Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 1 Résumé Fonction Exponentielle
1) Définition et propriétés
a) Théorème et définition
* La fonction 𝒍𝒏 réalise une bijection de ]𝟎 , +∞[ sur ℝ.
* L’application réciproque de fonction 𝒍𝒏 est appelée : la fonction exponentielle notée 𝒆𝒙𝒑 ou 𝒙 ↦ 𝒆𝒙. b) Conséquences
* Le domaine de définition de la fonction 𝒆𝒙𝒑 est ℝ. * ∀𝒙 ∈ ℝ ; 𝒆𝒙 > 𝟎. * ∀𝒙 ∈ ℝ ; 𝒍𝒏(𝒆𝒙) = 𝒙 * ∀𝒙 ∈ ℝ∗ + ; 𝒆𝒍𝒏 𝒙 = 𝒙 * ∀𝒙 ∈ ℝ∗ + , ∀𝒚 ∈ ℝ on a : 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 ⇔ 𝒆𝒚= 𝒙
* La fonction 𝒆𝒙𝒑 est continue et strictement croissante sur ℝ. * ∀𝒂 ∈ ℝ et ∀𝒃 ∈ ℝ
on a : 𝒆𝒂 = 𝒆𝒃 ⇔ 𝒂 = 𝒃 𝒆𝒂≤ 𝒆𝒃 ⇔ 𝒂 ≤ 𝒃.
2) Représentation graphique
Dans un repère orthonormé 𝑹 = (𝑶 , 𝒊⃗ , 𝒋⃗) du plan, la courbe 𝑪′ de la fonction 𝒆𝒙𝒑 est l’image de la courbe 𝑪 de la fonction 𝒍𝒏 par la symétrie orthogonale d’axe ∆∶ 𝒚 = 𝒙.
𝑪′ ∆∶ 𝒚 = 𝒙
𝑪
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 2
3) Limites usuelles
Soit 𝒎 et n deux entiers naturels non nuls on a : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞𝒆 𝒙= 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞𝒙𝒆 𝒙 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞𝒙 𝒏𝒆𝒎𝒙= 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞𝒆 𝒙 = +∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒆𝒙 𝒙 = +∞ 𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞ 𝒆𝒎𝒙 𝒙𝒏 = +∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒆𝒙−𝟏 𝒙 = 𝟏 3) règles de calcul ∀𝒂 ∈ ℝ ; ∀𝒃 ∈ ℝ et ∀𝒏 ∈ ℤ on a : 𝒆𝒂× 𝒆𝒃= 𝒆𝒂+𝒃 𝒆𝒂 𝒆𝒃 = 𝒆 𝒂−𝒃 𝟏 𝒆𝒂 = 𝒆 −𝒂 (𝒆𝒂)𝒏 = 𝒆𝒏𝒂 3) Dérivabilité et primitive
* La fonction 𝒙 ↦ 𝒆𝒙 est dérivable sur et ∀𝒙 ∈ ℝ on a : (𝒆𝒙)′= 𝒆𝒙.
* Soit 𝒖 une fonction dérivable sur un intervalle 𝑰 alors la fonction 𝒙 ↦ 𝒆𝒖(𝒙) est dérivable sur 𝑰 et ∀𝒙 ∈ 𝑰 on a : (𝒆𝒖(𝒙))′ = 𝒖′(𝒙) × 𝒆𝒖(𝒙).
* La fonction 𝒙 ↦ 𝒆𝒙 est une primitive sur ℝ de la fonction 𝒙 ↦ 𝒆𝒙.
* Soit 𝒖 une fonction dérivable sur un intervalle 𝑰 alors la fonction 𝒙 ↦ 𝒆𝒖(𝒙) est une primitive sur ℝ de la fonction 𝒙 ↦ 𝒖′(𝒙) × 𝒆𝒖(𝒙).
3) Fonction exponentielle de base 𝒂 ( hors programme 2020/2021) * Soit 𝒂 et 𝒃 deux réels tel que 𝒂 > 𝟎. On pose 𝒂𝒃 = 𝒆𝒃.𝒍𝒏 𝒂
* La fonction 𝒙 ↦ 𝒂𝒙 est appelée la fonction exponentielle de base 𝒂, notée 𝒆𝒙𝒑𝒂.
