Les parties k-puissante et k-libre d'un nombre

Les parties k-puissante et k-libre d’un nombre

Les parties k-puissante et k-libre d’un nombre

Thèse

Maurice-Etienne Cloutier

Sous la direction de:

Jean-Marie De Koninck, directeur de recherche Nicolas Doyon, codirecteur de recherche

Résumé

Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à la structure multiplicative des nombres entiers par le biais des deux fonctions arithmétiques sq_k(n) := Y

pα||n α<k pα et pow_k(n) := Y pα||n α≥k pα, nommées respectivement la partie k-libre de n et la partie k-puissante de n.

Dans le premier chapitre, nous évaluons le comportement asymptotique de la sommation X

n≤x

sqa_k(n)pow_kb(n) pour k ≥ 2 fixé et avec différentes valeurs réelles de a et b. Nous obtenons par exemple que X

n≤x sqk(n) = C(k)x2 + O  x1+1k  tandis que X n≤x powk(n) = D(k)x1+ 1 k + Ox1+k+11 

, d’où nous pouvons conclure que la partie k-libre est fréquemment plus grande que la partie k-puissante. De plus, l’ordre de grandeur de la somme dépend généralement du maximum entre a et b.

Dans le deuxième chapitre, nous obtenons divers résultats en lien avec les deux fonctions sq_k(n) et pow_k(n) lorsque k = 2. Nous touchons en particulier à la distribution de leurs valeurs, à la densité des nombres satisfaisant pow2(n) > sq2(n), ainsi qu’à la valeur moyenne asymptotique

de ces deux fonctions sur les nombres n’ayant aucun facteur premier plus grand que y, et ce pour différents ordres de grandeur de y. D’ailleurs, nous montrons que l’égalité

log        X n≤x P (n)≤y sq2(n) x        = (1 + o(1)) log        X n≤x P (n)≤y pow2(n) x       

est valide uniquement lorsque y = 2 log x auquel cas nous obtenons que ces expressions sont égales à (1 + o(1)) 2 log 2 log x

log log x lorsque x → ∞.

Finalement, dans le troisième et dernier chapitre, nous généralisons les résultats du chapitre précédent aux valeurs de k supérieures à 2.

Abstract

In this thesis, we study the multiplicative structure of integers by using the two arithmetical functions sq_k(n) := Y pα||n α<k pα and pow_k(n) := Y pα||n α≥k

pα, named respectively the k-free part of n and the k-full part of n.

In the first chapter, we evaluate the asymptotic behavior of the summation X

n≤x

sqa_k(n)pow_kb(n) for k ≥ 2 fixed and for different real values of a and b. For example, we obtain thatX

n≤x sqk(n) = C(k)x2 + O  x1+1k  while X n≤x powk(n) = D(k)x1+ 1 k + O  x1+k+11 

, which means the k-free part is frequently greater than the k-full part. Furthermore, the order of magnitude of the sum generally depends on the maximum between a and b.

In the second chapter, we get various results related to the functions sqk(n) and powk(n)

when k = 2. We study in particular the distribution of their values, the density of numbers satisfying pow2(n) > sq2(n), and also the asymptotic mean value of those two functions on

the numbers without any prime factor greater than y, and for different values of y. In fact, we show that the equality

log        X n≤x P (n)≤y sq2(n) x        = (1 + o(1)) log        X n≤x P (n)≤y pow2(n) x       

holds only for y = 2 log x. And for this value of y, those expressions are in fact equal to (1 + o(1)) 2 log 2 log x

log log x as x → ∞.

Finally, in the third and last chapter, we generalize the results of the previous chapter to k greater than 2.

Table des matières

Résumé iii

Abstract iv

Table des matières v

Remerciements vii

Introduction 1

1 La somme X

n≤x

sqa_k(n)pow_kb(n) 3

1.1 Informations sur la notation et résultats utiles. . . 4

1.2 Les sommesX n≤x 1 sqa k(n) etX n≤x 1 powb k(n) . . . 12 1.3 La sommeX n≤x sq_ka(n)powb_k(n) pour différents a et b . . . 16

1.4 La sommeX n≤x sq_ka(n)powb_k(n) lorsque a ≤ −1 et b ≤ −1_k . . . 19

1.5 Récapitulatif . . . 22

2 Comparatifs entre les fonctions sq₂(n) et pow2(n) 24 2.1 Quelques rappels . . . 24

2.2 La distribution des valeurs de sq2(n) et pow2(n) . . . 25

2.3 La fonction pow2(n) est rarement plus grande que sq2(n) . . . 31

2.4 Les sommes Ay(x) et By(x) pour y = x 1 u . . . 32

2.5 L’ordre de grandeur de A_y(x) et By(x) pour de petites valeurs de y . . . . 38

2.6 Trouver y = y (x) tel que A_y(x) coïncide avec By(x) . . . 41

3 Comparatif entre les fonctions sq_k(n) et powk(n) 51 3.1 Quelques rappels . . . 51

3.2 La distribution des valeurs de sqk(n) et powk(n) . . . 52

3.3 La fonction pow_k(n) est rarement plus grande que sqk(n) . . . 58

3.4 Les sommes A_y,k(x) et By,k(x) pour de grandes valeurs de y . . . 59

3.5 L’ordre de grandeur de Ay,k(x) et By,k(x) pour de petites valeurs de y . . . 65

3.6 Les sommes A_y,k(x) et By,k(x) pour y = C log x . . . 68

Remerciements

Je voudrais remercier mon directeur de recherche Jean-Marie De Koninck et mon codirecteur de recherche Nicolas Doyon pour leur aide, leurs suggestions et leur soutien.

Introduction

Nous savons par le théorème fondamental de l’arithmétique que chaque entier supérieur ou égal à 2 peut être écrit de manière unique comme un produit de nombres premiers. Nous allons nous intéresser à certaines fonctions arithmétiques spécifiques qui, pour un nombre n, nous retournent une valeur qui dépend de la multiplicité de chaque nombre premier dans la factorisation de n.

Nous allons commencer par quelques définitions importantes. Notons que dans tout ce qui suit, la lettre k représente un entier fixe ≥ 2. De plus, la lettre p désigne toujours un nombre premier. Finalement, nous utilisons la notation a|b pour indiquer que a divise b et la notation pi||b pour indiquer que pi _{divise exactement b, c’est-à-dire p}i _{divise b mais p}i+1 _{ne divise pas}

b.

Définition 0.1 Nous dirons que n est k-libre si pour n’importe quel facteur premier p de n, pk- n.

Définition 0.2 Nous dirons que n est k-puissant si pk| n lorsque p | n.

Notons que l’intérêt pour les nombres puissants a débuté en 1934 lorsque P. Erdös et G. Szekeres [6] ont obtenu une expression pour le nombre d’entiers k-puissants ne dépassant pas x. Ensuite, d’autres mathématiciens ce sont mis à étudier ces nombres et à améliorer le terme d’erreur, c’est notamment le cas de P.T. Bateman et E. Grosswald [2] et A. Ivić et P. Shiu [10].

Les définitions précédentes de nombres k-libres et k-puissants nous permettent d’introduire deux fonctions qui seront étudiées tout au long de cette thèse.

Définition 0.3 Nous désignons la partie k-libre de n par sq_k(n) := Y

pα_||n

α<k

pα.

Définition 0.4 Nous désignons la partie k-puissante de n par powk(n) :=

Y

pα_||n

α≥k

Remarque 0.1 Par commodité, nous posons pow_k(1) = sqk(1) = 1.

Nous pouvons constater que pour n’importe quel nombre n, les fonctions pow_k(n) et sqk(n)

sa-tisfont toujours l’équation powk(n)sqk(n) = n. De plus, comme nous pouvions nous y attendre,

powk(n) est un nombre k-puissant tandis que sqk(n) est k-libre.

Voici deux exemples qui indiquent la valeur que prennent les fonctions pow_k(n) et sqk(n) pour

deux valeurs de n.

Exemple 0.1 Soit n = 12 = 22 · 3. Pour k = 2, nous obtenons pow2(n) = 22 = 4 et

sq2(n) = 3. Pour k ≥ 3, nous avons powk(n) = 1 et sqk(n) = n car tous les exposants dans la

factorisation première de n sont inférieurs à 3.

Exemple 0.2 Soit n = 360 = 23· 32_{· 5. Pour k = 2, nous avons pow}

2(n) = 23· 32 = 72 et

sq2(n) = 5. Pour k = 3, nous obtenons pow3(n) = 23 = 8 et sq3(n) = 32· 5 = 45. Finalement,

pour k ≥ 4, nous avons powk(n) = 1 et sqk(n) = n car tous les exposants dans la factorisation

première de n sont inférieurs à 4.

Dans cette thèse, nous allons étudier les sommes de la forme X

n≤x

sq_ka(n)powb_k(n) et, par la suite, notre attention se portera principalement sur les sommes de la forme X

n≤x P (n)≤y sqk(n) et X n≤x P (n)≤y

Chapitre 1

La somme

X

n≤x

sq

_k

a

(n)pow

_k

b

(n)

Notre but dans ce chapitre est d’obtenir le comportement asymptotique des sommes de la forme X

n≤x

sqa_k(n)pow_kb(n) où k ≥ 2 est un entier fixé et a et b sont des nombres réels. Une partie de mon mémoire de maîtrise [3] traite des sommes de cette forme dans le cas où k = 2. Voici un récapitulatif de ces résultats.

Théorème 1.1 Soit a et b des entiers et e un entier positif. Alors, en posant

Ce= Y p  1 − 1 p2 + p − 1 pe+2_(pe+1_{− 1)}  et De= Y p 1 + 1 p32 + 1 pe+12 − 1 pe+32 ! ,

nous avons que X

n≤x

sqa₂(n)pow₂b(n) est égal à

xa+1 a + 1+ O (x a_{) si a = b ≥ 0,} Ca+b a + 1x a+1_{+ O}_xa+1₂ _{si a > b ≥ 0,} Db−a 2b + 1x b+1 2 + O  xb+13  si b > a ≥ 0, Ca−b a + 1x a+1_{+ O}_xa+1₂ _{si a ≥ 0, b < 0,} Db−a 2b + 1x b+1_{2 + O}_xb+1₃ _{si a < 0, b ≥ 0,}

log x Y p  1 − 1 p2 + p − 1 p1−b_(p−b_{− 1)}  + O (log log x) si a = −1, b < 0, Y p  1 + 1 p−a + 1 p−b_(p−b_{− 1)}  + O  1 √ x  si a < −1, b = −1, Y p  1 + 1 p−a + 1 p−b_(p−b_{− 1)}  + O 1 x  si a < −1, b ≤ −2.

Pour pouvoir généraliser ces résultats à k > 2, nous allons commencer par introduire certaines notations et quelques résultats importants.

1.1

Informations sur la notation et résultats utiles

Voici une énumération de différentes fonctions qui seront utilisées dans cette thèse. La fonction φ(n) d’Euler désignera la quantité d’entiers entre 1 et n qui sont copremiers à n. La fonction ω (n) désignera le nombre de facteurs premiers distincts de n (avec ω (1) = 0). La fonction Ω (n) désignera le nombre de facteurs premiers de n en comptant leur multiplicité (avec Ω (1) = 0). La fonction P (n) désignera le plus grand facteur premier de n (avec P (1) = 1). La fonction p (n) désignera le plus petit facteur premier de n (avec p (1) = 1). La fonction Ψ (x, y) désignera #{n ≤ x : P (n) ≤ y}, ce qui est définie pour 2 ≤ y ≤ x. La fonction π(x) désignera le nombre de nombres premiers ne dépassant pas x. Finalement, bxc désignera la partie entière du nombre réel x tandis que {x} désignera sa partie fractionnaire.

Le résultat qui suit, appelé lemme d’Abel ou formule d’Abel, jouera un rôle essentiel tout au long de cette thèse.

Lemme 1.1 (Formule d’Abel/Lemme d’Abel) Soit a_nune suite de nombres et f (x) une fonction dérivable. Posons A(x) = X

n≤x an. Alors, X n≤x anf (n) = A(x)f (x) − Z x 1 A(t)f0(t)dt. Preuve : En évaluant le membre de gauche, nous obtenons

X n≤x anf (n) = X n≤x (A(n) − A(n − 1)) f (n) = X n≤x A(n)f (n) − X n≤x−1 A(n)f (n + 1) = X n≤x−1 A(n) (f (n) − f (n + 1)) + A(bxc)f (bxc)

= − X n≤x−1 A(n) Z n+1 n f0(t)dt + A(x)f (bxc) = − X n≤x−1 Z n+1 n

A(t)f0(t)dt + A(x) (f (bxc) − f (x)) + A(x)f (x) = − Z bxc 1 A(t)f0(t)dt − Z x bxc A(t)f0(t)dt + A(x)f (x) = A(x)f (x) − Z x 1 A(t)f0(t)dt. 

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la formule d’Abel.

Corollaire 1.1 Soit a_n une suite de nombres et f (x) une fonction dérivable. Posons A(x) = X

n≤x

an. Alors,

X

y<n≤x

anf (n) = A(x)f (x) − A(y)f (y) −

Z x

y

A(t)f0(t)dt. Maintenant, nous allons introduire quelques résultats liés aux nombres k-libres.

Définition 1.1 Nous désignons par q_k(n) la fonction caractéristique des nombres k-libres. Cette fonction nous sera pratique pour énoncer et démontrer différents résultats. En voici un premier qui nous fournit une autre représentation de la fonction q_k(n).

Lemme 1.2 Pour tout entier n ≥ 1,

qk(n) =

X

dk_|n

µ(d).

Preuve : Si n est k-libre, alors la seule manière possible d’avoir dk|n est lorsque d = 1, auquel cas P

dk_|nµ(d) = 1 = qk(n). Dans le cas où n n’est pas k-libre, les diviseurs d qu’il faut

considérer sont ceux qui sont libres de carrés (car µ(d) = 0 si d ne l’est pas). De plus, pour que dk divise n, les facteurs premiers de n qui nous intéressent sont ceux qui ont un exposant supérieur ou égal à k dans la factorisation de n. Soit q₁, . . . , qm ces facteurs premiers, nous

avons alors X dk_|n µ(d) = X d|q1q2···qm µ(d) = m X i=0 m i  (−1)i = (1 − 1)m = 0 = qk(n). 

Remarque 1.1 Nous avons aussi que pour tout entier n ≥ 1, X d|n µ(d) = ( 1 si n = 1, 0 sinon.

La remarque précédente nous permet d’obtenir le résultat suivant qui sera utilisé plus tard.

Lemme 1.3 Uniformément pour x ≥ 1 et pour chaque entier r ≥ 1, nous avons

X n≤x (n,r)=1 1 = xφ(r) r + O   X d|r µ2(d)  .

Preuve : En utilisant la remarque 1.1, nous constatons que X n≤x (n,r)=1 1 = X n≤x X d|(n,r) µ(d) =X d|r µ(d)X n≤x d|n 1 = X d|r µ(d)jx d k = xX d|r µ(d) d − X d|r µ(d)nx d o = xY p|r  1 −1 p  −X d|r µ(d)nx d o = xφ(r) r − S(r, x),

disons. Il est alors facile de constater que |S(r, x)| ≤X

d|r

µ2(d) pour n’importe quelles valeurs de r et de x.

 Avec la nouvelle représentation de la fonction q_k(n) obtenue au lemme 1.2, nous sommes en mesure d’obtenir la quantité de nombres k-libres n’excédant pas x.

Lemme 1.4 Pour tout x ≥ 1 nous avons X r≤x r k−libre 1 = x ζ(k)+ O  xk1  .

Preuve : Nous pouvons écrire X r≤x r k−libre 1 = X r≤x qk(r) = X r≤x X dk_|r µ(d) = X dk_≤x µ(d) X a≤x dk 1

= X d≤x1k µ(d) jx dk k = X d≤xk1 µ(d) x dk − nx dk o = x ∞ X d=1 µ(d) dk − x X d>x1k µ(d) dk + O    X d≤xk1 |µ(d)|    = xY p  1 − 1 pk  − x X d>xk1 µ(d) dk + O  x1k  = x ζ(k) − xS1(x) + O  xk1  , (1.1)

disons. En utilisant la majoration

|S₁(x)| ≤ X d>x1k 1 dk ≤ Z ∞ bx1kc t−kdt = 1 (k − 1)bxk1ck−1 ≤  2 x1k k−1  1 x1−1k

dans (1.1), nous obtenons le résultat voulu.



Maintenant, regardons ce que nous obtenons lorsque nous rajoutons la contrainte d’être co-premier à un certain nombre m.

Lemme 1.5 Pour tout entier m ≥ 1 et tout x ≥ 1 nous avons

X r≤x r k−libre (r,m)=1 1 = x ζ(k) Y p|m  1 −1_p  1 −_p1k  + O  x1kY p|m   1 + 1 pk1 1 −1_p    .

Preuve : La fonction multiplicative F_k(n) définie par Fk(pα) =

     1 si α ≡ 0 (mod k), −1 si α ≡ 1 (mod k), 0 sinon

sera utile pour la suite. De plus, Dm sera utilisé pour désigner l’ensemble des nombres dont

tous les facteurs premiers sont des facteurs premiers de m. Par conséquent, pour s > 1, nous pouvons écrire ∞ X r=1 (r,m)=1 qk(r) rs = Y p-m  1 + 1 ps + 1 p2s + · · · + 1 p(k−1)s  = Q p  1 +_p1s +_p12s + · · · +_p(k−1)s1  Q p|m  1 +_p1s +_p12s+ · · · + 1 p(k−1)s 

= ∞ X n=1 qk(n) ns Y p|m  1 − 1 ps + 1 pks − 1 p(k+1)s + · · ·  = ∞ X n=1 qk(n) ns X v∈Dm Fk(v) vs = ∞ X k=1 1 ks X nv=k v∈Dm Fk(v)qk(n).

Ainsi, à cause de l’unicité de la représentation des séries de Dirichlet et en utilisant le lemme

1.4, nous avons X r≤x (r,m)=1 qk(r) = X nv≤x v∈Dm Fk(v)qk(n) = X v≤x v∈Dm Fk(v) X n≤x_v qk(n) = X v≤x v∈Dm Fk(v)  x vζ(k)+ O _ x v 1 k  = x ζ(k)    X v∈Dm Fk(v) v − X v>x v∈Dm Fk(v) v   + O     x1k X v≤x v∈Dm Fk(v) vk1     = x ζ(k) X v∈Dm Fk(v) v + O   x X v>x v∈Dm |F_k(v)| v   + O     x1k X v≤x v∈Dm |F_k(v)| v1k     = x ζ(k) Y p|m  1 −1 p + 1 pk − 1 p(k+1) + · · ·  + O x1k X v∈Dm |F_k(v)| v1k ! = x ζ(k) Y p|m  1 −1_p  1 −_p1k  + O  x1k Y p|m   1 + 1 p1k 1 −1_p    . 

Remarque 1.2 Notons que Robinson [17] a obtenu O     x1k X d|m d libre de carrés 1     comme terme

d’erreur alors que Suryanarayana [19] a amélioré cela avec O     x1k φ(n) n X d|m d libre de carrés d−s     uniformément en m et x et pour 0 ≤ s < 1_k. Pour des nombres m ayant de petits facteurs premiers, le terme d’erreur de Suryanarayana est meilleur, tandis que pour m ayant de grands facteurs premiers notre terme d’erreur est meilleur.

Nous allons maintenant obtenir les résultats analogues pour les nombres k-puissants.

Lemme 1.6 Il existe des constantes γ_0,k, γ1,k, . . . , γk−1,k telles que

X n≤x n k-puissant 1 = k−1 X i=0 γi,kx 1 k+i _{+ ∆} k(x),

où ∆_k(x)  x2k−11 _{. De plus, nous avons que γ}

0,k := Y p 1 + 2k−1 X m=k+1 p−mk ! .

Preuve : Voir A. Ivić et P. Shiu [10].



Lemme 1.7 Pour tout entier r ≥ 1 et tout x ≥ 1, nous avons

X n≤x n k-puissant (n,r)=1 1 = γ0,kx 1 kφ(r) r Y p|r 1 + 2k−1 X m=k+1 p−mk !−1 + O  xk+11 X d|r µ2(d)  .

Preuve : Nous avons une représentation unique pour les nombres k-puissants que nous pou-vons utiliser. Celle-ci correspond à n = ak₁ak+1₂ · · · a2k−1_k où a₂a3· · · ak est libre de carrés.

Cela découle du fait qu’un nombre v ≥ k ne peut s’écrire que d’une seule façon sous la forme kb1+(k+1)b2+· · ·+(2k−1)bkoù b1est un entier plus grand ou égal à zéro, b2, b3, . . . , bk∈ {0, 1}

et b₂+ b3+ · · · + bk∈ {0, 1}.

Nous obtenons ainsi en utilisant le lemme 1.3que X n≤x n k-puissant (n,r)=1 1 = X ak1a k+1 2 ···a 2k−1 k ≤x (ai,r)=1 µ2(a2· · · ak) = X ak+1₂ ···a2k−1 k ≤x (ai,r)=1 µ2(a2· · · ak) X ak 1≤ x ak+1 2 ···a 2k−1 k (a1,r)=1 1 = X ak+1₂ ···a2k−1 k ≤x (ai,r)=1 µ2(a2· · · ak)   x ak+1₂ · · · a2k−1_k !1 k φ(r) r + O   X d|r µ2(d)     = x1kφ(r) r S1(x) + O   X d|r µ2(d)S2(x)  , (1.2)

où, disons, S1(x) = X ak+1₂ ···a2k−1 k ≤x (ai,r)=1 µ2(a2· · · ak)  ak+1₂ · · · a2k−1_k  1 k et S2(x) = X ak+1₂ ···a2k−1 k ≤x (ai,r)=1 µ2(a2· · · ak).

Il est alors facile de voir que

S2(x) ≤ X n≤x n (k + 1)-puissant (n,r)=1 1  xk+11 _{, (1.3)}

où nous avons utilisé le lemme 1.6.

Pour ce qui est de S₁(x), nous remarquons que S1(x) = ∞ X ak+12 ···a 2k−1 k =1 (ai,r)=1 µ2(a2· · · ak) (ak+1₂ · · · a2k−1_k )1k − X ak+12 ···a 2k−1 k >x (ai,r)=1 µ2(a2· · · ak) (ak+1₂ · · · a2k−1_k )k1 = S3− S4(x), (1.4)

disons. Nous constatons sans trop de difficulté que

S3 = Y p-r 1 + 1 p1+1k + 1 p1+2k + · · · + 1 p2−1k ! = γ0,k Y p|r 1 + 2k−1 X m=k+1 p−mk !−1 .

Dans le cas de S₄(x), nous obtenons en utilisant le lemme d’Abel et le lemme1.6 que S4(x) ≤ X n>x n (k + 1)-puissant 1 n1k  t 1 k+1 t1k      ∞ x = x 1 k+1 x1k .

En réintroduisant les expressions trouvées pour S3 et S4(x) dans (1.4), nous obtenons

S1(x) = γ0,k Y p|r 1 + 2k−1 X m=k+1 p−mk !−1 + O x 1 k+1 x1k ! .

Finalement, en utilisant cette dernière expression avec (1.3) dans (1.2), nous trouvons

X n≤x n k-puissant (n,r)=1 1 = γ0,kx 1 kφ(r) r Y p|r 1 + 2k−1 X m=k+1 p−mk !−1 + O  xk+11 X d|r µ2(d)  ,

ce qui est le résultat souhaité. _

Nous allons maintenant énoncer deux autres résultats qui vont eux aussi nous être utiles pour la suite.

Théorème 1.2 Soit f une fonction arithmétique pour laquelle il existe m ∈ N tel que, pour s > 1, ∞ X n=1 f (n) ns = ζ m_(s) ∞ X n=1 g(n) ns , où |g(1)| + ∞ X n=2 |g(n)| log n n converge. Alors X n≤x f (n) = 1 (m − 1)! ∞ X n=1 g(n) n ! x logm−1x + O x logm−2x
. Preuve : Voir J.M. De Koninck et A. Mercier [14] (Théorème 5.12 et exercice 5.25).



Lemme 1.8 Nous avons que X

n≤x

2ω(n)= 1

ζ(2)x log x + O(x).

Preuve : Pour s > 1, nous avons

∞ X n=1 2ω(n) ns = Y p  1 + 2 1 ps + 1 p2s + · · ·  =Y p  1 + 2 ps_{− 1}  = Y p  ps_{+ 1} ps_{− 1}  =Y p 1 + 1 ps 1 −_p1s ! = ζ 2_(s) ζ(2s). De plus, 1 ζ(2s) = Y p  1 − 1 p2s  = ∞ X n=1 µ(n) n2s .

Ainsi, nous pouvons appliquer le théorème 1.2avec m = 2 et

g(n) = (

µ(a) si n = a2 _{avec a ∈ N,}

0 sinon

et obtenir le résultat voulu.

1.2

Les sommes

X

1

sq

(n)

et

X

1

pow

(n)

Nous avons maintenant tout ce qu’il faut pour généraliser le théorème 1.1et ainsi obtenir le comportement de X

n≤x

sq_ka(n)powb_k(n) pour différentes valeurs réelles de a et de b. Étant donné un nombre réel e ≥ 1, nous introduisons les constantes

Ce,k := Y p  1 − 1 pk + pe(p − 1) pk(e+1)_(pe+1_{− 1)}  et De,k := Y p 1 + 2k−1 X i=k+1 p−ki + (p − 1)(p (k−1)(e+1_k)_{− 1)} p(k−1)(e+1k)+1(pe+ 1 k − 1) ! .

Ces constantes généralisent celles introduites dans le théorème 1.1 où k = 2. De plus, Ce,k

converge pour e > −1 et D_e,k converge pour e > 1 −_k1.

Nous allons commencer par traiter le cas où seulement une des deux fonctions est présente et avec un exposant négatif.

Lemme 1.9 Soit un nombre réel b > 0 fixé. Alors X n≤x 1 powb k(n) = Cb,kx + O  maxnx1−b, xk1 o .

Preuve : Nous avons en utilisant le lemme 1.5que X n≤x 1 pow_kb(n) = X mr≤x m k−puissant r k−libre (m,r)=1 1 mb = X m≤x m k−puissant 1 mb X r≤_mx r k−libre (r,m)=1 1 = X m≤x m k−puissant 1 mb   x mζ(k) Y p|m  1 −1_p   1 −_p1k  + O   x m _k1 _Y p|m   1 + 1 p1k 1 −1_p       = x ζ(k) X m≤x m k−puissant Q p|m  1−1_p 1− 1 pk  mb+1 + O        xk1 X m≤x m k−puissant Q p|m 1+ 1 p 1 k 1−_p1 ! mb+1k        = x ζ(k)S1(x) + O  xk1S₂(x)  , disons. Pour la première somme, nous avons

S1(x) = ∞ X m=1 m k−puissant Q p|m  1−1_p 1−1 pk  mb+1 − X m>x m k−puissant Q p|m  1−1_p 1− 1 pk  mb+1

= Y p 1 + 1 −1 p 1 −_p1k !  1 pk(b+1) + 1 p(k+1)(b+1) + · · · ! + O X m>x 1 mb+1 ! = Y p  1 + p − 1 p(k−1)b_(pk_{− 1)(p}b+1_{− 1)}  + O 1 xb  .

Pour la deuxième somme, nous avons

S2(x) ≤ ∞ X m=1 m k−puissant 1 mb+k1 Y p|m   1 + 1 p1k 1 −1_p  = Y p     1 + 1 + 1 pk1  1 −1_p(pkb+1₎  1 − 1 pb+ 1k       1.

En utilisant les deux expressions trouvées pour S₁(x) et S2(x), le résultat suit.



Pour obtenir le résultat correspondant faisant intervenir la fonction sq_k(n), nous allons devoir traiter différents cas selon la valeur de l’exposant.

Lemme 1.10 Soit a > 1 − 1_k fixé. Alors X n≤x 1 sqa k(n) =        Da,kx 1 k + O  xk+11  si a > 1 − _k+11 , Da,kx 1 k + O  xk+11 _log2_x  si a = 1 − _k+11 , Da,kx 1 k + O x1−alog x
si 1 − 1 k < a < 1 − 1 k+1.

Preuve : En faisant appel au lemme 1.7, nous avons successivement X n≤x 1 sqa k(n) = X mr≤x m k−puissant r k−libre (m,r)=1 1 ra = X r≤x r k−libre 1 ra X m≤x r m k−puissant (m,r)=1 1 = X r≤x r k−libre 1 ra         γ0,k x r 1_k φ(r) rY p|r 1 + 2k−1 X i=k+1 p−ik !+ O   x r _k+11 X d|r µ2(d)           = γ0,kx 1 k X r≤x r k−libre φ(r) ra+1+1k Y p|r 1 + 2k−1 X i=k+1 p−ik !+ O      xk+11 X r≤x r k−libre X d|r µ2(d) ra+k+11      = γ0,kx 1 kS₁(x) + O  xk+11 _S2(x)  , (1.5)

disons. Pour la première somme, nous avons S1(x) = ∞ X r=1 r k−libre φ(r) ra+1+1k Y p|r 1 + 2k−1 X i=k+1 p−ik !− X r>x r k−libre φ(r) ra+1+k1 Y p|r 1 + 2k−1 X i=k+1 p−ik ! = Y p  1 + 1 1 +P2k−1 i=k+1p −_ki !  k−1 X j=1 φ(pj) pj(a+1+k1)    + O X r>x 1 ra+k1 ! = Y p  1 + 1 − 1 p 1 +P2k−1 i=k+1p −i k !_k−1 X j=1 1 pj(a+1k)  + O  1 xa−1+1k  . (1.6)

Pour S2(x), le résultat dépend de la valeur de a. Premièrement, si a > 1 −_k+11 , nous obtenons

S2(x) ≤ Y p 1 + k−1 X i=1 P d|piµ2(d) pi(a+k+11 ) !  1.

Deuxièmement, si a = 1 − _k+11 , alors utiliser le lemme1.8et la formule d’Abel nous donne S2(x) ≤ X r≤x 2ω(r) r = x log x + O(x) x + Z x 1 t log t + O(t) t2 dt = O (log x) + Z x 1 log t t dt  log 2_(x).

Finalement, si 1 − _k1 < a < 1 − _k+11 , nous pouvons aussi utiliser le lemme 1.8 et la formule d’Abel pour obtenir

S2(x) ≤ X r≤x 2ω(r) ra+k+11  x log x xa+k+11 .

Nous obtenons le résultat voulu en introduisant l’expression correspondante trouvée pour S2(x)

ainsi que (1.6) dans (1.5).



Lemme 1.11 Soit 0 < a < 1 − 1_k fixé. Alors pour n’importe quel δ > 0, X n≤x 1 sqa k(n) = C−a,k 1 − ax 1−a_{+ O(xk}1+δ_).

Preuve : En utilisant la formule d’Abel et le lemme 1.5, nous obtenons X n≤x 1 sqa_k(n) = X mr≤x m k-puissant r k-libre (r,m)=1 1 ra = X m≤x m k-puissant X r≤_mx r k-libre (r,m)=1 1 ra

= X m≤x m k-puissant        1 x m
a X r≤_mx r k-libre (r,m)=1 1 + a Z x m 1 1 ta+1 X r≤t r k-libre (r,m)=1 1 dt        = X m≤x m k-puissant         x m
Y p|m 1 −1 p 1 −_p1k ! ζ(k) _mx
a + O         x m
1_kY p|m   1 + 1 pk1 1 −1_p   x m
a         +a Z x m 1         tY p|m 1 − 1 p 1 −_p1k ! ζ(k)ta+1 + O         tk1 Y p|m   1 + 1 p1k 1 −1_p   ta+1                 dt         = x 1−a (1 − a)ζ(k) X m≤x m k-puissant Q p|m  1−1_p 1− 1 pk  m1−a + O     X m≤x m k-puissant Y p|m 1 −1 p 1 −_p1k !     +O        x1k−a X m≤x m k-puissant Q p|m 1+ 1 p 1 k 1−1_p ! mk1−a        + O     X m≤x m k-puissant Y p|m   1 + 1 p1k 1 −1_p       = x 1−a (1 − a)ζ(k)S1(x) + O (S2(x)) + O(x 1 k−aS₃(x)) + O(S₄(x)), (1.7)

disons. Dans un premier temps, en utilisant le lemme1.6 et la formule d’Abel, nous trouvons

S1(x) = ∞ X m=1 m k-puissant Q p|m  1−1 p 1− 1 pk  m1−a − X m>x m k-puissant Q p|m  1−1 p 1− 1 pk  m1−a = Y p 1 + 1 − 1 p 1 −_p1k ! 1 (pk₎1−a + 1 (pk+1₎1−a + · · · !! + O    X m>x m k-puissant ma−1    = Y p 1 + (p − 1)p k p(pk_{− 1)(p}1−a₎k_{(1 −} 1 p1−a) ! + O     Z ∞ x ta−1d     X m≤t m k-puissant 1         = Y p  1 + (p − 1)p ak (pk_{− 1)(p − p}a₎  + Oxa−1+k1  .

Pour S₂(x), S3(x) et S4(x), la première étape est de remarquer que pour δ > 0, les sommes ∞ X m=1 m k-puissant 1 m1k+δ Y p|m   1 + 1 p1k 1 −1_p   et ∞ X m=1 m k-puissant 1 m1k+δ Y p|m 1 −1 p 1 −_p1k !

convergent. Ainsi, en utilisant la formule d’Abel, nous obtenons S₃(x) = O(xa+δ) tandis que S2(x) et S4(x) sont tous les deux O(x

1 k+δ).

Ainsi, en rassemblant les expressions obtenues pour S1(x), S2(x), S3(x) et S4(x) dans (1.7),

nous obtenons le résultat voulu.



Remarque 1.3 Nous n’avons pas de résultat asymptotique dans le cas où a = 1 − _k1. Nous pouvons cependant obtenir que X

n≤x 1 sq1− 1 k k (n) = Oxk1 log x 

en procédant comme dans la preuve du lemme 1.10.

Remarque 1.4 Notons quelques améliorations du terme d’erreur dans certains cas. Surya-narayana et Subrahmanyam [21] ont obtenu X

n≤x 1 sq2(n) = Aζ 3 2
ζ (3)x 1 2 + Bζ 2 3
ζ (2)x 1 3 + O  x15  . De plus, Tóth [24] a obtenu X n≤x 1 pow2(n) = Cx + O x12 exp −c₁ (log x) 3 5 (log log x)15 !! .

1.3

La somme

X

sq

(n)pow

(n) pour différents a et b

Nous sommes maintenant en mesure d’évaluer les différentes sommes X

n≤x

sqa_k(n)pow_kb(n). Le résultat va varier dépendamment de si a − b est positif, négatif ou nul. Tout d’abord, lorsque a = b, nous avons X

n≤x

sq_ka(n)powb_k(n) =X

n≤x

na et il est connu que

X n≤x na=      xa+1 a+1 + O (max{xa, 1}) si a > −1, log x + γ + O 1_x
si a = −1, ζ(−a) + O(xa+1) si a < −1.

Lemme 1.12 Soit a et b fixés tels que a − b > 0 et a 6= −1. Alors X n≤x sq_ka(n)powb_k(n) = Ca−b,k a + 1x a+1_{+ O}_maxn_xb+1_{, x}a+1 k, 1 o . Preuve : La somme X n≤x

sq_ka(n)powb_k(n) peut être écrite comme étant X

n≤x

na

powa−b_k (n). Par conséquent, en utilisant la formule d’Abel et le lemme 1.9, il résulte que

X n≤x sq_ka(n)powb_k(n) = xa  Ca−b,kx + O  max n x1−(a−b), x1k o − a Z x 1 X n≤t ta−1 powa−b_k (n)dt = Ca−b,kxa+1+ O  maxnx1+b, xa+1k o − aI1(x), (1.8)

disons. Pour l’intégrale I₁(x), nous obtenons I1(x) = Z x 1 ta−1X n≤t 1 pow_ka−b(n)dt = Z x 1  Ca−b,kta+ O  max n tb, ta−1+1k o dt = x a+1 a + 1Ca−b,k+ O  max n xb+1, xa+1k, 1 o . (1.9)

Ainsi, en incorporant (1.9) dans (1.8), nous trouvons X n≤x sq_ka(n)powb_k(n) = Ca−b,k a + 1x a+1_{+ O}_maxn_xb+1_{, x}a+1_{k, 1}o_. 

Lemme 1.13 Soit a et b fixés tels que 0 < b − a 6= 1 − 1_k. Si b − a > 1 − _k1 et b 6= −1_k, nous avons X n≤x sqa_k(n)pow_kb(n) = Db−a,k kb + 1x b+_k1 _{+ O (E(a, b, x))} où E(a, b, x) =            max{xb+k+11 _{, 1} si b − a > 1 −} 1 k+1, max{xb+k+11 _log2_{x, 1} si b − a = 1 −} 1 k+1,

max{x1+alog x, 1} si 1 − 1_k < b − a < 1 − _k+11 . Si b − a < 1 − 1_k et a 6= −1, alors X n≤x sqa_k(n)pow_kb(n) = C−(b−a),k a + 1 x a+1_{+ O}_max{xb+_k1+δ_{, 1}}_,

Preuve : Nous utilisons le fait que X

n≤x

sqa_k(n)pow_kb(n) = X

n≤x

nb

sqb−a_k (n) et que, d’après les lemmes1.10 et1.11, X n≤x 1 sq_kb−a(n) =                    Db−a,kx 1 k + O  xk+11  si b − a > 1 − _k+11 , Db−a,kx 1 k + O  xk+11 _log2_x  si b − a = 1 − _k+11 , Db−a,kx 1 k + O x1−(b−a)log x
si 1 − 1 k < b − a < 1 − 1 k+1, C−(b−a),k 1−(b−a) x 1−(b−a)_{+ O(x}1_k+δ_{) si 0 < b − a < 1 −} 1 k. (1.10)

Par conséquent, grâce à la formule d’Abel, X n≤x sq_ka(n)powb_k(n) = xbX n≤x 1 sq_kb−a(n)− b Z x 1 tb−1X n≤t 1 sqb−a_k (n)dt = xbX n≤x 1 sq_kb−a(n)− bI1(x), (1.11) disons. Nous obtenons

I1(x) = Z x 1 tb−1X n≤t 1 sqb−a_k (n)dt =                          Z x 1 tb−1Db−a,kt 1 k + O  tk+11  dt si b − a > 1 −_k+11 , Z x 1 tb−1  Db−a,kt 1 k + O  tk+11 _log2_t  dt si b − a = 1 −_k+11 , Z x 1 tb−1  Db−a,kt 1 k + O  t1−(b−a)log t  dt si 1 −1_k < b − a < 1 − _k+11 , Z x 1 tb−1  _C −(b−a),k 1 − (b − a)t 1−(b−a)_{+ O(t}1_k+δ₎  dt si 0 < b − a < 1 − 1_k =                          Db−a,k b + 1_k x b+_k1 _{+ O(max{x}b+_k+11 , 1}) si b − a > 1 − _k+11 , Db−a,k b + 1_k x b+_k1 _{+ O(max{x}b+_k+11 _log2_{x, 1}) si b − a = 1 −} 1 k+1, Db−a,k b + 1_k x

b+_k1 _{+ O(max{x}1+a_{log x, 1}) si 1 −}1

k < b − a < 1 − 1 k+1, C−(b−a),k (1 − (b − a))(a + 1)x a+1_{+ O(max{x}b+1 k+δ, 1}) si 0 < b − a < 1 − 1 k.

Ainsi, en introduisant ce résultat ainsi que (1.10) dans (1.11), nous obtenons le résultat voulu.

1.4

La somme

X

n≤x

sq

(n)pow

(n) lorsque a ≤ −1 et b ≤ −

Dans les deux lemmes de la section précédente, nous pouvons remarquer que le terme d’erreur est plus grand que le terme principal lorsque soit a < −1, soit b < −1_k. Nous allons donc maintenant obtenir de meilleurs résultats pour cette situation et aussi traiter les cas où soit a = −1, soit b = −1_k.

Lemme 1.14 Soit a > 1 et b > 1_k. Alors X n≤x 1 sq_ka(n)pow_kb(n) = Y p 1 + k−1 X i=1 1 pia + 1 p(k−1)b_(pb_{− 1)} ! + Omax{x1−a, x1k−b}  .

Preuve : Nous avons X n≤x 1 sqa k(n)powbk(n) = ∞ X n=1 1 sqa k(n)powkb(n) −X n>x 1 sqa k(n)powkb(n) = Y p  1 + 1 pa + 1 p2a + · · · + 1 p(k−1)a + 1 pkb + 1 p(k+1)b + · · ·  − S₁(x) = Y p 1 + k−1 X i=1 1 pia + 1 p(k−1)b_(pb_{− 1)} ! − S₁(x), disons. Nous allons montrer que S1(x) = O



max{x1−a, x1k−b}

 .

Écrivons n = m · r où r est k-libre et m est k-puissant. Nous avons donc S1(x) = X n>x 1 sqa_k(n)pow_kb(n) ≤ S2(x) + S3(x) où S2(x) = X r≤x 1 ra X m>x_r m k-puissant 1 mb et S3(x) = X r>x 1 ra X m k-puissant 1 mb.

Pour borner S2(x), nous allons intégrer par parties.

X m>x_r m k-puissant 1 mb = Z ∞ x r t−bd     X m≤t m k-puissant 1     =     X m≤t m k-puissant 1     t−b         ∞ t=x_r + b Z ∞ x r t−b−1     X m≤t m k-puissant 1     dt

 lim t→∞t 1 k−b− x r _k1−b + b Z ∞ x r t−b−1+1kdt.

Puisque b > _k1, nous obtenons

X m>x_r m k-puissant 1 mb = O rb−k1 xb−1k ! ,

et, ainsi, en utilisant le lemme d’Abel,

S2(x) = O  x1k−bX r≤x rb−a−k1   = O  xk1−b  xb−a−k1bxc −  b − a − 1 k  Z x 1 tb−a−1k−1btcdt  = O  max{x1−a, x1k−b}  .

Finalement, nous obtenons que S₃(x)  X

r>x

1

ra = O x

1−a
_{puisque la somme} X

m≥1 m k-puissant

1 mb

converge et cela termine la preuve.



Lemme 1.15 Soit a = 1 et b > 1. Alors X

n≤x

1

sq_ka(n)pow_kb(n) = Cb−1,klog x + O(1). Preuve : Nous avons, en utilisant le lemme d’Abel,

X n≤x 1 sq_ka(n)powb_k(n) = X n≤x 1 n pow_kb−1(n) = 1 x X n≤x 1 pow_kb−1(n)+ Z x 1 1 t2 X n≤t 1 powb−1_k (n)dt = 1 xS1(x) + I1(x), (1.12) disons. Le premier terme est facile à calculer puisque le lemme1.9nous donne immédiatement S1(x) = Cb−1,kx + O



maxnx2−b, x1k

o

. Pour l’autre terme, nous obtenons

I1(x) = Z x 1 1 t2 X n≤t 1 powb−1_k (n)dt = Z x 1 1 t2  Cb−1,kt + O  max{t2−b, t1k}  dt = Cb−1,klog x + O (1) .

En rassemblant les termes que nous avons calculés dans l’équation (1.12), nous obtenons X n≤x 1 sqa k(n)powbk(n) = Cb−1,klog x + O (1) . 

Lemme 1.16 Soit a = 1 et 1_k < b < 1, alors X

n≤x

1

sqa_k(n)pow_kb(n) = C−(a−b),klog x + O(1). Preuve : Nous avons, en utilisant le lemme d’Abel,

X n≤x 1 sqa_k(n)pow_kb(n) = X n≤x 1 nb_sq1−b k (n) = 1 xb X n≤x 1 sq1−b_k (n)+ b Z x 1 1 tb+1 X n≤t 1 sq1−b_k (n)dt = 1 xbS1(x) + bI1(x), (1.13)

disons. Le premier terme est facile à calculer puisque le lemme1.11nous donne immédiatement

S1(x) = C−(1−b),k 1 − (1 − b)x 1−(1−b)_{+ O}_x1_k+δ₌ C−(1−b),k b x b_{+ O}_xk1+δ_.

Pour l’autre terme, nous obtenons

I1(x) = Z x 1 1 tb+1 X n≤t 1 sq_k1−b(n)dt = Z x 1 1 tb+1 _C −(1−b),k b t b_{+ O}_t1 k+δ  dt = C−(1−b),klog x + O (1) .

En rassemblant les termes que nous avons calculés dans l’équation (1.13), nous obtenons X

n≤x

1

sq_ka(n)powb_k(n)= C−(1−b),klog x + O (1) .



Lemme 1.17 Soit b = 1_k et a > 1, alors X n≤x 1 sqa_k(n)pow_kb(n) = D_a−1 k,k k log x + O(1).

Preuve : Avec la formule d’Abel, en posant E(a, b, x) comme étant le terme d’erreur approprié du lemme1.10, nous obtenons

X n≤x 1 sq_ka(n)powb_k(n) = X n≤x 1 nk1sqa− 1 k k (n) = 1 x1k X n≤x 1 sqa− 1 k k (n) +1 k Z x 1 1 t1k+1 X n≤t 1 sqa− 1 k k (n) dt = 1 xk1  D_a−1 k,kx 1 k + O(E(a, b, x))  +1 k Z x 1 1 t1k+1 X n≤t 1 sqa− 1 k k (n) dt = O(1) + 1 k Z x 1 D_a−1 k,kt 1 k + O(E(a, b, t)) tk1+1 dt = D_a−1 k,k k log x + O(1). 

1.5

Récapitulatif

Pour compléter ce chapitre, nous regroupons dans un seul théorème les valeurs trouvées pour la somme X

n≤x

sq_ka(n)powb_k(n) en fonction des différentes valeurs de a et b. Rappelons que Ce,k = Y p  1 − 1 pk + pe_{(p − 1)} pk(e+1)_(pe+1_{− 1)}  et De,k= Y p 1 + 2k−1 X i=k+1 p−ki + (p − 1)(p (k−1)(e+1_k)_{− 1)} p(k−1)(e+1k)+1(pe+ 1 k − 1) ! .

Théorème 1.3 Soit a et b des nombres réels arbitraires. Alors X

n≤x sq_ka(n)pow_kb(n) vaut xa+1 a + 1+ O(max{x a_{, 1}) si a = b > −1,} Ca−b,k a + 1 x a+1_{+ O}_max{xa+1_{k, x}b+1_} _{si a − b > 0, a > −1,} Db−a,k kb + 1x b+_k1 _{+ O}_xb+_k+11  si b − a > 1 − 1 k + 1, b > − 1 k, Db−a,k kb + 1x b+_k1 _{+ O}_xb+_k+11 _log2_x _{si b − a = 1 −} 1 k + 1, b > − 1 k, Db−a,k kb + 1x b+_k1 _{+ O x}1+a_{log x}
si 1 − 1 k < b − a < 1 − 1 k + 1, b > − 1 k, Ca−b,k a + 1 x a+1_{+ O}_xb+1_k+δ _{si 0 < b − a < 1 −} 1 k, a > −1,

Ca−b,klog x + O(1) si a = −1, b < − 1 k, D_−a−1 k k log x + O(1) si a < −1, b = − 1 k, Y p 1 + k−1 X i=1 pai+ p bk 1 − pb ! + Omax{x1+a, x1k+b}  si a < −1, b < −1 k.

Chapitre 2

Comparatifs entre les fonctions sq

₂

(n)

et pow

₂

(n)

Dans ce chapitre, nous allons obtenir différents résultats sur les fonctions pow_k(n) et sqk(n)

lorsque k = 2. Notamment la distribution des valeurs de sq2(n) et pow2(n) ainsi que la

densité des nombres satisfaisant pow₂(n) > sq2(n). Nous allons également nous intéresser à la

valeur moyenne asymptotique des fonctions sq2(n) et pow2(n) sur les entiers y-friables pour

différents ordres de grandeur de y. Tous les résultats seront par la suite généralisés à k > 2 dans le prochain chapitre.

2.1

Quelques rappels

Finalement, un court rappel de certains résultats du premier chapitre utilisés ici : X n≤x pow2(n) = d1 3x 3 2 + O  x43  , (2.1) X n≤x sq2(n) = d2 2x 2_{+ O}_x3₂_{, (2.2)} X n≤x 1 pow2(n) = d2x + O  x12  , (2.3) X n≤x 1 sq2(n) = d1x 1 2 + O  x13  , (2.4) où d1 = Y p 1 + 2 p32 − 1 p52 ! ≈ 3.52, (2.5) d2 = Y p  1 − 1 p2 + 1 p3_{(p + 1)}  ≈ 0.65. (2.6)

Rappel 2.1 (lemme 1.7) Étant donné un entier positif arbitraire r, #{n ≤ x : n puissant, (n, r) = 1} = φ (r) r ζ 3₂
ζ (3) Y p|r 1 + 1 p32 !−1 √ x + O  2ω(r)x13  ,

où la constante implicite du terme d’erreur est absolue.

Rappel 2.2 (lemme 1.5) Soit m un nombre entier fixé. Alors

X r≤x m (r,m)=1 µ2(r) = 6x π2_m Y p|m  1 +1 p −1 + O   r x m Y p|m  1 −√1 p −1  , (2.7)

Rappel 2.3 (lemme 1.8) Nous avons que X

n≤x

2ω(n)= 1

ζ(2)x log x + O(x). (2.8)

De plus, nous allons avoir besoin de faire appel au théorème des nombres premiers sous diffé-rentes formes, notamment :

π (x) = (1 + o (1)) x log x (x → ∞) , (2.9) Y p≤x p = exp{(1 + o (1)) x} (x → ∞) , (2.10) X p≤x log p = (1 + o (1)) x (x → ∞) , (2.11) pk = (1 + o (1)) k log k (k → ∞) , (2.12)

où p_k désigne le k-ième nombre premier.

2.2

La distribution des valeurs de sq

(n) et pow

(n)

Nous allons examiner la distribution des valeurs de sq2(n) et de pow2(n). Voici l’énoncé pour

chacune de ces fonctions.

Théorème 2.1 Pour 2 ≤ y ≤ x, X n≤x sq2(n)≤y 1 = 2C0 ζ 3₂
ζ (3) √ xy + Ox13y 2 3log y  , (2.13) où C0 = Y p     1 + 1 − 1 p p  1 + 1 p32       1 −1 p  ≈ 0.38. (2.14)

Remarque 2.1 Pour que le terme principal dans l’équation (2.13) soit plus grand que le terme d’erreur, il faut que y log6y = o (x) lorsque x → ∞.

Voici une autre égalité qui est plus pratique pour les valeurs de y qui sont proches de x.

Théorème 2.2 Pour 2 ≤ y ≤ x, X n≤x sq2(n)≤y 1 = x−6x π2 X m<x_y m puissant 1 mQ p|m  1 +1_p + 6y π2 X m<x_y m puissant 1 Q p|m  1 +1_p +O  x12 log x y  . (2.15)

Pour ce qui est de la fonction pow2(n), nous avons le théorème suivant.

Théorème 2.3 Pour 2 ≤ y ≤ x, X n≤x pow2(n)≤y 1 = x 6 π2 X m≤y m puissant 1 mQ p|m  1 +1_p  + O √ x log y
. (2.16)

Remarque 2.2 Le terme principal de l’équation (2.16) est asymptotique à x lorsque y → ∞. En effet, cela découle du fait que

lim y→∞ X m≤y m puissant 1 mQ p|m  1 +1_p = Y p  1 + 1 p2_{1 +}1 p  + 1 p3_{1 +}1 p  + · · ·   = Y p  1 + 1 p2_{− 1}  = ζ (2) = π 2 6 .

Pour prouver ces théorèmes, nous avons tout d’abord besoin de quelques résultats prélimi-naires.

Théorème 2.4 (Généralisation du théorème de Wintner) Soit f (n) et g (n) des fonc-tions arithmétiques satisfaisant

∞ X n=1 f (n) ns = ζ (s) ∞ X n=1 g (n) ns (s > 1) et supposons que ∞ X n=1 g (n)

ns converge absolument pour s = 1 k+ δ avec δ > 0. Alors X n≤x f (n) = ∞ X n=1 g (n) n ! x + Ox1k+δ  .

Preuve : Nous pouvons écrire X n≤x f (n) = X n≤x X d|n g (d) =X d≤x g (d)jx d k = xX d≤x g (d) d − O   X d≤x |g (d) |   = xS1(x) + O (S2(x)) , (2.17)

disons. D’une part,

S1(x) = X d≤x g (d) d = ∞ X d=1 g (d) d − X d>x g (d) d = ∞ X d=1 g (d) d + O   X d>x |g (d) |  d1k+δ   d1−1k−δ    = ∞ X d=1 g (d) d + O x 1 k+δ−1 X d>x |g (d) | d1k+δ ! . (2.18) D’autre part, S2(x) = X d≤x |g (d) |dk1+δ dk1+δ = O  xk1+δ  . (2.19)

En ramenant (2.18) et (2.19) dans (2.17), nous obtenons le résultat voulu. 

Lemme 2.1 Pour tout δ > 0, X r≤x µ2(r) φ (r) rQ p|r  1 + 1 p32  = C0x + O  x12+δ  , (2.20)

lorsque x → ∞, où C₀ est la constante définie dans l’équation (2.14). Preuve : Pour s > 1, nous avons

∞ X n=1 µ2_{(n) φ (n)}  nQ p|n  1 + 1 p32  ns = Y p     1 + 1 − 1 p  1 + 1 p32  ps     = ζ (s)Y p  1 − 1 ps  Y p     1 + 1 − 1 p  1 + 1 p32  ps    

= ζ (s) H (s) , (2.21)

disons. Nous allons montrer que le produit infini H (s) est absolument convergent pour s > 1₂ et le résultat découlera alors de l’application du théorème2.4.

Écrivons H(s) = P∞ n=1 g(n) ns . Puisque H(s) = Q p  1 −  p12₊₁ p32₊₁  1 ps −  p32−p12 p32₊₁  1 p2s  , nous pouvons déterminer que g(n) est la fonction multiplicative satisfaisant g(1) = 1 et

g (pα) =              −p 1 2+1 p32+1 α = 1, −p 3 2−p12 p32+1 α = 2, 0 α > 2. Par conséquent, nous obtenons

∞ X n=1 |g(n)| ns = Y p 1 + p 1 2 + 1 p32 + 1 ! 1 ps + p32 − p 1 2 p32 + 1 ! 1 p2s ! =Y p h(p, s),

disons. Pour s > 1₂, il existe δ > 0 et p₀ tel que, pour p > p₀, h(p, s) < 1 + 1

p1+δ. (2.22)

Ainsi, en utilisant l’équation (2.22), nous obtenons

Y p h(p, s) = Y p≤p0 h(p, s) Y p>p0 h(p, s) < Y p≤p0 h(p, s) Y p>p0  1 + 1 p1+δ  = Y p≤p0 h(p, s) 1 +_p1+δ1 Y p  1 + 1 p1+δ  =   Y p≤p0 h(p, s) 1 +_p1+δ1   ζ(1 + δ) ζ(2 + 2δ) < ∞.

Nous pouvons donc conclure que le produit H(s) converge absolument.



Le résultat suivant est une conséquence immédiate du lemme 2.1 et de l’utilisation de la formule d’Abel.

Corollaire 2.1 Soit δ > 0, alors

X r≤x µ2(r) φ (r) r32 Q p|r  1 + 1 p32  = 2C0 √ x + Oxδ.

Nous avons maintenant les outils nécessaires pour démontrer les théorèmes 2.1à 2.3. Preuve du théorème 2.1 :

D’après le rappel 2.1, lorsque x → ∞, nous avons X n≤x sq2(n)≤y 1 = X mr≤x m puissant r≤y (m,r)=1 µ2(r) =X r≤y µ2(r) X m≤x_r m puissant (m,r)=1 1 = X r≤y µ2(r)   φ (r) r ζ 3₂
ζ (3) Y p|r 1 + 1 p32 !−1 r x r + O  2ω(r) x r 1₃   = √xζ 3 2
ζ (3) X r≤y µ2(r) φ (r) r32 Q p|r  1 + 1 p32  + O  x13 X r≤y 2ω(r) r13   = √xζ 3 2
ζ (3) X r≤y µ2(r) φ (r) r32 Q p|r  1 + 1 p32  + O  x13y 2 3 log y  ,

où la dernière égalité provient du fait que X

n≤x

2ω(n)= 1

ζ(2)x log x + O(x) selon le rappel2.3et de l’utilisation du lemme d’Abel. L’utilisation du corollaire 2.1termine la preuve du théorème

2.1.



Nous allons maintenant procéder différemment pour étudier la même somme dans le but d’améliorer le résultat précédent pour les valeurs de y qui sont proches de x, ce qui va nous donner le théorème2.2.

Preuve du théorème 2.2 : D’abord, écrivons

S (x, y) := X n≤x sq2(n)≤y 1 = bxc − X n≤x sq2(n)>y 1 = bxc − S0, (2.23)

disons. Par ailleurs,

S0 = X rm≤x r>y m puissant (r,m)=1 µ2(r) = X m<x_y m puissant X y<r≤_mx (r,m)=1 µ2(r) = X m<x_y m puissant X r≤_mx (r,m)=1 µ2(r) − X m<x_y m puissant X r≤y (r,m)=1 µ2(r) (2.24) = S1− S2, (2.25)

disons. Nous avons, grâce au rappel 2.2, S1 = 6 π2x X m<x_y m puissant 1 mQ p|m  1 +1_p + O      √ x X m<x_y m puissant 1 √ mQ p|m  1 −√1 p       = 6 π2x X m<x_y m puissant 1 mQ p|m  1 +1_p + O   √ x Y p≤x_y 1 +1 p + O 1 p32 !!  = 6 π2x X m<x_y m puissant 1 mQ p|m  1 +1_p  + O _√ x log x y  . (2.26) Similairement, S2 = 6 π2y X m<x_y m puissant 1 Q p|m  1 +1_p  + O      √ y X m<x_y m puissant Y p|m 1 1 −√1 p !      = 6 π2y X m<x y m puissant 1 Q p|m  1 +1_p  + O √ y log x y  . (2.27)

En ramenant (2.26) et (2.27) dans (2.25) et ensuite dans (2.23), nous obtenons que S (x, y) = x − 6 π2x X m<x_y m puissant 1 mQ p|m  1 +1_p + 6 π2y X m<x_y m puissant 1 Q p|m  1 +1_p  + O _√ x log x y  .  Preuve du théorème 2.3 : En utilisant le rappel 2.2, nous obtenons

X n≤x pow2(n)≤y 1 = X m≤y m puissant X r≤_mx (r,m)=1 µ2(r) = 6 π2x X m≤y m puissant 1 mQ p|m  1 +1_p  + O     √ x X m≤y m puissant 1 √ mQ p|m  1 −√1 p      = 6 π2x X m≤y m puissant 1 mQ p|m  1 +1_p + O √ x log y
. 

2.3

La fonction pow

(n) est rarement plus grande que sq

(n)

Dans cette section, nous allons montrer que l’ensemble des entiers positifs n tels que pow₂(n) > sq2(n) a une densité nulle. En fait, nous montrons plus que cela.

Théorème 2.5 Pour x suffisamment grand,

#{n ≤ x : pow2(n) > sq2(n)} = D0x 3 4 + O  x23 log x  , (2.28) où D0 = 4 3C0 ζ 3₂
ζ (3) ≈ 1.10.

Preuve : Nous pouvons écrire

#{n ≤ x : pow2(n) > sq2(n)} = X r≤√x µ2(r) X r<m≤x_r m puissant (m,r)=1 1 = X r≤√x µ2(r) X m≤x_r m puissant (m,r)=1 1 − X r≤√x µ2(r) X m≤r m puissant (m,r)=1 1 = T1(x) − T2(x) , (2.29)

disons. D’une part, utiliser le rappel 2.1et l’équation (2.8) nous permet d’obtenir

T1(x) = √ xζ 3 2
ζ (3) X r≤√x µ2(r) φ (r) r32 Q p|r  1 + 1 p32  + O  x23 log x  = 2C0 ζ 3₂
ζ (3)x 3 4 + O  x23 log x  . (2.30)

D’autre part, en utilisant encore une fois le rappel2.1, nous avons

X m≤r m puissant (m,r)=1 1 = φ (r) r12 ζ 3₂
ζ (3) Y p|r 1 + 1 p32 !−1 + O  2ω(r)r13  . Par conséquent, T2(x) = ζ 3₂
ζ (3) X r≤√x µ2(r) φ (r) r12Q p|r  1 + 1 p32  + O   X r≤√x 2ω(r)r13   = 2 3C0 ζ 3₂
ζ (3)x 3 4 + O  x23 log x  . (2.31)

Finalement, incorporer (2.30) et (2.31) dans (2.29) termine la preuve du théorème2.5. 

Remarque 2.3 Dans l’article [4] le terme d’erreur dans le calcul de T1(x) était O



x13log x

 alors qu’en réalité le terme d’erreur devrait être O



x23 log x

 .

2.4

Les sommes A

(x) et B

(x) pour y = x

Dans cette section, nous allons étudier les sommes

Ay(x) := X n≤x P (n)≤y pow2(n) , By(x) := X n≤x P (n)≤y sq2(n) .

Pour cela, nous avons besoin de la fonction de Dickman.

Définition 2.1 La fonction de Dickman, notée ρ (u), est l’unique fonction continue satisfai-sant ρ (u) = 1 pour 0 ≤ u ≤ 1 and uρ0(u) = −ρ (u − 1) pour u > 1.

Remarque 2.4 Nous pouvons aussi définir cette fonction de manière récursive par

ρ (u) = ρ (k) − Z u

k

ρ (z − 1)

z dz. (2.32)

Voici le résultat que nous allons montrer dans cette section.

Théorème 2.6 Soit y = x1u, avec u fixé. Alors, lorsque x → ∞,

X n≤x P (n)≤y sq2(n) = (1 + o (1)) ρ (u) d2 2 x 2 _(2.33) et X n≤x P (n)≤y pow2(n) = (1 + o (1)) ρ u 2 d₁ 3 x 3 2. (2.34) Preuve :

La preuve du théorème 2.6est similaire à la preuve que

Ψ 

x, x1u



du livre de Tenenbaum [22]. Nous commençons par prouver l’équation (2.33). Au lieu d’essayer d’évaluer directement la somme A_y(x), nous allons travailler avec la somme suivante, que l’on subdivise selon la multiplicité du plus grand facteur premier de n.

X n≤x y<P (n)≤x sq2(n) = X y<p≤x X n≤x P (n)=p sq2(n) = X y<p≤x X m≤x p P (m)<p sq2(pm) + X y<p≤x X m≤x p P (m)=p sq2(pm) = Σ1(x) + Σ2(x) , (2.35) disons.

Tout d’abord, nous allons montrer que la somme Σ₂(x) est relativement petite et peut donc être négligée. En écrivant m = r · p, nous obtenons

Σ2(x) = X y<p≤x X rp≤x p P (r)≤p sq2 p2r
≤ X y<p≤x X r≤x p2 sq2(r) ≤ X y<p≤x X r≤x p2 r  x2 X y<p≤x p−4  x 2 y3. (2.36) Nous allons maintenant travailler sur la somme Σ₁(x), que l’on peut écrire comme

Σ1(x) = X y<p≤x p X m≤x_p P (m)<p sq2(m) .

Dans l’intervalle 1 ≤ u ≤ 2, la condition m ≤ x_p implique P (m) ≤ x12 < p, ce qui indique que

l’on peut enlever la condition P (m) < p. Par conséquent, en utilisant l’équation (2.2), nous avons, lorsque x → ∞, Σ1(x) = X y<p≤x p X m≤x_p sq2(m) = (1 + o (1)) X y<p≤x pd2 2  x p 2 = (1 + o (1))d2 2 x 2 X y<p≤x 1 p = (1 + o (1)) d2 2x 2 Z x y 1 t log tdt = (1 + o (1))d2 2 (log u) x 2_{. (2.37)}

En utilisant l’équation (2.2) à nouveau et en substituant (2.37) et (2.36) dans (2.35), nous obtenons que, dans l’intervalle 1 ≤ u ≤ 2,

X n≤x P (n)≤y sq2(n) = X n≤x sq2(n) − X n≤x y<P (n)≤x sq2(n) = (1 + o (1))d2 2 (1 − log u) x 2_{+ O} x2 y3 

= (1 + o (1))d2 2 ρ (u) x

2_{, (2.38)}

où nous avons utilisé le fait que ρ (u) = 1 − log u pour u ∈ [1, 2].

Pour étendre le résultat (2.38) à u > 2, nous procédons récursivement. Soit M ≥ 2 entier et supposons que le résultat

X n≤x P (n)≤xu1 sq2(n) = (1 + o (1)) d2 2ρ (u) x 2 _(2.39)

est vrai pour tout u ∈ [1, M ] lorsque x → ∞. Nous allons montrer que le résultat est vrai pour u ∈ [M, M + 1].

Premièrement, grâce à (2.36), nous avons X n≤x xu1_{<P (n)≤x}M1 sq2(n) = X xu1<p≤xM1 X m≤x_p P (m)≤p sq2(pm) = X xu1<p≤xM1 p X m≤x p P (m)<p sq2(m) + O  x2−3u  = X xu1<p≤xM1 p      X m≤x_p P (m)≤p sq2(m) − X m≤x_p P (m)=p sq2(m)      + Ox2−u3  = X xu1<p≤xM1 p X m≤x_p P (m)≤p sq2(m) + O  x2−1u  . (2.40)

Via l’hypothèse d’induction (2.39), nous obtenons, lorsque x → ∞,

X x1u<p≤xM1 p X m≤x_p P (m)≤p sq2(m) = (1 + o (1)) d2 2 X xu1<p≤xM1 p x p 2 ρ log x log p − 1  = (1 + o (1))d2 2 x 2 X x1u<p≤xM1 1 pρ  log x log p − 1  = (1 + o (1))d2 2 x 2 Z x 1 M x1u 1 t log tρ  log x log t − 1  dt. (2.41)

En posant z = log x_{log t}, il s’ensuit que dz = − log x

t(log t)2dt, de sorte que 1 t log tdt = − dz z et Z x 1 M x1u 1 t log tρ  log x log t − 1  dt = Z u M ρ (z − 1) z dz. (2.42)

En rassemblant (2.40), (2.41) et (2.42), nous avons X n≤x x1u<P (n)≤xM1 sq2(n) = (1 + o (1)) d2 2 x 2 Z u M ρ (z − 1) z dz. (2.43)

D’après (2.43) et notre hypothèse d’induction (2.39), nous obtenons X n≤x P (n)≤xu1 sq2(n) = X n≤x P (n)≤xM1 sq2(n) − X n≤x xu1_{<P (n)≤x}M1 sq2(n) = (1 + o (1))d2 2 x 2  ρ (M ) − Z u M ρ (z − 1) z dz  .

En utilisant (2.32), ce dernier résultat peut être remplacé par X n≤x P (n)≤xu1 sq2(n) = (1 + o (1)) d2 2 x 2_{ρ (u) ,}

ce qui complète la preuve de (2.33).

Nous allons maintenant faire la preuve de (2.34). Nous commençons par écrire X

n≤x x1u<P (n)≤x

pow2(n) = Σ1(x) + Σ2(x) + Σ3(x) , (2.44)

où les termes Σ1(x) , Σ2(x) , Σ3(x) correspondent respectivement à

X n≤x xu1<P (n)≤x P (n)kn pow2(n) , X n≤x xu1<P (n)≤x P (n)2kn pow2(n) , X n≤x xu1<P (n)≤x P (n)3|n pow2(n) .

Gràce à l’équation (2.1), nous observons que

Σ1(x) = X xu1_<p≤x X m≤x_p P (m)<p pow2(pm) = X xu1_<p≤x X m≤x_p P (m)<p pow2(m) ≤ (1 + o (1)) X xu1<p≤x d1 3  x p 3₂ ≤ (1 + o (1))d1 3 x 3 2 X t>xu1 1 t32 = Ox32− 1 2u  .

D’autre part, toujours selon l’équation (2.1), nous avons

Σ3(x) = X a≥3 X x1u<p≤x X m≤_pax P (m)<p pow2(pam) ≤ X a≥3 X xu1<p≤x pa X m≤_pax pow2(m)

≤ (1 + o (1))d1 3 x 3 2 X a≥3 X xu1_<p≤x 1 pa2 X a≥3 x32− 1 u( a 2−1) = O  x32− 1 2u  .

Il découle de ces deux résultats que

Σ1(x) + Σ3(x) = O  x32− 1 2u  . (2.45)

Maintenant, pour Σ2(x), lorsque 1 ≤ u ≤ 2, puisque P (n)2> x, nous avons

Σ2(x) = X n≤x xu1_{<P (n)≤x} P (n)2kn pow2(n) = 0. (2.46)

En faisant appel à (2.1) et en utilisant (2.45) et (2.46) dans (2.44), nous obtenons que pour u ∈ (1, 2), X n≤x P (n)≤xu1 pow2(n) = X n≤x pow2(n) − X n≤x xu1_{<P (n)≤x} pow2(n) = (1 + o (1))d1 3x 3 2 − (Σ₁(x) + Σ₂(x) + Σ₃(x)) = (1 + o (1))d1 3ρ u 2  x32, (2.47)

où nous avons utilisé le fait que ρ u₂
= 1 pour u ∈ [1, 2].

Nous allons procéder par induction pour étendre (2.47) à u > 2, notamment en supposant que X n≤x P (n)≤x1v pow2(n) = (1 + o (1)) d1 3ρ v 2  x32 (2.48)

est valide pour tout v ∈ [1, 2M ] lorsque x → ∞ et en montrant que le résultat reste valide pour u ∈ [2M, 2M + 2]. En effet, nous avons

X n≤x x1u<P (n)≤x2M1 pow2(n) = X x1u_<p≤x2M1 X m≤x p2 P (m)<p pow2 p2m
+ O  x32− 1 2u  = X x1u<p≤x2M1 p2 X m≤x p2 P (m)<p pow2(m) + O  x32− 1 2u  = X x1u<p≤x2M1 p2 X m≤x p2 P (m)≤p pow2(m) − S1(x) + O  x3u−12u  , (2.49) où S1(x) := X xu1<p≤x2M1 p2 X j≤x p3 P (j)≤p pow2(pj)

= X xu1<p≤x2M1 p2      X j≤x p3 P (j)<p pow2(j) + X j≤x p3 P (j)=p pow2(pj)       X xu1<p≤x2M1 p2    X j≤x p3 pow2(j) + X a≥1 X pa_k≤x p3 pa+1pow2(k)     X xu1<p≤x2M1 p2    x p3 3₂ +X a≥1 pa+1  x pa+3 3₂    x32− 1 u, (2.50)

où nous avons utilisé à nouveau l’estimé (2.1). En combinant (2.49) et (2.50) avec notre hypothèse d’induction (2.48), il découle que

X n≤x x1u<P (n)≤x2M1 pow2(n) = (1 + o (1)) d1 3 x 3 2 X xu1<p≤x2M1 1 pρ  log x 2 log p− 1  ,

ce que l’on peut réécrire sous la forme

X n≤x x1u<P (n)≤x2M1 pow2(n) = (1 + o (1)) d1 3 x 3 2 Z x 1 2M x1u 1 t log tρ  log x 2 log t− 1  dt. (2.51)

En posant z = _{2 log t}log x dans (2.51), nous obtenons X n≤x x1u<P (n)≤x2M1 pow2(n) = (1 + o (1)) d1 3 x 3 2 Z u 2 M 1 zρ (z − 1) dz. Il s’ensuit que X n≤x P (n)≤x1u pow2(n) = (1 + o (1)) d1 3 x 3 2 ρ (M ) − Z u 2 M ρ (z − 1) z dz ! ,

ce qui implique, avec l’équation (2.32), que

X n≤x P (n)≤xu1 pow2(n) = (1 + o (1)) d1 3 x 3 2ρ u 2  ,

2.5

L’ordre de grandeur de A

(x) et B

(x) pour de petites

valeurs de y

Dans cette section, nous allons établir l’ordre de grandeur de Ay(x) et By(x) quand y =

(log x)η pour η > 1. Nous prouvons le résultat suivant. Théorème 2.7 Soit η > 1 fixé. Alors, lorsque x → ∞,

X n≤x P (n)≤(log x)η pow2(n) = x 3 2− 1 2η+o(1) _(2.52) et X n≤x P (n)≤(log x)η sq2(n) = x2− 1 η+o(1)_{. (2.53)}

Comme nous allons le voir, le théorème 2.7est une conséquence des lemmes suivants.

Lemme 2.2 Étant donné un nombre réel A > 1,

Ψ x, logAx
= x1−_A1+o(1) _{(x → ∞) .}

Preuve : Il s’agit de la relation (1.14) dans l’article de Granville [7].

Lemme 2.3 Soit η > 1 fixé. Alors, lorsque x → ∞,

Fη(x) := #{n ≤ x : P (n) ≤ (log x)η, n puissant} = x 1 2  1−1_η  +o(1) . (2.54)

Preuve : Puisque tous les nombres carrés sont des nombres puissants, nous avons en utilisant le lemme 2.2que Fη(x) ≥ #{n ≤ x 1 2 : P (n) ≤ (log x)η} = x 1 2  1−1_η+o(1) . (2.55)

D’autre part, nous pouvons écrire chaque nombre puissant n ≤ x de manière unique sous la forme n = a2b3, où b est libre de carré. Nous avons pour ε > 0 que

Fη(x) = X a≤√x P (a)≤(log x)η # ( b ≤ x 1 3 a23 : P (b) ≤ (log x)η )

≤ X a≤x12−ε P (a)≤(log x)η # ( b ≤ x 1 3 a23 : P (b) ≤ (log x)η ) + X x12−ε<a≤x12 P (a)≤(log x)η x2ε3 ≤ X a≤x12−ε P (a)≤(log x)η # ( b ≤ x 1 3 a23 : P (b) ≤ (log x)η ) + x2ε3Ψ  x12, (log x)η  .

En utilisant le lemme2.2, nous obtenons

Fη(x) = X a≤x12−ε P (a)≤(log x)η x a2 1₃  1−_η1+o(1) + xO(ε) ≤ x 1 3  1−_η1  +o(1) X a≤√x P (a)≤(log x)η a− 2 3  1−_η1  + xO(ε) = x 1 3  1−_η1  +o(1)Z √ x 1 t− 2 3  1−1_η  +o(1) dΨ (t, (log x)η) = x 1 3  1−_η1+o(1) t− 2 3  1−1_η+o(1) Ψ (t, (log x)η)     √ x 1 +  2 3  1 −1 η  + o (1)  Z √x 1 t− 2 3  1−_η1−1+o(1) Ψ (t, (log x)η) dt ! ≤ x13− 1 3η+o(1) _t 1 3− 1 3η+o(1)    √ x 1 +  2 3 − 2 3η + o (1)  Z √x 1 t −2 3 − 1 3η+o(1)_dt !  x 1 3  1−_η1+o(1) · x 1 6  1−1_η+o(1) = x 1 2  1−1_η+o(1) ,

ce qui nous donne un estimé qui, combiné avec (2.55), complète la preuve du lemme 2.3. 

Lemme 2.4 Soit η > 1 fixé. Alors, lorsque x → ∞,

Gη(x, y) := #{n ≤ x : pow2(n) > y, P (n) ≤ (log x)η} 

x y12

!1−1_η+o(1) .

Preuve : En écrivant chaque nombre n ≤ x comme n = m · r, où m et r représentent respectivement la partie puissante de n et la partie libre de carré de n et en utilisant le lemme

2.2, nous avons Gη(x, y) ≤ X y<m≤x m puissant P (m)≤(log x)η X r≤_mx P (r)≤(log x)η µ2(r) ≤ X y<m≤x m puissant P (m)≤(log x)η Ψx m, (log x) η

= x1−1η+o(1) X y<m≤x m puissant P (m)≤(log x)η 1 m1−1η+o(1) .

Au moyen de l’expression F_η(x) donnée dans (2.54), nous avons en utilisant le lemme2.3que Gη(x, y)  x1− 1 η+o(1) Z x y t−1+η1+o(1)_dF η(t) = x1−1η+o(1)  t−1+η1+o(1)_F η(t)    x y +  1 −1 η + o (1)  Z x y t−2+1η+o(1)_F η(t) dt  = x1−1η+o(1) _t− 1 2  1−1_η  +o(1)   x y +  1 −1 η + o (1)  Z x y t−32+ 1 2η+o(1)_dt ! ≤ x1−1η+o(1)  −y−12  1−1_η  +o(1) + 2y−12+ 1 2η+o(1)  = x y12 !1−1_η+o(1) ,

lorsque x → ∞, ce qui complète la preuve du lemme 2.4.

 Nous avons maintenant les outils nécessaires pour prouver le théorème 2.7.

Preuve du théorème 2.7 : Tout d’abord, nous observons qu’avec le lemme2.3nous avons X n≤x P (n)≤(log x)η pow2(n) ≥ X n≤x P (n)≤(log x)η n puissant n = Z x 1 t dFη(t) dt = t Fη(t)|x₁ − Z x 1 Fη(t) dt = t1+ 1 2  1−1_η  +o(1)   x 1 − Z x 1 t 1 2  1−1_η  +o(1) dt  x32− 1 2η+o(1)_{. (2.56)}

De manière similaire, en utilisant le lemme 2.4, nous avons, lorsque x → ∞ X n≤x P (n)≤(log x)η pow2(n) ≤ X m≤x m puisant P (m)≤(log x)η m X r≤_mx P (r)≤(log x)η µ2(r) ≤ X m≤x m puissant P (m)≤(log x)η mx m 1−_η1+o(1)

= x1−1η+o(1) X m≤x m puissant P (m)≤(log x)η m1η+o(1) = x1−1η+o(1) Z x 1 tη1+o(1)_{d F} η(t) = x1−1η+o(1)_x 1 η+ 1 2− 1 2η+o(1) = x32− 1 2η+o(1)_{. (2.57)}

Combiner (2.56) et (2.57) nous donne le résultat (2.52) du théorème 2.7.

Il reste à prouver (2.53). Premièrement, en utilisant le lemme2.2, nous avons X n≤x P (n)≤(log x)η sq2(n) ≤ X n≤x P (n)≤(log x)η n = Z x 1 tdΨ (t, (log x)η) = t Ψ (t, (log x)η)|x₁− Z x 1 Ψ (t, (log x)η) dt = x2−η1+o(1)_{. (2.58)}

Aussi, étant donné un nombre réel arbitrairement petit ε > 0, nous avons via le lemme 2.4, lorsque x → ∞, X n≤x P (n)≤(log x)η sq2(n) = X n≤x P (n)≤(log x)η n pow2(n) ≥ X n≤x P (n)≤(log x)η pow2(n)>xε n = Z x 1 t d Gη(t, xε) = t t1−2ε
1−1_η+o(1)  x 1 − Z x 1 t1−2ε
1−1_η+o(1) dt  x2−2ε−1η+ 2ε η+o(1)_{. (2.59)}

Puisque ε peut être choisi aussi petit que l’on veut, en combinant (2.58) et (2.59), nous prouvons (2.53), complétant ainsi la démonstration du théorème 2.7.



2.6

Trouver y = y (x) tel que A

(x) coïncide avec B

(x)

Dans cette section, les fonctions

et

h (x) := max

0<b<1 2

x log x − (x − b) log (x − b) − 2b log b + (1 − b) log (1 − b) − (1 − 2b) log (1 − 2b) ,

toutes les deux définies pour x > 1, jouent un rôle important.

Notre but est de montrer que lorsque y = C log x, les expressions log _A y(x) x  et log _B y(x) x 

sont égales à (1 + o (1)) g (C) log x

log log x et (1 + o (1)) h (C) log x

log log x respectivement, de sorte qu’en choisissant C tel que g (C) = h (C), les deux expressions seront asymptotiques lorsque x → ∞.

Remarque 2.5 Voici les graphes des fonctions g (x) et h (x).

Théorème 2.8 Le résultat log Ay(x) x  = (1 + o (1)) log By(x) x  (x → ∞)

est valide pour y = y (x) = 2 log x.

La preuve du théorème 2.8va découler d’une série de lemmes préliminaires.

Lemme 2.5 La seule solution avec x > 1 de g (x) = h (x) est x = 2, auquel cas g (2) = h (2) = 2 log 2.

Preuve : Clairement, g (2) = 2 log 2. Nous allons commencer par montrer que h(2) = g(2) et ensuite l’unicité de cette solution. Nous observons que

h(2) − g(2) = max

0<b<1₂

(b − 2) log (2 − b) − 2b log b + (1 − b) log (1 − b) + (2b − 1) log (1 − 2b) = max

0<b<1₂

disons. Dériver f (b) par rapport à b nous donne

f0(b) = log (2 − b) − 2 log b − log (1 − b) + 2 log (1 − 2b) . Nous obtenons donc

f0(b) = 0 ⇐⇒ (2 − b) (1 − 2b)

2

b2_{(1 − b)} = 1

⇐⇒ (3b − 2) b2_{− 3b + 1
= 0,}

ce qui nous donne b = b0:= 3− √

5

2 comme étant la seule solution de f

0_{(b) = 0 dans 0,}1 2
.

Il reste à prouver que f (b0) = 0. Cela est dû au fait que

f (b) = bf0(b) − 2 log (2 − b) + log (1 − b) − log (1 − 2b) , ce qui implique que

f (b0) = 0 ⇐⇒ −2 log (2 − b0) + log (1 − b0) − log (1 − 2b0) = 0

⇐⇒ 1 − b0 (2 − b0)2(1 − 2b0)

= 1 ⇐⇒ (2b₀− 3) b2

0− 3b0+ 1
= 0,

complétant ainsi la première partie de la preuve. Nous avons aussi que

g0(x) − h0(x) ≥ (log x − log (x − 1)) − max

0<b<1₂ (log x − log (x − b)) > log  x −1 2  − log (x − 1) > 0,

de sorte que g (x) croît plus rapidement que h (x) et, par conséquent, x = 2 est l’unique solution.



Lemme 2.6 Étant donné un nombre réel κ > 0,

Ψ (x, κ log x) = exp  g (κ + 1) log x log log x  1 + O  1 log log x  . (2.60)

Preuve : C’est la première relation de la page 271 dans l’article de Granville [7].  Nous introduisons maintenant la fonction

L (x) := log x log log x.

Lemme 2.7 Soit a (x) = (1 + o (1)) C L (x) et b (x) = (1 + o (1)) D L (x) où C et D sont des nombres réels arbitraires tels que C > D > 0. Alors, lorsque x → ∞,

a (x) b (x) 

= exp {(1 + o (1)) (C log C − D log D − (C − D) log (C − D)) L (x)} .

Preuve : En utilisant la formule de Stirling n! = (1 + o (1)) nne−n√2πn lorsque n → ∞, nous avons, lorsque x → ∞,

a (x) b (x)  = a (x)! b (x)! (a (x) − b (x))! = (1 + o (1)) p2πa (x)a (x) a(x) p2πb (x)b (x)b(x)_{·p2π (a (x) − b (x)) (a (x) − b (x))}a(x)−b(x) = (1 + o (1))√ 2π √ C pD (C − D) L (x) ((1 + o (1)) C)a(x) ((1 + o (1)) D)b(x)((1 + o (1)) (C − D))a(x)−b(x) = exp {(1 + o (1)) (C log C − D log D − (C − D) log (C − D)) L (x)} .

 Nous pouvons maintenant évaluer les sommes qui nous intéressent.

Lemme 2.8 Lorsque x → ∞, nous avons X

n≤x P (n)≤C log x

sq2(n) = xe(1+o(1))g(C)L(x).

Preuve : Pour démontrer ce résultat, nous procédons en deux étapes permettant d’établir les bornes supérieure et inférieure.

Nous allons commencer avec la borne supérieure. Soit ε > 0, il est clair que X

n≤x P (n)≤C log x

sq2(n) ≤ x#n ≤ x : P (n) ≤ C log x, sq2(n) > x1−ε + x1−εΨ (x, C log x) .

(2.61) Il découle du lemme 2.6que

x1−εΨ (x, C log x) = o (x) . (2.62) Puisque n = sq₂(n) pow2(n), nous avons

#{n ≤ x : P (n) ≤ C log x, sq2(n) > x1−ε} ≤ E1(x) · E2(x) , (2.63)

où