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10.1007/s00165-016-0379-x
URL :
http://dx.doi.org/10.1007/s00165-016-0379-x
To cite this version :
Chevrou, Florent and Hurault, Aurélie and
Quéinnec, Philippe On the Diversity of Asynchronous Communication.
(2016) Formal Aspects of Computing, vol. 28 (n° 5). pp. 847-879.
ISSN 0934-5043
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OULOUSE
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❆ ♠❡..❛❣❡✲♣❛..✐♥❣ ❞✐.)#✐❜✉)❡❞ .②.)❡♠ ✐. ❝♦♠♣♦.❡❞ ♦❢ ❛ .❡) ♦❢ ♣❡❡#. ✭♦# ♣#♦❝❡..❡.✱ ♦# ♥♦❞❡.✮ ✇❤✐❝❤ ❡①❝❤❛♥❣❡ ♠❡..❛❣❡.✳ ❲✐)❤♦✉) ❧♦.. ♦❢ ❣❡♥❡#❛❧✐)②✱ ♠❡..❛❣❡. ❛#❡ ✉♥✐Q✉❡✳ ❆ ❞✐.)#✐❜✉)❡❞ ❡①❡❝✉)✐♦♥ ✐. ❞❡.❝#✐❜❡❞ ✇✐)❤ ❡✈❡♥).✿ ♠❡..❛❣❡ .❡♥❞ ❡✈❡♥).✱ ♠❡..❛❣❡ #❡❝❡✐✈❡ ❡✈❡♥).✱ ❛♥❞ ✐♥)❡#♥❛❧ ❡✈❡♥). ✭#❡.♣❡❝)✐✈❡❧② ♥♦)❡❞ (♠)✱ "(♠)✱ ❛♥❞ ✐✮✳ ❆♥ ❡①❡❝✉)✐♦♥ ✐. ❛ .❡Q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❡✈❡♥).✱ ♦❜)❛✐♥❡❞ ❢#♦♠ )❤❡ ✐♥)❡#❧❡❛✈✐♥❣ ♦❢ ♣❡❡# .❡Q✉❡♥❝❡.✳ ❆. ✇❡ ♦♥❧② ❝♦♥.✐❞❡# .)❛❜❧❡ ♦# ❧♦❝❛❧ ♣#♦♣❡#)✐❡. ✭)❡#♠✐♥❛)✐♦♥✱ ❞❡❛❞❧♦❝❦✱ ❢❛✉❧)② #❡❝❡♣)✐♦♥✱ ♥❡✈❡# #❡❝❡✐✈❡❞ ♠❡..❛❣❡✮ ❛♥❞ ♣❡❡#. ❤❛✈❡ ♥♦ ✐♥)❡#♥❛❧ ❝♦♥❝✉##❡♥❝②✱ ✐♥)❡#❧❡❛✈✐♥❣ ❛♥❞ )#✉❡ ♣❛#❛❧❧❡❧✐.♠ ❛#❡ ✐♥❞✐.)✐♥❣✉✐.❤❛❜❧❡✿ )❤❡ ♦♥❧② ♣#♦♣❡#)✐❡. ✇❤✐❝❤ ❛#❡ ♥♦) ♦❜.❡#✈❛❜❧❡ ❛♥❞ ♥♦) ✈❡#✐✜❛❜❧❡ ✇✐)❤ ✐♥)❡#❧❡❛✈✐♥❣ ❛#❡ )#❛♥.✐)♦#② ❣❧♦❜❛❧ ♣#❡❞✐❝❛)❡. ❬❈❤❛✾✼❪✳ ❚❤✐. ♣❛♣❡# ♦♥❧② ❝♦♥.✐❞❡#. ♣♦✐♥)✲)♦✲♣♦✐♥) ❝♦♠♠✉♥✐❝❛)✐♦♥✱ )❤❛) ✐. ❛ ♠❡..❛❣❡ ❤❛. ❡①❛❝)❧② ♦♥❡ .❡♥❞❡# ❛♥❞ ❛) ♠♦.) ♦♥❡ #❡❝❡✐✈❡#✳ ◆♦)❡ )❤❛) ❉❡✜♥✐)✐♦♥✷✳✷❛❧❧♦✇. .❡♥) ♠❡..❛❣❡. )♦ ♥❡✈❡# ❜❡ #❡❝❡✐✈❡❞✳ ❚❤✐. ❝❛♥ ❜❡ ✐♥)❡#♣#❡)❡❞ ❛. )❤❡ ❧♦.. ♦❢ )❤❡ ♠❡..❛❣❡✱ ❛♥❞ ✐. ✐♥❞✐.)✐♥❣✉✐.❤❛❜❧❡ ❢#♦♠ ❛ ♠❡..❛❣❡ .)❛②✐♥❣ ❢♦#❡✈❡# ✐♥ )❤❡ ♥❡)✇♦#❦✳ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✶ ✭❊✈❡♥%-✮✳ ▲❡) PEER ❜❡ ❛ .❡) ♦❢ ♣❡❡#.✱ MES ❜❡ ❛♥ ❡♥✉♠❡#❛❜❧❡ .❡) ♦❢ ♠❡..❛❣❡.✳ ❚❤❡ .❡) ♦❢ ❡✈❡♥). ✐.✿ EVEN T = {✐∆♣ |♣ ∈ PEER} ∪ { ♣(♠), "♣(♠) | ♣ ∈ PEER, ♠ ∈ MES}
❚♦ ❡❛.❡ ♥♦)❛)✐♦♥✱ )❤❡ ✐♥❞❡① ♣ ✐. ♦♠✐))❡❞ ❛♥❞✱ ✇❤❡♥ )❤❡ ♣❡❡# ✐. ♥❡❡❞❡❞ ❢♦# ❛♥ ❡✈❡♥) ❡ ♦❢ ❛♥ ❡①❡❝✉)✐♦♥✱
♣❡❡"(❡) ✐. )❤❡ ♣❡❡# ✇❤❡#❡ ❡ ♦❝❝✉#.✳
❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✷ ✭❉✐-%/✐❜✉%❡❞ ❊①❡❝✉%✐♦♥✮✳ EX EC✱ )❤❡ .❡) ♦❢ ❛❧❧ ♣♦..✐❜❧❡ ❡①❡❝✉)✐♦♥. ♦✈❡# )❤❡ ❡✈❡♥).
EVEN T✱ ✐. )❤❡ .❡) ♦❢ ❛❧❧ ✜♥✐)❡ ♦# ✐♥✜♥✐)❡ .❡Q✉❡♥❝❡. ♦❢ ❡✈❡♥). .✉❝❤ )❤❛) ♠❡..❛❣❡. ❛#❡ ✉♥✐Q✉❡✱ ❛♥❞ .✉❝❤
)❤❛) ❛ #❡❝❡✐✈❡ ❡✈❡♥) ♦❢ ❛ ♠❡..❛❣❡ ✐. ♣#❡❝❡❞❡❞ ❜② ❛ .❡♥❞ ❡✈❡♥) ♦❢ )❤✐. ♠❡..❛❣❡✿
SEQ = EVEN T∆ ∗∪ EVEN Tω
EX EC ∆ = ( σ ∈ SEQ ∀♠ ∈ MES : ∧ ∀❥ , ❦ ∈ ❞♦♠(σ) : σ[❥ ] = "(♠) ∧ σ[❦] = "(♠) ⇒ ❥ = ❦∀❥ , ❦ ∈ ❞♦♠(σ) : σ[❥ ] = (♠) ∧ σ[❦] = (♠) ⇒ ❥ = ❦ ∧ ∀❥ ∈ ❞♦♠(σ) : σ[❥ ] = "(♠) ⇒ ∃❦ ∈ ❞♦♠(σ) : σ[❦] = (♠) ∧ ❦ < ❥ ) ❚♦ .✐♠♣❧✐❢② ♥♦)❛)✐♦♥✱ ✇❡ ✇#✐)❡ ❡ ∈ σ )♦ .)❛)❡ )❤❛) ❡✈❡♥) ❡ ♦❝❝✉#. ✐♥ ❡①❡❝✉)✐♦♥ σ✳ ■) ✐. ❛ .❤♦#)❝✉) ❢♦# ∃❥ ∈ ❞♦♠(σ) : σ[❥ ] = ❡✳ ▲❡♠♠❛ ✷✳✸ ✭9/❡✜①❡- ♦❢ ❛♥ ❊①❡❝✉%✐♦♥✮✳ ❆♥② ♣#❡✜① ♦❢ ❛ ❞✐.)#✐❜✉)❡❞ ❡①❡❝✉)✐♦♥ ✐. ❛ ❞✐.)#✐❜✉)❡❞ ❡①❡❝✉)✐♦♥✳ *"♦♦❢✳ ❋#♦♠ )❤❡ ❞❡✜♥✐)✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❡①❡❝✉)✐♦♥✳
✷✳✷✳ ❊✈❡♥& ❖'❞❡'✐♥❣
❲❤❡♥ ❝♦♥.✐❞❡#✐♥❣ ❛♥ ❡①❡❝✉)✐♦♥ σ✱ )❤#❡❡ ♦#❞❡#. ❛#❡ ❞❡✜♥❡❞✿ ❛ ❧♦❝❛❧ ♦#❞❡# ♦♥ ❡❛❝❤ ♣❡❡#✱ )❤❡ ❡①❡❝✉)✐♦♥ )♦)❛❧ ♦#❞❡#✱ ❛♥❞ )❤❡ ❝❛✉.❛❧ ♦#❞❡# ❬▲❛♠✼✽❪ ✇❤✐❝❤ ❛❜.)#❛❝). ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥) ❡✈❡♥).✳ ❚❤❡ ❝❛✉.❛❧ ♦#❞❡# #❡❧❛)✐♦♥ ✐. ❤❡#❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ✐). ✉.✉❛❧ ❢♦#♠ ❬▲❛♠✼✽✱▼❛)✽✾✱❈❉❑✾✹✱❘❛②✶✸❪✳ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✹ ✭❊①❡❝✉%✐♦♥ ❖/❞❡/✮✳ ❡1≺σ❡2 ∆ = ∃❥ , ❦ ∈ ❞♦♠(σ) : ❥ ≤ ❦ ∧ σ[❥ ] = ❡1∧ σ[❦] = ❡2✹ ❋✳ ❈❤❡✈'♦✉✱ ❆✳ ❍✉'❛✉❧/✱ ❛♥❞ 2✳ ◗✉4✐♥♥❡❝ ▼♥−♥ ▼♥−1 ▼❝❛✉$❛❧ ▼1−1 ▼1−♥ !(♠1) ≺σ!(♠2) !(♠1) ≺σ!(♠2) ∧ !(♠1) ≺❝❛✉$❛❧!(♠2) ∧ !(♠1) ≺♣❡❡(!(♠2) ∧ !(♠1) ≺♣❡❡(!(♠2) ♣❡❡%(%(♠1)) =♣❡❡%(%(♠2)) ♣❡❡%(%(♠1)) =♣❡❡%(%(♠2)) ♣❡❡%(%(♠1)) =♣❡❡%(%(♠2)) ❚❛❜❧❡ ✶✳ ❉❡❧✐✈❡*② ❖*❞❡* .*❡❞✐❝❛0❡1 ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✺ ✭+❡❡, ❖,❞❡,✮✳ ❡1≺♣❡❡" ❡2 =∆ ♣❡❡"(❡1) =♣❡❡"(❡2) ∧❡1≺σ❡2 ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✻ ✭❈❛✉4❛❧ ❖,❞❡,✮✳ ≺❝❛✉&❛❧ ✐1 0❤❡ 1♠❛❧❧❡10 *❡❧❛0✐♦♥ 1✉❝❤ 0❤❛0 ∀❡1,❡2 ∈ σ :❡1≺❝❛✉&❛❧❡2⇔ ( ❡ 1≺♣❡❡" ❡2 ✭♣❡❡* ♦*❞❡*✐♥❣✮ ∨ ∃♠ ∈ MES : ❡1=$(♠) ∧ ❡2="(♠) ✭♠❡11❛❣❡ 0*❛♥1❢❡*✮ ∨ ∃❡3∈ σ :❡1≺❝❛✉&❛❧ ❡3∧❡3≺❝❛✉&❛❧ ❡2 ✭0*❛♥1✐0✐✈✐0②✮ ❚❤❡♦,❡♠ ✷✳✼ ✭❖,❞❡, ■♥❝❧✉4✐♦♥✮✳ ∀σ ∈ EX EC, ∀❡1,❡2 ∈ σ :❡1≺♣❡❡"❡2⇒❡1≺❝❛✉&❛❧ ❡2 ∀σ ∈ EX EC, ∀❡1,❡2 ∈ σ :❡1≺❝❛✉&❛❧❡2⇒❡1≺σ❡2 %"♦♦❢✳ ❚❤✐1 0❤❡♦*❡♠ ✐1 ❝❧❛11✐❝ ❛♥❞ ❞✐*❡❝0❧② ❞❡*✐✈❡1 ❢*♦♠ 0❤❡ ❞❡✜♥✐0✐♦♥ ♦❢ 0❤❡ ♦*❞❡*1 ❛♥❞ ❡①❡❝✉0✐♦♥1✳
✷✳✸✳ ❉❡❧✐✈❡(② ❖(❞❡(
❚❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ❡♥❢♦*❝❡1 ❛ ❞❡❧✐✈❡*② ♦*❞❡* ✐❢ 0❤❡ ♦*❞❡* ♦❢ ♠❡11❛❣❡ *❡❝❡♣0✐♦♥1 ✐1 ✐♥ *❡❧❛0✐♦♥ ✇✐0❤ 0❤❡ ♦*❞❡* ♦❢ 0❤❡✐* ❡♠✐11✐♦♥1✳ ❚❤✉1✱ ❛ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✐♠♣♦1❡1 ❛♥ ♦*❞❡* ♦♥ 0❤❡ ♠❡11❛❣❡ *❡❝❡♣0✐♦♥1✱ ❜❛1❡❞ ♦♥ 1♦♠❡ 1♣❡❝✐✜❝ ♣*❡❞✐❝❛0❡✳ ❆♥ ❡①❡❝✉0✐♦♥ σ ❝♦♥❢♦*♠1 0♦ ❛ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ❈▼ ✐❢ ❛❧❧ *❡❝❡♣0✐♦♥1 ❛*❡ ❝♦**❡❝0❧② ♦*❞❡*❡❞ ✇✐0❤ *❡❣❛*❞ 0♦ 0❤❡ ❞❡❧✐✈❡*② ♣*❡❞✐❝❛0❡ ♦❢ 0❤✐1 ♠♦❞❡❧✳ ❊①❝❡♣0 ❢♦* 0❤❡ ✜*10 ♠♦❞❡❧ ✭❘❙❈✮✱ 0❤❡ 1❡0 ♦❢ ✈❛❧✐❞ ❡①❡❝✉0✐♦♥1 ♦❢ ❈▼ ✐1 ❞❡✜♥❡❞ ❛❝❝♦*❞✐♥❣ 0♦ ❛ ❝♦♠♠♦♥ ♣❛00❡*♥ ✇❤✐❝❤ 0❛❦❡1 0❤❡ ❢♦*♠✿ E①❡❝(❈▼ ) ∆ = σ ∈ EX EC ∀♠1,♠2 ∈ MES : "(♠1) ∈ σ ∧"(♠2) ∈ σ ∧ ❝♦♥❞✐0✐♦♥ ♦♥ $(♠1)✱ $(♠2)✱ "(♠1)✱ "(♠2) ⇒"(♠1) ≺σ"(♠2) ✇❤❡*❡ 0❤❡ ❞❡❧✐✈❡*② ♣*❡❞✐❝❛0❡ ✐1 1♣❡❝✐✜❝ 0♦ 0❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❢♦*❝❡1 ❛♥ ♦*❞❡* ♦♥ 0✇♦ *❡❝❡✐✈❡ ❡✈❡♥01 ❜❛1❡❞ ♦♥ 1♦♠❡ ♣*♦♣❡*0② ♦♥ 0❤❡ 1❡♥❞ ❛♥❞ *❡❝❡✐✈❡ ❡✈❡♥01✳✷✳✹✳ ❆.②♥❝❤(♦♥♦✉. ❈♦♠♠✉♥✐❝❛7✐♦♥ ▼♦❞❡❧.
❲❡ ♣*❡1❡♥0 1❡✈❡♥ ❛1②♥❝❤*♦♥♦✉1 ♣♦✐♥0✲0♦✲♣♦✐♥0 ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ♠♦❞❡❧1✱ ❛♥❞ ✜✈❡ ♦❢ 0❤❡♠ ❛*❡ 1✉♠♠❡❞ ✉♣ ✐♥ ❚❛❜❧❡✶ ✭❢✉❧❧② ❛1②♥❝❤*♦♥♦✉1 ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ❛♥❞ ❘❙❈ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ❛*❡ ♦♠✐00❡❞✮✳ ❚❤❡*❡ ❛*❡ ❢♦✉* ✈❛*✐❛♥01 ♦❢ ❋■❋❖ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥✱ ❛❝❝♦*❞✐♥❣ 0♦ 0❤❡ ♣❡❡*1 ✐♥✈♦❧✈❡❞✿ ▼1−1 ❝♦♦*❞✐♥❛0❡1 ♦♥❡ 1❡♥❞❡* ✇✐0❤ ♦♥❡ *❡❝❡✐✈❡*✱ ▼♥−1 ❝♦♦*❞✐♥❛0❡1 ❛❧❧ 0❤❡ 1❡♥❞❡*1 ♦❢ ❛ ✉♥✐K✉❡ *❡❝❡✐✈❡*✱ ▼1−♥ ❝♦♦*❞✐♥❛0❡1 ♦♥❡ 1❡♥❞❡* ✇✐0❤ ❛❧❧ ✐01 ❞❡10✐♥❛0✐♦♥1✱ ❛♥❞ ▼♥−♥ ❝♦♦*❞✐♥❛0❡1 ❛❧❧ 0❤❡ 1❡♥❞❡*1 ✇✐0❤ ❛❧❧ 0❤❡ *❡❝❡✐✈❡*1✳ ❆❞❞✐0✐♦♥❛❧❧②✱ 0❤❡*❡ ❛*❡ ❝❛✉1❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥▼❝❛✉&❛❧✱ ♣1❡✉❞♦✲1②♥❝❤*♦♥♦✉1 ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ▼"&❝✱ ❛♥❞ ❢✉❧❧② ❛1②♥❝❤*♦♥♦✉1 ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ▼❛&②♥❝✳ ❆♣♣❧✐❝❛✲
0✐✈❡ ♦*❞❡*✐♥❣✱ 1✉❝❤ ❛1 ♠❡11❛❣❡ ♣*✐♦*✐0✐❡1✱ ❝♦✉❧❞ ❛❧1♦ ❜❡ ✉1❡❞✳ ❆1 ♦✉* ❣♦❛❧ ✐1 0♦ ❝♦♠♣❛*❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ♠♦❞❡❧1 ✇✐0❤♦✉0 ❝♦♥1✐❞❡*✐♥❣ ❛ 1♣❡❝✐✜❝ ❛♣♣❧✐❝❛0✐♦♥✱ 1✉❝❤ ♦*❞❡*✐♥❣1 ❛*❡ ♥♦0 ❝♦♥1✐❞❡*❡❞✳
✷✳✹✳✶✳ ▼
%!❝❘❡❛❧✐③❛❜❧❡ ✇✐-❤ ❙②♥❝❤3♦♥♦✉6 ❈♦♠♠✉♥✐❝❛-✐♦♥
❆♥ ❡①❡❝✉0✐♦♥ ✐1 "❡❛❧✐③❛❜❧❡ ✇✐3❤ $②♥❝❤"♦♥♦✉$ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛3✐♦♥ ✐❢ ❡❛❝❤ 1❡♥❞ ❡✈❡♥0 ✐1 ✐♠♠❡❞✐❛0❡❧② ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ✐01 ❝♦**❡1♣♦♥❞✐♥❣ *❡❝❡✐✈❡ ❡✈❡♥0 ❬❈❇▼❚✾✻✱❑❙✶✶❪✳ ■❢ 0❤❡ ❝♦✉♣❧❡ ✭1❡♥❞ ❡✈❡♥0✱ ❝♦**❡1♣♦♥❞✐♥❣ *❡❝❡✐✈❡ ❡✈❡♥0✮ ✐1 ✈✐❡✇❡❞ ❛0♦♠✐❝❛❧❧②✱ 0❤✐1 ❝♦**❡1♣♦♥❞1 0♦ ❛ 1②♥❝❤*♦♥♦✉1 ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ❡①❡❝✉0✐♦♥✳ ❋✐❣✉*❡✶ ✐❧❧✉10*❛0❡1 ▼"&❝✳ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✽ ✭❘❙❈✮✳ E①❡❝(▼"&❝)= {σ ∈ EX EC | ∀♠ ∈ MES : "(♠) ∈ σ ⇒ ∀❡ ∈ σ : $(♠) ≺∆ σ❡ ≺σ"(♠) ⇒ ❡ ∈ {"(♠), $(♠), ✐}} ❚❤✐1 ♠♦❞❡❧ ❝❛♥ ❜❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥0❡❞ ✇✐0❤ ❛ ✶✲1❧♦0 ✉♥✐K✉❡ ❜✉✛❡* 1❤❛*❡❞ ❜② ❛❧❧ ♣❡❡*1✳ ❆❢0❡* ❛ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ 0*❛♥1✐0✐♦♥ ❝♦♥1✐10✐♥❣ ♦❢ ❛ 1❡♥❞ ❡✈❡♥0 ♦❢ ❛ ♠❡11❛❣❡✱ 0❤❡ ♦♥❧② ♣♦11✐❜❧❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ 0*❛♥1✐0✐♦♥ ✐1 0❤❡ *❡❝❡✐✈❡❖♥ "❤❡ ❉✐✈❡()✐"② ♦❢ ❆)②♥❝❤(♦♥♦✉) ❈♦♠♠✉♥✐❝❛"✐♦♥ ✺
Non RSC execution RSC execution
s(m1) r(m1) s(m2) r(m2) s(m1) r(m1) s(m2) r(m2) ❋✐❣✳ ✶✳ ❘❙❈ ❡①❡❝✉,✐♦♥/ s(m1) r(m1) r(m2) s(m2) s(m1) r(m1) r(m2) s(m2)
Non FIFO n-n execution FIFO n-n execution
❋✐❣✳ ✷✳ ❋■❋❖ ♥✲♥ ❡①❡❝✉,✐♦♥/ ❡✈❡♥, ♦❢ ,❤✐/ ♠❡//❛❣❡✳ ❚❤✉/✱ ,❤✐/ ❛/②♥❝❤<♦♥♦✉/ ♠♦❞❡❧ ✐/ ,❤❡ ❝❧♦/❡/, ♦♥❡ ,♦ /②♥❝❤<♦♥♦✉/ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛,✐♦♥✳ ❚❤❡ ❞✐✛❡<❡♥❝❡ ✐/ ,❤❛, ,❤✐/ ♠♦❞❡❧ ❛❧❧♦✇/ ✐♥,❡<❧❡❛✈✐♥❣ ♦❢ ✐♥,❡<♥❛❧ ,<❛♥/✐,✐♦♥/ ✭❜② ,❤❡ /❡♥❞❡<✱ ,❤❡ <❡❝❡✐✈❡<✱ ♦< ❛♥② ♦,❤❡< ♣❡❡<✮ ❜❡,✇❡❡♥ ,❤❡ /❡♥❞✐♥❣ ♦❢ ❛ ♠❡//❛❣❡ ❛♥❞ ✐,/ <❡❝❡♣,✐♦♥✱ ❛♥❞ ❝❛♥ ❛✈♦✐❞ ❞❡❛❞❧♦❝❦ ❜② ❞✐✈❡<❣❡♥❝❡ ✇✐,❤ ♦♥❡ ♥❡✈❡< <❡❝❡✐✈❡❞ ♠❡//❛❣❡ ✭❛♥ ❡①❡❝✉,✐♦♥ (♠) ✐ω✮✳
✷✳✹✳✷✳ ▼
♥−♥❋■❋❖ ♥✲♥ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥
▼❡//❛❣❡/ ❛<❡ ❣❧♦❜❛❧❧② ♦<❞❡<❡❞ ❛♥❞ ❛<❡ ❞❡❧✐✈❡<❡❞ ✐♥ ,❤❡✐< ❡♠✐//✐♦♥ ♦<❞❡<✳ ❚❤✐/ ♠♦❞❡❧ ✐/ ❜❛/❡❞ ♦♥ ❛ /❤❛<❡❞ ❝❡♥,<❛❧✐③❡❞ ♦❜❥❡❝, ✭❡✳❣✳ ❛ ✉♥✐I✉❡ I✉❡✉❡✮✱ ❛♥❞ ✐,/ ✐♠♣❧❡♠❡♥,❛,✐♦♥/ ❛<❡ ✐♥❡✣❝✐❡♥, ❛♥❞ ✉♥<❡❛❧✐/,✐❝✳ ❯/✉❛❧❧②✱ ✐, ✐/ ✉/❡❞ ❛/ ❛ ✜</, /,❡♣ ,♦ ♠♦✈❡ ❛✇❛② ❢<♦♠ ,❤❡ /②♥❝❤<♦♥♦✉/ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛,✐♦♥ ♠♦❞❡❧✱ ❜② /♣❧✐,,✐♥❣ /❡♥❞ ❛♥❞ <❡❝❡✐✈❡ ❡✈❡♥,/✳ ❋✐❣✉<❡✷ ✐❧❧✉/,<❛,❡/ ▼♥−♥✳ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✾ ✭❋■❋❖ ♥✲♥✮✳ E①❡❝(▼♥−♥) =∆ ( σ ∈ EX EC ∀♠1,♠2∈ MES : '(♠1) ∈ σ ∧'(♠2) ∈ σ ∧ (♠1) ≺σ (♠2) ⇒'(♠1) ≺σ'(♠2) ) ❆ ✈❛<✐❛♥, ❡①✐/,/ ✇❤❡<❡ ,❤❡ ♥✉♠❜❡< ♦❢ ♠❡//❛❣❡/ ✐♥ ,<❛♥/✐, ✐/ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❲✐,❤ ♣'❡✜①(σ, ❥ ) ❜❡✐♥❣ ,❤❡ ♣<❡✜① ♦❢ ❛♥ ❡①❡❝✉,✐♦♥ σ ✉♣ ,♦ ♣♦✐♥, ❥ ✱ ,❤✐/ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣<❡//❡❞ ❛/✿ max ❥∈❞♦♠(σ)|{♠ ∈ MES : (♠) ∈ ♣'❡✜①(σ, ❥ ) ∧ '(♠) /∈ ♣'❡✜①(σ, ❥ )}| ≤ ❜♦✉♥❞✳ ❚❤❡ ♦,❤❡< ♠♦❞❡❧/ ❤❛✈❡ /✐♠✐❧❛< ❜♦✉♥❞❡❞ ✈❛<✐❛♥,/ ✇❤✐❝❤ ❛<❡ ♥♦, ❞❡,❛✐❧❡❞✳✷✳✹✳✸✳ ▼
♥−1❋■❋❖ ♥✲✶ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥
❊❛❝❤ ♣❡❡< ❤❛/ ❛ ✉♥✐I✉❡ ✐♥♣✉, I✉❡✉❡ ✭❛✳❦✳❛ ♠❛✐❧❜♦①✮✳ ❆ /❡♥❞ ❡✈❡♥, ❝♦♥/✐/,/ ✐♥ ❛❞❞✐♥❣ ,❤❡ ♠❡//❛❣❡ ❛, ,❤❡ ❡♥❞ ♦❢ ,❤❡ I✉❡✉❡ ♦❢ ,❤❡ ❞❡/,✐♥❛,✐♦♥ ♣❡❡<✱ ✇✐,❤♦✉, ❜❧♦❝❦✐♥❣✳ ❚❤❡ ♠❡//❛❣❡ ✇✐❧❧ ❧❛,❡< ❜❡ <❡♠♦✈❡❞ ❢<♦♠ ,❤❡ I✉❡✉❡✱ ❛❝❝♦<❞✐♥❣ ,♦ ,❤❡ ✐♥/❡<,✐♦♥ ♦<❞❡<✳ ❚❤✐/ ♠♦❞❡❧ ✐/ ✉/❡❞ ❢♦< ✐♥/,❛♥❝❡ ✐♥ ❬❇❇❖✶✷✱ ❖❙❇✶✸❪ ❛/ ❛♥ ❛❜/,<❛❝,✐♦♥ ♦❢ ❛/②♥❝❤<♦♥♦✉/ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛,✐♦♥✳ ❚❤✐/ ♠♦❞❡❧ ✐/ ♦❢,❡♥ ❝♦♥❢✉/❡❞ ✇✐,❤ ,❤❡ ❋■❋❖ ✶✲✶ ♠♦❞❡❧ ✭❞❡/❝<✐❜❡❞ ❜❡❧♦✇✮ ✇❤❡<❡❛/ ✐, ✐/ /,<✐❝,❡<✳ ❊✈❡♥ ✐❢ ,❤❡ /❡♥❞ ❡✈❡♥,/ ❛<❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥,✱ ,❤❡ ❞❡❧✐✈❡<② ♦<❞❡< ✐/ ,❤❡✐< /❡♥❞ ♦<❞❡< ✐♥ ❛❜/♦❧✉,❡ ,✐♠❡✳ ❆ /❡♥❞ ❡✈❡♥, ✐/ ✐♠♣❧✐❝✐,❧② ❛♥❞ ❣❧♦❜❛❧❧② ♦<❞❡<❡❞ ✇✐,❤ <❡❣❛<❞ ,♦ ❛❧❧ ♦,❤❡< ❡♠✐//✐♦♥/ ,♦✇❛<❞ ,❤❡ /❛♠❡ ♣❡❡<✳ ❚❤✐/ ♠❡❛♥/ ,❤❛, ✐❢ ❛ ♣❡❡< ♣ ❝♦♥/✉♠❡/ ♠1 ✭/❡♥, ❜② ❛ ♣❡❡< 01✮ ❛♥❞ ❧❛,❡< ♠2 ✭/❡♥, ❜② ♣❡❡< 02✮✱ ♣❡❡< ♣ ❦♥♦✇ ,❤❛, ,❤❡ /❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ♣❡❡< 01♦❝❝✉</ ❜❡❢♦<❡ ,❤❡ /❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ♣❡❡< 02✐♥ ,❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❡①❡❝✉,✐♦♥ ♦<❞❡<✱ ❡✈❡♥ ✐❢ ,❤❡<❡ ✐/ ♥♦ ❝❛✉/❛❧ ♣❛,❤ ❜❡,✇❡❡♥ ,❤❡ ,✇♦ ❡♠✐//✐♦♥/✳ ❚❤✉/✱ ❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥,❛,✐♦♥ ♦❢ ,❤✐/ ♠♦❞❡❧ <❡I✉✐<❡/ ❛ /❤❛<❡❞ <❡❛❧✲,✐♠❡ ❝❧♦❝❦ ❬❈❋✾✾❪ ♦< ❛ ❣❧♦❜❛❧ ❛❣<❡❡♠❡♥, ♦♥ ❡✈❡♥, ♦<❞❡< ❬❉❙❯✵✹✱ ❘❛②✶✵❪✳ ❋✐❣✉<❡✸ ✐❧❧✉/,<❛,❡/ ▼♥−1✳ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✶✵ ✭❋■❋❖ ♥✲✶✮✳ E①❡❝(▼♥−1) =∆ ( σ ∈ EX EC ∀♠1,♠2 ∈ MES : '(♠1) ∈ σ ∧'(♠2) ∈ σ ∧ (♠1) ≺σ (♠2) ∧♣❡❡'('(♠1)) =♣❡❡'('(♠2)) ⇒'(♠1) ≺σ'(♠2) )✷✳✹✳✹✳ ▼
1−♥❋■❋❖ ✶✲♥ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥
▼❡//❛❣❡/ ❢<♦♠ ❛ /❛♠❡ ♣❡❡< ❛<❡ ❞❡❧✐✈❡<❡❞ ✐♥ ,❤❡✐< /❡♥❞ ♦<❞❡<✳ ❚❤✐/ ♠♦❞❡❧ ✐/ ,❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ ❋■❋❖ ♥✲✶✱ ❜✉, ✐/ ❧❡// ✐♥,✉✐,✐✈❡ ❛/ ✐, ✐/ ✐♥❞✉❝✐♥❣ ❛ /❡♣❛<❛,❡ ❣❧♦❜❛❧ ♦<❞❡< ♦♥ ,❤❡ <❡❝❡✐✈❡</✱ ♦♥❡ ❢♦< ❡❛❝❤ /❡♥❞❡<✳ ■,/ ✐♠♣❧❡♠❡♥,❛,✐♦♥ ✐/ ♥♦, ❡①♣❡♥/✐✈❡✿ ❡❛❝❤ ♣❡❡< ❤❛/ ❛ ✉♥✐I✉❡ I✉❡✉❡ ✇❤❡<❡ /❡♥, ♠❡//❛❣❡/ ❛<❡ ♣✉,✳ ❉❡/,✐♥❛,✐♦♥ ♣❡❡</ ❢❡,❝❤ ♠❡//❛❣❡/ ❢<♦♠ ,❤✐/ I✉❡✉❡ ❛♥❞ ❛❝❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ,❤❡✐< <❡❝❡♣,✐♦♥✳ ❋✐❣✉<❡✹✐❧❧✉/,<❛,❡/ ▼1−♥✳✻ ❋✳ ❈❤❡✈'♦✉✱ ❆✳ ❍✉'❛✉❧/✱ ❛♥❞ 2✳ ◗✉4✐♥♥❡❝ s(m1) r(m1) r(m2) s(m2) s(m1) r(m1) r(m2) s(m2)
Non FIFO n-1 execution FIFO n-1 execution
❋✐❣✳ ✸✳ ❋■❋❖ ♥✲✶ ❡①❡❝✉.✐♦♥0 s(m1) r(m1) r(m2) s(m2) s(m1) r(m1) r(m2) s(m2)
Non FIFO 1-n execution FIFO 1-n execution
❋✐❣✳ ✹✳ ❋■❋❖ ✶✲♥ ❡①❡❝✉.✐♦♥0
Non causal execution Causal execution s(m1) r(m1) r(m2) s(m2) s(m3) r(m3) s(m1) r(m1) r(m2) s(m2) s(m3) r(m3) ❋✐❣✳ ✺✳ ❈❛✉0❛❧ ❡①❡❝✉.✐♦♥0
Non FIFO 1-1 execution FIFO 1-1 execution s(m1) r(m1) r(m2) s(m2) s(m1) r(m1)r(m2) s(m2) ❋✐❣✳ ✻✳ ❋■❋❖ ✶✲✶ ❡①❡❝✉.✐♦♥0 ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✶✶ ✭❋■❋❖ ✶✲♥✮✳ E①❡❝(▼1−♥) =∆ ( σ ∈ EX EC ∀♠1,♠2 ∈ MES : %(♠1) ∈ σ ∧%(♠2) ∈ σ ∧&(♠1) ≺♣❡❡# &(♠2) ⇒%(♠1) ≺σ%(♠2) ) ✭.❤❡ ❢♦:♠ ♦❢ .❤❡ ❞❡❧✐✈❡:② ♣:❡❞✐❝❛.❡ ❡♥0✉:❡0 .❤❛. .❤❡ 0❡♥❞ ❡✈❡♥.0 ♦❝❝✉: ♦♥ .❤❡ 0❛♠❡ ♣❡❡:✮
✷✳✹✳✺✳ ▼
❝❛✉#❛❧❈❛✉(❛❧❧② ❖,❞❡,❡❞ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛4✐♦♥
▼❡00❛❣❡0 ❛:❡ ❞❡❧✐✈❡:❡❞ ❛❝❝♦:❞✐♥❣ .♦ .❤❡ ❝❛✉0❛❧✐.② ♦❢ .❤❡✐: ❡♠✐00✐♦♥0 ❬▲❛♠✼✽❪✳ ▼♦:❡ ♣:❡❝✐0❡❧②✱ ✐❢ ❛ ♠❡00❛❣❡ ♠1 ✐0 ❝❛✉0❛❧❧② 0❡♥. ❜❡❢♦:❡ ❛ ♠❡00❛❣❡ ♠2✭✐✳❡✳ .❤❡:❡ ❡①✐0.0 ❛ ❝❛✉0❛❧ ♣❛.❤ ❢:♦♠ .❤❡ ✜:0. ❡♠✐00✐♦♥ .♦ .❤❡ 0❡❝♦♥❞ ♦♥❡✮✱ .❤❡♥ ❛ ♣❡❡: ❝❛♥♥♦. ❣❡. ♠2❜❡❢♦:❡ ♠1✳ ❆♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥.❛.✐♦♥ ♦❢ .❤✐0 ♠♦❞❡❧ :❡K✉✐:❡0 .❤❡ 0❤❛:✐♥❣ ♦❢ .❤❡ ❝❛✉0❛❧✐.② :❡❧❛.✐♦♥✱ ✉0✐♥❣ ❝❛✉0❛❧ ❤✐0.♦:✐❡0 ❬❙▼✾✹✱❑❙✾✽❪ ♦: ❧♦❣✐❝❛❧ ✈❡❝.♦:✴♠❛.:✐① ❝❧♦❝❦0 ❬❘❙❚✾✶✱❈❉❑✾✹✱T❘❙✾✼✱❘❛②✶✸❪✳ ❋✐❣✉:❡✺✐❧❧✉0.:❛.❡0 ▼❝❛✉'❛❧✳ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✶✷ ✭❈❛✉3❛❧✮✳ E①❡❝(▼❝❛✉'❛❧) =∆ ( σ ∈ EX EC ∀♠1,♠2∈ MES : %(♠1) ∈ σ ∧%(♠2) ∈ σ ∧&(♠1) ≺❝❛✉'❛❧ &(♠2) ∧♣❡❡%(%(♠1)) =♣❡❡%(%(♠2)) ⇒%(♠1) ≺σ%(♠2) )✷✳✹✳✻✳ ▼
1−1❋■❋❖ ✶✲✶ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛4✐♦♥
▼❡00❛❣❡0 ❜❡.✇❡❡♥ ❛ ❝♦✉♣❧❡ ♦❢ ♣❡❡:0 ❛:❡ ❞❡❧✐✈❡:❡❞ ✐♥ .❤❡✐: 0❡♥❞ ♦:❞❡:✳ ▼❡00❛❣❡0 ❢:♦♠✴.♦ ❞✐✛❡:❡♥. ♣❡❡:0 ❛:❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥.❧② ❞❡❧✐✈❡:❡❞✳ ▼♦:❡ ♣:❡❝✐0❡❧②✱ ✐❢ ❛ ♣❡❡: 0❡♥❞0 ❛ ♠❡00❛❣❡ ♠1 ❛♥❞ ❧❛.❡: ❛ ♠❡00❛❣❡ ♠2✱ ❛♥❞ .❤❡0❡ .✇♦ ♠❡00❛❣❡0 ❛:❡ ❝♦♥0✉♠❡❞ ❜② ❛ 0❛♠❡ ♣❡❡:✱ .❤❡♥ ♠2 ❝❛♥♥♦. ❜❡ ❝♦♥0✉♠❡❞ ❜❡❢♦:❡ ♠1✳ ❚❤✐0 ♠♦❞❡❧ ✐0 ❡❛0✐❧② ❞❡0❝:✐❜❡❞ ✇✐.❤ ❛ 0✐♠♣❧❡ K✉❡✉❡ ❜❡.✇❡❡♥ ❡❛❝❤ ♣❛✐: ♦❢ ♣❡❡:0✳ ❆♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥.❛.✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❛0 ✐♥❡①♣❡♥0✐✈❡ ❛0 ❛♥ ✐♥.❡❣❡: ❝♦✉♥.❡: ❢♦: ❡❛❝❤ ♣❛✐: ♦❢ ♣❡❡:0✳ ❋✐❣✉:❡✻ ✐❧❧✉0.:❛.❡0 ▼1−1✳ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✶✸ ✭❋■❋❖ ✶✲✶✮✳ E①❡❝(▼1−1) =∆ ( σ ∈ EX EC ∀♠1,♠2 ∈ MES : %(♠1) ∈ σ ∧%(♠2) ∈ σ ∧&(♠1) ≺♣❡❡# &(♠2) ∧♣❡❡%(%(♠1)) =♣❡❡%(%(♠2)) ⇒%(♠1) ≺σ%(♠2) )✷✳✹✳✼✳ ▼
❛#②♥❝❋✉❧❧② ❆(②♥❝❤,♦♥♦✉( ❈♦♠♠✉♥✐❝❛4✐♦♥
◆♦ ♦:❞❡: ♦♥ ♠❡00❛❣❡ ❞❡❧✐✈❡:② ✐0 ✐♠♣♦0❡❞✳ ▼❡00❛❣❡0 ❝❛♥ ♦✈❡:.❛❦❡ ♦.❤❡:0 ♦: ❜❡ ❛:❜✐.:❛:✐❧② ❞❡❧❛②❡❞✳ ❚❤❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥.❛.✐♦♥ ✐0 ✉0✉❛❧❧② ♠♦❞❡❧❡❞ ❜② ❛ ❜❛❣ ✭♦: ❛ 0❡. ✐❢ ♠❡00❛❣❡0 ❛:❡ ✉♥✐K✉❡✮✳ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✶✹ ✭❆3②♥❝❤;♦♥♦✉3✮✳ E①❡❝(▼❛'②♥❝) = EX EC∆❖♥ "❤❡ ❉✐✈❡()✐"② ♦❢ ❆)②♥❝❤(♦♥♦✉) ❈♦♠♠✉♥✐❝❛"✐♦♥ ✼ RSC FIFO n-n FIFO 1-n FIFO n-1 causal asynchronous FIFO 1-1 1 2 3 4 5 6 7 6 ❋✐❣✳ ✼✳ ❍✐❡'❛'❝❤② ♦❢ .❤❡ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛.✐♦♥ ▼♦❞❡❧6
✷✳✹✳✽✳ ❊①❡❝✉)✐♦♥ -.❡✜①❡0
❚❤❡♦$❡♠ ✷✳✶✺✳ ∀▼ ∈ {▼ !❝,▼♥−♥,▼♥−1,▼❝❛✉!❛❧,▼1−♥,▼1−1,▼❛!②♥❝}, ∀σ ∈ EX EC : σ ∈ E①❡❝(▼ ) ⇔ ∀σ′ ∈♣%❡✜①❡'(σ) : σ′ ∈ E①❡❝(▼ ) (%♦♦❢✳ ❆❧❧ ❞❡❧✐✈❡'② ❝♦♥❞✐.✐♦♥6 ❛'❡ ❡①❝❧✉6✐✈❡❧② 6❛❢❡.② ♣'♦♣❡'.✐❡6✳ ❚❤✉6✱ ❛❧❧ ♣'❡✜①❡6 ♦❢ ❛♥ ❡①❡❝✉.✐♦♥ ✇❤✐❝❤ 6❛.✐6✜❡6 ❛ ❞❡❧✐✈❡'② ❝♦♥❞✐.✐♦♥ 6❛.✐6❢② .❤✐6 ❞❡❧✐✈❡'② ❝♦♥❞✐.✐♦♥✳ ❆♥❞ ❝♦♥✈❡'6❡❧②✱ ✐❢ ❛❧❧ ✜♥✐.❡ ♣'❡✜①❡6 6❛.✐6❢② ✐.✱ .❤❡ ✭♣♦66✐❜❧② ✐♥✜♥✐.❡✮ ❡①❡❝✉.✐♦♥ 6❛.✐6✜❡6 ✐.✳✸✳ ❈♦♠♣❛'✐)♦♥ ♦❢ ,❤❡ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛,✐♦♥ ▼♦❞❡❧)
✸✳✶✳ ❍✐❡&❛&❝❤② ♦❢ -❤❡ ▼♦❞❡❧1
❚❤❡ ❡①❡❝✉.✐♦♥6 ✇❤✐❝❤ ❛'❡ ✈❛❧✐❞ ❢♦' ❛ ❣✐✈❡♥ ♠♦❞❡❧ ♠❛② ❛❧6♦ ❜❡ ✈❛❧✐❞ ❢♦' ❛♥♦.❤❡' ♠♦❞❡❧✳ ❚❤✐6 ♠❡❛♥6 .❤❛.✱ ❢♦' .❤❡6❡ ❡①❡❝✉.✐♦♥6✱ ✇❡ ❝❛♥ 6✇✐.❝❤ ✇❤❛.❡✈❡' ♦❢ .❤❡6❡ ♠♦❞❡❧6 ✐6 ❝♦♥6✐❞❡'❡❞✳ ❑♥♦✇✐♥❣ ✇❤✐❝❤ ♠♦❞❡❧ ❝❛♥ ❜❡ '❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ✇❤✐❝❤ ✐6 ♦❢ ❣'❡❛. ✐♥.❡'❡6. .♦ 6.✉❞② .❤❡ ♣♦.❡♥.✐❛❧ ❝♦♠♣❛.✐❜✐❧✐.② ♦❢ ♣❡❡'6✳ ▼♦❞❡❧ ✐♥❝❧✉6✐♦♥6 ❛'❡ ❣✐✈❡♥ ❜② ❚❤❡♦'❡♠✸✳✷✱ ✇❤✐❝❤ ✐6 ✐❧❧✉6.'❛.❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉'❡ ✼✳ ❉❡✜♥✐.✐♦♥ ✸✳✶ ✭▼♦❞❡❧ ■♥❝❧✉7✐♦♥✮✳ ❆ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛.✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ▼1✐6 ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ ▼2✐✛ ❛❧❧ ✈❛❧✐❞ ❡①❡❝✉.✐♦♥6 ♦❢ ▼1 ❛'❡ ❛❧6♦ ✈❛❧✐❞ ✐♥ ▼2✿ ▼1⊆▼2 = E①❡❝(▼∆ 1) ⊆ E①❡❝(▼2) ❚❤❡♦$❡♠ ✸✳✷ ✭❍✐❡$❛$❝❤② ♦❢ .❤❡ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛.✐♦♥ ▼♦❞❡❧7✮✳ • ▼ !❝(▼♥−♥ (▼♥−1(▼❝❛✉!❛❧ (▼1−1(▼❛!②♥❝ • ▼ !❝(▼♥−♥ (▼1−♥(▼❝❛✉!❛❧ (▼1−1(▼❛!②♥❝ • ▼1−♥ ❛♥❞ ▼♥−1 ❛'❡ ♥♦. ❝♦♠♣❛'❛❜❧❡✳✸✳✷✳ 3&♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦&❡♠
✸✳✷
✸✳✷✳✶✳ ❙✐♠♣❧❡ -.♦♦❢0
❆❧♠♦6. ❛❧❧ ✐♥❝❧✉6✐♦♥6 ❞✐'❡❝.❧② ❞❡'✐✈❡ ❢'♦♠ .❤❡ ❞❡❧✐✈❡'② ♣'❡❞✐❝❛.❡6 ❛♥❞ .❤❡ ♦'❞❡' ✐♥❝❧✉6✐♦♥ ✭❚❤❡♦'❡♠✷✳✼✮✳ • ▼ !❝⊆▼♥−♥✿ ▼ !❝ ✐6 ▼♥−♥ ❝♦♥6.'❛✐♥❡❞ ❜② ❛ ❜♦✉♥❞ ♦❢ ✶✳✽ ❋✳ ❈❤❡✈'♦✉✱ ❆✳ ❍✉'❛✉❧/✱ ❛♥❞ 2✳ ◗✉4✐♥♥❡❝ • ▼♥−♥ ⊆ ▼♥−1✿ ❚❤❡ ❞❡❧✐✈❡(② ♣(❡❞✐❝❛-❡ ♦❢ ▼♥−1 ✐♠♣❧✐❡1 -❤❡ ❞❡❧✐✈❡(② ♣(❡❞✐❝❛-❡ ♦❢ ▼♥−♥✱ -❤✉1 ∀σ ∈ E①❡❝(▼♥−♥) : σ ∈ E①❡❝(▼♥−1)✳ • ▼♥−1 ⊆▼❝❛✉$❛❧✿ ❋(♦♠ ❚❤❡♦(❡♠ ✷✳✼✱ -❤❡ ❞❡❧✐✈❡(② ♣(❡❞✐❝❛-❡ ♦❢ ▼❝❛✉$❛❧ ✐♠♣❧✐❡1 -❤❡ ❞❡❧✐✈❡(② ♣(❡❞✐❝❛-❡ ♦❢ ▼♥−1✱ -❤✉1 ∀σ ∈ E①❡❝(▼♥−1) : σ ∈ E①❡❝(▼❝❛✉$❛❧)✳ • ▼❝❛✉$❛❧ ⊆ ▼1−1✿ ❋(♦♠ ❚❤❡♦(❡♠ ✷✳✼✱ -❤❡ ❞❡❧✐✈❡(② ♣(❡❞✐❝❛-❡ ♦❢ ▼1−1 ✐♠♣❧✐❡1 -❤❡ ❞❡❧✐✈❡(② ♣(❡❞✐❝❛-❡ ♦❢ ▼❝❛✉$❛❧✱ -❤✉1 ∀σ ∈ E①❡❝(▼❝❛✉$❛❧) : σ ∈ E①❡❝(▼1−1)✳ • ▼♥−♥ ⊆ ▼1−♥✿ ❋(♦♠ ❚❤❡♦(❡♠ ✷✳✼✱ -❤❡ ❞❡❧✐✈❡(② ♣(❡❞✐❝❛-❡ ♦❢ ▼1−♥ ✐♠♣❧✐❡1 -❤❡ ❞❡❧✐✈❡(② ♣(❡❞✐❝❛-❡ ♦❢ ▼♥−♥✱ -❤✉1 ∀σ ∈ E①❡❝(▼♥−♥) : σ ∈ E①❡❝(▼1−♥)✳
✸✳✷✳✷✳ #$♦♦❢ ♦❢ ▼
1−♥⊆
▼
❝❛✉$❛❧ ❚♦ ❢❛❝✐❧✐-❛-❡ ✐♥❞✉❝-✐♦♥✱ -❤❡ ❝❛✉1❛❧✐-② (❡❧❛-✐♦♥ ✭❉❡✜♥✐-✐♦♥✷✳✻✮ ✐1 (❡✇(✐--❡♥ ❜② ❡①♣❛♥❞✐♥❣ -❤❡ ❜❛1❡ ❝❛1❡ ✐♥ -❤❡ -(❛♥1✐-✐✈✐-② ❢♦(♠✉❧❛✿ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸ ✭❈❛✉)❛❧ ❖,❞❡,✮✳ ≺❝❛✉$❛❧ ✐1 -❤❡ 1♠❛❧❧❡1- (❡❧❛-✐♦♥ ♦♥ σ 1✉❝❤ -❤❛- ∀❡1,❡2∈ σ : ❡1≺❝❛✉$❛❧ ❡2⇔ ❡1≺❡❧❡♠ ❡2 ♦( ∃❡3 ∈ σ,❡16=❡3:❡1≺❡❧❡♠❡3∧❡3≺❝❛✉$❛❧ ❡2 ✇❤❡(❡ ❡1≺❡❧❡♠ ❡2 =∆ ❡1≺♣❡❡) ❡2 ♦( ∃♠ ∈ MES, ❡1=%(♠) ∧ ❡2=&(♠) '&♦♦❢✳ ❚❤✐1 ✐1 -❤❡ -(❛♥1❢♦(♠❛-✐♦♥ ♦❢ ✏-(❛♥1✐-✐✈✐-② ♥✲♥✑ -♦ ✏-(❛♥1✐-✐✈✐-② ✶✲♥✑✱ ❛♥❞ -❤❡ -✇♦ ❞❡✜♥✐-✐♦♥1 ❛(❡ ♣(♦✈❡♥ ❡F✉✐✈❛❧❡♥- ✐♥ ❈♦F ❙-❛♥❞❛(❞ ▲✐❜(❛(② ✭♠♦❞✉❧❡ ❘❡❧❛-✐♦♥1✮✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✹ ✭❈❛✉)❛❧ ❡✈❡♥2) ♦♥ ❞✐✛❡,❡♥2 ♣❡❡,) ❛,❡ ❧✐♥❦❡❞ ❜② ❛ ♠❡))❛❣❡✮✳∀σ ∈ EX EC, ∀❡1,❡2∈ σ :❡1≺❝❛✉$❛❧ ❡2∧♣❡❡&(❡1) 6=♣❡❡&(❡2) ⇒ ∃♠ : ❡1≺♣❡❡) %(♠) ∧ &(♠) ≺❝❛✉$❛❧ ❡2 ❚❤✐1 ❧❡♠♠❛ 1-❡1 -❤ ✐- ✐1 ✐♠♣♦11✐❜❧❡ -♦ ❤❛✈❡ -✇♦ ❝❛✉1❛❧❧② (❡❧❡❞ ❡✈❡♥-1 ♦♥ ❞✐✛❡(❡♥- ♣❡❡(1 ✇✐-❤♦✉- ❛-❧❡❛1- ♦♥❡ ♠❡11❛❣❡ ❜❡-✇❡❡♥ -❤❡♠✿ ♠❡11❛❣❡1 ❛(❡ -❤❡ ♦♥❧② ❝❛✉1❛❧ ❧✐♥❦1 ❜❡-✇❡❡♥ ♣❡❡(1✳
'&♦♦❢✳ ▲❡- σ ∈ EX EC ❛♥ ❡①❡❝✉-✐♦♥✱ ❛♥❞ ❡1,❡2 1✉❝❤ -❤❛- ❡1,❡2 ∈ σ✱ ❡1 ≺❝❛✉$❛❧ ❡2 ❛♥❞ ♣❡❡&(❡1) 6=♣❡❡&(❡2)✳
▲❡-✬1 ♣(♦✈❡ -❤❛- ∃♠, ❡1≺♣❡❡) %(♠) ∧ &(♠) ≺❝❛✉$❛❧ ❡2❜② ✐♥❞✉❝-✐♦♥ ♦♥ -❤❡ ♣(✐♥❝✐♣❧❡ ✉♥❞❡(❧②✐♥❣ ▲❡♠♠❛✸✳✸✳
• ❈❛1❡ ❡1≺❡❧❡♠ ❡2✿ ❊✐-❤❡( ❡1≺♣❡❡) ❡2✱ ✇❤✐❝❤ ✐1 ✐♥❝♦♠♣❛-✐❜❧❡ ✇✐-❤ -❤❡ ❤②♣♦-❤❡1✐1 ♣❡❡&(❡1) 6=♣❡❡&(❡2)✳ ❖( ∃♠, ❡1=%(♠) ∧ ❡2=&(♠)✳ ❙♦ ∃♠, ❡1≺♣❡❡) %(♠) ∧ &(♠) ≺❝❛✉$❛❧ ❡2 ✭1✐♥❝❡ ≺♣❡❡) ❛♥❞ ≺❝❛✉$❛❧ ❛(❡ ♦(❞❡( (❡❧❛-✐♦♥1✱ -❤❡② ❛(❡ (❡✢❡①✐✈❡✮✳
• ❈❛1❡ ∃❡3∈ σ :❡36=❡1∧❡1≺❡❧❡♠❡3∧❡3≺❝❛✉$❛❧❡2✱ ✇✐-❤ -❤❡ ✐♥❞✉❝-✐♦♥ ❤②♣♦-❤❡1✐1 -(✉❡ ❢♦( ❡3≺❝❛✉$❛❧ ❡2✿ ✕ ❡✐-❤❡( ♣❡❡&(❡1) =♣❡❡&(❡3)✱ 1♦ ♣❡❡&(❡3) 6=♣❡❡&(❡2)✳ ❇② -❤❡ ✐♥❞✉❝-✐♦♥ ❤②♣♦-❤❡1✐1✿ ∃♠, ❡3≺♣❡❡)%(♠) ∧ &(♠) ≺❝❛✉$❛❧ ❡2✳ ❙✐♥❝❡ ❡1 ≺♣❡❡) ❡3✱ -❤❡ -(❛♥1✐-✐✈✐-② ♦❢ -❤❡ ♣❡❡( ♦(❞❡( ❣✐✈❡1 ∃♠, ❡1 ≺♣❡❡) %(♠) ∧ &(♠) ≺❝❛✉$❛❧ ❡2✳
✕ ♦( ♣❡❡&(❡1) 6=♣❡❡&(❡3)✳ ❋(♦♠ ▲❡♠♠❛✸✳✸✱ ✐- ❢♦❧❧♦✇1 -❤❛- ∃♠, ❡1=%(♠) ∧ ❡3=&(♠)✱ 1♦ ∃♠, ❡1≺♣❡❡) %(♠)∧&(♠) ≺❝❛✉$❛❧ ❡3✳ ❚❤❡ -(❛♥1✐-✐✈✐-② ♦❢ -❤❡ ❝❛✉1❛❧ ♦(❞❡( ❣✐✈❡1 ∃♠, ❡1≺♣❡❡) %(♠)∧&(♠) ≺❝❛✉$❛❧❡2✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✺ ✭❘❡❝❡♣2✐♦♥ ♦❢ ❝❛✉)❛❧ )❡♥❞ ❡✈❡♥2) ✐♥ ❛ ✈❛❧✐❞ ❋■❋❖ ✶✲♥ ❡①❡❝✉2✐♦♥✮✳
∀σ ∈ E①❡❝(▼1−♥), ∀♠1,♠2∈ MES :%(♠1) ≺❝❛✉$❛❧%(♠2) ∧&(♠1) ∈ σ ∧&(♠2) ∈ σ ⇒&(♠1) ≺σ &(♠2)
❚❤✐1 ❧❡♠♠❛ ❡①♣(❡11❡1 -❤❛-✱ ✐♥ -❤❡ ▼1−♥ ♠♦❞❡❧✱ -❤❡ (❡❝❡♣-✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠❡11❛❣❡ ♠2 ❡♥1✉(❡1 -❤❛- ❛ ❝❛✉1❛❧❧②
♣(❡❝❡❞✐♥❣ ♠❡11❛❣❡ ♠1❝❛♥♥♦- ❜❡ (❡❝❡✐✈❡❞ ❧❛-❡(✳
'&♦♦❢✳✶ ▲❡- σ ∈ E①❡❝(▼1−♥)✱ ❛♥❞ ♠1,♠2 1✉❝❤ -❤❛- %(♠1) ≺❝❛✉$❛❧ %(♠2)✳ ▲❡-✬1 ♣(♦✈❡ -❤❛- &(♠1) ∈ σ ∧ &(♠2) ∈ σ ⇒&(♠1) ≺σ&(♠2)✳
• ❡✐-❤❡( ♣❡❡&(%(♠1)) =♣❡❡&(%(♠2))
1 ■♥ /❤❡ ♥❡①/ ♣'♦♦❢;✱ ✇❡ ✉;❡ ❳ =⇒(❚❤♠.①) ❨ /♦ ♠❡❛♥ ✏❢'♦♠ ❳ ✱ ❚❤❡♦'❡♠ ① ✭♦' ❞❡✜♥✐/✐♦♥ ♦' ❧❡♠♠❛✳ ✳ ✳ ✮✱ ❛♥❞ )❤❡ ♣-❡❝❡❞✐♥❣ ♣-♦♣❡-)✐❡$✴❤②♣♦)❤❡$❡$✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ /❤❛/ ❨ ✑✳
❖♥ "❤❡ ❉✐✈❡()✐"② ♦❢ ❆)②♥❝❤(♦♥♦✉) ❈♦♠♠✉♥✐❝❛"✐♦♥ ✾ ✕ (♠1) ≺❝❛✉#❛❧ (♠2) =⇒(❚❤♠.2.7) (♠1) ≺σ (♠2) ✕ ♣❡❡$( (♠1)) = ♣❡❡$( (♠2)) =⇒(❉❡❢ .2.5,❚❤♠.2.7) (♠1) ≺♣❡❡, (♠2) =⇒(❉❡❢ .2.11) ($(♠1) ∈ σ ∧ $(♠2) ∈ σ ⇒$(♠1) ≺σ$(♠2))✳ • ♦" ♣❡❡$( (♠1)) 6=♣❡❡$( (♠2)) ✕ ♣❡❡$( (♠1)) 6=♣❡❡$( (♠2)) =⇒(▲❡♠♠❛ 3.4)∃♠, (♠1) ≺♣❡❡, (♠) ∧ $(♠) ≺❝❛✉#❛❧ (♠2)✱ $♦ $(♠) ∈ σ✳ ✕ σ ∈ E①❡❝(▼1−♥) ∧$(♠) ∈ σ ∧ (♠1) ≺♣❡❡, (♠) =⇒(❉❡❢ .2.11)($(♠1) ∈ σ ⇒$(♠1) ≺σ$(♠)) ✕ $(♠2) ∈ σ =⇒(❉❡❢ .2.2) (♠2) ≺σ$(♠2) ✕ $(♠) ≺❝❛✉#❛❧ (♠2) ∧ (♠2) ≺σ$(♠2) =⇒(❚❤♠. 2.7,/,❛♥#✐/✐✈✐/② ♦❢ ≺σ)$(♠) ≺σ $(♠2) ✕ $♦ $(♠1) ∈ σ ∧$(♠2) ∈ σ ⇒$(♠1) ≺σ$(♠2) ❋"♦♠ ▲❡♠♠❛ ✸✳✺✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ 0❤❛0 ∀σ ∈ E①❡❝(▼1−♥) : σ ∈ E①❡❝(▼❝❛✉#❛❧)✳ ❚❤✐$ ❝♦♥❝❧✉❞❡$ 0❤❡ ✐♥❝❧✉$✐♦♥ ♣"♦♦❢$ ♦❢ ❚❤❡♦"❡♠ ✸✳✷✳
✸✳✷✳✸✳ #$♦♦❢' ♦❢ ❙)$✐❝) ■♥❝❧✉'✐♦♥
❆❧❧ ✐♥❝❧✉$✐♦♥$ ❛"❡ $0"✐❝0✱ ❛♥❞ ▼1−♥ ❛♥❞ ▼♥−1❛"❡ ♥♦0 ❝♦♠♣❛"❛❜❧❡✳ ■0 $✉✣❝❡$ 0♦ ❣✐✈❡ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐♥ ❡❛❝❤ ❝❛$❡✱ ♥✉♠❜❡"❡❞ ✶ 0♦ ✼ ✐♥ ❋✐❣✉"❡ ✼✳ ❊①❛♠♣❧❡$ ❛"❡ ❛ $②$0❡♠ ❝♦♠♣♦$❡❞ ♦❢ ❛ $❡0 ♦❢ ♣❡❡"$ ✭❞❡$❝"✐❜❡❞ ❜② ❛ ❧❛❜❡❧❧❡❞ 0"❛♥$✐0✐♦♥ $②$0❡♠✮✱ ❛♥❞ ❛♥ ❡①❡❝✉0✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐$ ✈❛❧✐❞ ✐♥ ❛ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛0✐♦♥ ♠♦❞❡❧✱ ✐♥✈❛❧✐❞ ✐♥ ❛♥♦0❤❡" ♠♦❞❡❧✳ ❙②$0❡♠ ❊①❡❝✉0✐♦♥ ✶ ❛$②♥❝❤"♦♥♦✉$✱ ♥♦0 ❋■❋❖ ✶✲✶ −−−→#(❛) −−→ k#(❜) −−→,(❜) −−−→,(❛) (❛) (❜) $(❜) $(❛) ✷ ❋■❋❖ ✶✲✶✱ ♥♦0 ❝❛✉$❛❧ −−−→#(❛) −−→ k#(❜) −−→,(❜) −−→ k#(❝) −−→,(❝) −−−→,(❛) (❛) (❜) $(❜) (❝) $(❝) $(❛) ✸ ❈❛✉$❛❧✱ ♥❡✐0❤❡" ♥✲✶ ♥♦" ✶✲♥ −−−→#(❛) −−→ k#(❜) −−→ k#(❝) −−→,(❝) −−−→ k,(❛) −−→,(❜) (❛) (❜) (❝) $(❝) $(❜) $(❛) ✹ ♥✲✶✱ ♥❡✐0❤❡" ✶✲♥ ♥♦" ♥✲♥ −−−→#(❛) −−→ k#(❜) −−−→ k,(❛) −−→,(❜) (❛) (❜) $(❜) $(❛) ✺ ✶✲♥✱ ♥❡✐0❤❡" ♥✲✶ ♥♦" ♥✲♥ −−−→ k#(❛) −−→ k#(❜) −−−→,(❛) −−→,(❜) (❜) (❛) $(❛) $(❜) ✻ ✶✲♥ ❛♥❞ ♥✲✶✱ ♥♦0 ♥✲♥ −−−→ k#(❛) −−→ k#(❜) −−−→ k,(❛) −−→,(❜) (❛) (❜) $(❜) $(❛) ✼ ♥✲♥✱ ♥♦0 ❘❙❈ −−−→#(❛) −−→ k#(❜) −−−→,(❛) −−→,(❜) (❛) (❜) $(❛) $(❜)✹✳ ❆ ❋$❛♠❡✇♦$❦ ❢♦$ ,❤❡ ❱❡$✐✜❝❛,✐♦♥ ♦❢ ❆3②♥❝❤$♦♥♦✉3❧② ❈♦♠♠✉♥✐❝❛,✐♥❣ 9❡❡$3
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