Traitement théorique des capteurs à base de la résonance des plasmons de surface en configuration bimétallique

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta, B. P. 1014, RP, Rabat Tel : 212 (0) 37 77 18 34/35/38.

Spécialité

Traitement théorique des capteurs à base de la résonance des plasmons de

surface en configuration bimétallique

Devant le jury

Président :

Omar FASSI- FEHRI :

de l'Académie Hassan II des Sciences Techniques.

Examinateurs :

Mostapha. BOUSMINA

Mohammed. Ouadi. BENSALAH Mohammed. DAOUD

El. Hassan. SAIDI : PES, Faculté des Sciences, Rabat.

Invités :

Lalla. Btissam. DRISSI George DYANKOV :

UNIVERSITÉ MOHAMMED V

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta, B. P. 1014, RP, Rabat

Tel : 212 (0) 37 77 18 34/35/38. Fax : 212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma

THÈSE DE DOCTORAT

Présentée par

ZEKRITI Mohssin

Discipline : Physique

Spécialité : Matériaux et modélisation

Traitement théorique des capteurs à base de la résonance des plasmons de

surface en configuration bimétallique

Soutenue le 06 Juillet 2013

FEHRI : PES à la Faculté des Sciences de Rabat. Secrétaire perpétuel de l'Académie Hassan II des Sciences Techniques.

ostapha. BOUSMINA : PES. Président de l’Université Euro- méditerranéenne, Fès. Ouadi. BENSALAH : PES, Faculté des Sciences, Rabat.

DAOUD : PES, Faculté des Sciences, Agadir. PES, Faculté des Sciences, Rabat.

RISSI : PA, Faculté des Sciences, Rabat. : PA, Plovdiv University, Bulgaria.

UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL

FACULTÉ DES SCIENCES

Rabat

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta, B. P. 1014, RP, Rabat- Maroc Fax : 212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma

N° d’ordre 2663

Traitement théorique des capteurs à base de la résonance des plasmons de

PES à la Faculté des Sciences de Rabat. Secrétaire perpétuel

méditerranéenne, Fès. PES, Faculté des Sciences, Rabat.

3

Je dédie cette thèse

A ma mère

Qui m’accompagné tout au long de ce parcours périlleux et qui m’a toujours soutenu et encouragé pour que je puisse poursuivre mes études supérieurs et terminer mes travaux de recherche qui font l’objet de cette thèse de doctorat. Merci pour son amour inconditionnel et pour avoir toujours cru en moi. Je ne trouve pas les mots qu’il faut pour la remercier. Mes réussites sont grâce à elle.

A la mémoire de mon père Qu’il repose en paix

……….………

A mes frères Jamal et Kamal

Qui m’ont toujours aidé, écouté, soutenu et encouragé tout au long de mon parcours et qui ont toujours été présents pour moi.

5

Avant-Propos

Le travail présenté dans ce manuscrit a été réalisé au Laboratoire de Physique des Hautes Energies (LPHE) de la Faculté des Sciences de Rabat en collaboration avec la Fondation MAScIR (Moroccan Foundation for Advanced Science, Innovation and Research), sous la direction du Professeur El Hassan SAIDI et Professeur Mostapha BOUSMINA.

Je tiens à exprimer tout d’abord mes plus sincères remerciements à mon directeur de thèse, Professeur El Hassan SAIDI, directeur du laboratoire de physique des hautes énergies, de m'avoir accueilli au sein de son équipe de recherche et qui m’a soutenu, guidé et conseillé dans les différentes phases de cette thèse de doctorat. Cette thèse n’aurait pu aboutir sans son aide.

Je remercie également le Professeur Mostapha BOUSMINA président de l’Université Euro- méditerranéenne de Fès et Chancelier de l’Académie Hassan II des Sciences et Techniques, qui m’a appuyé par ses conseils, ses compétences, sa patience et la confiance qu’il m’a accordée durant toute la période des mes études doctorales.

Je suis honoré que le Professeur Omar FASSI FEHRI, Secrétaire Perpétuel de l’Académie Hassan II des Sciences et Techniques, ait accepté d’être le président de jury de cette thèse de Doctorat. Je tiens à lui exprimer ici ma gratitude et mes plus vifs remerciements.

Je tiens à remercier les membres du jury de thèse pour l'intérêt qu'ils ont porté à ce travail, à sa lecture et au jugement de sa valeur scientifique : Mr. Mohammed. Oaudi. BENSALAH, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat et Mr. Mohammed Daoud, Professeur à la Faculté des Sciences d’Agadir qui ont bien voulu mobiliser leur temps et leurs compétences en qualité de rapporteurs de ce travail de thèse.

Je tiens également à remercier Mr. Georgi DYANKOV, Professeur assistant à l’Université Plovdiv de Bulgarie et Mme. Lalla. Btissam. DRISSI, Professeur assistant à la Faculté des Sciences de Rabat de bien vouloir enrichir le débat en examinant ce manuscrit.

Je présente mes sincères remerciements à l’Académie Hassan II des Sciences et Techniques pour le soutien financier.

6

Bien évidemment l’ensemble de ce travail n’aurait pu se réaliser sans le soutien et les encouragements de mes proches et amis que je remercie ici très chaleureusement.

Tout d’abord à ma mère et mes deux frères qui m’ont toujours soutenu dans mes différents choix. Je vous suis infiniment reconnaissant pour tous les efforts et les sacrifices que vous avez consentis pour moi.

Je remercie également tous mes autres collaborateurs et amis, à savoir, Tarik Mahfud, Mohamed Mahmud Sultan, Abdel Majdoubi, Zouheir Sofiani, Saif Er Rahman, Kazumassa Utseki, Malki mohamed et Ayoub Bahou pour leur compagnie et pour les échanges scientifiques fructueux que j’ai souvent eus avec eux.

8

Table des matières

Introduction générale

………...… 13

CHAPITRE I : La Résonance des Plasmons de Surface (SPR)

I-2 Résonance des plasmons de surface (SPR). . ………...20

I.2.1. Historique ... 20

I.2.2. Plasmons de volume et Plasmons de surface dans une structure plane ... 21

I.2.3 Propriétés électromagnétiques des métaux ... 22

I.2.3.1 Modèle de Drude ... 22

I.2.3.2. Dispersion spectrale de la fonction diélectrique et pulsation plasmon. ... 24

I.2.3.3 Validité du modèle de Drude ... 27

I.2.4 Excitation des plasmons de surface : Relation de dispersion et Couplage. ... 27

I.2.4.1 Relation de dispersion des plasmons de surface ... 28

I.2.4.2. Justification du choix du métal ... 35

I.2.5 Méthodes optiques de couplage ... 35

I.2.5.1 Relation de couplage plasmon-lumière. ... 35

I.2.5.2 Couplage par réseau de diffraction ... 38

I-3 Caractéristiques principales de l’onde plasmons de surface……….40

I-4. Exemple des applications de la technique SPR………42

I.4.1 Applications dans les nanophotoniques ... 43

I.4.2 Imagerie et Etude des surfaces et Interfaces ... 43

I.4.3 Capteurs biochimique ... 44

I.5 Conclusion……….44

9

CHAPITRE II : Capteur SPR : approche numérique, principe de

fonctionnement et état d’art

II.1. Introduction……….49

II.2 Approche numérique et équation de Fresnel………...50

II.2.1 Réflectivité, Transmittance et coefficient de Fresnel ... 50

II.2.1.1 Dispositif considéré ... 52

II.2.1.2 Réflectivité ... 53

II.2.1.3 Transmittance. ... 55

II.2.2 Effet des principales caractéristiques de la couche métallique sur la réponse spectrale d’un capteur SPR. ... 56

II.2.2.1 Propriétes optiques et géométriques de la couche métallique ... 57

II.2.2.2 Indice de réfraction du milieu d’analyse ... 59

II.2.2.3 Indice de réfraction du milieu du prisme ... 60

II-3 Principe de fonctionnement et caractéristiques de performances d’un capteur SPR..…….…...61

II.3.1 Principe de fonctionnement d’un capteur SPR ... 62

II.3.2 Caractéristiques de performances d’un capteur SPR. ... 64

II.4 Capteur SPR : Etat d’art et développement récent………..65

II.4.1 Approche des plasmons de surface à longue portée ... 66

II.4.2 Approche de la spectroscopie à deux plasmons ... 68

II.4.3 Approche bimétallique ... 69

II-5 Conclusion………...70

Bibliographie………..70

CHAPITRE III : Etude de l’effet de la température sur les capteurs

optiques à effet SPR

10

III.2.1. Métal ……….………..………77

III.2.2.Prisme ……….……….79

III.2.3.Milieu d’analyse ….……… 80

III.3. Effet de la température sur la courbe de dispersion ………...………...82

III.4. Effet de la température sur les capteurs SPR ………....83

III.4.1. Spectre de réflectivité ……….…...83

III.4.2. Spectre de transmittance………..………...84

III.5 Effet de la température sur les caractéristiques géométriques des SPP ..………..……….85

III.5.1. Longueur d’onde des plasmons de surface polariton ………85

III.5.2 Profondeur de pénétration et longueur de propagation ……….87

III.6. La sensibilité ………...………... 89

III.7. Conclusion ………....90

Bibliographie………..90

CHAPITRE IV : Spectroscopie SPR auto-référencée : configuration

bimétallique

IV.2 Configuration Abéles………..94

IV.2.1 Optimisation géometrique ... 96

IV.2.2 Résultats ... 96

IV.3. Spéctroscopique SPR auto référencée………...99

IV.3.1 Configuration proposée. ... 99

IV.3.2 Optmisation des modes AuPs ... 102

IV.3.3 Caractéristiques de pérformance. ... 105

IV.3.4 Optimisation du mode AgP. ... 105

IV.4 Conclusion………116

11

CHAPITRE V : Plasmons de surface à longue portée dans une structure

asymétrique à base d’un film bimétallique

V.1. Introduction ………..…...… 120

V.2 Plasmon de surface à longue portée : configuration bimétallique ………... 120

V.2.1 Détermination de l’indice de réfraction de la couche tampon …..………..… 121

V.2.2 Optimisation géométrique ………..…. 124

V.2.3 Spectre de réflectivité et de transmittance ………..……… 125

V.3 Spéctroscopie auto référencée à base des modes LRSP et SRSP ……….….. 127

V.3.1 Distribution du champ ……….………...… 128

V.3.2 Caractéristiques de performance ……….……….….. 129

V.4 Détection des effets thermiques ……..……… 130

V.5 Conclusion ………... 132

CHAPITRE : Contribution au développement d’un capteur SPR:

configuration à base du graphène

VI.2 Généralité sur les propriétés électroniques et optiques du graphène ……...………137

VI.3. Etude théorique d’une configuration Kretschmann à base du graphène …..……….………... 138

VI.4 Comparaison théorique des principales caractéristique de la configuration Kretschmann à base du graphène ……….…..………... 143

VI.4. 1 Spectre de réflectivité et de transmittance ………..… 143

VI.4.2 Etude de la sensibilité et de transmitance …..………. 145

VI.5 Conclusion ………. .……….. 146

13

14

Introduction générale

L’apparition des nanotechnologies au début des années quatre-vingt, a conduit à une évolution considérable dans tous les domaines scientifiques, dont l’optique était le domaine le plus concerné. Les nouveaux concepts de l'optique moderne n'ont plus grande chose à voir avec ceux des miroirs et des lentilles, dont les dimensions se comptaient en centimètres. Pour bien marquer la différence, on parle aujourd’hui de la photonique : la science du photon.

L'intérêt grandissant porté ces dernières années aux dispositifs photoniques d'analyse et de détection chimique et biologique, répondant aux besoins et aux exigences qui sont de plus en plus difficiles : des composantes miniatures, une surveillance dans des milieux difficiles d’accès et une analyse en temps réel, traduit tout l'espoir et l'enjeu économique lié au développement d’une nouvelle génération des instruments révolutionnaire. Parmi les dispositifs de détection répondant a ces exigences, on trouve ceux basés sur un phénomène physique appelé la résonance des plasmons de surface ou en anglais Surface Plasmons Résonance (SPR) [1]. Les capteurs à base de ce phénomène sont fréquemment utilisés car ils ont prouvé leur capacité de fournir une détection moléculaire hautement sensible, en temps réel et sans utilisation des marqueurs [2]. Ceci est dû à la propriété singulière des plasmons de

surface de guider la lumière le long d'une interface métal/diélectrique. Une petite modification de l’indice de réfraction de l’environnement proche à la surface métallique change les conditions de résonance, d'où la possibilité de détecter la présence de seulement quelques molécules au voisinage d’un film métallique et de réaliser ainsi des capteurs très sensibles [3].

Depuis l’utilisation du phénomène de la résonance des plasmons de surface dans la détection moléculaire, plusieurs configurations ont été proposées [4,5]. Parmi ces configurations, la plus répondue est celle de Kretschmann qui est basée sur un prisme comme élément de couplage optique en mode de réflexion totale atténuée. Les capteurs à effet SPR à base de cette configuration sont largement utilisés et commercialisés, par exemple, la société Biacore (Suède) [6]. Cependant, comme toute technique d’analyse moléculaire, ces capteurs souffrent de certaines limitations qui peuvent réduire leur domaine d’utilisation et qui sont liées à la variation de l’indice de réfraction du milieu d’analyse (indice de réfraction volumique) et à la fluctuation de la température. Pour cette raison, de

15

nombreuses recherches se sont concentrées récemment sur le développement de nouvelles configurations permettant de surmonter ces limitations et de réaliser des capteurs performants. Par exemple, la configuration basée sur les plasmons de surface à longue portée [7], la configuration basée sur la spectroscopie SPR auto référencée [8] et la configuration bimétallique [9].

L’objectif de ce travail de thèse s'inscrit donc dans ce vaste domaine des capteurs à effet SPR, il s’agit précisément d’une contribution à l’amélioration de leur performance. Pour atteindre cet objectif, nous proposons une étude théorique de nouvelles configurations multicouches à base d’un prisme massif. Il sera donc nécessaire de développer, en parallèle, un modèle théorique valide qui nous permet de déterminer les conditions de fonctionnement optimales et les principales caractéristiques de performance de chaque configuration.

Le travail de thèse que nous présentons dans ce manuscrit se devise en deux parties principales. La première partie est consacrée à une synthèse bibliographique, elle comprend un premier chapitre introductif contenant une explication détaillée du principe physique du phénomène de la Résonance des Plasmons de Surface, puis il reprend un état d’art sur les différentes applications de la technologie SPR. Dans le deuxième chapitre, nous présentons l’outil numérique permettant la modélisation de la réponse spectrale des capteurs à effet SPR. Cette modélisation écrite sous le logiciel Maple, consiste à prendre en compte le calcul de la réflectivité et de la transmittance de la lumière par la résolution des matrices de transfert pour un système de N couches. Il nous est donc possible de procéder, au moyen de ces outils numériques, à l’étude de l’effet des principaux paramètres de la configuration Kretschmann sur la réponse spectrale des capteurs à effet SPR. Dans la suite de ce chapitre, nous présentons le principe de fonctionnement ainsi que les caractéristiques de performance des capteurs à effet SPR telles que la sensibilité, la résolution et la limite de détection. Nous terminons ce chapitre par l’état de l’art sur les principales méthodes mises en œuvre pour le développement des capteurs à effet SPR.

La partie réellement novatrice de ce travail, fait l'objet de la deuxième partie. Cette dernière est consacrée à la présentation des différents résultats de simulation et elle est divisée en trois chapitres. Dans le troisième chapitre, nous étudions l’effet de la température sur les capteurs à effet SPR. Dans

16

notre étude, nous nous concentrons sur la réponse spectrale, les propriétés géométriques de l’onde plasmons de surface et la sensibilité.

Dans le quatrième chapitre, nous proposons une nouvelle configuration plasmonique à base d’un film bimétallique. L’optimisation d’une telle configuration permet l’excitation simultanée de trois modes plasmons à différentes longueurs d’onde. Ce qui permet de différencier entre les événements volumiques et surfaciques, d’une part, et de suivre en temps réel la fluctuation de la température pendant le processus d’analyse, d’autre part.

Dans le cinquième chapitre, nous étudions l’excitation des plasmons de surface à longue portée dans une structure asymétrique à base d’un film bimétallique.

Dans le dernier chapitre, nous étudions le rôle du graphène dans l’amélioration de la performance des capteurs à effet SPR. La configuration proposée dans ce cas est constituée d’un film d’argent sur lequel est déposé une monocouche de graphène.

Bibliographie

[1]: H. Raether, Springer-verleg, Berlin, 4, 16, (1988). [2]: J. Homola, Chem. Rev, 108, 462-493, (2008).

[3]: J. Homola, S.S. Yee and D. Myszka In: F.S. Ligler, Editor, Elsevier Science, New York (2002). [4]: Jordan CE, Frutos AG, Thiel AJ, Corn RM, Anal Chem 69, 4939 (1997).

[5] : Nikitin. PI, Beloglazov. A A, Kabashin. AV, Valeiko. MV, Kochergin. VE, Sens Actuators B 54, 43, (1999).

[6]:http://www.biacore.com.

[7]: Sarid D, Phys Rev Lett, 47,1927–1930, (1981).

[8]: Jakub Dostalek, Hana Vaisocherova, Jirı Homola, Sensors and Actuators B 108, 758–764, (2005). [9]: Stepan A. Zynio, Anton V. Samoylov, Elena R. Surovtseva, Vladimir M. Mirsky, and Yuri M. Shirshov, Sensors, 2, 62-70, (2002).

18

Première partie :

19

La Résonance des Plasmons de Surface (SPR)

Table des matières

I-1 Introduction………..………..………... 20

I-2 Résonance des plasmons de surface (SPR)..………...20

I.2.1. Historique ... 20

I.2.2. Plasmons de volume et Plasmons de surface dans une structure plane ... 21

I.2.3 Propriétés électromagnétiques des métaux ... 22

I.2.3.1 Modèle de Drude ... 22

I.2.3.2. Dispersion spectrale de la fonction diélectrique et pulsation plasmon. ... 24

I.2.3.4 Validité du modèle de Drude ... 27

I.2.4 Excitation des plasmons de surface : Relation de dispersion et Couplage. ... 27

I.2.4.1 Relation de dispersion des plasmons de surface ... 28

I.2.4.2. Justification du choix du métal ... 35

I.2.5 Méthodes optiques de couplage ... 35

I.2.5.1 Relation de couplage plasmon-lumière. ... 35

I.2.5.3 Couplage par réseau de diffraction ... 38

I-3 Caractéristiques principales de l’onde plasmons de surface ...……….…… 40

I-4. Exemple des applications de la technique SPR …..………... 42

I.4.1 Applications dans les nanophotoniques ... 43

I.4.2 Imagerie et Etude des surfaces et Interfaces ... 43

I.4.3 Capteurs biochimique ... 44

I.5 Conclusion ……..………...………. 44

CHAPITRE I

20 I-1 Introduction

Depuis sa découverte par Kretschmann et Otto en 1968, le phénomène de la résonance des plasmons de surface (SPR) a joué un rôle primordial dans le développement de la technologie émergente plasmonique. Ceci est dû à la propriété singulière des plasmons de surface de confiner la lumière à l’interface entre un métal et un diélectrique.

Dans ce chapitre, nous présentons une description détaillée du phénomène SPR comme étant l’excitation des modes électromagnétiques de surface sous certaines conditions. Nous définissons, dans un premier temps, la notion des plasmons de surface et plasmons de volume en se basant sur le fameux modèle de Drude. Ensuite, nous détaillons les principales méthodes de couplage permettant l’excitation des plasmons de surface. Nous terminons ce chapitre en mettant en évidence l’importance de la résonance des plasmons de surface dans l’optique photonique.

I-2 Résonance des plasmons de surface (SPR). I.2.1. Historique

La première observation documentée des plasmons de surface remonte à 1902, lorsque Wood a illuminé un réseau de diffraction métallique par une lumière polychromatique et remarqua des fines bandes sombres dans le spectre de la lumière diffractée, lesquelles a qualifiées d’anomalies [1]. Les travaux théoriques réalisés par Fano [2] ont permis de conclure que ces anomalies étaient associées à l'excitation des ondes de surface supportées par le réseau de diffraction.

En 1965, A. Hessel et A. A. Oliner ont proposé une théorie plus générale des anomalies de Wood pour les réseaux métalliques. Ils ont interprété ces anomalies par des effets de résonance provenant du couplage entre l’onde incidente et les modes propres du réseau [3]. Par la suite, en 1968 Otto a confirmé expérimentalement les explications théoriques de Wood et avait démontré qu’un tel phénomène est dû à l’excitation des plasmons de surface [4]. Dans la même année, Kretschmann et Raether ont montré la possibilité d’excitation des plasmons de surface dans une configuration différente: la réflexion totale atténuée [5].

21

Le travail pionnier d'Otto, Kretschmann, et Raether a établie une méthode pratique pour l'excitation des plasmons de surface et l’investigation de leurs propriétés physiques, ce qui a permet leur introduction dans le domaine de l’optique moderne (voir, par exemple [6], et [7]).

Dans les années 1970, les plasmons de surface ont été employées pour la première fois dans la caractérisation des couches minces [8] et dans l'étude des surfaces métalliques [9]. A partir des années 90 l’intérêt fondamental s’est orienté vers des études à des fins d’application, telle que la détection de gaz et de composants chimiques et biologique [10].

I.2.2. Plasmons de volume et Plasmons de surface dans une structure plane

De nombreuses propriétés physiques des métaux peuvent être expliquées par le fameux modèle de Drude. Selon ce modèle, les métaux sont constitués d’un gaz des électrons libres (plasma) dans un réseau d’ions statiques. L’oscillation quantifiée du plasma est appelée, plasmons de volume. Dans le cas d’une surface métallique, on parle de plasmons de surface. On distingue alors dans une structure métallique plane deux types de plasmons : les plasmons de volume et plasmons de surface.

Les plasmons de volume : sont des oscillations quantifiées de plasma à l’intérieur d’un métal. Le

quanta d’énergie associé à une oscillation élémentaire est défini par l’expression I.1

2 0 p e Ne m

ω

ε

N : est la densité volumique d’électrons. e : la charge élémentaire.

me: la masse de l’électron.

ε0: la constante diélectrique du vide.

Les plasmons de surface (SP): sont des ondes électromagnétiques dues à l'oscillation de la densité

des charges à l'interface entre un milieu métallique et un milieu diélectrique. Ces ondes peuvent se propager tout au long de l’interface sur des distances de plusieurs micromètres (Fig. I.1). Leurs fréquences propres sont comprises entre 0 et

1 p sp d ω ω ε =

+ . Les plasmons de surfaces ne sont pas

radiatifs car ils ne peuvent se coupler spontanément avec la lumière. L’utilisation d’un coupleur est donc nécessaire.

22

Fig. I.1. Propagation des oscillations du plasma d’électron libre à l’interface métal diélectrique

I.2.3 Propriétés électromagnétiques des métaux

Généralement, on peut définir deux paramètres macroscopiques décrivant complètement l’interaction onde électromagnétique/ matière : la permittivité diélectrique ε et la perméabilité magnétique µ. En tenant compte du fait qu’une grande majorité des matériaux photoniques réagissent très faiblement à un champ magnétique, la perméabilité relative dans ce travail de thèse sera prise égale à 1. De plus, dans cette partie d’étude et pour l’ensemble de notre travail, les matériaux optiques sont considérés comme étant linéaires, homogènes et isotropes, caractérisés par une permittivité diélectrique complexe. Finalement, nous négligeons la variation de la permittivité diélectrique des couches minces métalliques en fonction de l'épaisseur.

Afin de déterminer la dispersion des propriétés électromagnétiques du métal sous ses formes : massif et couche mince, nous présentons un rappel sur le modèle phénoménologique de Drude [11,12].

I.2.3.1 Modèle de Drude

Depuis la découverte de l’électron par J. J. Thomson en 1897, les scientifiques ont commencé à mettre en évidence le rôle que les électrons peuvent jouer dans les propriétés optiques des métaux. Il ne leurs a fallu que trois ans pour développer un nouveau modèle basé sur la notion des électrons libres sans interactions entre eux. Ce modèle, connu sous le nom de « modèle de Drude » a bien sur été affiné et

23

corrigé au cours des années. Dans ce modèle, Drude considère le métal comme étant constitué d’un gaz d’électrons libres de densité N dans un réseau des ions fixes en assurant la neutralité du système. Les interactions entre les électrons libres et les ions du réseau cristallin sont de type frottement visqueux, la probabilité par unité de temps pour qu’une interaction ait lieu, est p 1

τ

= avec (τ) nommée « temps de relaxation ». Par contre, les interactions entre les électrons libres eux-mêmes sont considéré négligeable (modèle des électrons indépendants).

Il faut noter que dans le model de Drude, l’effet des interactions de type électrons/impuretés ne peut être pris en compte qu’à basse température (la loi de Mathiessen), ainsi pour un capteur fonctionnant en température ambiante, cette contribution peut être ignorée.

En se basant sur ces hypothèses et suite à une perturbation électromagnétique ₀ i t

E = E e−ω

r r

. La force

électrostatiquequi en résulte

F

=−

eE

r

r

(-e représente la charge de l’électron), conduit au déplacement

du centre de masse des charges négatives par rapport à celui des charges positives. En tenant compte de la force de frottement due au mouvement de l’électron dans le réseau des ions, *

2 ( / )

F = − m τ v

r _r

avec m* la masse effective de l’électron et

v

r

la vitesse de l’électron selon la direction

u

r

, la position

u(ω) de l’électron est une solution de l’équation différentielle du second ordre,

2 * * 2

d u

m du

m

eE

dt

+

τ

dt

= −

r

r

r

La solution peut s’écrire sous la forme suivante:

( ) e[ ( ). i t] u ω = R u% ω e−ω _avec

_i

= −

₁

1

( )

(

/ )

e

u

E

m

i

ω

ω

ω τ

=

×

×

+

%

j

r

de surface correspondant peut s’exprimer selon l’équation : 2 1

. .

. .

(

)

du

Ne

E

J

N e v

N e

dt

m

τ

i

ω

= −

= −

=

+

r

r

_r

24 I.2.3.2. Dispersion spectrale de la fonction diélectrique et pulsation plasma.

En développant le model de Drude, il est possible de mettre en évidence la dépendance en fréquence de la permittivité diélectrique du métal. En particulier on montre que cette dernière est une grandeur complexe.

Rappelons que le mouvement oscillatoire des électrons libres dans un métal, doit satisfaire les quatre équations de Maxwell (I.6).

( ) ( ) 0 D r o t H j t B r o t E t d iv D d iv B ρ ∂ = + ∂ ∂ = − ∂ = = r uuur r r r uuur r r (I.6)

On introduit les équations constitutives (équations I.7)

0 0

.

.

D

E

E P

B

H

H

M

j

E

ε

ε

µ

µ

σ

=

=

+

=

=

+

=

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

ε0 et µ0 sont la permittivité et la perméabilité du vide, respectivement.

En regroupant les équations (I.6) et (I.7), et en considérant le cas d'un milieu non chargé (ρ=0), l'expression de l'équation d'onde s'écrit (I.8).

2 0 0 2 0

E

E

E

t

t

µ ε

∂

µ σ

∂

∆ =

+

∂

∂

r

r

r

Nous considérons = , l’expression de l'équation d'onde se simplifie sous la forme de l’équation I.9

0 0 0

(

)

E

i

ω ωµ ε

i

E

µ

J

∆ =

r

r

+

r

Qui peut encore s’écrire, en tenant compte de l’équation (I.5) :

2 2 2 * 0

1

1

.

.

1

Ne

E

i

E

c

m

i

ω

τ

ε ω

ωτ



_

_



∆ = −



+



₋













r

r

E

r

Représente le vecteur champ électrique(V/m)

B

r

L’induction magnétique(Tesla)

D

r

Le vecteur déplacement électrique(C/m2)

H

r

Le champ magnétique (A/m2).

ε: La permittivité absolue (F/m) µ La perméabilité absolue (H/m) σ La conductivité électrique (S/m)

M

r

P

r

25

En se basant sur l'expression classique de l’équation de propagation de la lumière dans un milieu de constante diélectrique complexe

ε ω

%

( )

2 2

( ).

E

E

c

ω ε ω

∆ = −

r

%

r

La permittivité diélectrique du métal peut s'écrire donc :

2 * 0

1

( ) 1

.

1

Ne

i

m

i

τ

ε ω

ε ω

ωτ





= +





−





%

On remarque que la permittivité diélectrique est une fonction de ω, la nomination constante diélectrique n'est donc plus valable.

En posant 2 2 * 0 p

Ne

m

ω

ε

=

2

ω

υ

π

=

1 τ ω τ = , la permittivité diélectrique s’écrit : 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 . . ( ) ( ) p p p mr mi i i i τ τ τ τ

ω

ω

ω ω

ε ω

ε

ε

ω ω ω

ω

ω

ω ω

ω

Dans le cas des électrons libres ayant des temps de relaxation très grand (

τ

→∞

ω

≈

0

2 2

( ) 1

ω

ε ω

ω

= − (I.14) avecω_pest la pulsation plasma.

Cette expression peut s’écrire dans le cas où les électrons libres ne sont pas dans le vide, mais se trouvent dans un réseau d’ions positifs possédant une constante diélectrique notée

ε

ω

ω

ε ω

ε

ε

ω

ω

(I.15) dans ce cas la pulsation plasma est définie comme

2 0 . . p Ne m

ω

ε ε

Les valeurs de pulsation plasma et le facteur d'amortissement des différents métaux, sont présentés dans le tableau ci-dessous [13].

26 Métal 15 1 ( 10 . ) p rad s ω _× − 1 3 1 ( 1 0 ra d s. ) τ ω _× − Ag 13.69 2.73 Au 13.71 4.05 Al 13.50 7.62 Cu 6.03 5.56

Tableau I.1 : Pulsation plasma et facteurs d’amortissement de différents métaux.

Les figures I.2 (A) et I.2 (B), illustrent la dispersion en énergie, obtenue à partir du modèle de Drude, de la partie réelle et imaginaire de la fonction diélectrique d’un film d’or. Les points rouges représentent les valeurs expérimentales obtenues par Johnson et Christy. Ces figures permettent de constater que la partie imaginaire de la permittivité diélectrique présente généralement le plus fort désaccord avec les données expérimentales. Ce désaccord est dû principalement aux transitions inter bandes, lesquelles le modèle de Drude ne tient pas en compte.

Fig. I.2. La dispersion en énergie de la partie réelle (A) et la partie imaginaire (B) de la permittivité diélectrique d’un film d’or.

En ce qui concerne la partie réelle, elle traduit le caractère inductif du milieu et peut être positive ou négative selon l’énergie d’irradiation [14]. On peut distinguer deux domaines spectraux:

Pour ω < ω _p , on remarque que les valeurs expérimentales sont en bon accord avec le modèle de Drude. Dans ce cas la partie réelle de la permittivité diélectrique est négative et le

nombre d’onde k est purement imaginaire (

2 2 2

( )

k

c

ω ε ω

=

27

exponentielle de z, ce qui explique leur faible pénétration dans le métal. L’expression du champ dans la direction perpendiculaire à la surface métallique (Oz) prend la forme suivante :

[

]

( )

exp

.

E z

=

E

×

e

×

−

k z

r

r

Pourω > ω _p , la partie réelle de la permittivité diélectrique est positive et, par conséquent, le nombre d’onde k est purement réel. Dans ce cas, le milieu métallique est dit propagatif. Ainsi, l’expression du champ dans la direction z aura donc la forme suivante :

[

]

( )

exp

.

E z

=

E

×

e

×

−

ik z

r

r

I.2.3.3 Validité du modèle de Drude

Dans la gamme de courte longueur d’onde, le modèle de Drude reste inadéquat pour la description des métaux du fait que les transitions interbandes ne sont prises en compte par ce modèle. C’est donc pour cette simple raison que les données expérimentales ne sont pas en bon accord avec les courbes théoriques (figure I.2).

Toutefois, ce modèle est parfaitement valide dans la gamme des longueurs d’onde λ > 600nm, dont l’excitation optique des plasmons de surface est très efficace.

I.2.4 Excitation des plasmons de surface : relation de dispersion et couplage.

Les plasmons de surface sont des ondes de surface se propageant le long d’une interface entre un milieu diélectrique, de permittivité diélectrique positive, et un film métallique (non-magnétique) d’une permittivité diélectrique complexe dont la partie réelle est négative dans le visible [12,13].

Pour étudier les conditions d’excitation des plasmons de surface, il est intéressant de tracer sur un graphe la relation de dispersion des plasmons de surface et celle de la lumière incidente. Ainsi, il serait possible de prévoir les conditions de couplage (l’angle d’incidence, la longueur d’onde d’excitation…..).

28 I.2.4.1 Relation de dispersion des plasmons de surface

Dans le but de déterminer la relation de dispersion des plasmons de surface, nous appliquons les équations de Maxwell aux champs électrique et magnétique à l’interface plane entre un milieu métallique et un milieu diélectrique, comme ceci est illustré sur la figure I.3.

Nous nous intéressons à deux cas classiques : le cas d’une interface métal-diélectrique et le cas d’un film métallique pris en sandwich entre deux milieux diélectriques de même indice de réfraction.

a- Cas d’une interface métal – diélectrique.

Dans cette géométrie plane, nous recherchons des fonctions d’ondes, solutions des équations de Maxwell, qui se propagent parallèlement à l’interface.

Fig.I.3. Schéma représentatif de l’onde plasmons de surface à l’interface métal/diélectrique.

Considérons les champs électriques et magnétiques dans le milieu diélectrique (1) et le milieu métallique (m) selon les équations I-24 et I-25, (On s’intéresse au cas d’une onde de polarisation transverse magnétique TM encore notée-p) :

Pour Z < 0 (dans le métal)

[

]

[

]

(0,

, 0).exp

(

)

(

, 0,

).exp

(

)

H

H

i k x k z

t

E

E

E

i k x k z

t

ω

ω



₌

₊

₋

₋





=

+

−

−



r

r

r

r

r

Pour Z > 0 (dans le diélectrique)

[

]

[

]

(

, 0,

).exp

(

)

(0,

, 0).exp

(

)

E

E

E

i k x k z

t

H

H

i k x k z

t

ω

ω



₌

₊

₊

₋





=

+

+

−



r

r

r

r

r

29

En tenant compte des équations de Maxwell (équations I.6) et les conditions de continuité du champ à l’interface :

= = =

= =

On obtient le système suivant :

−₊ = 0_{= 0}

Ce système n’a de solution que si son déterminant est nul, ce qui donne la relation suivante :

+ = 0 (I-26)

A partie des équations de Maxwell et les relations de continuité du champ à l’interface, on trouve : + = avec i=1,m et k0 est la norme du vecteur d’onde dans le vide. On trouve finalement, l’expression de la constante de propagation des plasmons de surface :

1/ 2 1 1 sp m x m

k

c

ε ε

ω

ε ε





=





+





%

%

Cette relation est appelée la relation de dispersion des plasmons de surface.

En supposant queε_mi < ε_mr (la première condition d’excitation des plasmons de surface), la relation de dispersion peut s’écrire sous la forme complexe suivante :

1/ 2 3/ 2 ' '' 1 1 2 1 1

.

2(

)

k

k

i k

i

c

c

ε ε

ε ε

ε

ω

ω

ε ε

ε ε

ε









=

+

=





+





+

+









Nous avons vue que dans le cas d’un gaz des électrons libres dans un métal parfait (modèle de Drude :

0

et

τ

→∞

ω

→

2 2 1 p mr

ω

ε

ω

30

compte de la relation (I.28) on constate que les plasmons de surface ne peuvent être existé que si

1 mr

0

ε ε

+ <

Par ailleurs, l’excitation des plasmons de surface par une onde électromagnétique est dépendante de la réalisation de la condition de couplage entre l’onde incidente et les plasmons de surface. Pour mieux comprendre cette condition, il est commode de tracer sur un graphe la relation de dispersion des plasmons de surface et celle de la lumière, comme il est illustré sur la figure I.4. Cette dernière montre que la courbe de dispersion des plasmons de surface se trouve toujours « à droite » de la courbe dite ligne de lumière. Cette ligne correspond à la relation de dispersion d’une onde progressive, k = ω/c, elle délimite le domaine des ondes radiatives (à gauche de la ligne de lumière sur le graphe).

On remarque, de plus, que la courbe de dispersion des plasmons de surface et la ligne de lumière ne se croisent pas. Autrement dit, l'irradiation directe du métal ne permet pas l'excitation des plasmons de surface, car l'accord de phase ne peut pas être réalisé en absence d'un système de couplage adéquat.

Fig I.4 : Relation de dispersion des plasmons de surface à l’interface métal-air.

Enfin, il est important de noter que les valeurs de la pulsation

ω

l’excitation des plasmons de surface est possible sont comprises entre 0 et _{1/ 2} 1

(1

)

ω

ε

+

0

(1

)

ω

ω

ε

< <

+

Quand k tend vers l’infini, la pulsation

ω

k

ω

=

ck

.

Courbe de dispersion des plasmons de surface

31 1 1 p sp ω ω ε = + (I.30)

Si le milieu diélectrique est l’air, l’équation(I.30) se réduit à la relation suivante:

2

p sp

ω

ω

b- Cas de deux interfaces symétriques

En s’intéressant maintenant à un système à trois couches, dont le film métallique d’épaisseur d et de permittivité diélectrique ε2 est pris en sandwich entre deux milieux diélectriques semi infini (fig I.5) de

permittivité ε1 et ε3. Dans ce cas, deux plasmons de surface peuvent être excités simultanément.

Fig.I.5. Représentation géométrique du système à trois couches.

En se basant sur l’expression de l’équation d’onde et de la continuité des composantes tangentielles du champ électromagnétique sur chaque interface, l’expression de la relation de dispersion peut s’écrire (pour plus de détaille voir annexe I).

2 3 2 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 z z z z z k d z z z z

k

k

k

k

e

k

k

k

k

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε









+

+

_

_













=







₋



₋



 





 



k

=

k

ε

−

k

et

k

=

k

−

k

ε

32

Dans le cas d’une structure symétrique (

ε ε

=

(

)

ε

ε

ε

ε

Pour une épaisseur métallique infinie

d

→∞

!!", les modes plasmons se propageant sur chaque interface se couplent dans le métal et, par

conséquent, deux nouveaux modes avec des fréquences et symétries du champ différentes apparaissent. Leurs relations de dispersion sont:

1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

tanh(

/ 2)

tanh(

/ 2)

k

k d

k

k

k d

k

ε

ε

ε

ε

= −

= −

Il faut noter que la résolution de ces équations ne peut être obtenue que par un calcul numérique. Dans le premier cas, mode symétrique, les composantes du champ électrique Ez et Ex sont symétrique

et antisymétrique, respectivement (voir figure I.6.A). De plus, la composante Ex s’annule dans le

métal et s’étale d’avenage dans le milieu diélectrique. Ce qui réduit, les pertes par effet joule dans le métal [14] (les pertes diminuent avec la diminution de l’épaisseur du métal) et, par conséquent, l’augmentation de la longueur de propagation. La profondeur de pénétration du champ dans le milieu d’analyse connait à son tour une augmentation considérable. Un tel mode est nommé plasmons de surface à longue portée (ou Long Range Surface Plasmons, en anglais) et noté LRSP [15].

Dans le deuxième cas, mode antisymétrique, les composantes du champ électrique Ez et Ex sont

antisymétrique et symétrique, respectivement (voir fig I.6.B). On note que la composante Ex ne

s’annule pas dans le métal et, par conséquent, les pertes par effet joule sont plus importantes. De plus, dans ce cas, la profondeur de pénétration et la longueur de propagation sont assez faibles. Le mode

Mode Symétrique (I.38a)

33

antisymétrique se nomme ainsi, plasmons de surface à courte portées (Short Range Surface Plasmons en anglais) noté SRSP [16].

Fig. I. 6 : Schéma illustratif de la distribution de la composante tangentielle du champ électrique associé aux modes LRSP (A) et SRSP (B).

Les figures I.7 (A) et I.7 (B) illustrent, respectivement, la variation de la partie réelle et imaginaire de la constante de propagation des modes LRSP et SRSP en fonction de l’épaisseur de la couche métallique.

On remarque sur ces figures que dans le cas du mode LRSP, la partie réelle et imaginaire de la constante de propagation diminuent avec la diminution de l’épaisseur du film métallique. Par conséquent, la profondeur de pénétration et la longueur de propagation du mode LRSP deviennent importantes.

En ce qui concerne le mode SRSP, la profondeur de pénétration et la longueur de propagation diminuent avec la diminution de l’épaisseur métallique.

Par ailleurs, il faut signaler que la constante de propagation du mode LRSP est toujours inférieure à celle du mode SRSP, quelque soit l’épaisseur métallique.

34

Notons, enfin que pour une épaisseur inférieure à 10nm, l’excitation des modes LRSP et SRSP devient impossible, on parle alors d’un mode Cut-Off [17]. Cette valeur d’épaisseur dépend de l’indice de réfraction des milieux diélectriques adjacents.

0 20 40 60 80 100 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 n_diele LRSP mode SRSP mode R e ( β /k0 ) d(nm) 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 mode cut-off 0 20 40 60 80 100 1E-4 1E-3 0,01 0,1 LRSP mode SRSP mode Im ( β /k0 ) d(nm) 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

Fig.I.7. Effet de l’épaisseur du film métallique sur, (A) la partie réelle et (B) la partie imaginaire de la constante de propagation du mode LRSP et SRSP. La longueur d’onde d’excitation est λ=633nm. L’indice de réfraction des milieux diélectriques n1=n3=1.33.

(A)

35 I.2.4.2. Justification du choix du métal

Le choix du métal joue un rôle très important dans l’excitation des plasmons de surface. D’abord, il doit remplir les conditions nécessaires pour l'excitation des plasmons de surface dans une gamme de longueurs d'onde convenable (la gamme du visible et proche infrarouge). Ces conditions se résument en :

ε

<

0,

ε

>

ε

et

ε

>

ε

.

Il faut noter que pour des longueurs d’onde < 520nm, les photons au lieu de transférer leur énergies aux plasmons de surface, ils le font à des électrons liés déclenchant ainsi le mécanisme des transitions intérbandes. Dans ce cas εmr devient positif et inferieur à εmi et, par conséquent, l’excitation des

plasmons de surface devient impossible.

Ensuite il faut que le transfert d'énergie électromagnétique de l'onde incidente aux plasmons de surface soit maximal, et que, les pertes d'énergie dans le métal soient minimales. Finalement, le métal doit présenter une forte stabilité chimique au cours du temps.

L’argent et l’or présentent les métaux qui garantissent la plus part de ces conditions [18-21]. Dans le cas de l’argent, le couplage entre l’onde incidente et les plasmons de surface est maximal. Cependant, le problème de l'instabilité chimique de l’argent qui s’oxyde spontanément, limite son utilisation dans la plupart des capteurs optiques commerciaux. L’utilisation d’une couche protectrice, par exemple un film mince d’or, peut faire disparaître ce problème.

En ce qui concerne l’or, il est très stable vis à vis de l’oxydation et d’autres polluants atmosphériques. De plus, l’or est suffisamment réactif. Ce qui permet l’immobilisation d’une grande variété de molécules réceptrices.

I.2.5 Méthodes optiques de couplage

I.2.5.1 Relation de couplage plasmon-lumière.

D’après la représentation graphique de la ligne de lumière et de la relation de dispersion des plasmons de surface, illustré sur la figure I.4, on constate qu’en absence d’un coupleur, le couplage entre les plasmons de surface et l’onde électromagnétique incidente ne peut y avoir lieu. En revanche, pour que ce couplage puisse s’établir il faut que la condition dite de couplage soit satisfaite (équation I.39).

36

Cette dernière s’exprime tout simplement par l’égalité entre la norme du vecteur d’onde des plasmons de surface et la projection dans le plan de la surface du vecteur d’onde de lumière incidente.

1 1

sin( )

n

c

c

ε ε

ω

_θ

ω

ε ε

=

+

Pour remplir cette condition, il faut augmenter le vecteur d’onde de la lumière incidente par l’utilisation d’un coupleur, afin qu’il y ait un transfert d’énergie aux plasmons de surface.

D’un point de vue pratique, il existe deux méthodes principales :

1. En faisant passer la lumière incidente à travers un milieu d’indice de réfraction supérieur à celui du milieu diélectrique (couplage par prisme).

2. En ajoutant un pseudo-moment dû à la structure de l’interface métallique via un réseau périodique ou plus généralement via une surface rugueuse (Couplage par réseau de diffraction).

I.2.5.2 Couplage par prisme

Dans ce cas, l’excitation des plasmons de surface à l’interface métal/diélectrique s’effectue par un champ optique évanescent obtenu lorsqu’une réflexion totale d’une onde lumineuse progressive se produit. Deux types de configurations peuvent être utilisés : la configuration de Kretschmann (figure I.8.a) et celle d’Otto (figure I.8.b). Dans la configuration de Kretschmann, le métal est mis en contact direct avec le prisme. Dans ce cas, l’excitation des plasmons de surface se fait à l’interface métal- diélectrique (milieu d’analyse). Ce qui permet de détecter une petite modification de l’indice de réfraction de l’environnement proche à l’interface et, par conséquent, de réaliser des capteurs SPR performants, comme il sera démontré dans ce chapitre.

Dans la configuration d’Otto, la couche métallique et le prisme sont séparés par un milieu diélectrique appelé gap. On note que l’indice de réfraction du gap doit être inférieur à celui du prisme. Ainsi, le couplage entre les plasmons de surface et l’onde incidente aura lieu à l’interface métal-gap. L’inconvénient de cette configuration provient du fait que l’onde plasmons de surface ne pénètre pas dans le milieu d’analyse. C’est donc pour cette raison que l’utilisation de la configuration d’otto dans les capteurs optique à effet SPR est très limitée.

37

Fig I.8: (a) Configuration de Kretschmann, (b) Configuration d’Otto.

La figure I.9 montre le rôle du prisme dans le couplage entre l’onde incidente et les plasmons de surface à l’interface métal-diélectrique. On remarque que, en absence du prisme, la ligne de lumière incidente (ω=c.k) et celle de la composante tangentielle du vecteur d’onde (ω=c.k/sinθ) sont toujours au-dessus de la courbe de dispersion des plasmons de surface. Par contre, en présence d’un prisme la composante tangentielle du vecteur d’onde et la courbe de dispersion des plasmons de surface se croisent. Ceci signifie que la composante tangentielle du vecteur d’onde de la lumière incidente et la norme du vecteur d’onde des plasmons de surface sont égales (conservation du vecteur d’onde). Ainsi, le transfert d’énergie incidente aux plasmons de surface devient possible.

Fig I.9: Schéma descriptif de la condition du couplage entre l’onde incidente et les plasmons de surface.

.

c k

ω

=

k

ω sin . x

c k

38

Le couplage entre l’onde électromagnétique et les plasmons de surface se traduit par une chute de l’intensité lumineuse réfléchie. Ce qui explique l’apparition d’un pic de résonance sur le spectre angulaire de réflectivité, obtenu pour un système à trois couches (prisme BK7/ L’Or 50nm/ l’air), comme ceci est illustré sur la figure I.10.

50 55 60 65 70 75 80 85 90 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 R e fl e c ti v it e Angle ° 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

Fig.I.10. Spectre de réflectivité illustrant le phénomène de couplage entre l'onde électromagnétique et plasmons de surface.

Notons que la position angulaire du minimum de pic de résonance est fortement sensible à la partie réelle de la permittivité diélectrique du métal. Par ailleurs, la largeur à mi-hauteur, quand à elle, est quasiment proportionnelle à la partie imaginaire de la permittivité diélectrique.

I.2.5.3 Couplage par réseau de diffraction

La méthode de couplage par prisme, à cause des difficultés de miniaturisation que peut connaître, reste limitée sur des montages optiques dédiés à la recherche fondamentale. Pour des dispositifs miniaturisés et commercialisables, une autre méthode très pratique pour coupler la lumière avec les plasmons de surface consiste à utiliser un réseau de lignes ou de plots métalliques. De la même façon que dans le cas d’un prisme, l’excitation des plasmons de surface à travers un réseau de diffraction aura lieu si et seulement si la condition de couplage est remplie. Pour y arriver, il faudra que la

39

composante tangentielle du vecteur d’onde de l’un des ordres de diffraction kx m' du réseau, soit égale

à la norme du vecteur d’onde des plasmons de surface (voir figure I.11):

'

Re{

}

xm sp

k

=

k

Cette composante tangentielle s’exprime comme suit :

'

xm x

k

= +

k

mG

G

r

est le vecteur d’onde du réseau ; kx est la projection tangentielle du vecteur d’onde du faisceau

incident.

L’expression de la position angulaire d’un ordre de diffractions m est :

_m arcsin sin( ) 0 m nd

λ

β

α

Oùn est l’indice de réfraction du milieu adjacent, d est le pas du réseau sinusoïdale (Fig I.12).

Fig I.11: Schéma illustrant l’excitation des plasmons de surface à travers un réseau de diffraction de types sinusoïdale

Dans ce cas, le couplage entre les plasmons de surface et l’ordre de diffraction m aura lieu si [22] :

2

sin

Re(

)

n

m

k

c

d

ω

_α

_±

π

₌

40

Fig.I.12. Phénomène de couplage par réseau de diffraction

I-3 Caractéristiques principales de l’onde plasmons de surface

Nous avons montré que les ondes plasmons de surface sont de type ondes évanescentes, leurs vecteurs d'onde comportent deux composantes, une composante k_zj

r

décrivant la pénétration de l'onde dans la direction perpendiculaire à l'interface métal – diélectrique. L'autre composante k_x

r

décrivant la propagation de l’onde plasmons le long de l'interface.

( ) ( )

( )

k

k

c

ω

ε ω





+

=









%

avec j = 1 ou m caractérisant le milieu diélectrique et métallique, respectivement.

Généralement, ce confinement de la lumière par les plasmons de surface est quantifié géométriquement par deux grandeurs caractéristiques :

• Le long de la normale à la surface métallique : profondeur de pénétration.

• Le long de l’interface : longueur de propagation.

I.3.1 Profondeur de pénétration

Généralement, la détermination de la profondeur de pénétration de l’onde plasmons de surface dans le milieu diélectrique est d’une importance majeurs, car elle donne une indication précieuse sur la distance à laquelle une molécule cible pourrait être détectée. Elle est attribuée à l’atténuation exponentielle de l’amplitude du champ des ondes plasmons de surface selon sa distance à l’interface (

x

k

ω

41 exp_−k_zj z_), comme il est illustré par la figure I-13. Autrement dit, la distance pour laquelle l’amplitude du champ s’atténue de 1/e s'appelle la profondeur de pénétration, définie par :

1

Z

k

=

k

c

k

c

ε

ω

ε

ε

ε

ω

ε ε



_

_

_

_



₌

_

_

_

_

+



















_

_

=











+



_

_



La norme du vecteur d’ondek_{z j}à un caractère imaginaires, car

ε ε

+ <

0

1/2 1 2 1/2 1 1 2 1

2

2

Z

Z

ε

ε

λ

π

ε

ε

ε

λ

π

ε



_

₊

_







₌

_

_







_

_







_

_





_

_

_

₊

_

=



_

_

_

_







_

_



Fig.I.13. Profondeur de pénétration des plasmons de surface dans la direction perpendiculaire à l’interface métal diélectrique.

I.3.2 Longueur de propagation

Dans le métal

42

En réalité l’intensité du champ électromagnétique des ondes plasmons de surface se propageant le long d’une interface métal- diélectrique, décroît en fonction de l’ ''

exp( 2− k x_x ). La longueur pour laquelle

l’intensité décroît à 1/e, s’appelle la longueur de propagation, notée :

L

(2. Im(

k

))

−

=

Il est important de noter que l’atténuation de l’onde plasmons de surface est une conséquence des pertes par effet joule dans le métal et les pertes radiatives.

Les pertes par effet joule sont dues à l’excitation des pairs électron-trou au niveau de Fermi. La recombinaison du couple électron-trou se traduit par la création des phonons, ce qui augmente la température du métal.

En ce qui concerne les pertes radiatives, ils s’agissent d’une réémission de photons (dissipation d’énergie radiative) vers le milieu diélectrique.

Fig I.14: Schéma illustratif de la longueur de propagation L du plasmon de surface se propageant à l’interface entre un métal et un diélectrique.

I-4. Exemple des applications de la technique SPR.

Le grand intérêt accordé ces dernières années au phénomène de la résonance des plasmons de surface, s’explique principalement par le fait que ce phénomène permet d’un coté le confinement de la lumière à l’échelle nanométrique et, d’un autre coté, l’amplification de l’intensité de la lumière incidente à l’interface métal - diélectrique. Cette amplification représente une méthode efficace permettant aux plasmons de surface de se propager sur de longues distances. Ces valeurs de longueur de propagation qu’on peut atteindre (de l’ordre du micromètre) sont fortement sollicités dans la plus part des