Commande prédictive non-linéaire. Application à la production d'énergie.

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production d’énergie.

Manon Fouquet

To cite this version:

Manon Fouquet. Commande prédictive non-linéaire. Application à la production d’énergie.. Autre.

CentraleSupélec, 2016. Français. �NNT : 2016CSUP0003�. �tel-01647173�

N°  d’ordre  :  2016-­‐03-­‐TH  

 

CentraleSupélec  

 

Ecole  Doctorale

 MATISSE  

«  Mathématiques,  Télécommunications,  Informatique,  Signal,  Systèmes  Electroniques  »  

 

Laboratoire de IETR

 

 

THÈSE  DE  DOCTORAT  

 

DOMAINE  :  STIC  

Spécialité  :  Automatique  

 

 

Soutenue  le  30  mars  2016  

 

 

par  :  

 

Manon  FOUQUET  

 

 

Commande  prédictive  non  linéaire  –  Application  à  la  production  d’énergie  

 

 

 

 

 

 

 

 

Composition  du  jury  :  

 

Directeur  de  thèse  :  

Hervé  GUÉGUEN  

Professeur  (CentraleSupélec)  

Co-­‐directeur  de  thèse  :    

Didier  DUMUR  

Professeur  (CentraleSupélec)  

Président  du  jury  :    

Gérard  BLOCH    

Professeur  (Université  Lorraine,  Nancy)    

Rapporteurs  :      

Nicolas  LANGLOIS  

Professeur  (ESIGELEC  Rouen)  

 

Eric  BIDEAUX  

Professeur  (INSA  Lyon)  

Examinateurs  :    

Damien  FAILLE  

Ingénieur  Chercheur  Expert  (EDF)  

 

Alina  VODA  

Maître  de  Conférences  (Université  Grenoble  Alpes)    

Membres  invités  :  

Stéphane  VELUT    

Ingénieur  (Modelon)    

Pendant ette thèse, une de mes meilleures amies a fait naître une petite lle et m'a

ra onté que ela avait été la douleur la plus intense qu'elle ait jamais onnue, mais qu'une

foisl'enfant poséesurelle, lesouvenir même de lasouran es'était évanoui. Ené rivant es

remer iementsquelquesjoursaprèslasoutenan ede emanus rit, jeressensunpeulamême

hose, ertes à une tout autre é helle. De es trois années de travail il ne me reste que e

texte, ave ses qualités et ses défauts,que je vais a epter de ne plus retou her une fois de

plus. Déjà les instants de doute et de fatigue n'ont plus jamais existé et laissent pla e à la

joied'avoirpetitàpetitapprisdes hosesetgagnéensérénité,mêmesi espro essuslentsde

transformation ont souvent lapudeur de passerinaperçus. Je dois dire que j'ai eula han e

d'être entourée pendant toute ette période de personnes formidables qui m'ont permis de

traverser presque sans en ombre ette épreuve personnelle etintelle tuelle tant redoutée au

début.Toutes espersonnesontsu parleurbienveillan e ouleur uriositéprotégermon

opti-mismedela orrosion,etmeguider surdes heminsquejen'auraispeutêtrepasoséprendre

seule.

Jevoudrais ommen erparremer iermesen adrantsDamienFaille,HervéGuéguenetDidier

Dumur qui malgré leurs nombreux engagements ont toujours été présents quand j'en avais

besoin,sansjamaismepriverd'autonomie.Jesuisheureused'avoirpumener eprojetàbout

ave vous. Mer i Damienpour ta uriosité (sans faille!), eslongues dis ussions où les idées

fusaientàunevitessequejen'aipastoujoursréussiàsuivre,etpour etespritde

questionne-ment quim'a permisde larier beau oupde hoses.Mer i Hervéetmer iDidierpour avoir

tousdeuxappuyémontravaildevotreintelligen eetdevotrerigueurave toujoursbeau oup

de gentillesse. Le terme de tuteur que je vous réserve m'a toujours fait sourire ar dans ma

tête il a gardéson sensde soutien pour les pieds de tomates. Mais d'une ertainefaçon j'en

gardel'analogie, vousm'avez permisde ne paspousserdanstousles sens omme jepeuxen

avoirlatendan e,etdedéveloppermeseortsaubonendroitpouryvoirplushaut.Quisais,

lapluie de Rennesapeutêtreaidé elle aussi!

Je voudrais maintenant remer ier mes deux rapporteurs, Ni olas Langlois et Eri Bideaux,

pour avoir pris le temps de lire e manus rit, pour leurs questions et leurs ommentaires

pertinentsquim'ontpermisdeluiapporterlesderniers oupsdepin eaux,ainsiquemes

Je voudrais maintenant témoigner masympathieà toute l'équipedu groupe P12 d'EDFqui

m'aa ueillie pendant ette thèse,labonne ambian equi yrègnem'a étépré ieuse.Mer ià

Marie et Khadra pour leur gestion attentionnée et leur onan e, qui ontribue pour

beau- oup à un limat favorable aux é hanges et à la re her he. Durant es trois années, aller

au travail a rarement été une ontrainte. Mer i à mes voisins de bureau, Thomas, Jessi a,

Edouard, Bruno etLoï pour leur bonne humeur,etleur mauvaise humeur aussiparfoisqui

par unhabile systèmede gagesnousfaisait gagner ungoûter de temps à autre(jene iterai

personne!). Et à tous les autres qui ont aussiété pour moi plus desamis que des ollègues,

Cme, Denis, Romain, Cé ile, Guillaume, Jennifer, Pierre-Louis, Frans, Sylvain, Lorenzo,

Louis,Coralie, Antoine, tousles Brunos, Astrid... Je remer ie aussi Alexandre dont legénie

m'a souvent intimidée malgré des retours toujours onstru tifs, au point que je regrette un

peu denepasavoirplusé hangé surmontravail.Jegarderaiàlapla elesouvenirdeparties

demots- roisés farou heslemidi!ToutemasympathievaaussiauxéquipesdeRenneset de

Gif pour m'avoir si bien reçue, mer i Romain, Pierre, Maxime, Khang, Antoine et Marjorie

pour toutes es dis ussionsintéressantes.

Duringmythesis,IalsospentthreemonthsinLund,Sweden.Iwouldliketothankwarmfully

allthepeopleatModelonandLunduniversitythathelpedmealotwiththeimplementation

of some methods in JModeli a.org. It has been a really produ tive time. A spe ial mention

goes to Fredrik, Toivo, Stéphane and Per-Ola who followed mywork withinterest and gave

meveryinsightful omments.Thankyoualsotoallthosewhomademystaytheresopleasant,

Robert, Lorenzo, Lars, Ylva,Usa, Johan,Anna, Anders,Matthias, Olgaand all thoseI may

have forgotten.

Jeveuxmaintenant remer iertousmesamisquiontfaitla ontingen eetlabeauté

d'aujour-d'hui. Pour beau oup, es ren ontres se sont faites dans desespa es-temps qui ne sont plus

eti i et maintenant, mais quiont façonné le hemin qui m'ya menée. Mer i Raphaëlpour

ta folie dou e, Jeanne, Pauline, Anaïs et Adrien pour votre joie de vivre qui déborde, pour

les rêveurs à l'âme pure, Thomas, Sébastien, Mathilde, Floren e, Robert, Mehdi, Marina,

Camille,pour mesenfantsterriblesetatta hants, Martin,Boris,Gouge,Hugo, Sophie,Alex,

Pierre,Marta, Julien,Paola, Piol,Benoît,JC, Ni o,Hélios,Nata ha,Jérem, Co o,Célia,les

amis"suédois"deMoun,lapromodumastèreOSEetplusgénéralementtous euxren ontrés

esdernièresannées. J'espèren'oublier personne.Vous omptezpour moimalgréletemps et

ladistan e.

Je témoigneaussimaprofondere onnaissan e àtouslesmembresde mafamille quiont

tou-jours ru en moi et m'ont donné la for e de ne pasre uler devant lapeur de l'é he . Mer i

papa de m'avoir toujours laissé voler de mes propres ailes malgré ta peur qu'en me

spé ia-lisant trop je perde un peu de mon âme. Je rois qu'il m'en reste en ore. Mer i maman de

m'avoir appris à aller jusqu'aubout de e quel'on entreprend. Mer i Quentin d'avoir égayé

es années par ta musique. Mer i papy et mamie pour votre exemplarité et votre ourage

malgrédestemps un peu plusdurs en e moment.

Je terminerai par toi Mounir, qui t'es peutêtre plus fatigué que moi pour me rendre la vie

simple pendant e travail. On peutdire que tu asaussi soutenu à ta façon ette thèse et je

suis en admiration devant une telle onstan e, un tel dévouement et une telle humilité. Tu

asune for eet unrayonnement rare. Le jour de lasoutenan e elafaisait quatreans quetu

Table des Figures viii

Liste des Algorithmes ix

A ronymes xii

Nomen lature xvi

1 Introdu tion 1

1.1 Contexteetmotivations delathèse . . . 1

1.2 Ar hite ture de ommande proposéeetorganisation dumanus rit . . . 3

2 Modélisation des entrales d'énergie 5 2.1 Modélisation dessystèmesétudiés. . . 5

2.1.1 Présentation deModeli a . . . 5

2.1.2 Modélisation 0D/1Ddes entrales d'énergie . . . 6

2.1.2.1 Choixdesvariables d'état . . . 7

2.1.2.2 S héma àgrille dé alée (Staggered Grid). . . 7

2.1.2.3 Loisde onservationsur unvolume de ontrle . . . 8

2.1.2.4 Éléments bi-ports . . . 10

2.1.2.5 Modélisationdespropriétés physiques . . . 11

2.1.2.6 Modélisationdesinversionsde débit . . . 13

2.2 Formalisme DAE pour lamodélisation0D/1D . . . 15

2.2.1 EquationsAlgébro-Diérentielles (DAE) . . . 16

2.2.1.1 Équationsdiérentielles ordinaires (ODE)- modèle d'état . . 16

2.2.1.2 DAE Semi-expli ite . . . 16

2.2.1.3 Formegénérale :DAEimpli ite . . . 17

2.2.2 Traitement symbolique desDAE . . . 17

2.2.2.1 Causalisationdeséquations . . . 18

2.2.2.4 Diérentiation automatique . . . 25

2.2.3 Simulation dessystèmesDAE . . . 26

2.2.3.1 Algorithmes d'intégration pour les ODE . . . 26

2.2.3.2 Algorithmes d'intégration pour les DAE . . . 28

2.2.3.3 Algorithmes d'intégration à pas variable, à ordre variable et ontrle de l'erreur . . . 29

2.2.4 Modélisation ausaleeta ausale . . . 29

2.3 Casd'étude . . . 30

2.3.1 Compresseur . . . 30

2.3.2 Modèle simpliéde ogénération . . . 33

3 Optimisation dynamique pour les systèmes hybrides 39 3.1 Problèmed'optimisation dynamiquehybride . . . 39

3.1.1 Problèmed'optimisation dynamique . . . 39

3.1.1.1 Formulationdu problèmede ommande optimale . . . 39

3.1.1.2 Conditionsd'optimalitéenoptimisationdynamique:Prin ipe du minimum . . . 40

3.1.2 Modèles onsidérés etmodesdansles systèmes hybrides . . . 43

3.1.2.1 Aspe tshybridesdansles systèmes énergétiques . . . 43

3.1.2.2 Traitement dessingularités . . . 44

3.1.2.3 Transitionsdansles systèmeshybrides . . . 45

3.1.2.3.1 Typesde transitions . . . 45

3.1.2.3.2 Fon tion de transition . . . 45

3.1.3 Problèmed'optimisation dynamiquehybride. . . 46

3.2 Méthodesdire tes enoptimisation dynamique . . . 47

3.2.1 Choixde laparamétrisation (grille et basede fon tions) . . . 48

3.2.2 Algorithmede tirsimple dire t(Single Shooting) . . . 49

3.2.3 Algorithmede tirmultiple dire t(Dire t Multiple Shooting) . . . 49

3.2.4 Méthode de ollo ation . . . 50

3.2.4.1 Notations utilisées pour les grillestemporelles . . . 50

3.2.4.2 Dis rétisation du problèmede ommande optimale . . . 51

3.3 Méthodespour les problèmes MINLP. . . 54

3.3.1 Dé omposition ontinu/logique, algorithmes Bran h &Bound . . . 55

3.3.2 Reformulations ontinues . . . 57

3.3.2.1 Reformulation ontinue des ontraintes spé iquesaux modes 57 3.3.2.2 Traitement desdisjon tionspar l'ajout de ontraintes ontinues 58 3.3.2.3 Traitement desdisjon tionspar pénalisation . . . 61

3.4 Développement d'une méthode d'optimisation dynamiquehybride . . . 61

3.4.1 Reformulations ontinues desproblèmes dynamiqueshybrides . . . 65

3.4.1.1 Modélisationdesmodes . . . 65

3.4.1.2 Modélisationdesentrées . . . 67

3.4.1.2.1 La notiond'entrée bloquée . . . 67

3.4.1.2.2 Modélisation des ommandes logiques . . . 67

3.4.1.2.3 Modélisation desentrées ontinues . . . 68

3.4.2 Méthode Sum Up Rounding . . . 70

3.4.2.1 Génération detraje toires binaires . . . 70

3.4.2.2 MéthodeSUR surune grille bloquée . . . 72

3.4.3 Ranement de lagrille . . . 74

3.4.3.1 Estimationde l'erreur delaméthode de ollo ation . . . 75

3.4.3.2 Normalisationde l'erreur . . . 77

3.4.3.3 Stratégies d'adaptation delagrille . . . 78

3.4.4 Algorithmed'optimisation hybride . . . 83

3.4.5 Prise en omptedes oûtsde transitionet de modulation . . . 84

3.5 Appli ationsde laméthode d'optimisationhybride . . . 87

3.5.1 Comparaisonde laméthode de ollo ation hybrideave laPLNE . . . 89

3.5.2 Coûtsde démarrage . . . 94

4 Commande prédi tive basée sur des modèles linéarisés tangents 97 4.1 Suivide traje toires d'état par ommandeprédi tive : as idéal . . . 97

4.1.1 Motivation . . . 97

4.1.2 Notations . . . 99

4.1.3 Modèles onsidérés . . . 100

4.1.3.1 Systèmephysique . . . 100

4.1.3.2 Modèlenon linéaire du système. . . 100

4.1.3.3 Modèlelinéarisé tangent . . . 101

4.1.3.4 modèlelinéarisé tangent entemps dis ret . . . 102

4.1.4 Commande prédi tive TL-MPC . . . 102

4.2 Versune preuve de stabilitéde la ommandeTL-MPC . . . 104

4.2.1 Dénitionsde lastabilité . . . 104

4.2.2 Fon tionsde Lyapunov. . . 105

4.2.3 Etatde l'art:stabilitépour leMPCetles systèmesLTV . . . 106

4.2.3.1 Preuvesde stabilité MPCpour les systèmesinvariants . . . . 106

4.2.3.2 Preuvesde stabilité pour les systèmesLTV . . . 107

4.2.3.3 Preuvesde stabilité MPCpour les sytèmesLTV . . . 109

4.2.4 Analysedestabilitédela ommandeprédi tiveTL-MPCpourlemodèle idéal nonperturbé . . . 110

4.2.4.1 Évolutiondusystème enbou lefermée . . . 110

4.2.4.2 Stabilité dansle asnominal . . . 110

4.2.4.3 Satisfa tionde l'hypothèse H11 . . . 115

4.2.4.4 Satisfa tionde l'hypothèse H10 :ensembleterminal . . . 117

4.2.5 Con lusions etperspe tivespour l'analyse de stabilité . . . 119

4.3 Suivide traje toires optimales pour les entrales de produ tion d'énergie . . . 121

4.3.1 Di ultés soulevéespar l'ar hite ture dansle asidéal . . . 121

4.3.2 Ar hite ture TL-MPCadaptée aux entrales d'énergie . . . 122

4.3.2.1 Ar hite turedu MPC . . . 122

4.3.2.2 Problèmed'optimisation MPC . . . 123

4.3.3 Formulation matri ielledu MPC . . . 124

4.3.3.1 Obtention de deuxmodèles internes augmentés . . . 124

4.3.3.4 Expression dela fon tionobje tif. . . 131

4.3.3.5 Problème d'optimisation MPC . . . 132

4.3.3.6 Initialisation desmodèles . . . 132

4.3.3.7 Normalisation . . . 133 4.3.3.8 Elimination de lamatri e D. . . 134 4.3.3.9 A élération duMPC . . . 136 4.3.4 Estimateurd'état . . . 138 4.3.5 AlgorithmeMPCdétaillé . . . 139 4.4 Appli ation àla ogénération . . . 139 5 Con lusion et perspe tives 145 5.1 Synthèse dutravail ee tué . . . 145

5.1.1 Optimisationdynamique hybride . . . 145

5.1.2 Commande prédi tive TL-MPC . . . 147

5.2 Perspe tivesde développement . . . 148

5.2.1 Optimisationdynamique hybride . . . 148

5.2.2 Commande prédi tive TL-MPC . . . 149

Bibliographie 151 Annexes 157 Annexe A Optimisation en dimension nie 159 A.1 Conditionsné essaires d'optimalité . . . 159

A.2 Quali ationdes ontraintes . . . 160

A.3 Quali ationdes ontraintes pour les problèmes MPCC . . . 161

Annexe B Rappels mathématiques 163 B.1 Méthode deNewton . . . 163

B.2 Matri es . . . 163

B.3 Fon tions . . . 165

Annexe C Implémentation logi ielle dans JModeli a 167 C.1 Implémentation logi ielle . . . 167

C.1.1 Présentation d'Optimi a . . . 167

C.1.2 Ar hite ture deJModeli a . . . 168

C.1.3 Modi ations apportéesau ode de ollo ation . . . 169

C.1.4 Présentation du ode hybrid_tools . . . 171

Annexe D Quanti ation de l'erreur du modèle (TanLd) en l'absen e de

per-turbations 173

Annexe E Expression des sortiesdu se ond modèleaugmenté 177

1.1 Première ar hite ture de ommande . . . 4

2.1 S héma thermohydraulique àgrille dé alée . . . 8

2.2 Volume de ontrle d'après[1℄ . . . 9

2.3 Régions

(P, T )

destablesde l'eau IAPWS-IF97d'après[2℄ . . . 11

2.4 Régions

(P, h)

des tablesdel'eau IAPWS-IF97 . . . 12

2.5 Dénitiondessenspositifsdesdébits.Noeuddemélange(gau he),Composant bi-ports (droite). . . 13

2.6 Fon tion posMax . . . 15

2.7 Modèle hydraulique 1:s héma, matri e d'in iden e etdigraphe . . . 19

2.8 Causalisationdeséquations du modèlehydraulique1 . . . 20

2.9 Matri ed'in iden e du modèlehydraulique1 avantet après ausalisation. . . 20

2.10 Modèle hydraulique 2:s héma, matri e d'in iden e etdigraphe . . . 21

2.11 Modèle hydraulique 2:blo age del'algorithme deTarjan . . . 22

2.12 Modèle hydraulique 2 : hypothèse

q

2

onnue,

(eq.4)

utilisée omme équation desrésidus, déblo agede l'algorithme deTarjan . . . 22

2.13 Élémentsné essaires àlasimulation d'unDAE . . . 26

2.14 Illustrationde l'algorithmed'intégration numérique RK4 . . . 27

2.15 Modèle ThermoSysPro d'un ompresseur . . . 30

2.16 Simulation du ompresseurThermoSysPro . . . 32

2.17 Modèle simpliéde ogénération ave sto kage . . . 34

2.18 Simulationdela entrale de ogénérationave régulationautomatiquedesdébits 37 2.19 Simulationde la entrale de ogénération ave régulation automatiquedes dé-bits: nonrespe tdela ontraintesur

q

ret

. . . 37

3.1 Algorithmede tir dire tmultiple . . . 50

3.2 Intervallesde temps utilisésdansles méthodes dire tes . . . 52

3.3 Algorithmede Bran h &Boundsur unedisjon tion de 3modes . . . 56

3.4 Optimisationdynamique del'os illateur de VDP- Itération1 et3 . . . 64

3.7 E he de stabilisation de l'os illateur VDP ave un ranement de grille basé

surl'erreurlo ale (haut)-Amélioration ave le ontrle de l'erreurglobale(bas) 79

3.8 Ranement dela grilleetgénération detraje toires binaires. . . 82

3.9 Algorithmed'optimisation dynamiquehybride . . . 84

3.10 Comparaisondel'arrondidonnéparlaméthodeSURminTetunarrondistandard 86 3.11 Optimisationdela ogénérationave laméthodede ollo ationhybride- Puis-san es eténergieàl'itération 1 (haut) et3 (bas) . . . 90

3.12 Optimisationdela ogénérationave laméthodede ollo ationhybride- Tem-pératures . . . 91

3.13 Optimisationdela ogénérationave laméthodede ollo ationhybride-Modes etprix del'éle tri ité . . . 92

3.14 Modèle PILOT (PLNE)de l'installation de ogénération . . . 92

3.15 Identi ationdesvariablesdumodèlenonlinéaireave ellesdumodèlePLNE (gau he)- Estimationdesentrées in onnues(droite) . . . 93

3.16 Comparaisondelaméthodede ollo ationhybrideave laPLNE-sto k, puis-san e ombustible à la haudière etaumoteur . . . 94

3.17 Optimisationdela ogénération :ajout d'un oûtdedémarragede3upourla haudière, mode initial libre . . . 95

3.18 Comparaison de l'optimisation de la ogénération ave un oût de démarrage de3 u . . . 96

3.19 Optimisation de la ogénération ave un oût de démarrage de 3 u pour la haudière etla ontrainte

ω

b

(t

−

0

) = 0

. . . 96

4.1 Traje toires optimales etsous-optimales utilisées danslapreuvede stabilité . 113 4.2 Ensemble terminal invariant à unpas. . . 119

4.3 Ar hite ture duMPClinéarisé tangent . . . 123

4.4 Dénitiondes traje toires d'entrée etde sortie( as 1entrée,1sortie) . . . 123

4.5 Hypothèsessurlatraje toire desperturbationsmesurées . . . 127

4.6 Illustrationdestraje toires réelles etnominales de

y

entre deuxpasdu MPC 133 4.7 AlgorithmeMPCsimple . . . 140

4.8 Modèle Modeli ade la ogénération de Barkantine . . . 141

4.9 Simulationdu MPCsurune ogénération ave lademande réeelle:sorties . . 143

4.10 Simulation du MPC sur une ogénération ave la demande réeelle : entrées ( ommandes etperturbations) . . . 144

B.1 Méthode deNewton . . . 164

C.1 Spé i ation d'unproblème d'optimisationave JModeli a . . . 168

C.2 Fi hiers utiliséspourl'optimisation dansJModeli a . . . 169

C.3 Stru ture des variables du problème NLP dans la méthode de ollo ation de JModeli a . . . 170

F.1 Cogénérationà y levapeur . . . 180

F.2 Système énergétique omplet . . . 180

F.3 Optimisationd'une ogénérationvapeur1 . . . 181

1 Algorithmede Tarjan. . . 19 2 Algorithmede Pantelides . . . 25 3 Cal ulde

y = F (¯

v)

et

J =

dF

dv





¯

v

. . . 26

4 SumUpRounding binaire . . . 72

5 SumUpRounding surune grillede ommutation . . . 74

6 SumUpRounding ave duréeminimaledes modes(SURminT) . . . 81

AD Automati Dierentiation

BB Bran h and Bound

BE Ba kward Euler

BLT Blo kLowerTriangular

CHP CombinedHeatand Power

CNF Conjon tive NormalForm

DAE Dierential Algebrai Equations

DNF Disjun tive NormalForm

EDF Éle tri ité deFran e

EDP Équationsaux Dérivées Partielles

FE Forward Euler

GAM Generalized AdditiveModel

GDP Generalized Disjun tive Programming

H-DAE HybridDierential Algebrai Equations

IAPWS International Asso iationfor theProperties ofWaterand Steam

IAPWS-IF97 IAPWSIndustrial Formulation 1997

LICQ Linear Independen e Constraint Quali ation

LMI Linear MatrixInequalities

LTV Linear TimeVarying

MFCQ Mangasarian-FromovitzConstraint Quali ation

MILP MixedInteger LinearProgramming

MINLP MixedInteger NonlinearProgramming

MPC ModelPredi tiveControl

NLP NonLinear Program

NMPC NonlinearModelPredi tive Control

OA Outer Approximation

OCP OptimalControl Problem

ODE Ordinary Dierential Equations

PLNE Programmation Linéaireen Nombres Entiers

PID ProportionnelIntégrateurDérivateur

RK RungeKutta

RK4 RungeKutta d'ordre 4

SI International System ofUnits

TL-MPC Tangent Linear Model Predi tive Control

SOCP Se ondOrder ConeProgramming

SOS1 Spe ialOrdered Setoftype 1

SUR SumUpRounding

Quantités physiques

A

Surfa e[m

2

℄

C

Prix normalisé[p.u℄

M

Masse[kg℄

P

Pression[Pa℄

T

Température [ o C℄

V

Volume [kg℄

W

Puissan e[W℄

h

Enthalpie spé ique[J/kg℄

q

Débit massique[kg/s℄

s

Entropie spé ique[J/kg℄

u

Énergie internespé ique[J/kg℄

v

Volume spé ique [m

3

/kg℄

ρ

Massevolumique [kg/m

3

℄ Types de variables

p

Paramètre (dimension

n

p

)

u

Commande ontinue (dimension

n

u

,entrée ontrlée)

x

État(dimension

n

x

)

˙x

Dérivée de l'état(dimension

n

x

),parfois

dx

w

Perturbation (dimension

n

w

,entrée non ontrlée)

w

m

Perturbation mesurée(dimension

n

v

)

y

Sortie(dimension

n

y

),ou variablelogique en3.3

z

Variable algébrique(dimension

n

z

)

Évolution du système

F

Fon tion del'équation d'état impli ite dans(DAEi)

F

k

Fon tion del'équation d'évolution dis rète dumodèle linéarisétangent

¯

F

k

Fon tiondel'équationd'évolution dis rètedumodèlelinéarisétangent dans

le asnominal

f

Fon tion del'équation d'état dans(ODE)

f

(d)

Fon tion del'équation d'évolution dis rète dumodèle àtemps ontinu

¯

g

Fon tion del'équation algébriqueexpli ite dans(ODE)

g

Fon tion del'équation algébriqueimpli ite dans(DAEse)

h

Fon tion del'équation dessorties dans(NL )

t

0

Tempsinitial

t

f

Tempsnal

δf

Fon tion de l'équation dynamique du modèle linéarisé tangent à temps

ontinu

φ

Fon tion detransition pour lessystèmes hybrides

Optimisation dynamique - Chapitre 3

H

Hamiltonien

L

Lagrangien

L

f

Lagrangien autemps nal

h

I

Fon tion des ontraintes inégalité

h

E

Fon tion des ontraintes égalité

l

Terme intégraldanslafon tion obje tif

J

Fon tion obje tif

Φ

Coût terminal danslafon tion obje tif

λ

État adjoint

Méthode de ollo ationhybride - Chapitre 3

M(n

j

)

Ensemble desmodesadmissiblespour unedisjon tion de

n

j

termes

T

Grille temporelle donnéepar laduréede seséléments

T

k

Durée de l'élément

k

T

pre

Durée depuis laquelleles modessont a tifsàl'instant initial

T

_min

j

Durée d'a tivationminimale desmodesde ladisjon tion

j

T

Grille temporelle donnéepar sesinstants

T

0

Grille temporelle desélémentsde laméthode de ollo ation

T

1

Grille temporelle despoints de ollo ation

˜

X

Traje toire prédite par laméthode de ollo ation

ˆ

X

Valeur estimée

c

up

Coût de transitionà lahausse

m

pre

Mode a tifà l'instant initial

n

c

Nombrede points de ollo ation par élément

n

d

Nombrede disjon tions

n

e

Nombred'éléments

s

Grilletemporelle donnéepar sesindi es ommuns ave lagrilleprin ipale

tol

J

Toléran esurladiéren e entrel'obje tif relaxé etbinaire

tol

ǫ

Toléran esurlapré ision de laméthode de ollo ation

ǫ

rel

Erreurrelative surles variables

ζ

rel

Erreurrelative surladynamique

τ

Temps lo alsurun élément

τ

c

Instant de ollo ation

ω

_k

ji

Variables binaires dis rétiséespourles disjon tionsSOS1

ω

_k

j

Variables binaires dis rétiséespourles disjon tionsbinaires

Indi es

bin

Binaire

c

Point de ollo ation

k

Élément

i

Terme d'unedisjon tion

j

Disjon tion

n

Itération

rel

Relaxé

sim

Simulé

Commandeprédi tive - Chapitre 4

K

Retourd'état impli ite de la ommandeMPC

K

f

Contrleurterminal

P

Horizon deprédi tion du MPC

P

Traje toire dusystème

T

s

Pasd'é hantillonnage

U

i

Ve teur de ommandedu problème

M P C

i

U

Ensemble admissiblepour

u

x

a

Étataugmenté

X

i

Étatsprédits pour leproblème

M P C

i

X

Ensemble admissiblepour

x

Y

i

Sortiesprédites pour leproblème

M P C

i

δ

Variation par rapportau nominal

δX

k

Ensemble admissiblepour

δx

k

δU

k

Ensemble admissiblepour

δu

k

∆

Variation entredeuxpasde temps

Indi es

i

Instant ourant

k

Instant del'horizon de prédi tion

mes

Mesuré

nom

Nominal

Introdu tion

1.1 Contexte et motivations de la thèse

Ons'intéressedans ettethèseàla onduiteoptimiséede entralesdeprodu tiond'énergie

pourlesquellesondisposedemodèlesphysiques.L'utilisationdemodèlesbaséssurlespremiers

prin ipesphysiques(aussiappelésmodèlesde onnaissan eboîteblan he)s'estbeau oup

dé-veloppée es dernières années dans le domaine des pro édés et de la produ tion d'énergie,

pousséepar ledéveloppement de langagesdemodélisation deplus enplussophistiquésetde

ompilateurs de plus en plus performants. EDF développe dans ette optique une librairie

nomméeThermoSysPropour lasimulation statiqueetdynamiquede entralesd'énergie.Les

modèles physiques développés possèdent de nombreux avantages par rapport à des modèles

identiés boîtenoire oudesmodèles linéairessimpliés :ils permettenten eet desimuler le

omportement d'une installation ave pré ision sur toute sa plage de fon tionnement, etde

prédire l'évolution de grandeurs physiques [3℄[4℄. Les modèles physiques peuvent aussi être

utilisésdansuneoptiquedesurveillan e :lemodèlephysique, alibrélors dufon tionnement

normaldel'installation sert alorsde référen epour déte terun omportement anormalde la

entrale, ou une variation de ertains paramètres [5℄. Enn, les modèles physiques peuvent

également êtreutilisésdansuneoptiquededimensionnement:dans e as,onre her herales

ara téristiquesdes omposantspermettantd'aboutiràunpointdefon tionnementdonné[6℄.

Unepisteen orepeuexplorée on ernel'utilisationdesmodèlesphysiquespourlepilotage

optimisédesinstallations,quiviseàlafoisl'optimisation (hors-ligne)duplanningde

produ -tionetla ommandedel'installationentempsréel.Lesmodèlesphysiquesontétéutilisésdans

e ontexte hez [7℄[8℄[9℄[10℄[11℄.Le besoin enpilotageoptimisés'estré emment a rudepuis

ladérèglementation etlamiseen on urren edu mar hé de l'énergie, quimodient

progres-sivement les règles du jeu pour les produ teurs, ave notamment l'introdu tion de prix de

l'éle tri itévariant dansletemps,latendan eversdesmoyensdeprodu tiondé entralisés,la

gestionsimultanée de diérentes ommodités (éle tri ité, haleur, vapeur,...), l'introdu tion

l'optimisation é onomique d'uneinstallation.

Optimisation du planning de produ tion

Aujourd'hui, l'optimisationdu planning deprodu tion estsouventréalisée en utilisant la

Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE) ar 'est une méthode qui permet de

modéliserungrandnombre deproblèmes,deprendreen omptedesaspe tsdis rets

(démar-ragesetarrêts),etquioredeplusdesgarantiesde onvergen eversunesolutionglobalement

optimale.EDFdéveloppedans e adreunlogi ielnomméPILOT:l'installationyest

modéli-séepardessto kagesetdes omposants apablesde transformerdes ommodités (éle tri ité,

haleur, ombustible, et .) en d'autres ommodités selon des ourbes de rendement anes

par mor eaux. La plupart du temps, les grandeurs onsidérées dans es modèles sont ainsi

dé rites par des ouples puissan e/énergie ou débits/volume, mais rarement par des

gran-deurs physiques telles que des pressions ou des températures. Or es grandeurs du système

sont souvent soumises à des ontraintes : en onséquen e, un planning optimal fourni par

un modèle de PLNE, réalisable d'un point de vue énergétique, peuts'avérer infaisable dans

l'installation réelle (on doit alors vérierla faisabilité par simulation a posteriori).

L'utilisa-tion de modèles physiques pour l'optimisation prend alors tout son sens ar elle permet de

formuler expli itement les ontraintes sur es variables.Cependant ette appro he a été peu

onsidéréejusqu'alorsenraison dela omplexitédesmodèlesmis enjeu:ils'agitdemodèles

non linéaires ave souvent des aspe ts hybrides (le système peut se trouver dans diérents

modes). Des méthodes adaptées,prenant en ompte esdeuxspé i ités doivent êtres

déve-loppées. Enparti ulier, la omplexité dumodèled'optimisation doitsouvent êtreréduitepar

rapportà un modèle de simulation détaillé, etlaprise en ompte d'aspe ts dis rets dansun

adrenon linéaire devra être onsidérée.

Dans ette thèse, ondéveloppe une méthodologie d'optimisation dynamiquepour une lasse

de modèles hybrides qui in lut les entrales de produ tion d'énergie étudiées. Cette

métho-dologie fournit des traje toires optimisées et permet de prendre en ompte des ontraintes

à la fois sur les variables ontinues et sur les aspe ts dis rets du problème. Le formalisme

permet ainsi de onsidérer des plages de fon tionnement diérentes pour ha un desmodes

dusystème ainsiquedesdurées minimales demar he etd'arrêtpour les omposants.

Commandedes entrales d'énergie

L'autre piste omplémentaire étudiée dans ette thèse on erne l'utilisation de modèles

physiquespourla ommandedes entralesd'énergie,etenparti ulierla ommandeprédi tive.

La ommandeprédi tive,ouMPC,estune te hniquede ommandefondéesurl'optimisation

d'unmodèledel'installationsurunhorizonglissant.LeMPCestparti ulièrementintéressant

arilpermetdeprendreen omptedes ontraintes surles ommandes( ommelaplupartdes

régulateurs lassiques) maisaussietsurtout surles sorties de l'installation.Son prin ipe est

lesuivant:à haquepasd'é hantillonnage dela ommande, unproblèmed'optimisationsous

ontraintes estrésolusurunhorizon deprédi tion ni,etlepremiertermede etteséquen e

de ommandeoptimale estappliqué ausystème.Cettepro édure estensuiterépétéeauxpas

nombreux fa teurstels que desperturbations agissant sur le système, ou en ore des erreurs

de modélisation, font quele systèmeréeln'évolue pasexa tement omme prévulors de

l'op-timisation. Le fait de re al uler à haque pasde temps une nouvelle ommande prenant en

ompte l'état du système est ainsi une façon d'introduire une rétroa tion dans le système.

Cependant,onpeutnoterqueparrapportàune régulation lassique(PID,...),la ommande

ne s'exprime en général plus de façon expli ite, mais omme le résultat d'une séquen e de

problèmes d'optimisation.Cettedénitionimpli ite dela ommandeapporteune omplexité

évidentedansl'analyse destabilité dusystèmeen bou lefermée.

Par ailleurs le MPC introduit des problématiques liées à son appli ation en temps réel : il

s'agitde garantir quele problèmed'optimisation peutêtre résoludansun temps ompatible

ave lepasd'é hantillonnage.La onvergen edel'optimisation,ouaminimal'obtentiond'une

solution faisableest ainsiné essaire, fautede quoi la ommande devient indéterminée. C'est

une des raisons pour lesquelles la grande majorité des algorithmes de ommande prédi tive

implémentés onsidèrent unmodèlelinéaire,des ontrainteslinéairesetune fon tionobje tif

quadratique. Le problème résultant est un problème onvexe qui peut être résolu en temps

polynomial. Dans le as non linéaire en revan he, les problèmes d'optimisation sont souvent

non onvexes,etau unegarantienepeutêtredonnéesurletempsderésolution,quireste

for-tement liéà l'initialisation des variables. Deste hniquesspé iques peuvent alors êtremises

en pla e pour respe ter la ontrainte temps réel, en jouant par exemple sur la stru ture du

problème, laparallélisation ouen ore l'initialisation d'un problèmeMPC d'aprèslasolution

pré édente (warm start). Une introdu tion aux problématiques du MPC non linéaire

(NL-MPC)peutpar exemple êtretrouvée dans[12℄[13℄.

Pour éviter les di ultésposéespar leMPCnon linéaire, ondéveloppe dans ette thèseune

ommande MPC à mi- hemin entre le MPC linéaire et non linéaire : le modèle Modeli a

détaillé de la entrale y est utilisé pour élaborer des modèles linéarisés tangents, menant à

une ommandeMPClinéaire variantdansletempsave oûtquadratiquequel'on dénomme

TL-MPC.Cette ommandeestutiliséepour lesuividuplanningoptimisédeprodu tion,an

de orrigerles é artsdus auxperturbationseterreursde modélisation.

1.2 Ar hite ture de ommande proposée et organisation du

manus rit

Dans ette thèse,le hapitre 2 faitgurede hapitre introdu tif ettraitede la

modélisa-tion et de la simulation des entrales de produ tion d'énergie à l'aide du langage Modeli a.

On y rappelle à la fois des aspe ts on ernant la modélisation physique mais également le

formalismemathématiqueemployéparModeli aetlesalgorithmesutiliséspour,partantd'un

jeu d'équations, aboutir àune traje toiredu système.

Le plan de ette thèse s'arti ule ensuiteautour de l'ar hite ture de ommandeproposée en

Figure 1.1,qui a pour but la génération d'une traje toire optimale pour l'installation d'une

part,etlesuivide ettetraje toireoptimaleentempsréeld'autrepart.Lesdiérentesbriques

de ettear hite ture sont les suivantes :

1. Outil de prévision.Un outil deprévisiongénèreles traje toires de référen e

w

r

pour

les perturbations, qui sont des entrées exogènes du système (demande de haleur,

Figure1.1 Première ar hite ture de ommande

suite

w

r

ommeunedonnée d'entrée.

2. Optimisationdetraje toire longterme.L'optimisationduplanningdeprodu tion

s'ee tue surun modèle physique simpliéou un modèle de PLNE etfournit des

tra-je toires de référen e optimales pour les entrées (

u

∗

) etles sorties (

y

∗

) sur un horizon

H

long. Le hapitre 3 est onsa ré au développement d'un algorithme d'optimisation

dynamiquehybride remplissant ette fon tion.

3. Générationde traje toiresde référen eadmissibles.Cet aspe testaussi

briève-ment traitédansle hapitre 3.Commelemodèled'optimisation estsouvent unmodèle

simplié, il ne dénit pas né essairement les variables de la même façon que le

mo-dèle détaillé de l'installation. Pour ette raison, les traje toires optimales de référen e

doivent êtreredéniespour lesvariablesdumodèle détaillé.Onappliquealors une

mé-thodepermettantdegénérerdestraje toiresderéféren e

u

r

,

x

r

,

y

r

respe tivementpour

les ommandes, étatset sortiesdu modèlenon-linéaire, ohérentes ave

y

∗

,

u

∗

.

4. Ajustementdetraje toire tempsréel.Lesystèmeréelestsoumisàdiverses

pertur-bations,etdièredumodèleutilisépourl'optimisation.Pour esraisons,unajustement

δu

doit être apporté à la traje toire de ommande

u

r

dansle but d'assurer au mieux

lesuivi delatraje toire

x

r

ou

y

r

.Onproposedansle hapitre 4 de remplir ette

fon -tionparl'algorithmede ommandeprédi tiveTL-MPC.Celui- ifon tionneave unpas

d'é hantillonnage

T

s

et onsidèreun horizon deprédi tion de

P ∗ T

s

<< H

.

Le hapitre5apporteenndes on lusionssurlasolutionproposéeetdesperspe tives

Modélisation des entrales d'énergie

EDFdéveloppedepuis plusieursannéesThermoSysPro,une librairiede omposants

ther-mohydrauliques pour la modélisation de entrales d'énergie (thermique, nu léaire, solaire).

Cette librairie de omposants est é rite dans le langage de modélisation Modeli a [14℄, un

langage libre soutenu par l'asso iationéponyme.

Ce hapitreest onsa réàlamodélisationàl'aidedeModeli ades entralesd'énergieétudiées

dans ette thèse.Après une brève introdu tion au langage Modeli aen 2.1.1,onprésenteen

2.1.2 leformalisme de modélisation employé dansla librairieThermoSysPro d'EDF:la

mo-délisation 0D / 1D. La ompréhension de ette modélisation est en eet né essaire dans la

perspe tive d'obtenir desmodèles adaptés àl'optimisation, e quiferal'objetdu hapitre 3.

Ondé ritensuiteplusgénéralement laformulation mathématique employée par Modeli aen

2.2 : les systèmes d'équations algébro-diérentielles (DAE). Les DAE regroupent une large

lasse de modèles, etenglobent les équations diérentielles ordinaires (ODE) omme un as

parti ulier.

Pour traiter les systèmes DAE, les ompilateurs Modeli a emploient une ombinaison

d'al-gorithmes de manipulations symboliques an de mettreles modèles dans une formeadaptée

pour les algorithmes d'intégration numérique. On présentera es méthodes en 2.2.2 arelles

nous permettront d'obtenir des modèles dans une forme adaptée à la ommande, qui sera

exploitéedansles hapitres 3 et4,puisl'on donne quelquesrappelssur lesalgorithmes

d'in-tégrationnumérique en 2.2.3.1.

Enn,and'illustrerles on eptsintroduits,onprésentedeux asd'étude:unpremiermodèle

de ompresseur issu de la librairie ThermoSysPro etun se ond modèle simplié de entrale

de ogénération,qui serarepris parla suitedans le hapitre 3.

2.1 Modélisation des systèmes étudiés

2.1.1 Présentation de Modeli a

ty-retrouver desaspe ts hydrauliques, de la ombustion, de laneutronique dansle asdes

ins-tallationsnu léaires,ouen ore del'optiquedansle asdes entralessolaires. Modeli aestun

langage orienté objet où la onstru tion de modèles omplexes (une entrale de produ tion

d'énergie) sefait par assemblage de omposants élémentaires (une vanne, une turbine,et .).

Les omposants possèdent pour ela des onne teurs, qui jouent le rle d'interfa e ave les

autres omposants du système, leur permettant d'é hanger deux types d'informations : des

grandeurs intensives(pression, température), etdes uxtraversant la onnexion(débits,

in-tensités).Onintroduitd'oresetdéjàlanotation"."(point)utiliséeparModeli apourdé rire

ette ompositiondessystèmesàl'aidede omposantsélémentaires.A titred'exemple, la

va-riable

V

présente dansle onne teur

C

d'un omposant

E

sera notée

E.C.V

La onnexionde deux omposants

E

1

et

E

2

génère deséquations de onnexions :



E

1

.C.V = E

2

.C.V

si

V

estune variable intensive 

E

1

.C.V + E

2

.C.V = 0

si

V

estune variablede ux

D'unpointde vueutilisateur,Modeli aestun langageéquationnel(dit aussidé laratif) :les

modèles y sont dé rits par un ensemble d'équations diérentielles, algébriques et dis rètes,

dans un formalisme nommé Hybrid DAE qui sera présenté en 2.2. On verra dans la partie

2.1.2 que e formalisme est tout a fait adapté à la modélisation retenue pour les entrales

d'énergie.

L'intérêt d'unlangageéquationnel ommeModeli aestquelareprésentationdé larative

per-metdedé rire ommentlesystèmefon tionnesanssesou ierdelafaçondontlesvariablessont

al ulées. Cette tâ he est laissée au programme de ompilation, dont l'obje tif est de

trans-formerlejeu d'équationsenun odeexé utable par unema hine. La ompilation onsisteen

un traitement symbolique deséquations du modèle permettant de les réorganiser et de

al- uler lesvaleursdesvariables de façon séquentielle.Elle permetégalement de transformer le

modèlesousune formeadaptéeauxalgorithmesd'intégrationnumériqueutilisé. Cesdiverses

manipulations du modèle par le ompilateur permettent à l'utilisateur de se on entrer sur

la partie modélisation à proprement parler, sans avoir à réé hir aux aspe ts de résolution

numérique du problème.

La ontrepartie de et avantage indéniable est qu'il est beau oup plus di ile de tra er

leserreursdanslemodèle. Lamiseàplatetletraitement automatisédetoutes leséquations

empê hent en eet tout déboggage pas à pas par l'utilisateur lors de la ompilation ou de

lasimulation. Il est don important de omprendre les diversesmanipulations ee tuées par

le ompilateur pour pouvoir omprendre les erreurs qu'il a he, etqui peuvent parfoisêtre

di ilesà interpréter.

Par ailleurs,lesméthodesdéveloppéesdanslasuitede ettethèsené essitentquelesmodèles

soient donnés sousforme d'EquationsDiérentielles Ordinaires(ODE), et 'estjustement e

quepermettent les algorithmes introduits pré édemment.

Ondonnedon dans e hapitre une présentation su in tede esalgorithmesde traitement

symbolique en partie 2.2.2 ens'appuyant surdesexemplessimples deréseaux hydrauliques.

2.1.2 Modélisation 0D/1D des entrales d'énergie

Les entrales d'énergies sont des installationsthermo-hydrauliques utilisant diversuides de

travail. On onsidère i i des modèles physiques de es installations, 'est-à-dire des modèles

apablesde représenterlestempératures,pressions,débitset puissan esauseindesdiérents

omposants.Onnes'intéresseraquedans ertains asparti uliersàladistributionspatialede

espropriétés.And'obtenirdesmodèlesdetailleraisonnablemaissusammentpré ispour

fournir leniveau d'information souhaité, lamodélisationretenuepour esinstallationsest la

modélisationdite0D/1D,enoppositionaux odesdesimulation2D/3Dutilisésenmé anique

desuides.

Dénition (Modèle 0D/1D) Un modèle 0D estun modèle ignorant la notion de dimension

spatiale pour le omposant onsidéré. Cette simpli ation est souvent réalisée en

onsidé-rant des valeurs moyennes ou des loisde onservation ma ros opiques. Dansun modèle1D,

une dimension spatiale est onsidérée, résultant laplupart du temps de la dis rétisation du

phénomène par une méthode par diéren esnies.

D'autres simpli ations peuvent parfois être utilisées pour réduirela omplexité du modèle,

lorsque ertainsphénomènes peuvent être négligésauxé helles de temps onsidérées:

 Équivalen e lent/ onstant :les variables évoluant très lentement peuvent être

onsidé-rées ommedesparamètres onstants pour lesystème.

 Équivalen e rapide/instantané : les variables ayant des onstantes de temps ourtes

atteignent rapidement un état d'équilibre. Il est alors possible de onsidérer des

équa-tionsstatiques(autrementditàl'équilibre)pour eséquations, equipermetd'éliminer

également desvariables diérentielles.

Enn, la omplexité peut être réduite en ne modélisant que la physique né essaire. Il n'est

parexemple pasné essairedemodéliserla onservationdesespè es himiquespourun uide

ne subissant pasde transformation himique.

2.1.2.1 Choix des variables d'état

L'étatthermodynamiqued'unuidepeutêtredé ritparplusieursjeuxdevariables.Ainsi,

en l'absen e de réa tion himique, il est par exemple possible d'utiliser indiéremment le

ouple pression/enthalpie spé ique

(P, h)

, le ouple massevolumique/énergie interne

(ρ, u)

ou en ore le ouple masse volumique/enthalpie spé ique

(ρ, h)

. Le ouple

(P, T )

peutêtre

employé pour les uides qui demeurent monophasiques pendant toute la période étudiée.

Cependant,lorsd'un hangementdephase,enraisondupalierdetempératurequiseproduit,

ladonnée

(P, T )

n'est plussusante pour ara tériser l'étatduuideetilfautalors pré iser

lafra tiondevapeur

α

du uide,un entier omprisentre0 et1 (ou utiliserle ouple

(P, h)

).

2.1.2.2 S héma à grille dé alée (Staggered Grid)

Les modèles de entrales étudiés sont onstruits par assemblage de omposants

élémen-taires ettirent ainsi parti de lamodélisationorientée objetde Modeli a. Le fon tionnement

de haque omposant,régi par des lois de onservation, est formulé au sein de haque

om-posant par un jeu d'équations. A elles- i s'ajoutent des équations dites de onnexion. En

eet, lorsque deux omposants sont assemblés, eux- i partagent au niveau de la onnexion

desvariables intensives(pression, température, tension, et .) et desvariables de ux(débit,

Figure 2.1 S héma thermohydrauliqueà grille dé alée

 Lesélémentsde volume (n÷uds de mélange,ballons, et .)

Les hémaditàgrille dé aléeestutilisé danslalibrairieThermoSysPro.Dans es héma, les

quantitésintensivessont al uléesauseindesvolumesoùl'onsupposequ'unmélangeparfait

existe (et don que l'état thermodynamique peut être dé rit par des propriétés moyennes).

Les variables de ux sont quant à elles al ulées aux jon tions entre es volumes ( 'est de

làque vient le nom de grille dé alée). Chaque omposant bi-ports doit don être relié à des

omposants devolume, ommeillustréen Figure2.1.

Le s héma à grille dé alée est également utilisé à l'intérieur de ertains omposants où

la modélisation d'une dimension spatiale présente un intérêt. C'est notamment le as de

omposantstels quelesé hangeursouen ore lessto kagesthermiques,pour lesquelsleprol

de température est important (strati ation dans le sto kage, pin ement pour l'é hangeur).

Le omposant est dis rétisé spatialement en un nombre nide volumes sous l'hypothèse de

propriétés homogènesau sein de haque volume (lumped approximation). LesÉquations aux

Dérivées Partielles (EDP) qui dé rivent le modèle sont ainsi onverties en un systèmeODE

ouDAE qui serapar lasuite résolude lamême façon quelereste dusystème.

2.1.2.3 Lois de onservation sur un volume de ontrle

Lamodélisationdessystèmesthermo-hydrauliquess'appuiesurlesloisde onservationde

lamasse

M

, del'énergie

E

etde laquantité de mouvement

I

ausein d'un volume

V

donné

quel'on appelle volume de ontrle. Dans le asdessystèmes à plusieurs phases ( ommeun

mélangeeau/vapeur), esloisde onservations s'appliquent à ha unedesphasesetune

des- riptiondesé hangesentrephasesdoitêtreajoutée.Leséquations de onservationprésentées

i-dessous permettent de modéliser l'évolution d'unsystème uide au ours du temps. Sous

l'hypothèse 0D/1D, le uide est unidire tionnel et un tronçon élémentaire de ontrle est

montré en Figure2.2.De manièregénérale [1℄, letaux de variation d'unequantité extensive

Ψ

au sein du volume de ontrle s'obtient en intégrant sur elui- ila variable intensive (par

unitéde masse)

ψ =

dΨ

dM

orrespondante.

dΨ

dt

=

d

dt

Z

V

ρψdV =

Z

V

∂(ρψ)

∂t

dV +

Z

A

ρψ ~

ω

A

~ndA

(2.1)

Figure 2.2 Volume de ontrle d'après[1℄

 Appro he Lagrangienne : on onsidère que le volume de ontrle ontient toujours les

mêmesparti ulesuides.Dans e as,levolume est"mobile", sasurfa esedépla eàla

vitessedesparti ules

ω = ω

a

etlevolume de ontrle aune masse onstante:

dM

dt

= 0

.

 Appro he Eulérienne :levolume de ontrle est i ixé :

ω

a

= 0

,etledeuxième terme

de (2.1) s'annule. On retiendra par la suite ette appro he qui orrespond mieux à la

modélisation omposant par omposant adoptée (on s'intéresse auxux traversant les

omposants).

Lesloisde onservationdelaquantitéextensive

Ψ

danslevolumede ontrlerelientsontaux

de variation aux ux entrants et sortants. Par exemple, la loi de onservation de la masse

nous indique que la variation de masse dans un volume de ontrle xe est liée aux débits

massiques

q

sortant (négatifs) et entrant (positifs) dans e volume. On dérive i-dessous les

équationsde onservationsurunvolume xe

V

,ainsiqueleurversionstatiquedansle asoù

l'é helle de temps desphénomènesétudiéspermetde négliger es transitoires.

1. Conservation de lamasse.

La onservationde lamasse orrespond au as

ψ = 1

.

dM

dt

=

d(ρV )

dt

= V

dρ

dt

=

n

p

X

j=1

q

j

(2.2)

La versionstatiquede la onservationde lamasseseréduit à

0 =

n

p

P

j=1

q

j

.

2. Conservation de l'énergie.

La onservation de l'énergiepour unsystèmefermé est quantà elle dérivée dupremier

prin ipe de la thermodynamique, qui indique que la variation de l'énergie totale est

égale à l'é hange de travail

W

et de haleur

Q

ave le milieu extérieur :

E = W + Q

.

Onmontrei i omment dériverlaloide onservation del'énergiedansun as simplié

oùl'onnégligeles énergies inétiqueetpotentielleduuide(hypothèse souvent vériée

danslessystèmesétudiés[1℄):onaainsi

E ≈ U

ave

U

l'énergieinterne.La onservation

del'énergie orrespondalorsau as

ψ = u

,etsousl'hypothèseque

u

est onstantedans

levolumede ontrleonpeuté rire

E = ρV u

.Onmontrei il'équationde onservation

del'énergiepourles ouples devariablesd'état

(ρ, u)

et

(P, h)

.Le passagedesvariables

ave

v

le volume spé iqueduuide valant

v = 1/ρ

.

dρ

dt

=

∂ρ

∂P









h

dP

dt

+

∂ρ

∂h

|

P

dh

dt

du

dt

=

d(h − P v)

dt

=

dh

dt

−

d

P

_ρ

dt

La onservationde l'énergies'é rit :

X

i

q

i

h

i

+

X

j

Q

j

+

X

j

W

j

=

dE

dt

=

d(ρV u)

dt

= V

d(ρ(h −

P

ρ

))

dt

= V

d(ρh − P )

dt

= V



h

 ∂ρ

∂P

dP

dt

+

∂ρ

∂h

dh

dt



+ ρ

dh

dt

−

dP

dt



= V



h

∂ρ

∂P

|

h

− 1

 dP

dt

+



ρ − h

∂ρ

_∂h









P

 dh

dt



(2.3)

La versionstatiquedela onservationde l'énergieest quant àelle

0 =

n

p

X

j=1

q

j

h

j

+ P

in

− P

out

(2.4)

Les termes sour es

P

in

et

P

out

sont l'apport et le prélèvement d'énergie

respe tive-ment. Dans l'équation i-dessus, les

h

j

sont les enthalpies spé iques en amont de la

bran he,prisdanslesensee tifdudébit.Celaposeenpratique ertaines di ultésde

modélisationlorsque lesensdesdébits dansles bran hesn'est pas onnu a priori mais

résulted'uneéquation de onservation. Onverrapar lasuite quelapremière appro he

qui onsiste à traiter ette question par un test onditionnel sur le sens du débit est

problématique àla foisen simulation eten optimisation.

3. De façon similaire, il est possible de dériver des équations de onservation pour la

quantité de mouvement etlaquantité de matière.Onpourraseréférerà [1℄.

2.1.2.4 Élémentsbi-ports

Parmi les éléments biports se ren ontrant fréquemment dans les entrales d'énergie, on

peut iter les onduites, les turbines, les pompes, les é hangeurs de haleur, les vannes, et

d'une façon générale tous les omposants liés à une perte de harge. Dans la modélisation

0D/1D,l'expression de la perte de hargepeutêtre fon tion de paramètres agrégés ( omme

lerendement isentropiquepourlespompesetturbines),oudonnéepardes orrélations

empi-riquessurdesgrandeursadimensionnelles( ommelesnombresdeReynolds,deNusselt,et .).

Les orrélations sont souvent utilisées pour déterminer letransfert de haleur ou laperte de

2.1.2.5 Modélisation des propriétés physiques

Onprésentei isu in tement ommentsontmodéliséeslespropriétésdestroisprin ipaux

uidesquel'onren ontredanslessystèmesétudiés:l'eau/vapeur,lesgazetles ombustibles.

Tables de l'eau

Le standard de modélisation pour le al ul des propriétés de l'eau / vapeur est donné

par l'International Asso iation for the Properties of Water and Steam (IAFPWS)[15℄. Les

tablesIAPWS-IF97sont dé oupées en5 régionsqui sont fon tion delatempérature

T

etde

lapression

P

ommemontré en gure 2.3.Comme l'on peut levoir sur lagure, les limites

1000

100

273.15

623.15

1073.15

2273.15

0

500

p [bar]

T [K]

1

4

5

2

3

Figure 2.3 Régions

(P, T )

destablesde l'eau IAPWS-IF97 d'après[2℄

entrerégionsontun omportement monotonepourlesvariables

(P, T )

.Ainsi,lesrégionssont

délimitées par les fon tions mono-variables

T

14

(P )

,

T

42

(P )

,

T

32

(P )

et les bornes

T

13

,

T

25

.

Dans ha unede esrégions,deséquations diérentessontensuiteutiliséespourle al uldes

propriétés.

Cependant, omme mentionné pré édemment, une subtilité dans la modélisation des

pro-priétés est que plusieurs ouples de variables thermodynamiques peuvent être utilisés pour

dé rireleuide.Ainsi,le oupledevariablesretenuespourles onne teursuidesestsouvent

le ouple

(P, h)

etnonle ouple

(P, T )

.Ave esvariables,l'arbrededé isionpourdéterminer

dans quelle région se trouve le uide n'est alors plus aussi dire t omme on peut le voir en

Figure2.4.

Par ailleurs, il peut arriver dans ertains as que les équations se formulent plus fa ilement

en fon tion de variables autres que elles des onne teurs

(P, h)

(par exemple

(P, T )

,

(P, u)

ou

(P, s)

). Dans e ontexte, un point fort des tables IAPWS-IF97 est de fournir des

résolution de problèmes d'inversion quinuisent à l'e a ité delasimulation.

50

100

150

200

250

Pressi

on [bar]

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Enthalpie spécifique [kJ/kg]

Régions

4

Figure 2.4 Régions

(P, h)

destables del'eau IAPWS-IF97

Lessystèmesétudiésdans ettethèseselimitentnormalement auxrégions1(eauliquide),

2(vapeursous- ritique) et4 (mélangeeau/vapeur).

Gaz

Dans ThermoSysPro,les gaz (du moins euxqui ne sont pas onsidérés ommedes

om-bustibles,àl'instardugaznaturel)sontdonnésparleur ompositionmassiquedanslesquatre

gaz O

2

, CO

2

, H

2

Oet SO

2

.Ces données sont susantes pour la plupart des gaz étudiés qui

sontsouvent del'airoudesfuméesde ombustion.Lespropriétés sont al uléesselonle

stan-dard NASA[16℄.

La librairie Media de la librairie standard Modeli a ore quant à elle une des ription plus

générale des uides, en utilisant les apa ités d'héritage permises par Modeli a : tous sont

dé ritsparuntableaude ompositionmassiquemaisle al uldespropriétés estspé iqueau

uide onsidéré. Ave ette appro he, la même des ription est utilisée pour l'eau, les gaz et

lesautresuides(uides ryogéniquesparexemple).Ildevientégalementpossibledemodier

leuidede travail dansun omposant sansavoirà redénir elui- i.

Combustibles

Dans les entralesd'énergie étudiées, la haleur peutêtre produite par ombustion entre

om-Figure2.5Dénitiondessenspositifsdesdébits.Noeuddemélange(gau he),Composant

bi-ports (droite)

massique dans les éléments C, H, O, N et S. Ces omposants sont en eet les onstituants

prin ipaux des ombustibles usuels. La réa tion de ombustion onsidérée peutêtre plus ou

moins omplexe.Dans ThermoSysPro, l'hypothèse est faite que les réa tions de ombustion

sont faites en ex ès d'air, 'est-à-dire qu'il n'y a pasde formation de monoxyde de arbone

dans les fumées (un gaz qui ne fait d'ailleurs pas partie des 4 gaz ités dans le paragraphe

pré édent).La réa tion onsidéréeest ainsi:

C

x

H

y

O

z

N

r

S

t

+ u

0

2

+ v

N

2

→ a

C0

2

+ b

H

2

+ c

S0

2

+ d

N

2

+ eO

2

Lors d'une réa tion de ombustion, les loisde onservation de la masse s'appliquent sur

haqueélémentCHONSetsurlamassetotale.Cesdeuxéquationspermettent dedéterminer

lamassede 0

2

,C0

2

,

H

2

0

etS0

2

dansles fumées.La onservation de l'énergieprendquant à

elle en ompte lePCI du ombustible etlavariation d'enthalpiedes omposants forméslors

de leurmontée entempérature etpermetdedéterminer latempérature desfumées.

2.1.2.6 Modélisation des inversions de débit

La modélisationdesinversions de débitrequiert une attention parti ulière.Onretient i i

omme variables le ouple

(P, h)

et l'on onsidère deux as : les n÷uds de mélange et les

éléments biports. Dans un n÷ud de mélange idéalisé, on dénit omme positifs les débits

sortantsdun÷ud(respe tivemententrant dansles omposants onne tés).Une onnexionde

n

omposants orrespondauxéquationsde onservationdelamasseetdel'énergiesuivantes:

0 =

n

X

p=1

q

p

0 =

n

X

p=1

q

p

∗



h,

si

q

p

> 0

h

p

,

si

q

p

≤ 0

Où

h

est l'enthalpieau n÷ud de mélangeet

h

p

l'enthalpieen amont du omposant

p

. Cette

situation estreprésentée surlagurede gau he en Figure2.5.

Lapremièrefaçondemodéliser ette onnexion, etquiest elleretenuedanslalibrairie

Ther-moSysPro,estune trans riptiondire tedujeu d'équationssuivant, enutilisant desbran hes

onditionnelles if.

h

et

h

p

sont i i dénies au sein des onne teurs uide, et leur valeur est

que

h

est dis ontinu lors d'une inversionde débit, passant dire tement de

h

1

à

h

2

lorsque le

débitdevientnégatif.On onstateégalementquelorsqueledébitestnul(

q

1

= q

2

= 0

),

l'équa-tionde onservationdel'énergieestsatisfaitepourn'importequellevaleurde

h

etiln'estplus

possible de la dénir uniquement. On parle de singularité. Ces deux aspe ts peuvent poser

problèmelors delarésolution du système.Pour etteraison, ThermoSysPropropose pour la

plupart des omposants une régularisation pour desdébits inférieursà un débit minimal

q

ǫ

.

La onvention estqu'au sein des omposants depertede harge, onne al ulel'enthalpiede

mélange

h

quepourle onne teurenamontdudébit.Pourlesélémentsbiports,lesenspositif

du débit est déni par onvention : le onne teur en amont par défaut est le onne teur 1

ommemontré dansl'illustrationde droite enFigure 2.5.On posealors

q = q

1

= −q

2

.

0 =











h

2

− C

2

.h,

si

q < −q

ǫ

h

1

−

1

₂



C

1

.h + C

2

.h + (C

1

.h − C

2

.h) sin(

π

₂

_q

q

_ǫ

)



,

si

−q

ǫ

≤ q ≤ q

ǫ

h

1

− C

1

.h,

si

q > q

ǫ

La deuxième formulation que l'on va présenter est inspirée de elle retenue dans la

li-braire

M edia

du standard Modeli a [14℄, qui introduit un nouveau type de donnée dansles

onne teurs uides :

stream

.Une variable

stream

orrespond à une grandeur qui transite

par une variable de ux (i i le débit).C'est le as par exemple de l'enthalpie ou de la

om-position massique d'un uide. Les onne teurs uides dénis ave e standard ontiennent

ainsi ommevariable

stream

l'enthalpie

h

i

en amont du omposant. L'enthalpie de mélange

ne fait plus partie du onne teur lui-même. A la pla e, une fon tion nommée inStream est

utiliséeande al uler pour ha un des omposants

i

onne tésensemblelavaleurqu'aurait

h

si le débit allait du n÷ud vers e omposant (soit

q

i

> 0

) . C'est omme si l'on al ulait

n

versions possiblesde

h

.Ces

n

versionspermettent ommeon leverra parla suite de

régu-lariser la transitionlors d'uneinversion de débit. La formulation inStream n'utilise plus des

tests onditionnels omme pré édemment mais une version régularisée de la fon tion

max

.

L'expression de inStream pour le onne teur

i

reliéau noeudde mélangeest lasuivante:

inStream(h

i

) =

P

j=1..n,j6=i

max(−q

j

, 0)h

j

P

j=1..n,j6=i

max(−q

j

, 0)

(2.5)

Comme on peut le onstater, ette formulation pose problème lorsque tous les débits sont

nuls. Pour etteraison, unerégularisation est aussiintroduitelorsque tous lesdébits entrant

danslen÷udde mélangesont pro hesde 0, 'est-à-dire

|σ

i

| ≤ q

ǫ

,ave

σ

i

=

X

j=1..n,j6=i

max(−q

j

, 0)

(2.6)

La régularisation employée pour

|σ

i

| ≤ q

ǫ

et que l'on retiendra par la suite dière quelque

peu de elle employée dansThermoSysPro. Elle sera importantedansle hapitre 3 onsa ré

àl'optimisation, où l'onrequiert que lesmodèles soient diérentiables.

Régularisation des inversions dedébit :

On introduit la fon tion diérentiable posMax

ǫ,w

(x)

représentée dans la Figure 2.6. Le

x

−

0

.

5

0

.

5

1

posMax

0.2,0.5

(x)

0

.

4

0

.

6

0

.

8

1

0

max(x, 0)

Figure2.6 Fon tion posMax

minimale. Cette fon tion vérie posMax

ǫ,w

(x < 0) = ǫ

, posMax

ǫ,w

(x > ǫ) = x

et estdénie par :

posMax

_ǫ,w

(x) =











ǫ,

si

τ < 0

(2ǫ − w)τ

3

+ (2w − 3ǫ)τ

2

+ ǫ,

si

0 ≤ τ ≤ 1

x,

si

τ > 1

,

ave

τ =

x

w

(2.7)

Onpourraomettre les paramètres

w

et

ǫ

pour ra our ir lanotation.

Inversion de débit ave la fon tionposMax :

La fon tion posMax peut être employée dans le s héma à grille dé alée, par exemple utilisé

lorsde ladis rétisation spatialed'uneEDP.Dans e as, l'enthalpie auseindelamaille

i

est

notée

h

vol,i

:

H

i−1

− H

i

= ρ

i

V

i

dh

vol,i

dt

(2.8)

Ave

H

i

donné par :

H

i

= q



h

vol,i

,

si

q ≥ 0

h

vol,i+1

,

si

q

i

< 0

(2.9)

Un lissagede ette expressions'ee tueen remplaçant leséquations de (2.9) par

H

i

=

posMax

(q)h

vol,i−1

−

posMax

(−q)h

vol,i+1

Ceprin ipe sera appliquédansle asd'étude 2.3.2.

2.2 Formalisme DAE pour la modélisation 0D/1D

Onaprésenté jusqu'alorsdes on epts demodélisationpourles entralesd'énergie.Dans