Modélisation probabiliste et éco-évolution d'une population diploïde

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population diploïde

Camille Coron

To cite this version:

Camille Coron. Modélisation probabiliste et éco-évolution d’une population diploïde. Probabilités

[math.PR]. Ecole Polytechnique X, 2013. Français. �pastel-00918257�

pour l'obtention du titre de

DOCTEUR DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE

Spé ialité : Mathématiques Appliquées

par

Camille Coron

Modélisation probabiliste et é o-évolution

d'une population diploïde

Soutenue publiquement le6 dé embre 2013

Sylvain Billiard Université Lille1 Examinateur

Djalil Chafaï Université Paris-Dauphine Examinateur

Loï Chaumont Université d'Angers Rapporteur

Jean-FrançoisDelmas E ole desPonts ParisTe h Examinateur

Amaury Lambert Université Pierre etMarieCurie Président dujury

Sylvie Méléard É ole Polyte hnique Dire tri e dethèse

Introdu tion 1

1 Contexte, notions biologiquesetmodélisation mathématique . . . . 1

2 Résumé desrésultats delathèse . . . 10

I Modélisationaléatoireetétudeduvortexd'extin tion démo-génétique 35 1 Sto hasti modeling of a density-dependent diploid population 37 1.1 Introdu tion . . . 38

1.2 Presentation of the model . . . 39

1.3 Fixation probabilities . . . 42

1.4 Proofsof Propositions 1.3.6 and 1.3.7 . . . 52

1.5 Mutational times ale . . . 63

A Proof of Theorem1.5.1 . . . 74

B Asymptoti behavior of

(K

N

)

N

≥3

. . . 75

2 Quantifying the mutational meltdown 79 2.1 Introdu tion . . . 80

2.2 General model ande ologi altimes ale . . . 82

2.3 The mutational time s ale . . . 85

2.4 Comparison withothermodels . . . 94

2.5 Dis ussion. . . 97

A Matri es . . . 101

B Numeri al al ulationsof Chapters 1and 2 . . . 105

C Fixation probability . . . 107

D The populationsize . . . 108

E

T

asafun tion of

b

. . . 108

3 Slow-fast sto hasti diusion dynami s and quasi-stationarity 113

3.1 Introdu tion . . . 114

3.2 Modeland deterministi limit . . . 115

3.3 Convergen e toward a slow-fast sto hasti dynami s . . . 120

3.4 New hange ofvariableand quasi-stationarity . . . 131

3.5 Numeri alresults . . . 141

A Cal ulations inthe general ase. . . 143

B Numeri alsimulations . . . 147

4 Modèle multi-alléliquede populations diploïdes 155 4.1 Motivation . . . 156

4.2 Modèleetquantitésimportantes . . . 156

4.3 Dynamique lente-rapide . . . 160

4.4 Convergen e versun superpro essusde type Fleming-Viot . . . 169

2 Distribution de lataille depopulation . . . 17

1.1 Mean xation timeof a deleterious mutation, asa fun tion of demo-graphi parameters . . . 73

2.1 Fixation probability ofa deleteriousmutation . . . 85

2.2 Populationsize distribution . . . 87

2.3 Existen e of amutational meltdown . . . 89

2.4 Mean xationtimeand meanpopulationsize . . . 90

2.5 Impa t ofthemutational meltdown . . . 92

2.6 Strength of themutationalmeltdown . . . 93

2.7 Strength of themutationalmeltdownand meanpopulationsize . . . 94

2.8 Mutational meltdownfor theWright-Fisher model . . . 96

2.9 Mutational meltdownina haploid population . . . 97

3.1 Setof values taken bythediusion

S

. . . 133

3.2 Quasi-stationary distributionina neutral ompetitive ase . . . 142

3.3 Quasi-stationary distributioninan overdominan e ase . . . 143

3.4 Quasi-stationary distributionina separateni hes ase . . . 144

3.5 Convergen eofHardy-Weinbergdeviationtowardadeterministi fun -tion . . . 150

3.6 Convergen e ofHardy-Weinbergdeviation toward

0

. . . 151

3.7

2

-dimensional quasi-stationary distribution in aneutral ase . . . 152

3.8

2

-dimensional quasi-stationary distribution in anoverdominan e ase 152

Monentière re onnaissan evatoutnaturellement à SylvieMéléard quim'a

pro-diguéunen adrement d'unequalitéex eptionnelle.Son in royabledisponibilité,son

savoir, etsesremarques toujours justesm'ont permis de mener àbien e travail.Je

la remer ie pour m'avoir proposé des sujetsde re her he intéressants, originaux, et

qui m'ont passionnée.Je lui dois en outre plusieurs rele tures pré ises de

l'intégra-lité de montravail.La onan e qu'ellem'a a ordée dès ledébutde ma thèsem'a

permis d'apprendre énormément et de m'armer. J'admire son dynamisme et son

enthousiasme, grâ e auxquels nous avons notamment pu réer des liens forts ave

plusieurs biologistes,et je suis extrêmement heureuse d'avoir pu faire mes premiers

pasen re her he grâ eà elle.

EmmanuellePor heraétépourmoiuninterlo uteurprivilégiédela ommunauté

des biologistes. Les dis ussions que nous avons eues ave elle ont été à la base de

mon travail et je la remer ie énormément pour tout le temps qu'elle m'a onsa ré.

Je remer ie aussi Alexandre Robert pour sa parti ipation à nos dis ussions et la

pré ision de ses réponses.

Jesuisinnimentre onnaissanteàAntonWakolbingeretLoï Chaumontquiont

a epté derapportermathèse.Jesuis ons ientedutravailetdutempsqu'ilsm'ont

onsa ré à ette o asionet je les en remer ie haleureusement. Je les remer ie par

ailleurs tousdeuxpour leurparti ipation àmon juryde thèse.

Je suis très heureuse que Sylvain Billiard, Djalil Chafaï, Jean-François Delmas,

AmauryLambertetEmmanuellePor heraienta eptédefairepartiedemonjuryde

thèse.Jeremer ieenparti ulierDjalilChafaïetJean-FrançoisDelmaspourl'intérêt

qu'ilsontmontrépourmontravail,SylvainBilliardpournosnombreusesdis ussions

sur la modélisation mathématique etla biologie, etAmaury Lambert pour m'avoir

fait dé ouvrir lesmathématiques appliquéesà l'é ologielors de monstage deM1.

Je suis aussire onnaissante à Pierre Collet, Stéphane Gaubertet Carl Graham

pourlesdis ussionsextrêmementenri hissantesquej'aipuavoirave ha und'entre

eux surmare her he.

Lorsdesdiversesren ontresdel'ANRMANEGEetdelaChaireMMB,j'aiappris

énormément etren ontré de nombreux her heurs intéressés par les mêmes thèmes

quemoi,dansun adre haleureux.Jetiensdon àremer ierSylvieMéléard,Amaury

Lambert etEtienne Pardoux pour le temps etl'énergie onsa rés àl'ANRetSylvie

aussipourla réationdelaChaire.Jeremer ieaussiNi olasChampagnat, ChiTran,

DenisVillemonaisetDialaAbuAwadpournosdis ussions etleursen ouragements.

J'ai passé d'ex ellentes années au CMAP. Je suis en parti ulier très heureuse

remer ie tous pour leur présen e et leur soutien, qui ont été très importants pour

moi. Je remer ie en parti ulier Laurent etXavierpour leurs humours etleur bonne

humeur,ainsiqueSoledad,ManonetEmiliepournosdis ussions.Jesuisaussi

re on-naissante àtous lesautres do torantsetpermanentsdu laboratoire, grâ e auxquels

mesannéespasséesauCMAPsesontdérouléesdansune ambian etrès haleureuse.

Je remer ie en outre Nassera, Alexandra etSylvain pour leuraide pré ieuse etleur

grande patien e.

Je tiens à remer ier tous les membres de l'équipe Probabilités et Statistiques

d'Orsaydontjefaismaintenant partie,pourleura ueil haleureux.Jesuis enoutre

très heureuse de pouvoir m'initier auxstatistiques ave ChristopheGiraud.

Jeremer ie mesamisAgathe, Béatri e,Coralie,Elise,Narith,etlesmembresde

ma belle-famille Clotilde, Danielle, Ni olas,Philippe etWendy qui ont eu l'envie et

le ourage de venir àmasoutenan e.

J'éprouve la plus grandegratitude pour mes parents etmes frère et soeurs

Clo-tilde, Jennifer, Aliénor et Basile pour la merveilleuse vie de famille que j'ai vé u

auprès d'eux et pour les après-midi de rires et de dis ussions qui ont jalonné ma

thèse. J'exprime en parti ulier monimmense re onnaissan e à mes parentsqui,

de-puis toujours, m'ont en ouragée, élevée etaimée. Durant toute ma thèse,ils ont su

memontrerleur onan e etleur erté demevoiravan er.

Mes remer iements les plus profonds vont à Clément, qui a partagé ave moi

tous les doutes mais aussiles joies immenses apportées par la re her he en

mathé-matiques.Clément,jeteremer ie pourtoutes esannéespasséesensemblesettoutes

les aventures qui nous attendent. Ton soutien infaillible, ton humour et ton amour

Introdu tion

Cettethèse porte surlamodélisation etl'étudeprobabiliste de l'évolution

géné-tique de populations onstituéesd'individus diploïdes, qui se reproduisent de façon

sexuée, etsont en intera tion ( ompétition ou oopération) les uns ave les autres.

Cettequestionestabordéedupointdevuedela onservationdesespè es, 'est-à-dire

quenousnousintéressonsàl'impa tdeladiploïdie,del'héréditémendélienne etdes

intera tions sur l'évolution de populations vouées à l'extin tion. Nous onsidérons

une modélisation à temps ontinu, individu- entrée, et dans laquelle les individus

sont ara térisés par leur génotype. Nos travaux s'appuient tous sur un même

mo-dèledebase, onstituéd'unpro essusdenaissan eetmortnon-linéairequiestétudié

sous diérentes é helles de taille de population, de temps, de taux de mutations, et

de taux denaissan e etmort intrinsèque.

Cetteintrodu tions'organiseendeuxparties. Danslapremière,nousprésentons

et détaillons plusieurs notions biologiques essentielles pour bien omprendre notre

travail, et nous introduisons le modèle de base onsidéré. Dans la deuxième, nous

expliquonslastru turedelathèseeténonçons etexpliquonslesprin ipauxrésultats

obtenus dans haque hapitre.

1 Contexte, notions biologiques, et modélisation

mathé-matique

1.1 Motivations et point de vue adopté

Motivations

À l'origine de ette thèse se trouvent deux problématiques biologiques

impor-tantes etauxquellesau une réponsesatisfaisante n'avait étédonnée.

Toutd'abord,lespopulationsdepetitetaille, 'est-à-dire onstituéesdepeu

populations(quifont l'objetdulivreSoulé(1986))présententuneplusgrande

varia-bilitégénétiquetemporelle(Crow&Kimura (1970),pp.

327

− 339

),dela onsangui-nité(i.e.des roisementsentreindividusapparentés,Wright(1921)),ontuneréa tion

diérenteaux hangementsenvironnementaux(Lande(1993)),unedynamique

démo-graphiqueparti ulière(Lande(1988)),et ...End'autrestermesetplusgénéralement,

onsaitqu'une population onstituéedepeud'individus nepeutpassimplementêtre

vue ommelemodèleréduitd'unegrandepopulation.Maisnalement,peut-on

vrai-ment répondreà laquestion"Qu'est- e qu'unepetitepopulation?"?

10

,

100

,

10000

individus?Commentdénirunetailleseuilau-delàde laquelleunepopulation

pour-rait être onsidérée ommegrande?Est- eseulement possible?Pourrépondreà es

questionsil faut onnaître lesphénomènes spé iques à l'évolutiond'une petite

po-pulation, puis déterminerà partirde ombiend'individus es phénomènespourront

être négligés.

Parailleurs,uneautrequestionessentielle,quiapréo upénotammentDarwin

1

,

Fisher (Fisher (1930)), etqui ontinue àintriguer les biologistes de la onservation,

est:"Comment lareprodu tionsexuéesemaintient-elle?"(voirHarteld&

Keight-ley (2012) et, pour une référen e généraliste, les Chapitres

4

et

6

du livre Civard-Ra inais & Gouyon (2009) (Giraud & Penet (2009) et Gouyon & Giraud (2009))).

Ce mode de reprodu tion est en eet très oûteux puisqu'il suppose notamment la

produ tion d'un très grand nombre de gamètes, la ren ontre et le hoix d'un

par-tenaire ompatible, etune fé ondation qui donne lieu à un nouvel individu qui soit

lui-même fertile. La méiose (division ellulaire à l'origine des gamètes) implique en

outre la perte de la moitié de l'information génétique lors de la reprodu tion.

Cha- une de es étapes n'existe pas dans la reprodu tion lonale et présente un oût.

Plusieurs expli ationsau maintien de la reprodu tion sexuée ont alors été avan ées

(Maynard Smith (1978)), sans qu'au une n'ait réellement été quantiée

mathéma-tiquement. L'une d'entre elles est que le brassage génétique dont est issu haque

individu d'une population à reprodu tion sexuée permet une élimination plus

e- a e desmutationsdélétères (lutte ontre le liquet de Müller, phénomène au ours

duquel une populationà reprodu tion lonale soure de l'a umulation irréversible

de mutationsdélétères (Muller (1932))).

Nousavons don her hé à étudierl'impa t de la reprodu tion mendélienne sur

la dynamique de la omposition génétique d'une petite population. En parti ulier,

puisque la théorie de l'évolution de Charles Darwin (Darwin & Royer (1862))

re-pose sur des invasions su essives de mutations, nous nous sommes intéressées à

1 . "We donot eveninthe leastknow thenal ause of sexuality; why newbeings shouldbe produ edbytheunionofthetwosexualelements,insteadofbyapro essofparthenogenesis...The

l'inuen e de la diploïdie sur la probabilité d'invasion ou de disparition d'unallèle

donné dansunepopulationdetaille nie.Nous étudionsen outrelevortex

d'extin -tion démo-génétique, un phénomène spé ique aux populations de petite taille,qui

est ara térisépar desxations deplusenplusfréquentesdemutationsdélétères,et

qui ontribue àa élérer l'extin tion despopulations.

Point de vue adopté

Dans ette thèse nous nous intéressons don à l'évolution génétique de

popula-tions d'individus qui se reproduisent de façon mendélienne et sont en ompétition

les uns ave les autres. Nous nous intéressons en parti ulier (Chapitres 1 et 2) à

l'évolution des populations de petite taille. La population onsidérée est modélisée

par unpro essusdenaissan eetmortmulti-type etnon-linéaire, quiestétudié sous

diérentesé helles detemps,detailledepopulation, detauxdemutation,oude

pa-ramètres démographiques. Pluspré isément, nousfaisons dépendre un ou plusieurs

paramètres de la population ( omme sontaux individuel de mutation,sa taille

ini-tiale, et ...) d'unparamètre d'é helle

K

qui tendra vers l'inni.Ons'intéresse don à la onvergen e (dansun senslarge)d'unesuite de pro essussto hastiques

marko-viens indi éepar e paramètre d'é helle

K

,lorsque

K

tend vers l'inni,ainsiqu'au pro essus limite obtenu.

Enparti ulier,unenotionimportante abordéedans ettethèseest elled'é helle

lente-rapide.Danslapremièrepartie (Chapitres1et2),l'apparitiond'unemutation

a lieu beau oup plus rarement que les événements démographiques de naissan e et

mort. Dans la deuxième partie (Chapitres 3 et 4), la taille et la omposition

géné-tique de lapopulation évoluent lentement tandis que ladistan ede lapopulationà

l'équilibredeHardy-Weinbergévoluerapidement.Enn, dans ha unedespartiesde

ette thèse,l'é helle de temps onsidérée joue un rle très important :dans la

pre-mière partie,l'a élération dutemps permetl'apparition demutations rares,tandis

que dans la deuxième partie, l'a élération des événements de naissan es et morts

naturelles permet une évolution aléatoire de la population sous une hypothèse de

grande taillede population.

Notredémar he estoriginale par rapportauxétudes lassiquesdegénétique des

populations(voirCrow&Kimura (1970) pouruneintrodu tion omplète), arnous

onsidérons des populations dont latailleest non onstante etévoluealéatoirement

au ours du temps. Dans la première partie de ette thèse nous ne faisons pas non

plus d'hypothèse de grande taille de population omme il est fait en dynamique

(2013) pour despopulations diploïdes). Nousinsistons en parti ulier surle fait que

dans notre travail, omme la population est petite, les mutations désavantageuses

peuvent nir par envahir la population, e qui n'est pasle asdans les populations

degrandetailleétudiéesendynamiqueadaptative.Sousunehypothèsedemutations

rares,nousétudionsenparti ulier lepro essusde "Trait Substitution Sequen e"

in-troduit dansMetz et al. (1996), qui montre en temps long les xations su essives

de mutations rares danslapopulation. Cetteasymptotique estétudiée dans

Cham-pagnat&Lambert(2007) pour une populationhaploïde, maisladiploïdieengendre

i i des di ultés supplémentaires. Par ailleurs, les individus de la population sont

enintera tion( ompétitionou oopération)lesunsave lesautres;les onditionsde

séle tion danslapopulationévoluentdon au oursdutemps puisqu'ellesdépendent

du nombre d'individus présents voire de la omposition génétique de la population.

Cettethèses'ins ritdon dansle adredel'étudedel'é o-évolution despopulations,

'est-à-direl'étudedel'évolutionsimultanéed'uneespè eetdel'environnementdans

lequel elle setrouve(Pelletier etal.(2009)).

1.2 Quelques notions biologiques

Dans ettese tionnousrappelonsquelquesnotions basiques on ernant la

géné-tique, ladiploïdie etlareprodu tion sexuée.

Populations diploïdes, lois de Mendel et équilibre de Hardy-Weinberg

Danstousles hapitresde ette thèse,nous onsidéronsune population

d'indivi-dusdiplophasiques(nousdironsaussidiploïdes),hermaphrodites,auto-in ompatibles

etsereproduisant defaçonmendélienneetpanmi tique. Cestermessontmaintenant

expliqués etdis utés.

Chaque être vivant ou individu est onstitué d'une ou plusieurs ellules dans

ha unedesquelles setrouve une opie de songénome, présenté souslaforme d'une

ou plusieurs molé ules d'ADN. Ce matériel génétique est le support de l'hérédité,

qui est assurée par le biais de la reprodu tion. On distingue alors deux types de

reprodu tion : la multipli ation asexuée donne naissan e à un individu qui est un

lonedesonuniqueparent,tandisquelareprodu tionsexuéedonnelieuàunindividu

dont legénome estissu d'unbrassagegénétique entreses deuxparents.

Par ailleurs, une ellule est ara térisée par sonniveau deploïdie, 'est-à-dire le

nombre d'exemplairesde ses hromosomes:on s'intéresserai iuniquement aux

el-luleshaploïdesetdiploïdesquipossèdentrespe tivementune seuleoudeuxversions

haquegène,appeléesallèles.Les ellules onstituantunindividuonttouteslemême

niveau de ploïdie. Un individu est alors ditdiplophasique (resp. haplophasique) s'il

passe la majeure partie de son y le de vie ave des ellules diploïdes (resp.

ha-ploïdes). Par exemplel'humainetlaplupart desanimauxsont diplophasiques :leur

phase haploïde orrespond seulement à la période de formation desgamètes. Il est

importantdenoterqueladiplophasien'estpasné essairement liéeàlareprodu tion

sexuée :la plupart des plantes sereproduisent de façon sexuée, mais ertaines sont

diplophasiquestandis que d'autressont haplophasiques.

Nous avons hoisi de onsidérer des individus hermaphrodites, 'est-à-dire

pos-sédant à la fois les fon tions mâle et femelle; ela permettra de nous on entrer

uniquement sur les eets du brassage génétique qui a lieu lors de la reprodu tion

sexuée, et d'éliminer eux dus à la distin tion des sexes (Maynard Smith (1978),

hap.

6

) :dans notremodèle, haque individupeutsereproduire ave haque autre individu.L'hypothèsedepanmixieassurequelesindividus,lorsdeleurreprodu tion,

hoisissent leurpartenaireuniformément auhasard.Cettehypothèseestsouvent

po-sée engénétique etdynamiquedespopulations.

Dans une population d'individus diploïdes à reprodu tion sexuée, les règles de

transmissiondumatérielgénétiqued'un oupledeparentsàleurenfantsontappelées

lois de Mendel (Mendel (1901)). Ces règles peuvent se résumer de façon simple :

onsidérons un lo us(empla ement) donnédu génome,auquel sesitue ungène. Les

loisdeMendelarment alorsque ha undesdeuxparentsd'unenfanttransmetl'un

de ses deux allèles hoisiuniformément au hasard, à etenfant. Contrairement aux

populations sereproduisant de façon lonale, le nombremoyen d'individus naissant

ave ungénotypedonné n'estalors pasproportionnelaunombred'individusdansla

populationportant e même génotype, e qui posedesdi ultésmathématiques.

Une parti ularité importantedes populations diploïdes est la notion d'équilibre

de Hardy-Weinberg, introduite dans Hardy (1908) etWeinberg (1908) et présentée

en détail dansCrow& Kimura (1970), pp.

34

− 40

et Ewens (2004), pp.

3

− 6

.Cet équilibre assure que dans une population panmi tique de taille innie et à

géné-rations non- hevau hantes, en l'absen e de séle tion, de mutation et de migration,

les fréquen es alléliquesrestent onstantes d'unegénération à l'autre, à partir de la

deuxième génération. De plus, lorsqu'une population satisfait et équilibre, si l'on

onsidère unlo usdonné dugénome, alors laproportion d'individusportant un

gé-notype donné est égale à la probabilité de tirer deux allèles formant e génotype,

si l'on tire deux allèles uniformément, ave remise et indépendamment, parmi

l'en-sembledesallèles présentsdanslapopulation. Parexemple pour deuxallèles

A

et

a

defréquen esrespe tives

p

A

et

p

a

,laproportiond'individusayantpourgénotype

AA

(resp.

Aa

)estégaleà

(p

A

)

2

génotypiques estappeléestru turedeHardy-Weinberg.Par abusdelangage,ondira

dans ette thèse que la population onsidérée est à l'équilibre de Hardy-Weinberg

si elle satisfaitlastru ture de Hardy-Weinberg, même si lesfréquen es alléliquesne

restent pas onstantesau ours dutemps.

Petites populations, mutations et vortex d'extin tion

Dans ettethèse,nousmodélisons,étudionsetquantionsunphénomène appelé

"vortex d'extin tion demo-génétique", dansune population diploïdeà reprodu tion

sexuée. Avant de dénir e phénomène, nous avons besoin à nouveau de quelques

notions biologiques. Tout d'abord, une mutation est une modi ation à un endroit

donnédugénomed'une elluled'unindividu.Chaquenouvelallèleestdon issud'une

mutationd'unallèleexistant.Unemutationdélétèreestunemutationqui onfèreun

désavantage séle tif à son porteur.On s'intéressera dans ette thèse aux mutations

quiontlieu danslalignéegerminale (i.e.dansune ellulequi vadonnerungamète),

qui seront don transmises lors de lareprodu tion. Une notion importante hez les

populations diploïdes est lanotion de relation de dominan e entre deux allèles :on

dit qu'un allèle

a

est ré essif par rapport à un allèle

A

lorsqu'il ne s'exprime pas hez l'individu de génotype hétérozygote

Aa

(i.e. les phénotypes des individus de génotypes

AA

et

Aa

sont les mêmes).L'allèle

A

est alors dit dominant par rapport à l'allèle

a

. Au ontraire, on dit que les deux allèles sont odominants lorsqu'ils s'expriment tous les deux hez l'hétérozygote. En parti ulier, leseets d'unallèle

a

sont dits additifs si le phénotype (quantiable) d'un individu hétérozygote

Aa

est égalàlamoyennedesphénotypesdeshomozygotes

AA

et

aa

.Ons'intéresseraaussià un asappelésurdominan e,danslequellesindividusdetype

Aa

sontmieuxadaptés que les homozygotes

AA

et

aa

. Par ailleurs, on dit qu'un allèle (ou une mutation, don ) à un gène donné se xelorsqu'il nit par rempla er, dans une population, le

ou les autres allèles présents à e gène. Un allèle qui s'est xé est don porté par

touslesindividus,en doubleexemplaire pour unepopulationdiploïde. Ondiradon

par exemple qu'unallèle

a

présent à unlo usdonné sexesiau boutd'unmoment touslesindividusontpourgénotype

aa

à e lo us.I iilestimportant deremarquer quelorsqu'une populationd'individus haploïdes ara tériséspar leur génotype àun

seullo usbi-alléliquene ontient plusqu'unseulindividu,alorsellene ontientplus

qu'unallèlepour elo us.Ilyadon né essairementxationdel'undesdeuxallèles

avantl'extin tiondelapopulation.Dansunepopulationdiploïdeilpeut nejamaisy

avoirxation d'undesdeuxallèles,si ledernierindividurestant danslapopulation

Un "vortex" (ou tourbillon) d'extin tion est un phénomène observé par les

bio-logistes dans les petites populations, qui onsiste en une dé roissan e de plus en

plus rapide de la taille de population, jusqu'à l'extin tion. Cette a élération de la

dé roissan e de la taille de population est due à une ombinaison de plusieurs

fa -teurs qui se renfor ent mutuellement (Stephens & Sutherland (1999)), et plusieurs

typesdevortexsontdénis,enfon tion desfa teursmis enjeu(voirGilpin&Soulé

(1986), pp.

25

− 34

, pour plus de détail). I i nous étudions le vortex d'extin tion démo-génétique ("mutational meltdown" en anglais), au ours duquel la taille de

populationdiminue de plus enplus rapidement suite à desxations deplus en plus

fréquentes de mutations délétères dans la population. Ce vortex est introduit dans

l'arti le Lyn h et al. (1995) et son fon tionnement, tel qu'il est dé rit par les

bio-logistes, est le suivant : plus une population est petite, plus les mutations délétères

se xent fréquemment (du fait de ladérive génétique, Drakeet al.(1998) ou Lyn h

etal.(1999)), etpar ailleurs,à haque foisqu'unemutation délétèresexe, lataille

de population diminue.La ombinaisonde esdeuxfaits réedon une a élération

de la diminution de la taille de population et en parallèle des xations de plus en

plus rapidesde mutationsdélétères.

1.3 Le modèle de base

Nousintroduisons maintenant le modèle mathématique qui est à labase de nos

travaux. Considérons une population d'individus diploïdes ara térisés par leur

gé-notype à unlo uspour lequel ilexiste deuxallèles,

A

et

a

.Chaqueindividu adon un destroisgénotypes possibles,

AA,

Aa

ou

aa.

On parleraaussidetypes

1,

2

ou

3

pour plusde simpli ité. Lapopulationestalors modélisée par unpro essus de

nais-san e etmort àtroistypes

(Z

t

)

t

≥0

= (k

t

, m

t

, n

t

)

t

≥0

qui donne à haque temps

t

∈ R

+

les nombres respe tifs d'individus de haque génotype.Onnote

N

t

= k

t

+ m

t

+ n

t

la taillede lapopulationau temps

t

etnousdétaillonsmaintenant les tauxde nais-san e et mort du pro essus

(Z

t

)

t≥0

. On suppose que haque individu essaie de se

reproduire autaux

r > 0

.Lors de ettetentative,un individu hoisit unpartenaire dereprodu tionuniformémentauhasardparmilesautresindividusdelapopulation

(rappelons que les individus sont auto-in ompatibles : ils ne peuvent pas se

repro-duire ave eux-même). Enn, pour

i

et

j

dans

{1, 2, 3}

,on dénit lavaleur séle tive asso iée à un ouple d'individus de typesrespe tifs

i

et

j

omme laprobabilité

p

i,j

que e ouple,lorsd'unefé ondation,produiseunenfant.Cetteprobabilitépeutpar

exemple dépendre du nombremoyen de gamètesproduits par haque génotype.En

eet,silesindividusde types

2

et

3

produisentdeuxfoismoinsdegamètesque eux de type

1

, on pourra supposer qu'un ouple d'individus de types respe tifs

2

et

3

a quatre fois moins de han e de se reproduire lors d'une ren ontre, qu'un ouple

onstituédedeuxindividusdetype

1

.Plusgénéralement, ettevaleurséle tive asso- iée à haque ouplepossible degénotypestraduit àla foisla apa ité reprodu tive

de ha un des deux génotypes impliqués, et leur ompatibilité. Posons

b

ij

= rp

i,j

pour tous

i

,

j

. Alors si

Z

t

= (k, m, n)

et

N = k + m + n

≥ 2

, la ren ontre et la reprodu tiondedeuxindividusdetypes

1

et

2

danslapopulationautemps

t

,alieu au taux:

rN km

2

N (N

_{− 1)}

p

1,2

= r

2km

N

_{− 1}

p

1,2

= b

12

2km

N

_{− 1}

.

Pourun oupled'individusde mêmetype,ilfaut deplustenir omptedufaitqu'un

individu ne peut se reproduire ave lui-même. Par exemple, si

Z

t

= (k, m, n)

et

N = k + m + n

_{≥ 2}

,alorslaren ontreetlareprodu tiondedeuxindividusnon-xés de type

1

danslapopulationau temps

t

seproduitau taux:

rN

k(k

− 1)

N (N

_{− 1)}

p

1,1

= b

1,1

k(k

_{− 1)}

N

_{− 1}

.

Le génotype du nouveau-né est le résultat d'une ségrégation (ou brassage

gé-nétique) et, d'après les lois de Mendel, un ouple d'individus de types

1

et

2

par exemple ( 'est-à-dire de génotypes

AA

et

Aa

), donne un individu de génotype

AA

ou

Aa

ave probabilités

1/2

pour ha un. Inversement, unindividude type

AA

naît de laren ontre dedeux individusquisont soit de génotype

AA

tousles deux( ette ren ontredonneunindividudetype

AA

ave probabilité

1

),soitdetype

Aa

tousles deux ( ette ren ontre donne un individu de type

AA

ave probabilité

1/4

), soit de types

Aa

et

AA

( etteren ontredonneunindividudetype

AA

ave probabilité

1/2

). Nous dénissons enn pour tout

i

∈ {1, 2, 3}

la probabilité

q

i

pour qu'un individu de type

i

soitviable. Ainsi, si

Z

t

= (k, m, n)

et

N = k + m + n

≥ 2

,alors pour tout

au temps

t

,vaut :

λ

1

(k, m, n) = q

1



b

11

k(k

_{− 1)}

N

_{− 1}

+ b

12

km

N

_{− 1}

+ b

22

m(m

_{− 1)}

4(N

_{− 1)}



,

λ

2

(k, m, n) = q

2



b

12

km

N

− 1

+ b

22

m(m

− 1)

2(N

− 1)

+ b

23

mn

N

− 1

+ b

13

2kn

N

− 1



,

λ

3

(k, m, n) = q

3



b

33

n(n

− 1)

N

_{− 1}

+ b

23

mn

N

_{− 1}

+ b

22

m(m

− 1)

4(N

_{− 1)}



.

Lesindividusétant auto-in ompatiblesdansnotremodèle,notonsqu'iln'yapas

de naissan e lorsqu'ilne reste plusqu'un individu dansla population. Celle- i peut

alors être onsidérée omme éteinte, e qui n'est évidemment pas le as pour une

populationà reprodu tion lonale.Ce phénomèneen apparen e anodinjoue un rle

très important lorsque l'on s'intéresse à laxation d'un allèle dans une population

diploïde. En eet, omme nous l'avons mentionné dans la se tion pré édente, si la

populationne ontient plus qu'un seulindividu etque elui- i esthétérozygote (i.e.

de génotype

Aa

), alors au un des deuxallèles

A

et

a

ne sexera.Dans leChapitre

1, le nombre d'individus dansla populationest arti iellement maintenu au-dessus

de

2

and'éviterl'extin tion delapopulationetde for erla xationd'undesdeux allèles.

Nous introduisons maintenant une dimension é ologique au modèle. Plus

pré- isément, les individus peuvent mourir soit de façon naturelle, soit du fait de la

ompétition ave les autres. DansleChapitre 3,nousajoutons aussiunepossibilité

de oopérationentrelesindividus.Pluspré isément, haqueindividupeutsoitaider

soit pénaliser haque autre individu,et e en fon tion deleurs génotypesrespe tifs.

Lorsqu'un individu est aidé par un autre individu, son taux de mort est diminué.

Pour tout

i

∈ {1, 2, 3}

,si

Z

t

= (k, m, n)

,letaux

µ

i

(k, m, n)

auquel lapopulation au temps

t

perdun individude type

i

estplus pré isément dénipar

µ

1

(k, m, n) = k(d

1

+ (c

11

k + c

21

m + c

31

n))

+

,

µ

2

(k, m, n) = m(d

2

+ (c

12

k + c

22

m + c

32

n))

+

,

µ

3

(k, m, n) = n(d

3

+ (c

13

k + c

23

m + c

33

n))

+

.

où les paramètres démographiques d'intera tion ( ompétition ou oopération)

c

ij

sont desnombresréelsquel onqueset

(x)

+

_{= max(x, 0)}

pourtout

x

∈ R

.Si

c

ij

> 0

, alors les individusde type

i

ont un impa t négatif sur les individusde type

j

alors quesi

c

ij

< 0

,ils les aident.Lesparamètres démographiques

d

i

≥ 0

sont lestauxde mort intrinsèquedes individusdetype

i

.

individuà l'environnement dépenddesaviabilité,desa apa itéreprodu tri eetde

sonespéran edeviedanslapopulationquil'entoure.Onditquelemodèleestneutre

lorsque lesparamètres démographiques ne dépendent pasdu typedesindividus, i.e.

b

ij

= b

,

q

i

= q

,

c

ij

= c

,

d

i

= d

pour tous

i

et

j

dans

{1, 2, 3}

.

2 Résumé des résultats de la thèse

Cette thèse est onstituée de deux parties : dans la première, nous étudions le

vortex d'extin tion démo-génétique, alors que dans la deuxième nous nous

intéres-sons à la onvergen e vers une dynamique diusive lente-rapide d'une population

diploïde sousune é helle de grande taille de population etévénementsde naissan e

etmort intrinsèque fréquents. Cha une de esdeuxparties est diviséeen deux

ha-pitres. Dans le premier hapitre, nous nous intéressons à la probabilité de xation

d'unallèlelégèrementdélétèredansunepopulationdetaillenieet,sousuneé helle

de mutations rares et après hangement d'é helle de temps nous prouvons

mathé-matiquement l'existen e d'un vortex d'extin tion. Le deuxième hapitre présente

plusieurs résultats numériques asso iés au modèle et aux résultats du Chapitre 1

et fournit une analyse biologique des résultats obtenus, dans le but de omprendre

omment quantier le vortex d'extin tion et l'impa t de e phénomène sur la

dy-namique de la taille de population. Dans letroisième hapitre, nous prouvons dans

un premier temps la onvergen e vers une dynamique diusive lente-rapide d'une

population diploïde modélisée par un pro essus de naissan e et mort non-linéaire

à

3

types, sous une é helle de grande taille de population. Nous étudions dans un se ond temps le omportement quasi-stationnaire de ette population et nous nous

intéressonsenparti ulieràlapossibilitéde oexisten eentempslongdedeuxallèles

dans une population onditionnée à ne pas être éteinte. Enn, dans le quatrième

hapitre,nous ommençons pargénéraliserlerésultatde onvergen eversune

dyna-miquelente-rapideobtenudansleChapitre3,pourunepopulationdontlesindividus

sont ara térisés parleurgénotypeàun lo usprésentant unnombreniquel onque

L

d'allèles. Nous prouvons ensuite la onvergen e de la population lorsque

L

tend vers l'inni, vers un pro essusde Fleming-Viot généralisé ave taille de population

non onstanteetséle tion diploïdeadditive.

2.1 Chapitre 1 : étude probabiliste d'une population diploïde et

densité-dépendante

Advan es in Applied Probability, enJuin 2014.

É helle de temps é ologique

Dans e hapitre nous ommençonspar étudierlaprobabilité de xationde

l'al-lèle

a

dans la population modélisée par le pro essus de naissan e et mort

(Z

t

=

(k

t

, m

t

, n

t

), t

≥ 0)

introduit dansla Se tion 1.3dont nous rappelons i i les taux de naissan e etmort si

Z

t

= (k, m, n)

:

λ

1

(k, m, n) = q

1



b

11

k(k

_{− 1)}

N

_{− 1}

+ b

12

km

N

_{− 1}

+ b

22

m(m

_{− 1)}

4(N

_{− 1)}



,

λ

2

(k, m, n) = q

2



b

12

km

N

− 1

+ b

22

m(m

_{− 1)}

2(N

− 1)

+ b

23

mn

N

− 1

+ b

13

2kn

N

− 1



,

λ

3

(k, m, n) = q

3



b

33

n(n

− 1)

N

− 1

+ b

23

mn

N

− 1

+ b

22

m(m

− 1)

4(N

− 1)



,

et

µ

1

(k, m, n) = k(d

1

+ (c

11

k + c

21

m + c

31

n))

+

,

µ

2

(k, m, n) = m(d

2

+ (c

12

k + c

22

m + c

32

n))

+

,

µ

3

(k, m, n) = n(d

3

+ (c

13

k + c

23

m + c

33

n))

+

.

Nous onsidéronspluspré isément un asparti ulieroùleseetsdistin tsdel'allèle

a

par rapport à eux de l'allèle

A

n'inuent quesur les taux de mort naturelle, i.e.

b

ij

= b > 0

,

q

i

= 1

,

c

ij

= c > 0

,pourtous

i

,

j

,et

d

1

= d

,

d

2

= d+δ

et

d

3

= d+δ

′

.Les

taux de naissan eetmort dupro essus

(Z

t

= (k

t

, m

t

, n

t

), t

≥ 0)

deviennent alors :

λ

1

(k, m, n) = b

 k(k − 1)

N

_{− 1}

+

km

N

_{− 1}

+

m(m

− 1)

4(N

_{− 1)}



,

λ

2

(k, m, n) = b



km

N

_{− 1}

+

m(m

− 1)

2(N

_{− 1)}

+

mn

N

_{− 1}

+

2kn

N

_{− 1}



,

λ

3

(k, m, n) = b

 n(n − 1)

N

− 1

+

mn

N

− 1

+

m(m

_{− 1)}

4(N

− 1)



,

et

µ

1

(k, m, n) = k(d + c(k + m + n)),

µ

2

(k, m, n) = m(d + δ + c(k + m + n)),

µ

3

(k, m, n) = n(d + δ

′

+ c(k + m + n)).

Notons que si

δ > 0

et

δ

′

_{> 0}

(resp.

δ < 0

et

δ

′

_{< 0}

), alors l'allèle

a

est délétère (resp. avantageux). Par ailleurs, si

δ = 0

,alors l'allèle

a

estré essif, etsi

δ

′

_{= 2δ}

, il

est additif.

Commenousl'avonspré isédanslaSe tion1.3de etteintrodu tion,lepro essus

xé. Pour éviter e phénomène,nous empê honsdon arti iellement lapopulation

de mouriren imposant,pour tout

(k, m, n)

∈ (Z

+

)

3

tel que

k + m + n = 2

:

µ

1

(k, m, n) = µ

2

(k, m, n) = µ

3

(k, m, n) = 0.

Pourtout

t

≥ 0

,onadon

Z

t

∈ N

3

∗∗

= (Z

+

)

3

\ {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

et lepro essus

(Z

t

)

t

≥0

admetalors unespa e d'étatsabsorbants

Γ = Γ

a

∪ Γ

A

,ave : 

Γ

a

=

{(0, 0, n), n ≥ 2}

estl'ensembledesétats pour lesquelsl'allèle

a

s'estxé

etl'allèle

A

a disparu.



Γ

A

=

{(k, 0, 0), k ≥ 2}

estl'ensembledesétatspourlesquelsl'allèle

A

s'estxé etl'allèle

a

adisparu.

Nous prouvons alors que le temps d'atteinte de l'ensemble

Γ

par le pro essus mar-kovien de saut

(Z

t

)

t

≥0

est nipresque sûrement et nousobtenons même lerésultat suivant, pour le temps

T

Γ

d'atteinte de

Γ

par la haîne de Markov in luse asso iée au pro essus

(Z

t

)

t≥0

:

Lemme 1 (1.4.8). Pour tout

(k, m, n)

∈ N

3

∗∗

, il existe unréel stri tement positif

ρ

tel que

E

k,m,n

((1 + ρ)

T

Γ

_{) <}

_∞.

Ce lemme joue un rle important à plusieurs reprises dans notre travail et sa

preuves'appuiesurunpremierrésultatobtenuàlaProposition1.2.1:nousprouvons

que le temps

T

{2}

de retour en

{(k, m, n)|k + m + n = 2}

de la haîne in luse asso iéeaupro essus

(Z

t

)

t

≥0

satisfait

E

k,m,n

((1 + ρ)

T

{2}

_{) <}

_∞

pourun

ρ

assez petit (Proposition 1.2.1).Cerésultat estobtenuen utilisantdesargumentsd'existen ede

distributions quasi-stationnaires développésdans Colletet al. (2013a).

Nous étudions don la probabilité

u((k, m, n), δ, δ

′

₎

de xation de l'allèle

a

sa- hant que

Z

0

= (k, m, n)

, i.e. la probabilité pour que le pro essus

(Z

t

, t

≥ 0)

ave

Z

0

= (k, m, n)

soitabsorbéen

Γ

a

etnonen

Γ

A

( etteprobabilitédépendaussides pa-ramètresdémographiques

b

,

d

et

c

).Toutd'aborddansle asneutreoù

δ = δ

′

_{= 0}

,le

pro essussto hastique donnant laproportion d'allèles

a

est unemartingale (Propo-sition1.3.2).La probabilité

u((k, m, n), 0, 0)

de xationde l'allèle

a

silapopulation partde l'état

(k, m, n)

estalors simplementégale àlaproportion initialed'allèle

a

:

u((k, m, n), 0, 0) =

m + 2n

2(k + m + n)

.

Onsupposeensuitequelesparamètres

δ

et

δ

′

sont pro hesde

0

(i.e.lamutationqui hange l'allèle

A

en allèle

a

estde petitetaille). Nousobtenons lerésultat suivant : Théorème 2 (1.3.4). Pour tout

(k, m, n)

dans

N

3

∗∗

,la fon tion

est une fon tion analytique de

(δ, δ

′

₎

au voisinage de

(0, 0)

. De plus si nous posons

N = k + m + n

,alors

u((k, m, n), δ, δ

′

) =

2n + m

2(k + m + n)

− δv(k, m, n) − δ

′

_{w(k, m, n) + o(}

_{|δ| + |δ}

′

_|),

ave

v(k, m, n) = (k

_{− n)}

 m

N

x

N

+

N

2

_{− (k − n)}

2

N

2

y

N



,

w(k, m, n) =

n(2k + m)

N

x

N

+ mx

′

N

+ (2k + m)(2n + m)

 y

′

_N

N

−

2k + m

2N

2

y

N



.

Lessuitesréelles

(x

N

)

N≥3

,

(y

N

)

N≥3

,

(x

′

N

)

N≥3

,et

(y

′

N

)

N

≥3

sontdénies ommeétant les uniquessolutionsbornéesd'équationsderé urren es dedegré

2

à oe ients non- onstants (Propositions1.3.6 et 1.3.7).

Ce théorème nous permet alors d'approximer numériquement les valeurs de la

probabilité de xation

u((k, m, n), δ, δ

′

₎

pour tout

(k, m, n)

∈ N

3

∗∗

. On s'intéresse en parti ulier aux états de la forme

(k, m, n) = (N

− 1, 1, 0)

pour

N

≥ 2

, ar on onsidère lassiquement que l'allèle

a

est apparu dans la population par mutation d'un seul brin d'ADN d'un seul individu. La population est don à e moment (à

partirduquelon étudielapopulation)passée d'unétathomozygote

(N, 0, 0)

à l'état

(N

_{− 1, 1, 0)}

.Ontra edanslaFigure1laprobabilité dexation

u((N

− 1, 1, 0), δ, δ

′

₎

en fon tion de

N

pour diérents asde dominan e(ré essivité etadditivité). Idées de la preuve : Tout d'abord, pour montrer l'analyti ité de

u

, nous uti-lisons le fait que

u((k, m, n), δ, δ

′

₎

se dé ompose omme la somme, sur l'ensemble

S

_(k,m,n)

_→Γ

_a

detous les heminspartant de

(k, m, n)

et arrivant en unpoint de xa-tiondel'allèle

a

,delaprobabilitéde es hemins,ensuivantuneidéedeChampagnat & Lambert (2007) :

u((k, m, n), δ, δ

′

) =

X

(i

1

,..i

l

)

∈S

(k,m,n)

→Γa

π

_i

δ,δ

₁

_i

₂

′

...π

δ,δ

_i

′

l

−1

i

l

.

(1)

Cha un des termes de la somme est une fon tion analytique en

(δ, δ

′

₎

au voisinage

de

(0, 0)

. Nous prolongeons la fon tion

(δ, δ

′

₎

_{7→ u((k, m, n), δ, δ}

′

₎

sur un ouvert de

C

2

approprié et grâ e au Lemme 1, nous montrons qu'elle est analytique sur et ouvert. Puis, nous notons

L

δ,δ

′

le générateur innitésimal du pro essus

(Z

t

, t

≥ 0)

. Lepro essus

(u(Z

t

, δ, δ

′

₎₎

t

≥0

estunemartingale,don

L

δ,δ

′

_{u(., δ, δ}

′

_{)(k, m, n) = 0}

pour

tout

(k, m, n)

∈ N

3

∗∗

(Proposition 1.3.3) equi nousdonne quelesdérivéespartielles

(v(k, m, n))

_(k,m,n)

_∈N

3

Figure 1  Probabilité de xation

u

δ,δ

′

N

−1,1,0

d'une mutation délétère additive (

δ =

δ

′

/2

,losangespleins),re essive(

δ = 0

,losangesvides),ouneutre(

δ = δ

′

_{= 0}

, arrés),

enfon tiondelatailleinitialedepopulation

N

.Lesparamètresdemographiquessont

b = 10

,

d = 1

,

c = 0.1

,et

δ

′

_{= 0.2}

.











(Lv)(k, m, n) =

_{2N (N−1)}

m(n

−k)

_{∀(k, m, n)|k + m + n ≥ 3}

(Lv)(k, m, n) = 0

∀(k, m, n)|k + m + n = 2

v(2, 0, 0) = v(0, 0, 2) = 0,

(2) où

L = L

0,0

. Cette équation est une équation de ré urren e d'ordre

2

à

3

indi es, du faitque

L

est legénérateurd'unpro essus denaissan e etmort à

3

types. Nous prouvons(Proposition 1.3.5) par unargument probabilisteet enutilisant la

dé om-position(1) que

v

esten faitl'uniquesolutionsous-linéaire (i.e.tellequ'ilexisteune onstante

C > 0

telleque

|v(k, m, n)| ≤ C(k + m + n)

pour tout

(k, m, n)

∈ N

3

∗∗

)de (2) .Laformede

v(k, m, n)

enfon tionde

k

,

m

et

n

estennintuitée.Nousmontrons en eet que

v(k, m, n) = (k

_{− n)}

 m

N

x

N

+

N

2

− (k − n)

2

N

2

y

N



sietseulementsi

(z

N

)

N≥3

=

x

N

y

N

!

N

≥3

estl'uniquesolutionbornéed'uneéquation

de ré urren e de degré

2

à un seul indi e a ompagnée d'une ondition initiale, de laforme :

B

N

z

N +1

= C

N

z

N

+ D

N

z

N

−1

+ f

N

for all

N

≥ 4

B

3

z

4

= ˜

C

3

z

3

+ f

3

,

(3)

où les matri es arrées de taille

2 B

N

,

C

N

,

D

N

,et

C

˜

3

etles ve teurs de taille

2 f

N

sont expli ités. Enn, si

b

est assez petit devant

c

,on montre en étudiant en détail

l'équationderé urren e(3)qu'unetellesolutionexiste.LeThéorème2estdon vrai

si

b

est assez petit.Pour nir, nousmontrons ommeau débutde ette preuve, que

v

est une fon tion analytique de

b

e qui nouspermetd'étendre le résultat à toute valeur stri tement positive du paramètre de naissan e

b

. Le même travail est fait séparément pour

w

.



É helle de temps mutationnelle

An d'observer des xations su essives de mutations délétères et d'étudier le

vortexd'extin tion, dansladernièrese tionde e hapitre (Se tion1.5duChapitre

1),nousajoutonsdesmutationsraresaumodèle onsidéré.Pluspré isément,enplus

desévénementsde naissan eetmort, haqueindividu amaintenantlapossibilitéde

muter au ours de sa vie,au taux

2µ/K

où

K

est un paramètre d'é helle qui tend versl'inni.Quand

K

tendversl'inni,onretrouvealorslepro essusdenaissan eet mort sans mutation étudié pré édemment. Nous hangeons don d'é helle de temps

en onsidérant la population au temps

Kt

avant de faire tendre

K

vers l'inni, e qui laisse aux mutations le temps d'apparaître : 'est e que l'on appelle l'é helle

mutationnelle. Chaque individu est maintenant ara térisé par son génotype

x

∈

G

:=

_{{{A, C, G, T }}

G

_}

2

, où

G

est la taille du génome et

A

,

C

,

G

et

T

sont les

4

nu léotides qui omposent l'ADN. La population autemps

Kt

estalors notée

(Z

_Kt

K

)

t>0

:=





N

K

Kt

X

i=1

δ

_x

i,K

Kt





t>0

,

où

δ

x

est la mesure de Dira au point

x

,

N

K

Kt

est la taille de la population au temps

Kt

, et

x

i,K

Kt

∈ G

est le génotype du

i

-ème individu dansla population

Z

K

Kt

. Les événements de naissan e et mort ont alors lieu inniment rapidement, et par

le Lemme 1, haque nouvelle mutation qui apparait est éliminée ou se xe, et e

de façon instantanée : la population est don monomorphe à haque instant. En

parti ulier tous les individus ont les mêmes paramètres démographiques à haque

instant. Lorsque les individusont pour paramètres démographiques

b > 0

,

d

≥ 0

et

c > 0

,onnote

l(., b, d, c)

laloistationnairede lataillede population. Nousobtenons alors (Théorème 1.5.1) un résultat de onvergen e qui est l'analogue diploïde du

Théorème

3.1

deChampagnat &Lambert(2007) :  Pour tous temps

0 < t

1

< ... < t

n

, le

n

-tuple

(Z

K

Kt

1

, ..., Z

K

Kt

n

)

onverge en loi vers lavariable aléatoire

(N

t

1

δ

S

_t1

, ..., N

t

n

δ

S

tn

)

où

(S

t

)

t>0

est un pro essus markoviendesautquisauted'ungénotype homozygote

x

(1)

_{= (x}

1

, x

1

)

versun autregénotypehomozygote

x

(2)

_{= (x}

2

, x

2

)

où

x

1

et

x

2

sontdans

{A, C, G, T }

G

 Conditionnellementà

(S

t

1

, ..., S

t

n

) = (x

(1)

_{, ..., x}

(n)

₎

,lesvariablesaléatoires

N

t

1

,

... ,

N

t

n

sont indépendantes les unes des autres et pour tout

i

,

N

t

i

a pour

loi

l(., b(x

(i)

_{), d(x}

(i)

_{), c(x}

(i)

₎₎

, si

b(x

(i)

₎

,

d(x

(i)

₎

et

c(x

(i)

₎

sont les paramètres

démographiques d'unepopulation onstituée d'individus ayant pour génotype

x

(i)

.

 Dans le as parti ulier où les mutations ont toutes le même eet qu'étudié

pré édemment (i.e. si les individus de génotype

x

(1)

ont pour paramètres

dé-mographiques

b

,

d

et

c

alors lesindividusde génotype

(x

1

, x

2

)

(resp.

x

(2)

)ont

pour paramètres démographiques

b

,

d + δ

(resp.

d + δ

′

) et

c

), alors le taux

τ (b, d, c, δ, δ

′

)

auquellepro essusdesaut

(S

t

, t

≥ 0)

sauted'ungénotypeayant pour taux de mort intrinsèque

d

(vers un génotype ayant pour taux de mort intrinsèque

d + δ

′

) vaut :

τ (b, d, c, δ, δ

′

) = 2µ

∞

X

N =2

N u((N

_{− 1, 1, 0), δ, δ}

′

)l(N, b, d, c),

où

u

aétéétudiéepré édemment(Théorème2)etdépendaussidesparamètres démographiques

b

,

d

et

c

.

Le pro essus

(N

t

δ

S

t

)

t≥0

est appelé "Trait Substitution Sequen e" (Metz et al.

(1996)):à haque xationd'une nouvelle mutation, lepro essus

(S

t

)

t≥0

saute d'un génotypeà l'autre etlataille de population

N

t

hange de loi.Dans le asoù toutes lesmutationssont délétères,l'espéran ede

N

t

diminuelégèrement à haquexation (l'évolution de la loi de la taille de population à haque xation d'une mutation

délétère estplus pré isément illustréedansla Figure2).

Nousprouvons alors le résultat suivant qui prouve l'existen e d'unvortex

d'ex-tin tion.

Théorème3(1.5.2). Fixonsleparamètrede ompétition

c

etsupposonsque

E(N

2

0

) <

∞

. Si

δ > 0

et

δ

′

_{> δ}

, et si

b

est assez petit, alors le temps moyen de saut de

S

,

T (b, d, c, δ, δ

′

) = 1/τ (b, d, c, δ, δ

′

)

est une fon tion dé roissante du taux de mort in-trinsèque

d

des individus.

Pour lapreuve de e dernier résultat,nous soulignons ladépendan e de la

pro-babilité de xation

u((k, m, n), δ, δ

′

₎

en le taux de mort intrinsèque en la notant

u((k, m, n), d, δ, δ

′

)

, quand les individus ont pour taux de mort intrinsèque

d

. La preuve onsistealors à montrer d'unepartque lafon tion

Figure 2  Distribution dela taille de population pour diérentes valeurs du taux

de mort intrinsèque

d

.Dans ette gure,

b = 10

et

c = 0.1

.

est dé roissante,etd'autre part quepour tout

N

≥ 2

,la fon tion

d

′

7→ u((N − 1, 1, 0), d

′

, δ, δ

′

)

est roissante.Nousprouvonsparailleursquesi

d

′

_{> d}

,alors ilexiste

N

0

≥ 2

telque pour tout

N

≤ N

0

,

l(N, b, d

′

_{, c)}

_{≥ l(N, b, d, c)}

, et pour tout

N > N

0

,

l(N, b, d

′

_{, c) <}

l(N, b, d, c),

omme illustré dansla Figure 2 (

l(., b, c, d)

a été dénie pré édemment omme la loi de la taille de population lorsque les individus ont pour paramètres

démographiques

b

,

d

et

c

).

À haque fois qu'une mutation délétère se xe, le taux de mort intrinsèque des

individus est augmenté et d'après le théorème pré édent, le taux de xation des

mutationsdélétèresaugmente(i.e.letempsmoyendexationdiminue), equiprouve

l'existen ed'unvortex:onpeutobserverdesxationsdeplusenplusfréquentes(en

moyenne) de mutationsdélétères.

2.2 Chapitre 2 : étude quantitative du vortex d'extin tion

démo-génétique

Le deuxième hapitre est onstitué de l'arti le Coron et al. (2013), ee tué en

ollaborationave SylvieMéléard,EmmanuellePor heretAlexandreRobert,intitulé

"Quantifying the mutational meltdown in diploid populations" et paru dans The

Ameri an Naturalist,en Mai2013.

quantitatifs ainsiqu'une analyseé ologiquede esrésultats. Les al uls numériques

ont été ee tués grâ e au logi iel Maple etaux équations établies dans leChapitre

1. Plus pré isément nous estimons numériquement les valeurs prises par la suite

(z

N

)

N

≥3

dénie par l'équation de ré urren e (3) (le même travail est fait pour les suites

(x

′

N

)

N

≥3

et

(y

′

N

)

N

≥3

introduitesauThéorème2), equinouspermetd'estimer toutes les grandeurs qui nousintéressent.

Nousillustronstoutd'abord lerésultat établiauThéorème 3etquidonne

l'exis-ten ed'unvortexd'extin tion.Noustraçons pour ela(Figure3)letempsmoyende

xationd'unemutation délétèreen fon tion dutauxdemort intrinsèquedes

indivi-dus qui onstituent lapopulation, e qui donne bienune fon tion dé roissante. Les

résultatsnumériquesquenousobtenonssuggèrent d'ailleursqueleThéorème3reste

vrai tant que

δ >

≥ 0

,

δ

′

_{≥ 0}

,et

δ + δ

′

_{> 0}

, sans qu'il soit né essaire en parti ulier

de supposerque

δ

′

_{> δ}

.

Figure 3Relationentre

T

,letempsmoyen dexationd'unemutation délétèreet letaux de mort intrinsèquedesindividus

d

,pour diérentes valeurs desparamètres démographiques etdiérents asdedominan e. Symbolesvides:mutation ré essive

(

δ = 0

); symboles remplis : mutation additive; (

δ = δ

′

_/2

); er les :

δ

′

_{= 0.1}

; losanges :

δ

′

_{= 0.2}

.

Rappelonsquelajusti ationdel'existen eduvortexd'extin tiondémo-génétique

s'appuie ommunément sur l'armation "plus la taille d'une population est petite,

pluslafréquen edexationdesmutationsdélétèresestélevée"(Drakeetal.(1998)).

Nous traçons don le temps moyen de xation d'une mutation délétère en fon tion

de la taille moyenne de population (Figure 4), pour diérentes valeurs du taux de

d'une mutation délétère roît bien ave la taille moyenne de population, le

para-mètre de naissan e

b

étant xé. Cependant,nous insistonsfortement sur lefait que ettetaillemoyenne,quiestsouventutiliséeparlesbiologistes omme ritèrede

via-bilité d'une population, n'est pas un paramètre susant pour déterminer le risque

d'extin tion rapided'une populationsoumiseà desxationsdemutations délétères.

Seulela onnaissan e desparamètres démographiquesde lapopulationnouspermet

d'estimer orre tement e risque. Pour illustrer e point, nous montrons dansla

-gure4quesil'on omparedeuxpopulations,lapopulationayantlaplusgrandetaille

moyenne peutêtre soumise àdesxations plusfréquentes demutations délétères.

Figure 4Relationentre

T

,letempsmoyendexationd'unemutation délétèreet lataille moyenne de population

N

.Chaque ourbe orrespondà une valeur xéede

b

. Lesautres paramètres démographiques sont

δ = 0.05

,

δ

′

_{= 0.1}

,

c = 0.1

et

m = 1

. Les points

A

et

B

donnent un exemple pour lequel une population de plus grande taille (point

B

) subit desxationsplus fréquentesde mutationsdélétères.

Nous her honsensuite àvisualiser l'impa tde e vortexd'extin tion surla

dy-namiquedelataillemoyennedepopulation.Nous omparons ettedynamiqueà elle

d'une population  tive pour laquellelevortexestnégligé. Rappelonsque levortex

d'extin tion estdénipardesxationsdeplusenplusfréquentesdemutations

délé-tères.Négligerlevortexd'extin tionrevientdon ànégligerladé roissan eà haque

xation du temps moyen de xation de la pro haine mutation délétère et don à

supposerqueletempsmoyen dexationd'unemutation délétèreest onstant.Dans

laFigure5,noustraçons ladynamiquemoyenne delataille moyenne depopulation.

Plus pré isément, si la population a pour paramètres démographiques initiaux

b

,

d

et

c

alors le temps moyen de xation d'une mutation délétère de paramètres

δ

et

δ

′

est

T (b, d, c, δ, δ

′

₎

et la taille moyenne de population est

N (b, d, c)

. Au bout de e temps moyen, le taux de mort intrinsèque des individus devient don

d + δ

′

et

la taille moyenne de population devient

N (b, d + δ

′

_{, c)}

. Onre ommen e l'opération

ave es nouvelles onditions initiales. Nous observons dans la Figure 5 un impa t

parti ulièrement importantduvortexd'extin tion démo-génétiquesurladynamique

de population, mais etimpa t esttrès fortement dépendant des paramètres

démo-graphiques de lapopulation. C'est pourquoi nous her hons à quantier la for ede

Figure 5  Dé roissan e au ours du temps de la taille moyenne de population.

Dans ette gure,

b = 10

,

c = 0.1

,

m = 1

,

δ

′

_{= 0.2}

et le taux de mort intrinsèque

initial des individus est

D

0

= 1

. Nous traçons un as additif (

δ = δ

′

_/2

) et un as

omplètement ré essif (

δ = 0

). Dans haque as, nous traçons aussi la dynamique moyenne au oursdu temps de lataille moyenne de population orrespondant àun

modèle danslequelle vortexestnégligé(null model).

ephénomène.Nous hoisissonsdequantier ephénomène parladiéren erelative

entre le temps moyen de xation de la première mutation et elui de la deuxième

mutation, soit laquantité

S(b, d, c, δ, δ

′

) :=

T (b, d, c, δ, δ

′

)

− T (b, d + δ

′

, c, δ, δ

′

)

T (b, d, c, δ, δ

′

₎

,

où

b

,

d

et

c

sont les paramètres démographiques de lapopulation initiale. Nous ob-servonsalorsen omparantdespopulationsayantunmêmetemps moyendexation

delapremièremutationdélétère,quelafor eduvortexd'extin tiondémo-génétique

une notion de"petite population":une grandepopulationestalors une population

pour laquellelafor e duvortexd'extin tion est en-dessousd'unseuil donné.

2.3 Chapitre3 :Modèle de diusiondiploïdeetquasi-stationnarité

Dans e hapitre et le suivant nous onsidérons le pro essus de naissan e et

mort

(Z

t

, t

≥ 0)

introduit au début de ette introdu tion (Se tion 1.3) sous une asymptotiquedetailleinniedepopulation.Pluspré isément,noussupposonsqueles

nombresd'individusde haquegénotypedanslapopulationinitiale

Z

0

sontdel'ordre de

K

,où

K

est unparamètre d'é helle qui tendvers l'inni,et nous onsidérons la suite de pro essusrenormalisés

Z

K

= (Z

1,K

, Z

2,K

, Z

3,K

) =

Z

K

qui donne les nombres respe tifs d'individus de haque génotype, renormalisés par

1/K

. Les paramètres démographiques de la population dépendent de

K

et si l'on note

e

1

= (1, 0, 0)

,

e

2

= (0, 1, 0)

et

e

3

= (0, 0, 1)

,alors pour tous

i

∈ {1, 2, 3}

,letaux

λ

K

_i

(Z)

(resp.

µ

K

i

(z)

)auquel lepro essussto hastique

Z

K

sautede

z = (z

1

, z

2

, z

3

)

∈



_Z

+

K



3

à

z + e

i

/K

(resp.

z

− e

i

/K

) satisfait,tant que

z

1

+ z

2

+ z

3

= n

6= 0

:

λ

K

₁

(z) =

Kb

K

1

n



z

1

+

z

2

2



2

,

λ

K

₂

(z) =

Kb

K

2

n

2



z

1

+

z

2

2

 

z

3

+

z

2

2



,

λ

K

₃

(z) =

Kb

K

3

n



z

3

+

z

2

2



2

,

et

µ

K

₁

(z) = Kz

1

(d

K

1

+ K(c

K

11

z

1

+ c

K

21

z

2

+ c

K

31

z

3

))

+

,

µ

K

₂

(z) = Kz

2

(d

K

2

+ K(c

K

12

z

1

+ c

K

22

z

2

+ c

K

32

z

3

))

+

,

µ

K

₃

(z) = Kz

3

(d

K

3

+ K(c

K

13

z

1

+ c

K

23

z

2

+ c

K

33

z

3

))

+

.

Notons que pour e hapitre nous supposons don que tous les ouples d'individus

qui seren ontrent ont lamême probabilité de sereproduire (la Se tion 1.3de ette

introdu tionpropose unmodèle debase plusgénéral).

Dans e hapitre,nous introduisonslepro essussuivant :

Y

_t

K

=

4Z

1,K

t

Z

3,K

t

− (Z

2,K

t

)

2

4N

K

t

.

Nous notonsalors que

Y

_t

K

=



p

AA,K

_t

− (p

A,K

t

)

2



N

_t

K

=



p

aa,K

_t

− (p

a,K

t

)

2



N

_t

K

=



2p

A,K

_t

p

a,K

_t

− p

Aa,K

t



N

_t

K