Correction sujet bac pro juin 2009– Page 1/3
Bac Pro
Proposition de corrigé du sujet de la session dejuin 2009
Exercice 1
1° Pourcentage :
Au vu de l’indication qu’il porte, un sac est considéré non conforme lorsque la masse maximale qu’il peut supporter avant de céder est inférieure à 57 kg. Le nombre de sacs non conformes est donc 8 + 28 soit 36.
200 36
= 0,18 donc, le pourcentage de sacs non conformes est 18%. 2.a) Fréquences cumulées croissantes :
Masse maximale (en kg) [ 55 ; 56 [ [ 56 ; 57 [ [ 57 ; 58 [ [ 58 ; 59 [ [59 ; 60 [ [ 60 ; 61 [ [ 61 ; 62 [
Nombre de sacs 8 28 68 60 24 8 4
Fréquences cumulées
croissantes (en %) 4 18 52 82 94 98 100
2.b) Polygone des fréquences cumulées croissantes :
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 54 55 56 57 58 59 60 61 62 Masses (kg) F ré q u e n c e s c u m u lé e s c ro is s a n te s ( % )
2.c) Détermination graphique de la médiane :
Graphiquement, la médiane Med de la série des masses est l’abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées croissantes dont l’ordonnée est 50%. On lit Med ≈ 57,9 kg.
Interprétation : 50% des sacs peuvent supporter une masse maximale d’environ 57,9 kg. 3) Moyenne et écart-type de la série des masses :
A l’aide d’une calculatrice (mode Stat), on obtient : arrondi à 10 – 1 de la moyenne : x = 58 kg arrondi à 10 – 1 de l’écart-type : σ = 1,2 kg
4) Pourcentage :
x – σ = 58 – 1,2 soit x – σ ≈ 56,8 x + σ = 58 + 1,2 soit x +σ ≈ 59,2
On admet que les masses maximales supportées sont réparties uniformément dans les classes auxquelles elles appartiennent. Aussi, le nombre de sacs dont la masse maximale supportée appartient à [ x – σ ; x + σ ]
c’est-à-dire à [ 56,8 ; 59,2] est ( 56 57 8 , 56 57 28 − − × ) + 68 + 60 + ( 59 60 59 2 , 59 24 − − × ) soit 134,4 ; 200 4 , 134 = 0,672 Donc, le pourcentage de sacs dont la masse maximale supportée appartient à [ x – σ ; x + σ ] est 67,2%. 5) Comparaison de paramètres :
- Les moyennes des deux séries de masses sont égales.
- L’écart-type de la 1ère série est supérieur à celui de la seconde, donc les masses de la 1ère série sont plus dispersées que celles de la seconde série.
Correction sujet bac pro juin 2009– Page 2/3 Exercice 2
1) Expression de f (t) :
Pour tout t de [ 0,2 ; 9 ], ln(2 t) = ln(2) + ln(t) donc f (t) = 30 – 10 ln(2) – 10 ln(t) 2.a) Calcul de f ’(t) :
- Formules : Dans le tableau ci-dessous, g ’ désigne la fonction dérivée d’une fonction g :
g(x) constante réelle k ln(x) k ln(x) g ’(x) 0 x 1 x k - Pour tout t de [ 0,2 ; 9 ], f ’(t) = – t 10
car 30 et -10 ln 2 sont des constantes (ne dépendent pas de t). 2.a) Signe de f ’(t) et variations de f :
Pour tout t de [ 0,2 ; 9 ], t 10 > 0 donc – t 10 < 0 et donc, f ’(t) < 0. Il en résulte que la fonction f est décroissante sur [ 0,2 ; 9 ].
3.a) Tableau de valeurs de f arrondies à l’unité :
t 0,2 0,5 1 2 3 4 5 7 9
f(t) 39 30 23 16 12 9 7 4 1
3.b) Courbe représentative (Cf) :
4) Inéquation f (t) ≤ 5 :
Graphiquement, les solutions de cette inéquation sont les abscisses t des points de la courbe (Cf) situés au dessous de la droite d’équation y = 5 ou sur cette droite.
Par lecture graphique, l’ensemble des solutions est l’intervalle [ 6,1 ; 9 ].
Interprétation : Environ 6,1 heures après l’application du désinfectant, et au-delà, la quantité de bactéries au cm2 est
inférieure à 5 milliers. 5.a) Egalités équivalentes :
Les égalités suivantes sont équivalentes :
f (t) = 20 ; 30 – 10 ln(2 t) = 20 ; – 10 ln(2 t) = – 10 ; ln(2 t) = 1 Donc, résoudre l’équation f (t) = 20 revient à résoudre l’équation ln(2 t) = 1.
5.b) Résolution :
Les équations suivantes sont équivalentes :
ln(2 t) = 1 ; eln( t2) = e1 ; 2 t = e car eln( t2) = 2 t L’équation ln(2 t) = 1 admet la solution
2 e
Correction sujet bac pro juin 2009– Page 3/3 Exercice 3
Ci-dessous, la représentation graphique (Cg) de la fonction g et la tangente (D) à (Cg) au point d’abscisse 0,5 : (D) est parallèle à l’axe des abscisses.
Questions Réponses
L’image par g de 4 est – 6 (voir graphique ci-dessus) L’équation g(x) = 0 a pour solution(s) – 2 et 3(voir graphique ci-dessus) L’ensemble des solutions de l’inéquation g(x) > 0 est ]– 2 ; 3 [
Sur l’intervalle [– 3 ; 0,5 ] la fonction g est croissante
g admet un maximum pour x égal à 0,5 (voir graphique ci-dessus)
Le coefficient directeur de la droite (D) est 0 (droite horizontale)
Une équation de la droite (D) est y = 6,25 (les points de la droite D ont en commun leur ordonnée qui vaut 6.25)
La fonction g est définie sur [– 3 ; 4 ] par g(x) = – x2 + x + 6.
Une primitive de g est donc la fonction G définie sur [– 3 ; 4 ] par G(x) = – 3
3 x + 2 2 x + 6 x – 7 L’intégrale
∫
30 g(x)dx a pour une valeur comprise entre
12 et 15 (cette intégrale représente l’aire de la partie grisée ci-dessous. Il suffit de compter le nombre d’unités d’aire : rectangle de 1 unité x 1 unité)
