Conception, fabrication et caractérisation d'un
GRIN-axicon pour une application en microscopie
multiphotonique
Mémoire
Mireille Quémener
Maîtrise en physique - avec mémoire
Maître ès sciences (M. Sc.)
Conception, fabrication et caractérisation d’un
GRIN-axicon pour une application en microscopie
multiphotonique
Mémoire
Mireille Quémener
Sous la direction de:
Simon Thibault, directeur de recherche Daniel Côté, codirecteur de recherche
Résumé
Les avancées technologiques concernant la microscopie ont permis la création d'une grande variété de systèmes optiques dédiés à l'investigation du comportement dynamique des cellules in vivo. En neuroscience, le dé réside dans l'observation des interactions entre des neurones marqués d'un uorophore qui sont situés à diérentes profondeurs dans le tissu. A n d'y arriver, il est nécessaire de balayer l'échantillon sur plusieurs plans transverses pour couvrir entièrement son volume. Puisque cette procédure diminue la résolution temporelle, il a été proposé d'utiliser un axicon pour augmenter la profondeur de champ du microscope et réduire le nombre de balayages à eectuer. Cependant, l'axicon est di cile à fabriquer et possède généralement des défauts sur la pointe du cône, dégradant ainsi la qualité de la composante. En vue de remplacer l'axicon par une autre composante optique dont la fabrication n'entraîne pas de défaut, il a été envisagé d'utiliser une lentille à gradient d'indice couplée à une lentille simple (GRIN-axicon). Des simulations ont montré que le GRIN-axicon a le potentiel de pro-duire un faisceau Bessel de bonne qualité. Toutefois, les tests expérimentaux ont été très brefs et il est nécessaire d'investiguer davantage le comportement de cette nouvelle composante en laboratoire. L'objectif de ce projet de maîtrise est donc de concevoir, fabriquer et caractéri-ser un GRIN-axicon pour une application en microscopie multiphotonique. Comme objectif secondaire, on souhaite approfondir la théorie reliée à cette nouvelle composante.
Abstract
Technological advances in microscopy have led to the creation of a wide variety of optical systems dedicated to the investigation of the dynamic behavior of cells in vivo. In neuro-science, the challenge lies in the observation of interactions between labeled neurons located at dierent depths in the tissue. In order to achieve this, it is necessary to scan the sample on several transverse planes to fully cover its volume. Since this procedure decreases the tem-poral resolution, it has been proposed to use an axicon to increase the depth of eld of the microscope and reduce the number of scans to be performed. However, the axicon is di cult to manufacture and usually has defects on the tip of the cone, thus degrading the quality of the component.
In order to replace the axicon by another optical component easier to manufacture, the use of a graded index lens coupled to a single lens (GRIN-axicon) was considered. Simulations have shown that the GRIN-axicon has the potential to produce a good quality Bessel beam. However, experimental tests have been very limited and it is necessary to further investigate the behaviour of this new component in the laboratory. The objective of this master's project is therefore to design, manufacture and characterize a GRIN-axicon for application in multi-photon microscopy. As a secondary objective, we wish to deepen the theory related to this new component.
Table des matières
Résumé ii
Abstract iii
Table des matières iv
Liste des tableaux vi
Liste des gures vii
Remerciements x
Avant-propos xi
Introduction 1
1 Dérivation du pro l d'indice de réfraction et propagation 11
1.1 Dérivation du pro l d'indice de réfraction . . . 11
1.2 Propagation . . . 20
1.3 Sommaire . . . 23
2 Toric lens analysis as a focal ring and Bessel beam generator 24 2.1 Résumé . . . 24
2.2 Abstract . . . 24
2.3 Introduction. . . 24
2.4 The focused ring . . . 25
2.5 Field after a Fourier transform lens . . . 29
2.6 Comparative analysis. . . 30
2.7 Conclusion . . . 32
3 Design du GRIN-axicon 35 3.1 Microscopie multiphotonique avec un axicon réfractif . . . 35
3.2 Design du GRIN-axicon . . . 35
3.3 Comparaison de l'axicon et du GRIN-axicon . . . 40
3.4 Sommaire . . . 44
4 MCVD based fabrication of GRIN-axicon for generation of scalable Bessel-Gauss beams 46 4.1 Résumé . . . 46
4.2 Abstract . . . 46
4.3 Supplement 1 . . . 53
Conclusion 61
Liste des tableaux
2.1 General comportment of the axial intensity pro les of the Bessel beams
gene-rated by three dierent components with their advantages and disadvantages. . 31
Liste des gures
0.1 Représentation schématique d'un masque annulaire combiné à une lentille fF T
et illuminé par un front d'onde plan. . . 4
0.2 Représentation schématique de l'axicon réfractif illuminé par un front d'onde plan. . . 4
0.3 Représentation schématique d'une lentille torique combinée à d'une lentille fF T et illuminée par un front d'onde plan. . . 5
0.4 Représentation schématique d'une GRIN combinée à d'une lentille fF T (formant ainsi le GRIN-axicon) et illuminée par un front d'onde plan. . . 6
0.5 In uence d'un défaut lié à la pointe de l'axicon sur le pro l d'intensité axial de la ligne focale obtenue. . . 6
0.6 Schématisation du procédé MCVD. . . 8
1.1 Pro l d'indice de réfraction en sécante hyperbolique de la GRIN. . . 14
1.2 Propagation périodique des rayons dans la GRIN ayant un pro l d'indice de réfraction radial en sécante hyperbolique. . . 16
1.3 Tracé de rayons du SELFOC. . . 16
1.4 Tracé de rayons du GRIN générant un anneau focal. . . 17
1.5 Tracé des rayons aux limites à travers le GRIN-axicon. . . 18
2.1 Toric lens and the coordinate system used for the diractional analysis. . . 26
2.2 Field solution at the focus of a toric lens with a = 2 mm, f = 10 mm and λ = 587nm. . . 28
2.3 Radial and axial intensity pro les at a distance fF T after the Fourier transform lens. . . 30
2.4 Axial intensity pro le from CODE V simulations for a toric lens with parameters a = 2mm and f = 10 mm coupled to a single lens fF T = 10mm. . . 32
3.1 Eet des paramètres de design du GRIN-axicon sur la longueur de la ligne focale générée. . . 36
3.2 Pro l d'indice de réfraction généré par CODE V suite à la spéci cation des valeurs de a0 et de α dans un macro. . . 39
3.3 Tracé de rayons en tenant compte du pro l d'indice de réfraction en sécante hyperbolique avec a0= 0.2 mm et α = 0.5806 mm−1.. . . 40
3.4 Tracé de rayons lorsqu'une lentille parfaite de focale fF T = 6 mm est ajoutée après la GRIN. . . 40
3.5 Simulation beam synthesis propagation sur le plan de sortie de la GRIN pour visualiser l'anneau focal. . . 41
3.6 Pro l d'intensité axial généré par de multiples simulations beam synthesis
pro-pagation le long de l'axe z. . . 42
3.7 Comparaison des pro ls d'intensité pour l'axicon réfractif de 1◦ en BK7 et le GRIN-axicon de design. . . 42
3.8 Pro l d'intensité axial de la ligne focale après ajout d'un système 4f derrière le GRIN-axicon avec f1 = 50mm et f2 = 75mm. . . 43
4.1 Geometry of the propagation of the rays through the GRIN-axicon. . . 49
4.2 Radial index pro le of the GRIN fabricated with MCVD process. . . 50
4.3 Annular focus at the output of the GRIN lens from experimental results and CODE V simulations. . . 51
4.4 BG beam images for three dierent focal lengths (f = 50, 60 and 75 mm). . . . 51
4.5 Axial pro le of the BG beam for the designed GRIN in combinaison with a f = 60mm lens. . . 52
4.6 FWHM of the intensity of the central lobe of the BG beam. . . 54
4.7 Refractive index pro les for GRIN G1, G2 and G3. . . 54
4.8 Annular focus at the output of GRIN G1 and G3. . . 55
4.9 BG beam images for three dierent focal lengths (f = 50, 60 and 75 mm) for GRIN G1 and G3. . . 56
Fourier is a mathematical poem Lord Kelvin
Remerciements
D'abord, je remercie sincèrement Prof. Simon Thibault et Prof. Daniel Côté pour m'avoir oert l'opportunité d'eectuer des études graduées au sein de leurs groupes de recherche et de m'avoir con é un projet aussi stimulant.
J'ore des remerciements spéciaux à Jason Guénette et Jeck Borne qui m'ont aidé grande-ment avec la résolution des équations mathématiques qui sont présentées dans ce mémoire. Notre travail en équipe a été partie intégrante de ma maîtrise et ce fut une expérience très enrichissante.
Merci également à Nicolas Grégoire qui a eectué la fabrication de préformes d'une grande qualité et qui ont été au coeur du succès de mon projet.
D'autre part, je tiens à remercier Prof. Pierre-André Bélanger qui s'est montré très intéressé et présent lors de mes études. Son expertise concernant les axicons, les faisceaux Bessel et les mathématiques s'y rattachant a été déterminante pour ma réussite.
Merci également à tous les autres étudiants du groupe de recherche, spécialement ceux du bureau 2177, qui ont su égayer chaque journée de travail et m'orir leur aide précieuse lorsque j'en avais besoin.
J'adresse nalement une pensée spéciale à mes amis et ma famille qui m'ont tous supportés dans mes projets au cours de cette dernière année.
Avant-propos
Ce projet de maîtrise a fait l'objet de trois publications dans des revues scienti ques avec révision par les pairs :
1. J. Guénette, M. Quémener, P.A. Bélanger et S. Thibault, "Exact graded-index pro le to produce an annular beam", Optics Communications, Vol. 472 (2020).
Publié le 28-05-2020
Rôle des auteurs étudiants : Jason et moi avons tous les deux participé à la rédaction du texte de l'article et à la production des gures. Jason a eectué le développement mathématique présenté ainsi que les expériences en laboratoire. Ensemble, nous avons eectué la soumission de l'article et l'avons modi é suite aux révisions suggérées par le comité de révision.
Le contenu de cet article gure dans le chapitre 1 de ce mémoire, mais les équations mathématiques sont exposées de manière plus exhaustive.
2. M. Quémener, J. Guénette, J. Borne et S. Thibault, "Toric lens analysis as a focal ring and Bessel beam generator", Journal of the Optical Society of America A, Vol. 37 No.10, 1657-1661 (2020).
Publié le 29-09-2020
Rôle des auteurs étudiants : Jason, Jeck et moi avons tous les trois contribué à l'élabo-ration de la démarche mathématique. Jeck et Jason se sont concentrés sur la réalisation de simulations alors que j'ai eectué la majeure partie de la rédaction, bien que nous avons tous les trois été impliqués dans tous les aspects du travail. Nous avons également contribué à l'apport des modi cations suggérées par le journal avant la publication.
3. M. Quémener, N. Grégoire, S. Morency, D. C. Côté et S. Thibault, "MCVD based GRIN-axicon for the generation of scalable Bessel-Gauss beams",Optics Letters, Vol.46 No.6 (2021)
Publié le 10-02-2021.
Rôle de l'auteure étudiante : J'ai réalisé le montage expérimental et pris les mesures en laboratoire. J'ai également analysé les résultats, traité les données et produit les gures. Finalement, j'ai écrit l'article, soumis au journal puis fait les modi cations requises pour la publication nale.
Introduction
Contexte
Parmi les techniques d'imagerie des tissus biologiques, la microcopie multiphotonique s'est révélée être une méthode non-invasive très utile pour le diagnostic de maladies inhérentes au cerveau [1]. Prenant avantage des impulsions brèves et intenses générées par un laser, ce type de microscopie permet d'observer des échantillons ou des tissus vivants marqués d'un uorophore. La caractéristique non-linéaire de la microscopie multiphotonique permet notamment d'utiliser des longueurs d'onde plus élevées qu'en microscopie à uorescence conventionnelle et d'obtenir une zone d'illumination plus restreinte au point focal. Cela mène d'une part à une baisse de la phototoxicité et du photoblanchiment des uorophores, et d'autre part à un meilleur rapport signal-bruit dû à une baisse de la diusion causée par les tissus [2].
Or, dans le cerveau, les neurones forment un réseau complexe tridimensionnel, faisant en sorte que la structure doit être observée en profondeur. Pour imager un tel échantillon épais, il faudrait balayer un plan bidimensionnel à l'aide de miroirs galvanométriques, de changer la position du point focal de la lumière pour passer à une autre profondeur, puis de balayer à nouveau [3]. Le temps pour analyser un échantillon épais est donc élevé par rapport à la vitesse des interactions neuronales qui peuvent avoir lieu sur un court laps de temps.
A n de remédier à ce problème de résolution temporelle, il a été suggéré d'utiliser un axicon réfractif a n de générer une ligne focale au lieu d'un simple point focal [4]. Ainsi, un seul balayage serait nécessaire pour obtenir toute l'information issue des diverses profondeurs de l'échantillon. Cependant, l'axicon est un élément optique de forme conique dont la fabrication est ardue en raison de la pointe du cône. Eectivement, celle-ci doit être formée de manière très précise et demeurer intacte, au risque de générer des aberrations qui dégradent la qualité de la ligne focale [5].
Une autre méthode suggérée par Gonzalez et al. pour générer une ligne focale est d'utiliser une lentille à gradient d'indice (GRIN) ayant un pro l d'indice de réfraction approprié pour générer un anneau focal [6]. À l'aide d'une lentille à transformée de Fourier, il est ainsi pos-sible de produire l'aiguille de lumière recherchée. Or, la solution déterminée par Gonzalez est approximative et nécessite d'être approfondie. Des travaux récents ont permis de trouver la
solution exacte du pro l d'indice de réfraction du GRIN pour produire un anneau focal et des tests en laboratoire ont prouvé qu'il était possible de générer un faisceau Bessel-Gauss de bonne qualité [7]. C'est donc à partir de cette preuve de concept qu'on veut optimiser le composant optique en vue de l'intégrer dans un microscope multiphotonique.
Formulation du problème et des objectifs
La faisabilité d'utiliser un GRIN-axicon pour générer un faisceau Bessel a été démontrée ré-cemment, mais surtout d'un point de vue théorique [7]. Il est donc nécessaire de faire davantage de tests expérimentaux pour maîtriser le processus de fabrication et bien comprendre le com-portement du GRIN-axicon réel. On souhaite obtenir une composante qui réussira à palier les di cultés de fabrication de l'axicon conventionnel, tout en atteignant les perfomances requises pour la microscopie multiphotonique.
L'objectif principal du projet est donc de concevoir et fabriquer un GRIN-axicon a n de proposer une alternative à l'axicon réfractif standard typiquement utilisé dans le microscope multiphotonique à grande profondeur de champ. On recherche notamment à obtenir une ai-guille de lumière dont les pro ls axial et radial se comparent à ceux générés par l'axicon. Idéalement, on souhaite obtenir un pro l d'intensité axial possédant un maximum d'intensité déplacé vers la n de la ligne. Eectivement, une intensité accrue à la n de la ligne per-mettra de compenser pour l'absorption causée par une grande profondeur dans le tissu [4;8]. Comme objectif secondaire au projet de maîtrise, on souhaite approfondir la théorie entourant le GRIN-axicon, notamment en eectuant la résolution des équations de propagation à travers le composant.
Revue de littérature et notions théoriques
Faisceau Bessel
C'est en 1987 que Durnin a introduit pour la première fois les faisceaux non-diractants comme solution de l'équation de Helmholtz paraxiale [9]. Soit l'équation d'onde scalaire
∇2− 1 c2 ∂2 ∂t2 ψ = 0, (1)
avec c étant la vitesse de la lumière. Pour tout système en coordonnées cylindriques, l'éq. (1) est satisfaite par une solution de la forme suivante :
ψ(r, z, t) = f (r)ei(kzz−ωt), (2)
où r = px2+ y2 est la distance radiale. En remplaçant l'éq. (2) dans l'éq. (1), on obtient
r2d 2f (r) dr2 + r df (r) dr + r 2(k2− k2 z)f (r) = 0, (3)
où k = ω/c est le nombre d'onde. Il s'agit de l'équation diérentielle de Bessel d'ordre zéro, pour laquelle on trouve f(r) = J0(krr), avec kr= k2− k2z. En introduisant un paramètre réel
β, il est possible de réécrire
kr = k sin β et kz = k cos β. (4)
Ainsi, on obtient l'onde plane cylindrique, communément appelée faisceau Bessel (FB) : ψ(r, t) = J0(kr sin β)ei(kz cos β−ωt). (5)
On constate que le FB est simplement issu de la superposition d'ondes planes ayant des plans d'équiphase à un angle β par rapport à l'axe optique. Conséquemment, la gure d'interférence produit un lobe central très mince qui se maintient sur une distance qui est théoriquement in nie. Or, une ligne focale de taille in nie est physiquement impossible puisque le faisceau initial ne peut posséder une énergie in nie, tel qu'on le verra dans la prochaine section.
Faisceau Bessel-Gauss
En pratique, le FB est pratiquement impossible à obtenir puisque l'onde plane in nie n'est pas réalisable en laboratoire. En général, les composantes optiques sont plutôt illuminées par un laser possédant un pro l gaussien. Par conséquent, le faisceau obtenu n'est plus un FB, mais plutôt un faisceau Bessel-Gauss (FBG). En champ proche, le FBG constitue simplement un FB modulé par une enveloppe gaussienne. Plus on s'éloigne sur l'axe optique, plus le faisceau se déforme pour se transformer en anneau divergent [10].
Composantes optiques pour générer un FB (ou un FBG)
A n de générer une aiguille de lumière, il a d'abord été proposé d'utiliser une ouverture circulaire illuminée, tel que montré à la g.0.1[9]. Ce faisant, on crée un anneau focal lumineux de diamètre d ayant une faible épaisseur ∆d. À l'aide d'une lentille de diamètre R placée à une distance focale fF T de l'anneau, on observe que l'image créée constitue la gure en champ
lointain de l'ouverture [11]. La lentille eectue donc la transformée de Fourier de l'ouverture annulaire, générant ainsi un faisceau quasi non-diractant. Par simple géométrie, Durnin a montré que ce faisceau pouvait se propager sur une distance
∆z = πrR
λ , (6)
avec r = 1
(2π/λ) sin θ et θ = arctan(d/2f). Expérimentalement, les auteurs ont montré qu'il
était eectivement possible de générer un faisceau se propageant sur une distance de l'ordre du mètre. Le masque annulaire possède toutefois l'inconvénient de couper la majorité de la puissance incidente [12].
Diverses autres techniques pour produire des faisceaux quasi non-diractants ont été déve-loppées, mais l'axicon est celle qui est le plus couramment utilisée à ce jour. C'est en 1954,
Figure 0.1 Représentation schématique d'un masque annulaire combiné à une lentille fF T
et illuminé par un front d'onde plan.
soit 33 ans avant la publication de Durnin sur les faisceaux non-diractants, que l'axicon a été introduit par McLeod. Bien que la forme la plus connue soit celle d'une lentille conique, McLeod dé nit l'axicon comme étant une composante possédant une symétrie de révolution qui génère une série de points focaux sur son axe [12].
Figure 0.2 Représentation schématique de l'axicon réfractif illuminé par un front d'onde plan.
On caractérise un axicon réfractif par trois variables : l'angle de la base du cône γ, le diamètre w du faisceau et l'indice de réfraction n. Suivant la géométrie indiquée à la g.0.2, on trouve que l'ange β du faisceau généré est donné par l'éq. (7).
β = arcsin(n sin γ) − γ (7)
Similairement au cas de l'anneau illuminé, il est possible de déterminer par géométrie la longueur de la ligne focale qui est générée par l'axicon. Avec l'approximation que l'angle γ est petit, on trouve la longueur de la ligne focale :
∆z ≈ w
2(n − 1)γ. (8)
Une troisième avenue intéressante pour générer un FBG est la combinaison d'une lentille to-rique et d'une lentille simple, comme montré à la g.0.3[13]. Similairement au masque
annu-laire proposé par Durnin, la lentille torique produit un anneau focal qui est ensuite transformé en faisceau quasi non-diractant au moyen d'une lentille simple. La lentille torique possède une bien meilleure e cacité que le masque annulaire puisqu'elle ne bloque aucun rayon incident. Cependant, sa forme complexe mène à une fabrication plus ardue et coûteuse à réaliser qu'un simple masque annulaire.
Figure 0.3 Représentation schématique d'une lentille torique combinée à d'une lentille fF T
et illuminée par un front d'onde plan.
Finalement il a été démontré que l'utilisation d'un GRIN-axicon permet de générer une aiguille de lumière ( g.0.4) [6;14]. Le GRIN-axicon est d'abord composé d'une GRIN ayant un pro l d'indice de réfraction radial qui permet de générer un anneau focal à sa sortie. Cette GRIN est combinée à une lentille qui eectue une transformée de Fourier de l'anneau focal pour le transformer en FBG. Le fait que le GRIN-axicon soit composé de deux sous-composantes (la GRIN et la lentille) lui revêt un caractère très versatile. Pour une même GRIN, il est possible de changer la longueur focale de la lentille pour modi er les dimensions de la ligne focale. Le changement d'une simple lentille est alors beaucoup moins dispendieux que devoir changer la composante au complet, comme c'est le cas pour l'axicon. Pour ce dernier, il n'est pas possible de modi er aisément les dimensions de la ligne focale autrement qu'en changeant l'axicon lui-même. Qui plus est, contrairement aux autres méthodes pour générer des aiguilles de lumière, le GRIN-axicon a pour avantage de pouvoir être adapté à tous les types de montages, qu'ils soient miniaturisés ou non. En eet, on verra que le procédé de fabrication de la GRIN repose sur la fabrication d'une préforme de bre optique pouvant être être étirée pour obtenir de faibles diamètres, ou comprimée pour obtenir un composant de taille plus régulière (ex. : 1 pouce de diamètre).
Défauts de l'axicon
L'axicon demeure la composante optique la plus utilisée pour générer un FBG. Il est employé non seulement dans des applications de microscopie multiphotonique [4; 15; 16; 17], mais également pour l'accélération de particules [18], la micromanipulation [19] et l'optique
non-Figure 0.4 Représentation schématique d'une GRIN combinée à d'une lentille fF T (formant
ainsi le GRIN-axicon) et illuminée par un front d'onde plan.
linéaire [20; 21]. Or, l'axicon possède plusieurs limitations qui seront abordées dans cette section.
D'abord, la pointe de l'axicon est problématique. La fabrication de cette dernière nécessite une grande précision et cela a pour eet de rendre la composante dispendieuse à l'achat. Lors de son transport ou sa manipulation, la pointe de l'axicon est susceptible de s'abîmer et de s'arrondir. Un tel défaut mène à l'apparition d'aberrations sur l'axe optique. Par exemple, on observe à la g.0.5que le pro l d'intensité axial possède des ucutations importantes lorsque la pointe de l'axicon est arrondie [22].
Figure 0.5 In uence d'un défaut lié à la pointe de l'axicon sur le pro l d'intensité axial de la ligne focale obtenue. La courbe en bleu représente l'intensité axiale de la ligne focale. On ob-serve l'apparition d'aberrations pour l'axicon qui possède une pointe arrondie. La composante est illuminée par une onde plane.
D'autre part, l'axicon possède une limitation quant à sa taille. Le fait qu'il possède une pointe rend sa miniaturisation di cile et des techniques de fabrication complexes doivent être utili-sées. Xie et al. ont réussi à manufacturer un axicon de petite taille, mais ce dernier demeure fragile et est toujours sujet à produire des aberrations liés à des défauts de sa pointe [23]. En somme, l'axicon est fragile, dispendieux et ne permet pas une miniaturisation aisée pour l'insérer dans des systèmes à bre optique. Cela a motivé le développement de nouvelles com-posantes permettant de générer des faisceaux quasi non-diractants qui ne possèdent pas le
défaut de pointe de l'axicon. Parmi ces composantes, on compte notamment l'axicon loga-rithmique [24], le modulateur spatial de lumière (spatial light modulator, SLM) [25], la lentille à cristaux liquides électriquement contrôlée [26], la bre optique à coeur creux (hollow core) accolée à une lentille de polymère [27] et la métasurface [28]. Cependant, certaines de ces composantes comme le SLM sont très coûteuses alors que d'autres ne sont pas versatiles et ne peuvent pas être intégrées autant à des montages optiques miniaturisés que de grande taille.
Fabrication d'une lentille à gradient d'indice
Pour fabriquer une GRIN, il faut fabriquer une préforme de bre optique. La préforme consiste en un tube de verre qui possède un pro l d'indice de réfraction désiré et qu'on étire pour obtenir une tige ou une bre d'un diamètre inférieur. La fabrication d'une préforme sera donc nécessaire dans le cadre du projet.
L'une des méthodes courantes pour la fabrication de préformes est le procédé MCVD (modi ed chemical vapor deposition), illustrée à la g. 0.6a. La méthode est basée sur l'oxydation de réactifs à haute température dans un tube de quartz [29]. Les réactifs, par exemple du SiCl4,
du POCl3 ou du GeCl4, entrent dans le tube avec un ux contrôlé et une torche à haute
température provoque leur réaction. Cela a pour conséquence de fusionner le matériau pour former un lm vitreux sur la face interne du tube. La torche est déplacée le long du tube à de multiple reprises : chaque passage forme une nouvelle couche. Il est possible de modi er la composition du gaz a n que l'indice de réfraction varie d'une couche à une autre. C'est ainsi qu'on génère un gradient d'indice dans le tube. À la toute n, le tube est amené à une haute température et est collapsé de manière à produire la préforme nale. Or, lors de cette étape, l'évaporation des dopants dans le tube provoque une baisse drastique de l'indice de réfraction [30]. On observe ainsi une discontinuité au centre du pro l d'incice de réfraction, ce qui est typique du procédé MCVD (illustré sur la g.0.6b). En général, cette discontinuité est nuisible puisqu'elle peut mener à la présence d'aberrations sur l'axe optique.
Typiquement, la variation maximale d'indice de réfraction que le procédé MCVD peut produire est ∆n = 0.06. Or, avec des variations d'indice aussi élevées, la préforme est susceptible de subir des ruptures de stress lors de sa découpe et de sa manipulation.
Dans le cas de ce projet de maîtrise, on verra dans le prochain chapitre que la présence d'une discontinuité à la position radiale r = 0 constitue un avantage pour la fabrication du GRIN. L'expertise et les installations pour du MCVD étant présentes au centre d'optique, photonique et laser de l'Université Laval (COPL), ce procédé est donc idéal pour fabriquer le GRIN-axicon.
Propagation des faisceaux
Les équations de propagation des faisceaux permettent d'obtenir l'équation d'un champ élec-trique une fois propagé sur une distance quelconque, en tenant compte des éléments optiques
(a)
(b)
Figure 0.6 (a) Schématisation du procédé MCVD [29] et (b) pro l d'indice de réfraction typiquement obtenu [30].
qu'il traverse sur son chemin. Pour le cas de l'axicon réfractif, les équations de propagation ont déjà été résolues et cela a permis de démontrer notamment qu'un faisceau gaussien incident sur la composante est bel et bien transformé en faisceau Bessel-Gauss [31;32]. Or, ces équa-tions n'ont pas été résolues pour le GRIN-axicon. En vue d'approfondir la théorie reliée au GRIN-axicon durant le projet de maîtrise, l'utilisation des équations de propagation se révèle essentielle.
Le développement mathématique qui sera présenté dans cette section est tiré de la réfé-rence [33].
En coordonnées cartésiennes, soit un faisceau de départ f1(x, y) et le faisceau de sortie
f2(x0, y0). À noter que les variables primées (') réfèrent au plan nal après propagation. En
sachant que tout faisceau peut être décomposé en une somme d'ondes planes, on peut propager chaque onde plane constituant f1(x, y)pour trouver f2(x0, y0).
˜ f1(x, y) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ˜ F1(νx, νy)e−i2π(νxx+νyy)dνxdνy, (9) avec ˜ F1(νx, νy) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ˜
f1(x, y)e+i2π(νxx+νyy)dxdy. (10)
Ainsi, ˜ f2(x0, y0) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ˜ F2(νx, νy)e−i2π(νxx 0+ν yy0)dν xdνy. (11)
En sachant que la relation entre les phaseurs d'entrée ˜U1(r)et de sortie ˜U2(r)est donnée par
˜
où L = z2− z1 est la distance de propagation entre les plans des deux phaseurs, on trouve que ˜ F2(νx, νy) = ˜F1(νx, νy)e−i2πνzL (13) = ˜F1(νx, νy)e−ikLeiπλ(ν 2 x+νy2). (14)
On peut ensuite combiner ces dernières équations pour obtenir ˜ f2(x0, y0) =e−ikL Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ dνxdνye−i2π(νxx+νyy)eiπλL(ν 2 x+νy2)× Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ dxdy ˜f1(x, y)e+i2π(νxx+νyy) (15) =e−ikLTF−1eiπλL(ν2x+ν2y)T F( ˜f1(x, y)) . (16)
Cette dernière équation constitue la méthode BPM (beam propagation method). Elle permet de déterminer le champ propagé à travers diérents composants optiques (lentilles, prismes, réseaux, etc.). À partir de cette équation, on peut également dériver l'intégrale de Fresnel-Kircho, qui constitue une deuxième méthode pour eectuer le même calcul de propagation d'un faisceau.
D'abord, il est possible de représenter l'éq. (16) par la fonction de transfert suivante dans le domaine des fréquences :
˜
H(νx, νy) =e−ikLeiπλL(ν
2
x+ν2y). (17)
En appliquant le théorème de convolution, on peut écrire ˜ f2(x0, y0) = ˜f1(x, y) ~ ˜h(x0, y0) (18) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ˜ f1(x, y)˜h(x0− x, y0− y)dxdy, (19)
avec ˜h étant la réponse impulsionnelle du système, soit la fonction chirp : ˜ h(x0, y0) = TF−1 ˜H(νx, νy) (20) = i λLe
−ikLexph−iπ
λL
x02+ y02 i
. (21)
On trouve ainsi l'intégrale de Fresnel-Kircho : ˜ f2(x0, y0) = i λLe −ikLZ ∞ −∞ Z ∞ −∞ ˜ f1(x, y)exp −iπ λL h (x0− x)2+ (y0− y)2idxdy. (22) En coordonnées cylindriques avec des composantes optiques ayant une symétrie de révolution, l'intégrale de Huygens-Fresnel prend la forme suivante :
˜ f2(r0) = i2π λLe −ikL Z ∞ 0 ˜ f1(r)exp h−iπ λL(r 02− r2)iei2πθkrJ 0 2πrr0 λL rdr. (23)
Cette dernière équation de propagation sera utile dans le cadre de ce projet de maîtrise pour atteindre l'objectif d'approfondir les connaissances théoriques entourant le GRIN-axicon.
Corps du mémoire
Le chapitre 1 se concentrera sur la théorie entourant le GRIN-axicon. Dans un premier temps, le pro l d'indice de réfraction sera dérivé et on montrera qu'une GRIN possédant un pro l d'indice en sécante hyperbolique permet de générer un anneau focal à sa sortie. Avec l'équation de cet anneau focal, on utilisera les équations de propagation pour montrer qu'on obtient un faisceau Bessel-Gauss après le passage à travers une lentille simple. Divers paramètres dont la longueur de la ligne focale, le facteur de qualité et la distance de Rayleigh seront explicités. Or, on verra que la résolution des équations de propagation proposées dans ce chapitre possède ses limites et ne parvient pas à décrire exactement le cas du GRIN-axicon.
Le chapitre 2, présenté sous forme d'un article scienti que, propose une solution plus com-plète aux équations de propagation abordées dans le chapitre 1. On parvient ainsi à résoudre analytiquement les champs de l'anneau focal et du faisceau Bessel-Gauss générés par une len-tille torique, une composante optique analogue au GRIN-axicon. On énoncera également les avantages d'utiliser une lentille torique (ou un GRIN-axicon) au lieu de l'axicon réfractif usuel. Dans le chapitre 3, on abordera la méthode de design du GRIN-axicon. On analysera l'in uence des diérents paramètres de fabrication (comme le rayon de l'anneau focal, la variation maxi-male d'indice de réfraction et la longueur focale de la lentille à transformée de Fourier) sur le dimensionnement de la ligne focale obtenue. Cela permettra d'établir une relation mathé-matique entre les paramètres du GRIN-axicon et de l'axicon réfractif usuel a n que les deux composantes génèrent une ligne focale de même longueur.
Le chapitre 4 présentera nalement les résultats expérimentaux du GRIN-axicon fabriqué par procédé MCVD. Ce chapitre sera présenté sous forme d'article scienti que. La caractérisa-tion de l'anneau focal et du faisceau Bessel-Gauss sera présentée. On discutera également de l'importance de certains paramètres de fabrication MCVD sur la qualité de la préforme. Finalement, la conclusion à ce mémoire fera un retour sur les objetifs, présentra les limitations du GRIN-axicon ainsi que les perspectives futures de ce projet.
Chapitre 1
Dérivation du pro l d'indice de
réfraction et propagation
Ce chapitre introduit la théorie du GRIN-axicon en deux parties. La première partie présente la dérivation complète du pro l d'indice de réfraction dans le but d'obtenir une GRIN qui produit un anneau focal à sa sortie. Il est à noter qu'une dérivation similaire a déjà été eectuée dans le mémoire de maîtrise de Jason Guénette [7]. Cependant, le chemin emprunté ici est diérent et une analyse basée sur la géométrie du tracé de rayons permet de déterminer la longueur de la ligne focale en fonction des paramètres du GRIN-axicon. Dans la seconde partie, l'analyse du GRIN-axicon est eectuée du point de vue de l'optique diractionnelle. Les intégrales de propagation sont résolues pour déterminer l'équation de l'anneau focal lorsque le composant est illuminé par une onde gaussienne. Cela permet ensuite de démontrer qu'on génère un FBG lorsqu'une lentille à transformée de Fourier (LFT) est placée à une distance focale de l'anneau. Les caractéristiques de ce FBG dont le facteur de qualité et la distance de Rayleigh sont également calculées.
Note sur la nomenclature utilisée : la GRIN réfère seulement à la composante générant l'anneau focal alors que le GRIN-axicon réfère à la combinaison de la GRIN et d'une lentille simple, dénotée lentille à transformée de Fourier (LFT). La longueur focale de cette LFT sera toujours dénotée fF T.
1.1 Dérivation du pro l d'indice de réfraction
1.1.1 Équation des rayons méridionaux
L'objectif de cette section est de déterminer le pro l d'indice radial d'une GRIN a n de générer un anneau de lumière à sa sortie. L'équation du pro l d'indice doit être exacte pour mener à une propagation parfaitement périodique des rayons à l'intérieur de la GRIN, contrairement à la solution trouvée par Gonzalez et al. [6]. Tel que mentionné plus haut, l'indice de réfraction
varie de manière radiale :
n = n(r). (1.1)
Notons qu'on utilise ici des coordonnées cylindriques, que nous dé nissons par les variables r, z et φ. Le trajet des rayons méridionaux obéit à l'équation diérentielle de propagation des rayons [34], soit c20d 2r dz2 = 1 2 dn2 dr , (1.2)
où c0 est une constante reliée aux conditions initiales. C'est la valeur de cette constante qu'on
cherche à déterminer. On peut intégrer l'éq (1.2) une fois pour obtenir dr dz 2 = n 2(r) − c2 0 c2 0 . (1.3)
Les conditions initiales décrivent la position des rayons à l'entrée de la GRIN. On considère donc que les rayons partent tous d'un même point dans la direction +z avec un angle γ0 tel
que
dr
dz = tan γ0; z = 0 ; r = 0. (1.4)
En appliquant les conditions initiales à l'éq. (1.3), on obtient une expression simple de c0,
1 + tan2γ0=
n20 c2 0
. (1.5)
On utilise les identités trigonométriques 1 + tan2(x) = sec2(x) et 1/ sec(x) = cos(x) pour
obtenir nalement :
c0 = n0cos γ0. (1.6)
1.1.2 Recherche d'une solution périodique
Solution de n(r)
On recherche une solution périodique en z et qui ne dépend pas de la condition initiale c0
(c'est-à-dire qui est valide pour toute valeur d'angle d'entrée γ0). Ansatz :
F (r(z))est périodique en z. (1.7)
On cherche alors à déterminer cette fonction périodique F , qui obéit à l'équation suivante : d2F
dz2 = −α
2F. (1.8)
La dérivée dF/dz peut s'exprimer comme une dérivée en chaîne, dF dz = dF dr · dr dz. (1.9)
En eectuant la dérivée seconde de cette dernière dérivation en chaîne, on obtient d2F dz2 = d2r dz2 dF dr +d 2F dr2 dr dz 2 = −α2F. (1.10)
En remplaçant les dérivées de r par les expressions (1.2) et (1.3), on retrouve une équation diérentielle de F où il est possible d'isoler c0.
1 2 dn2 dr 1 c2 0 dF dr + d2F dr2 n2(r) − c2 0 c2 0 = −αF (1.11) n2d 2F dr2 + 1 2 dn2 dr dF dr = c 2 0 d2F dr2 − αF (1.12) On cherche une solution de F qui est indépendante de la constante c0. Par conséquent, on veut
que le côté droit de l'égalité multipliant c0 s'annule. Ainsi, on retrouve la condition suivante :
d2F
dr2 = αF. (1.13)
Pour respecter l'égalité de l'éq. (1.12), le côté gauche de l'équation doit également être nul : n2d 2F dr2 + 1 2 dn2 dr dF dr = 0; (1.14) nd 2F dr2 + dn dr dF dr = 0. (1.15)
Une manière de respecter cette égalité est de poser que n et dF/dr sont des constantes. De cette manière, leurs dérivées respectives sont nulles, permettant que les deux termes de l'éq. (1.15) soient nuls. Ainsi,
ndF
dr =cte = D0. (1.16)
Cela permet de trouver la solution de n :
n = DdF0
dr
. (1.17)
Solution de F
Rappelons qu'on souhaite résoudre l'équation diérentielle de F (éq. (1.13)) : d2F
dr2 = αF. (1.18)
On remarque qu'il s'agit d'une équation diérentielle ordinaire de second degré. La solution est bien connue et est donnée par
F = A0eαr+ B0e−αr. (1.19) Quant à la dérivée de F , dF dr = αA0e αr− αB 0e−αr. (1.20)
A n d'évaluer les constantes A0 et B0 de cette dernière équation, on recherche le maximum
de n(r) en prenant sa dérivée. dn(r)
dr = 0à r = a0 =⇒ αA0e
αa0 − αB
B0 = −A0e2αa0 (1.22)
L'équation du pro l d'indice n(r) à partir de l'éq. (1.17) s'écrit donc de la manière suivante : n(r) = D0/α A0(eαr+ e−αre2αa0) (1.23) = cte eα(r−a0)+ e−α(r−a0) (1.24) = cte cosh α(r − a0) (1.25) = n1sech α(r − a0). (1.26)
La fonction n(r) atteint un maximum lorsque r = a0. Ainsi, n(a0) = n1 tel qu'on peut
l'observer sur la g. 1.1. On remarque également que le pro l d'indice de réfraction possède une discontinuité à la position r = 0. Rappelons qu'une telle caractéristique est inhérente à la technique de fabrication MCVD. Ainsi, il s'agit d'une technique de choix dans le cadre de ce projet. Position radiale Indice de réfraction 0 -a0 a0 2a0 -2a0 n1 n0
Figure 1.1 Pro l d'indice de réfraction en sécante hyperbolique de la GRIN.
1.1.3 Calcul de la propagation des rayons
Dans la dernière section, nous avons montré que pour une distribution d'indice n(r) = n1 sech α(r − a0), tous les rayons partant de la position initiale r0 = 0 se retrouvent au
même point, de manière périodique, quel que soit leur angle de départ γ0. On doit
mainte-nant calculer la propagation r(z) pour cette distribution. Reprenons l'éq. (1.3) pour réécrire l'élément de longueur dz : dz = c0 Z r r0 dr pn2(r) − c2 0 avec n2(r) = n2 1sech2α(r − a0). (1.27)
Le résultat de l'intégrale de la forme R √dx
a2−x2 est bien connu et donne une solution sin
−1(x/a).
Après quelques manipulations mathématiques, on trouve une solution à l'intégrale de dz, soit
dz = sin−1 sinh α(r − a) a − sin−1 sinh α(r0− a) a avec a2 = n21 c20 − 1. (1.28) Posons que Φ0= sin−1
sinh α(r
0−a)
a . En considérant que Φ0 est petit, on trouve que
dz = sin−1 sinh α(r − a) a − sin−1Φ0 (1.29) sinh α(r − a0) a = sin(dz + sin −1Φ 0) (1.30) sinh α(r − a0) = a sin(dz + Φ0) (1.31)
= a sin Φ0cos dz + a cos Φ0sin dz (1.32)
Les termes en Φ0 peuvent être exprimés de la manière suivante, après plusieurs manipulations
mathématiques qui ne seront pas démontrées ici :
a sin Φ0= sinh α(r0− a0); (1.33) a cos Φ0 = s n21 c2 0 − cosh2α(r0− a0). (1.34)
D'autre part, on peut montrer que dz dr r=r0;z=0 = a cos Φ0 cosh α(r − a0) . (1.35)
On obtient nalement que r(z) obéit à la relation (1.36). La propagation des rayons est illustrée à la g. 1.2.
sinh α(r − a0) = sinh α(r − a0) cos αz + cosh 2(r0− a0)
dr dz z0=0 sin αz (1.36) 1.1.4 Exemples d'application SELFOC
Soit le cas où r0 = 0 à z = 0. Nous avons (dr/dz) = tan γ0. L'équation de r(z) trouvée
précédemment s'écrit donc de la manière suivante :
sinh α(r − a0) = − sinh αa0cos αz + cosh 2a0tan γ0sin αz (1.37)
Position axiale z Position radiale r a 0 -a0 π/α 0 2π/α γ0
Figure 1.2 Propagation périodique des rayons dans la GRIN ayant un pro l d'indice de réfraction radial en sécante hyperbolique.
Position axiale z
Position radiale
r
π/2α 0
Figure 1.3 Tracé de rayons du SELFOC.
Génération d'un anneau focal
Soit le cas où z = 0, r = r0 et (dr/dz) = 0. L'équation de r(z) devient donc
sinh α(r − a0) = sinh α(r0− a0) cos αz. (1.38)
Pour cette situation, αz = π/2 et r = a0. En d'autres termes, tous les rayons se retrouvent à
la position radiale r = a0 et forment un anneau dont la pente est la suivante :
dr dz
cosh α(r − a0) = − sinh α(r0− a0) sin αz. (1.39)
Lorsqu'on évalue cette relation à αz = π/2, on obtient dr
dz
αz=π/2
= − sinh α(r0− a0). (1.40)
Position axiale z
Position radiale
r
π/2α 0 a0 -a0Figure 1.4 Tracé de rayons du GRIN générant un anneau focal.
1.1.5 Chemin optique
Dans cette section, montrons que la longueur de parcours des diérents rayons se propageant dans la GRIN demeure toujours constante, respectant ainsi le principe de Fermat [11]. Rap-pelons l'équation de propagation des rayons dans la situation où l'on génère un anneau focal (éq. (1.38)) :
sinh α(r − a0) = sinh α(r0− a0) cos αz. (1.41)
Nous avons également montré précédemment que l'équation du pro l d'indice peut s'écrire de la manière suivante : n(r)2 = n 2 1 cosh2α(r − a0) = n 2 a + sinh2α(r − a0) . (1.42)
En combinant les éq. (1.42) et (1.38), on peut réécrire l'indice de réfraction n tel que vu par le rayon r0 selon z n2(r) = n 2 1 cosh2α(r − a0) = n 2 1 1 + sinh2α(r0− a0) cos2αz . (1.43)
La longueur optique Lop vue par ce rayon est calculée avec
Lop=
Z
nds. (1.44)
Dans cette dernière équation, ds représente un élément de parcours optique et peut donc être exprimé par ds = n
c0dz. Ainsi, on retrouve donc l'expression du parcours optique pour un
rayon partant de r0 à z = 0 : Lop= 1 c0 Z n2dz (1.45) = n 2 1 c0 Z y0 0 dz 1 + sinh2α(r0− a0) cos2αz . (1.46)
Dans la présente situation, (dr/dz) = 0 donc γ0 = 0. Ainsi, c0= n(r0)γ0 = n(r0). Lop= n1cosh α(r0− a0) Z y0 0 dz 1 + sinh2α(r0− a0) cos2αz (1.47) = n1 π 2 lorsque z0= π/2. (1.48)
En conclusion, tous les rayons ont le même chemin optique et sont donc en phase à la sortie de la GRIN lorsqu'ils forment un anneau.
1.1.6 Longueur de la ligne focale
Il est bien connu que le FB constitue la transformée de Fourier d'un anneau in niment mince [11]. C'est la stratégie qui est utilisée pour le GRIN-axicon a n de produire une ai-guille de lumière. En plaçant une LFT à une distance focale fF T de la sortie de la GRIN où
l'anneau est généré, on obtient le faisceau quasi non-diractant souhaité. En considérant une illumination de la composante allant de r = −2a0 et r = 2a0, on cherchera dans cette section
à déterminer la longueur de la ligne focale obtenue à l'aide de la géométrie du tracé de rayons. L'équation de propagation des rayons a été démontrée plus tôt (éq. (1.38)). Cela a permis d'obtenir l'équation de l'angle des rayons lorsque ceux-ci convergent à αz = π/2 pour former l'anneau focal (éq. (1.40)) : dr dz αz=π/2 = − sinh α(r0− a0). (1.49)
Posons que |θ0| est l'angle des rayons extrêmes tout juste avant de sortir de la GRIN tel
que montré à la g. 1.5. Dans le cas du rayon se propageant vers le haut, on peut écrire
Figure 1.5 Tracé des rayons aux limites à travers le GRIN-axicon.
dr dz
= tan θ0. L'ouverture de la GRIN allant de 0 à 2a0, on trouve donc les restrictions
suivantes :
tan θ0 = ± sinh αa0; (1.50)
Réécrivons l'expression du sinus dans le but de trouver une relation entre θ0 et les indices de
réfraction. Pour ce faire, rappelons que l'expression du pro l d'indice de réfraction à l'entrée de la GRIN est la suivante :
n(r = 0) = n0= n1sechαa0 (1.52)
On a donc
sin2θ0 = tanh2(αa0) = 1 −sech2αa0 = 1 −
n2(0) n2 1 = n 2 1− n20 n2 1 (1.53) ≈ (n1+ n0)(n1− n0) n2 1 ≈ 2∆n n2 1 (1.54) Puisque la variation d'indice de réfraction ∆n est très petite, on a que 2∆n
n2 1 1. Ainsi, on a que θ0≈ √ 2∆n n1 est petit. (1.55)
À partir de cette constatation, il est possible de poursuivre le problème en utilisant l'approxi-mation paraxiale.
Puisqu'on génère un anneau focal à la sortie de la GRIN, une lentille est utilisée a n d'eectuer la transformée de Fourier et produire le FB voulu. On souhaite maintenant déterminer la profondeur de champ du FB correspondant à ∆z illustré sur la g.1.5. Les angles extrêmes à la sortie de l'interface GRIN-air (±θout) peuvent être trouvés à l'aide de la relation de Snell,
n1θ0 ≈ nairθout =⇒ θout≈ ±
n1
nairn1
√
2∆n. (1.56)
Il est possible d'utiliser le formalisme matriciel pour déterminer la profondeur de champ. Cette dernière est calculée en faisant la diérence de position du croisement avec l'axe optique des rayons ayant un angle de ±θout. Le système matriciel comprend la propagation des rayons dès
la sortie de la GRIN jusqu'au croisement de l'axe optique derrière la lentille : " yz = 0 θz # = " 1 − z/fF T fF T −1/fF T 0 # " a0 ±θout # (1.57) =⇒ 0 = a0(1 − z/fF T) ± θoutfF T (1.58) z = fF T ± θoutfF T2 a0 (1.59)
La profondeur de champ ∆z peut donc être déterminée avec l'éq. (1.60) en posant nair= 1.
∆z = 2θoutf 2 F T a0 − 2fF T = 2fF T2 a0 √ 2∆n − 2fF T (1.60)
1.2 Propagation
Les équations de la section précédente étant résolues de manière exacte, on peut déduire que l'anneau focal à la sortie de la GRIN sera parfait et donc limité par la diraction. Il est possible de le démontrer en utilisant les intégrales de diraction pour eectuer la propagation d'un faisceau gaussien (FG) à travers la GRIN. Par la suite, on montrera qu'en présence d'une LFT, on retrouve bien un FBG. Les caractéristiques de ce FBG comme les moments d'ordre 2, le facteur de qualité et la distance de Rayleigh seront explicités. À noter que dans cette section, les constantes multiplicatives ne seront pas conservées dans les équations pour des ns de clarté et de simplicité.
1.2.1 Champ de l'anneau focal
La dérivation de la section 1.1 est eectuée par analyse spectrale, en assumant τ = sin θ = ± tanh αa0 (éq. (1.51)). Cette notation sera réutilisée pour résoudre les intégrales dans cette
section. Soit un FG ayant la forme e−r2/ω2
0 incident sur le GRIN. Le champ incident peut donc
être exprimé par
A(τ ) = Z ∞
0
e−r2/ω20J
0(krτ )rdr. (1.61)
La relation 6.631 (4) des tables d'intégration de Gradshteyn et Ryzhik [35] permet de résoudre l'intégrale pour trouver
A(τ ) → e
−k2ω20 τ2
4 . (1.62)
À la sortie de la GRIN, le champ de l'anneau focal se trouve à l'aide de l'intégrale U0(r) =
Z τo
−τ0
A(τ )J0(ka0τ )J0(krτ )τ dτ. (1.63)
Comme mentionné plus tôt, τ = sin θ = tanh(αr0− αa0). La GRIN étant limitée radialement
entre r = 0 et r = 2a0, on trouve donc
r0 = 0 =⇒ τ0 = − tanh(αa0) et r0 = 2a0 =⇒ τ0 = tanh(αa0). (1.64)
On a également que α ∝ 1/F , où F constitue la longueur focale de la GRIN. Ainsi, si
a0
F 1, τ0≈ a0
F. On a donc comme onde d'entrée
A(τ0) → e
−k2ω20 a20
4F 2 , (1.65)
avec ω0 λ. Choisissons une valeur de ω0 de manière à ce que la majeure partie de la
gaus-sienne soit comprise dans le diamètre de la GRIN. De cette manière, on se permet d'intégrer de −∞ à +∞ au lieu de se restreindre aux bornes de la GRIN, générant ainsi une intégrale moins compliquée à résoudre :
U0(r) ≈ Z ∞ 0 e −k2ω20 a20 4F 2 J0(ka0τ )J0(krτ )τ dτ. (1.66)
Cette équation peut être résolue aisément à l'aide de la relation 6.633 (2) des tables d'intégra-tion [35]. On trouve ainsi,
U0(r) ≈ e −k2ω20 4F (a 2 0+r2)I0 k 2ω2 0a0r 2F2 , (1.67)
où I0 est la fonction de Bessel modi ée de première espèce. Ces fonctions ont comme propriété
que I0(x) → ex lorsque x → ∞. On trouve donc
I0 k2ω2 0a0r 4F2 → e k2ω20 a0r 2F 2 (1.68)
Le champ de l'anneau focal à la sortie de la GRIN est donc donné par U0(r) ≈ e
−k2ω20 (r−a0)2
4F 2 . (1.69)
1.2.2 Champ à une distance focale d'une lentille à transformée de Fourier
Si on ajoute une lentille simple de focale fF T à une distance focale de la sortie du GRIN,
l'équation du champ derrière cette lentille s'écrit U (r0) = i kfF T Z ∞ 0 U0(r)e −ikr 2fF TJ0(krr0)rdr, (1.70)
où r0 dénote la position radiale dans le plan du faisceau propagé alors que r constitue la
position radiale dans le plan initial de l'anneau focal. Avec la relation 6.633 (4) des tables d'intégration [35], on trouve U (r0) → e −r02 ω20 J 0 ka0r0 fF T . (1.71)
Il s'agit de l'équation d'un FBG. En somme, la résolution des équations de propagation a permis de déterminer le champ de l'anneau focal à la sortie de la GRIN et de montrer que la propagation de ce champ à travers une lentille simple mène à un FBG, tel qu'attendu. À partir de l'équation du FBG, il est possible de calculer les moments d'ordre 2 et le facteur de qualité du faisceau obtenu. La démarche utilisée pour la résolution est basée sur celle proposée par Herman et Wiggins [36] ainsi que Borghi et Santarsiero [37]. Le moment d'ordre 2 est dé ni par
M2 = 2πσ0σ∞, (1.72)
où σ0 et σ∞ sont les distributions d'intensité au plan d'étranglement et en champ lointain
respectivement. Au plan z = 0, on a montré précédemment qu'on obtient un FBG ayant la forme suivante :
U (r) = Ae−r2/ω20J0(βr), (1.73)
où A est l'amplitude et β = ka0/fF T et r est la position radiale dans le plan du FBG. Pour
le champ lointain, on utilise la relation 6.633 (2) des tables d'intégration du Gradshteyn [35] pour trouver
˜
U (ν) = e−π2ω20ν2I0(πβω2
Les moments d'ordre 2 sont par dé nition : σ02= R∞ 0 |U |2r3dr R∞ 0 |U |2rdr et σ2∞= R∞ 0 | ˜U |2ν3dν R∞ 0 | ˜U |2νdν . (1.75)
La résolution des intégrales constituant les moments d'ordre 2 sont ardues et impliquent des fonctions hypergéométriques. Pour éviter cela, on dé nit les deux fonctions suivantes :
F1(α) = Z ∞ 0 J02(βr)e−αr2rdr, (1.76) F2(α) = Z ∞ 0 I02(δν)e−αν2νdν. (1.77) On retrouve donc : σ20 = − F 0 1(α) F1(α) et σ∞2 = − F0 2(α) F2(α) . (1.78)
Il est à noter que les dérivations sont faites par rapport à la nouvelle variable α. Avec la relation 6.633 (2) des tables d'intégration [35] et la relation In(x) = inJn(−ix), on trouve :
F1(α) = 1 2αI0 β2 2α e−β22α ; (1.79) F10(α) = −1 2α2e −β2 2α I0 β 2 2α 1 +β 2 2α I1(β2/2α) I0(β2/2α) − 1 . (1.80)
Cela permet d'écrire
σ20 = ω 2 0 2 1 + γ I1(γ) I0(γ) − 1 . (1.81)
Une démarche similaire peut être eectuée pour trouver σ∞:
σ∞2 = 1 2π2ω2 0 1 + γ I1(γ) I0(γ) + 1 . (1.82)
On trouve ainsi l'expression de M2, soit
M2 = " 1 + γI1(γ) I0(γ) 2#1/2 (1.83)
Lorsque βω → ∞, on obtient le cas asymptotique où il est possible d'utiliser l'approximation In(x) → e
x
√ 2πx
1 −4n8x2−1. On trouve alors que les moments d'ordre 2 sont :
σ0 = ω02 2 et σ∞= ka0 2πfF T . (1.84)
Dans cette situation, le facteur de qualité M2 devient :
M2= ka0ω0 2fF T
En connaissant le facteur de qualité M2, il est possible de calculer la distance de Rayleigh.
Celle-ci correspond à la distance sur laquelle l'aire de la section du faisceau est doublée. Tel que dé nit par Herman and Wiggins [36], la distance de Rayleigh pour un FBG correspond à
zR,F BG= kω0 2M2 = ω0fF T a0 . (1.86)
À ce stade, une comparaison peut être eectuée avec le FG dont le paramètre M2et la distance
de Rayleigh sont bien connus [38]. Pour ce type de faisceau, on a que zR,F G = kω20/2. Ainsi,
le ratio entre les distances de Rayleigh pour les FBG et FG donné par : zR,F BG
zR,F G
= 2fF T a0ω0
. (1.87)
Pour des valeurs réalistes de ω0 = 0.3 mm, fF T = 50 mm et a0 = 0.2 mm, on obtient
zR,F BG/zR,F G= 1.67 × 103. Ce ratio montre bien que la profondeur de champ du FBG généré
par un GRIN-axicon dépasse largement celle d'un FG.
1.3 Sommaire
Dans ce chapitre, on a d'abord dérivé le pro l d'indice de réfraction en sécante hyperbolique permettant de générer un anneau focal à la sortie d'une GRIN. L'équation de la longueur de la ligne focale a également pu être déterminée en fonction des paramètres du GRIN-axicon. Par la suite, les équations de diraction ont été résolues et ont montré que le GRIN-axicon permettait de générer un faisceau Bessel-Gauss lorsqu'il est illuminé par un FG.
Il est important de mentioner que la résolution des équations de propagation comporte des limitations. Celle-ci est approximative ne tient pas en compte de la géométrie particulière du problème. En eet, lorsque la GRIN est irradiée par un faisceau d'intensité uniforme, il faut tenir en compte que l'illumination ne provoque pas une répartition égale de l'intensité au l de la propagation. Davantage d'intensité provient de la périphérie de la composante que de son centre. Conséquemment, lorsque ces rayons se propagent et interfèrent pour former un FBG derrière la LFT, on obtient un pro l d'intensité axial qui n'est pas une droite constante. Ce phénomène est également présent pour l'axicon, et cela se témoigne par une ligne focale d'intensité croissante lorsqu'il est illuminé par une onde plane uniforme.
A n de tenir en compte de ce phénomène, les équations de propagation doivent être résolues à nouveau de manière plus complète. C'est ce qui sera présenté dans le chapitre 2, sous forme d'article scienti que. À noter que la résolution sera eectuée pour une lentille torique, composante analogue et très similaire à la GRIN en ce qui concerne son fonctionnement. Le développement présenté s'applique donc totalement au cas du GRIN-axicon.
Chapitre 2
Toric lens analysis as a focal ring and
Bessel beam generator
2.1 Résumé
Nous proposons une solution analytique de l'anneau focal généré au foyer d'une lentille torique. Le champ analytique de l'anneau focal est combiné à une lentille à transformée de Fourier pour générer un faisceau de Bessel. Une analyse comparative entre l'utilisation d'une ouverture annulaire illuminée, d'un axicon et d'une lentille torique pour générer un faisceau de Bessel est eectuée et les avantages et inconvénients de chacun sont discutés. Cette analyse met en évidence les avantages de l'utilisation d'une lentille torique avec un faisceau gaussien pour produire une ligne focale d'intensité croissante, ce qui est avantageux pour des applications telles que la microscopie à grande profondeur de champ.
2.2 Abstract
We propose an analytical solution of the focal ring generated at the focus of a toric lens. The analytical eld of the focal ring is used with a Fourier transform lens to generate a Bessel beam. A comparative analysis between the use of an illuminated annular aperture, an axicon and a toric lens to generate a Bessel beam is performed and the bene ts and drawbacks of each is discussed. This highlights the advantages of using a toric lens with a Gaussian beam to produce a focal line of increasing intensity, which is advantageous for applications such as high depth-of- eld microscopy.
2.3 Introduction
Focal ring generation is widely used in areas such as optical manipulation [1] and laser particle acceleration [2]. Using this focal ring in combination with a lens leads to the generation of
quasi-diractionless Bessel beam, nding application in high depth-of- eld microscopy [3]. For example, it is known that an increasing axial intensity pro le of the Bessel beam is advanta-geous for deep- eld microscopy as this compensates for losses caused by tissue scattering [4;5]. Therefore, knowing the radial and axial intensity pro les of the Bessel beam in order to be able to control and make them suitable for a particular application is desirable [6;7].
Durnin and Miceli rst suggested the use of an annular aperture illuminated by a laser to pro-duce a Bessel beam [8]. The diraction analysis of such an annular aperture has already been carried out and a solution was obtained for the axial intensity distribution of the Bessel beam generated in the presence of a Fourier transform lens. However, other methods were proposed to counter the loss of light intensity caused by the aperture. For example, a lens-axicon dou-blet or a toric lens can be used to generate focal rings [9;10]. The analytical equation of the lens-axicon doublet's focal ring is also well known [11] but this optical system is not perfect as the tip of the axicon makes it di cult to manufacture and causes optical aberrations [12]. To overcome this problem, some authors have suggested the use of a logarithmic axicon, which the fabrication needs more advanced techniques than the usual linear axicon [13; 14]. The use of a toric lens also avoids the axicon tip problem, although this component has not been widely studied. Indeed, for the toric lens, no diractional analysis has been performed. With the advanced fabrication tools to fabricate freeform optics, toric lens is now of interest to be used in the generation of Bessel beam.
In this paper, we perform diraction analysis of a toric lens illuminated by a monochromatic plane wave and we discuss the bene ts and drawbacks of using this component to generate Bessel beams suitable for speci c applications. In the next section, we solve the diraction integral and we derive an analytical solution of the focal ring generated by the toric lens. Section 2.5 describes the solution of the propagated beam through a Fourier transform lens and along the propagation axis (i.e. z axis). The eld and intensity pro les are compared with simulations that are performed with CODE V software [15]. In section 2.6, we make a comparative analysis of the Bessel beams produced by an illuminated annular aperture, the toric lens and an axicon.
2.4 The focused ring
2.4.1 Derivation of the diraction integral
We start by looking for the electric eld of the focal ring (E(q)) generated by a toric lens with the geometry presented in Fig.2.1.
To get the diraction integral, we start from the Huygens-Fresnel principle with spherical wavelets written as [16] :
dE = A
r E0(x, y)e
Figure 2.1 Toric lens and the coordinate system used for the diractional analysis.
where A is the source strength per unit area, E0(x, y) is the initial electric eld, k = 2π/λ is
the wavevector and f is the focal length of the toric lens. The term φ (x, y) is added to take into account the phase delay of the toric lens. The distance r indicated in Fig. 2.1 can be expressed as
r = q
z2+ (X − x)2+ (Y − y)2. (2.2)
Note that (x, y) stand for the toric lens plane and (X, Y ) are used for the focal ring plane. Using the binomial approximation,
r ≈ z 1 +1 2 X − x z 2 +1 2 Y − y z 2! . (2.3)
Since we aim to obtain an analytical solution, we use the paraxial and thin lens lens approxi-mations to make the equations solvable. These approxiapproxi-mations introduce errors for toric lenses with large ring radius, which is a limitation of our analytical solution. The phase delay caused by the toric lens φ (x, y) considering the aberrations can be written as
φ (x, y) = k h
p(x2+ y2) − ai2
f2 (2.4)
where a is the radius of the annular focus (or half the radius of the whole toric lens). Combining Eq. (2.3) and Eq. (2.4) into Eq. (2.1), with the approximation A
r ≈ A
f we obtain at z = f
dE = A
f E0(ρ, θ)e
i(ωt−kf )e−ik(X2+Y 22f )
e−ik (x2+y2) 2f · e−ik (Xx−Y y) f eik (√x2+y2−a)2 2f ds. (2.5)
The following change of coordinates from cartesian to cylindrical is performed and the expres-sion of dE is rewritten (Eq. (2.7)).
x = ρ cos θ ; y = ρ sin θ ; X = q cos Θ,
Y = q sin Θ ; ds = ρdρdθ, (2.6) dE = A f E0(ρ, θ)e i(ωt−kf )e−ikq2 2f e− ikρ2 2f e ikρq f cos (θ−Θ)e ik(ρ−a)2 2f ρdρdθ. (2.7)
To add up the contribution of each wavelet, we integrate dE over the aperture of diameter to obtain the eld E as
E(q) = A f e i(ωt−kf +ika2 2f )e− ikq2 2f · Z 2a ρ=0 Z 2π θ=0 E0(ρ, θ)e ikρq f cos (θ−Θ)e −ikρa f ρdρdθ. (2.8) Knowing Z 2π θ=0 e ikρq f cos (θ−Θ)= 2πJ0 kρq f , (2.9)
if E0 is independent of θ, then Eq. (2.8) becomes
E(q) = 2πA f e i(ωt−kf +ika22f ) e−ikq22f Z 2a ρ=0 E0(ρ)J0 kρq f e −ikρa f ρdρ. (2.10)
In order to get the analytical solution of the annular focus generated by the toric lens, we must solve the integral of Eq. (2.10). This integral is a Hankel transform which is quite complex to solve since it does not appear in any table of integrals.
If one would want to introduce aberration in this model, then Eq. (2.8) should be solved numerically using the aberration phase terms.
2.4.2 Solving the diraction integral - uniform illumination
From the integral of Eq. (2.10), we need to perform the following change of variable t = ξr
2a ; ξ =
k2a2
f . (2.11)
Using the Bessel expansion
J0(λt) = ∞ X n=0 (1 − λ2)n n! t 2 n Jn(t), (2.12)
and from the integral tables [17], g(ξ)n+1,n= Z ξ 0 e−itJn(t)tn+1dt, (2.13) = −e−iξξn+1 Jn+1(ξ) + ξ 2n + 3{Jn+2(ξ) − iJn+1(ξ)} , (2.14)
one can nd the eld solution at the focal point of the toric lens as
E(q) = −2πA f e i ωt−kf +ka22f e−ikq2f 4a 2 ξ e −iξ ∞ X n=0 ξ 2(1 − q a 2 )n n! · Jn+1(ξ) + ξ (2n + 3){Jn+2(ξ) − iJn+1(ξ)} , (2.15)
recalling that ξ = k2a2
f . For typical experimental setting illuminated by a visible light source,
the variable ξ is quite large. For example, taking a = 2 mm, f = 10 mm and λ = 587 nm, ξ tends to 104. Thus, one can approximate Eq. (2.14) using the following Bessel approximation
Jn(ξ) ≈ r 2 πξ cos ξ − π 4 − n π 2 . (2.16)
An approximated solution of the eld is then E(q) = −2πA f2 e iωt−kf +ka2 2f e−i kq2 f 8ka4ei3π4 · ∞ X n=0 −ika2 f (1 − q a 2 )n n!(2n + 3) . (2.17)
Finally, one can use the de nition of the con uent hypergeometric function to replace the summation term of Eq. (2.17)
e−i3π4 ∞ X n=0 ika2 f (1 − q a 2 ) n n!(2n + 3) = 1F1 3 2 5 2 − ika 2 f q a 2 − 1 ! . (2.18)
Figure 2.2 Field solution at the focus of a toric lens with a = 2 mm, f = 10 mm and λ = 587 nm. (a) intensity, and (b) phase. The maximum relative error between the numerical and analytical solutions for the toric lens is 1.2 %.
Fig. 2.2 shows the electric eld solution for a toric lens with radius a = 2 mm and a focal length of f = 10 mm. At the focal point, the intensity reaches a maximum at the radial position q = a = 2 mm as expected and it is symmetrical about it. However, the phase and the amplitude are asymmetric. This rather unusual asymmetry in the solution is due to the particular geometry of the problem. Indeed, the density of rays at the periphery is higher for the toric lens than at the center. However, at the focal position of the toric lens, all these dierent contributions overlap, leading to the centered intensity pro le observed for the numerical and approximation solution of the toric lens. The analytical approximate solution of Eq. (2.17) and the numerical solution of the integral of Eq. (2.10) are in good agreement.
To compare to a similar optical setup, an annular aperture solution is also presented. It is modelled by a sharp-edge function placed in the q plane as shown in Fig. 2.2. The dimension of the aperture was chosen according to Durnin relation between the aperture dimension d and the Bessel beam distribution after the focusing lens (i.e. J0[k sin arctan{2fd}]) [8]. Using
a t on the radial distribution of the beam obtained by the toric lens system (see Fig. 2.3), the dimension d can be obtained and compared to the proposed mathematical description of a toric lens.
We also want to verify if optical design softwares such as CODE V take into account this asymmetry in ray density. Using CODE V's beam synthesis propagation tool, we rst deter-mined the intensity pro le of the focal ring (Fig. 2.2(a). Note that we have modelled a real toric lens, i.e. one that does not suppose the paraxial and thin lens approximations previously used to obtain the analytical eld equation. Thus, the modelled toric lens in CODE V has an aspherical pro le whose conic constant is −n2. This is done in order to remove spherical
aberration and reduce the other aberrations on the axis (n is the refractive index of the lens, here we arbitrarily chose a lens composed of BK7). As expected, the radial intensity pro le at the focal point of the toric lens ts well the other results found with mathematics.
2.5 Field after a Fourier transform lens
To propagate the eld of the annular focus further, the Fresnel-Kirchho diraction will be used. The eld distribution ˜E(q0) at the focus can be obtained following
˜ E(q0) = s i λfF T e−ik2fT F {E(q)} . (2.19) As the incident eld and the toric lens have rotational symmetry, the usual integral consisting in two Fourier transforms (Eq. (2.19)) can be evaluated with the following Hankel transform instead ˜ E(q0) = s i λfF T e−ik2f Z ∞ 0 J0 2πqq0 λfF T E(q)qdq. (2.20)
The numerical computation of Eq. (2.20) enables to nd the intensity pro le of the Bessel beam at a position fF T after the Fourier transform lens. The calculus has been performed
with Mathematica [18] for the incident eld of Eq. (2.15) (which correspond to the toric lens focus), and for the pattern of the annular aperture. Both intensity pro les of the Bessel beams are shown at Fig.2.3(a). One can see that the pro les t and follow the equation J0(kaq0/fF T).
Using this information, it is possible to design the parameters of the toric lens to obtain a given beam. It is also possible to perform computation on the optical axis (i.e. q0 = 0), which
leads to the following distribution ˜ E(0, z) = s i λfe −ik(f +z)Z ∞ 0 e−λfiπ(1− z f)q 2 E(q)qdq. (2.21)
Figure 2.3 (a) Radial intensity pro les at a distance fF T after the Fourier transform lens
and (b) Axial intensity pro les after the Fourier transform lens. The maximum relative error between the numerical solutions and the equation J0(kaq0/fF T) is 2.5 %.
This relation is also computed numerically as no analytical solution seem to be obtainable. The axis intensity pro les after the lens are shown at Fig. 2.3(b) for the numerical solution (toric lens and annular aperture) and the beam synthesis propagation computed with CODE V software.
This on-axis intensity pro le re ects well the asymmetry of the ray density. Although the radial intensity pro les are the same for the toric lens and the annular aperture, the axial intensity of the Bessel beam is very dierent for the two cases. The rays at the periphery of the toric lens have the highest ray density at its focal point. An inversion of the phenomenon is observed in the plane of the Fourier transform lens, i.e. the highest ray density is at its center. Thus, the resulting Bessel beam is more intense near the lens. Similarly, the low ray density around the periphery of the Fourier transform lens causes a low intensity at the very end of the Bessel beam. The on-axis pro le of the Bessel beam generated by the toric lens agrees very well with the CODE V simulation result. This con rms that the CODE V's beam synthesis propagation is a reliable tool for performing diraction calculations with optical components having particular geometries.
2.6 Comparative analysis
The numerical calculations from Section 3 showed that the toric lens coupled with a Fourier transform lens does not produce a perfect Bessel beam since the axial intensity pro le is not constant, but decreases with z. One can observe that the axial Bessel beam pro le generated by the toric lens is the opposite of the axicon : while the axicon produces a focal line of increasing axial intensity when illuminated by an uniform distribution [22;21], the toric lens produces a beam of decreasing intensity.
