Congelation d'un aliment ayant la forme d'un parallelepipede rectangle

(1)

•

CONGB~ION \'UN ALIMENT

AYANT LA FORME D'UN

PARALLELEPIPEDE RECTANGLE

par

Denyse l. LeBlanc

Thèse soumise à la

..

Faculté des Études Graduées et de Recherche en parti des exiqences pour le diplôme de

Maîtrise en Science

Départemeltt d~ Génie Agrico1.e Université HcGi11

MODi-réal

Octobre 1987

of "

(2)

\

Permission has been granj:.ed to the National Library of

Canada to Ili crof i lm th i s

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ISBN 0-315-45958-1

1 , " i , Î '1 1; • ! /

(3)

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1

C?

CONGELATION D'UN ALIMENT EN FORME DE PARALLELEPIPEDE

1 f

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(4)

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M. So.

Dan~sa

_{I. LeBlano} q_ia Aqricole

CONGBLATION D,,' UN ALIMENT AYANT LA FORME

D'UN. PARALLELEPIPEDE RECTANGLE

(,

Des expériences ont été entreprises ~our déterminer le temps

...

dé cong'élation d'un petit aliment ayant la forme d'un parallépipède rectangle sous des conditions semblables à celles

r

employées par l'industrie. Ce temps de congélation expérimental fut comparé aux temps de congélation obtenus à l'aide de modèles mathématiques existants. La pomme de terre frite fut choisie pour ces expéfiences. Les propriétés thermophysiques des pommes de terre frites nécessaires pour le calcul du temp.s de congélation ont été déterminées.

La comparaison des résultats expérimentaux et· calculés a démontré que les modèles de calcul du temps de ~élation ne pouvaient pas être utilisés universellement pour

~ésoudre

toup les problèmes de. congélation. L'application des modèles

..

mathématiques existants est donc limitée lors de la planifidàtion

~

de procédés industriels de congélation. Le modèle de Hayakawa et al. (1983a) fut celui qui estima le' 'temps de congélation des pommes de t~rre frites aved le plus de précision.

"

(5)

o

~o " \ L",:; Q'" ' ~ < r' .. , , '

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\ M. So.

,

.

') ,AfS'l'RACT Denyse l. LeBlano -

.

Il ~ \ 1 ~.." ' \ \ ( _, ,-

.

,

'"

,Aqricultural Bnqineérinq ~ '.. ." ,

. ,,:HE FIŒEZlNG OF A PARALLELEPlPED

FOOD PRODUCT

Experiments were undertaken ,to determine the freezing tim~ of a small parallelepiped-shaped food product under simulated industrial freezing

conditions~

This

experi~~l

freezing time was compared to calculated freezing times obtained with existing mathematical, model~. French fries were chosen as the food

,

product. The thermophysical I>roperties of F.rench fries needed to calculate the freezing time were determined.

,

The comparison of the eXI;>erimental and calculated resul ts showed that the existing freezing time models could not be·used universally to solve aIl freezing problems. Exi!?ting models we:r:e developped mainly for ideal condition freezing p'roblems.

\,l

Since industrial freezing conditions ~re not ideal 'conditions,

.

existing freezing time models have limited use for the design of an industrial freezing process. Hayakawa et al.' s (1983a:, model

•

estimated the freezing time of French fries with the most precision. .'

(,

i i ,

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(6)

(1

"

" ' "

>

L'auteur est reconnaiss~nte pour,

f - . . ~ , , "

, ~ , J ' .' 1

l'assis,tance et la

L

"' ,coopé:r:ation des personnes qui o~t rendu cette recherche ·possible.

)

L'auteur veut remercier

1

'1

l~' profe~seur

,

.

R. Kok, Ph.D., du Département de Génie Agricole, ~t Dr. G.

Ê.

Timbers, Chef de la section de génie alimentaire du Centre de recherche technique et statistique d'Agriculture Canada; pour leur -support et conseils

~ J

pendant cette recherche. Des remerciements sont aussi addre'ssés

à D. McGinnis, ingénieur alimentaire avec Agriculture,. Canada" pour ses conseils techniques et pour l'emploi de son 'système automatisé de détermination de la conductivité thermique, et L. Lefkovitch et Dr. B. Thompson, stat~sticiens avec Agriculture Canada, pour' leurs conseils -lors de la planification des expériences et lors dè IJanalyse des résultats.

L'auteur remercie , , grandement Agriculture Canada pour son

support finàn.ci,er tout au long de ce projet.. Des remerciements spéciaux sont, 'étendus à P. W. Voisey, Directeur du Centre de

recherch~ technique et· statistique d~Agriculture Canada pour son

s?utien et encouragement. L'auteur veut remercier également les Y"

technologistes et le personnel de l'atelier du Centre de recberchè technique et; statis~ique pour leur travail lapide -et' méticuleux lors de la préparation de pièces nécessaires pour ce , projet de recherche. iii , , "

-

• '-•

(7)

l , ~~ , , ~ ',' ,

.

, ", î" , ,-Finalement, /

-11 auteùr · veut ,remercier spécialement- son 1 mari,

,

-o

Ro~ert, P?ur son support moral, ~es conseils et son ,encouragement ~

tout au long de ce projet.

o

~

r

l

"

,

•

iv

(8)

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.

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,

1 ACDOWLBDGJIBHTS ~ ' 1

Tjle author would like to ilcknowledge the assistance and cooperàtion of aIl those who made this project possible.

,

_.

The author expresses particùlar thanks to prof~s~r R. Kok,

Ph.D., of the Department of Agricultural Engineering, and

,

Dr. G. E. Timbers, Head of the Food Engineering Section of ~ the

Engineering and statistical· Research Centre of Agriculture

Cartada, for their support and advice during this research

project. The author would also like to acknowledge D. McGinnis,

~oOd

engineér with Agriculture

Cqna~a,

for his technical advice

,

and for the use of his automated thermal conductivity measurement

system, and L. Lefkovitch and Dr. B. Thom~son, statisticians with

Agriculture Canada, for their advice during the plapning of the

experimen~s and the analysis of the results.

f?pecial thanks are expressed to Agriculture Canada for the

financial support during this research project. The author also

expresses spê'cial thanks to P.

.

W . Voisey., Director of the

!

..

Engineering and statistical Research Centre of Agriculture \

,Canada" for his support ~nd encouragement. The, author w~uld also

like to acknowledge the technologists and the shop staff from the

EngineerinÇJ. and Statistical Research Centre for their fast and

meticulous work in the preparation of various apparatus for this

research project •

v

.

(9)

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,

.

-...

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o

\ ..,,.:'-,. / . ~~ -" ~ , ' ... '

Last, but· not least, the author

", ,1' " wishes 6 1 to -express her , 1

"

' .

gratitude t~ ,er husbând, ;aobert, for his mor~l' support"" his

advice'a~d

his continùal

èncou~agement

throughout this

proj~ct.

•

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(10)

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-~DLB DBa D'IIIUa

.

, \ ' ... ~sUMÉ • . ~ .ft.I:I ';l • • • • • • • • ' . . . • • • • • • 4 ABS1'RACT • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • '10' " • -{ .REMEROIEMEKTS ... .; ••••••••••••.••••••••••••••••••••• a

ACKNOWLEDGMENTS •••••••••

. . .

. .

.

. .

.

. .

.

. ...

'

....

pag • i i i

iii

v

LISTE DES FIgURE? Il • • • t"' • • • • • • • • • • • • : • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • X

LISTE DES TABLEAUX

...

NOMENCLATURE •...•

.

. .

.

. . .

','

... . .

... .

1. 2. INTRODUCTION

...

1.1 1.2 1.3

Raison

~e

Objectifs

1 • étude .••...••.. , .•....

.

de l'étude ...:... .. ~ . . . .

Étendue de l'étude

. .

.

~

... .

• Il • • • • • •

.

. .

.

. .

REWE 'DE LITTÉRATURE •••••••••••••••••••••••••

...

2.

~

Solutions du prOblème

_•

d~\conqélati~n

_v

••••••..••••••

2'" 1

Solutions où le changement de. phase

avait lieu

à une:s~ule

température ••.••••••

2.1.2

2 .1.1.1 ~

Solutions exactes •• , ••••••••.••••••

2.1.1.2

'Solutions analytiqUes

approximatives •••••••••••••••••

2.1.1.3

Solutions- empiriques ••••••••••••••

Solutions où

le

changement de phase avait

lieu sur

un

intervalle de température ••••.•

2.1.2.1

Solutions ahalytiques

approximatives ••••••••••••••••••••

2.1.2.2

solutions semi-analytiques •••••••• '

f t # 2.2 2.1.2.3

Solutions empiriques ••••••••••••••

_,

Déterminption expérimentale du'temps de

_

congélatIon ... « •••••••••••••••••••••••••••••••••

2.3

Comparaison entre résultats expérimentaux

2.4 et calculés ... ~ . . . III • • • • •

Propriétés 'thermophysiques

, J,

~

_vii

...

.-

... .

xii

xiii

1 1 6 7 9 9 -' 12 12 14 18

"

19 19 20 27 30. 37 51 u q

(11)

\

lo·

'.

,

o

, " , -3. " , /

Mf-TtRIELS ET MltTHODES ExPtRIpÏrrAUX

• .J ,

.

• . .

• •••••••••••••••••••

.

,

.

,,' , "

3.1

Sélection et

entreposage~des

pommes ,de terre ••••••

57

3.2 -.~réparation

de la pomme de terre frite

• • • _._ • • • • le • • • •

.

3.3 o 3.4 3.5 , ~

Modèle

e~érimental .~

... .

Expériences

d~'congélation

••••••••••••••••••••••••

'Détermination

d~s

propriétés thermophysiques-••

~

•••

3

.5.

1 Teneur en eau •••••••• -••••••••••••••••

~

• • • • •

65 3.5.2 3.5.3 3.5.4

Masse vOlumique ••••..••..••••••.

~ ~

••

Y' · ....

Conductivité

~hermique

•.•••••••••••••••••••

,

'"

Capacité calorifique ... '.

3.6

Détermination

~ù

coefficient de transfert de

chaleur

à

la surface.. ••.••...••..••••••.•••••..•••.

.§5 66 70 71

, . , :1

. 1 .'"

,.

4.

RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX •....••..•••.•••••••.•••••.•.••• '

4 . 1 Expériences de congélation ..••.•••••••.•••••••.••••

4.2 Déte~ination

des propriétés thermophysiques .••••••

'f ;~ .. "

7.~;~ ~:,/f~:~'

73, ,,' : 4 .2.1 Teneur en eau . . . . o 4.2.2 Masse volumJ.que ... _\ ••••••••

.

' 87 87 89 4.2.3

Conductivité thermique ••••••••••••• '...

90,

95 4.2.4 C~pacité calorif~que

.: •.•••••••••••••••••••

4.3

Détermination du coefficient de t)anSfert de

_.

chaleur

à

la

~urface

•••••••••••••••••••

~

... .

96

5. RtSULTATS ANALYTIQUES ••••••••••••••••••••••• : •••••••••• 100

"

5.1 Solutions où le changement de phase avait

lieu

à

une

s~ul~ températur~

•••••••••••••••••.••••

5.1.1 Solutions

ex~ctes

•••.••••••••••••••••••••••

5.1.2 Solutions

analytiques'app~oximatives

•••• : ••

101

106

<'

5.1. 2

~

1 Modèle de Plank' • • • • • • • • • • • .. • • • • • • • 106

5.1.2.2 Modèle de Mellor ...

108.

5.1.2.3 Modèle de l'Institut

'fntern~~ional

du Froid •••••••••••

U ... • \. . . •

109. ,.

vii.!

,

(12)

-

..

,

r

. C"

': ,

6.

5.2 Solutions où le changemeQt de phase avait lieu

sur un intervalle de températures •••.•••..•.•...••

~.2.1 Solutions semi-analytiques •••.•••..•.••....

J

5.2.1.1 Modèle modifié de Plank •..•••... .".

5.2.1.2 Modèle de De Michelis et Calvelo .•

5. 2 • 1 • 3 Modèles de Pham . . . • . . . • . . . • . . . •

5.2.1.4 Modèle de castaigne . . . • . . .

5.2.1.5 Modèle de Lacroix et Castaigne ....

5.2.2 Solutions empiriques . . . • . . . _,

5.2.2.1 ~odèle de Mott . . . • . . .

5.2.2.2 Modèles de Cleland et Earle . . . .

5.2.2.3 Modèle de Hung et Thompson . . . .

5.2.2.4 Modèle de Hayakawa et al . . . . .

DISCUSSION

.

... .

6.1 comparaison entre les résultats expérime~x~

et &nalytiques de cette étude . . . .

6.2 Comparaison entre les résultats eipérimentaux

et analytiques d'autres é~udes . . . .

6.3 Comparaison entre cette étuqe et les autres

études publ iées . . . .

7. CONCLtJSION . . . • . . .

8. ~COMMANDATIONS POUR RECHERCHES FUTURES ~ . . . • • . . .

•

RÉFÉRENCES CITÉE;S . . . • . . . • • • . . . • . . . • . . .

APPENDICE 1. Résultats des expériences de congélation . . .

J ix ( Page 109 109 109 112 116 118 121 123 123 124 127 128 132 132 139 143 147 151 153 162 1 ,

(13)

o

LISTI DB. ~IQURIS

~ .. l!'iqur.

1.1 Influende relative du coefficient de transfert

de chaleur à,la surface Ch) et de la conductivité thermique (k) de l'aliment sur le temps de

congélation d'un paquet de 450 g de filets de

Pag8

poisson ayant une épaisseur de 32 mm (IIF, 1986) 4

3.1 Appareil servant à couper les pommes de terre ..•.. 58

3.2 Emplacements des thermocouples dans les

échantillons de pommes de terre frites pendant

les expériences de congélation ... . 62

3.3 Schéma dU support à pomme de terre frite ... 63

3.4 Schéma des appareils employés pour déterminer le

volume d'un échantillon . . . ' 67

v

3.5 Schéma de la sonde de conductivité thermique 68

3.6 Schéma du système automatisé de mesure de la

conductivité thermique ...•... 69

'"

4.1 Courbes typiques de température versus temps

lorsque les thermocouples étaient situés au centre

de la pomme de terre frite ., ..•.. ~ ...•... 74

4

4.2 Courbes typiques de température versus temps

lorsque les thermocouples étaient situés à ~

1 mm CA), 2 mm (B), 3 mm (C), et 4 mm (0) de la '~

surface latérale des pommes de terre frites ..•.•.. 76

1

4.3 courbes typiques de la température versus le temps

aux cinq positions à l'intérieur de pommes de

terre frites . . . : . . . .

4.4 Courbes de la température versus le temps pour les

expériences où le thermocbuple était situé à 3 mm de la surface latérale ..••...•••••.•••...••.•

4.=- positions d~s cinq régions où la température fut

enregistrée pendant les expérience~ de congélation

de pommes de terre frites •••.••••.••••••••••••••••

, le 77 78 79 )

\

.-" \

(14)

o

• 6 1 • '-'

'0

' , , ' / l'igure ...

5.1 Courbes typiques de la température versus le temps

au centre d'une pomme de terre frite obtenues

à

l'aide de:

[A]

ré,ul~at~

expérimentaux;

[8] solution de

Neamann4~ployant

un coefficient

infini de transfert de chaleur

à

la surface;

[Cl

solution modifiée de Neumann employant une

épaisseur équivalente de matériel pour tenir

compte d'un

coefficien~

fini de transfert de

Page

chaleur

à

la surface •.

~.~...

105

1 xi

(15)

o

\ / ,. '·1"~"":'" .. h,,' ~".~~('"I" ~~.~~, ~;:1J~1 ~ ~J.1~~ ':t'fl·'.:·:~t!f.f:f;::-~~t~~~ _, ~ ~t r~ Tableau 2.1 2.2 2.3 2.4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 , "LI8TB DB8 ~aBLUOZ

Résumé du pourcentage de différence entre les résultats ,xpérimentaux et calculés (Cleland·

et Ea~le, 1984a) ••.••••.••.•••.•••••..•• ~ •• ~ •••..

Résumé des pourceptages de différence ent~ les

résultats expérimentaux et calculés (Pham, 1984,

1985 et 1986a) • . . . : . . . .

Pourcentage de différence entre les résultats

expérimentaux et les résultats calculés à l'aide

du modèle de Lacroix et castaign~'(1986) ... . Propriétés thermophysiques de la pomme de terre publ iées dans la littérature ...•••...•.

Résultats des expériences d, congélation à

1 mm ± 0.5 mm tle la surface latéralë ...••...

Résultats des expériences de congélation à

2 mm ± 0.5 mm de la Sbrface latérale ... .

3 mm ± 0.5 mm de la surface latérale ..•...

4

mm

± 0.5 mm de la surface latérale .~ •.•...•....

<..

5

mm

± 0.5 mm de la surface latérale .•••.•.•.••.. Teneur en eau des pommes de terre frites •..••..•.

Masse VOlumique des pomme~ de terre frites

non-congelées et congelées ••••..•• : •••.••••••••..

4.8 Conductivité thermi,que des pomme~ de .terre frites

,/non-congelées et congelées •••••••••.•••••••.••••.

4.9 Coefficients de transfert de chaleur à la surface

d'un parallélépipède rêqtangle •••••••••••••••••••

• \ , 1 ~

6.1 Comparaison entre les résultats expérimentaux et

analytiques ... . xii Page

"

~ 47 50 51 54 82 83 84 '85 86 88 90

/

9'3 97 133 ~

(16)

'.0

• ~,> If B~ Bi, B~ .. Bi. BI.

m.

BI ... Bru c C. C_IldU C!I'lac. C, Cr C. C. ClOUd •• CIA d )' ' \ .. ~ '.. i ' "',-Superficie ~ l'objet (m2) Nombre de Biot

Nombre de Biot de l'aliment non-congelé

Nombre de Biot moyen de l'aliment

Nombre de Biot de la surface inférieure de l'aliment

=

h.d/k r

Nombre de Biot de l'aliment congelé Nombre de Biot moyen

=

hd/(2K.l

,

Nombre de Biot moyen

=

hdlk,,,,

Nombre de Biot des surfaces supérieure et latérales de l'aliment = hud/k,

capacité calorifique de l'aliment (Jjkg' K)

1

capacité calorifique de l'aluminiU1l\ (-1jkg' K) capacité calorifique de l'eau pure (Jjkg'K)

capacité calorifique de la glace (Jjkg' K)

Capacité calorifique de '"'1 'aliment non-congelé (Jjkg'K) capacité calorifique de l'aliment à T.r (Jjkg'K)

capacit~ calorifique de l'aliment congelé (Jjkg'K)

Capacité calorifiqu~ moyenne~entre -4"C et Tc (Jjkg'K)

capacité calàrifique des solides dans l'ali~ent (Jjkg'K)

Paramètre sans dimension servant à es~imer la capacité

calorifique apparente de l'aliment

=

EI(c,(To-T,J""')

Épaisseur d'une tranche infinie, diamètre d'un cylindre

ou d'une sphère, ou plus petite dimension d'un •

parallélépipède rectangle (m) ~

D Deux fois la trajectoire moyenne de conduction de

chaleur (Équation 2.8) (m)

"

~i-épaisseur

_..

d'une tranche infinie (m) _{' ":}

xiii

(17)

,'.

•

'0

'~7;~,::::'''/-~i~,'~-1!l .. ~""" ',,.' .:'1' - ~ ... ~ .. '~1(!~" )..~l;~t"')"':.:~ .. ,~·:~'r;"'''~~(·~'-t E EHTD 1

...

11.2.3 Fa h >- ' •

Constante empirique utilisée pour estime~ la capacité

calorifique apparente de l'aliment (J/kg) Dimension de transfert de chaleur équivalent

,

~

Temps nécessaire à la traversée d'un cycle logarithmique

sur la courbe de pénétration de chaleur (s)

". /'\

Valeurs de 1 pour chacune ~es trois dimensions d'un parallélépipède rectangle (s)

Nombre de Fourier

=

art/d2

Coefficient de transfert de chaleur à la surfac~

(Wjm2 ·K)

_.

_'

\.

h. Coefficient de transfert de chaleur à la surface pour la

surface inférieure de l'aliment (w/m2 ·K)

hu Coefficient de transfert de chaleur à la surface pour

les surfaces supérieure et latérales de l'aliment

(Wjm2 ·K) ~ .1H .1H .1H. ,1H_I ,1H 2 ,1H 10 J

J.

j 04 j 0 S j 1. 2. 3 k k,

Différence d'enthalpie entre Tf et Tc (Jjkg)

" 4

Différence d'enthalpie entre T, et -12°C (Jjkg) Différence d'enthalpie entre

Y,

et T. (Jjm3)

•

Différence d'enthalpie pour la période de

prérefroidissement (Équation 2.1) (Jjm3 )

Différence d'enthalpie pour la période de changement de phase et dê refroidissement final (Équation 2.1) (Jjm3)

Différence d'enthalpie entre T, et -10°C (Jjm3 )

Ordonnée à l'origine de la courbe de pénétration de

chaleur ,

Valeur que prend) au centre de l'objet

Valeur que prend j à quatre-dixième de la distance du

centre à la surface de l'objet

Valeur que prend J à la moitié de la distance entre le

centre et la surface de l'objet

Valeurs de j'pour chacune des trois dimensions d'un parallélépipède rectangle

Conductivité thermi~e de l'aliment (Wjm··C) \

Conductivité thermique de l'aliment non-congelé (W/m··C)

xiv

(18)

o

0,

k, ciJ k. f. , '

Conductivit' thermique moyenne pour la période de 'prérefroidissement -_, (k,+k ... )12 (Wjm' ·C)

Codductivité thermique de l'aliment à T., (Wjm·· C)

Conductivité thermique de l'aliment congelé (Wjmo ·C)

Conductivité thermique de l'aliment congelé à

-12·C (Wjmo ~C)

' l , I l

(

k... C9nduptivité thermique de l'aliment: à (T,+Ta)/2 (Wjmo OC)

L L .. Ai Mo MI M2 nI n. N p P 1.2,3,'4 Pk q r R

.

R 1.2.3,4 S,

---

Demi-longueur du fil chauffant dans la sonde de

conductivité thermique (m)

Chaleur latente de fusion de l'aliment (Jjkg)

Chaleur latente de'f~sion de l'eau pure (Jjkg)

Teneur en eau de l'aliment

Masse du contenant d'aluminium vide (g)

Masse de l'échantillon non-séché ~t du contenant

d'aluminium (g) '" \

Masse de l'échantillon séché et du contenant d'aluminium

(g)

Constante dépendant du nombre de Biot,

m.

Constante empiri~e serVant à estimer la capacité

calorifique apparente de l'aliment

Nombre de temps de demi-vie

Paramètre géométrique de Pla~k

MOdifications du paramètre géométrique de Plank

Nombre de PlaJ:lk

,

PUissance fournie par unité de longueur de la sonde de conductivité thermique (Wjm)

Résistance du fil chauffant

il

l'intérleur de la .. sonde de conductivité thermique (ohm)

Paramètre géométrique de Plank

MOdifications du paramètre géométrique de Plank

Rappbrt entre la plus petite dimension et la seconde plus petite dimension d'un parallélépipède rectangle

(19)

•

)

Sto, Nombre de Stefan

s.' Pente de la courbe des températures enregistrées versus

le logarithme népérien du temps corrigé (Équation 4.4)

( ·C)

S2 Pente de la courbe de In({T.,-T.)/(T,-T .. )) v~rsus le temps

(Équation 4.7) (lIs)

J

Temps (s)

tep Période de changement de phase (s)

t, Temps de congélation (s)

t, Période de prérefroidissement (s)

ir Période de refroidissement final (s)

io Facteur de correction du temps de la sonde de

conductivite thermique (s)

T Température (OC)

l

"-T. Température du milieu réfrigérant (OC)

TA Température à laquelle ~O% de l'eau de l'aliment était

congelée CC)

Tai Température mesurée au centre du parallélépipède

rectangle en aluminium (OC)

T.r Température de référence du milieu réfrigérant

=

-40°C

T, T, T'lA T'lA / T

'm

T",

Température finale au cantre de l'aliment (OC)

Température initiale de congélation (OC)

Température moyenne de congélation définie comme étant 1.S·C sous la température initiale.de congélation (OC)

Température finale de l'aliment à fa fin de la période .de prérefroidissement ou de refroidissement final (OC)

Température finale moyenne de l'aliment (OC)

Température moyenne de congélation (Équation 2.6) (·C)

Tèmpérature initiale de l'aliment (OC)

Température initiale de l'aliment au début de'la période

de prérefroidissement ou de refroidis~em~t final (·C)

xvi

.,'r

(20)

1) v .x x.y,z x

x.,

f >,. _j

;-Tempér~ture initiale ~e référence de l'aliment -

s·c

Température de l'aliment dans'la région

non-congelée (·C)

Température de l'aliment daps la'région congelée

C·C)

Température'initiale de congélation de l'eau pure - O·C

Température de l'échantillon aux temps " et t2 (·C) .

Rapport de température

=

(T,-T.)/(T,-T,)

Différence de température moyenn~ COC)

Différence de température pour la période de

prérefroidis.sement fOC) 1

Différence de température pour la période de changement de phase et de refroidissement final C·C)

~

Première solution de l:équation u.otan(u.)-Bi

Rapport de températures

=

.1T I( T, - T.)

Rapport de température basé sur la température du milieu réfrigérant:

=

(Ta - T .,)/(T" -Ta,)

Rapport de températute basé sur la température au centre de l'aliment à la fin du procédé de congélation

=

(T.- T .r)/(T ".- Tor)

Rapport de température basé sur la température initiale de congélation de- l'aliment = (T,-T'.r)/(T'r-Tar)

Rapport de température basé sur la température initiale de

.1'

aliment = (T, - T a,)/(T" - Ta,)

Volume de l'Objet (m3)

Chute de tension au travers de la sonde de conductivité thermique CV)

'1

Distance à parti~ de la surface d'u~e,tranche

infinie Cm) \

Coordonnées cartésiehnes

position du front de congélation Cm)

Paramètre sans dimension dépendant de la ~empérature du

milieu réfrigérant et de-la température au centre de l'aliment à la fin du procédé de congélat~on

xvii

(21)

o

x.

X.

II 'te., : ~paisseur équivalente (m)

Paramètre sons dimension dépendant de la capacité calorifique de l'aliment

x,

Paramètre sans di~ension dépendant de la température au

centre de l'aliment à la fin du procédé de 'congélation et de la température initiale de conqélation

X~ ~aramètre sans' dimension dépendant du nomb~e de Biot pour les différentes surfaces de l'aliment

Xw Paramètre sans dimension dépendant du nombre de Biot

pour les surfaces ,supérieure et latérales de l'aliment

X" Paramètre sans dimension dépendant de la forme de

l'aliment ~ ~

X~ Paramètrè sans dimension dépendant de la température

initiale de congélation et de la capacité calorifique de l'aliment

Xo aramètre sans dimension dépendant de la température

i tiale de l'aliment

a thermique de l'aliment (m2js)

a, Oiffusivité thermique de l'aliment non-congelé (m2js)

a, oiffusivité thermique moyenne pour la période de

prérefroidissement = (a,+Œ ... )12 (m2js) ,

ar Oiffusivité thermique à la température ,de référence du

milieu réfrigérant T.r (m2js) <'

~, oiffusivité thermique de l'aliment congelé (m2js)

a,Ift oiffusivité therm~que de l'aliment à (T,+T.)/2 (m2js)

PI Rapport entre les dimensions du deuxième plus petit côté

et le plUS petit côté d'un parallélépipède rectangle, ou le rapport entre la longueur et le rayon d'un cylindre fini

p, Rapport entre les dimension~du plus long côté et du

plus court côté d'?n parallé!épipède rectangle

(J ,Rapport de températures = (T-T,)/(To-r,)

p

Constante obtenue par itération dans les solutions exactes de Neumann, Stefan, etc. (Équation 5.2)

Kas~e volumique de l'aliment (kg/m3)

(22)

•

, "

o

P. P, P. T TIll W' " ' , y ) ,

Maa8é

vol.igue lIoyeMe Jie l'aliment tel que' définit par

P~ank (1963)' - 1000 kg/m3

Masse volpmique de l'aluminium (kg/m3 )

Masse volumique de l'aliment non-congelé (kg/m3) Masse volumique de l'aliment congelé (kg/ml)

/

;Paramètre sans dimension dépendant du temps

=

4atld2

Paramètre sans dimension représentant le femps de demi-vie

Pourcentage d'eau congelée _, à u . . 'température T

W Moyenne du', pourcentage d'eau congelée à T. et Tt = ((0.+(0,)/2

W. Pourcentage d'eau congelée 'à T.

Pourcentage d'eau congelée à Tt

)

1

(23)

,

.

,'.

o

1. IHROQUO'1'IOR

.

,

..

1.1 Raison 4. l'étu4e

La production annuelle d'aliments congelés, au Canada, est

élevée. DI après Statistiqu~ Canada (1984a), des al iments

congelés ayant une valeur de plus de deux J;Jlilliards

dj

dollars

ont été préparés en 1980. Les catégories de pp6duits en

premières places étaient le poisson congelé, les produits

lai tiers glacés, les repas préparés congelés et les pommes de terre frites congelés ayant des valeurs respectives de $520

,millions, $295 millions, $260 millions et $185 millions.

statistique Canada (1984b) a" déterminé que prils de 225 mill,es tonnes de pommes de terre frites congelées furent préparées en

1982. En plus de ces produits,. l'industrie canadienne congèle de

la viande, des mollusques et crustacés, des légumes, des

pâtisseries, du jus de fruit concentré, du pain, 'des

oeu~~

fruits (statistique Canada, 1984a). L'industrie canadienne

d'aliments congelés est donc, une industri~ très diversifiée. si

cette industrie veut continuer à grandir, elle doit s'assurer de

toujours produire des aliments congelés d'excellente qualité.

Le traitement des aliments par Congélat~on est un excellent

moyen de maintenir pendant longtemps, presqu'inchangées,' les

car..;lctérlstiques originales de nombreux aliments très

périssable~.

Pour obtenir l'effet de

conservati~n

recherché, une

l

(24)

.

_.

• ..

,~ 1 " ... '1'''''-r ~-1~-... 1 ... ,::-l'f~ ~ ~ "7 i#;t, ,J ft """lf·;:';'~ <,.... l ' l ' :t;~~~ll\~,,..:~:~

(

'--~ '<:~~ ,

,. pro~ortion importante de l' eaG ,congelable du produit doit être

transformée en glace (en général' plus de\80% de l'eau libre) et,

, .

maintenue en cet état au cours de l'entreposage qui sui t, de \

.

façon A réduire autant que possible les modifications phys~ques,

"'-chimiques et microbie~nes qui, dans le cas contraire,

(il

. i i l .

condu1ra ent ' à la détér orat1on du produit (IIF, 1986). Un

o

produit congelé de' haute qualité est obtenu en utilisant une

matière première de quaI i té et en congelan~ ce produit le plus

,

-rapidement possible. Ensuite, pour préserver ~a qualité de

l'aliment maintenue

congelé, la température d'entreposage doit être

.,

à -18°e ou plus bas, puisque toute multiplication

microbienne cesse sous cette température (IIF, 1986) •

• De tous' les facteurs devant être considérés lors de la

planification d'un procédé de ~ congélation, le temps de

congélation est l'un des plus important: puisqu'il influence la

.

qualité du produit fini. Le temps de congélation est le temps

nécessaire pour abaisser la température de l'aliment de sa

température initiale à une température finale spécifiée. Puisque

les· aliments congelés doivent àtre maintenus à --18°e ou moins

/

pendant l'entreposage,/la te~pérature au centre de l'aliment à la

fin du procédé de con9él~tion devrait être d~ -18°e (IIF, 1986) •

La durée du' ~processus de congélation dépend de divers

.

. . /

facteurs, les uns relatl.fs au produl.t à congé 1er , les autres l.

....

relatifs A

l'équip~ment

et aux procédures utilisés. Les facteurs

les plus importants sont les dimensions et la forme de l'aliment,

" _"

(25)

•

. .J

o

'.'

r

t ' o 'f

les ~empératures' initiale et finale de l'aliment, la température

du milieu réfrigérant, le coeffiëient de transfe~ de c~aleur l

la surface, la variation dten~halpie, et la conductivité

thermique de l'aliment (IIF, 1986). Le coefficient de transfert

de chaleur à la surface, qui dépend de l'équipement utilisé,' des

conditions de congélation, et de l'emballàge de l'aliment, a une

influence très significative sur le temps de congélation, surtout

lorsque ce coefficient a une faible valeur. L'influence relative

du coefficient de transfellt de chaleur à la surface et de la

conductivité thermique de l'aliment, sur le t~mps de congélation,

est présentée à la Figure 1.1. Cette figure indique que pour des

-..

_r.r'

faibles valeurs du coefficient de transfert de chaleur à la

surface, tels que ceux obtenus avec un congélateur à air pulsé,

le te~ps de congélation dépend beaucoup plus du coefficient de

transfert de chaleur à la surface que de la conductivité

thermique de l'aliment.

Plusieurs modèles ont été développée pour calculer le temps

de congélation de divers objets.~ La majorité de ces modèles ont

été développés en solutionnant l~équation différentielle de

Fourier qui décrit le transfert de ohaleur par conduction. Pour

résoudre cette équation

différentie~le,

des conditions

simplificatrices ont été supposées. Plusieurs solutions existent

donc pour des problèmes de cong~lation où le tranSfert de chaleur

se fait en une dimènsiQn ~eulemen~"c'est-à-dire pour des objets'

ayant la forme d'une "'tranche infinie, d'un" cylindre infini ou

d'une sphère. Plusieurs solutions existent également pour des

(26)

\

(

, - , t." ~ ! ""

problèmes où le coefficient de transf~rt de chaleur à la s~rface est fnfini. Mais la congélation de beaucoup d'aliments ne ('

~

rencQntre pas ces conditions spécifiques, particulièrement la

L

condition d'un coefficient infini de transfert de chaleur à la surface. 120 ..-.. c E c ₉₀ ,2 _..., 0 ,QJ CJ1 c 60 0 u QJ \J CIl 0.. ₃₀ E QJ r

o

r

Congelateurs à air pulsé

Congelateurs , a plaques

...

,,"

• "

_~

In;luen~e de-~_

-.. _- ----_-..._--~---Influence de k 100 200 300

CoeffiCient de transfert de chaleur

à la surface (W/m 2. K)

•

-

~

1

400

Figure 1.1 Influence relative du coefficient de transfert de chaleur à la surface (h) et de la conduçtivité thermique dè l'aliment (k) sur le temps de congélation d'un paquet de 450 g de filets de

poi§Ron ~yant une épaisseur de 32 mm (IIF, 1986).

,

Plusieurs chercheurs ont entrepris des expériences pour déterminer le temps de congélation d' ~liments, puis ont comparé ces résultats expéri,mentaux à ceux obtenus à l'aide de divers

....

modèles mathématiques. ,Mais dans la majorité' des cas, ces expériences de congélation ont été entreprises sous des conditions idéales. Le produit était souvent placé dans un

\

contepant ou dans un moule ayant une forme spécifique telle

(27)

"

•

o

, ~t r.

J ...

qu'une tranche iJlfinie, un cylindre infini, une sphère ou un

parallélépipède rectangle. pans bien des cas, la substanc'

colloïdale de Karlsruhe fut utilisée au lieu d'un aliment puisque les propriétés thermophysiques de cette substance étaient bien

1 , . .

connues. Les dimensions des échantillons employés pour ces

expé):"iences étaient de l'ordre de g~l1deur d'aliments emballés

plutôt que '<le petits aliments congelés individuellement. En

plus, le taux de transfert de chaleur à la surface des aliments

était contrôlé de façon à obtenir un refroidissement uniforme sur

toutes les surfaces exposées. Ces conditions idéales sont

rqrement rencontrées dans les procédés de congélation

industriels.

Beaucoup de petits ali~nts, tels que des fruits, des

légumes, des mollusques, et des morceaux de viande ou de poisson,

sont congelés individuellement dans des congélateurs à air pulsé

ou des congélateurs à vaporisation de liquide ou de solide.

Aucun chercheur n'a encore étudié la congélation individuelle de

petits aliments. En plus, très peu p'expéri~nces de congélation

ont été entreprises avec des échantillons ayant la forma de

...

parallélépipèdes rectangles. Ce projet a d~ns été entrepris pour

déterminer le temps de congélation d'uf\ petit aliment -ayant la

forme d'un parallélépipède réctangle sous des

semblables à celles rencontrées dans l'industrie.

..

1

5 conditions 4

..

(28)

.1/" ~, , - : >, ~( ""t, ~ ~ , '

')

.'

4 •

c

'~1 1 " '

Ob1.qtif.

de

l'Îtud.,

1 •

Les obJectifs de ce projet étaient les, suivants:

)'

1. Déterminer expérimentalement le temps de

\

congélation d'un aliment ayant la forme d'un -parallélépipède rectangle;

• --->

2. Calculer le temps de congélation de ce même

aliment en utilisant des modèles

mathématiques existants;

3. Comparer les résul tats expérimentaux et

calculés.

L'objectif ultime de cette étude était de déterminer ;Lequel des modèles mathématiques existants décrirait le mieux le temps de

congélation d'un petit aliment congelé sous des conditions

semblables à celles employées par l'industrie.

Puisque ces expériences devaient simuler les conditions

industrielles,

l'alime~

choisi devait avoir la forme d'un

parallélépipède rectangle et devait être congelé par l'industrie

dans cette forme. La pomme de terre frite a été choisie pour ces

expériences puisqu'elle rencontrait ces conditions, elle était

isotrope et en plus, ~lle était le légume congelé en plus graRae

quantité au Canada (Statistique Canada, 1984b).

6

(29)

,

....

- :::,

"'-o

, - , : r ~ "" • ,e . '

1. 3 -

.t.ndu';f'

l' étude

Des pommes de terre frites, semblables à celles préparées

par l'industrie, ont été congelées dans un congélateur à air

pulsé. Les échantillons de pommes de terre frites étaient

supportés aux extrémités seulement, dOiC le transfert de chaleur

se faisait entre l'air et l'échantillon sur quatre côtés. Aucune

r

démarche n'a été entreprise pour essayer d'uniformiser le

transfert de chaleur sur ces quatre côtés. Les> conditions du

procédé de congélation ont 'été maintenues constantes pour toutes

les expériences, c'est-à-dire que les échantillons ont été

équilibrés à la même température avant chaque expérience et le

congélateur fut maintenu à la même température pour tous les

essais. La température a été mesurée à intervalles réguliers à

différentes positions à l'intérieur des échantillons de pommes de

)

terre frites pendant les'expériences de congélation. Des courbes

de température versus temps ont alors été tracées.

Les paramètres nécessaires pour le calcul du temps de

congélation à partir des modèles existants ont été déterminés .

....

l.es propriétés des pommes de terre frites qui ont été mesurées

furent la teneur en eau, la masse volumique des échantillons

non-congelés et congelés, et la conductivité thermique des

échantillons non-congelés et congelés. La capacité calorifique

des p.:>nmes de terre" frites non-congelées et congelées a été

(30)

1:".

L

d . 1

,

\

calculée. Le coefficient de transfert de chaleur moyen 6. la surface d'un parallélépipède rectangle, dans le congélateur employé pour ces expériences, a également été ~esuré.

La solution exacte de l'équation différentielle de transfert de chaleur par conduction a été employée pour calculer la .:température à intervalles réguliers à différentes positions à

l'intérieur de pommes de terre fr i tes. Ces courbes de température versus temps, ont été tracées sur les mêmes figures que les résultats expérimentaux. Les deux courbes pouvaient alors être comparées. Les temps de congélation obtenus à l'aide des modèles simples ont été

nécessaire pour abaisser

\!li

comparés à(la

la

temPéra~e

moyenne du temps au centre des échantillons de pommes de terre frites de la température initiale

à

-la·c.

Le modèle qui calculait le plus précisément le temps de

congélation des pommes de terre frites a ainsi été déterminé.

8

1

(31)

••

o

Différentes solutions simvles qui ont été développées pour résoudre le problème de transfert de chaleur avec changement de phase sont décrites dans ce chapitre. Les solutions numériques n'ont pas été considérées dans cette revue. Les études entreprises pour déterminer expérimentalement le temps de congélation d'al iments et celles comparant les résul tats expérimentaux et calculés sont également présentées. Finalement, l~s différentes propriétés thermophysigues nécessaires pour le calcul du temps de congélation, ainsi que les méthodes disponibles pour les déterminer, sont re~ues.

2.1 Solutions du problème de congélation

La congélation d'un aliment est un problèm~ de transfert de chaleur par conduction avec changement de phase. L'équation différentielle de base qui décrivait ce problème était celle de Fourier (Carslaw et Jaeger, 1959):

oT. 0 (

oT)

0 ( OT) 0 ( OT)

p(T)c(T)-=- -k(T)- + - k(T)- + -

k(T)-ot

OX OX

oy

oz

(2.1 )

où peT)

=

masse volumique de l'aliment (kgjm 3 )

c(T) ~ capacité calorifique de l'aliment (Jjkg·K)

k(T)

=

condugivité thermique de l'aliment (Wjm· OC)

9

(32)

o

T • 'température (·c)

t - temps (s)

x. y ,z = coordonnées cartésiennes

Pour résoudre cette équation différentielle, des copditions. initiales et limites devaient ~tre énoncées. Bakal (1973) et Cleland et al. (1985) ont présenté les conditions limites et initiales fréquemment utilisées. La condition initiale la plus utilisée fut celle d'une température initiale constante dans l'aliment. Les deux conditions limites les plus rencontrées pour un problème de congélation étaient: ( 1) la température à la surface de l'aliment atteignait instantanément la température du milieu réfrigérant (i.e. coefficient infini de transfert de chaleur à la surface); ou (2) le flux de chaleur au travers de la surface de l'aliment était proportionnel à la différence de température entre la surface et le milieu réfrigérant

(i.e. coefficient fini de transfert de chaleur à la surface).

Une condition l imi te au centre de l ' obj et devai t égale~ent être

spécifiée~ normalement cette condition était que le flux de

chaleur au centre de l'aliment fût nul. En plus de ces conditions initiales et limites, l'on devait considérer que pendant le procédé de congélation, l'aliment était composé d'une région solide, c'est-à-dire une _, région où l'eau était cristallisée, d'une région li ide, c'est-à-dire une }:"égion où l'eau était sous e, et dt une interface entre les deux. L'équation de Fourier vait être résolue pour chacune des phases liquide et solide de l'aliment. Pour réso\1dr~ ces deux

(33)

,J '

•

o

, ' \,

équations différentielles, deux autres conditions limites devaient être spécifiées à l'interface entre la réqion liquide et la réqion. solide. La première condition limite consistait à

spécifier la température à l'interface, alors que la deuxième condition limite décrivait la libération de la chaleur latente de fusion à l'interface (Carslaw et Jaeger, 1959).

Puisque les conditions 1 imi tes du problème de congélation étaient complexes, l'équation différentielle de Fourier fut difficile à résoudre. Pour simplifier ce problème, l'on pouvait supposer un transfert de chaleur selon une seule dimension; ceci consistai t à supposer que l'aliment eût été de la forme d'une tranche infinie, d'un cylindre infini ou d'une sphère. L'on pouvait également supposer que la chaleur lat:nte de fusion ait

1

été libérée à une seule température, que les propriétés thermiques aient subi un changement marqué à cette température, et que la masse volumique n'ait pas changé entre la région solide

-et la région liquide. Ces différentes simplifications ne pouvaient qu'approximer le procédé de congélation des aliments. Plusieurs auteurs' ont entrepris des revues détaillées des solutions développées pour résoudre le problème de transfert de chaleur avec changement de phase (Bakal, 1973; Hayakawa, 1977;

Ramaswamy et Tung, 1984; Cleland et al., 1985; et ASHRAE,

1985). Les solutions pouvaient être groupées en deux grandes

catégories: celles qui supposaient que la chaleur latente de fusioL ellt été libérée à une seule température et celles qui supposaient que la chaleur latente de fusion eat été libérée sur

(34)

o

un intervalle de températures. Chacune de oes catégories fut ensuite subdivisée d'après le type -de solution, c'est-l-dire

,exacte, analytique, semi-analytique ou empirique.

2.1.1 Solutions où le ohanqement de phase avait lieu à une seule

t . . pérature

2.1.1.1 Solutions exactes

La solution exacte la plus reconnue était celle de Neumann (Carslaw et Jaeger, 1959). Cette solution a été développée pour une région semi-infinie initialement à une température constante au-dessus du point de congélation et dont la température à la

\

surface atteignait instantanément la température du milieu réfrigérant au temps 1-0. La solution de base de Neumann

supposait que la masse volumique du produit ne changeait pas entre la phase liquide et la phase solide mais Carslaw et Jaeger

(1959) ont offert une modification de l ' éq1.Jation de Neumann qui

incorporait la masse volumique du produit solide et la masse volumique du produit liquide.

La solution de stefan (Luikov, 1968) ressemblait à celle de Neumann (Carslaw et Jaeger, 1959) car un coefficient infini de transfert de chaleur à la surface était supposé. Mais la solutioh de Stefan (Luik6v, 1968) a été développée pour une tranche infinie ayant une température initiale égale à la température de congélation.

1

(35)

,-,- ,

•

o

f

, "'" ,~, _'lit> , } " ~

Une autre solution exacte semblable à celle de Neumann (Carslaw et Jaeger, 1959) fut·celle de Lame et~Clapeyron (Luikov,

19~8). Lame et Clapeyron (Luikov, 1968) ont résol~ le 1 problème

de congélation d'une région semi-infinie ayant une température initiale égale à la température de congélation et dont la température, dans la région liquide, était maintenue constante, pendant tout le procédé de transfert de chaleur, à l'aide de courants de convection.

Cho et Sunder land ( 1974 ) ont solutionné un problème semblable à celui résoud par Neumann (Carslaw et Jaeger, 1959),

mais ils ont supposé en plus que la conductivité thermique, et donc la diffusivité thermique, variaient linéairement avec la température dans chacune des phases, et que la différence de masse volumique entre la phase solide et la phase liquide entraînait de la convection dans la phase liquide.

Wood et al. (1981) et Kakaç et Yener (1985) ont présenté une solution permettant de calculer la température dans la zone congelée d'une région semi-infinie initialement à son point de congélation lorsqu'un coefficient infini de transfert de chaleur

à la surface était supposé. Ce modèle ressemblait à celui de stefan (Luikov, 1968), sauf que l'équation permettant de calculer

À par itération était beaucoup plus simple.

~

Freierick et Greif (198?) ont présenté une

SOluti~n

au infinie initialemen

₁

....

\jt

une problème de congélation d'une tranche

(36)

o

,1 "

température uniforme autre que r celle du point de congélation lorsqu'un coefficient infini de transfert de chaleur à la surface était supposé. Pour résoudre ce problème, Frederick et Grei.f (1985) ont' utilisé une procédure qui consistait à choisir un -problème sans changement de phase ayant une solution exacte.

Cette solution devai t donner une température constante à

l'interface entre les phases liquide et solide. Avec une telle condition limite, une solution équivalente à un problème de changement de phase était ob/tenue. La solution obtenue par ces auteurs fut une simplification du modèle de Neumann (Carslaw et Jaeger, 1959) puisqu'ils supposaient que les propriétés thermophysiques de l ' obj et ne variaient pas entre les phases liquide et solide.

Ces différentes solutions exactes permettaient de calculer la température à n' importe quelle position, à l'intérieur de l'aliment, en fonction du temps.

2.1.1.2 Solutions analytiques approximatives

La solution analytique la plus connue fut celle d~e Plank (1941) qui permettait de calculer le temps de congélation de tranches infinies, de cylindres infinis, de sphères et~de parallélépipèdes rectangles. Pour obtenir sa solution, Plank

(1941) a supposé que l'objet ait été initi~lement à sa tèmpérature de congélation mais n'ait pas été congelé et' que la ~

(37)

•

o

•

l ' ,'t;)

,

distribution de température dans

o

correspondu l un transfert de chaleur de type stationnaire.

cette dernière hypo~hèse impliquait que le procédé de conqélatlon

ait été complété lorsque l'eau au centre de l'objet fdt

cristallisée mais que la température au centre ait été toujours

au point de congélation. Plank (1941) a également supposé un

coefficient fini de transfert de chaleur à la surface et aucune

d~11érence de masse volumique entre les phases liquide et solide. Le modèle de Plank (1941) était le suivant:

!

(2.2)

où l,

=

temps de congélation (s)

p

=

masse volumique de l'aliment (kg/m3 )

L

=

chaleur latente de fusion de l'aliment (J/kg)

T,

=

température initiale de congélation de l'aliment (OC)

T. = température du milieu réfrigérant (OC) (

d

=

épaisseur d'une tranche infinie, diamètre d'un cylindre ou

d'une sphère, ou plus petite dimension d'un parallélépipède rectangle (m)

h

=

coefficient de transfert de chaleur à 1~ surface (W/m2 ·K)

J

k, = conductivité thèrmique de l'aliment congelé (W/m· ·C) P et R

=

paramètres géométriques de Plank

Mt-Ilor (1976a) a suggéré une modification à l'équation de

Plank \ 1941) qui perm~ttait de ca1cu~er le temps de congélation

•

d'un a1il1ent ayant une température initiale au-dessus du point de

15

i

1

(38)

,~ ,

•

.

, , , " " " \ ~ , .,.

congélation et une température finafe au-dessous du point de conqélation. Kellor (1976a) a remplacé la chaleur lal:ente de fusion : dans l'équation de Plank (1941) par un facteur comprenant la moitié de la chaleur sensible au-dessus et au-dessous du point de congélation et la chaleur latente de fusion.

L'IIF (1986) recommandait elle aussi une modification dè 1 • équation de Plank (-1941). La chaleur latente de fusion de l'équation de P1ank (1941) était remplacée par la différence d'enthalpie entre la température initiale de congélation et la température finale voulue 'au centre de l'Objet.

En 1939, Leibenzon développa une procédure pour solutionner approximativement les problèmes de congélation (Luikov, 1968). Cette procédure consistait à choisir des fonctions décrivant la température dans la région solide et la région liquj.de de telle façon que ces fonctions rencontraient les conditions initiales et limites du problème. Ces fonctions étaient alors substituées dans la condition limite à l'interface solide-liquide et l'équation différentielle obtenue était salutionnée par rapport à

la position de l'interface. Luikov (1968) présenta des solutions obtenues avec cette procédure pour des régions semi-infinies, des tranches infinies, d~ sphères et des cylindres infinis. Dans toutes ces solutions, un coefficient infini de transfert de '(t:haleur à la surface fut supposé.

)

16

(39)

" e

0-û '

o

, ,

7

\

Lunardini (1983) a dérivé une solution pour la congélation

d'un objet semi-infini en supposant ~e température initiale de

l'objet au dessus du point de congélation,

un

coefficient infini

de transfert de chaleur à la surface, et une différence d. masse

vOlumique entre les régions liquide et solide. Pour obtenir sa

solution, Lunardini (1983) ~ utilisé deux variables de position.

L'origine (le a première variable de position était la surface

dilatait lors de la congélation. L'origine de la était la position originale de la surface avant

Lunardini (1983) présenta deux équations pour

calculer la température à une position quelconque de l'objet:

exposée seconde

une si cette position était dans la zone congelée et l'autre si elle ne l'était pas.

Kakaç et Yetler

...

($

(1985)

....

ont développé une solution

,

approximative en utilisant une méthode intégrale. Cette solution

permettait de calculer l~ température à n'importe quelle position

dans une région semi-infinie initialement à la tempér~t1,lre de

congélation lorsque le coefficient de transfert de chaleur à la

surface était infini. Cette solution a été développée pour un

prOblème de décongélation mais devrait pouvoir s'appliquer aussi

à un problème de congélation.

,

(40)

"

)'

(

, \~ ) ,~ ..

\ 2.1.1.3 Solutions empiriques

"

,;'

Charm (1978) a suggéré une mOdificatiot\ à la solution de

•

/ Neumann (Carslaw et Jaeger, 1959) pour tenir compte d'un

)

coefficient fini de ,transfert de chaleur à la surface. Pour

calculer le temps de congélation avec cêtt~ nou'(elle condition t,

limite, le coefficient de transfert de chaleur à la surface était

converti en une épaisseur équivalen~e de produit. Charm (1978) a

sug1érfY que cette épaisseur équivalente pouvait être caÙ:ulée en

divisant la conductivité thermique du produit non-congel~ par le

coefficient de trÂnsfert de chaleur à la surface. Cette

épaisseth équivalente était alors additionnée à l'épaisseur du

produit utilisée dans la solution de Neumann (Carslaw et Jaeger, 1959) .

VoIler et Cross (1981) ont exJminé le transfert de chaleur dans un cylindre infini en supposant un coefficient infini de

transfert de chaleur à la surface et une température initiale de

l'objet au-dessus du point de congélation. Ils ont dérivé une

"

équation simple pour estimer le temps de congélation d'un _,

cylindre infini SQus ces conditions.

18

(41)

~ '\t -1

•

o

/

2.1.2 Solution. où le ohanqem.nt d.>pha •• avait lieu .ur un

. int.rvalle 4. températur.. "

2.1.2.1 solutions analytique~ approximatives

"

'"

Tien et Geiger (1967, 1968) et Tien et Koump (1968, 1969)

,

ont supposé que le problème de solidification d'un système

binaire pouvait être représenté physiquement par une région

intermédiaire séparant la région liquide . t la région solide par

_..

•

deux plans is~thermes, un ayant la température initiale de

...

oongélation et l'autre ayant

4

température finale de

'Je

congélation. La région intermédiaire était donc composée d'un

l,

mélange d'eau et de glace. Tien et Geiger (1967) ont développé

un modèle permettant de calculer la température à n' importe

quelle position d'une régton semi-infinie, initialement à une

température constante au-desSUs du point de congélation, et dont

le coefficient de transfert de chaleur à la surface était infini.

En 1968, Tien et Geiger ont présenté un autre modèle pour le même

problème mais cette fois ils ont supposé que la température à la \

surface de l'objet ait été égale ~u point final de congélation au

temps /-0 et ait diminué arbitrairement par après. Le taux de

--'

changement de la fraction de glace par rapport au temps à

\

l'intérieur: de la zone intermédiaire fournissait l'effet de la

chalecr

l~enté

de fusion (Tien et Geiger, 1968). Tien et Koump

(1968) ont développé une procédure pour soll:ltionner le problème

de congélation ~une tranche infinie refroidie ·des deux côtés et

dont la tempérJ:ure à la surface 'diminuait linéairement par