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HÈSES DE L
’
ENTRE
-
DEUX
-
GUERRES
P.-C. D
ELENS
Méthodes et problèmes des géométries différentielles
euclidienne et conforme
Thèses de l’entre-deux-guerres, 1927
<http://www.numdam.org/item?id=THESE_1927__75__1_0>
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N' D'ORDRE: T
1 9 3 1
PRESENTEES
A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS
POI H UU1ENIK
LE GRADE DE DOCTEUR KS SCIENCES MATHEMATIQUES
PAR
P.-C. DELENS
AORÉOK I)K \fATHl M \ T l o l l s , IMIOIISSKUH AU LYCÉE DU HAVRE
1>C T H È S E . — MÉTHODES ET PROBLÈMES DES UEOMÉTRIES DIFFÉ-RENTIELLE^ EICLILUENNE ET CONFORME.
2e THÈSE. — PROPOSITION DO.VMZE PAR LA FACULTÉ.
Soutenues le 1927, devant la Commission d'Examen.
MM. CARTAÎN, Président. VESSIOT, | _
Examinateurs,
PARIS
GAUTHIKK-VILLARS ET Cie, ÉDITKUKS
LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L* ECO LE POLYTECHNIQUE
Quai des Grands Augustins, 55
1927 ENSBM
FACULTÉ DES SCIENCKS I)K L'UNIVERSITÉ DK PARIS.
HEROUARD.... PECHARD. . . AUGER (illlCHARD filMIiLKT . . . MAUliUIK. . . IILARIN(illKM. VlICII.a l.EVÏ. DKRKIMS . . . DONGIKR DKNJOV.. HKWKD . S e c r é t a i r e . . MM.C. MAUltAIN, Professeur, Physique du Globe.
Doyens honoraires l». AITKLL, M. MOLLIAUI).
Professeurs honoraires. I'. l'IUSKUX, V. BOUSSINKSO. A. JOANNIS, II. LK CIIATELIER,
H. LEK1-N<iin<:. A. FKRNBACU, A. LKDIÎC, I). SAGNAC.
KMILK IMCAHI) Analyse superieure ol Algehre supérieure. KŒNIliS Mécanique physiqui> et expérimentale. (lOUIÎSAT Calcul différentiel et Calcul intégral. JANKT Kleeln.techniqiie générale. W ALI JOUANT Minéralogie.
ANDMT.R \stroiioinie.
l'AINLKVK Mécanique anal) tique ot Mécanique céleste. IIAlHi «iii.,|,,»i,..
:i. BKRTRAND.. Chimie iijologique.
Mmc I'. r.UKlI1'. Physique generale i-t radioactivité. ( Î A l l L I J . ' l i y /i>oli)gic ( l.ifilntif»!» des étre.s organisés). C. CIlAHltlK Chimie appliquée.
11. URBAIN Chimie minérale.
KMILK IU)IU'][ Cal.-ul d<^ prohal'ilile.s fl \*h\sique iiiathéni. MAKCHIS \ \ i a i i o n .
JKAN l'KHIUN Cliimie physiijue.
KEMY l'KKKIKK /<io!oi-ii- (Knsfignemeul P . C N.). ABRAHAM IMi> sique.
M MOLI.IAKI) Pli>Mi.|ogie \ugiitalo.
Professeurs ('AMTA.N Cn»omelrii' supérieure.
• LAPICQUr. IMiysioL.un.' ,-énérale. VESSIOT "Ihoorie d.-.s » COTTON' IMiysiqu.. -<•,., DR ACH Applicati-.il d C. KABRY Physique. CHAHI.KS PKHKZ /.niLigie.
LhoN B K R T R A N h . . . . r«Milogie appliquée el Géologie régionale. LKSPIi:AI! Théories chimiques.
JMBAUD Binlogi,. .-xpérimiiiilalH. POKTIKK Physiologie comparée. K. BLAISK Chimie nr-.-niiqiiP. DANOKAUI) Ri>t«ui.(iii..
MONTKI Mécanique ialioniiflU<.
WINTRKRKRT \nal<m»iH et Histologie comparées. DUBOSCÜ Biologie maiilime.
G JULIA Mathématiques génerales. A. JOB Chimie générale. A. MAILIIK Khide d.-s mmlnistiblos. L. LUTAUI» «iéographie ph>si«|iie.
BI,O('II I'IIN MI(IIO théorique et physique céleste. j H| Calcul des varialions l.'. 'Anulyso à la (iéométrie. Zoologie. Cliimio (Ensei^ç1 P. C Chimie analytique. Chimie minerale. Physique.. Minéralogie. Botanique. P ê h i lo^e. Physique du jçlobe. Calcul (lilTrtcnticl cl inte^
Physique (P. C V). . . . 1). TOMBKCK. ÜARMOIS. BRI HAT MOUTON' JOLKAUI) JAVIIXIKIi 1)1 FOI'M PICAKI) DliNOYER . . . (ÎUILLIKRMOM). DEBIKRNE Physique. lMivsi«|Ue. Chimie physique. l'alconlolo^ie. l'himie hiologitpie. Phxsique IP. C. N.|. Zoologie iKvolulion d o r g a n i s é s ) . Zoologie. O p l i ( | u e ap|)liqiiiM>. Molani(|ii(> ( P. C. N . | . It.ul ioacti vil <;.
A LA M ÉMOI H K
DE MON PÈRE
A MA MÈRE
A MA FEMME
PREMIÈRE THÈSE
MÉTHODES HT PROBLEMES
DESGÉOMÉTRIES DIFFÉRENTIELLES
EUCLIDIKNNE ET CONFORME
INTRODUCTION.
Ce travail comprend trois grands Chapitres, eux-mêmes partagés eu sous-Chapitres; une division en paragraphes numérotés se poursuit d'un bouta l'autre du Mémoire. iNous donnons après celle Introduction une liste des Ouvrages les plus fréquemment consultés et des abréviations par lesquelles nous les désignons dans les références; une Fable des matières suit le dernier Chapitre.
L'objet du Mémoire est l'application à l'étude des géométries diffé-rentielles euclidienne el conforme (Tune méthode de calcul géométrique, et la comparaison des résultats ainsi obtenus el exposés avec ceux qu'ont atteints des méthodes voisines.
Les principes du calcul géométrique sont dus à Möhiiis, llamilton et surtout Crassmaim; l'œuvre entreprise a été continuée, après Gibbs, par différentes écoles avec des méthodes parfois légèrement divergentes : on peut signaler l'école italienne (Peano, Burali-Forti, Mareolongo, Boggio, etc.), et l'école allemande (Crassmann d. ,L, Mehmke, Muller, etc.); le développement des méthodes symboliques voisines qui
ont uboiiii à l'établissement du calcul tensorïel a ramené l'allcntion sur les» procédas do calcul plus géométriques, et une fusion des moyens mis eu triivre est en train de s\>pérer. Cm» école hollandaise ( Schouten, Struik, Hla\al\) a mis au point les procédés de calcul géométrique et établi leurs relations a\ec les méthodes du calcul dillercntiel absolu; d'intéressants résultais ont été ainsi obtenus concernant les géométrie* différentielles de di\ers espaces.
D'autres procédés de calcul, basés sur les formes de Pfallet la dille-rentiation extérieure, développées par M. E. Cartan, ont également permis à cet auteur d'édifier des théories d'une grande importance; en les utilisant dans ce Mémoire, nous a\ons eu en \ue de situer les unes par rapport aux autres ces diverses méthodes, voisines aussi de celles de la géométrie intrinsèque de Cesàro, et en quelque sorte île les regrouper, (lette comparaison a nécessité des calculs largement détaillés, sou\ent donnés avec, plusieurs notations; l'exposé s'en lrou\nul alourdi, comme aussi par la nécessité de concilier des notations assez dilférenles, lâche parfois délicate, nous profiterons de cette Introduction pour dégager les grandes lignes et les résultats de notre travail.
1. Le Chapitre I constitue d'abord un alphabet et une esquisse du calcul géométrique, et non seulement du calcul vectoriel; car si celui-ci, après une longue attente en Trance, est maintenant générale-ment accepté, il n'est qu'une partie de méthodes plus complètes. L'exposé que nous donnons s'apparente à ceux de MM. Schouten et Struik d'une pari, Hurali-l'orti et Boggio d'autre part, et nous avons essayé d'adapter les notations multiples qui traduisent les mêmes objets ou les mêmes opérations sous des formes diverses. Notre exposé est cependant limite aux notions qui .seront utiles dans les Chapitres sui-vants .
En partant d'un espace projectif à n -H i unités de base, ou points, dont les objets sont soumis au\ homographies d'un groupe fonda-mental Vip, nous indiquons d'abord comment apparaît la dualité dans un
tel espace; celte dualité joue un rôle plus important quand on substitue au groupe projectif général son sous-groupe unimodulaire, ce que nous faisons dans la suite.
Nous donnons alors» les expressions des tenseurs ou noyaux géomé-triques et indiquons comment se traduisent les opérations simples aux-quelles on les soumet ; les tenseurs attachés aux transformations linéaires sont l'objet de développements particuliers.
fonda-— 3 fonda-—
mentale, la substitution des éléments contrevariants aux éléments cova-riants, sur laquelle nous faisons les réserves nécessaires.
Vvec l'espace nffin et la métrique vectorielle nous atteignons l'espace euclidien et indiquons le» opérations qui leur sont propres.
Dans l'exposé de la diUérentialion el de la dérivation des formes géo-métriques, nous faisons une large place aux opérations alternées et montrons leur relation simple avec la dillerenlialion extérieure utilisée par M. Carlan: à côté des symboles de dîffércnlialion viennent aussi ceux des transformations infinitésimales et l'opération de la parenthèse. Plusieurs paragraphes sont alors consacrés à la géométrie vectorielle du plan, aux décompositions des homographies dans ce domaine, aux formes différentielles et dérixées et aux parties [mariantes de ces expres-sions; le rôle des vecteurs unitaires qui servent de hase aux repères est mis en évidence.
11. Dans le Chapitre II, nous nous limitons à l'espace euclidien à trois dimensions et étudions le* déplacements d'un repère constitué à partir d'un point origine, de niasse un, de trois vecteurs unitaires deux à deux rectangulaires, un espace euclidien étant attaché à ce repère. Nous utilisons le groupe (i,. de l'espace euclidien pour arriver aux notions de structure et courbure.
Une amputation de la géométrie euclidienne peul alors être réalisée, les opérations de celte géométrie étant traduites par des opérations vec-torielles : nous retombons ainsi dans un domaine familier, mais ici encore la simplification apportée peut faire disparaître certains aspects utiles des éléments géométriques ou des opérations.
Si nous reprenons ensuite des exposés bien connus de la géométrie des courbes et surfaces, c'est d'abord pour fixer avec précision nos notations, pour permettre ensuite la comparaison avec la géométrie conforme qui sera étudiée suivant le même plan. En géométrie différen-tielle, nos notations j>ont assez \oisines de celles de MM. Schouten et Struik pour permettre l'interprétation des formules dans le langage du calcul tensoriel ; nous restons d'autre part en relations constantes avec les notations de M. Carlan, ce qui permet de juger l'aide qu'une des méthodes peut procurer à l'autre, ou recevoir de celle-ci. Si l'on déve-loppe les calculs îles formes et différentielles extérieures, ou des noyaux dérivés, à partir des éléments du repère, ou retrouve les formules très géométriques du calcul de M. Cesàro.
C'est surtout aux éléments superficiels que nous nous sommes inté-ressé dans la géométrie des surfaces; cette nouvelle amputation permet
d'utiliser certaines notions simples données au Chapitre 1 pour le plan euclidien; elle nous fait négliger aussi des propriétés géométriques intéressantes.
La méthode de calcul géométrique qui1 nous exposons s'est, pendant ce temps, peu à peu débarrassée des préoccupations de repère, el des notations très générales permettent un calcul rapide sur des expressions faciles à interpréter; citons en exemple les formules
(76) '/,<!> - </M* ; (j x )
(76') Y , * _ Yw«l> (.1 x<r>Vt
(99) ('/,*);- ( ^ x ^ - - K . A S ^
(98) V,* 1 - k ( . 7 x * ) .
Nous pensons avoir ajouté quelques développements à l'élude des courbes tracées sur une surface; si certains problèmes ne sont que posés, leurs solutions qu'esquissées, nou* a\ons au moins ramené ces problèmes de géométrie dilVérentielle à des problèmes de la théorie des formes algébriques : celte algébrisation était un des buts que, se pro-posaient les fondateurs du Calcul différentiel absolu dans leur célèbre Mémoire de njoo.
Les problèmes suivants (§§ il{-.*>8 ) sont plus» nouveaux ou ont été moins étudiés auparavant. Entre la géométrie d'une ligne ou d'un fais-ceau de lignes sur une surface, el la géométrie de la surface, se place un intermédiaire d'une grande importance : la géométrie des réseaux
angulaires de lignes (faisceaux de eongruences). à laquelle» se rattache
naturellement la théorie du déplacement parallèle. Le rôle des vecteurs unitaires est à nou\eau précisé, et les calculs sont développés, qui per-mettent de déduire d'un réseau angulaire; des familles d'autres réseaux en relations étroites avec le précèdent : opération analogue à une dérivation qui fait passer d'un réseau dirigeant à une suite de réseaux
dirigés, assemblages de réseaux jouissant de propriétés remarquables.
On peut ainsi espérer, si l'on commence l'étude d'une surface rap-portée à un ^sterne de lignes coordonnée*, passer du système de repère attaché à ces lignes à d'autres systèmes plus favorables. Nous avons insisté sur l'importance des réseaux associés, directement associés,
incidents. Quelque* réseaux particuliers sont aussi étudiés, réseaux à géodesiques et réseaux isothermes, réseaux déficients. Nous pensons
a\oir apporté là des développements utiles.
— 5 —
de l'espace euclidien usuel par les transformations composées d'un nombre pair d'inversions. Quelques pages d'introduction (§§ ÎKM50) permettent l'adaptation des notations anv éléments de l'espace con-forme, iappellent les groupements remarquables d'éléments. La théoiie du repère mobile est ensuite reprist», avec les repères cl les méthodes de
M. Car tan.
L'étude des courbes de l'espace conforme mène à la particularisation du repère ('particularisalion naturelle) qui semble le mieux convenir au cas général; les invariants sont formés et interprétés, la position des éléments comitanls est précisée: la comparaison avec la géométrie, euclidienne est possible à chaque instant.
Dans l'étude des surfaces comme dans celle des courbes, nous nous bornons aux connexions induites, introduites par M. Cartan pour ces \iiriétés plongées dans l'espace conforme. \ ces connexions sont attachées des particiilarisations fondamentales: pour les surfaces aussi; nous allons au delà d'une telle particularisation pour arriver à un repère «impie, fourni par la partieularisalion canonique. Mors que la particu-larisation fondamentale reposait sur la sphère harmonique H, la parti-eularisalion canonique fixe un pôle de repère W, eomilanl au point M qui décrit la surface et est l'origine du repère. Des propriétés de la sphère H et du pôle W sont indiquées, comme aussi la signification de l'élément linéaire (ou angulaire) dm- alors choisi pour la surface.
Les relations avec la géométrie euclidienne des éléments ou invariants mis en évidence dans la géométrie conforme ont d'abord été établies, de sorte qu'il est toujours pjssible dans la suite de faire les calculs ou d'interpréter les résultais as ce les notations de lu géométrie euclidienne. Vlais le choi\ définitif du repère permet aussi de traiter les calculs en géométrie conforme par des procédés calqués sur ceux de la géométrie euclidienne; c'est ce que nous appelons la géométrie canonique réduite. [•il nouveau pas est fait avec l'étude des courbes tracées sur les sur-faces; il j a lieu de noter ici un changement de connexion, la géométrie sur une courbe n'étant pas la même si l'on plonge celle courbe directe-ment dans l'espace conforme, ou si elle est tracée sur une surface de cet espace : au cercle oscillateur de la courbe se substitue le cercle
harmo-nique, qui en est l'image MI1' la sphère harmonique. Une famille de courbes d'une grande importance, celle des cercles induits de M. Cartan, est alors mise en évidence, pour le rôle qu'elle joue \ is-à-vis de la parti-cularisation fondamentale et de la connexion induite, ou encore du ten-seur de courbure correspondant.
6
-invariants propres des courbes avec les -invariants qu'elles possèdent sur les surfaces, nous pensons que la géométrie des lignes en géométrie conforme est amenée à un point équivalent à celui atteint en géométrie euclidienne; mais les formules sonl naturellement plus compliquées, et le besoin d'expressions analytiques appropriées aux changements de variable géométrique ^e fait sentir.
La notion de réseau angulaire de lignes subsiste en géométrie con-forme, mais sans doute laudra-t-il y ajouter un groupement nouveau, celui des coniplrwes harmoniques, que nous avons essa>é de définir. 11 y a là un vaste rlinmp d'études, avec des représentations intéressantes sur la splièrs H, qui reste ouvert.
Les problèmes de contact et d'applicabilité des surfaces mettent en évidence, à coté de la forme quadratique o(o2) des as\ mplotiques con-formes, une forme cubique c/ftM : ces formes inter\iennent pour la déter-mination des surfaces conformes. Certaines familles de surfaces, les sur-facesisothermiquesen particulier, appelleront encorede nouvelles études. Nous sommes reslé élémentaire en n'abordant pas la théorie des groupes d'holonomie, mais nous avons montré, dans une Note placée après le Chapitre 111, les liens qui existent entre la théorie des réseaux angulaires et celle des changements de connexion euclidienne des surfaces.
Qu'on nous permette de conclure : il semble que «le l'élude compa-rative des différentes méthodes se dégage l'impression que la théorie des expressions et différentielles extérieures peul être étendue, avec des notations empruntées au calcul différentiel absolu ou au calcul géomé-trique, à des produits moins restrictifs, de façon à joindre aux formes de Pfairies formes de \[onge et les expressions multilinéaires de différen-tielles. La régularité de ces méthodes, où les éléments orthogonaux à un élément géométrique viennent constamment compléter celui-ci, est par ailleurs un guide précieux pour les autres procédés de calcul.
Enfin, comme nous en exprimons l'espoir, on peut escompter que des géomélries englobant celles de l'espace euclidien et de l'espace conforme, tout en s'appujant sur les résultats acquis dans ces disciplines, leur ouvriront de nouvelles voies et éclaireront en retour les procédés mis en œuvre.
En terminant, nous tenons à exprimer à M. E. Carlan l'hommage de notre gratitude pour les conseils et les encouragements que nous en avons reçus; nous sommes heureux aussi d'avoir pu utilisera diverses reprises les travaux de G. Demartres, l'un de nos regrettés professeurs.
— 7
BIBLIOGRAPHIE DES OUVRAGES CONSULTÉS ( ' ).
Abréviations.
G. BOULIGAND. — Leçons de fiéomêlrie vectorielle G.V. C. BURAM-FORTI et ÏÏ. MARCOLONGO. — Analyse vectorielle générale.
I. Transformations linéaires T.L.
C BuRALi-roRTi et T. lioGGio. — Espaces courbes. Critique de la Relativité E.C.
E. CARTAN. — lierons sur les invariants intégraux I.ï. E. C\RTAN. — La géométrie des espaces de Rie man n (Mém. des Se.
math., fasr. I \ ) E . R . . .
E. GËSÀRO. — Forlesungen iiber iiatiir licite Geometrie (trad. G. Ko-\\ale\Nski) N.G. J.-L. CooLiD<iB. — A. treative on the circle and the sphère G.S. G. DARHOUX. — Leçons sur la théorie générale des surfaces T.S. S. LIE. — Yiwlesungen i'iber Differential^leichungen D.G. R. MEHMKE. — lorfesnngen iiber Punht-und-Vektorcnrei'hnung... Ï'.V. II. NEVILLK. — Multilincarfunrtinns of direction M.F. J . - \ . SCHOUTEN. — (Irundlagen der Vektor-und-Affinoranalysis.. V.A.
I >.-.!. STRIIK. — (iruntlzitge der mehr dimension alen Diffère
ntial-seometrie M.D.
Cf. aus*«i 1rs O u \ m ^ e s récents «le M. \ . KUNKLI.. L'Ochématique. et de. M. C.-E. tN, JJifferentinl (ieometrie of titrée dimensions. Certaines <lt»s expressions xcclorielles <jui figurent dans ces O u \ r a g e s el daii> noire tr;i\ail sont à rapproclier de celles donner^ p;ir \\. HOTHK, Jahresb. der d. Math. Ver., l. (1\. KJIJ.
CHAPITRE I.
NOTIONS DE CALCUL GÉOMÉTRIQUE.
1. — Les éléments de l'espace projectif Ell+, ; les groupes fondamentaux G,, et G,l/;.
(. Considérons l'espace projectif (//-H i)-aire E,,+l, à groupe
fonda-mental G;,, comme engendré par l'élément primitif point : n -\- i points de base e/, ou unités du premier ordre, choisis arbitrairement, forment un système de référence, ou repère. Par rapport à un lel repère, tout
point p a « + i coordonnées homogènes xl
p I . r ' e , ( / o , i , -}., . . . , / / ) ,
les valeurs proportionnelles des coordonnées suffisant d'ailleurs à fixer la position du point, de sorte que le point
Àp - lÀ.r'e/
ne diffère du premier que par le facteur numérique A.
Les produits extérieurs d'ordre q des points de base, dont le nombre est celui des combinaisons sans répétition de n -+-1 objets q à y, consti-tuent les unités extérieures d'ordre q attachées au mémo repère ; une forme extérieure d'ordre q est une combinaison linéaire de ces unités ; en particulier, le produit extérieur de q points
[p,p2...p,/l (?</# \)
constitue un espace projectif y-aire inclus dans E/ l H, dont les
coor-données par rapport, au repère choisi sont les déterminants d'ordre q déduits du tableau des coordonnées des q points
Toute forme extérieure d'ordre n + 1 se réduit à un seul terme, donc est multiple de l'unité d'ordre n
— 9 —
2. La dualité dans l'espace projectif E,,+ , résulte pour l'instant de la correspondance qu'on peut établir entre les unités d'ordre </el m - i — gs puis entre les formes de ces ordres ayant mêmes coordonnées ; en parti-culier on peut envisager l'espace EIIM au point de vue tangentiel en le considérant comme engendré parles produits extérieurs d'ordre /i, con-çus maintenant comme éléments primitifs. La multiplication extérieure «le ces éléments est alors dite régressive, alors qu'elle était progressive dans le premier cas.
(lette dualité dexieul plus parfaite si l'on substitue comme élément générateur à un produit d'ordre n son quotient par l'unité scalaire U :
Q - ] T [ P I P I . . - P « | .
Q peut s'appeler copoint, où point covariant, tandis qu'avec les conven-tions usuelles p est regardé comme contrevariant ; ces définiconven-tions ont leur origine dans les transformations projectives de l'espace E,,+ i, for-mant le groupe fondamental (i,,.
Soit en effet £ une transformation de ce groupe, ou homographie, agissant sur les points de E„ ,, et transformant un point p en un point p'
La même transformation, agissant sur une forme extérieure d'ordre q, la transforme en une autre de même espèce ; posons
[p'. P'. • • • P7I [V?Pi -V?P* VïP</1 tfr'' [p.Ps • • •
Pvl-V? '*' étant la puissance ^extérieure) d'ordre q de l'homographie § ( ' ) ; en particulier
étant le déterminant de la transformation ; on voit que
§ "" est Vadjointe de l'homographie # , tandis que ^ ^ rn est dite
contra-grrdiente à g.
Les substitutions contragrédientes ^ et 'J[,,+v ? opérant respectivement
(l) Pour ce qui concerne les produits et puissances rxlérieurs «riiomograpliies et réci-procités, voir H. Mehmkc ( P . V.).
— 10
-sur les point et copoint p ut Q, conservent leur produit extérieur' IQ'P'J IQp].
La contragrédiente et l'adjointe d'une homographie çj sont identiques si $ est unimodulaire (à déterminant unité) : les homographies unimo-dulaires forment un sous-groupe Gw/, du groupe projectif G^ ; par les
opérations de ce sous-groupe l'unité scalaire U et les produits extérieurs d'ordre / i + i sont invariants : nous resterons désormais à Vintérieur
du sous-groupe Gw/,.
II. — Quelques opérations de l'algèbre tensorielle.
3. Si Ton échange Tordre des termes Q et p du produit extérieur [Qp], on a
[pQl-(-i)"[QpL
aussi est-il préférable, pour éviter les changements de signes, d'intro-duire un nouveau produit :
dit produit scalaire (à liaison simple) des éléments d'ordres i et n ; ce produit est invariant dans G«,,.
Dans tout repère, la dualité déjà signalée permet de faire correspondre aux unités contrariantes e, les unités covariantes E{- telles que
Ef!e« i. E,!ey-o (;>«)•
Les éléments e; et Et sont polaires réciproques par rapport à
l'hjper-quadrique d'équation ponctuelle - ( # ' ) - = o, et le premier membre de celte équation e*l conirevariant pour les transformations £j.
Faisons à ce sujet la remarque suivante : les transformations § opèrent sous» différentes formes sur les éléments géométriques qui peuvent être sujets à des \ariances diverses : invariance, covariancr, contrevariance, variances mi A tes ; il sera commode d'employer le mol comptants (') pour designer les éléments ainsi conservés ou transformés, chaque fois qu'il ne sera pas nécessaire de préciser le mode de varianec.
La multiplication scalaire n'est qu'un terme d'une suite d'opérations analogues, douées delà propriété dislributive, qui interviennent dans la
— i l
-théorie générale des lenteurs ; l'algèbre modérai! désigne par ce nom de tenseur toute forme multilinéaire ou multiple de variables (coordonnées) ; le calcul géométrique arrive à la même notion de la façon suivante : soit par exemple
abCdEf
une succession d'ordre <>, ou produit sans liaison de 6 éléments ordon-nés ; considérons en même lemps la succession
VuTzYX
d'éléments à variances opposées, rangés dans Tordre inverse ; le produit
(9) abCdEf'VuTzYX i a i X n b i Y i ( C ! z ) i d ! T ) ( E ! u ) ( f ! V i
est dit produit (scalaire) à liaison sextuple, ou d'ordre 6, des deux successions précédentes. Do même
(3) abCdEttVuTzYX abCd(Ef.'Vu>TzYX (Ef.'VuiabCdTzYX.
succession d'ordre 8, osi le produit à liaison double (scalaire) des deux successions primitnes, obtenu en ne saturant dans chacune que les deuv éléments voisins du s\mholc d'opération, parles éléments opposés.
D'une manière générale, deux successions d'ordres p el q a\ec r élé-ments opposés à partir du SMiibole d'opération, et rangés en ordre inverse, donnent naissance par une multiplication à liaison r-uple (ou d'ordre J'S/>, q) à une succession d'ordre p -hq — 2/*; les produits sans liaison, à liaison simple, etc., le produit scalaire, rentrent dans cette définition générale.
Un tenseur géométrique, noyau [i\ multiplication scalaire) du tenseur algébrique correspondant, est une combinaison linéaire de successions de même ordre et de même constitution, c'est-à-dire où les cléments correspondants sont de même espèce : ses ordres covariant, contrevariant, total, sonl ceuv de ses ternies monômes (successions) ; considéré comme opérateur et saturé par une succession opposée de même ordre total, regardée comme objet \ariablc soumis à l'opération, il donne naissance au tenseur algébrique. Un tel 1103au est nul quand son produit à liaison complète avec une succession arbitraire est nul, donc en même temps que le tenseur algébrique correspondant : comme il est composé linéaire-ment au moyen d'unités qui sont des successions de même constitution, ses coordonnées par rapport à ces unités sont alors toutes nulles».
- 12 —
En utilisant la forme multilinénirc des tenseurs et la propriété dislri-hulive des multiplications, on définit de même les produits à liaisons des tenseurs entre eux. ; en particulier, deux tenseurs de même ordre ou non, sont a polaires quand leur produit à liaison maxima est nul.
Les tenseurs d'ordre zéro sont les nombres, ceux du premier ordre les points et copoints ; les plus utilisés ensuite, ceux du second ordre, représentent les transformations linéaires homographiqueset dualistiques opérant sur des éléments d'ordre i ou n. Quand nous représenterons une homographie ou une réciprocité par une seule lettre (majuscule) nous sous-entendrons souvent (comme nous l'avons déjà l'ail) à la droite
de ropérateur le symbole d'opération ! du produit à liaison simple.
Nous poserons ainsi, pur exemple,
K ~ l a B , efi- 2 CD
pour les tenseurs produisant les transformations x'_<\'x - £(B!xja,
X'-Signalons en particulier le tenseur unité 11, ou transformation identique, qui sous cette forme opère sur les points avec le noyau
11 = 2e«E/ (/ =- o, i,-> /*) tandis qu'il opère sur les copoints avec le noyau
Les poinls et copoints étant les éléments fondamentaux de notre Ef f + i, on peut encore, avec MM. Burali-Forti et Boggto (E. C.) considérer l'action d'un tenseur d'ordre q sur une succession d'ordre q — i par une multiplication à liaison {q — iVuple, le résultat étant alors un élément primitif : à ce point de vue, il esi logique de considérer le tenseur d'ordre q comme une transformation (homographie au sens large) d'ordre q — i.
t. Certaines propriétés importantes des tenseurs (indépendantes de leur rang) sont données par la constitution commune a leurs termes monômes; nous (lirons, par exemple, que abCdEf est le schéma de constitution d'un tenseur l a b C d E f ; un tel schéma met en évidence le rangement des éléments covariants el contrevarianls : par une exten-sion du mot monôme, il indiquera les groupements symétriques, alternés, cycliques, etc., que peuvent présenter les éléments. On pourra parfois
1 3
-sons-entendre le signe de sommation el représenter symboliquement (nous dirons schénialiquemcnt) le noyau par son schéma.
Appelons isomères d'une surcession celles qui s'en déduisent par per-mutation des éléments, isomère d'un tenseur un tenseur déduit du premier en remplaçant les termes de celui ci par leurs isomères prove-nant d'une même permutation. Considérons en particulier une succes-sion piP:».. .p</ d'éléments analogues : soient lp la somme des isomères
pairs (déduits de la succession par permutations paires), 2/la somme des isomères impairs (pur permutations impaires) : les tenseurs
s'appellent respecti\cment produits symétrique (ou algébrique) et
alterné dés éléments ; dans les formules de composition, ce dernier joue
un rôle analogue à celui du produit extérieur [ p i pa. . . pv| des mêmes éléments (•) : ces deux produits sont isomorphes.
i i Remarquons qu'un tenseur d'ordre // -t i de schéma ptp j . . . prt p a en même temps, à un facteur symbolique près, le schéma Qp el peut ainsi être regarde comme du second ordre ; aussi qu'on pourrait, dans la défi-nition des tenseurs, utiliser exclusivement les éléments d'une espèce: points ON copoints.
I n tenseur à schéma symétrique ou alterné e&l dit lui-même symé-trique ou alterné ; ces groupements sont importants parce que dans un produit entre tenseurs où des éléments groupés en successions (au sens large) Tune symétrique, l'autre alternée, se trouvent complètement liés, le résultat est nul (2) ; ainsi
( S a b C d S F V * ( ï v U T « Y x ) - <>, pour /•£!!.
L'annulation d'un tenseur entraîne évidemment celle de tous ses
iso-(') Ainsi, dans Kw+|f luul tenseur alterné d'ordre g>/i-t-i*C9l nul. (a) Signalons drs formules de récurrence, comme
3 ! xyz - 2 ! (xyz -+- yzx •+• z î y ) , 3 ! kyz = 2 ! (xyz -t- y S -+• zxy), et des formes plus compliquées, par exemple
— 14
-mères, Tordre des éléments n'apparaissant plus dans le produit à liaison complète.
Les isomère* d'une succession, puis d'un tenseur, pouvant s'obtenir par une suite de transpositions effectuées sur deu\ éléments, et mémo deux éléments consécutifs, on peut faire choiv d'un symbole pour repré-senter une telle transposition, symbole all'ecté d'indices désignant la place des éléments qu'il intervertit ; nous représenterons par R le syin-hole (W transposition des éléments de rang* y. et «3 (à partir de la droite), par S <*t A tas symboles produisant respectivement la symétrie et l'alter-1 «p aft
nance dos mêmes éléments ; symboliquement i 'S i K
"(4) S *> "*
Les indices seront supprimés quand il n'y aura que deux éléments en jeu.
m . — Les transformations linéaires.
5. Nous ferons usage, dans ce paragraphe, des schémas pour repré-senter les homographies et corrélations. Soient les homographies
<\' aB, 3 uV les corrélations
il = CD, y = ef.
La transformée de ^ par JC s'obtient en agissant avec DC sur U, avec '1"1 sur V; si Ton pose
q q il vient
3, =- cU'u.acw v -. je J u V! 5ëi^ = x'^
3Cinl représentant la conjoint? de «1C1"1, obtenue à partir de cette der-nière et en renversant le schéma. D'après
on voit que
15
-(pourle cas général où l'homographie JC n'est pus dégénérée, 3C[n+i]
de sorte que la transformée de l'homographie ƒ( est encore
De même 2>' sera transformée (en utilisant la conjointe DC de 3C) eu •e
et c l en
En opérant avec une corrélation dl, par exemple, on obtient les trans-formées d'espèces différentes
(dliwl étant l'adjointe «le dl, dllwl et d£ les conjuguées de dl1"1 et dl). Parmi les homographies à rattacher à «1C, et opérant comme elle sur les points, citons :
«!£-•, son inverse, ainsi que les diverses puissances (positives ou négati\es) à liaison simple.
JClfl{, conjointe de l'adjointe (et adjointe de la conjointe), dont nous
avons montré la relation à la précédente. Dans les homographies agissant sur les copoints :
A', conjointe, et cU'1"1, adjointe.
Rappelons qu'une homographie <)£ satisfait à une équation fondamen-tale de Ilamillon-Ca>le^, de degré inférieur ou égal à n H- i, qui est une relation entre <fC et l'homographie identique *\l (cas particulier d'une relation symétrique plus générale entre n -f-1 homographies) ; si l'on écrit cette relation
) . # " • + - ' - / ' 0 1 / ' = o ( / » = o , i , . . . , * - M ) le coeflicient |/,(^C). in\ariant d'ordre/^ de ^(î, a pour expression
I (X) —±!l—11!—.ijt'[f»iaii"+<-/»ï] w/'H^^uf/'1, lo = l„4-i = i
H p\\n i — p y . J
(le dernier produit étant un produit scalaire double entre tenseurs exté-rieurs d'ordre />). Il faut signaler en particulier l'invariant linéaire (6)
— 16 —
Comme autres homographies importantes liées linéairement à d£, con-sidérons encore
et sa conjointe, dite cyclique de
ain^i que l'homographie normale (À invariant linéaire nul) (8) \X « I C - J ^ U ,
permettant l'importante décomposition
(9) '
X~!r^
u~
sx-Enfin, aux opération» déjà envisagée* sur les homographies, nous join-drons celle de h parenthèse (de S. Lie), définie par
considérée comme une multiplication entre X et ƒ/, et dont le produit est une homographie normale.
Quant aux corrélations, nous utiliserons leur propriété d'engendrer les homographies par une multiplication à liaison simple, soit
ef!CD ( f ! C i e D
et le fait qu'une corrélation est la somme d'une partie symétrique (pola-rité) et d'une partie alternée
Si l'on introduit la réciprocité conjuguée (à schéma renverse) <V) K<* 8 r t - A * ,
on aura les nouvelles décompositions
LK - •>{& K^R (de même pour S').
(') VV. WOIQT, GoUingen JSachrichten, 190}.-- C. BIRALI-FORTI et R. MARCOLONQO (T. V ) . - J--^. SCIIOUTBN(V. \ . ) .
— 17
-Quant à l'adjointe 0lln] (ou S'17") d'une réciprocité, elle est d'espèce
différente de celle-ci, ainsi que l'inverse 6l"s = ^[ / < +TJ (OU S'""1).
IV. — L'espace métrique et la polarité fondamentale.
(t. Considérons dans En+, une polarité <î agissant sur les points et
définie par une hyperquadrique non dégénérée ('c?"f + l 1^ o) ; utilisons
exclusivement les repères formés par les (/i-f i) èdres polaires réci-proques par rapport à lT, de sorte que l'équation tangentielle de cette
hxperquadrique soit 2(xi)i= o, son équation ponctuelle 2 ( . r * )2= o ;
alors
Les homographies de (jup conservant celte propriété des repères
satis-font à
et forment évidemment un sous-groupe de Gwp, celui qui conserve
Thyperquadrique fondamentale, ou absolu; on vérifie du reste que les équations
entraînent
L'espace E,/+, soumis seulement aux transformations de ce sous-groupe,
que nous désignerons pnr (!„,,», acquiert un caractère métrique : à tout élément, à tout tenseur, correspondent par la polarité fondamentale un élément, un tenseur, bien déterminés, et la correspondance est involu-tive. Considérons en particulier des éléments réciproques e,- et E/
e/.E, i, e/.E, e,!E,_o it>/).
Comme
le produit scalaire de deux éléments a les formes équivalentes (ni a!B 'a!*fb-=^!?ab- 'C'VAB _ A!b;
conçu comme un produit entre a et b, ou A el B, on lui donne le nom de produit intérieur des éléments de même espèce et Ton peut le repré-senter par
a | b = A | B .
— 18 —
7. Ceci permet alors de substituer les éléments contrevariants aux
covariants, ou inversement (identification symbolique d'éléments qui ne sont qu'isomorphes), à condition de substituer en même temps de façon convenable la multiplication intérieure à lu multiplication scalaire ; une telle substitution n'est d'ailleurs valable qu'à l'intérieur du groupe Gum, où Ton peut toujours rétablir les éléments primitifs, et s'étend alors aux tenseurs de tous ordres et aux multiplications définies sur eux, en rem-plaçant le* liaisons scalaires par des liaisons intérieures. Cette identifi-cation symbolique n'est d'ailleurs pas sans inconvénient ; c'est un moyen de calcul qui permet de représenter plusieurs formules (isomorphes) par une seule, cl facilite le passage des formules relatives à un espace E^ à celles relatives à des espaces inclus (sections) E7(<y < p) ou l'extension
inverse, grâce; aux propriétés connues des transformations par polaires réciproques, par exemple : mais elle masque la réalité géométrique en mettant en évidence des éléments orthogonaux à ceu\ qui interviennent réellement, en ne permettant plus de distinguera première \ue, parmi les comilants, ceux où l'absolu n'inlenient pas effectivement ; nous en ferons cependant usage.
Les polarités fondamentales °? et °?' sont liées aux homographies iden-tiques 11 et 'II par les relations
Après l'identification, ces quatre transformations sont représentées par le même noyau -ef.
De même une homographie <fC = aB peut être écrite sous deux formes
principales
d t - C D , ff'=ef.
Il s'ensuit que les comitants de ïfC peuvent s'exprimer comme comitants
de $ ' et <ï, ou de «T et (31 ; inversement
Ainsi l'invariant linéaire de <St donne un invariant de S'et 9f, c'est-à-dire un invariant absolu de e>'
Plus généralement, l'équation fondamentale de <fC peut être considérée comme une relation identique entre tS' et l'?, etc.
Sans développer davantage l'étude des analogies entre homographies et corrélations animée par l'introduction de la polarité fondamentale qui définit la métrique de ErtH_M rappelons qu'on appelle conjuguée d'une homographie <U' l'homographie de même espèce
(i>) R<\' 'fSC'f i'friCT),
c'est-à-dire la transformée de sa conjointe par la polarité fondamentale, ou la conjointe de sa transformée ; il en résulte
et pour les homographies £J de G,,,*
(i3) V ? K ¥ f -f cU - | i § . § , ce qui, sous la forme déjà donnée
indique la conservation de la polarité absolue 4Î' par la transformation Ci*
8. \près l'identification symbolique
T *C' - *? - T' - *U - Ôî.
on attribuera indifleremment aux homographies ou réciprocités les décompositions fournies par les formules
ce qui mène a la décomposition du tenseur du second ordre on parties irréductibles (*),
(l) Cette décomposition, pour l'espace \erlorirl ïv trois dimensions, ost due à
J A. Sclioulen (V. \ . ) . Voir également, pour les dé< omposilions plus génerales, E. CARTAN,
en particulier Journal de Mathênwtiijues pures et appliquées, <f série, l. I, iyi ;
- 20 — Nous poserons encore
[ MS ~ SN = H' partie droite du tenseur,
(.5) Ji*-.<u = l!,
' i l A =- G» partie gauche du lenseur.
Pour tous ces symboles s'appliquant aux tenseurs du second ordre, nous pourrons écrire s\ mboliquement
i - l l B A II K S A H D - « 8 - K = (« OU —C Tous ces symboles sont échangeables deux à deux, et en particulier,
III) DA Ail - o En outre, pour deux tenseurs © et ©',
les tenseurs partiels do noms différents étant apolaires; cette expression est aussi celle de l'invariant lineaire l( de Ç©' (ou de ©'©), ce qui
permet de commencer la décomposition de ce tenseur; on n'obtient pas aussi facilement les autres parties de cette décomposition, car © et ©' conçus soit comme homographies, soit comme réciprocités, sont natu-rellement soumis à des décompositions différentes. On obtiendrait le résultat avee les schémas des diverses parties, mais pour l'exprimer simplement, il faudrait utiliser les relations d'incidence entre divers éléments générateurs de l'espace, ce que nous n'avons pas à déve-lopper ici.
Tous les symboles linéaires précédemment employés peuvent s'ap-pliquer à des tenseurs d'ordres quelconques, en les affectant d'indices comme nous l'avons indiqué pour S- A<
K-On utilise aussi le symbole non linéaire K, réciproque de, pour représenter les transformées d'adjointes d'homographies ou
corrélations-\\(X)- TcX'M^,
= 'f WW' ( de mrme pour S').
V. — L'espace affin et la métrique vectorielle ; l'espace euclidien.
i). Laissons de côté dans E/ n t le sous-groupe Gum précédemment
des-homographies conservant un copoint ou hyperplan privilégié EOy que nous représenterons désormais par V; imposons-nous, en outre, d'uti-liser seulement des repères dont tous les sommets, saufe0, sont situés sur V, tels que
|Ve«l i, IVe,] - o ( / y o),
repères qui se déduisent les uns des autres par les homographies (~{ de Gua; les relations
mettent bien en évidence le fait que ces homographies engendrent un groupe.
L'espace E,,+ l, soumis aux opérations deGMt/, devient un espace afftn dont V esl l'hyperplan de l'infini, espace dit à n dimensions; la masse d'un point p de E/ / +, est le produit scalaire [Vp] ; cette masse est nulle pour les éléments de V, appelés \ecteurs, dépendant linéairement des vecteurs de base e,, e2, . . .. en ; les formes extérieures d'ordre q de ces
vecteurs s'appellent encore formes \ectorielles à q dimensions et com-prennent en particulier les produits extérieurs : bnecteurs, trivec-teurs, etc.
Comme nous l'avons \ u , les éléments de V forment un En inclus
dans E,,+, ; une h>perquadrique à n dimensions de cet E„, simplement dégénérée dans Ert+|, définit une polarité 3»(âl / r H I = o, âln] ?£ o), et
les transformations de G„„ conservant cette hyperquadrique, ou la pola-rité qu'elle détermine, forment un nouveau sous-groupe G,. ; l'espace E„+«, soumis uniquement aux transformation!» de (i,.. e*»! l'espace euclidien à n dimensions dont lej> propriétés sont bien connues; les repères que nous utiliserons dan* cet espace ont pour éléments de base un point e0 de Iliade unité et n vecteurs, deux à deux perpendiculaires et tous de longueur unité
le symbole X étant choisi pour la multiplication intérieure définie par & dans l'espace vectoriel V. Dans cet E„, soit £/ l'élément conjugué
à e„
Si Ton considère en même temps les hyperquadriques comitantes de El l + I. non dégénérées
- 22 on voit que pour des vecteurs u, v,
tandis que pour des points a, b,
a seul une signification absolue, '??ab variant avec l'hyperquadrique •? choisie avec le centre e„; aussi le produit intérieur §
peut être appliqué non seulement aux vecteurs, mais aux formes du second ordre formées à volonté de points et de vecteurs. Les formes nom elles ainsi obtenues représentent les hjpersphéres et hyperplans de E/,+ 1 ; nous en ferons usage au Chapitre III.
VI. — Différentiation et dérivation des formes géométriques.
10. Soient * , * , , * « , . . . , V, . . . des» formes géométriques
quel-conques de En fi (qui peuvent être des nombres ou scalaires), les *
étant de même espèce, et qui dépendent de q paramétres variables i*1; Aét%
nous définissons la différentielle d$> à partir des démée* partielles -r—t
par
l'opération d ayant la propriété distributive
quelle que soit la multiplication représentée par le symbole o, à con-dition toutefois que cette multiplication soit une opération invariante par les opérations cj du groupe fondamental (i ou du sous-groupe dans lequel nous opérerons.
Si, en particulier, les ul peuvent être regardés comme les
coor-données, curvilignes en général, d'un élément géométrique variable m, de différentielle
la différentielle d$ peut se mettre sous la forme
En effet, <& étant fonction de m, d<l> est linéaire en dm et -7—• dérivée de <D par rapport à m, représente l'opérateur, qui, agissant sur une différentielle dm, «îm, . . . , ou un élément de même espèce (et du même domaine) que celle-ci, donne la différentielle correspondante d<I>, 0$, . . . , ou une forme de même espèce que O; sauf quand m est un nombre, -r- a, du reste, un noyau d'espèce différente de <t>.
Si les variables peinent se grouper en coordonnées de différents élé-ments m, n, p, . . ., on aura, de même,
Tïn' an' dn' " ' é t a n t 'e s c'é r*v é c s partielles de * par rapport aux
élé-ments variables m, n, p, . . . qui peuvent d'ailleurs être d'espèces différentes.
On peut aussi utiliser les formules de changements de variables géo-métriques, avec des fonctions intermédiaires, du type
à condition que les opérateurs intermédiaires soient définis; du reste, nous ne soulè\erons pas ici de difficultés sur l'existence des dérivées et supposons les formes employées <ï>, xl\ . . . , m, n, . . . (fonctions ou
variables géométriques) dérivables autant qu'il en sera besoin, les dérivées et différentielles successive* étant définies de proche en proche.
11. Considérons le cas qui nous intéressera daxantage, où m est un élément primitif, un point par exemple, et où la forme <& dépend de m seul; en isolant dans — le noyau que nous représenterons par V$,
noyau dérivé, V, nabla, étant un opérateur différentiel agissant sur $,
on aura ( * )
(i8) r/<I» = ^-r/m = VWdm
r/m
(l) D.-J. Struik (M. D.) et J.-A Schouten placent le nojau dérivé V<t> à droite de la différentielle dm.
— 24 —
et de même,
ôcf> ^ V<P ! 8m, S * O n aurait ensuite
8 //<!> o V<I> i dm V<I> ! o dm =~ V' *:8m dm V* ! o r/m, d'où la combinaison importante
8 r/<ï> — r/ 8<I> = V'<!>?( 8m </m — dm om) V*î( o dm — f/ 8m).
D o n c , pour les symboles de diiïérentiation arbitraires rf, ô échan-geables
V'<I>':( om dm — r/m om) - v V'«^ï 8m dm = o,
c'est-à-dire que le tenseur Vr*<l> aura un schéma terminé à droite par deux facteurs échangeables, puisqu'il n'agit pas sur un produit silleriu' om dm; ces doux facteurs sont, du reste, covuriants, les diffé-rentielles dm, dm étant regardée* comme contrevaiïniiles.
Réciproquement, si Ton part d'une forme T,/ linéaire par rapport à la différentielle dm el qu'on peut écrire
M\,_e!,/m,
5 ^f /_ ,/\|'6 -_ .,xei om dm Q\(odm — d8m)
pour des symboles rf, ô échangeables, Mi\/ sera une différentielle exacte si Vft a les deux derniers facteurs de droite de son schéma échan-geables, c'est-à-dire peut s'écrire
Ve = aB . . . UV. puisque cela entraine
aB ... ' UVî?8m^m/ = o. Si, en particulier, *T,/ est une forme de Pfaff
on sait qu'on pose (• )
(19) »' = 8w'/
6j' étant le covariant bilinéaire ou différentielle extérieure do w, et
[ du1 dut ] — on' dui — du1 oui
étant un produit extérieur de différentielles (par une extension aux nom-bres, déjà employée, de la notation du produit extérieur). Plus généra-lement,
( 'ÀO ) [ « ' (0/ J = Wç M j — wj/ w£
s'appelle produit extérieur des formes de Pfaffu' et w^; si At et Ay sont les noyaux de ces formes, on a, du reste,
wj, — Ai ! '/m — [ A, (/m], wj = A/ ! //m = [ A/ r/in], [w'w/] = [A,SmJLA/ '/m|--[ A,'/m ] | A, 3m 1
= — ' A, A,T ôm ^/m — > À, A/? om <7m,
expression alternée à la fois par rapport aux noyaux A;, Ay et aux diffé-rentielles dm, dm.
12. On se rend facilement compte, sur une succession de h éléments, et par suite sur le schéma d'un tenseur d'ordre k, que la différentiation donne un tenseur d'ordre h de même constitution que le tenseur pri-mitif; par suite, qu'il en est de même pour le schéma formé par les
h premiers éléments de gauche du schéma du noyau dérivé, qui est
d'ordre h -h î (c'est son ordre covariant qui a augmenté d'une unité par la dérivation). Soit ainsi
<l> aBCDefgH.
/ / B O - i ( r / B . C B.v/C </C.B C.'/Bï - ^ ( ' / B T C B T J C ) BTC,
schématiquement; de même,
f / e f g - e . f . g , ,
Pour passer d'une différentielle dp à la dérivée Vp, il faudra écrire Vp = qR,
de sorte que
<7p — q(R! dm),
q étant un élément de l'espèce de p, R un élément covariant; puis, dans la dérivée d'une forme <1> contenant un élément p, laisser q à la place de p et renvoyer R à la fin de la succession (à droite), de sorte que cet
8 6
-élément R soit lc premier à agir sur une différentielle dm, placée aus-sitôt après le symbole de multiplication (• ).
Il s'ensuit que des tenseurs isomères ont des différentielles et des 1103 aux dérivés qui sont respectivement isomères entre eux ; deux formes différentielles isomères dont lc schéma a gardé le même dernier élément à droite sont par suite différentielles exactes ou non m même temps.
La combinaison alternée déjà utilisée o*l\t — d^z qui, pour des sym-boles d, «5 échangeables, éliminait les différentielles secondes et était, par suite, comilanle aux différentielles premières, peut se généraliser avec un nombre quelconque de différentielles. Soit ainsi :
dans les mêmes conditions. D'où, en particulier :
La différentielle extérieure d'une fonction bilinéaire alternée de différentielles échangeables est nulle quand cette forme est diffé-rentielle exacte, et réciproquement; c'est, pour les fonctions scalaires,
la propriété connue du covarianl trilinéaire. Un autre cas intéressant est le suivant :
La dérivée d'une forme symétrique, elle-même dérivée exacte, est une forme symétrique; et plus généralement :
Si une forme symétrique d'ordre h est dérivée exacte, elle est dérivée exacte d'ordre h d'un scalaire.
Les formules où figurent des produits extérieurs, ou alternés, de diffé-rentielles, ont cependant un intérêt particulier parce que ces produits intervenant sous les signes d'intégration, elles fournissent des relations entre intégrales de dimensions h et h + 1.
13. Si l'on part d'un scalaire 9, les premiers éléments dérivés sont V? — F, gradient de 0.
V'ç = G*F2 schématiquement.
En partant d'un élément covariant du premier ordre P(,
8 7 -comprend généralement la partie alternée
et le double de cette partie s'appelle le rotationnel de Pf.
Si Ton part, an contraire, d'un élément contrevariant du premier ordre p(,
Vp, donne naissance à l'invariant
appelé divergence de p , .
Dans le cas où l'on a substitué au groupe fondamental G un des sous-groupes conservant des éléments privilégiés (infini, absolu), les combi-naisons de ces éléments avec les formes différentielles ou dérivées sont de nouvelles formes comitanle*, que l'on considère comme obtenues par de nouveaux opérateurs différentiels; on a distribué à ces formes ou à ces opérateurs les noms de gradient, divergence, rotationnel, laplacien, etc., souvent après avoir employé, en particulier, l'identification symbolique, d'où une certaine confusion déjà signalée. Mais en particulier, le
lapla-cien A peut être défini pour une forme 4> quelconque par 2
(ai) A* =. T**?T, i
lïf étant la polarité absolue 2e?; le tenseur A<1> est de munie espèce que le tenseur primitif <&, et en outre, les schémas de <l> et A<l> ont même constitution, d'où l'importance de cet opérateur.
Remarque. — Quand les différentielles dm, om, . . . varient dans
un domaine moins étendu que le E;JI, utilisé, il peut > a\oir ambiguïté sur ce qu'il convient d'appeler noyau d'une forme différentielle, noyau dérivé, etc., un tel no\au pouvant être arbitra ire m (Mit prolongé par des termes dont le produit par une différentielle quelconque du domaine restreint est nul; ce cas se présente déjà dans l'espace euclidien EWL, où les différentielles d'un point \ariable de masse constante appartiennent à l'espace vectoriel à n dimensions. Les théorèmes précédemment éta-blis ne s'appliquent pas alors au no)uu prolongé, mais ;iu noyau restreint susceptible d'agir sur ces différentielles; en d'autres termes, c'est, par exemple, Ja propriété de V(->; ôm.r/m qui est à considérer plutôt que celle de V0; de même pour les autres noyaux dérivés.
l t . \ côté des différentielles arbihaires */m, om, . . . , un élément variable m peut être soumis à une variation de forme urf/, u appar-tenant à un champ défini eu fonction de m dan* un certain domaine; si l'on pose
©étant le symbole de la transformation infinitésimale considérée (c'est sensiblement la notation de S. Lie), une forme <t> fonction de m aura la variation correspondante ©<t>.rff, avec
ria) $<l> V«l>!$m - V*!u.
notation analogue à celle des di(Térenlielles. Dans le cas où u est défini dans le même domaine que m, on peut considérer © comme une homo-graphie à laquelle est soumis seulement l'élément m; mais © agit comme un swnbolc différentiel, et non comme une homographie, sur un élément autre que m; son action sur le bivecteur fabj, par exemple, sera de le transformer en
[Sa.b] -r- [a.Sb] - >[$"U j [ab J et nonen ©l a l[ab].
La formule (21 ) permet de considérer ©<l> comme dérivée de 4> pour
r élément u (pour un point m de masse unité, et un vecteur u unitaire,
c'est la dérivée dans la direction u). Un symbole © est échangeable a\ec le.s symboles de différentielles ordinaires (échangeables), mais deux symboles © et ©' ne peuvent, en général, être échangés entre eux. Si l'on elfectue sur les symboles © et©' l'opération alternée de la parenthèse
à cause de la symétrie terminale de V-<I>, on a
déporte que^la combinante (©'©) de © et de ©' est un nouveau sjm-bole analogue àceux-ci; on vérifie aussitôt l'identité de Jacobi relative à trois symboles ©," S', ©",
Nous n'avons pas .séparé ici dans les expressions ©m le symbole *5 de l'objet m, parce qu'on ne peut le faire dans le cas où m n'appartiendrait
plus au domaine de définition de u, c'est-à-dire où © ne serait pas une homographie de ce domaine.
VII. — La géométrie vectorielle du plan euclidien.
15. Dans le plan, domaine vectoriel à deux dimensions, nous pren-drons un repère fixe e,, eL> avec
[ e , e , ] = - lf d'où les unités co\ariantcs
v e* w e'
puis, après introduction de la polarité fondamentale
'f - E'i Eh
nous utiliserons l'identification symbolique en substituant aux opé-rations scalaires les opéopé-rations intérieures, la multiplication étant indi-quée par le symbole X , d'où
T _ 01 ~ e'f . e?.
À côté de ce tenseur, nous introduirons le \ei*seur t'7 produisant la rotation directe d'un angle droit du vecteur qui lui est soumis,
;t e>e, — 8 , 6 , - ->eset1
J satisfait à l'équation fondamentale
jr* = —01» = —01, d'où
Soit a un vecteur quelconque
ci a =- — a x J = — a,e, 4- a,
£&>
Pour deux vecteurs a, b, f. ' JX m rabl ^ v > a b - a b ~ b a - — L - J ( ete , —8
Acceptons pour simplifier de représenter par 1 l'unité biveetorielleU, d'où
30
-Par rapport aux deux vecteurs du repère, les opérations extérieure et intérieure font en quelque sorte double emploi depuis l'introduction de *T,
a, ~ ei x a -- — [e2a] - — J e2x a = e t x J a , « i - e i x a - [ e , a ] — J e i x a = — e i X J a .
Pour les tenseurs du second ordre, nous pouvons, à côté de l'inva-riant intérieur | , , introduire un inval'inva-riant linéaire extérieur E,,
M) Ei*- - - i i e ^ - - |l( xfj ) .
On complète alors la décomposition du tenseur 2C en mettant la partie droite sous la forme
»<u' = i (X , W ) = i / JX)J = i J(
(D^C = o est la condition nécessaire et suffisante pour que les homo-graphies X et J soient échangeables),
(«5) <x'_ i d . x v u tiX.d
-En partant, pour cette décomposition de la forme dyadique
Pour une dyade ab, la décomposition en parties gauche et droite est particulièrement intéressante (') :
fiab- i(ab-i-Ja.Jb), Dab- ^(ab —Ja.Jb).
La première partie est une similitude, la seconde une antisimilitude, produit (à gauche ou à droite) d'une similitude par une symétrie
arbi-traire; cette décomposition détend donc aux homographies générales,
mais pour une dyade on peut, par deux choix de la symétrie, mettre en (•) V. C. DhLfcNS, UEnseignement mathématique, t. XXIII, iga3.
— 31 —
facteur la similitude Gab, de sorte que l'autre facteur représente une projection orthogonale; en effet,
avec
ce qui ramène à
a b = ('U-cljGab =a'fx(ab ^a.<*'b} >afx(Jab, 7 ( ab ( G a b ) x (f cl l c i 3 ) ( a b J a J b ) x b'f- >Gab x b ? .
Si, malgré l'emploi de l'identification symbolique et de l'opérateur J , on préfère employer les formules établies avec des produits extérieurs, on pourra développer aussi les multiplications à liaisons extérieure!» simples ou multiples; il sera alors commode, dans une telle opération, de lier de préférence les éléments de même rang, soit à partir de la droite, soit à partir de la gauche, dans les deux tenseurs soumis à Topé-ration. On pourra ainsi poser, par exemple (*),
' î[(abc...)(uvwx...)!
(28)
| [ . . .defg)(...yzt)]2
et Ton arrivera en particulier à des formes extérieurement apolaires à droite ou à gauche quand le produit correspondant, à liaison maxima, sera nul.
16. En géométrie différentielle, considérons différentes fonctions de deux variables indépendantes u\9 te2 et les dérivées de ces fonctions. Pour
un scalaire cp, nous écrirons (2)
grad? = V? = 5,e,
(M La notation avec crochets employée pour les transformations linéaires est une simplification de celle ci, I indice élant omis.
C1) L'adjonction de nouveaux indices (i, j , A . . . - i , a ) à une lettre déjà utilisée représente ici une dérivation partielle par rapport à des coordonnées rartêsienncsarp #2, relatives au repère fixe ep e2, car
- 3 2 Pour un vecteur,
( rti
y ^ a i e , - a , e , ;
rota - Ei V<7 = aji — a ,2- a( x e2 — a « x e , . H o l a = i \ Va = r o t a . J , «li\ a — li Vu — a,, i a22 — a, x e, a2x e i , Di\ a = -i[\ Va = d i v a . ^ t l .
de sorte que pour un gradient
. mtgrad? =- o, ' t
Pour deux vecteurs a et b, formant un similirepère (figure semblable à un repère).
rotb - diva, Kotb — J Diva, di\b = — rota, Divb — J Hota. Pour une homographie
X _ l rw / 6,6/ - h,e,
(les parenthèses enfermant les opérateurs <X\ et cU'2 indiquant que ceux-ci ne sont pas liés aux vecteurs qui les suivent).
Convenons d'appliquer les symboles |H En h, etc., sans nouveaux, indices, aux deux facteurs <h> droite d'un schéma d'ordre quelconque (i)'r
nous introduirons les vecteurs
(33)
'9""" ' "*"' hu hï^.X',6, Dans le cas du noyau dérivé d'un vecteur
^ rot Va — o.
( 3 t ) / d i v V a - A a - a , , - a„. •>
Pour une homographie numérique <p*ll, (35) ^d i v ? i; ; - • * * * •
/ rotç'U - et grade, etc.
(') On peut généraliser'les notations r o t - K,V d i v - ^ V R o t = 2 A V D i v ^ pour des homographies d'ordre quelconque.
33
-17. Nou:» aurons en particulier à nous occuper des vecteurs de lon-gueur constante ; soit, par exemple, un vecteur unitaire a,, et soit a2 = J&t le vecteur formant repère avec le premier. La relation
af=,
donne par dérivation
<36) a, x Va, i- K Va, x a, = -/a, x Vai = o.
Il s'ensuit l'importante propriété que le noyau dérivé d'un vecteur unitaire est une dyade, homographie dégénérée de rang un. En effet,
[a, x Va, .a, x Va, ] - [a, as] ( Va, )i'J - ( Va, >'•! = o. On peut écrire cette dyade sous la forme
Vat = J a , £ = a*f. f = a« x Vai et aussi, d'après (26),
GVa,= i(roia,.J-, diva,.01), Va, = *>a3x (i Va, — agiotai.a
(37) f = rotai.ai (livai.Ja! = rotai.ai iotaa.a2 = — Rota, x as — ttota*x at.
Le vecteur f a d'autres propriétés remarquables ; en effet, si l'on pose
(38) Va, = J ^ae , Va - Ja, Va = a2 Va, <3g) f=-Va grada.
En outre, le vecteur f ost le même pour tout vecteur unitaire bt fai-sant un «mole constant avec sa.
Quant «à lu propriété de Va, d'être une dyade, elle n'est pas particu-lière aux vecteurs unitaires; soit, en effet,
v = rai,
Vv = i>Va, a, Vr -i>a2Va a, VP,
a< et a2 étant des vecteurs différents, la condition nécessaire et suffi- ' santé pour que Vv soit une dyade est
3 4 -donc
soit
donc la longueur du vecteur v doit être fonction seulement de son inclinaison (M; c'est évidemment une propriété qu'a tout vecteur de longueur constante, mais qu'il était bon de rappeler. En outre, la for-mule (39) montre que
D'autres vecteurs importants sont rattachés à a , ; l'équation (3(i) entraîne
Va, x ai - •> S ^»i x a, - •> { Va, x a, - Nota, x a,
soit différentes formes du vecteur qui représente la dérivée de at dans sa propre direction.
Supposons en particulier que les variables */,, //, soient les coor-données (eumlignes en général) d'un vecteur m d'origine fixe et consi-dérons une courbe décrite par l'extrémité de ce vecteur, a, étant le vecteur unitaire porté par la tangente à cette courbe dans le sens des arcs croissants; modifions un peu les notations en posant
a,—t— -yT> a2= p [normale pi incipale (*)|,
(IJ =- Vt > t - Hott x t - pf x t - p Va x 'Lf - ' ' " p = I p
<fs r r ds ils* pr
est alors le vecteur de courbure k de celte courbe et (4o) m t t = —divp = t x f = — [pf ] =
-est la courbure. Soit plus généralement sur la courbe un vecteur vitesse v [sur la courbe les paramétres 5, a, t (temps) sont fonctions (') C'est à dire que v ne dépend que d'un paramètre : (Vv)h l - o traduit la propriété connue du déterminant fonctionnel.
(2) Otte opération de dérivation angulaire ne s'applique chez M. II. INevillc (M. F.) qu'aux vecteurs soumis à un noyau géométrique et non à ceux qui constituent ce noyau.
(3) Nous adoptons la convention de M. H. Neville (M F.), d'après laquelle le rayon de courbure et la courbure d'une courbe plane ou yauclie sont des mesures algébrique» suivant la normale principale, orientée à volonté.
