Quelques propriétés arithmétiques des corps de fonctions elliptiques

l' _,

_.

~.,

..

-1 " \ ...

,

.

' ,; '" ,

QUELQUES PROPRIETES ARITHMETIQUES DES CORPS DE FO~TIONS ELLIPTIQUES

par j , .

@.Damien

Roy

...

... ~ J

"-"~

..t

r-.-. CI

Mémoire présent~'

à

la Faculté des Études Avancées et de la Recherche, en vue de l'obtention du grade

de Maître en Sciences r

.\.

~ t'

f

..

•

.

Départem~nt Mathématiques

,

Université McGill '

Montréal Québec Juin 1981

\

,- . '

--\

1 ~ .. -;

.'

~

.

...

..

~

..

, ., \

..

\ABS'tRACT

~

,

•

Any abetian e:r:tension of finite degr'ee of an imaginctl'y

/

..

~~adratia fieZd~ K _{is contained in 'a fieZd of the forrn}

K(j(~),T~(Z») for some,ideaZ ~ of- K, and sorne z € K,

.

whe1'e is'the Weber T-funation fo1' êI. All t~ose fields

,

aI'e abeZian, ,and in fact' given odny ffi € N, j}here' exista ~..:l

Z € K for which ,F

=

K(j(!),T~(Z» js the ray ~la88 field

• mod ffi.. fo1' K.

The foll?~ing 18 the key to that result. Let K be a

finite algebraïc normal extension of " K

.

containing F

CF

18

•

Ij

alg~braic over K) • We show that for aIl but a finite number ...

"'-....

of prime ideali _~ of

K,

the Frobenius automorphism

01"

over

K·

associated to. ,~ sends j (~) _into j

é~

-1) _and

~

:r

~(z ~ .. into . T WI,~Z) div isible by

'fl.. •

J

\

where

p,

is tbe pr1ffie id~a1 of K

i

K

\

,

..

J

-

\ ,1 ' , '

..

,

, RESUME "

Toute extension abél.ienne >f.de ,degré fini d'un cappa

quadpatique imaginaipe K, est: contenue dan8~un, lor~8 de l.a forme K(j

(.:~.),

T

~

(z)) où J l+t un idéaZ de K" L

~ Z,~

.'

'-'.. 1

fonction T de Weber associé

i

à ~, et Z lm ~Z.él1Jent .df

l, • 1

K.

Ce sont aussi d~s exte~sidJ,ns abéZie~nes d~

K.

En'fait

Î ' ' 1

1 . /

8i mEN et si

Z

,E m- ~ est bien choisiJ F = K()(~)

,Ttt(Z»/ /

1

°e8t te corps de éZasses de rayon m pour K. /

Voici la clé de ce résultat. Soit

K

une extension

algébriqu~ normale de degré fini de

K'

contenant

F CF

est

algébrique sur K). On montre que pour tous les idéaux premiers ~ de K sauf pour un nombre fini dl entre eux, l'automôrphisme de Frobenius de

envoie _]

·un

_" dans j(!>-l~) et

1>

est l'idéàl premier de K que

" K sur. T ~(z) divise 1 1 K dans ~.

..

...

aSSOCle a , !

\

LJtltr(Z) 1 1 (J ~

..

ou 1 f

~

1 " <i-' G '. • J ( TABLE DES (1 Introduction .. __ " .~ .. " .. " . "/_ ... .. " ... . ~ ... " ... .. A l tif P ~l" . re ~.J..Ila J.res ... "/" .... ~ ... p.~

... "

5 1

.

Chapitre 1.

C()~ps

de: fonctions ellipt iques •.... : ..•.•... 9

. ,

§l. Forme ex:pliçite des corps de fonctions'

elliptiques ... " ... "" ... Cia . . . " . . . " 9

§2. Le groupe des places de d~gré l . . . ;.. 17

. § 3. Forme exPlicite des places et de la loi de · r

groupe ./" ... ..

Chap tre IL Le cas complexe ... " ....

·

.

§l. Vari~té associée à un corps de fonctions

'd'uné variable sur Œ: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

§2. Le cas où le genre est'l ; . . . .

.

"

.

§3. Lei corps M(Ie/A) •••••••••••••••• : •••••••••••.•

/ ' >

§~. ForII).e explicite des homomorphismes . ____ ~ . . . . § 5. Le module d~s homomo~hismes _. . . • . . • . . . • . . . _, §6. Questions de rationalité . . • . . . ~ ••....•...

§ 7. Premières conclusions 8.ritrJ1Ilétique~ ... : . . . ' ..

1

Chap;ttre

n.

~

III. _. Conj ecture de Kronecker .' , _{~ . f .\' ... .}

Dern1.ers preparatl S ... ,: ~ .... " ... ..

§2. Construction du corps de classes de rayon

m de K ... .

-1

Annexe l'I Réduction

...

',," '

"

... ..

n.

§2.

La 'réduct ion sè Ion M.' Deur ing . . • . . . • . . •

Extension du corps des constantes

iii 14 20 20' 22 36 44 48

,,-51 56 65 65 70 81 81 92 \0

'"

, 1 ~

J

-

_.'

Î

f3.

,§4. Annexe II. §l, § 2.

B.

.

.

₁

Quelques cas de t~ductions ••.••.••.. J • .

~~~~:{~~~~:s.:~~.~~:.~~::~ ~

..

~~~:~~~~f:.~J

..

1 Il 1 , . 1 " Résultats généraux ~

...

Translat ions

.

.

. .

. . . .

. ,,-

.

"'"

..

"'. 1\ Le d,egré de nI •.•...•.• ' .. " 1 . 1 Prog:r:arnme ... : ... ')' l '

.

.

. .

.~

...

':' . '1' . "

1 • If' • • • • • • • • •

.)

...

' 1 1 , " /

Annexe

III.

Réductions des corps 4e f nctions 1 elliptiques . • • . . . . • . . . .

• q , / '

H. Leur forme expl,icite ...•..•..•...

r

r ., ...

§ 2• 'Réductio'!s des· homomorphi s .•.•••• ").,. ;' ',' .

Bibliographie .. Il • • • • • • • • • • • • • • • • ' / ' • • • • • • • • i' •

Il' :' ... .

: 1

!

'

1 .,,;.,'

1

..

'"

iv

•

, ( 99

l

103 107 107 -109 115 118 118 12-9 129 .\

.

)

" " ,

"

/

INTRODUCTION

.'

••

-,i

Le but de ce travail est 'd' utilis'ér les idées des chapitres

1 ;.. [7 " iii

4 et:' 5 du livre "Introduction to the arit,hmetic theory of

al:lto-4

~orphic functions" de G. Shimura, pour a.émontrer les principaux

, "! .

, rés'fltat s contenus ~ans l'article "Neue Begründung der Komplexen

t, \ .

Multiplikation" de H. Hasse. L'exposition ést de nature

algéb-If

'

r~que,

et s!apPule entièrement

~ur

le. livre "Introduction ,to the theory of algebraic < f,unctions of 'one variable'" d~ C. Chevalley,

désigné par

cAF

dans; le texte, celà au lieu' du cadre gé"ométrique

.

"

"

qu'empLoie G. Shimura. Suggérons" l'introduction du livre

.

"Complex ~ultiplication of abelian var'ieties- and jts applica- ..J

tions to number -theor'Y" de G. Shimura et Y. Taniyama pour situer

o

"-, ces résultats "-,dans un cadre plus général.

Un

corps R de fonct.ions elliptiques sur un corps k de

,..

.

,

caractér-istique différente de 2 , t de 3 est un corps de fonctions d tune variable sur k, de genre l, avec k pour corps- des

constantes, et qui possède une place de degré 1. "

Au chapitre l, on qonne une présentation simple de ces

f'

corps et de leurs places dé degré 1. On y montre comment le théorème de'Riemànn-Roch munit d'une structure de groupe

l'en-semble des places de degré' l d'un tel corps, pourvu qu'on ait 'choisi l tune d' elle,s comme élément neutre. Les calculs qui

suivent pOur déterminer la présentation d~ la somme de 2 places

de d~gré

i

en termes de celles ,des 2 pi<;lces e1) question ne sont

l "

pas utilisés par la suite.

A '

...

-1-'.

, '\

,

.<

-2-"

•

Au chapitre II, on montre que si

k

= C, R est isomorphe" au corps dés

fonctio~s

elliptiques de périodes al et a₂ pour 0 0

est \e réseau engendré par al et On peut choisir cet isomorphisme de sorte qu'une place de degré l de ~ donnée a~t

pour image la place de _, M'CC/A) dont la valuation ést 'l'ordre-·( ,

en

O.

Etant donnés des corps de fonctions elliptiques R et S sur un corps

k,

et des places de degré l ~ et

f

de R et de S resp ect ivement, on s' intéres se pàrt icu:rièrement aux

,

k-h~omorphigmes À de R da~s S tels que À(~) c Î. Si

k

= C, on obtient qu'ils sont el) bij ection avec les fonctions

CïÂ

,

holomorphes v de

CIB

dans avec v (0) = 0, pour certains réseaux A et B de

c.

Ces dernières sont de's

/

'--homomorphismes de groupes de' Lie, et on note leur ensemble par

.

HomCC/B,CIA).

Au §5, on montre que le seul cas-où

_..

HbmCCIA,C/A)

ne consiste pas seulement des multiples de l'identité se pro-duit lorsque A ~st équivalent

à

un :il-module de rang 2 d~un

corps quadratique. iIn.agiÎlaire K. On dit alors qùe ( j A possède ./

•

des multiplications complex~s.'"

.' Le chapitre III contient le"but ultime de ce trâvail. ~

C'est

à

dire montrer que l'extension abélienne maximale d'un corps quadratique imaginaire K s'obtient en adjoignant, à1 _K

..

les qhantités -

j(~)

et

t~(z)

pour chaque idéal

~

de K et chaque z e' ,K. Ce résultat est connù sous -le nom de "Kronecker-·

, ')

, , '

~

schen Jugendtraumes", d'ou le titre du chapitre~ Pour y arriver on a besoin de résultats cOhcernant la réduction des corps de

•

, (

!

,.,---'" / .

,

., (

•

1

-3-\ 'fonctions elliptiques. ùe 31 en contient un, résumé. La

pro-, .

"-position 3 §2 fournit la clé de nos efforts. Elle "aurait pu être énoncée sans réf~rence ,au

§,7

du chapitre

II,

grâce à

~

~

'usage de places'

quelconque~.

En retour on obtitmdrait les

.

résultats de cette seètion, mais sans" le moyen de 'faire les calculs.

,L'annexe l contient au sI" un exposé d'une part ie de

, ' ,

l'article "Reduktion algebraischer Funktionenkôr'per na?h Pr~-divisoren des Kan s:tantenkorpers"

<l.e

M. Deuring,' généralisé au cas d'une place quelconque. Aux §2, et §3 on construit des corps

.~ .."

•

de fonctions d'une variable dont le corps des,constantes es~ lu1

, "

aussi de cette nature. On y traite de certaines réductions de

ce~ cor~s, et des réductions corresponaantes ,d; leurs places de

<1

degré 1. On conclut en §4 par les conséquences qe §l, j2~ et '§3 pour les corps de fonctions elliptiques.

.

~ ,

L'annexe I I contient des résulfats générdux sur les corps

CI

de fonct,ions elliptiques. Elle s' ihspire de ,~a lecture du livre

0'

"Variétés abélienn,es et cour,bes al~ébriques" de k. Weil. Le §3 peut donner une idé e d'ensemble de la démarche des 3 annexes .

.

Il

Y

est décrit les grandes lignes d'un traitemept algébrique de la réduction des k.-homomorphismes entre deux corp~ de, fonc-tions elliptiques sur un corps

k.

Au §l de l'annexe III, on se sert de la présentation des ~

corps de fonctions elliptiques du chapitre l pour caractériser les, réductions de ces corps. On conclut au §·2 avec la Pl?euve

du résultat annoncé au §3 de l'annexe .II, pour un sous-corps f k.

de . C'.

•

ù

"- ..(

-•

1

"

11 "-,,'

,

- c-J -4- t.:>.

Je tiens ici

à

exprimer ma recoÎtnaissance env:ers mon directeur de t·hèse M. Carl Herz pour ses conseils, et,-envers

,

Mme. Esther Massa pour le' soin ·qu!.elle a,mis ..

à

d~ctylographier

ce travail.

"

_'\

Damietl Roy

Mon,tréal ~ --le 7 juin 8l. , 6 " ...

'Ji>-f

-

\.. J' l'

, 1

~ '-;..C 1

--ri"

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,..

'"

,

r

, 1 1 , i • .~

, 'tr , ,

..

ô> '-~

.

~ "" • l' ,

. /

" i!.'" , PRELIMINttIRES

..

_~ r 1"

Dans ce trava~l le t~me plàce d'un corpsc "R désigna soit l'idéal max :imal P d'uri anneau de valuat idn

.

.'

0 de

R,

soit

"- _,..

0

un homomorphisme _~ de dans un corps ,R, de noyau

P,

•

"

étendu (comme fonet ion)

"-R

pos~t ~(x) si , l

O.

a en

=

00 x

3.--Le contexteor"détermin2r~ de. quel genre de place on parle. Lors-que l'anneau de valuation d'une place de R con.tient un sous-'

\. 1

corps K de R,

op

,dit que c'est une K-"placeode R, ou encore , qu'elle est variable sur K'

,

Sillon on "dit qu 1 eÎle est fixée sur K.

., ~

..

,

Un même corps R peut être vu' conune corps de fonctions

..(

~

'.

<

d'une va~iable avec diffépents corps des 'constantes. S~pposons_ qu'on ait arrêté Sflrl choix sur un t,~l 'corps K.: On parlera

places de R pour deslgner ses ~ .' K-placés. Cet ensemble est

, P (R) • _{On note aussi par Pl CR) , le sou s'-ensemble des places}

,

degré l, et par DivOq le groupe des d,iviseurs de R. Si

I>

E P(R), on identifie

'P

à

la fonction de P(R) dans Z

qui prend la valeur l en ~ et 0 en ~ si

<1

ft

'P.

Ainsi o

des noté

de

, ~ ))iv (R) peut être vu COIIune le groupe aœl'ien libre sur P(R),

Cl

noté multicativement ('CAF ch. 1 §7).

Supposons maintenan:t qu'on regarde R cQmme (corps d~

. fonct ions d'. une variable sur des corps K ;L,. . • alg.ébri'quem.ent clos dans 'R. Un diviseur cl de R sur K peu,t ,aussi êtr~

" -5-'" ,~

\

1 !

" J'

,

\

. /

....

,

( > "-"- '",--"\ -6-\ J

notations ~K(~)'- IK(c1) et' d

KCc1) pour désigner les .objets

L

tc!,), .e. Ut) et · ... d(c!) calculés de R ,sur K, pour tout divi-seur ,é! dé R sur K., Dé même si ' y €" R , - x on écrit

1 •

pour son diviseur sur }(, l'l.K(Y) pour son- divis~ur des pôles . sur K, et ~K(!)_ pour son diviseur des zéros sur

K.

Mais si

d~autres corps de fonctions d'une o '~

-..., variable "entrent en jeu, il -"

... • 1 .

peut être nécessaire d'ajouter

R

en indice s4uperieur... Une place

"

variable

à

.

.P _,-. de

R,

la fois sur

K

~t

sJr L jouit d'une

x

si R

'1

propriété importà e: y €

posant dan,s

~

'y) _{et dans}

,

dL (y)',

P "'1;Pparaît ',avec, le même ex-égal

à

l'image' de" y sous

~.

Une la valuation additive _~p de R )( dans Z \ .",."

as"5oc1.ee a , .

place P de R qui apparaît dans d'Key) sans ~pparaître' dans

d~y)

, est

d~nc"

variabie sur K mais fixée sur L. Ces der-nières

considé;~tions

soht importantes dans le

calcu~

des

divi-seurs

JVOir

Annexe II).

1 Soient R et S des corps de fonctions d' une

o variable avec

...,.

corps des constantes K

et

L respectivement. 'Quand on parlera d'un homomorphisme À de R dans S

A (s'il en existe), on ~up-' posera toujours, mais sans.-le répéter, qu~ À(K)

=

L.

1 Dans ce

cas, À(R) étant un corps de fonctions d'une variable sur À (K) ,

À (R) c S est une extension de 'corps àe fonctions d'une variable

~

(CAF ch. 4 §l) •

_On

dira en plus que À' est un K-homomorphisme

,

'si

K

=

L,

et que À est K-linéaire.

Fixons un homomorphisme' À de R dans S. Soient ~ une place À-ICO À-l<cr

...

\\ de

S,

-

.

n

K"CR»

n À CR» ". et 0 son qnneau de valuation •. Alors À

-.~

(0) =

est un anneau de valuation de R avec pou-r'

id~aî

maximal. On désign'e

'~ar

"À·

• • 0 ~ \

, '

"

...

, '.'

.

.

r

7-,

1

l'applicat.ion

cr

---+,À.-l(q) de peS) dans P(R). E·lle envôie Ir

À. (~) est déterminée

PIC~) dans P1'(R), car si

tf

E: P1(S),

par x (À. Ir CI{»

=

À -1 ( À (x )(

<I)) •

_.

.

,~ " _{, ,-} "

19, Supposons, que À(R)

=

S. Dans ce cas À est un iso-

---morphisme. Soient.

cr

u~e place

de

S)

0

son anneau de

, • 'i

valuation, et lT une unIformisante ~our ~. On a

q

=

lTO,

donc À -1_C

<1)

= À -lelT) -À -lCO),

~t ~{(lT)

_{est une uniformisan~e}

pour À 'le (<1). Or si X E R et" si a € il:, les condjtions

À(x) E 0

?

E À.":l e 0) , sont équivalentes. Celà donne

)

\l

<1 (

Ao( x ) ) Yje € R. Donc en éte~dant

il

À à un

homo--,

\

morphisme de DiveS)

.

dans DiveR), on trouve:

' ,

d'RCx)

=

À*(QSO(~U)

'lx

'E RX

<,'"

_G

~: C'est seulement dans le

"-À est isomorphisme

cas ou un

il "

qu'on étend À

..

a une application de Div (S) dans Div(R).

"',

"212. Dans le cas général, soit _ cf>;ja restriction de À:

isomorphisme

~~t;e

R et \ (R).

~

Lks définii:ions et les , un

~

r.ésùltats du §7 ch. 2 de CAF deviennent dans ce contexte:

..

..

a

Ci) Si ~ est un Jdi,viseur de R, on d~finit sa conorme

via À On obtient ainsi u"n

•

hom'omorphisme Con

À : Div(R) + DiveS) avec les propriétés:

R ' ' À " ( R ) ( )

S()

x

Con).

d

(x)

=

ConÀ(R)/g'

d

À(x)

=

èf

À(x) 'lx € $

et d(ConÀ t!) = de~)·[S\: À(R)] 'Il!. € Div(R). .'

(ii) Si

0

est un diviseur de S, on défin~J: sa norme Q

,

.

,-, ,

.

, -8'-

'l-.~~~_;>..

par N

À

Co.)

:=

$*(NS/1(R)

(D)) •

'Celà donne un nouvel

homomorphisme N;>.. : Div(S)' + Div(R) avec l~s propriétés ..

.

, N;>..(dS(y))

=

$*(dHR)(NS/;>"(R) y))' .dR( -1 ' ) = À (NS/À(R) y) . _ Vy <: -et d(N;>..D) ':

dCb)

VD E Div(S). ~

A chaque homomorphisne À de R dans S on associe 3

nombres: son degré d(À)

=

1S : ;>..(R)], son degre séparable

d _s (À)

=

[S: À(R)] _{_ s} et son degré inséparable d.CÀ) _1. = [S: ;>"(R)] ..

1.

Si

'Ç~ ,

T est un autre corps de fonctions d'une variable, et s'il

.

existe un homomorphisme ~ S + T, l~ composée ~oÀ est un homomorphisme de R dâns T de degré d(j..10À)=[T; ll(À(R))] = ,

-.

< " De ~ême on obtient \ 1...

..

\ \ \\ (

J

1

l

"

CHAPITRt l

'"

CORPS

DE

FONCTIONS ELLIPTIQUES

t. O

..

On supposera tout au long de ce chapitre que

k

est un , , ~ \

corps quelconque de caractéristique diff,érente de 2 et de 3.

§l. forme explicite des corps de fonctions elliptiques

Il ,_

Déf:inition: Un corps de fonctions e11iptiques sur k est "

o la donnée (R,~) d' UB corps R de fonctions cl' une variable,

sur k, de genre l, avec - k pour' corps des constantes.., qui

<0 ,

pos·sède. au moins une place de degré l, et d'une telle place 'è

_..

de' R. On que R lu,i-même est un corps de fonct}ons

elli~tiques lors

de degré 1.

ne yeut pas préciser le choix d'une place

(i) Soit (R,~) un tel objet. D'après'

CAF ch. 2

§3, R

=

k(u,v)~

avec U,V E

L(~-3)

tels que

v~(u)

=

~2,

v'è (v) = -3 et satisfaisànt v 2 = BI (u) où BI eX) =

est u; polynôme de k[xJ de degré '3 sans racine mUlt]fLe. En posant VI

=

_2ao

v

et _{u l}

=

aou, on

2 3 2 . 2 , .<:

trouve VI

=

4ul+4alul+4aoa2ul+4aoa3' Puis en posant y

=

VI' et x

=

u

l

+

~

al on obtient y2 = 4x 3

-g

2x-g3 pour certains

~

g2,.g3 E k.

ori

a encore R: k(x,y),

V~(x)

=

-2 et v'é(y) =-3. De plus le polynôme 4X3-g

2

x-g

3 ' n'ayant pas de racine multiple 3 2

son discriminant b

=

g2-27g3 est non nul.

Supposons que x ',y' E R aient les mêmes

propriét~s.

(

C' est

à

d ir e R = k (x l ,y' ), X l , y" E L

(~

-3 ) , v'é (x ')

= -

2 ,

-9-\

-) -f

\

-10-V'é (y r) = -3 et yl2

=

4xt~_gtxI2_g' 2 3 fj t" = 1 3

~

2 7 ! 2 ..t '--, g2 g3 t- û. ,çorrun~ J L ('ét-2 ) ::: on a X' = et coefficient s de XY, y et

X ,

2 (

.

où

avec < 1" x> <l,x,y>, . pour certainsr

et

d'où

_{b 2 = b 3 =} <1₂ =,

o.

c~e le facteur

de

proportionn~l±t~

est

b~,

on trouve encore

~~

=

et 1 ~~ b l g3 - g3 b l· Soit c = al ' alors' .b2 2 l al =

_'2

= c b3 ,\ et b_l

₌

_3"

l

₌

c 3 et on a obtenu: al al

,

= c2x 1 3 1 4

,

6 1 = c12 6 c f. kJ( • X

,

_Y

=

_{c y, g2 = c g 2 ' g3}

1

_{c g3 et 6'} avec 3

_g~3

~ , j g2 j 1 _j

.

,

_qui

SlJon pose =

r et

=

_V-.

on a = J , ce montre que le nombre J est bien détermidé, on

l'appe~le

l'invariant

1 i

1

de (R;~~). .. Eiüin, tout élément- Co IE:j k>( donne\tn 'nouveau

2 3 )

couple (c x,c y) avec les mêmes propFiétés que (x,y)._ On dit que ce sont~ des couples associ~s

à

(R,~). (On verra en li

,.

-annexe que la ramille de couples de constantes (g2,g3) ne " Vi3.]:'J.:e "pas d' une pace e l d R de degre' l a" l'autre.

? Donc' j

l

est 'un invariant de R.)

(ii) Réciproquement, soient g2,g3 E

k

tels que 3 . 2 1

g2.-27g3 f:.

o.

Si x est une transc'endante sur k, le pQlyn6me

2 3 or r~

y -(4x. -g~x-g3) E: k.(x)[Y] est irréductible. On adjoini; à k(x)

'"

)

.

,.

...

Y~-(4x 3

une racine y de celui-ci. Corrune -g x-g ) reste lr-2 3

réductible sur f(x) , k est le corps des constantes de _,

'"

R = k ex, y) • En effet Sl u E k"n R ,:. [R k(u)(x)] = 2, donc

keu)(x)

=

k.(x) et u E k.

12. Le~ _éléments x et y ne possèdent qu'un seûl pôle 'é, V~('x')::: -2, V>é(y) = -3, et 'ê est une place de degré l de R.

Soit ~ une place de R qùi relève la place ~(oo) de kCx). De"la ~relation

2V'ê(y) = 3V'ê(x). Corrune \ égal à [R: k(x)]

=

2,

2 - 3

Y

=

4x -g2x-g3' on tiDe y(~)

=

co ef

v (!) est un

~entier

naturel au plus

~ x c~là implique v Cl) = 2 'é x et L'égalité k(~), donc

V'é(~)

= 2

~ontre

que 2 Con k (x) IR

'P

(00) = 'é et

est 7'amifiée d'indice 2 SUl;' ~

'é est de Begré 1.

22. Le corps R est de genre 1.

,

.

,

D'abord R ne contient pas d'élément avec 'é pour divi-seur des pôles. Cëj.r si U E R é,tait tel, on aurait x '= A(u)

et y r= BC,u) pour certains polynômes A,B' E ,klXJ de degré 2 '

',1 1

et 3 respectivement. En appliquant à l'égalité

~(X22

=

3

4A(X) -g2A(X)-g3 la dérivation par rapport à

x,

on trouve que B (X) div is:e Cl2A(X) -g2)A'CX). 2 Or 4Y -g2 Y- g 3 3"\ et # l2y2-g

2 sont premiers

entr~

eux diins k[Y], dohc

4A(X)3_g2A(~)-g3

et _{12A(X)2_g2 le sont aussi dans k[XJ.}

"

..

On. en tire qûe BeX) divise A' (X) , ce. qui est une

contra-' . \

\ -

..

diction car AI est de degré 1.

Pour chaque entier naturel n ~ 2 , on pose u = x n/2 n

est p~r, et ' (n-3 )/2 . est impair. Alors

51 n u = x y Sl n

n

~n _{est le divi~ur des pôles de} 11

n 51 n ;:: 2 , et on • a

,

_,

, '

.,

.

..

,-,

'\

"

.

\

-12-,

=

_{<1,u 2,···,un}

>h.·,

Comme

pour D-' assez grand, le génre ',de Rest 1.

"-.

,

On peut' résumer ces résultats 'comme il suit~

Proposition 1: Soit (R,'é), un corps de fonctions ellip- ;'

\

<- "

tiques sur k. On peut trouver x ,

,y

E L Cé -3 ) tels. que

R

=

k (x, y) , et

3 2

g2-27g3 f.

o.

Si x'

,y'

E R ont les memes proprletes, avec _~.. ...- .., ~ g2 tl

,

"lieu de'

\

1

ft

et _g3 au _,g2 et _{g3 '} on peut trouver c E tel ,

x'

2 .y' 3

,

4 et

,

6 que = c

x,

= c y, _g2 = c _{g2 g3'}

₌

_{c g3"} 3 2 Réciproquement, si g 2 ,g3 E k avec , g2-27g 3 i- 0, et si 3 2

ex,

y) __ k-s:J;; "

..

de transcendante un zero 4X -g X-g -y avec x 2 3 . / sur k, le corps k(x,y) muni du pôle ~ de x est un corps

;-de fonctions elliptiques sur

k.

C'est ~ dire que de cet~e

manière, on obtient tous les corps de fonctions elliptiqu~s sur

M("

'k.

En particulier, ce sont des corps de type séparab~e sur ft.

sz.

Le groupe des rilaces de degré l

..

Pro12osition 2 : Soit (R,'ê) un

, ,

corps de

Q

tiques sur h.. L'ensemble Pl CR) des places

,

forme un groupe abélien dont' 'é est l'élément P1(R,'ê), 'sous la loi de composit'ion suivante:

fonctions ellip-de ellip-degré 1 de R

neu:tre, noté

Si _'?1,''?2 € Pl(R), l'espace

L(

~

)'

!>

Ir>

2 est de dimens'ion

l(r>~ï>2)

=

d(t'~t)2)

_{= l car} d

(Ï>~lS2

) > 2 genre(R)-2 = 0, _~r

cpnséquent pour un certain u €

k,

et

est la place de degré l définie par _cr(u

_L

₌

'é(Ï>1+Ï>2 ) _'Pl

_'P

2 1

/

c

-:-"

-13-...

preuve: Comme dO):::: l

=

~

v'P

E P1CR),

~

est un élément,

~}l

neutre. Si }l E Pl CR),

Ï"

E

Pl(R~'tellé

d(~2)

= 1, et i l tgexiste une unique

que

11:'

~

2 l,

r::

d'où

et place

~+~' =~.

Donc tout élément de

P~R)

possède un inverse

à

gauche et

à

droite, la loi étant commutative. Si " ~1'~2,ÏJ3 E Pl CR), alors

'P

_l

+'P

2 ,(Pl+)!2 )+'P 3 € Pl CR), et on a:

•

C

(1\

+}l2 )+l'3 )'ê (!JI +!J2 )!J3 ") G (~l +1:>2 ) ~ 1 , et ~ ~ l ~

,

'Pp"

2

Cette dernière re atlon l

~dJ"

etermlI'le unlquement . . ' . . P,ar

Soit (R ,è) un corps de f onct ions elliptiqu es. En procé-dant par induct ion sur n, on trouve que si 'Pl' .. · '

'Pn

E'

.,.., 'f-, ... n-l

""'1 + •.• + J:-'n t:::!

-est un diviseur principal de R.

"

Donc un diviseur ~formé de places de d~gré l de R

sera principal si et seulement si 'Pl + .... T 'Pn = _<11 + ••. + <1n' ~

remarque: .En général, on peut définir une application

S : Div (R) -+ _Pl(R)· Si 2f € Div(R), . S(~) est l'unique place

'éd (à')-lSC:ï) é>

de degré 1 de R telle que ".1 l~. On vér'ifie que

2t

si ~,b É Div(R),

s

(.~D)

=

S(cr)+SCD) dans Pl (R, ~).

Proposition 3: Soient R et S deux corps de fonctions elliptiques sur k, et À R +. S un homomorphisme. Soit

- ,

"

.

f,

'.

,-14-•

Alors Ereuve: Soient

cr

_l

,cr

2 E Pl (S,1). p,,{l(.')I1'défini tion on 'peut trouver

>.Y_i1 +q2

f

y E S tel que J(y) =

cr

_{l <t2} En appliquant' NI. aux deux membres de cette égalité, on trouve

.

.

.

C'est

à

dire que

§3. Forme explicite des piaces et de la loi de groupe

Soient (R,~) un corps de fonctions elliptiques sur fl, et (i,y) un couple d'éléments pour (R~~). On a

2 3 .

Y

=

4x -g2x -g 3 pour certains g2,g3 E

k.

" 0

Proposition

4:

Les places ~ de Pl (R)\{'t;} oont en

bi-~ , . 3 2 2

j ed:ion avec les 4éros de 4X -g2X-g3 -y dans Il, sous la

corresp~,n~nce fj ~ (x C}» ,yCI»). Si

';,I>

~st une place

quel-conque de R" le 'Corps des résidus de

'P

est· k.(x (~)·,y(P».

pt'euve: Soit _1>'1= ~ une place quelconque de R, et soit E son corps .des résiaus. La place

p

n -kex) de fl(x) ne con-tient pas

-

l

,

elle est donc déterminée par un polynôme

ir-x

réducttble A(x) E kCx] n }le

••

• $. ...

On la note }lA' Son corps des résidus est k(x(~).) 'c

-r.

Si yCI»

i

k(x('!»), on a [E .. : k(xCI»)] ~ 2 d'où

C0nk.Cx)!R ~A =~. Dans Ce cas, ~ est l'unique p~ace de R

~

..

l.; -"

-15-...

1 , /

qui contient A (x), ~Cx('P) ,yC'P» est son corps des résidus,

1;

et _..-, A(x) _{est une uniformisante pour 15-} ,

Si y(!» E k(x('P», il existe B(x) E h.[ x] tel que

'y-B(x) _E

_lS-

_{En plus de montrer que}

r

₌

k(x ('1>)) , on va montrer que

..

~ est l! unique placef,de R qUl contient A(x) et

y-Bex):

Si B(x) est premier a

"

A(x) , l'automorphisme a, de

k (x, y) sur k.(x), déterminé par a,(y) = -y, envoie _~ dans une place

_cr

qui contient y+B (x) _{et qui relève 'PA' Comme}

"

k est de c(ract~ristiqùe différente de 2 , on a _~ f:.

<{,

d'où

"

Con k (x)

IR

}lA =

}let·

Donc

.

}> est de degré relatif l sur ~A et , A(x) est une uniformisante pour }J.

Si au ccntraire A(x) divise B (x) , _{il s'en suit que}

Y

E

15,

et A ex) divise

'Comm.e tous les facteurs de sont simples, on obtient

V~(A(x~.) =

VlSC4,X3_g2X-g3)

=

2V

lS(y) et Conk.(x)/R lSA =' ,lS2_, 1

C'est à dire que y est une uniformisante pour op et qU,e 1:

=

k.(x('P».

Enf in si est un zéro de dans

k,

le corollaire 2 du théorème l du ch. 1 de CAF mont~e qu'il

~xiste une place

lS

de R qui contient x-~ et y-no Par

ce qu'on vient de voir, ces conditions d€terminent uniquement

"-'P

et son corps des résidus es"!.; k(~,n)

=

k.

On détermine dans k.3\{(O,ü,O)} des classes d'équivalences

~

en posant _{(xo,x l ,x2}) "" (yo 'YI 'Y2) si i l exist,e c li: f{, tel'

que (yo'Yl'Y2)

=

(cxo,cxl,c~2)' On note par

la

classe d'équivalence d'un point (x_o ,x_l ,x₂) [(x

o,xl ,x2)] ?

-16-et on note par p2(k) l'ensemble de ces classes,

Considé~ons

' n • 3 2 3 2

le polynôme homogène 4Xl-g2XoXl-g3Xo-XoX2" Si , . (x

o,x1,x2) E k\{(O,O,O)} est un

zér~

de ce polYl\ôme;- tous,

les éléments de [(x

o'xl ,'X2)] en sont ~ussi des

q~e '[(xo,xl'~2)]

en èst un zéro dans

Il?~(k),

'-,

zero s, et on dit

Corollaire 1:- Les places"de Pl ~R) son't en bijection avec les zéros de 4X3l-gr'X2Xl-g3X3_X X

2

2 _{dans 1J?2 (/,,) sous}

l'appli-. T " o , ~ 0 0

cation ~ -+ [(O,O,l)J et

lS - ...

[O,x(~),Y(ÏJ»] S l ~ f:. 'é. ~

preuve: Supposons que [( O,xl ,x

2)] soit un z"éro d.u polynôme en '

~ 3

question. On trouve 4xl, = 0, donc

... [(O,x₁,x

2

)J

~ [(0,0,1)]. Les autres zéros dans Il? 2 (k) sont de la forme

y'

[(l,x,y)] "

ave,c 4x 3 ~g2x-g3-Y 2

= 0,

et la proposition 4 nous apprend que ceux-ci' sont en bijection avec" "les p_la'~s de Pl (R)\{~} sous ',la correspondance

'P

---+ [Cl,x('P),y(tp»]." Q

l

est déter~

,

pti'euve: Le diviseur des zéros de x-x (~) _{est Conk(x)!R~x_x(~)}

Comme y-y(~) E~, la pr~uve de la proposition 4 donne

•

.... ~2 Conk,(x )!R'PX - X Cl» = si Y('P ) =

°

'Pq-

siC' ·Y('P) f:- 0,

"-cr

est la place de

=

ou

déterminée par x(cï)

₌

x(~) et yC<!) = -y('P). Comme le divi-seur des pôles de x est 'é2, le résultat suit.

R

Etant données deux places

_'P

l ,Ïl2 E Pl(R,'é), on va calculer x(~1+lS2~' y (!>l

+'P

_{2 )} en termes de x('fJ.),

• 1 yClSi ) i=1,2, De

!

explici teme,nt .déterminé _Ï'1+lS2 d'après ' cette façon, on aura

l',

~

" '-'

.

l

.:..17-" , . la prop0sition 4.

"-Le r~su~tat est connu Sl ~i =~, ou ~2 =~, ou

~l,

=

r~2· Le reste se divise en deux cas:

..

12.· Si ~l i 't>2

On a d'où et le

..

ou

divisèur entier de degré 2. Le diviseur de

cr

₁ ,est un y+y (~1) est donc x-

xCP

1) et corrune Y+Y(Ï>l) x"':xCl)l) cherche d € k tel que

" <t' x-xCP

_{1) -}

x(~2) - x(P_{I )} ~ 0

Y+Y(~l) - -yCI>2). + y('P_{1 )}

Qn a

D'où

~

'est premier à 'PI~. On

ait. un \zéro en

où

o'ù

b

_{l "} es't un diviseur entier de degré" 2. Par symétrie çm obtient --"'. 'Il ) 1

•

/ a

.'

• q

j

. \ " • r ( -18~--, ( 2 ' . 2 )

b

2

(-~

1 )

<lS

1+ 'P 2 )

d

4(~

t x x(1)2)t x

('P

_{2 ) )-g2"Td(Y-Y(Ï>2))} \=

~4

où

t

2 est"un diviseur entier de degr~ 2., Conune '}l-1+'P₂ 't.~,

'P

1+'P2 est un

zéro

de ~

4~,x~x(1)1~)-X('P2))·t

.x('P 1)2 ;: x('P2)2) +

d(Y(~2)-yt'Pl))

, "\ Y('P₂)-Y(l>1) = ? , 4(x+x(iS 1 )+x('P 2 )) t ct x("P 1)- xCP 2) E 'Plt~2 \ 1 2 =? X +, x('(Jl~'l t' x('P 2) -

"4

d E 'P1t'P2 , ~~ 1 2 =? x(]'J"1+iS 2) = -x(~l) - x(Ï>2) + _~

"4

d •

-Comme le diviseur de ytY(~l)+d(x-x(~l» est

'l . , on a

Y~'Pl+'P2)

=

-Y('Pl)tct(2X('Çll~X("P'2)- ~

ct2).,

(-ï>J.1)(-'P

₂)

('P

₁tÏ'2) , '@3

\

22. Si "Pl =

'P

₂

=

fJ·

~ hypothèse

'P

t

-'P signifie que y(~)

t

O.

On a comme

~

,'tout à l'heure J(ytY(fJ)) =

L

où

~

x-x('P) ~'é est un diviseur entier

.

/

.

de degré 2~ et premier à Ï>~. On cherche

q

E k tel que Y+Y('P) + d ait

un"z~ro

en -'(J:

~ Donc pour .", est l 2y('P) t;> è . 2 2 " [ 4 (x + x xC.'P ) + ~ (~ ) . ) -g 2 ] 2 02x (iS) ,-g2) mod-iS l 2 d

=

2y('P) (l2x(-p) ,-g2)' le diviseur de On cherche x(2~) et y(2~):' 1 2 ...

=

y-Y('P) [4(x-x(Ï»)(x+2x('1S»+12x(lS) -g2+d (y-y(!:»)]

=

y-"y7'P)

[4(x-x(~»(x+2x('P»+d(y+y(rs»]

• c'

l

!

-19- ~, \ ,~ • 1 •

..

.

~

.

_<l , 'bc-~)(~)

=>

a(

_{4 (x-x}

_CI?»

_{(x+ 2x (15-) )+d {y+y (l)?),)".= .}

_{' où}

t

_{est un}

~~ . "

. J.

~

divioseur èntier de degré 2 premier à ~.

,

·C-I?)2CJP)

<, ~

cr(

('y+ya(~»+dex-x(r>»)

D'autre: par:t

=

donc

-

0 .

,

~3

,

.

,

. d)' ~ ~

.

ct(

4 (x-x

('1» )

(x+ 2x

('1»

)~d

2 ex-x

C~»

) ( -'}>)( 2I> )~ , "'- • "'-

=

ou ~ est un l'. QI ~4

.

.

0

diviseur entier de degré 2.

B..., f

cYl

x:.2x

CI?)

_ } d 2 ) (2~)~

.

=>

₌

_{et comme 2~ ~ I?,~,} 'P~2 xC 2~)

₌

_{-2xeI?) +}}

d~,~

0 ...

.

~

• Enf in comme ( 2~ est un zero de ~ (y+y CI»)+ d J (x-x Ct» ),

~ ~ ~ y (2'}»

₌

-y('P)+d(3XCP) -

t

d2).

J

' ê"----.. ~ _{o \ '} Q

1

.

-.

..

"

1 _" ~

-<:>

\

1

.

..

-

110

.

) ~

..

~ 1. (1.

:~

J,II <IIfIIII>- b

.

\ 11~ ~ • 1

;)

,

"'- _"

l

/

.(

..

' ,J ( )

-, \ ~ 1 L

"'"

,. _"\ " . )

\

.,

1

'-'~

]

.

, o ,

.-;

,. ~

'"

.r

.

, '.

-~

~ ,

..

'.

'n II<

..

'Q 1 1

(

"

..

• c CM'fITRE II LE CAS COMPLEXE'

J1. Variété associée

à

un corps de foncti~n~June variabie,

sur ~. ,\

'-Co~ençons d'abord par un ~ésumé des résultats des 51 et.

Sait

~

..

~~

)

un corps de fonctions-d'une variable sur ,~.

...

S2 du

ch.

7

de

CAF.

R

Po~r cl}aque y € ,R', on obtient uIÏë fonction y de .,.1'1 (R)

.

-d~s

r,

la sphère de Rieman~, donnée par ~; yC~). On donne

..

l'u~ique structure de sur~~cé de Riem~nn, pour la-quelle les applications y _Pl'R) -+,1: avec y € R soient

",0

ho~orPhes:

.

'\

toutes

la, opo{ogie SUI'! PfCR) est la mQins fine qui rende

.p.

"'-continues, toutes lés _{apPlicatir°ns y} : Pl (R) -Jo

r,

avec _QY € R.

.J

.' On montre alors que si

l>

€ PlCR), ·et si x € & est une

unJ.-o l

,formisante. en

_''Po'

il existe un ouvert 1 V de , Pl (R) con.,.

...

tenant flo tel que

x

V -+' ,Bo(O,E) c (:~ jPit un homé'Omorph~sme

pour un certain E >

o.

'On dit q~e

t

est .. un x-ài.§;que de " ,

centre ~o' Av~c cette topologie, Pl CR) J est compact. \ "

•

- ol.es applications x 0: V \> -+' C pour chaque x " € ,R, et'.

1

l.:JIl

système'

con~nt

de" cartes.

chaque x-disqu-e V, forment

locales.

PI(R)

devient une v~iété çomp~exe,.et on montre q~e

..

.

y

€

R,'Y :

Pl(R) -+

r"

est' holomorphe.

,

.

'1'i

\

. Si

.ê.

est ùne surfacer. de Riemann" on note par

MeS1

1

~

eneî.emble de9 fonctions méromorphes de §., c' eS"1;

à

.dire les fonctions holomorphes de 'S dans. 11. ,Si

's

est compact~, on

-20-.

,.

.

,

l ' ;-" 0

•

"

•

•

" -21-•

"

,

~ontre que M(~) .es~ un corps de tcnctions d'une variable SUI'

~. Par le'thm. 4 ch. 7 de CAF, l'application R + M(P1CR)) ~

"

.

'définie plus haut est un isomorphisme de eorps.. de fonctions "

, 1

dl

un e var iable sur '-T'ordre de f en

_1>

~. Enfin si f € M (Pl

(RY,,"

et

1>

€ Pl(R),

PlCRJ

c~e ~

onet iOJl ,

~omonhe" ~ur

~'P

(y,)< ou y est l

'~ent

de R

(noté 'Çlrdl'f)

.

est qui

correspond ... a f.

,

Définition: Soient ,§,l et S2 deux surfaces de Riemann, et 'À : _S<l + §.2 une fonction h<;>lomorphe. On note par

..

M(~2 ) + M(§.l)

je

li

À 1; application aonnée par À ,(f) = foÀ

\ ,

'If € M (~2 ) • C'est un homomorphisme de corps de fonctions d'une

.

.

, ...

variable sur IC.

,

Propositio'n 1: Soient R et S· deux corp~ de fonctions, d'un~ va~~iable. sur

..

.

À ,: Pl (S +, Pl (R)

c .

Si À : ,'R -+ S est'un ho~omorphisme,

est holomorphe et ₁ À ict =·À. Si

ll_ : Pl (S

2

~ Pl (R) est une fonction holomorph~, II ._: R

*.

-+ S

est un homom9rphisme et

~Phi'smes

de ,R dans

**

fl =:: ll. ~'est ~ire ~-e les

C-homo-S spnt, en bij ection avec les fonctiQns holomorphes de dans

_{P 1 ( R ) o ) ,}

'Ir

pl'euve: Soit À~: R ~ S un homomorphisme. Si x € R, (xoÀ ) (cV

• ',='X'(À*«I) ='(À1x»)(cI)'

'N

€

Pl(S~

Comme" À(x)

€:

S~là

, . . 1 . 1 > ' -~,

montre que, xo~ ~l(S) + L est holomorphe, et pU1sque ce résultat est vrai ,pour 'chaque x € R, À t ,est holomorphe.

o •

,

*".

:L of

~'~PPlicat~on _ À . : (R =, M(Pl,(R) -+ M(H_I (S», = S ~voie un

élé-**

.

R dc3;ns l'élément À (x) de S qui satisfait· ..,.ment x de

*

.

tic

-:: (xoÀ )(<1') Vct € Pl~S). Donc',À (x)

=

À(x) 'Ix € R

~

C~

''''\x)

)(cI) . ...

.~.

, l

.

\ • 1 , 1

-~

..

_' ~

\

"- ,

-22-•

et lie*

₌

À. \

Enfin so.~t l..l PICS) + Pl(R) une fonctio~ holomorphe. Si

cr

lE: PICS), on a

icok if .

x(l-! (~» = (l-! (x).) (q:)

donc ll**Cq:) = lf(~) •

12. Le cas où le genre est l .'

Un

réseau

A

de

C

est' un Z-moctule'de t de Id forme

"t 2'~' + '2'd

2 avec Oh écrir?- aussi

a₂ linéairement indépendants !ur .IR. pour désigner ce réseau. On donne

à

(lA la to~ologie quo~ient, alors la projection canonique

de" ( dans (lA, not~e 7T

A, est un revêtement et t/A

possède ·une unique structure de 'Il.ariété compl.exe pour laque.J.l~

est un isomorphisme'local. _{, '} ,

Proposit;ion 2,: Soit R ~, corps de fonç:tions ellip't,i'ques sur

t,

alors il existe un isomorphisme complexe

-~

: Pl

CR)

+ C/A pour un certain.réseau

,A,

de

C.

,L'applica-tion duale M(~/A) + R ~st un' C-isomorphisme.

, '

Soit ~ E ~3.. (R) , et un couple.

, • 1

d'éléments p'our

On

pose

il

= x, 0 _<p -1 ' _{0 11'} A . e t,

, ' , ",:,1

'P

,= 'y0tp olT

A, ce sont des fonctions méromorphes sur

C,

périod,e' a pour' chaque' • a E A. On P(~ut cho·isir <P " telle que

$-.(~}

= 0, et qi.'le

'P'

(z.)

=

~z

"P,<z')

,s~r

f-/A. Alors les pôles '<, ' de

F,

et de

-P'

sont les points de A, c,e ,~ont des pôles

doubles pour

p.,

et triples pour

-p'

'0'

C'est le thm. 17, ch. 7 de CAF. t La 'd,émarche suivante

, "

n'utilise que les "moyens du

bot-d".

\ r . " \ \, 1

l

!

.-,

.., _{, \}

-2~-Soit 4X -g2X-g.s-Y '3 r 2 le polynôme irréductible de' (x,y~ "

sur C.

1S? ,Topologie de Pl (R).

L~appli~ation. x : Pl(R) + E, est holomorphe, et o'est un ,d iff éomorp hisme local en chaque point

.

..

p

€

PICR)

tel que

, \

~~(x)

=

-l, ou'que _xC!»

_1r

oo _{et v}

p

(x-x

(I» )

=

1- Or x ne pO,ssèd

7

p as de pôle d'ordre l, et si

1>

f. 'è, le diviseur de

~

x-xCI:»~ est ~(-~ ...

-fJ

e!t l'inverse de

. 'P '

dans

~2 ou ,.

\

Donc x n'est pas un diff~omorphisme local en ~, ni aux places

'P

€ P l (R,~) telles que

P

=

-I>,

\ c'est à dire dUX

zé~os t._l " '%2 ' e t :t

3 de y. Ces 4' places s0I:\t des points

doubles de

x.

Enfin par le thm. 3, ch. 7 de CAF, si U eqt un ouvert de

~,

contenant p E {~, t'l' 1:

2,:t'3 }, il existe un ouvert V de L _{contenant xC!»} tel que pour chaque

·z

1; xCP) dans

V,

i l exi$te exactement 2 places de U dont l'image est z. C,',est

à

(j,ire que x-leV) cU.' Conune 'X est continue, cetà mont~e que si {Va} est une base d'ouverts de

L en x(P), {x-leVa)} est une bage d'ouverts de Pl(R).

en,

f>.

\ \

La restric tion de x ... a est u!}

re-'-v~tement double de E\{oo,x(t'l),x(t'2),x(t'3)}. i=1,2,3 (c'e sont le's 3 zéros de

4x3_g2x-g3)~

On pose

En renumérotant au cas les e,

l. et les 1. ' , l. , on peut supposer. que le tri~gle e

le2e3 est orienté dans le sens direct. Soient .

l .

~ = J(e

_l

+e

₂

te

_{3 ), Di}

=

lb'

{(ltt)ei-tb·; t ~ a} i=1,2,3 et U

=

C\ 0;)1 u D

2 u D3). Cl est un ouvert simplement connexe, de, ,(\{e

l ,e2"e3}. Il se relève donc en 2 ouverts disjoints uCl)

-..1

"

;:-

-24-et de Pl(R), par des homéomorphismes

avec i=1,2.

On "'--. cons~dere pou~ .... chaque paire d ent1ers 1 • (i, j ) avec

,

T .. '= 1J {(l+u)«l-·t)e.+te.)~ub; 1 ]

l

s

i < j ~ 3, le "triangle"

t e: [O,;LJ~. u e: [O,CXl)} U {co}. C'est un fermé de 1:, dont

o

l'intérieur T •.

~J est coptenu dans

u.

Soit T .le convexe de

SUI' el' e₂ ,e 3 • ,On montre que les restrictions de et o

de feZ)

à

T\{e

1,e2,e3} et

à

T·. 1J se prolongent

à

des ,plon-gements de T et T ..

1J dans Pl(R).

On. prolonge' f (1 ~

à

une applica~ion

en

po~ant

g(l)(e.) = 7:. i=1,2,3. Soit

'. l 1

alors gel) : T + T(l) est une bijection, et

de

T

dans

T (.1) =

, (1)

T,\{el~e2,e3} + T \b~'1';!2,:t3}, un homéomorph;i.sme.

Pour chaque ouvept

0

de ~, on a

(1) l (1)

f (0 n (T\{el,e2'~3}» = x- (0) n f (T\{ef,e

2,e3}), et donc g(l)(O nT)' = X-ICO) n T(l). Par une remarque précédente, celà montre que g Cl) \ envoie

~ne

base d'ouverts de T en e. dans

1

une base d'ouverts de TCl) en

l.

l i=1,2,3. C'est à dire que gO) : T -+ T(.l) est un homéomorphisme.

Comme T .. \{co,e. ,e.} est un sous-espace localement

con-1J 1 ]

nexe et simplement connexe de (\{e

l ,e2,e3}, f (1) :

T..

1J -+ Pl (R)

, (1)

se prolonge

à

un plongemènt. f.. : T .. \ {w, el' e 2}

1J 1J ' -+ P 1 (R). a v ec

(1) xof ..

1J = Id. On prolonge f , 1J ,

~ ~)

'à une bij ection

(1) g. . : 1J T .. 1J -+ (1) et g.. (e.) = :t ..

il-)

J J (1) " (1) g ';J' \' (w)

=

~, g.. ( e .)

=

t:. ..L 1J l 1

Comme tout à l' heure, on -trouve que

(1) -1

g .. (0 n T .. ) = x (0)

1J 1J pour tout

o

c C. C'est à dire,

"

-25-par la même remarque, que

,. nt-

g.. est 1J

e. et 00'

J

,

et donc un homéomorphisme En procédant de même avec f (2 )

,

morphismes g (?) : T + T (2) et g .. (2 )

lJ

un homéomorphisme ID global.

on trouve des

homéo-(2 )

: T + T . . • 1J

è Pour la suite on conviendra d'adopter les définitions

" suivantes, adaptées à notre proJ:Hème.

,.

t

e i ,

Si

_{Xi' . ; .',}

_{x n} sont n points de 1R2 _{, j} avec l ~ Tt ~ 3,

et affinement indépendants, on note pat'

fx

l ' ... _{,xn )} convexe qu'ils engendren\t. On dit qu'une fonction

".

0 : (xl, •.

~,xn) ~R2

est affineosi elle est lare'striction'à

(~~,

... ,xn) d'une

tran~formation

affine non dégénérée de R2, ,

Alors toute foncTion affine de (xl'" "':n) dans fR2 est ùn ,,) plongement'; et elle est cl,éterminée p'ar ses valeurs en

Xl' •.. _{,xn '} On considère le convexe

" ,

\,

où.

sl

=

(0,

a ) ,

s2 = (0,1) et

.p

et On dira, qu'une fonction g : A + B avec A,B c C est un collage si A et B sont des unions de faces de

C,

et si g est la restriction à

A

d'une fonction af-fine de C • dans C q'y-i permute les s· .

~. l

Si

X

est un espace topologique, on appellera trian-gulation de X (s'il en existe) la donnée d'un nombre fini de plongements o. : C + X J et n X

=

u

l 0'-1_{00 .} .i ] o. (C), ] \'

: 0:-

1 ( cri (C) ] un coll 'age if

ï.,

j . j=l, •.. ,n tels que f Supposons que T j : C + y

'J

=

l , ••• , n so i t un

e-J

soit

"

1

-26-triangulation d'un autre espace'topologique Y, telle que pour

~,'

chaque i et J _{o:-l Co .(C)}

n

o·CC»:< T:-1CT.CC) n T.CC»··

'. ] l ] J l· J

et que 0:-1 00 : et 1':101'.

co~cident

sur cet

ensem~~.

l ] 6\ l ]

Montrons que ·dans ce cas X et Y sont homéomorphes. D'après les conditions ci-dessus, les homéomorphismes

-1

L.OO. : o. (C) -+ 1'. (C) définissent' par superposition une

bi-L J J J

jection g : X -+ Y.' Soit F c Y, on a:

F

fermé

de Y ~ F n l' .

\

CC) fermé de _{1'j CC)} j=l, •.. ,n ] 40- -r-:l(F) fermé de _C

"

J -1 fermé de cr. CC)

_"

~ 0.01'. CF) ] ] _J ~ g-lCF) na. CC) _{fermé de 0j (C)} If ] ~ _{g -l CF ) fermé de}

.

, _X

..

"

ce qui montre que g est un homéomorphi~e. ~

On procède m§."intenant suivant ,?e schéma. D'abord on trouve

,.f

.

'

une triangulation de Pl CR), ensuite on construit un espace -'

.

topologique de présentation pl~s simple, qui possède un~ trian-gulation avec les mêm~s coll~ges.

Ci) la-ftriangulation de Pl CR) •

.-"

Soit (i,j,k) une permutation de (1~2,3) avec i

<.j.

~ ,

, '\

On définit un homéomorphisme o .. : C -+ T .. par

l ] ~]

o .. (

(l~u)

( (I-t) s . +t s. )tus

k) = -Il (O-t) e· tte]. ) -

~

ri'

~] , ~], -u ~ l-u et O .. (sk) t-J • \ Alors la restriction de par O . . (s.) = e., l ] l J. et

espace vectoriel .v-éeU.

t E [O,1J, u E [0,1)

o.. à (,s., s.) est affi,ne, et donnée

l ] l ]

O •• Cs.) = 'e. (on regarde (: conune

l J ' ] ]

cr :

C

-+

T

l'àpplication a~fine

1

"--"

,

1iI" -27-Cv) "(v) donnée par cr(s;)::: e; i:::l,2,3. On pose cr .. ::: g ocr·.

.... .... ~J. '1.J

et 0(\1) -

g(~)ocr

\1,=1,2, 1

~

i < j

~

3. On montre que les

a~~)

et crCv ) forment une triangulation de Pl(R) ••

1.J

On a T (1) n T (2) = {t 1 ' t 2 ,t'3 } et T (1), n Tg) :::

T(2) n

T~~)

::: {t'.,:t.} 0 l s i < j $ 3,' car U(l) f) U(2) =

$'D.

lJ l' J '

Les collages respeq,.t if s sont

/

.

,/1)-1₀₀(2)

=

, la;'permutation identité de {sl,s2,s3}

a~l)-loo~~)

::: lJ -1 (2) Cl) 1 · · · . . { } l . . 3 cr ocr·. = l ldént1te sur 8·,8. , S l < J S .

~J . 1. ]

. Comme 'T(V) n TC•v.) _{::: g} CV)« _e.,e· »

1.J 1. ]

correspond les collages

~

l'identité

On cônsidère

courbe donnée par

8ur (v ) . = g .. «e-,e.)), lJ 1. ] (s.,s.), 1. J " i l leur 80 i t y : ( 0 ,00) -+ D 2 la On a T(}.l) f) T(V) = 12 23 (}.l) Cv) { } (V) + (v) + , g12 (D

2u{oo}) ng23 (D2u{m})::: Z'2'~ u(g12 Cy(lR

»

ng23 Cy(R

»).

~ ·C).!) (v)

Comme les courbes g12 0 Y et g23 0 Y sont des relèvements de

j y, on aura r (v) , g23 0 Y ou bien +

ift lE R . Soit E: > 0 tel que e

1,e3 '- BCe2,2e:BeZ-bO):" On

con-sidère la courbe l' L- [0,1] -+ B(e2,~de2-bU) donnée par

- 2 r r i t ' . T(t) c e

2+e:e (e2-b), comme sur le dèssin.

"

-28-'

~ ~

Elle se relève à une courbe '( de F1CR) avec

T(O) :

gii)CTCO). Soit ta > 0 tel que T([O,tOJ) c T

12, alors l'Ct)

=

~i~)(T(t»

\it E [O,toJ. 'Comme gii) et ".f(ll)

coincident sur

T

12 , T(t)

=

f(ll)(TCt» lit E (O,to)' êt donc TCt) :' f(ll)(T(t» lit E CO,l), Enfin soit t

l < 1 tel que

'-TCCtl,l]) c T

23, Comme f(lJ) et

g;~)

coincident sur

T

23 ,

t'Ct)

=

~~~)(rt»

\1t , [ t l ' l l . C'est

à

dire quet(O) =

~i~)('(CE»

,ef"que T(l)

=

gg)(YCE». La fonction

YOT : [O,lJ

-+\

C est continue et satisfait (yoT)2 = \

4(T-e

l )(-r-e2)C-r-e3). Or,lors\j.ue t parcourr'e [O,lJ de 0

\

à l, l'argument de (T-e

l )(1--e3) ne varle pas au total, tandis que celui de ('(-e₂ ) varie de 211", Dopc l'argument de

...,

YOT varie de 11", ct est à dire que Y(T(O» :: -Y(T(l» , _et on a g ( II ) ('Y ( E

»

1=

12

g~~)(y(c;),

Celà signifie que g(fl)oy 12 et

g{V)oy coincident

23 ~ ou non selon que II f:.

v.

ou que J.l

'=

v,

Les collages correspondants sont les fonctions -1 a(fl) Qo(ll) _{8 2,sl}

---...

{s2'S3} l.l ::' 1,2 12 23 et • (j.l)-l _{CJ 12}

_°

_O(v) 2 3 : (82,sl)

--.

(s2'S3) l ~ l.l, v ~ 2, l.l j:: restrict iOrt-s'

..

a leur domaine de définition, de la transformat ion affine çie C dans lui-même qui fixe _s2 et perJIrute _{sI et}

En faisant de même pour T(ll) T (v) et ' ( II ), (v ) 23 n 13 T13 (1 T12 ' avec ].l,v

=

1,2, on trouve' les collages

-1 a(].l) oOCll) , {s3,s2}

---..

{s3,sl} 1,2 23 13 II

'--1 o(j.l) oo(v) (s3,s2) ---+ (8 3., SI) 1 ~ l.l f.

v

~ 2 23 13

\

v,

s3 . "

\

, '

-29-et

,

,où le premier groupe est induit par la transfo~1ion affine de

..

C dans C qui fixe s3 et permute entre et.& SI et

le second, par celle qui fixe SI et permute. entre eux

'>.

(ii) un espace homéomorphe

à

'Pl CR).

Dans la figure ci-dessous, on a décomposé le carré

" et et

:.{(u,v) E R2;lul ,Ivl

~

l} en 8 triangles. Si P

l ,P2,P3 sont les sommets d'un tel triangle, on détermine une application affine de C dans (Pl' P

2"7~)

en demandant -que l'image du triplet {sl's2"s3} soit une permutation cÎo'nné~ de {P_l ,P

2,P3}.

~

Alors pour chaque sommet P. de

l

l'in tér ieur de "~CP P P ) et a' co "te" de l ' 2' 3 "

on a 'écrit à

'"

P. , " le

l s. _J doht on

veut qu'il soit l' iIDage; et on désigne l'application obtenue par le ~bole au centre du triangle.

(-1,1) (0,1) (1,1) t-~---~~---~ (-1,0) _(1,0)' " SI < (l) T(2) T ' " 12 T (l) 23 s2 S3 8 3 (-1,-1) (0, -1) _(1,-1) -,

'"

"

-30-Soit B" le sous-modu.le

'df."

(2 ,"0) +

z·

(0,2) On donne 'a ~21 ~ B . la topologle quotlent. . . Alors la project~on

canonique

1To,,{, (v 1 et

Tf : est continue, et' les' applications

(v) ?

TfO"{' • • avec l ~ i < j ~ 3 et \)::

122.

forment 1J

une triangulation de R2 lB. / On' vérit:ie aisément qu' ,Iles 0Il:t les mêmes collages, et par conséquent les applicat ons

'~ (v)' (v)-l _{T (v)} R2/B 11'01: ocr - - + t v :: 1,2 , . -1

T~~

) (\2 /B ,et

11'01:~~)ocr~~)

- - + 1.J 1.J 1.J

v ::

1,2

..

~

se· su:perposent pour donner -un homéomorphisme 1jJ:, Pl (R') + R2 lB.

Donc Pl

CR.>

est connexe par arcs, et son groupé d' homo":" ,

.

topie est isomorphe à'

1..

x

Z.

Il est engendré par le~ lacets "LI et L

2 'où pour t E JO,lJ, LI Ct) :: 1jJ-I C1TC1'2t,0» et L

2(t) :: 1jJ-I CTfCO ,2t». "Explicitement", ce sqnt les laèets

'-{

g(2)«(l-2t)e2+C2t)~1)

't E [0 '2'J l ~ LI Ct) :: gCl)(C2-2t)e l+(2t-l)e2) l " t E, [2,1) -r/~ { g (2) (U-2t·) e 2'+ (2t )e3) 't E l [ O'2"J L 2 (t) 'l':: . gCl)(C2-2t)e 3+(2t-l>e2) l • t E [2",1]

2~ La structure complexe de PiCR).

Considérons la différentielle W ::

y

1 dx de Pl (R'). . On

va montrer qu 1 elle n "a,'ni pôle, ni zéro (l' existenèe d'une telle différentielle est assurée par le théorème de Riemann-Roch

puisque le genre de R e s t 1).