Mesures de risque et dépendance

MESURES DE RISQUE ET DÉPENDANCE

Thèse présentée

à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval dans le cadre du programme de doctorat en actuariat pour l'obtention du grade de Philosophiæ Doctor (Ph.D.)

ÉCOLE D'ACTUARIAT

FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL

QUÉBEC

2012

c

En théorie du risque, la tâche principale de l'actuaire consiste à gérer les risques souscrits par l'entreprise an qu'elle soit à tout moment en mesure de remplir ses obli-gations. Les mesures de risque sont de précieux outils à cet eet. Dans cette thèse, les mesures de risque et méthodes d'allocation de capital en fonction de la dépendance entre les risques sont étudiées. Aussi, de nouvelles mesures de risque et méthodes d'allocation de capital sont développées, dans le cadre de portefeuilles multivariés par-tiellement agrégés avec dépendance entre les risques.

L'introduction présente une revue de la littérature ainsi que les concepts traités dans cette thèse. Dans un second chapitre, l'allocation de capital basée sur la mesure Tail Value-at-Risk (TVaR) pour un portefeuille de risques agrégés, suivant des distributions composées multivariées avec sévérités continues est présentée. Le troisième chapitre fait l'étude de la mesure Value-at-Risk (VaR) bivariée. Cette dernière est redénie, an de pouvoir étudier son comportement, en fonction de la dépendance entre les risques. Plusieurs résultats sur les conditions de convexité et par rapport aux ordres de concor-dance ainsi qu'aux bornes en fonction de cette mesure sont montrés. Une application intéressante en assurance est aussi présentée. Les nouvelles mesures de risque TVaR bivarié de quadrant inférieur et supérieur sont présentées dans le quatrième chapitre. Ces mesures sont motivées, étudiées et appliquées pour des annuités liées à des act-ifs. Le cinquième chapitre fait part de méthodes numériques ecaces pour calculer des bornes inférieures et supérieures d'une fonction de répartition représentant une somme de variables aléatoires. Cet algorithme permet aussi le calcul de bornes pour la VaR d'une somme de variables aléatoires.

Une brève conclusion rappelle les apports de cette thèse et suggère quelques avenues de recherche intéressantes en lien avec les sujets traités.

In risk theory, the main task of the actuary is to manage the risks underwritten by the company so that, at any time, it will be able to fulll its obligations. Risk measures are valuable tools for this purpose. In this thesis, risk measures and capital allocation methods based on the dependence between multivariate risks are studied. Also, new measures of risk and capital allocation methods are developed within the framework of multivariate portfolios with partially aggregated dependencies between risks.

The introduction presents a literature review and the concepts discussed in this thesis. In the second chapter, the capital allocation based on the measure Tail Value-at-Risk (TVaR) for a portfolio of risks following multivariate distributions with continuous severities is presented. The third chapter is the study of the bivariate Value-at-Risk (VaR). The latter is studied and illustrated, according to the dependence between risks. Several results on the conditions of convexity and relative to concordance orders and bounds of this metric are set. An interesting application in insurance is also presented. The new bivariate lower and upper orthant TVaR are presented in chapter four. These measures are motivated, studied and applied to Equity Indexed Annuities associated with correlated assets. The fth chapter presents a numerical algorithm in order to calculate lower and upper bounds for sums of random variables. The method suggested is concise and parsimonious. It also allows to compute bounds for the VaR for sums of random variables.

A brief conclusion recalls the contributions of this thesis and suggests some inter-esting research venues in connection with topics discussed in the previous chapters.

Premièrement, je tiens à remercier mon directeur de recherche, Étienne Marceau, professeur titulaire à l'École d'Actuariat de l'Université Laval. Sa passion et son désir de la transmettre ont grandement contribué à ma formation.

En second lieu, je voudrais remercier sincèrement ma co-directrice Hélène Cos-sette, professeure titulaire et directrice des cycles supérieurs à l'École d'Actuariat de l'Université Laval. Elle m'a beaucoup appris sur le plan personnel et professionnel, tout au long de ma formation au doctorat.

Ensuite, je tiens à faire part de toute ma reconnaissance envers mon co-directeur Mhamed Mesoui, professeur titulaire au département de mathématiques et informa-tique de l'Université du Québec à Trois-Rivières pour la conance qu'il m'a accordée. Il a été d'une grande disponibilité et d'un énorme soutien.

Une partie des travaux de cette thèse a été nancée par des contributions indi-viduelles accordées à Mme Cossette, M. Marceau et M. Mesoui par le Conseil de Recherche en Sciences Naturelles et en Génie du Canada. Je remercie également le Fonds Québécois de Recherche sur la Nature et les Technologies ainsi que la Chaire de recherche en actuariat de l'Université Laval pour le nancement qui m'a été octroyé tout au long de mon doctorat.

De plus, je désire souligner les encouragements constants des membres de ma famille tout au long de mes études. J'en prote aussi pour remercier mes amis, qui m'ont toujours supportée et permis de me divertir même dans les moments les plus diciles. Un remerciement spécial va à mon ancé, Fabien Girard. Il m'a beaucoup encour-agée, soutenue et conseillée. Je n'ai aucun mot assez signicatif pour exprimer ma reconnaissance.

Cette thèse de doctorat est composée de cinq chapitres. Le Chapitre 1 introduit le lecteur au sujet et à la problématique. Il se veut une introduction générale. Les chapitres suivant traitent de l'impact de la dépendance dans la théorie du risque. Le Chapitre 2, co-écrit avec Hélène Cossette et Étienne Marceau et intitulé TVaR-based capital alloca-tion for multivariate compound distribualloca-tions with positive continuous claim amounts a pour contribution principale l'expression de l'allocation de capital, basée sur la mesure TVaR univariée, pour un portefeuille agrégé et ses composantes dans le cadre d'un mod-èle multivarié composé avec sévérités continues. Cet article fut publié en 2011 dans la revue scientique Insurance: Mathematics and Economics. Plusieurs exemples en lien avec des modèles fréquemment utilisés en actuariat sont aussi présentés. Le Chapitre 3, co-écrit avec Étienne Marceau et Mhamed Mesoui et intitulé Bivariate lower and upper orthant Value-at-Risk redéni en premier lieu la VaR bivariée inférieure et supérieure an de pouvoir en étudier le comportement en fonction de modèles de dépendance multi-variés. Cet article est présentement en révision pour publication. Le Chapitre 4, co-écrit avec Hélène Cossette, Étienne Marceau et Mhamed Mesoui, est intitulé Vector-valued Tail Value-at-Risk and Capital Allocation. Ce dernier traite de la mesure de risque Tail Value-at-Risk bivariée inférieure et supérieure. Ces nouvelles mesures de risque multivariées sont dans un premier lieu motivées, ensuite expliquées et appliquées. Cet article sera soumis pour publication sous peu. Le Chapitre 5, co-écrit avec Hélène Cossette, Étienne Marceau et Marie-Pier Côté fait état d'un algorithme an de borner la fonction de répartition d'une somme de variables aléatoires. De plus, la méthode proposée permet de faire un calcul numérique d'une borne inférieure et supérieure de la VaR d'une somme de risques dépendants. L'article composant ce chapitre s'intitule Numerical bounds for sums of dependent risks. Ce dernier sera soumis pour publica-tion sous peu. Plusieurs nouveaux résultats sont apportés et étudiés dans cette thèse. De nouvelles méthodes suggérées et étudiés aussi. Des exemples d'applications sont présentés et leurs résultats numériques sont analysés.

MOTS-CLÉS : Mesures de risque, Mesures de risque multivariées, Value-at-Risk, Tail Value-at-Risk, Dépendance, Copules, Convexité, Bornes, Allocation de capital.

Résumé ii

Abstract iii

Remerciements iv

Avant-propos v

Liste des tableaux xi

Liste des gures xiii

Chapitre 1. Introduction 1

1.1 Contexte actuel en théorie du risque . . . 1

1.2 Mesures de risque . . . 3

1.2.1 Value-at-Risk . . . 7

1.2.2 Tail Value-at-Risk . . . 9

1.3 Allocation de capital . . . 12

1.4 Modèles de dépendance multivariés . . . 15

1.4.1 Copules . . . 17

1.4.2 Mélange d'Erlang avec même paramètre d'échelle . . . 19

1.4.3 Poisson multivarié dénit avec choc commun . . . 23

1.5 Aperçu de la thèse . . . 23

Chapitre 2. Allocation de capital basée sur la mesure TVaR 25 2.1 Introduction . . . 26

2.2 Some results related to the TVaR . . . 28

2.2.1 Basic denitions . . . 28

2.2.2 Compound distribution with continuous claims . . . 29

2.2.3 Mixed Erlang distribution . . . 31

2.3 Top-down approach and TVaR-based allocation rule . . . 33

2.4 Multivariate compound distribution with continuous claim amounts . . 36

2.4.1 General results . . . 37

2.4.2 Multivariate compound distribution with gamma claim amounts 38 2.4.3 Multivariate compound distribution with mixed Erlang claim amounts . . . 41

2.4.4 Multivariate compound Poisson distribution . . . 44

2.4.5 Multivariate compound Poisson distribution with mixed Erlang claim amounts . . . 47

2.4.6 Comments . . . 51

2.4.7 Acknowledgement . . . 51

2.5 References . . . 51

Chapitre 3. Value-at-Risk bivariée 55 3.1 Introduction and motivation . . . 56

3.2 Bivariate lower and upper orthant Value-at-Risk . . . 57

3.3 Convexity of the bivariate lower and upper Value-at-Risk . . . 61

3.4 Lower and upper condence regions . . . 66

3.5 Bivariate Value-at-Risk and allocation . . . 69

3.6 Impact of dependence and marginals . . . 71

3.7 Bivariate Value-at-Risks and bounds on a function of two random variables 74 3.8 Lower and upper orthant Value-at-Risk for pairs of random sums . . . 78

3.8.1 Bounds on the bivariate lower and upper orthant Value-at-Risk for sums of random pairs . . . 80

3.9.1 Bivariate Value at Risks and Ruin probabilites for a portfolio of

bivariate risks . . . 84

3.9.2 Two lines of business with dependent risks . . . 88

3.9.3 Condence regions, optimal couples and bounds . . . 93

Chapitre 4. Tail Value-at-Risk bivariée 102 4.1 Introduction . . . 103

4.2 Preliminaries . . . 105

4.3 Bivariate TVaR . . . 107

4.3.1 Bivariate lower orthant TVaR . . . 108

4.3.2 Bivariate upper orthant TVaR . . . 113

4.4 Properties of lower and upper TVaR . . . 117

4.4.1 Homogeneity and Translation property . . . 117

4.4.2 Concordance order . . . 119

4.5 Bivariate Tail Value-at-Risk and allocation . . . 121

4.5.1 Approach 1 . . . 122

4.5.2 Approach 2 . . . 124

4.6 Bivariate lower and upper TVaR of sums of random pairs . . . 126

4.6.1 Context . . . 126

4.6.2 Subadditivity in distributions . . . 127

4.6.3 Bivariate TVaR and comonotonicity . . . 129

4.6.4 Capital allocation couples . . . 132

4.7 Applications . . . 134

4.7.1 Capital allocation for bivariate sums of couples of random variables135 4.7.2 Capital allocation bounds for sums of random pairs . . . 138

4.8 Conclusion . . . 139

Chapitre 5. Bornes numériques pour une somme de variables aléatoires 143 5.1 Introduction . . . 144

5.2 Description of the algorithm . . . 145

5.2.2 Numerical bounds . . . 146 5.2.3 Bivariate case . . . 148 5.2.4 Trivariate case . . . 151 5.3 General results . . . 153 5.3.1 Convergence . . . 153 5.3.2 Value-at-Risk . . . 154 5.4 Applications . . . 155 5.4.1 Bivariate case . . . 156 5.4.2 Trivariate case . . . 157 5.5 Further research . . . 158 5.6 References . . . 158 Conclusion 161 Références 163

1.4.1 Copules archimédiennes et leur générateur. . . 19

2.4.1 Values of Cov(M1, M2), corr(M1, M2) , Cov(X1, X2)and V ar(S). . . 40

2.4.2 Values of VaRκ(Xi) and TVaRκ(Xi), i = 1, 2. . . 41

2.4.3 Values of VaRκ(S), TVaRκ(S), and TVaRκ(Xi; S), (i = 1, 2). . . 42

2.4.4 Values of E [Xi],V ar (Xi), VaRκ(Xi), and TVaRκ(Xi) (i = 1, ..., n1+ n2) 49 2.4.5 Values of VaRκ(S), TVaRκ(S) , TVaRκ(X1; S)and TVaRκ(Xn1+1; S). 49 2.4.6 Values of E [Xi], V ar (Xi) ,VaRκ(Xi), and TVaRκ(Xi). . . 50

2.4.7 Values of VaRκ(S), TVaRκ(S) , TVaRκ(Xi; S) (i = 1, 2, ..., 10). . . 50

3.5.1 Couples resulting from the Orthogonal projection and Proportional allocation criteria. . . 71

3.7.1 Bounds and VaR for aggregate risks. . . 78

3.9.1 Couples u(or)₁ , u(or)₂ resulting from the Orthogonal projection and Propor-tional allocation criteria for ψor(u1, u2) = 1%. . . 87

3.9.2 Couples u(and)₁ , u(and)₂  resulting from the Orthogonal projection and Pro-portional allocation criteria for ψand(u1, u2) = 1%. . . 87

3.9.3 Optimal couples based on the bivariate lower orthant VaR for individual risks (Xi,1, Xi,2). . . 92

3.9.4 Optimal couples based on the bivariate upper orthant VaR for individ-ual risks (Xi,1, Xi,2). . . 93

3.9.5 Optimal couples based on the bivariate upper orthant VaR for lines of business (S1, S2), with n = 10. . . 94

3.9.6 Optimal couples based on the bivariate upper orthant VaR for lines of business (S1, S2), with n = 10. . . 94

3.9.7 Couples resulting from the Orthogonal projection and Proportional allocation criteria. . . 96

3.9.8 Lower orthant condence region. . . 96

3.9.9 Upper bound for the aggregate VaR and optimal couples. . . 97

3.9.10 Upper bound of VaR.95(S1+ S2). . . 99

4.5.1 Allocation couples based on an orthogonal projection of the bivariate VaR. . . 123 4.5.2 Allocation couples from orthogonal projection of the bivariate TVaR. 125 4.7.1 Bivariate allocation sets. . . 137 4.7.2 Allocation couples at levels 95%, 99% and 99.5%. . . 139 5.2.1 Lower and upper bounds for FS(s), with independent Exponential

marginals (d = 2). . . 150 5.2.2 Lower and upper bound for FS(s), with a Clayton copula and

Expo-nential marginals. . . 150 5.2.3 Lower and upper bound for FS(s), with independent Exponential marginals

(d = 3). . . 152 5.2.4 Lower and upper bounds for FS(s), joined by a Frank copula, for three

Pareto marginals. . . 153 5.3.1 VaR for the sum of two dependent exponentially distributed random

variables. . . 155 5.3.2 VaR approximation for the sum of two random variables. . . 155 5.4.1 Lower and upper bounds for the sum of two Pareto marginals linked

by a Clayton copula. . . 156 5.4.2 Lower and upper bounds for the distribution function of the

accumu-lated value in a fund over two periods. . . 157 5.4.3 Lower and upper bounds for the sum of three Pareto marginals linked

1.1.1 Répartition des actifs. . . 3

1.3.1 Deux représentations de contributions des risques d'un portefeuille de 10 risques agrégés. . . 12

3.2.1 Graphical representation of the bivariate lower and upper VaR. . . 60

3.2.2 Graphical representation of the lower orthant VaR with θ = −5 and θ = 5. 61 3.3.1 Graphical representation of the lower and upper bounds with the bivari-ate FGM distribution, for θ = −0.9 and θ = 0.9. . . 64

3.4.1Lower orthant condence region for random variables with positive supports. 67 3.4.2 Lower orthant condence region at level 1%. . . 69

3.8.1 Graphical representation of the upper bounds of the lower orthant VaR 84 3.9.1 Graphical representation of the bivariate lower and upper orthant VaR with α = 99%, with dierent dependence levels, for single bivariate risks. 92 3.9.2 Graphical representation of the bivariate lower and upper orthant VaR with α = 99%, with dierent dependence levels for the business lines. . 93

3.9.3 Graphical representation of the lower orthant condence region . . . 97

3.9.4 Graphical representation of the upper bounds of the lower orthant VaR 98 4.3.1 Graphical representation of the lower orthant TVaR with independent exponentially distributed random variables. . . 111

4.3.2 Graphical representation of the lower orthant VaR and TVaR. . . 112

4.3.3 Graphical representation of the upper orthant TVaR with independent exponentially distributed random variables. . . 115

4.3.4 Graphical representation of the upper orthant VaR and TVaR. . . 116

4.5.1 Graphical representation of the lower orthant VaR and TVaR and their orthogonal projection sets. . . 126

4.7.1 Lower orthant VaR and allocation values. . . 136

4.7.2 Lower orthant TVaR and set for allocation based on TVaR. . . 137

4.7.3 Allocation curves and couples at levels 95%, 99% and 99.5%. . . 139

5.2.1 Illustration of the AEP algorithm in two dimensions. . . 146

5.2.2 Illustration of the AEP algorithm in two dimensions with αAEP = 0.5. . 147 5.2.3 Illustration of the lower and upper bounds algorithms in two dimensions,

with m = 1 and m = 2. . . 149 5.2.4 Illustration of the lower and upper bound algorithms in three dimensions

INTRODUCTION

Ce chapitre se veut une introduction générale dans laquelle on expose plusieurs concepts connus de la théorie du risque ainsi que le lien entre les thèmes abordés dans cette thèse. D'importantes notions sur les mesures de risque ainsi que par rapport à l'impact de la dépendance sur ces dernières sont discutés. Les récentes avancées seront exposées ainsi que les nouveaux enjeux et dés liés aux sujets traités, introduisant les apports des chapitres subséquents.

1.1 Contexte actuel en théorie du risque

L'assurance, la réassurance et la nance sont des domaines qui nécessitent des règlemen-tations instaurées par rapport aux niveaux des risques encourus. La théorie du risque consiste à s'assurer que l'agent protant d'un risque en assure la charge, au moyen de diérents outils mathématiques d'évaluation et de quantication. Il peut s'agir d'un risque lié au changement de la valeur d'un titre, du risque de ne pas satisfaire ses engagements suite à un défaut, d'un risque de défaillance d'un processus (interne ou externe) ou encore d'un risque de modèle. Il existe plusieurs ouvrages de référence liés à ce sujet, tels : Marceau (2013), Rolski et collab. (1999), Klugman et collab. (2008) et McNeil et collab. (2005). Depuis une vingtaine d'années, les mesures de risques ont attiré l'attention des chercheurs et praticiens, dans le but d'établir des montants de capital assujettis aux risques, de comparer des risques ou de tarifer des produits -nanciers ou d'assurance. Il est souhaitable de restreindre le risque de ne pas rencontrer certains engagements ou objectifs de rendement. Plusieurs situations nécessitent une

réserve an de pallier au risque encouru. Le capital économique est alloué aux risques an d'éviter l'insolvabilité lors d'événements fortement défavorables. Par exemple, en assurance, des risques sont représentés par les coûts éventuels associés aux contrats. Aussi, pour une institution nancière, des risques sont présents en fonction des posi-tions nancières sur diérents marchés. Finalement, pour une entreprise, des risques peuvent être liés aux pertes éventuelles engendrées par les lignes d'aaires.

L'Union européenne a instauré des standards quant aux mesures quantitatives des risques. Le Comité Bâle s'adresse à toutes les banques et rmes d'investissements de l'Union européenne, tandis que Solvabilité II s'adresse aux assureurs et réassureurs. Les lignes conductrices de ces accords permettent une uniformisation ainsi qu'une méthode pour appréhender des risques. Les mesures de risque servent d'outils pour calculer un coussin nancier. Ces deux projets ont une grande inuence sur les pratiques nord-américaines. Au Canada, le Bureau du surintendant des institutions nancières est le principal organisme de surveillance et de réglementation des institutions de dépôts, des sociétés d'assurances et des régimes de retraite privés fédéraux. Le Canada a adhéré aux normes Bâle II pour les institutions nancières. En ce qui concerne les compagnies d'assurance et de réassurance, le Canada a décidé d'établir sa propre réglementation, jumelant plusieurs organismes réglementaires traitant de diérents aspects des secteurs de l'assurance et de la réassurance tels : l'Autorité des marchés nanciers, le Conseil canadien des responsables de la réglementation d'assurance et l'Institut canadien des actuaires. Aux États-Unis, les règles sont établies au niveau fédéral ainsi que par les états.

Bien qu'au Canada la réglementation soit établie par plusieurs regroupements, un montant requis de capital de solvabilité est mesuré an d'établir un niveau de sécurité élevé pour les activités de la compagnie. Par exemple, l'Institut canadien des actuaires, l'Autorité des marchés nanciers et le Bureau du surintendant des institutions nan-cières sont des instances qui fournissent des recommandations à ce sujet. Par exemple, tel qu'illustré dans Bâle II et Solvabilité II, les actifs d'une compagnie sont scindés en plusieurs parties, an d'allouer une part adéquate de capital de risque appelée capital de

solvabilité (Solvency Capital Requirement). Il est très intéressant de noter, pour la suite de cette thèse, que Bâle et Solvabilité sont des projets en constante évolution. Les ré-centes préoccupations de ces projets sont en partie liées à l'augmentation de protection et aux conséquences de l'agrégation des risques d'un portefeuille. Ces considérations sont dues aux récents mouvements défavorables des marchés nanciers. Se référer à Basel Committee on Banking Supervision (2003) et Basel Committee on Banking Su-pervision (2004) pour des discussions à ce sujet, ou encore à http://www.bis.org. Voici une illustration de la composition des actifs à risque, tel que réglementé par l'Union européenne : Le capital de sécurité requis est calculé à l'aide de mesures de risque et

Figure 1.1.1: Répartition des actifs.

attribué à chaque composante du portefeuille. En fonction de la dépendance entre les risques de ce portefeuille, le montant de capital peut varier substantiellement, aussi bien que les contributions de chaque composante du portefeuille. C'est pourquoi il est crucial d'utiliser un modèle adéquat an de représenter les risques. Dans cette thèse, l'intérêt est d'étudier l'impact de la dépendance sur les mesures de risque les plus utilisées, ainsi que de suggérer de nouvelles mesures et méthodes d'allocation du capital.

1.2 Mesures de risque

En pratique, un capital économique est établi à partir d'une mesure globale de risque ρ, à un niveau de conance α. En d'autres termes, pour un risque représentant une perte

L, la marge de sécurité allouée est représentée par ρ(L)−E(L). Cette marge représente la valeur au-delà de l'espérance des coûts totaux pour une période donnée (jour, mois, année, ...). Balbás et collab. (2011) et Ren (2012) s'intéressent aux mesures de risque sur plusieurs périodes. On utilise aussi les mesures de risque, an de comparer les risques d'un portefeuille. Par exemple, supposons une mesure de risque ρ et un niveau déni α. On dit de la variable aléatoire positive L1 qu'elle est plus risquée que la variable aléatoire positive L2 si ρ(L1) > ρ(L2). Dans Cherubini et collab. (2004), on utilise une mesure de risque an de comparer des risques dépendants. Ho et collab. (2010) considère la couverture dynamique basée sur des mesures de risque. Les mesures de risque sont aussi utilisées pour des ns de tarication de produits nanciers, la sélection de risques et la couverture de risques.

Une mesure de risque univariée est une fonction dénie sur l'espace des variables aléatoires, qui prend ses valeurs dans R. An de respecter certaines propriétés désir-ables, le principe de cohérence pour une mesure de risque univariée a été développé par Artzner et collab. (1999). Cet article introduit les quatre axiomes suivants pour qualier une mesure de risque cohérente:

1. Homogénéité

Soit X, un risque et α, un scalaire positif. On dit qu'une mesure de risque est homogène si

ρ(αX) = αρ(X). 2. Monotonicité

Soient X1 et X2, deux risques tels que P(X1 ≤ X2) = 1. On dit qu'une mesure de risque est monotone si

ρ(X1) ≤ ρ(X2). 3. Invariance en translation

Soit X, un risque et α, un scalaire. On dit qu'une mesure de risque est invariante à la translation si

4. Sous-additivité

Soient X1 et X2, deux risques. On dit qu'une mesure de risque ρ est sous-additive si

ρ(X1+ X2) ≤ ρ(X1) + ρ(X2).

Aussi, toute combinaison convexe d'une mesure de risque cohérente sera aussi cohérente. En actuariat, tel que suggéré dans Marceau (2013), les propriétés suivantes sont souhaitables dans le domaine de la théorie du risque en actuariat et en nance :

• Marge de risque non excessive

La mesure de risque ne doit pas induire une marge de risque excessive. Si X ≤ x_{max, alors on a ρ(X) ≤ xmax. On ne doit pas détenir un capital en excédent} du montant maximal que peut prendre un sinistre.

• Marge de sécurité non négative

On doit avoir ρ(X) ≥ E(X), tel que le capital minimum doit excéder les coûts espérés sinon il y aura ruine certaine.

• Marge de risque justiée

Soit α, une constante quelconque. On doit toujours avoir ρ(α) = α.

Depuis quelques années, on s'intéresse aux classes de risques non mutualisées au sein d'un même portefeuille (e.g. Aziz et Rosen (2004) et Cousin et Di Bernadino (2011)). De plus, suite aux récents événements nanciers, il est souhaitable de plus en plus d'avoir une vision conservatrice du capital de risque. Ceci engendre un désir de protection plus spécique aux diérentes classes homogènes d'un portefeuille dont les classes ou lignes d'aaires sont hétérogènes. Ceci signie qu'un portefeuille contient des risques qui peuvent être classés en diérents groupes, où chaque risque à l'intérieur d'un même groupe se comporte selon le même modèle. Il peut y avoir une dépendance entre les risque d'un même groupe et les groupes peuvent aussi être dépendants entre eux. Cette idée peut se reéter en assurance par la considération multivariée de classes de risques, tel qu'illustré ci-dessous :

Ligne d'aaires 1. . . Ligne d'aaires k           X1,1 ... X1,n      ,. . . ,      Xk,1 ... Xk,n           →Police 1 ... →Police n.

L'utilisation des distributions marginales permet non seulement d'établir adéquatement la distribution univariée de chaque risque d'une police d'assurance, mais aussi de mod-éliser la dépendance entre chacun des risques, lorsque les distributions marginales font partie du modèle multivarié. Les copules représentent de tels modèles. Aussi, aux ns de réassurance, de couverture de risques et de gestion de risques qui ne peuvent être agrégés, le développement et l'utilisation des mesures de risque multivariées s'avère fort utile pour la tarication, les stratégies de couverture, les prises de décisions et la comparaison de risques.

Le concept de mesures de risque multivariées fut abordé au début des années 2000. Celles-ci peuvent être utilisées à de multiples nalités. Izraylevich et Tsudikman (2012) justie ces outils en nance et Aziz et Rosen (2004), pour des risques d'entreprise, d'institution nancière et d'assurance, dans le cadre d'un besoin de couvrir chaque risque à un niveau donné, sans avoir la possibilité de considérer leur agrégation. En eet, l'allocation de capital pour diérentes classes dépendantes, non mutualisées, la tarication de produits nanciers dépendants au sein d'une même institution nancière, la considération de frais aérents versus les frais directement liés au risque qui doivent être couverts et la comparaison de risques sont des exemples d'application des mesures de risque multivariées. La diculté principale dans le cadre multivarié est d'établir un ordre, qui n'est plus total, mais bien partiel, entre les vecteurs. Les diérentes dénitions de ces ordres peuvent engendrer diérentes représentations des distributions de risques multivariés.

Des propriétés telles l'homogénéité, la monotonicité, l'invariance en translation et la sous-additivité sont aussi souhaitables pour une mesure de risque multivariée. Jouini et collab. (2004) dénit la cohérence d'une mesure de risque multivariée, avec des ax-iomes analogues à ceux proposés pour une mesure de risque univariée, pour des

ensem-bles de valeurs résultant de la mesure de risque multivariée. Guégan et Hassani (2011) utilise les copules pour représenter l'allocation de capital à allouer à un portefeuille formé de deux classes dépendantes, où le risque opérationnel est considéré comme une classe dépendante des autres risques. Dans le Chapitre 3, on redénit et étudie les mesures suggérées par Embrechts et Puccetti (2006b). Des méthodes d'allocation de capital basée sur ces mesures sont suggérées. Le Chapitre 4 déni de nouvelles mesures de risque et étudie ses propriétés et les méthodes d'allocation de capital basées sur ces nouvelles mesures de risque. L'utilisation des mesures de risque multivariées se veut de plus en plus populaire dans les domaines de la nance, la gestion quantitative de risques et l'actuariat. Cherubini et Luciano (2001) et Cherubini et al. (2004) discu-tent de l'utilité de la VaR multivariée, pour comparer des risques dans un contexte nancier. Le Chapitre 5 présente une méthode numérique an de calculer les bornes inférieures et supérieures de la fonction de répartition d'une somme de variables aléa-toires. L'algorithme permet aussi de borner la VaR.

Les sous-sections suivantes introduisent les deux principales mesures de risque, soient la Value-at-Risk (VaR) et la Tail Value-at-Risk (TVaR). Les notions de base ainsi que leur utilité seront expliquées. De plus, certains ouvrages de référence en lien avec ces sujets seront suggérés.

1.2.1 Value-at-Risk

Étant la plus ancienne mesure de risque liée à la gestion quantitative des risques, elle fut premièrement utilisée au sein d'institutions nancières et ensuite dans un cadre plus général en gestion quantitative des risques en actuariat. Sa dénition intuitive fait d'elle une mesure de risque attrayante pour les praticiens.

Value-at-Risk univariée

La VaR est une mesure qui répond à plusieurs propriétés souhaitables des mesures de risque. Toutefois, elle ne satisfait pas la sous-additivité. Cette mesure, qui est un quantile de niveau α de la distribution du risque, a connu ses premières utilisations vers la n des années 1980 (sous le nom de dollar at risk, capital at risk, income at risk, etc...). C'est en 1996 que la mesure prit le nom Value-at-risk, dans la publication de JP Morgan (Morgan (1996)), un document technique du "Risk Metrics", lié à un rapport du G30. La mesure fut dès lors utilisée par les banques commerciales et d'investissement. Considérons un portefeuille d'assurance représentant une mutualisation de n risques. Le montant total des coûts (ou perte totale) pour le risque i est représenté par la variable aléatoire non-négative Xi, pour i = 1, 2, ..., n sur une période de temps xée (jour, semaine, mois, année). Le montant agrégé des coûts pour le portefeuille sur une période de temps donnée est déni par la variable aléatoire S où S = X1+ ... + Xn. La VaR de niveau α, 0 < α < 1 de S est dénie par

VaRα(S) = inf{s ∈ R, FS(s) ≥ α}.

Considérons maintenant une perte reliée à un investissement désigné par la variable aléatoire T . On dénit la variable aléatoire T = −S et on obtient

VaRα(T ) = −VaR1−α(S).

Cette mesure est fort utilisée, puisqu'elle est simple à comprendre, à représenter et conduit fréquemment à des valeurs acceptables en pratique. Fedor et Morel (2006) expose des situations en assurance où la VaR est une bonne mesure de risque pour les actifs. McNeil et collab. (2005) ore une revue de la littérature sur la VaR.

Value-at-Risk multivariée

L'interprétation et l'usage de la VaR multivariée sont multiples. Par exemple, en -nance, il est possible de s'intéresser à la courbe des rendements de deux titres, lorsque

les deux sont simultanément à un même niveau de risque. En assurance, on peut s'intéresser aux risques sur une base individuelle au lieu d'agrégée. Il est aussi possible de vouloir associer des actifs (placements) à des passifs (risques couverts) en avec un même niveau de risque pour chacun. Arbia (2002) explique la VaR multivariée dans le cas des rendements d'un portefeuille de risques équivalente à la VaR univariée con-ditionnelle au rendement du portefeuille. Embrechts et Puccetti (2006b) traite du cas où l'on s'intéresse aux bornes, à un niveau donné, de fonctions de vecteurs aléatoires. La dénition de la VaR bivariée est donnée par le quantile inverse bivarié, aussi ap-pelé courbe quantile. Celle-ci représente la frontière des vecteurs x tel que F (x) ≥ α et

¯

F (x) ≤ 1−α. Par exemple, Tibiletti (1993) dénit la médiane multivariée par la courbe où la fonction de répartition égale 0.5. Dans le Chapitre 3, on présente une étude sur une redénition de cette mesure. Plusieurs nouveaux résultats quant aux propriétés et caractérisques de la VaR bivariée sont présentés. Des illustrations et applications font aussi parties de ce chapitre. De plus, ce chapitre suggère une méthode an de sélection-ner un couple "acceptable" de chaque courbe quantile obtenue des orthants supérieurs et inférieurs. On y considère aussi les variables aléatoires représentant des sommes de variables aléatoires et des courbes représentant les bornes pour ces variables aléatoires ainsi que pour des fonctions de ces variables aléatoires.

1.2.2 Tail Value-at-Risk

Les deux principaux motifs d'utilisation de cette mesure de risque est qu'elle satisfait la propriété de sous-additivité (en distribution dans le cas bivarié) et qu'elle fournit de l'information sur la queue de la distribution étudiée, plus précisément sur les valeurs au delà du quantile xé. Il est possible de l'interpréter comme la moyenne des valeurs des α% valeurs extrêmes.

Tail Value-at-Risk univariée

La TVaR de S à un niveau α, pour α ∈ (0, 1), telle qu'introduite par Acerbi (2002), est dénie par TVaRα(S) = 1 1 − α Z 1 α VaRu(S) du = E h S × 1{S>VaRα(S)} i +VaRα(S) (FS(VaRα(S)) − α) 1 − α = E [S] − E h S × 1{S≤VaRα(S)} i +VaRα(S) (FS(VaRα(S)) − α) 1 − α ,

où la fonction 1A(X) = 1, si X ∈ A, et 1A(X) = 0, si X /∈ A. Considérons maintenant une perte reliée à un investissement. On dénit la variable aléatoire T = −S et on obtient TVaRα(T ) = − 1 1 − α Z 1−α 0 VaRu(S)du = − 1 1 − α h E  S × 1_S<VaR 1−α  +VaR1−α(S)((1 − α) − FS(VaR1−α(S))) i .

Plusieurs caractéristiques intéressantes de la TVaR sont aussi énoncées dans Acerbi et Tasche (2002). Bien que des formes explicites sont faciles à calculer, de nombreux chercheurs se sont intéressés aux expressions explicites des contributions basées sur la TVaR pour des portefeuilles agrégés, en fonction d'un modèle de dépendance multivarié entre les risques du portefeuille. Le prochain chapitre traitera plus précisément de l'allocation de capital, basée sur la TVaR.

La TVaR est souvent appelée Expected Shortfall. Aussi, la mesure de risque Condi-tional Tail Expectation est très semblable à la TVaR. Cette dernière est dénie comme suit:

CTEα(S) = E[S|S > VaRα(S)].

Tail Value-at-Risk multivariée

La VaR bivariée est une mesure de risque ne fournissant pas d'information sur la queue de la distribution au-delà du seuil xé. La TVaR multivariée permet de pallier à cette lacune de la VaR multivariée. La TVaR bivariée de quadrant inférieur et la TVaR bivariée de quadrant supérieur sont dénies et appliquées dans le Chapitre 4. La TVaR bivariée est dénie avec la même logique que pour la TVaR univariée. Qu'elle soit de quadrant inférieur ou supérieur, cette mesure est composée de deux courbes. Elle est basée sur la dénition de la VaR établie au Chapitre 3. Plusieurs propriétés intéressantes sont exposées telles : la sous-additivité en distribution, la monotonicité et l'invariance en translation. Aussi, la TVaR bivariée telle que présentée au Chapitre 4 permet l'établissement de bornes pour des couples aléatoires, pour des fonctions de ces couples ainsi que pour des couples de sommes de variables aléatoires.

Certains chercheurs ont aussi établi diverses dénitions de mesures de risque multi-variées pour quantier les queues de distributions. Par exemple, Cascos et Molchanov (2007), Bentahar (2006) et Jouini et collab. (2004) présentent diérentes approches. Bentahar (2006) étudie la CTE multivariée et élargie les résultats obtenus dans Jouini et collab. (2004) par rapport à la Worst Conditional Tail Expectation. Ces deux dernières mesures respectent les axiomes d'une mesure de risque multivariée cohérente, telles qu'établies dans Jouini et collab. (2004). Ces mesures nécessitent l'établissement d'une région "acceptable". La méthode utilisée par Bentahar (2006) est de calculer l'espérance de l'ensemble de variables aléatoires faisant partie de cette région.

L'approche de la TVaR bivariée présentée dans cette thèse au Chapitre 4 est très pratique, puisqu'elle est facile à calculer et ne nécessite que la connaissance de la distribution conjointe, contrairement aux autres approches. Par exemple, Cousin et DiBernardino (2011) présente une méthode qui consiste à calculer l'espérance de chaque variable aléatoire dans la région "acceptable". Cette mesure fournit directement un vecteur de la même taille que le nombre de variable aléatoire, contrairement aux mesures présentées dans cette thèse, qui sont sous forme d'ensembles. Toutefois, les calculs sont

fastidieux. Le Chapitre 4 présente, entre autres, des méthodes an de calculer d'une manière plus rapide un vecteur de même dimension que le nombre de variables aléa-toires. Ces résultats sont désirables en pratique. En eet, une projection orthogonale sur les valeurs limites de la TVaR bivariée permet de calculer un couple dont la somme des composantes sera minimisée, ceci qui est avantageux pour toute entreprise ou insti-tution gérant des risques. Aussi, le Chapitre 4 présente une application sur les contrats de rentes liées à des actifs ainsi que plusieurs résultats intéressants liés à la TVaR bivariée.

1.3 Allocation de capital

Habituellement, la réglementation exige que le capital économique soit calculé à l'aide de mesures de risque pour un portefeuille de risques agrégés en supposant la mutualisation de ces derniers. Ceci implique que pour protéger un niveau xé du portefeuille, les risques compensent entre eux, en fonction de leur dépendance. Tel qu'illustré par la Figure 1.3.1, on considère la mutualisation des risques et on assigne le capital à un niveau de sécurité désiré, de telle sorte que les risques peuvent y contribuer d'une manière diérente.

Figure 1.3.1: Deux représentations de contributions des risques d'un portefeuille de 10 risques agrégés.

Cette diérence d'allocation de capital est due à la dépendance entre chaque variable aléatoire. Une innité de scénarios sont possibles, dépendant du lien entre les variables aléatoires. Le portefeuille total est toujours couvert au même niveau pour un montant donné. Règle générale, une compagnie s'intéresse aussi à l'allocation du capital à risque

du portefeuille, partagé entre ses composantes. Cette information est utile an de comparer les risques, de les utiliser à des ns de produits nanciers et de leur allouer adéquatement un capital à risque. Le Chapitre 2 est basé sur cette idée.

Considérons le cas d'un portefeuille de risques hétérogènes. Si celui-ci est composé de classes homogènes dépendantes, cela signie qu'il sera plus approprié de modéliser d'abord chaque classe de risques. L'étape suivante consistera à établir un modèle de dépendance entre les classes de risques. Ceci permettra de modéliser plus adéquatement ce portefeuille, puisque si il est considéré dans son ensemble, l'homogénéité des classes sera moins précisément représentée. Pour ces situations, une allocation de capital, pour le portefeuille, basée sur la dépendance entre les classes et à l'intérieur des classes, sera appropriée. Les mesures de risque multivariées peuvent alors être utilisées, an d'éviter l'utilisation d'un modèle pour l'ensemble du portefeuille qui comporterait fort probablement un biais accru. Le Chapitre 3 propose une procédure à cette n. Aussi, l'idée de considérer diérentes classes agrégées d'un portefeuille pour allouer du capital fut récemment introduite et a engendré de nouvelles méthodes d'allocation de capital, tel que suggéré dans les Chapitre 3 et Chapitre 4.

Traditionnellement, l'allocation de capital était faite à partir du capital nécessaire à la somme des risques d'un portefeuille. Ensuite, il s'agissait de calculer la contribution de chaque risque du portefeuille. Toutefois, d'autres méthodes ont été proposées dans Myers (2001), Sherris (2006), Kim et Hardy (2009) et Dhaene et collab. (2009), qui proposent une allocation à partir d'une optimisation de fonctions considérant l'écart entre la mesure de risque et la perte.

Denault (2001) dénit les propriétés souhaitables pour les méthodes d'allocation de capital, discute de cohérence et propose aussi une mesure de risque cohérente : la valeur Aumann-Shapley, qui représente la moyenne du coût marginal d'un risque, sur un intervalle xe de mouvement du risque. Kaluszka (2005) étudie les propriétés de plusieurs principes d'allocation de capital et de mesures de risque dans un contexte de réassurance. Les propriétés suivantes sont désirables pour une méthode d'allocation de capital : agrégation linéaire, fermeture sous la composition, diversication, symétrie,

consistence et continuité.

Tel que mentionné précédemment, les VaR et TVaR multivariées sont représentées par des ensembles, qui peuvent être utiles pour la comparaison des risques. Il en sera de même pour la répartition du capital aux risques d'un portefeuille, basée sur les VaR et TVaR multivariées. De plus, trois diérentes techniques pour sélectionner un couple optimal de chaque courbe, représentant un risque, sont présentées.

Albrecht (2006) énonce et décrit ces quatre types d'allocation, qui sont utilisés an d'assigner le capital nécessaire à la couverture d'un risque pour un portefeuille de risques agrégés. Les principales méthodes sont les suivantes :

• Allocation basée sur la variance:

V ar(Xi) V ar(S) ;

• Allocation basée sur le ratio de la covariance sur la variance (mesure nommée Beta):

ρ(S) × cov(Xi, S) var(S) ; • Allocation basée sur la VaR:

E[Xi |VaRα(S)];

• Allocation basée sur la TVaR: 1 1 − αE[Xi1S>V aRα(S)]; • Allocation proportionnelle ρ(S) × Pnρ(Xi) i=1ρ(Xi) .

Du point de vue du régulateur, avec comme objectif de protéger le consommateur, une mesure conservatrice est préférable. Toutefois, il est essentiel de choisir une mesure qui sera aussi viable pour l'industrie. L'allocation basée sur la VaR et la TVaR sont

les plus retenues en pratique et les chapitres subséquents ne traiteront que de ces deux mesures dans le cadre univarié et bivarié. Plusieurs chercheurs ont développé des for-mules an d'exprimer sous forme explicite l'allocation de capital basée sur la mesure TVaR pour des distributions communes en actuariat. Des expressions pour la TVaR lorsque le risque d'un portefeuille est représenté par une normale multivariée furent développées dans Panjer (2002). Landsman et Valdez (2003) élargit la théorie explorée dans Panjer (2002) pour la classe de distributions elliptiques. Chiragiev et Landsman (2007) étudie l'allocation de capital basée sur la TVaR pour des risques représentés par la classe de distributions Pareto multivariées. Ces fonctions représentant des distribu-tions à queues épaisses sont fort utiles en actuariat. Furman et Landsman (2008, 2010) proposent l'utilisation de la distribution Tweedie multivariée, an de regrouper plusieurs distributions utilisées en nance et en actuariat comme la normale, gamma, inverse Gaussienne et la Poisson composée (choc commun). Cai et Li (2005a) fournissent des résultats sur l'allocation de capital pour les distributions de classe phase-type. Bargès et collab. (2009) s'intéresse à l'allocation de capital basée sur la TVaR dans le cas où la dépendance au sein du portefeuille est représentée par une copule.

Le Chapitre 2 évalue le capital alloué au portefeuille et à chacun de ses risques, basé sur la mesure de risque TVaR pour des portefeuilles formés de risques composés: un risque exprimé par sa fréquence et sa sévérité (continue). Ces distributions sont souvent utilisées en assurance non-vie (voir Rolski et collab. (1999) et Klugman et collab. (2008)) et en gestion quantitative des risques (voir McNeil et collab. (2005)). Dans la Section 1.3, d'autres références sur l'allocation de capital basée sur la TVaR seront présentées.

1.4 Modèles de dépendance multivariés

Lors de l'établissement du capital de risque, l'attention est portée sur les événements extrêmes, c'est-à-dire les queues de distributions. En fonction de la méthode utilisée pour allouer le capital de risque, diérentes mesures des queues de distributions sont

calculées. Plusieurs éléments restent controversés, quant à la considération de la dis-tribution des risques agrégés, lors de l'établissement des réglementations concernant le capital de risque, étant donnée que celle-ci considère une atténuation des risques qui sont agrégés. La distribution multivariée des risques est un élément essentiel pour allouer le capital de manière juste pour chaque risque d'un portefeuille ou d'une ligne d'aaires d'un portefeuille. Récemment, on s'intéresse à l'allocation du capital à l'intérieur des lignes d'aaires d'un portefeuille, en considérant le modèle de dépendance à l'intérieur de chaque ligne d'aaires et entre celles-ci. L'objectif est de procéder d'une manière équitable et de pouvoir connaître plus d'information par rapport aux risques de ce portefeuille. Ceci peut être fait par le biais des mesures de risque multivariées. Celles-ci permettent de couvrir chaque classe de risques homogènes à un niveau désiré. Depuis la récente crise nancière, les entreprises et institutions nancières se munissent de capital de risque à l'aide de méthodes plus conservatrices. Les mesures de risque mul-tivariées sont désirables et répondent à ce besoin. Les modèles multivariés sont donc d'une grande utilité, autant pour les classes de risques que pour la dépendance entre ces classes.

En assurance, il est fréquent de représenter les risques par des distributions com-posées. Ces distributions dénissent un risque en fonction de la fréquence et de la sévérité des sinistres, comme suit:

X =    PM k=1Bk, M > 1 0, M = 0 , (1.4.1)

où M représente la fréquence pour le risque X et Bk la sévérité de chaque sinistre. Les hypothèses usuelles de ce modèle sont l'indépendance entre les sévérités et l'indépendance entre la sévérité et la fréquence. Toutefois, ces hypothèses peuvent varier, selon le risque représenté.

La dépendance entre les risques peut être représentée par un modèle de dépendance multivarié discret entre le nombre de sinistres, par un modèle de dépendance multivarié pour la sévérité des risques (généralement continu) ou encore un modèle de dépendance multivarié représentant la dépendance globale de ces deux éléments. Cette dernière

alternative est plutôt rare, puisqu'il est plus précis de représenter distinctement le nombre de sinistre et leur sévérité.

On retrouve diérents modèles multivariés qui peuvent être scindés en distribu-tions discrètes et continues. On considère alors la structure de dépendance du vecteur aléatoire (X1, ..., Xn). Les distributions multivariées discrètes sont souvent utilisées en assurance, an de représenter le nombre de sinistres. Pour une revue détaillée sur plusieurs distributions multivariées discrètes, se référer à Kocherlakota et Kocherlakota (1992) et Johnson et collab. (1997). Les distributions continues sont les plus utilisées, an de représenter des risques multivariés, puisqu'elles peuvent représenter plusieurs phénomènes tels : des sévérités de sinistres, des rendements, des ux nanciers, etc... Se référer à Kotz et collab. (2000) et Joe (1997) pour une excellente revue des modèles multivariés continus utilisés en actuariat.

Cette thèse traite particulièrement des modèles multivariés basés sur les copules, le mélange d'Erlang multivarié et le modèle discret Poisson multivarié déni avec choc commun.

1.4.1 Copules

Ce type de structure permet de mettre en commun plusieurs fonctions marginales. Rappelons qu'une copule C est la fonction de répartition multivariée avec des lois marginales uniformes. Par le théorème de Sklar (1959), on voit qu'une copule permet d'exprimer une fonction de répartition multivariée en fonction de toutes les fonctions de répartition marginales. Cette copule résume toute la structure de dépendance entre les variables aléatoires. Une fonction de répartition F avec comme marginales F1, ..., Fn peut être exprimée par une copule C, où F (x1, ..., xn) = C(F1(x1), ..., Fn(xn)). Cette copule est unique si F est continue. Autrement, elle est unique seulement sur les rangs des marginales. Voir Genest et Ne²lehová (2007) pour certaines particularités des copules pour modèles discrets. Arbenz et Canastraro (2010) fournissent une approche bayésienne pour estimer la copule représentant la dépendance de risques, spécialement

axé sur l'assurance. Frees et Valdez (1998) et Embrechts (2009) orent une revue générale des copules et de leur utilité par rapport aux mesures de risque. Embrechts et collab. (2003) utilise les copules pour modéliser la dépendance en gestion de risques. Pour plus de détails sur la théorie des copules, se référer à Nelsen (2006), Joe (1997) ou Denuit et collab. (2005) et Pfeifer et Ne²lehová (2003) pour l'application à la nance et à l'assurance.

Copules archimédiennes

Plus particulièrement, la classe des copules archimédiennes est très pratique pour le calcul de la VaR et TVaR bivariées. En eet, cette famille de distributions multivariées est caractérisée par un générateur. Ce dernier fourni l'expression de la distribution multivariée qui peut facilement être inversée, ce qui facilite le calcul de la VaR univariée et bivariée. En eet, une copule archimédienne peut s'exprimer comme suit :

Cφ(u, v) = φ−1(φ(u) + φ(v)) .

On obtient la courbe VaR bivariée de niveau α = Cφ(u, v)(aussi appelée courbe quantile de niveau α), pour u ≥ α, où u = F1(x1) et v = F2(x2), comme suit :

F₂−1(v) = φ−1(φ(α) − φ(u)) .

De plus, avec certaines marginales, comme des distributions exponentielles, la TVaR bivariée peut être exprimée de manière explicite (elle l'est pour la TVaR univariée avec presque la totalité des distributions). Le Tableau 1.4.1 présente les diérents modèles de copules archimédiennes. Aussi, leur générateur respectif φ(t) y est présenté.

Le choix de la copule peut aussi se faire en fonction du degré de dépendance des variables aléatoires. La copule de Gumbel ore la possibilité de représenter une dépen-dance positive ou l'indépendépen-dance (lorsque le paramètre de dépendépen-dance égal 1) entre les variables aléatoires. La copule de Frank ore la possibilité de dépendance positive, néga-tive, ou l'indépendance. Elle est la seule qui soit symétrique dans la queue inférieure et supérieure. La copule de Clayton ore la possibilité de représenter une dépendance

Copule Fonction de répartition Générateur

Indépendante Cθ(u, v) = uv φθ(t) = −lnt

Frank Cθ(u, v) = −1_θ ln n

1 + (e−θu_(e−1)(e−θ₋₁₎−θu−1)

o φθ(t) = −ln  1−e−θt 1−e−θ  Gumbel Cθ(u, v) = exp

 −(−lnu)θ_{+ (−lnv)}θ 1_θ φθ(t) = (−lnt)θ Clayton Cθ(u, v) = (u−θ+ v−θ− 1)− 1 θ φ_θ(t) = (t −θ₋₁₎ θ Tableau 1.4.1: Copules archimédiennes et leur générateur.

positive et l'indépendance. Ce modèle est utilisé pour représenter une distribution avec une forte dépendance dans la queue inférieure de la distribution multivariée.

1.4.2 Mélange d'Erlang avec même paramètre d'échelle

Agrégation de mélange d'Erlang univarié

Soit X, une variable aléatoire avec distribution Erlang avec même paramètre d'échelle β. On peut alors exprimer sa fonction de répartition par

FX(x) = ∞ X

i=1

ζiH(x; i, β),

où H(·; i, β) représente la fonction de répartition d'une variable aléatoire de distribution Gamma avec paramètre de forme i et paramètre d'échelle β. On a aussi que P∞

i=1ζi = 1. Le Chapitre 2 présente des formules explicites pour l'allocation de capital et les contributions des risques d'un portefeuille composé de risques agrégés, distribué selon le mélange d'Erlang univarié. Ce modèle peut être utilisé an de représenter des risques qui suivent des distributions composées et où la dépendance est représentée par le modèle Poisson choc commun, présenté à la Section 1.4.3. Aussi, il est possible d'utiliser le mélange d'Erlang avec diérents paramètres d'échelle. Se référer à Willmot et Lin (2011) et Willmot et Woo (2007) pour une revue exhaustive de cette distribution.

Méthodes de discrétisation

De plus, le mélange d'Erlang univarié peut approximer n'importe quelle distribution continue à support positif. À l'aide de méthodes de discrétisation, on peut alors allouer des valeurs ζi, i = 1, ..., k, où k est assez grand de telle sorte que Pk_i=1ζi = 1 et approximer la distribution désirée. Aussi, lorsqu'une ligne d'aaires ou un portefeuille est composé de la mutualisation de risques, il est généralement souhaitable d'exprimer la distribution de l'agrégation des risques. Toutefois, il est fréquemment impossible d'obtenir une formule explicite exprimant la distribution d'une somme de variables aléatoires. Quelques méthodes pratiques d'approximations sont utilisées.

An de calculer l'agrégation des risques, des méthodes exactes et d'approximations ont été développées. Kuon et collab. (1987) ore une comparaison de l'algorithme de Panjer (1981), qui est celui le plus utilisé par les practiciens selon cet article, la méthode d'approximation de Kornya et l'algorithme de DePril. Aussi, Embrechts et Frei (2009) compare la récursion de Panjer à la méthode utilisant FFT (Fast Fourier Transform), introduite par Heckman et Meyers (1983) et popularisée par Cooley et Tukey (1965) pour le calcul de distributions composées. Marceau (2013) alloue un chapitre aux méthodes récursives d'évaluation, comptant une majorité des méthodes couramment utilisées. L'algorithme de DePril est décrit dans Rolski et collab. (1999). Lee et Lin (2011) ore une analyse exhaustive de la méthode d'approximation de distributions continues positives par les mélanges d'Erlang. Tel que mentionné ci-haut, diérentes méthodes sont utilisées an d'approximer une distribution de risques agrégés, dans le but d'en mesurer le risque, soit pour un risque ou pour un portefeuille de risques. Supposons que X est une v.a. continue avec FX comme fonction de répartition et que h est le pas de discrétisation. Voici quelques méthodes de discrétisation présentées dans Klugman et collab. (2008) :

1. Méthode Upper

La fonction de masse de probabilité de la variable aléatoire discrétisée ˜X, avec h comme pas de discrétisation, est dénie par

f_X˜(0) = FX(h);

f_X˜(jh) = Fx((j + 1)h) − FX(jh), j = 1, 2, ...

(1.4.2)

2. Méthode Lower

La fonction de masse de probabilité de la variable aléatoire discrétisée ˜X est dénie par

f_X˜(0) = 0;

f_X˜(jh) = Fx(jh) − FX((j − 1)h), j = 1, 2, ...

(1.4.3)

3. Méthode de l'arrondissement

La fonction de masse de probabilité de la variable aléatoire discrétisée ˜X est dénie par

f_X˜(0) = F_X˜(h/2);

f_X˜(jh) = Fx(jh + h₂) − FX(jh − h₂), j = 1, 2, ...

(1.4.4)

4. Méthode de dispersion de la masse avec espérance préservée À partir des résultats suivants :

p−_jh = 1 h{(j + 1)h(FX((j + 1)h) − FX(jh))} −1 h(E[X × 1]−∞,(j+1)h]] − E[X × 1]−∞,jh]]) et p+_(j+1)h = 1 h(E[X × 1]−∞,(j+1)h]] −1 hE[X × 1]−∞,jh]]) − jh(FX((j + 1)h) − FX(jh)) ,

on obtient que la fonction de masse de probabilité de la variable aléatoire dis-crétisée ˜X est dénie par

f_X˜(0) = p−₀;

f_X˜(jh) = f_X˜ = p−_jh+ p+_(j+1)h, j = 1, 2, ...

(1.4.5)

Arbenz et coll. (2011) présente l'algorithme AEP, permettant l'approximation de la fonction de répartition pour des risques agrégés. Une méthode permettant de calculer la fonction de répartition d'une somme de variables aléatoires y est aussi présentée. Au Chapitre 5, un algorithme inspiré de la méthode AEP sera développé, permettant un calcul numérique de bornes pour la fonction de répartition d'une somme de variables aléatoires. Les liens avec la VaR univariée et bivariée seront aussi présentés. Cette méthode est rapide et précise, en plus d'être facile à comprendre et à programmer.

Mélange d'Erlang multivarié

Lee et Lin (2011) suggère le mélange d'Erlang multivarié avec même paramètre d'échelle, tel que suit:

FX1,...,Xn(x1, ..., xn| αm, β) = ∞ X m1=1 ... ∞ X mn=1 αm n Y j=1 H(xj; mj; β).

Il est intéressant de noter qu'un mélange d'Erlang multivarié avec un nombre ni d'Erlang est un cas particulier de la distribution Phase-type multivariée, tel que déni dans Assaf et collab. (1984). L'agrégation des risques d'un mélange d'Erlang multivarié suit une distribution mélange d'Erlang univarié. Aussi, Lee et Lin (2011) propose une démarche pour estimer les paramètres de cette distribution, à l'aide de l'algorithme EM (Estimation-Maximisation).

Plusieurs valeurs d'intérêt peuvent facilement être calculées à partir de ces distri-butions : la VaR univariée et bivariée, la TVaR univariée et bivariée, les contribu-tions des risques basée sur la TVaR univariée et bivariée. Des méthodes numériques d'optimisation et d'intégration numérique (dans le cas bivarié) sont alors utilisées.

1.4.3 Poisson multivarié dénit avec choc commun

Considérons le vecteur aléatoire (M1, ..., Mn)suivant le modèle Poisson multivarié dénit avec choc commun suivant :

P(M1= k1, ..., Mn= kn) = e−λ1−...−λn+(n−1)α0 min(k1,...,kn) X j=0 αj₀ j! (λ1− α0)k1−j (k1− j)! ...(λn− α0) kn−j (kn− j)! ,

pour k1, ..., kn ∈ N et avec Mi ∼Poisson(λi), i = 1, 2, ..., n. Les variables aléatoires M1, ..., Mn peuvent être dénies comme suit

M1 = J1+ J0 ...

Mn = Jn+ J0,

où J0, J1, ..., Jn sont des variables aléatoires de Poisson de moyennes α0, α1 = λ1 − α0, ..., αn = λn − α0 respectivement. Cette représentation permet de bien compren-dre le comportement de ce modèle multivarié. En eet, chaque variable aléatoire Mi, i = 1, ..., n, représente une partie individuelle au risque Ji, i = 1, ..., n, et une par-tie commune J0, d'où provient le choc commun. Il est intéressant de noter que pour n'importe quelle valeur de n, il est possible d'exprimer la densité de M1, ..., Mn comme une fonction bivariée, tel que précisé au Chapitre 2. Ce modèle est fort utile en pra-tique, puisque les distributions composées sont adéquates pour représenter des risques en assurance et que s'ajoute ici la possibilité de modéliser une dépendance entre la fréquence des sinistres de chaque risque.

1.5 Aperçu de la thèse

Le Chapitre 2 a pour contribution principale l'expression de l'allocation de capital, basée sur la mesure TVaR univariée, pour un portefeuille de risques agrégés et ses composantes dans le cadre d'un modèle multivarié composé avec sévérités continues. Plusieurs exemples concernant de nombreux modèles fréquemment utilisés en actuariat sont aussi présentés.

Le Chapitre 3 redénit et étudie la VaR bivariée telle que présentée par Embrechts et Puccetti (2006b) an de pouvoir en étudier d'une manière plus synthétique son comportement en fonction de modèles de dépendance multivariés.

Le Chapitre 4 traite de la mesure de risque TVaR bivariée. Ces nouvelles mesures de risque multivariées sont dans un premier lieu motivées, ensuite expliquées et appliquées aux contrats de rentes liés à des actifs.

Le Chapitre 5 propose un algorithme simple et ecace, an d'obtenir numérique-ment des bornes inférieures et supérieures pour le calcul de la fonction de répartition d'une somme de variables aléatoires. De plus, cette méthode peut être utilisée pour obtenir la VaR de risques agrégés.

Une conclusion énoncera aussi quelques projets de recherche potentiels liés aux concepts abordés dans la thèse.

Résumé

Dans cet article, l'intérêt est porté sur l'allocation de capital basée sur la mesure TVaR pour un portefeuille de risques agrégés. Les risques sont représentés par des distribu-tions composées, à supports positifs et sévérités continues. Ces derniers sont liés par une dépendance homogène, entre tous les risques du portefeuille. Ces modèles sont fort utilisés en assurance. On identie la loi de la somme des risques du portefeuille, ainsi que les expressions des TVaR, en fonction des modèles de dépendance. Ensuite, les formules d'allocation de capital selon la règle de la TVaR sont présentées. Des formes explicites de cas particuliers sont aussi traités. D'intéressantes formules lorsque les risques sont représentés par des variables aléatoires de mélange d'Erlang avec une structure de dépendance basée sur une distribution de Poisson avec choc commun sont développées. Une grande variété d'exemples sont présentés, illustrant plusieurs résultats sur les mesures de risque et l'allocation de capital.

2.1 Introduction

In this paper, we consider a portfolio of n possibly dependent risks X1, ..., Xn and we study the stochastic behavior of the aggregate claim amount S = X1+ ... + Xn. Our objective is to determine the amount of economic capital for the whole portfolio and to compute the amount of capital to be allocated to each risk X1, ..., Xn assuming that (X1, ..., Xn)is modeled by a multivariate compound distribution. To perform that task, we use a top-down approach. Under this approach, we assume a multivariate model for (X1, ..., Xn), we choose a risk measure to evaluate the total capital requirement for the portfolio based on the distribution of S, and we use a capital allocation method to quantify the contribution of each risk.

The usual risk measures are the Value-at-Risk (VaR) and the Tail-Value-at-Risk (TVaR). Artzner et al. (1999) proposed the TVaR, also called Expected Shortfall (ES) in quantative risk management, as a coherent alternative to the non-coherent risk measure VaR. Applied to continuous random variables (r.v.s.), the TVaR can be dened as the conditional tail expectation (CTE). The TVaR and the CTE dier however in the context of discrete r.v.s. where the CTE is no longer coherent. The dierences between these denitions and their properties have been highlighted in Acerbi et al. (2001) and Acerbi and Tasche (2002). See e.g. Acerbi and Tasche (2002) and McNeil et al. (2005) for details on the properties of the risk measures VaR and TVaR.

In this paper, we use the rule based on the TVaR to determine the amount of capital allocated to each risk. When each risk is represented by a continuous r.v., the TVaR-based allocation coincides with the CTE-based allocation rule. See e.g. Tasche (1999) and McNeil et al. (2005) for details on capital allocation rules, including the TVaR-based allocation rule.

In recent years, several authors have used a top-down approach to nd closed-form expressions for the amount of capital needed for the whole portfolio based on the TVaR and the contribution to each risk using the TVaR-based allocation rule for some spe-cic multivariate distributions for (X1, ..., Xn): multivariate normal distribution (Panjer

(2002)), multivariate elliptical distribution (Landsman and Valdez (2003) and Dhaene et al. (2008)), multivariate gamma distribution (Furman and Landsman (2005)), multi-variate Tweedie distribution (Furman and Landsman (2008)), and multimulti-variate Pareto distribution (Chiragiev and Landsman (2007)). In those papers, the dependence be-tween the dierent lines of business of the insurance company is due to the construction of a multivariate distribution for (X1, ..., Xn). Bargès et al. (2009) propose to intro-duce such a dependence relation with a copula. They obtain closed-form expressions for the TVaR and then the TVaR-based contribution of one risk when the Farlie-Gumbel-Morgenstern copula describes the dependence between the risk marginals. They also present approximation methods to evaluate the TVaR and the TVaR-based allocation in which they use dierent discretization methods of continuous random variables that are applicable with any copula and any marginals.

In this paper, we focus on the computation of the TVaR and the TVaR-based allo-cation for multivariate compound distributions. As stated in almost all actuarial text-books (e.g. Rolski et al. (1999), Klugman et al. (2008)), compound distributions are the corner stones of several risk models in risk theory. We consider risk models based on multivariate compound distributions dened with a multivariate counting distribution. To simplify the presentation, the claim amounts are assumed to be continuously dis-tributed. As in e.g. Furman & Landsman (2005, 2008), Chiragiev & Landsman (2007), and Bargès et al. (2009), the capital allocation is based on a top-down approach: we rst determine the global amount of capital for the whole portfolio and, using a TVaR-based allocation rule, we determine the amount of capital to be allocated to each risk. For multivariate compound distributions with continuous claim amounts, we provide general formulas for the cumulative distribution function (c.d.f.) of S, the TVaR of S and the contribution to each risk. We obtain closed-form expressions for these quan-tities for multivariate compound distributions with gamma and mixed Erlang claim amounts. Finally, we treat in detail the multivariate compound Poisson distribution case.

for the Tail-Value-at-Risk and provide closed-form expressions of the TVaR for special cases (e.g. gamma distribution and mixed Erlang distribution). Then, in the third section, we recall the TVaR-based allocation rule and we provide results for special cases (e.g. gamma distribution and mixed Erlang distribution) for which closed-form expressions for the contributions are obtained. In the fourth section, assuming mul-tivariate compound distributions (with continuous claim amounts) for (X1, ..., Xn) we examine the derivation of general expressions for the c.d.f. of S, the TVaR of S and the contribution of each risk using the TVaR-based allocation rule. Closed-form ex-pressions are also obtained for multivariate compound distributions with gamma claim amounts or mixed Erlang claim amounts. We also consider in detail the multivariate compound Poisson distribution. Numerical examples are provided in order to examine the impact of the dependence relation on the TVaR of S, the contribution to each risk of the portfolio, and the benet of the aggregation of several risks.

2.2 Some results related to the TVaR

2.2.1 Basic denitions

We consider a r.v. X with c.d.f. FX. The Value-at-Risk at level κ, 0 < κ < 1, of X is dened by

VaRκ(X) = inf(x ∈ R, FX(x) ≥ κ). We denote the truncated expectation of X by E X × 1{X>b}



where 1Ais the indicator function such that 1A(X) = 1, if X ∈ A, and 1A(X) = 0, if X /∈ A. The Tail-Value-at-Risk at level κ, 0 ≤ κ < 1, is dened by

TVaRκ(X) = 1 1 − κ Z 1 κ VaRu(X) du = Eh_{X × 1{X>VaR} κ(X)} i +VaRκ(X) (FX(VaRκ(X)) − κ) 1 − κ , (2.2.1) where E X × 1{X>b}  can be expressed as E [X] − E X × 1{X≤b} 

. See e.g. Acerbi (2002), Acerbi and Tasche (2002) and McNeil et al. (2005) for details on the risk

measures VaR and TVaR.

When the r.v. X is continuous, it implies that FX(VaRκ(X)) − κ = 0 and (2.2.1) becomes TVaRκ(X) = Eh_{X × 1{X>VaR} κ(X)} i 1 − κ = E [X|X >VaRκ(X)] , (2.2.2) where E [X|X > VaRκ(X)] = CTEκ(X) which means that the Tail-Value-at-Risk of a continuous r.v. is equal to its conditional tail expectation (which is not the case generally). In the present work, we prefer to use the term TVaR which is always coherent rather than the term CTE.

The expression for TVaRκ(X) when X ∼ Gamma (α, β) is given in Furman and Landsman (2005). To set the notation that will be used in the remainder of the paper, we briey state the result in the following proposition.

Proposition 2.1. Gamma distribution. Assume that X ∼ Gamma (α, β) with probability density function (p.d.f.) and c.d.f.

fX(x) = h (x; α, β) = βα Γ(α)x α−1_e−βx , FX(x) = H (x; α, β) = Z x 0 h (y; α, β) dy, (2.2.3) with x > 0. The expression for E X × 1{X>b}



is given by

EX × 1{X>b} = α

βH (b; α + 1, β) = E [X] H (b; α + 1, β) , (2.2.4) where H (b; α + 1, β) = 1 − H (b; α + 1, β). If b = VaRκ(X), then (2.2.2) becomes

TVaRκ(X) =

E [X] H (VaRκ(X) ; α + 1, β)

1 − κ . (2.2.5)

2.2.2 Compound distribution with continuous claims

We derive in this subsection the expression for the TVaR of a r.v. X which follows a compound distribution. This distribution is frequently used in non-life insurance (e.g.

Rolski et al. (1999), Klugman et al. (2008)) and can also be applied in a quantative risk management context (see e.g. McNeil et al. (2005)).

Let the r.v. X have a compound distribution with

X =    PM k=1Bk, M > 0 0, M = 0 , (2.2.6)

where B1, B2, ... form a sequence of i.i.d. r.v.s. (Bk ∼ B) and independent of M. We denote the probability mass function (p.m.f) and the probability generating function (p.g.f) of the r.v. M by Pr (M = k) = qk for k ∈ N and PM(s) = EsM = P

∞ k=0qksk respectively. We assume the r.v. B to be positive and continuous. In such a context, the c.d.f. of X is given by FX(x) = q0+ ∞ X k=1 qkPr (B1+ ... + Bk ≤ x) , x ≥ 0. (2.2.7) In non-life insurance, the r.v. M corresponds to the number of claims and the r.v. Bk represents the amount of the kth claim. The moment generating function (m.g.f.) of X is given by

MX(r) = EerX = PM(MB(r)) .

To determine the expression for TVaRκ(X) in this case, we must rst nd

EX × 1{X>b} = ∞ X k=1 qkE(B1+ ... + Bk) × 1{B1+...+Bk>b} . Then, we obtain TVaRκ(X) = 1 1 − κ ∞ X k=1 qkE h (B1+ ... + Bk) × 1{_B1+...+Bk>VaR_κ(X)} i + 1 1 − κVaRκ(X) (FX(VaRκ(X)) − κ) . (2.2.8) Note from (2.2.7) that the distribution of X is mixed with a probability mass at 0 and with a continuous part for x > 0. If κ < q0, then VaRκ(X) = 0. Moreover, when κ > q0, it implies that VaRκ(X) > 0 so that FX(VaRκ(X)) = κ. The second term in (2.2.8) is thus equal to 0 in both cases and the expression for TVaRκ(X)becomes

TVaRκ(X) = 1 1 − κ ∞ X k=1 qkE h (B1+ ... + Bk) × 1{_B1+...+B k>VaRκ(X)} i . (2.2.9)