Probabilités (complément pour 5/2)
Exercice 1 On considère n couples formant un ensemble de 2n personnes. On suppose que r ∈ ~1, 2n − 1 personnes décèdent. Déterminer le nombre moyen de couples restants.
On note X le nombre de couples restants. À tout sous-ensemble A de deux personnes prises parmi les survivants on associe la variable aléatoire ZAégale à 1 si ces deux personnes forment un couple, et à 0 sinon. On a alors
E(X) = X A E(ZA). ZA,→B 1 2n − 1 donc E(ZA) = 1 2n − 1et ainsi E(X) = 1 2n − 1card A = 1 2n − 1 2n − r 2 ! .
Exercice 2 Soit n ∈ N∗et (Aij)16i,j6nune famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées,
telles que P(Aij= 1) = P(Aij= −1) = 1/2. On note A la matrice (Aij)16i,j6n.
a) Déterminer l’espérance de tr(A), tr(A2), tr(A3) et tr(A4). b) Déterminer l’espérance de det(A).
a) tr(A) =X i Aiidonc E(tr(A)) = X i E(Aii) = 0. tr(A2) =X i,j AijAji= X i A2ii+X i,j AijAji= n + X i,j
AijAjidonc, puisque Aijet Aji sont indépendants lorsque i , j,
E(tr(A2)) = n + X i,j E(Aij)E(Aji) = n. tr(A3) =X i,j,k AijAjkAki= X i A3ii+ 3X i,j AiiAijAji+ X i,j,j,k,k,i AijAjkAki donc E(tr(A3)) = X i E(A3 ii) = X i E(Aii) = 0. tr(A4) = X i,j,k,l
AijAjkAklAli donc suivant le même principe on obtient E(tr(A4)) =
X i E(A4 ii) + X i,j E(A2 ij)E(A2ji) = n + n(n − 1) = n2.
b) Considérons la matrice A0obtenue à partir de A en multipliant sa première colonne par −1. Alors E(det(A0)) = E(det(A)). Mais det(A0) = − det(A) donc E(det(A)) = 0.
Exercice 3 Un sac contient N cordes. À la première étape on choisit au hasard deux extrémités de cordes et on les noue. On dit qu’on a uneboucle si on a noué les extrémités d’une même corde.
a) Déterminer l’espérance du nombre X de boucles après la première étape.
b) On réitère N fois l’opération en nouant à chaque fois deux extrémités libres. On note Y le nombre de boucles. Déterminer l’espérance de Y.
a) X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 1
2N − 1donc E(X) = 1 2N − 1.
b) Notons Xnla variable aléatoire égale à 1 si une boucle est formée à la neétape et à 0 sinon. Puisqu’après n
étapes il reste 2(N − n) extrémités libres, Xnsuit une loi de Bernoulli de paramètre
1 2(N − n) + 1. Sachant que Y = N X k=1
Xk on en déduit par linéarité de l’espérance : E(Y) =
N X n=1 1 2(N − n) + 1= N−1 X k=0 1 2k + 1.
Exercice 4 Soient X1, . . . , Xndes variables indépendantes et de même loi : P(Xi = 1) = P(Xi = −1) = 1/2. On pose
Sn= X1+ X2+ · · · Xnet on considère > 0. a) Majorer P Sn n > .
b) Montrer que pour tout t ∈ R, EetSn= (ch t)n.
c) Montrer que pour tout t > 0, ch t 6 et2/2. d) Montrer que pour tout t > 0, P
S n n > 6exp nt2 2 −nt . e) Montrer que P S n n > 6exp(−n2/2).
PC∗
a) On a Xi = 2Yi−1 avec Yi,→B(1/2) donc E(Xi) = 0 et V (Xi) = 1/2.
Par linéarité de l’espérance, E(Sn) = 0, et grâce à l’indépendance V (Sn) = n/2.
D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, P
Sn−E(Sn) >n 6V(Sn) (n)2 , soit : P Sn n > 6 1 2n2.
b) Posons Tn= Y1+ · · · + Yn. Alors Tn,→B(n,1/2) et Sn= 2Tn−n donc d’après le théorème de transfert,
E(etSn) = E(e(2Tn−n)t) = n X k=0 e(2k−n)tP(Tn= k) = 1 2 n nX k=0 n k ! ekte−(n−k)t=(e t+ e−t )n 2n = (ch t) n. c) Pour tout t ∈ R, ch t = +∞ X n=0 t2n (2n)!6 +∞ X n=0 t2n 2nn!= e t2/2 car (2n)! 2nn! = (2n − 1)(2n − 3) · · · (3)(1) > 1.
d) On applique l’inégalité de Markov à etSn : P
S n n > = P(etSn>ent) 6 E(etSn) ent = (ch t) ne−nt 6exp nt2 2 −nt . e) En prenant t = on obtient : P S n n > 6exp(−n2/2).
Exercice 5 Peut-on truquer un dé à six faces de sorte que la somme des résultats obtenus à deux lancers indépendant suive une loi uniforme sur {2, . . . , 12} ?
On note X la variable aléatoire égale au résultat d’un lancer de dé, et Xi (i ∈ {1, 2}) le résultat du ielancer. On
cherche la loi de X de sorte que pour tout n ∈ ~2, 12, P(X1+ X2= n) =
1 11. Par indépendance des lancers, P(X1+ X2= n) =
X i+j=n (i,j)∈~1,62 P(X1= i)P(X2= j) = X i+j=n (i,j)∈~1,62 P(X = i)P(X = j). n = 2 et n = 12 donnent P(X = 1) = P(X = 6) =√1 11. n = 3 et n = 11 donnent P(X = 2) = P(X = 5) = 1 2 √ 11. n = 4 et n = 10 donnent P(X = 3) = P(X = 4) = 3 8 √ 11.
La somme n’est pas égale à 1 donc un tel trucage n’est pas possible.
Exercice 6 On lance n fois un dé équilibré à 6 faces. Déterminer la probabilité pour que la somme des résultats obtenus soit divisible par 5.
Soit X une variable qui suit la loi uniforme sur ~1, 6, et Xk le résultat du kelancer.
On veut calculer PX1+ · · · + Xn≡0 mod 5
. Pour tout k ∈ Z, posons pn(k) = P
X1+ · · · + Xn≡k mod 5 . On a : pn(k) = 6 X i=1 P X1+· · ·+Xn−1≡k−i mod 5 P(Xn= i) =1 6 2pn−1(k−1)+pn−1(k−2)+pn−1(k−3)+pn−1(k−4)+pn−1(k−5)
Ce qui se traduit matriciellement par Vn= AVn−1avec Vn=
pn(0) pn(1) .. . pn(4) , A =1 6 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 et V0= 1 0 0 0 0 . Posons U = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 et J = 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 . On a UJ = JU = U et Uk= 5k−1U pour k > 1 donc An= 1 6n n X k=0 n k ! UkJn−k= 1 6n Jn+ n X k=1 n k ! Uk = 1 6n Jn+6 n−1 5 U
Jnse calcule facilement et Vn= AnV0donc pn(0) =
1 5 1 + 4 6n si n ≡ 0 mod 5 et pn(0) = 1 5 1 − 1 6n sinon.
Probabilités (complément pour 5/2)
Exercice 7 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans Z, et (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes
et identiquement distribuées suivant la loi de X. On pose S0 = 0 et pour n ∈ N ∗
: Sn = X1+ · · · + Xn. On pose
Nn= card{Sk|k ∈ ~0, n} et on note enfin A l’événement A =
\ n>1 Sn, 0 . a) Soit n ∈ N. Montrer que PSn+1< {S0, . . . , Sn}
= PS1, 0, . . . , Sn+1, 0
. b) Montrer que lim
n→+∞E N n n = P(A). a) On a Sn+1−S0= α1 Sn+1−S1= α2 .. . Sn+1−Sn−1= αn Sn+1−Sn= αn+1 ⇐⇒ X1+ X2+ · · · + Xn+1= α1 X2+ · · · + Xn+1= α2 .. . Xn+ Xn+1= αn Xn+1= αn+1 ⇐⇒ X1= α1− α2 X2= α2− α3 .. . Xn= αn− αn+1 Xn+1= αn+1 et par ailleurs X1= αn+1 X2= αn− αn+1 .. . Xn= α2− α1 Xn+1= α1− α2 ⇐⇒ S1= αn+1 S2= αn .. . Sn= α2 Sn+1= α1
Sachant que les variables (Xk) sont indépendantes et identiquement distribuées, les vecteurs aléatoires
(X1, . . . , Xn+1) et (Xn+1, . . . , X1) suivent la même loi et ainsi, P(Sn+1−S0 = α0, . . . , Sn+1−Sn = αn+1) = P(S1 =
αn+1, . . . , Sn+1= α1).
En faisant varier (α1, . . . , αn+1) dans (Z
∗
)n+1on en déduit : P(Sn+1< {S0, . . . , Sn}) = P(S1, 0, . . . , Sn+1, 0).
b) Considérons la variable aléatoire Vnégale à 1 si Sn+1< {S0, . . . , Sn}, et à 0 sinon. Alors Nn= n X k=1 Vkdonc E(Nn) = n X k=1 E(Vk) = n X k=1 P(Sn+1< {S0, . . . , Sn}) = n X k=1 P(S1, 0, . . . , Sn+1, 0) = n X k=1 P(An) avec An= \ 16k6n (Sk, 0).
D’après le théorème de la limite monotone, lim P(An) = P(A) et d’après le théorème de Cesàro, lim E
N
n
n
