂t
−
h
θ
.∇w.
(2.4.18) Il est raisonnable de tenir ompte de la forme des équations (2.4.1)-(2.4.5)proposée par Alt etPawlowet suivant[29℄,de onsidérer
Z = (u, ∇u,
w
θ
, ∇
w
θ
,
1
θ
, ∇
1
θ
)
omme les variables onstitutive indépendantes (dans la dérivation d'Alt et
Pawlow, nous aurions eu
Z = (u, ∇u,
1
θ
, ∇
1
θ
)
, avew
θ
donné onstitutivement et d'une façon ou d'une autre postulé). Ainsi nous supposons queψ, e, h, ζ,
π
etq
dépendent a priori deZ
et nous déduisons de (2.4.18) l'inégalité de dissipation suivante:(∂
1
θ
ψ
θ
− e)
∂
1
θ
∂t
− q.∇
1
θ
+
1
θ
(π − w + ∂
u
ψ)
∂u
∂t
+
1
θ
(∂
∇u
ψ − ζ).
∂∇u
∂t
+
1
θ
∂
w
θ
ψ
∂
w
θ
∂t
+
1
θ
∂
∇
w
θ
ψ
∂∇
w
θ
∂t
+
1
θ
∂
∇
1
θ
ψ
∂∇
1
θ
∂t
+
h
θ
.∇w ≤ 0,
(2.4.19) qui est valable pour tout hamp. Il s'ensuit de (2.4.19) que, né essairement(voir [29℄ et Proposition 2.3.1 pour plus de détails),
e = ∂
1
θ
ψ
θ
,
(2.4.20) de sorte ques = −∂
θ
ψ,
etψ = ψ(u, ∇u, θ),
(2.4.21)ommeprévu. De plus
π − w + ∂
u
ψ = 0,
(2.4.22)ζ = ∂
∇u
ψ.
(2.4.23)Il reste don l'inégalitéde dissipation
−q.∇
1
θ
+
h
θ
.∇w ≤ 0,
(2.4.24)pour tout hamp.
Nous déduisons maintenant de (2.4.9),(2.4.22) et(2.4.23) que
w = ∂
u
ψ −
div(∂
∇u
ψ),
(2.4.25) i.e.w
θ
=
1
θ
∂
u
ψ −
1
θ
div(∂
∇u
ψ).
(2.4.26)himiqueenfon tiondel'énergielibrequedanslathéorieisotherme(voir[29℄).
Uneexpli ationde ette diéren epourrait être donnée en remarquantque la
relation(2.4.5)énon eessentiellementque
w
θ
oïn ideave lapremièrevariation de l'énergielibre totale redimensionnée, i.e.w
θ
= δ
u
Z
Ω
ψ
θ
dx.
Ainsi,et en raison de (2.4.1)-(2.4.4), le système d'Altet Pawlow semble avoir
une stru ture variationnelle, au moins par rapport à
u
. En tout as, omme nous l'avons souligné dans l'introdu tion (voir aussi [51, 52℄), il n'y a au uneraison pour que l'énergie libre doive obéir à un prin ipe variationnel dans la
on gurationnon isotherme présente.
En é rivant
h
θ
.∇w = h.
w
θ
− wh.∇
1
θ
, nous avons l'inégalitéde dissipation−(q + wh).∇
1
θ
+ h∇
w
θ
≤ 0,
(2.4.27)pour tout hamp, de sorte que(voir[29℄,Annexe B, ouproposition2.3.1)
h = −A∇
w
θ
− B∇
1
θ
,
(2.4.28)q + wh = C∇
w
θ
+ D∇
1
θ
,
(2.4.29)où les matri es
A, B, C
etD
dépendent deZ
et sont telles que (2.4.27) est satisfait(desortequeA
etD
sont,dansunsens,semi-dé niespositives).Grâ e à(2.4.22)et(2.4.23),nouspouvonsré rirel'équationd'énergie (2.4.14)sous laforme
∂e
∂t
= −
divq + ∂
u
ψ
∂u
∂t
+ ∂
∇u
ψ.∇
∂u
∂t
− h.∇w,
(2.4.30) quidonne, en tenant omptede (2.4.29),∂e
∂t
= −
div(C∇
w
θ
+ D∇
1
θ
) + ∂
u
ψ
∂u
∂t
+ ∂
∇u
ψ.∇
∂u
∂t
+ w
divh.
Cela donne,d'après la onservation de lamasse (2.4.1),∂e
∂t
= −
div(C∇
w
θ
+ D∇
1
θ
) + ∂
∇u
ψ.∇
∂u
∂t
+ (∂
u
ψ − w)
∂u
∂t
.
Enutilisant(2.4.25),nous obtenons nalement l'équation
∂e
∂t
= −
div(C∇
w
θ
+ D∇
1
θ
−
∂u
∂t
∂
∇u
ψ).
(2.4.31)∂u
∂t
=
div(A∇
w
θ
− B∇
1
θ
),
(2.4.32)∂e
∂t
= −
div(C∇
w
θ
+ D∇
1
θ
−
∂u
∂t
∂
∇u
ψ).
(2.4.33)w = ∂
u
ψ −
div(∂
∇u
ψ),
(2.4.34)e = ∂
1
θ
ψ
θ
= ψ − θ∂
θ
ψ.
(2.4.35)Une hoix lassique pour l'énergielibre est (voir[5℄)
ψ = −c
V
θ ln θ + cu
2
(θ − θ
c
) + f (u) +
α(u, θ)
2
|∇u|
2
,
(2.4.36)
où
c
V
> 0, c > 0, θ
c
> 0
etf
est généralement un polyn me de degré6
. Cela donne lesrelationssuivantes :w = 2c(θ − θ
c
)u +
1
2
(∂
u
α)|∇u|
2
+ f
′
(u) −
div(α∇u),
(2.4.37)e = c
V
θ − cθ
c
u
2
+ f (u) +
1
2
(α − θ∂
θ
α)|∇u|
2
.
(2.4.38)
Remarque 2.4.1 Dans la relation (2.4.36),
c
V
estla haleur spé i que,θ
c
est la température ritiqueetla quantitéℓ(u) = −cu
2
(ave lesignemoins)dansle
deuxièmetermeestla fon tion de haleur latente.Plusgénéralement,ilsemble
que,dansdessituationsphysiques on rètes(voir[51, 52℄pourplusdedétails),
une haleur latente de la forme
ℓ(u) = −cu
2
+ c
1
u + c
2
,
avec
1
, c
2
=Const. est également pertinente. De plus, plusieurs arti les ont été onsa rés au as oùla haleur latente dépend linéairement de
u,
i.e.ℓ(u) = c
1
u + c
2
,
généralement avec
1
> 0
. Finalement, remarquons quef
représente un potentiel asso ié au pro essus de séparation de phase, qui est éventuellement non onvexe en vued'attribuer des valeurs faibles d'énergie aux états purs.
Remarque 2.4.2 uneautrepossibilitéestde hoisirl'énergielibre ommesuit
(voir [5℄)
ψ = −c
V
θ
2
+ cu
2
(θ − θ
c
) + f (u) +
α(u, θ)
2
|∇u|
2
,
(2.4.39) ouψ = −c
V
θ ln(1 + θ) + cu
2
(θ − θ
c
) + f (u) +
α(u, θ)
2
|∇u|
2
.
(2.4.40)e.g.,dans [52℄et[54℄.L'analysemathématiquedes modèlesobtenusdans ette
se tion semble toutefois beau oup plus ompliquée. Pour illustrer ela,
onsi-dérons par exemple le as où
A = D = I
(la matri e identité),B = C = 0
etα = Const.
etc = 0
dans (2.4.36).Nous obtenons leséquations∂u
∂t
= ∆
w
θ
,
(2.4.41)w = f
′
(u) − α∆u,
(2.4.42)c
V
∂θ
∂t
+ ∆
1
θ
= −f
′
(u)
∂u
∂t
+ α
∂u
∂t
∆u.
(2.4.43) Enposantχ =
w
θ
et en remplaçantle termeα∆u
qui apparaîtdans le dernier termedu membrede droitede (2.4.43)par savaleur donnée par(2.4.42),nousobtenons
∂u
∂t
= ∆χ,
(2.4.44)θχ = f
′
(u) − α∆u,
(2.4.45)c
V
∂θ
∂t
+ ∆
1
θ
= −θχ∆χ.
(2.4.46)I i, le problème est que nous ne savons pas omment traiter le terme
θχ∆χ
. Remarquonsquenous avonsla onservation del'énergie. Eneet,en intégrant(formellement)(2.4.46)surledomaine
Ω
o upéparlematériau,nousobtenonsc
V
d
dt
Z
Ω
θdx = −
Z
Ω
θχ∆χdx.
(2.4.47)Puis, en multipliant (2.4.45) par
∂u
∂t
et en intégrant surΩ
, nous avons grâ e à (2.4.44)(noussupposonsqueleséquationssont omplétéesave des onditionsauxbords quiautorisent à intégrerainsi par partie)
d
dt
F (u) =
Z
Ω
θχ∆χdx,
(2.4.48) oùF (u) =
Z
Ω
(f (u) +
α
2
|∇|
2
)dx.
(2.4.49)Nousdéduisons nalement de (2.4.47)et (2.4.48)la onservation de l'énergie
d
dt
(F (u) + c
V
Z
Ω
Cahn-Hilliard isotherme (1.1.1) à partir e modèle non isotherme en prenant
letempérature onstante. Engénéral,les modèles nonisothermespour lesquels
on retrouve Cahn-Hilliard lassique sont obtenus en supposant que l'on est
pro he de l'équilibre thermodynamique, e qui n'est pas le as dans l'appro he
de Gurtin (ainsi, i i on n'a pas de prin ipe variationnel, au sens où il n'est
plus orre t, d'un point de vue physique, que l'énergie libre dé roît le long des
traje toires). En fait, on retrouve i i, pour une température onstante,
Cahn-Hilliard stationnaire. Ce genre de hoses se retrouvent aussi dans les modèles
Dis rétisations stables des
équations de Cahn-Hilliard-Gurtin
non isotropes
Ce hapitre a fait l'objet d'une publi ation dans Dis rete and Continuous
Dynami al Systems [32℄.
3.1 Introdu tion
Nousnous intéressons à l'équationde Cahn-Hilliard-Gurtinsuivante,
obte-nue dans Se tion2.2 :
∂
t
u − a · ∇∂
t
u =
div(B∇w)
dansΩ × (0, +∞),
(3.1.1)w − b · ∇w = β∂
t
u − α∆u + f
′
(u)
dansΩ × (0, +∞),
(3.1.2)u(0) = u
0
,
(3.1.3)ave des onditions aubord périodiques,
I i,
Ω = Π
d
i=1
(0, L
i
)
(L
i
> 0
,i = 1, . . . , d
),1 ≤ d ≤ 3
,α > 0
etf
est un polyn me de degré2p + 2
ave un oe ient dominant positif,p ≥ 1
si1 ≤ d ≤ 2
etp ∈ [1, 2]
sid = 3
. Les oe ients onstants sont :β ∈ R
un s alaire,a, b ∈ R
d
des ve teurs réels et
B
, une matri e arrée de tailled
; ils véri ent la ondition de oer ivité suivante, qui est une version forte de(2.3.28):
∃c
0
> 0
telqueβx
2
+
t
yBy +
t
y(a + b)x ≥ c
0
(x
2
+ |y|
2
)
∀x ∈ R, ∀y ∈ R
d
.
(3.1.4) LorsqueB = κI
(κ > 0
),β = 0
eta = b = 0
, nous obtenons l'équation de Cahn-Hilliard lassique, lorsqueB = κI
(κ > 0
),β ≥ 0
eta = b = 0
, nous obtenons l'équation de Cahn-Hilliard visqueuse qui a été obtenue dans [48℄.la proposition (3.1.4) n'est pas satisfaite, mais l'équation de Cahn-Hilliard
lassique peut être onsidérée omme une limite singulière de l'équation de
Cahn-Hilliardvisqueuse [6, 24℄.
Les onditionsaubordpériodiquesgarantissentqueleproblèmeave
ondi-tion initiale (3.1.1)-(3.1.3) est bien-posé. Les onditions au bord de Neumann
sonthabituellementpréféréesdanslathéoriedeCahn-Hilliard,maisiln'estpas
lair quelles seraient de bonnes onditions de type Neumann pour le système
(3.1.1)-(3.1.3) (voir [42, 43℄pour plus de détails).
L'existen e d'une solution globale de (3.1.1)-(3.1.3), établie dans [38, 43℄,
est une onséquen e du faitque l'énergielibre totale,
E(u) =
Z
Ω
α
2
|∇u|
2
+ f (u)dx,
est une fon tionnellede Lyapunov [55℄, etque lamasse est onservée :
Z
Ω
udx =
Z
Ω
u
0
dx ∀t ≥ 0.
Dans [45℄, Miranville et Rougirel ont également démontré, en utilisant
une généralisation de l'inégalité de ojasiewi z-Simon, que haque solution
de (3.1.1)-(3.1.3) onverge vers une solution stationnaire.
3.2 Problème ontinu et semi-dis rétis ation en
espa e
Nousallonsétudierdans ette se tionladis rétisationde (3.1.1)-(3.1.3)en
espa epar laméthode de Galerkin.
Nousutilisons l'espa e
L
2
(Ω)
ave leproduit s alaireusuel, noté
(·, ·)
et la norme| · |
0
= k · k
L
2
(Ω)
.Nous dé nissons l'espa e
V = H
1
per
(Ω)
etV = {v ∈ V :
˙
R
Ω
vdx = 0}
. La formulationfaiblede (3.1.1)-(3.1.3) est : trouver(u, w) : [0, +∞) → V × V
tel qued
dt
[(u, χ) − (a · ∇u, χ)] + (B∇w, ∇χ) = 0 ∀χ ∈ V,
(3.2.1)β
d
dt
(u, χ) + α(∇u, ∇χ) + (f
′
(u), χ)
−(w, χ) + (b · ∇w, χ) = 0 ∀χ ∈ V,
(3.2.2)u(0) = u
0
.
(3.2.3)Des résultats d'existen e et d'uni ité ont été obtenus dans [38℄ (voir aussi
(voir (3.2.19)), etque
f
est borné inférieurement: ilexisteC
f
≥ 0
telquef (s) ≥ −C
f
∀s ∈ R,
(3.2.4)Nous utiliserons également l'inje tion ontinue
V ⊂ L
2p+2
(Ω)
et l'inégalité de Poin aré :|u −
1
|Ω|
Z
Ω
u|
0
≤ c
P
|∇u|
0
,
∀u ∈ V.
(3.2.5) La meilleure onstantec
P
est donnée par [53℄:λ
1
= min
v∈ ˙
V ,v6=0
|∇v|
2
0
|v|
2
0
=
1
c
2
P
.
(3.2.6)L'uni itéestobtenueparlelemmedeGronwall.Nousutiliseronségalement
l'inégalitésuivante:
(f
′
(u) − f
′
(v), u − v) ≥ −C
f
′′
|u − v|
2
0
∀u, v ∈ L
2p+2
(Ω),
(3.2.7) qui est une onséquen e immédiate du théorème des valeurs intermédiairesetdu fait qu'ilexiste
C
f
′′
≥ 0
tel que
f
′′
(s) ≥ −C
f
′′
,
∀s ∈ R.
(3.2.8)Unesolutionstationnairepour (3.2.1)-(3.2.3)est un
(u
∞
, w
∞
) ∈ V × R
telque(
(u
∞
, 1) = (u
0
, 1)
α(∇u
∞
, ∇χ) + (f
′
(u
∞
), χ) = (w
∞
, χ)
∀χ ∈ V.
(3.2.9)Remarquonsquel'ensembledes solutionsstationnairesnedépendpasdes
oef- ients
a
,b
,B
andβ
.Dufaitdes onditionsaubordpériodiques, et ensemble est invariantpar translation(voiraussi la Se tion3.4).Nous avons (voir[43, 45℄):
Théorème 3.2.1 Soit
u
0
∈ V
. Alors (3.2.1)- (3.2.3) a une unique solution(u, w)
tellequeu ∈ L
∞
(R
+
; V )
,∂
t
u ∈ L
2
(R
+
; L
2
)
etw ∈ L
2
(R
+
; V ) + L
∞
(R
+
)
. De plus,E(u(t)) + c
0
Z
t
0
|∇w|
2
0
+ |∂
t
u|
2
0
ds ≤ E(u
0
) ∀t ≥ 0,
(3.2.10)et il existe une solution stationnaire
(u
∞
, w
∞
) ∈ V × R
telle que
u(t) → u
∞
thèse que la matri e
B
est symétrique. Nous pouvons toujours supposer que 'estle as,puisquepourtoutw
,letermediv(B∇w)
dans(3.1.1)restein hangé siB
est rempla é par sa partiesymétrique,(B +
t
B)/2
.
Pour la dis rétisation en espa e, nous introduisons une suite
(V
h
)
h>0
de sous-espa es deV
telque(i)
∀h > 0
,V
h
est un sous-espa e de dimension nie qui ontient 1;
(ii)
∪
h>0
V
h
est dense dans
V
. Typiquement,V
h
sera un espa e d'éléments nis onformes (voir la
Se -tion3.4)oul'espa ededimension nieasso iéaux
m
premièresvaleurspropres du lapla ien ave des onditions aubord périodiques, ommedans [43℄.Les hémasemi-dis rétiséenespa es'é rit:pour
u
h
0
∈ V
h
,trouver(u
h
, w
h
) :
R
+
→ V
h
× V
h
tel que(u
h
t
, χ) − (a · ∇u
h
t
, χ) + (B∇w
h
, ∇χ) = 0 ∀χ ∈ V
h
,
(3.2.11)β(u
h
t
, χ) + α(∇u
h
, ∇χ) + (f
′
(u
h
), χ)
−(w
h
, χ) + (b · ∇w
h
, χ) = 0 ∀χ ∈ V
h
,
(3.2.12)u
h
(0) = u
h
0
.
(3.2.13) La démonstration de l'existen e dans le Théorème 3.2.1 dans [43℄ estba-sée sur une approximation de Galerkin. Il implique, ave des modi ations
mineures seulement, à savoir le hoix des espa es
V
h
, la version dis rète du
Théorème 3.2.1 :
Théorème 3.2.2 Soit
u
h
0
∈ V
h
. Alors (3.2.11)- (3.2.13) a une unique solution(u
h
, w
h
)
dansC
1
(R
+
, V
h
× V
h
)
. De plus,E(u
h
(t)) + c
0
Z
t
0
|∇w
h
|
2
0
+ |u
h
t
|
2
0
ds ≤ E(u
h
0
),
∀t ≥ 0.
(3.2.14)Démonstration. Soit
(ϕ
i
)
1≤i≤m
une base orthonormale deV
h
pour le produit
s alairede
L
2
, telle que
![Fig. 3.27 a = [0.1 0.1], b = [ − 0.1 − 0.1] , u 0 "arré"](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/7975701.267226/67.892.124.727.656.1074/fig-a-b-u-arré.webp)
![Fig. 3.28 a = [0.1 0.1], b = [0 0] , u 0 "arré"](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/7975701.267226/68.892.189.785.205.600/fig-a-b-u-arré.webp)
![Fig. 3.30 a = [0.1 0.1], b = [0 0] , u 0 "roix"](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/7975701.267226/69.892.125.722.444.837/fig-a-b-u-roix.webp)
