Comparaison de méthodes de simulation de la loi Pearson 3.

Record Number: 1370

Author, Monographic: Boucher, P.//Boisvert, J.//Villeneuve, J. P.//Bobée, B.

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Title, Monographic: Comparaison de méthodes de simulation de la loi Pearson 3

Translated Title: Reprint Status: Edition:

Author, Subsidiary: Author Role:

Place of Publication: Québec

Publisher Name: INRS-Eau

Date of Publication: 1981

Original Publication Date: Février 1981

Volume Identification: Extent of Work: 29

Packaging Method: pages

Series Editor: Series Editor Role:

Series Title: INRS-Eau, Rapport de recherche

Series Volume ID: 136 Location/URL:

ISBN: 2-89146-134-7

Notes: Rapport annuel 1980-1981

Abstract: 10.00$

Call Number: R000136

DE SIMULATION DE LA LOI PEARSON 3 par P. Boucher, J. Boisvert, J.-P. Villeneuve et B. Bobée RAPPORT SCIENTIFIQUE No 136 Université du Québec Institut national de la recherche scientifique INRS-Eau C.P. 7500 Ste-Foy, Québec Gl V 4C7 Février 1981

COMPARAISON DE METHODES DE SIMULATION DE LA LOI PEARSON 3

par P. Boucher$ J. Boisvert, J.-P. Villeneuve et B. Bobée RAPPORT SCIENTIFIQUE No 136 Université du Québec Institut national de la recherche scientifique INRS-Eau C.P. 7500 Ste-Foy, Québec Gl V 4C7 Févri er 1981

L1utilisation de la loi Pearson 3 et de ses formes dêrivêes

(Gam-ma, log Pearson type 3) est très rêpandue en hydrologie, notamment pour reprêsenter les phênomènes de crue et d1êtiage, suscitant, de ce fait,

de nombreuses êtudes sur ces lois.

Le but de ce rapport est de fournir une mêthode de gênêration de variate Pearson type 3, afin de permettre d1êtudier par simulation les propriêtês d1êchantillonnage de ces lois. Quatre techniques sont com-parêes entre elles; il slagit de:

la mêthode de Johnk;

la transformation de Wilson-Hilferty;

l linterpolation de la table de Harter;

llapproximation polynomiale de la table de Harter.

Parmi les algorithmes de gênêration d1une variate Pearson type 3, llalgorithme de Johnk est celui qui conduit, en gênêral, aux meilleurs rêsultats (Bobêe et Boucher, 1979); c1est une technique relativement

fiable mais qui demeure approximative. La transformation de Wilson-Hilferty simule directement une variate Pearson type 3 à partir d1une

2-variate normale et cette transformation est aussi une approximation. Quant aux deux dernières méthodes, ce sont des approximations numéri-ques faites à partir de la table des variates Pearson 3 standardisée

1. Mêthodes de simulation

La base de cette méthode consiste à interpoler une variate Pearson 3 standardisêe K, de coefficient d'asymétrie Cs et de probabilitê au non-dépassement P, à partir d'un polynôme du second degrê de la forme:

y = Ax2 + Bx + C

ou A, B, C sont déterminés à partir de la table de Harter.

Connaissant table, soit (KT probabilité P. 1 l'équation de T , Cs ), (K2 , l

la courbe passant par trois points de la

T

Cs ), (K3 , CS) pour une même

2 3

au non-dépassement définie dans la table, il est possible d'interpoler un point (K., CS) pour cette probabilité P. et

1 1

pour une valeur donnée Cs du coefficient d'asymétrie de la variate K recherchée. En répétant ce processus pour trois probabilités

diffé-rentes mais a une même valeur de Cs nous interpolons trois points de coordonnées: (KI' PI)C ' (K₂ ,P₂)C ' (K₃ ,P₃)C • Il suffit de

S S S

déterminer l'équation de la courbe qui passe par ces trois points pour obtenir, par interpolation, le point cherchê, soit (K, P)C •

S

1) Choix de C

SI ' CS2 ' CS3 ' Pl ' P2 'P 3 soit des valeurs présentes dans la table et les plus près de Cs et de P. Ces

ou

six points fournissent 9

i j KT K~ J varie de varie de variate Harter. 1 a 3 1 à 9 Pearson vari ates K ~ J

3 standardisée fournie par la table de

2) Trois variates KI' K2' K3 sont calculées aux probabilités Pl'

P2, P3 et au coefficient d'asymétrie CS.

où les coefficients A. ,B. et C. sont les solutions des

1 1 1 équations suivantes: YI ; = KT (Pi

,

Cs ) = A. _l C 2 _SI + B.C_S + C. l 1 l 1 Y 2, _i = KT (P i Cs

,

₂ ) = A. l C 2 _S2 + B.C1 _{S 2} + C. 1

4-A. = 1 (Y 2 . - YI·) - B. • (CS - Cs ) ,1 ,1 1 2 l (C 2 - C 2) S2 SI C.

=

Y₂ · - (A. • Cs 2) - (B. • Cs ) 1 ,1 1 2 1 2

3) La variate K recherchée pour Cs et P s'exprime maintenant ainsi:

6-A une probabilité P, la variate Pearson type 3 standardisée K, s'exprime par l'équation suivante:

où Cs est le coefficient d'asymétrie.

Les coefficients Ai sont des expressions polynomiales fonction de la probabilité P: n pj A. =

_l

L. l _j=O l , j où n = 8 si .0001 ~ P _< .04 ou P ~ .95 n = 7 si .04 ~ P < .95

Les coeffi ci ents L. .

l ,J ont été déterminés par régression polynomiale. La procédure suivie peut se résumer ainsi:

a)

b)

une matrice de coefficients B. k est formée au moyen de

poly-l ,

nomes orthogonaux pour chacune des 27 probabilités de la table de Harter. Cette matrice cor~te 8 colonnes (i) et 27 lignes

(k).

les coeffi ci ents L. . sont obtenus en résolvant hu i t foi s

l ,J

B. 1 _{l ,}

=

f (P l)

=

L·OP~+ _{l ,} ••• + L. _{l , n} Pl n

B. k l ,

=

f (Pk)

=

Li,O P~ +

...

+ L. l , n Pk n

OU Pl' ••• ,Pk sont des probabilités définies dans la table de

Harter

varie de

a

à 8

n et k _{sont fonction de la probabilité (voir paragraphe c}

ci-dessous.

c) les meilleurs résultats ont été obtenus en regroupant les probabilités en 4 classes. Ceci signifie qu'il a fallu, en fa i t, résoudre 32 foi s le système dl équat ion ci-haut, soit 8

fois pour chacune des 4 classes •

• 0001 .,; Pk < .04 k

=

7 , n

=

8 .04 .,; Pk < .5 k

=

6 , n

=

7 .5 .,; Pk < .95 k = 6 , n = 7 .95 .,; Pk k

=

7 , n

=

8

L'expression finale de la variate K a la probabilité P et pour le coefficient d'asymétrie Cs devient:

8 n

K =

l (I

i=O j=O

C i

S

La transformation de Wilson-Hilferty peut s'écrire:

C C

K =

~s

{[1 - (-t)2 + (-1-)

tP -

1}

8-ou K est la variate Pearson 3 standardisée, Cs l'asymétrie et t la vari ate normal e standardi sée de même probabil ité que K. La borne i n-férieure théorique de la loi Pearson type 3 est -2/C_s • Cette borne n1est pas toujours respectée par la transformation de Wilson-Hilferty; on utilise alors la transformation de Wilson-Hilferty tronquée définie par:

=

max (-2/C , K) s

En pratique, on génère une probabilité P au non-dépassement (variate uniforme), on en déduit t et K correspondant à une asymétrie

donnée.

1.4 Méthode de Johnk

Soient U et

u.

l des variates uniformes (0, 1).

[À]

[À]

Z = -1 n II

u.

ou est la partie entière de

À

y = -ln U

(variate Bêta)

Alors J =

z

+ WY

ct est une variate Gamma de paramètres

La variate B ~

e

(a, b)

où

avec

est obtenue par B

X = Ulla 1 y = U lib 2 X + y < 1

x

=~,;.;,....,..,. X + Y ct , À •

La vari ate Pearson type 3 de paramètres ct, À et m est obtenue par

J_p3

=

J + m

m étant le paramètre d'origine de la loi Pearson 3.

En pratique, on genere des variates uniformes et apres transformation

2. Comparaisons des méthodes de simulation

Pour comparer les méthodes de simulation, on genere, pour certai-nes valeurs de ct et À un nombre important d'échantillons de taille

w-donc des échantillons provenant d'une loi Gamma de paramètres a et À.

On effectue l 1 ajustement de la loi Gamma par le maximum de

vraisemblan-ce et on peut, à ce moment, comparer entre elles les valeurs des para-mètres estimées ainsi qulavec les valeurs initiales (a_o' À_o).

Les premières simulations nous amènent à éliminer au départ la méthode dl approximation polynomiale, cette méthode demandant beaucoup

trop de temps d'exécution (environ 7 fois plus que la méthode d'inter-polation) tout en nlapportant aucun gain quant à la qualité de la simulation. Ce qui suit s'applique seulement aux 3 autres méthodes de simulation.

2.1 Plan de simulation

Les paramètres a et À sont déterminés en fixant l 1 asymétrie

Cs et la variance. Huit valeurs de Cs sont retenues variant de .25 a 4, la variance est fixée à 1.

paramètres calculés à partir de

À 64 16 8

8 4

L

Le tableau 2.1 donne les valeurs des À Cs et de la variance (-

=

1). a2 i 1 2 3 4 4 2 1 4/9 1/4 2 12 1 2/3 1/2 TABLEAU 2.1 Valeurs de CS' À et a •

Par chaque méthode de simulation, Wilson-Hilferty tronquée, Johnk, interpolation de la table, on génère 100,000 variates Gamma pour

chacune des 8 valeurs de CS.

Ces 100,000 variates sont divisées en p = 1000 échantillons de taille 100. Sur chacun des échantillons de taille 100, on considère d'autres échantillons de taille 25, 50 et 75 formés à partir de 25, 50

ou 75 premiers éléments de l'échantillon de taille 100.

On dispose donc de p

=

1,000 échantillons de tailles, 25, 50, 75

et 100 pour 8 valeurs de Cs correspondant à 8 couples (ao ,Ào). Sur chacun des échantillons, on ajuste la loi Gamma par le maximum de vrai-semblance si le coefficient d'asymétrie de l'échantillon est positif. Le nombre d'échantillons pour lesquels le coefficient d'asymétrie est positif est noté pl.

On est alors en mesure de calculer diverses statistiques sur les échantillons des valeurs des paramètres ajustés. Ces statistiques sont

les moyennes a et À, les écarts-types s et

a S À ,les dévi at ion s

relatives moyennes a - Àg

ao et ainsi que les quantités

a - ag _{et À - Àg qui suivent une loi de Student, les statistiques}

s/tp"ï s/tp"ï

sont calculées pour chaque taille N et chaque couple (ao ,Ào). Les résultats apparaissent aux tableaux 2.2 à 2.5.

FAR A '~E T R ~ S T ~ t. 01< J (, lJ ~ S 1 ALPHA- 6,000 LAMBDA: &11,000

TAILLE. 1tl,.r>HA l,.AMBDA

"'0", E,T, DIF;,~E,L, _T MOY, E,T, l)JF,REL, T CSeo

25 1:1.9 153 2.b R7b ,li'19 9,3435 71,787& il,S283 ,li17 9,311.13 337

50 S,j'S7/J l,pllé7 ,041.11 S,72<,,1 bb,80qa 13 ,1.1292 ,01.lH 5,&532 270

7.., Il,2/J9A 1.3Q_OIJ _,U312 S,OSb7 _{&5. Q4QO} 11,1060 ,0305 /J,95B8 208

100 Il.151l 1.1737 .018Q _{3,7338 6'1.17.,9 9,3831 ,01 R4 3.&344 159}

PA~AMETRES THfORJWlJESI ALPHA- 1.1,000 l,.AMBDh 1&,000

TAILLE AI.PHA LAMBOA

"'OV, E.T, nIF,REL, T MOY, E,T, OIIf,RfL., T CS<O

2S 4,4BO& 1,3704 ,1202 9,q&21 11,BS81 5,lQl1 ,11bl q,fl347 18&

50 Q,20Q(» ,B&éb ,0'52' 7,30 q& 1&,8317 3,1.I1bo ,0520 7,3717 83

75 1.I,1/Jlt:' ,b7b'5 ,0353 t..1.I55b lb,'ib3è 2,&052 ,0352 &,5H4 1.11.1

100 _",1°72 ,S 721 ,02&1\ 5,8512 16,111 92 2,21.121 ,Oè&2 5,8460 22

FARAMETRES THEORIQUtSI ALPHAc 2,1l26 LAMHOh 8,000

TAILLE AI.PHA I.AM8DA

11(J", E,T, nIF,REL, T MOY, E,T. UIF.REI., T CSeo

25 5,111t.3 ,9722 ,11Q5 10,11&72 8,Q1413 2,b517 ,11113 10,383& QJ

50 3,00t.3 ,b1l12 ,Ob2Q 6, HoO 8,118417 1,77QO ,0bO& 8,5025 2b

75 7.,"(»88 .11987 ,0355 &,33B2 fI,273& 1,3S82 ,031.12 &,31.13& 8

100 2,9°tll ,43bl ,0?fI" 5,7711 8,;n33 1,18413 ,02ô7 r;,6QZ9 1

PARAMETRFS THEORI~U~SI ALP~A= 2,000 LAMBDA: /J,OOO

TA ILLE. AI.PHA LAMBDA

MOV, E,T, nlF,~lL. T MOY, E,T, OIF ,REL, T CSeO

25 2.2731 ,72BQ ,13ôQ _{11,b4l15 41,1.1803 1,3589 ,1201 10,QS6., 3Q}

50 2,I22A ,,,S7Q ,06111 8,11753 /j.20611 .8411b ,0517 1.73I.1S i.

7~ 2,OBOQ .5587 ,0110'i 7.1?b? Il,111111 ,6b84 ,0353 &,&81'1 2

100 2,0578 ,308b .028 Q S,qlC,S 4,102'1 ,5768 ,0257 5,6:sY5 1

TABLEAU 2.2 _{Aj us temen ts de la loi Gamma sur les échantillons générés par la} ... N

PARA"'!:.. T~fS THI;.ORTUlJI;.S. Al P'~A& 1,411.1 LAMAOA: 2,000

TAllU ALPHA LA/180A

""0'1', liT. nIF,Rf.I.. T MOV, E,T, DJF,REL, T CSeO

25 1,1>052 ,S?:S1\ ,1151 11.4515 _{" ,23011} , &711 ,11 8 2 11,ObOl 1"

50 1.41\9<) ,31 11 2 .0532 7.1245 ?,01i32 ,11250 .041b &,18511 0

15 1,11'575 ,2bS5 ,030b 5,150& 2,011'58 ,Hb1 ,02i?9 Il.30311 0

10(1 1.'1320 .2251 .012~ 2,11<16<1 2,01&" ,2679 ,0085 1,85"9

°

PARA~ETR~S THEORIYUlS, ALPHAc 1.000 LAMBOA: l ,000

TAII..I..f. ALPHA LAM8DA

~Ov, _E,T. OIF,REl, T MOV, EtT, OfF,R[L., T CSeo

25 1,01140 .3 8 72 ,0&40 5,2271 l,Ol85 ,Jill ,Ole5 2,'76'72 1

50 ,9"~7 .2"'23 .,OO4~ -.5399 ,"78b ,215O -,0214 "'.14b'7

°

15 ,97Z8 .20~4 •• 0272 -4,184b ,9bOb ,1734 .,03 9 4 -7,16 9 7

°

100 .9&31 .IHII -,03ô<l -b.7184 ,9S?5 ,1481 -,0475 ·10,1340 0

PARAMETRES THEORIQUES. ALPHA- , bU LA~8I)A. ,114111

TAIlU ALPHA LAMBDA

MOV, E.T. ()IF,~El. T "'0'1', E,T, DtF,RfL, T CScO

25 ,7l1bb .3()"3 ,1tQ<l 8,17 'sb ,4I4QO ,10Q8 ,0102 l,llOt 0

50 ,b782 ,181 5 ,Ot7/.J 2.0157 ,/.J2'7" ,0714 .,0112 .7 ,no l 0

15 .b5b/.J ,1/.J1I? -,OtS3 -2,2/.J23 ,4190 .05119 -,0572 -u,llQO 0 100 ,b52f> .1251 ... 0211 .. 3,5508 ,1I17l ,048b -,061& -1'7,7958 0

PA~AMtTRES THlOHIYUlSI ALPHA- • 500 LAMB"" • ,250

lAllU AL.PHA lAMBDA

"'0'1'. E..T, F11F.REL. T MOY, E,T, OIF.REl. T CStCO

25 .7IJ_S! • ,S79Q ./.JqOl 20.3998 ,2973 ,05111 .18ql Z5,Q940

°

'50 ,b'iqC; ,2211 .3190 n,Z131 ,2817 ,0386 ,1508 lo,M79 0 75 .ô~ 13 .11~ 1 ,21,2b 24,1250 .?tHI9 ,0305 ,11 9 4 lbot 122 0 100 ,ô 11 t ,11.1S3 ,2'112 25.11"31 .2825 ,0254 ,13 0 1 /.Jo,1I150 0 --'

TABLEAU 2.2 (suite) Ajustements de la loi Gamma sur les échantillons générés w 1

PARA~[TRrs TH!:(JR r (Wf:S 1 ALPHA: 8,000 LAMBDA:: bll.OOO

TAIlLE ALPtlA LAMBDA

MO'l'. I:,T, f'!f',REL, T MOY, E,T, OfF,Rfl., T CSeO

2~ 8,8 931 2,067~ ,111 & 8,SU6R 1t,tOFlu 21.1987 ,1111 ~,5b22 H8

<'0 li. :H9/:1 l,oR3A ,OlJla; ",uuo2 06,7029 13.3051 .OU22 5.11&03 211

75 H,2<;41 1,4tOo ,03PI 5,1201 &h,0073 11,22u8 .0314 5.0801 193

10 () 8,l~9tl 1,1&03 ,01711 3,11475 /:IS,1102 9,265& .0113 '.4UUS 110

PAJ;'A"'tTRES THUHo/ Hlt Il. S 1 ALPHA- Il,000 LAMMDA:: Ib,OOO

fAlLU AI.PHA L.AMBDA

MOV, _E,T, nIF.~E:L, T Mnv, E,T, IHF ,REL, T CSeO

?S 'I,U175 1,3751 ,101111 6,',5992 11,ou19 5.11'129 .1030 8.5H2 197

50 '1.2067 ,9225 ,0522 &,6183 16.83\0 1. &11 n .OS19 &,8&48 9Z

75 4.1318 ,7173 .OBO 5.0113'7 lb,<;ll!9 2,8275 .Oll4 S,e094 51

100 4.1111" ,bl85 ,0287 5.7ell3 16,11&12 2,1.1317 ,0288 5,9191 2b

PARA"'ETRES T HE. n~ JI~lIE ~ 1 ALPHA: 2,626 L.AMBDA: 8.000

TAILL.l AL.PHA LAMBDA

MOV, E.T, f'IF,REt. T MelY. E.T, DIF,REL. T CSeo

25 .S.lbBb ,9A51 ,1?03 10.3710 fI,8181 2,b',551 ,1096 9.9.Bl 96

50 3,0 077 ,o~I:IA ,0&34 6,73'19 fI,l.Iô13 1.71159 ,058U Il,:B13 31

75 2,'H'2Q _{.5292 ,01l7b 1:1,01&0 A,1542 t,II~78 ,0'1"3 7,71ô7 S}

100 ~.(nl'~ _{,UII55 ,0305 7.H75 fl.2730 t,?30b} ,0,342 7,03 00 a

PA~AMETRF.S THE ClFl1lJIJlS 1 ALPf'A= 2.00₀ LAMBDA: u,ooo

TAtLLt: AI.P!1A LAMBUA

"10V, _l.T, nIF ,pI;L. T Mny, E,T. I.lIF,HtL. T CSeo

?S 2.251& • nsu ,125A tO,Sb32 4,441b 1,3~73 ,1104 10,1184 47

50 2,1?59 .'Ih6 ,Ob2Q 1:l.3350 u.?11?2 ,/l9 b7 ,OSl.ll 7,&102

"

7'3 2.01'11(\ ,3147 ,ouo"' 0,83111 1I.1H<.i ,bQbl ,03 45 b,7b08 0

100 2,Obé'0 ,316b ,0310 &,1532 1I.101l2 , c;cns ,Oè&O 5,'5520 0

TABLEAU 2.3 Ajustements de la loi Gamma sur les échantillons générés -J:::>

1

TA ILU ALPtiA LAMBDA

MOV. f:..T, f'lIF.PLL. T MOY. E,T, DtF,REL, T CScO

25 1,6;:>98 ,~A17 ,1«;<15 11,0438 ?2518 ,67bl ,12 8q It,CH66 11

,0 1,~tqq ,3521_{1 .0741 Q,48c!8 2,1255 ,4240 ,0028 9,3493 0}

75 1,4 A11. .20b5 ,0473 7,Q3.S3 2,07~0 ,~ê59 ,0:H5 1.2790 0

100 1,4blo ,2200 • OB t &,722<1 2,O~25 ,20C/Q ,02(,2 &.14<1<1 0

PARAME TRES Tfolf-OR Il,tJUl 1 ALPHA!: 1.000 LA/o1IHJA::: t,OOO

TAILLI:. AL.PHA I.AMROA

""Ov. E,T, DIF,REt., T MOY, E,T, OIF.REL, T CScO

25 1,1556 ,3962 ,155& 12,3580 1,1081 .31&9 ,1081 10.7912 0

50 1.0A35 ,2Cjbb .0835 10,2863 1,05'52 .1 «J&7 ,0552 B.87«Je 0

15 1.0'550 .2121 .0550 8,1710 l,n.iS8 .t598 ,0358 7,0647

°

100 1.0 UO' ,1731J ,01J03 7.3535 1,0254 ,131.18 ,Oi5a 5,9575 0

PARA~E.TRFS THEOR I!~lJE S 1 ALPHA: ,0&1 LAMBDA;: .atl4

TAlLU:. ALPt-IA L.U1BOA

MlJV, E,T. I1IF.Rt:L. T MOY, E,T. DIF,~EL, T CScO

i'5 ,7<167 ,3 1J 1f! ,1961 12,2202 .4835 .li02 ,0879 10,2713 0

50 .7~2Q .2115 ,098 7 9,8330 ,4blQ ,075&? ,03 9 3 7,31181

°

75 ,707& .lb70 .0& 1/1 7,7525 ,a549 ,0021 ,02l5 5,3188 0

100 .b 9bU _.1:H 1'1 ,oa4'5 &,8133 ,451 4 ,052/J .010;5 4,1701 0

PARAM(TRfS TH~(lRI~liI:..SI ALPHA- .500 LAM~UA::: ,250

T Il ILLE ALPHA LAMBDA

MUV, f:., T • PIF.PEL. T MOY. E.T. "IF,REL., T CS<o

25 .b 44'i .3IJ_SO .i.'R90 13,247 4 .;>722 ,0045 ,osqo 10.SQC/O 0

50 .56'14 .1 qo Q .1?BQ 10,3104 ,2bOQ ,0420 ,0430 8,2036 0

75 ,S(j3 a .1 1J <l3 ,OA/)A q,lq~7 _.2570 ,oHl ,02 8 1 6.&713 0

100 ,SBA ,1274 .Ob76 8.3914 ,255/) ,OZ/'.1 ,0225 &.t776 0

TABLEAU 2.3 (suite) Ajustements de la loi Gamma sur les échantillons générés CJ1

PA~' A "~, T fiE" fi H<lIW r (JI JE.!';: ALPHA: 8,000 LH1H[)A: blJ,oon

TAIU,l ALPHA LAMI:lOA

,~UV • E,T, r'IF,I~t:L, T MOY. E,T, llIF,REL. T CS<O

?~ 1:1.8'500 ~.5(HHI _.10td 1:1.5313 70.7S!'>b 20.71:114 .10Sb Il./Jb5<1 .122

sn t!. 3 Il q 1\ l,b772 .1)1137 5.7730 66.711311 13.461è .043S 5.723b 2!4

7'i 1:\.~Oh? 1.5257 • {1?5R Il.3Q_{OS 6<;.6b70 10.5035 .02 6 0 Il.IlS51 è03}

100 tl.14(1Q _1.1376 • (l'Ill 3.b786 b'5.11:I04 <I,IUI4 ,01 F1(1 !.7'150 lb6

I)ARAMI:TRES THE:. Of( l [.Ut. SI ALPHA: '1.000 LA~BLJA= lb.OOO

TA Tl \ E. ALPHA LAMBOA

"'0'1'. t.T, r;'IF".RI;,L. T MOY. E,T. OIF .REL. T CS<O

2~ 4.510 0 1, '15311 ,1275 10.Ob07 1/1.033'1 5.7060 .1271 10.2185 118

50 4.210 7 ,8433 ,0'527 7.510<1 lb.1I4<11 3,3440 .0531 7.&14b qb

7<;' 4.104b • b31 Il, .02bl 5.12bt 16./J151 2./J680 .0259 5.20511 42

100 4.0 R .. 7 .55Q_{? ,O?12} Il,7582 1&.3371 2,?0/JO .0211 4.110"1'1 t3

PARAMETRFS THEI1IlIU Ut.!;; ALPHA&: 2,826 LAMBlJA: 8.000

TATLLE ALP~;A LAMRDA

MVV, E.T, nIF,QEL. T 110'1' • E.T, f)J F • RE L. T CS<O

25 3.1 4 15 .<I?30 ,1107 10,1<140 Il,8180 2.5010 .102;? <I.80~1 <17 "iO " .s,OOO<l .Q~20 ,{1~10 1;.4 9 26 R,/J700 1. ?l1J5 .0587 8,tJ7<10 32

75 2.q~25 .5 041'1 ,03bR b.ll!\bb A.2/jb3 1,~t!JI:I .0358 b.S0 1 j t 1

lOO 2,9 04'5 .1~?4R .O?b~ 5.64b5 R,20AO 1.lbA2 .02bO 5.6150 S

I)ARA"'PRFS TH~,IlR J l.U~ ~, ALPHA: 2.000 LAMRllh /J.OOO

TATLLf AL.PI1A LA'"BLlA

MOV, E,T. r, 1 F ,~f. L. T MOY. E.T. DH.REL. T CS<O

?~ 2.2S8 4 ,6732 ,1192 10.9162 /J,4323 1.2986 .10 8 1 10.2~1\2 50 50 2,12~7 .4h04 .Oh43 8,/j035 /J.U22 ,8800 ,0550 1.953tJ 8 75 2.oQ_{03 .3b05 .01l5? 7.9?22 4.1510 ,6852 .0317 b.<lb7'7 0} 100 i:!.o67Q _{.3061'1 .033}Q _{0.'1970 1J.1162} ,,7hj .02 9 1 ô.H10 0 --' 0"'1

TABLEAU 2.4 Aj us tements de la loi Gamma sur 1 es échantillons générés

,

TA lU! ~LP"'A LAMBOA

"U Y, E,T, nIF,RI:.L, T P10Y, F:,T. OH .IUL, T C5"0

?'1 l,b12'5 ,5<'0" . l 'I_{O? 11.8'551 2,2250 ,6543 ,ll?5 10,1\230} q

5(1 _{1.504 1 ,337"} ,O~IIO tl,lIhQ3 2,O'J5b ,4123 ,01178 7,H20 1

7':> 1, Il 74/1 ,2b57 ,0/126 7,16811 2,Ob32 ,3249 ,05to b,15.59 0

1 (\ "' 1.4'0? ,2?74 ,O?Q1 5,844Q 2.04~1 ,?7A7 ,0210 4,1\935 0

P/iR/lMETRF.S THl,OflI(,ilJtS: ALPHA- 1,000 L.Al1BPA: 1,000

TAILLE AL.PHA LAMBliA

'10'1' • E..T, PlF,RH" T MOV. E , T , UIF.REl.. T cseo

"5

1,lbl1 ,4129 , t b Il 12.BIQ t,ll1/1 .1043 .1134 11,77&0 1

51) 1,0"12 ,2532 ,0"'1? 7,0 4 2<; 1.0451 ,t957 ,01.151 7.2875 0

75 I,O,~oO ,2000 ,0300 5,bQtl6 1,0i:1l ,tS13 .02 7:S 5.7120 0

1 (\ (J _{1,020 4 ,lb}qCl _{,0?01l 3.7915 1,011\4 ,I.H ~ ,01 8 1.1 4.42,56 0}

PAflAME,TRf.S THE.OK r (WE.S 1 AlPf~A: ,bb '1 l.AMRUA: ,444

fAllU; ALPHA l.AHBlIA

~~u V, _E,T, nIF,PEL. T MDV, E,T, lJIF,REL., T CS<O

?c, ,802Q _{,3272 .20}tn \j,10bO ,4923 ,1242 ,to7/;) 12,1777 0

"0

,7~OR .1 (HI. ,OClo3 10.2700 ,4080 ,0749 ,0544 10,218'.) 0

1" " ,703~ .1':>lb ,0'54<1 7,6358 ,/l59Q ,0587 ,034R 1\,3390 0

100 .bQ₇A _,1310 _.01161 7,51~q _{,IJ56<1 ,0514 ,02 11 1 7,66f18 0}

PARA~'~ Tt-IF"S T .. f: n H T l~ 1 l [. S 1 ALPHA= ,SOO L.AMt-lUft= .250

TAllU ALPHA L..A~RI)A

MIlV. E:,T. f'IF.RI:.L, T MOY. F • T, OIfo,RE:L., T C5<0

?"i .b01?' ,B8t! ,2023 9,1./484 ,25td .0720 ,0253 2.75110 0

;(J ,~141' _.1f1oS • (1('Q'5 _{2,5027 ,2421 ,01.173 -,0310 .. 15.2754 0}

75 ,4 9 5b ,11.12<1 -.OO!lA -,9777 .7310 ,0373 -.0I.lQ5 ·10,5070 0

1 n Ci ,Ii lIe2 _.lUB -.()237 -3.04!l3 _,?300 ,0320 _{... 0501 -n,M42 0}

"-J

2.4 (suite) Ajustements de la loi Gamma sur les échanti 11 ons générés 1 TABLEAU

TAILL[

?S 50

75

100

MET~OO[ O~ SIMULATION' APPROXIMATION POLyNOMIALE

PARAME.TRES THI;.ORIWJE-SI ALPHA= 8.000 I.AMBOA: 011,000

AL.PHA L.AM8DA

MOY. E,T, DlF,REL. T MOY, f,T, OH,REL.,

6.9238 2,0150 ,1155 9.2013 71,34457 ilO,9Soi ,11448

8.4111 1,01\47 ,0C;21 b,8520 b7,3182 13,5270 ,0518

tI.èR09 1,311011 ,03S1 5,9157 &0,2&18 10,08Q2 ,0353

8,2159 1.1"53 ,0270 S,44517 b5,71458 'i,tbP ,0273

TABLEAU 2.5 Ajustements de la loi Gamma sur les échantillons générés par approximation polynomiale de la table de Harter.

T 9,130. 0,7elié? 5,973& 5,50 90 CS<O Ui a344 203 1011 co 1

2.2 Présentation des résultats

Un premier aperçu aux tableaux 2.2, 2.3 et 2.4 révèle une assez forte simil itude de comportement entre les trois méthodes de simula-tions.

D'abord, pour les trois méthodes de simulations, les paramètres a

et À sont pratiquement toujours surestimés. Les déviations relatives

moyennes sont sensiblement les mêmes, pour une taille donnée, indépen-damment de la valeur de À_o sauf pour les valeurs de À_o inférieures à

1 où la transformat i on de Wil son-Hil ferty tronquée performe mo i ns bi en que les autres méthodes. Ces mimes déviations diminuent lorsque la taille auymente passant d'environ 10% pour N = 25 à ~~ pour N = 100.

On remarque également que les déviations relatives moyennes sont légèrement supérieures pour a .

Les statistiques de Student, calculées pour a et À sont

nette-ment plus élevées que la valeur critique 2.6 correspondant à un niveau de signification 1% pour un test sur les moyennes des paramètres esti-mes. Cette remarque vaut pour les trois méthodes de simulation et quelque soit Ào; cependant, les valeurs calculées se rapprochent de la valeur critique lorsque N augmente. On peut donc en conclure que la méthode du maximum de vraisemblance qui, théoriquement, est optimale, dans le cas de la loi Gamma, conduit yénéralernent à une surestimation

des paramètres a et À qui est très significative et ce,

20-Le nombre d'échantillons avec un coefficient d'asymétrie négatif est â peu prês le m~me pour les trois méthodes de simulations et diminue considérablement lorsque À_o diminue, c'est-â-dire lorsque

Cs augmente. o

C'est le temps d'occupation de l'ordinateur qui détermine le coût d'utilisation d'une méthode de simulation et pour des plans

d'échantil-lonnage assez élaborés, le coût d'utilisation devient souvent une con-trainte.

Pour trois des quatre méthodes de simulations étudiées, le temps de simulation est indépendant de la valeur des paramêtres initiaux. Pour la méthode de Johnk, le temps de simulation augmente avec la va-leur de À.

Les temps de simulations de 800,000 variates (100,000 pour chacune des 8 valeurs de Ào) sont: transformation de Wilson-Hilferty tron-quée, 1,044 secondes, technique de Johnk, 1,700 secondes et méthode

d'interpolation de la table de Harter, 757 secondes. La méthode d'ap-proximation polynomiale met 666 secondes â générer les 100,000 variates pour Ào

=

64.

2.4 Conc l usi on

L1examen des tableaux 2.2 à 2.4 montre que les méthodes de simula-tions étudiées performent également quant à la qualité de la simulation qui est très acceptable pour la gamine d1asymétrie étudiée.

La méthode d1interpolation de la table de Harter est à retenir pour les gros plans de simulation entraînant des coûts d1exploitation élevés. Par contre, lors de simulations oQ les coûts ne sont pas

im-portants, la transformation de Wilson-Hilferty tronquée est préférable pour sa simplicité d1utilisation.

La méthode de Johnk conduit également à de bons échant ill ons mais son temps de génération est un handicap surtout aux valeurs élevées de

22-REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

ABRAMOWITZ, M. et I.A. STEGUN (1964).

Handbook of mathematical functions. Dover Publications Inc., New York, 9ème édition, 1045 pages.

BOSEE, B. et P. BOUCHER (1979).

Comparaison des algorithmes de génération de la distribution Gamma et de ses formes dérivées. INRS-Eau, rapport scientifique No 112, 78 pages.

HARTER, H. LEON (1969).

A neH table of percentage points of the Pearson type III distribu-tion. Technornetrics, vol. 11, No 1, février 1969.

APPENDICE

Mode d1utilisation des simulateurs -Genere 1 et Genere 2

Le simulateur Genere 1 calcule une variate de Pearson 3 par la mêthode de la table de Harter (section 1.1). L1êvaluation de la variate de Pearson type 3 par approximation polynomiale (section 1.2)

se fait à llaide du simulateur Genere 2.

L1usager doit fournir certaines informations, soit:

1) un programme principal ou une sous-routine qui introduit les cinq par~nêtres suivants:

A: a.

B: À

C: m (paramètre d10rigine de la loi Pearson 3)

N: INIT :

Nombre de probabilitês â simuler

Valeur initiale nêcessaire à la simulation des probabil itês

2) un fichier contenant des donnêes de base et lu par les simulateurs sur llunitê 10:

24-Genere 1: fichier PROB contenant la table de Harter. Genere 2: fichier PBCOEF contenant les valeurs des

coefficients

1.2.

L. . déjà défini à la section

1 ,J

Suite à un appel à l'un ou l'autre des simulateurs, l'usager obtient N variates Pearson type 3 non centrées réduites, X, au coefficient d'asymétrie Cs = 2(À

**

.5) et pour N probabilités P

déterminées au hasard.

Certains énoncés sont essentiels à l'intérieur du programme ou de la sous-routine fournie par l'usager:

PROGRAM nom (output, Tape 10) L'unité 10 est réservée à la

lecture, à l'intérieur des simulateurs, des fichiers PBCOEf ou PROBe

DIMENSION P( ), X( Afin de reserver suffisamment

d'espace de mémoire, insérer un nombre égal ou supérieur à N.

COMMON/TRANS/A, B, C, N, INIT, G1 Assure le transfert des paramê-tres dl entrée vers les

simula-teurs.

Voici un exenple d'utilisation des simulateurs sur CDC.

1

'"

Get, Genere 1, tape 10 = PROBe ou Get, Genere 2, tape 10 = PBCOEF

FTN

Load, LGO

Satisfy, Genere 1 ou Satisfy, Genere 2

Execute

7/8/9

7/8/9

7

{-Program princ (input, output, tape 10) Dimension P(50), X(50) Common/TRANS/A, B, C, N, INIT, G1 N = 50 Read

*,

A, B, C, INIT Call prepare (P, X) Print

*,

P, X STOP End 2 4 6 2134 6/7 /8/9

26-Dans cet exenple, 50 probabilités sont simulées et 50 variates

sont générées. Les probabilités (P) et les variates de Pearson 3 (K) sont ensuite imprimées.

La liste des sous-routines des deux simulations est fournie dans les 2 pages suivantes.

GENERE 1

SUIROUTINE PREPARE (P,VAL) DIMENSION P(I),VAL(I) COMMON ITRANS/A,I,C,N,INIT,Cl DATA 11/2147483647/,Il/16614000000000000000B/ DO 1 1-1,11 10 lI1IT-MOD(16807*INIT,11) P(I)-FLOAT(INIT)*Xl

IF(P(I).LT •• 0001.0R.P(I).CT .. 9999)GO TO 10 1 CONTINUE

CI-2./1**.5 U-C+B/A

S-B**.5/ABS(A) CALL CERE (P,VAL) DO 30 1-1,11 VAL(I)-U+VAL(I)*S 30 CONTINUE

RETURN END

SUBROUTINE CERE (P,VAL)

DIMENSION TAB(27,4I),P(]),VALC!)

COMMON IDONNE/TAB,CS/TRANS/A,B,C,II,INIT,GI DATA IPASS/O/

C*****LECTURE DES VALEURS DE LA TABLE DE HARTER IF(IPASS.CT.O)GO TO 1 READ(10,*)«TAB(I,J),I-l,27),J-l,41) IPASS-l 1 CALL INDICEG (L,Cl) CS-(L-I )/l0. DO 9 IJ-l,N

CALL INDICEP (J,P(IJ»

C*****CALCUL DE LA VALEUR AU POINT (P,Gl)-TAB(J,L) CALL CALCUL(J,L,P(IJ),Gl,VAL(IJ» 9 CONTINUE 99 RITURN END SUBROUTINE INDICEP (J,P) DIMENSION Z(27) COMMON IPROB/z DATA %1.0001,.0005,.001,.005,.01,.02,.025,.04,.05,.1,.2,.3, .4, •• 5, .6,.7, .8, .9, .95, .96, .975, .98, .99, .995, .999, .9995, .9999/ C*****LA PROBABILITE EST EIPRIMEE EN TERME DE J VARIANT DE 2 A 26.

JJ-O IF ( P • CT •• 5 ) J J-l ItIt-l+13*JJ PI-P+.00000I-.000002*JJ DO 10 It-JCIt,27 J-JC IF(PI-Z(It).LE.O.)CO TO 12 10 CONTINUE 12 J-J-JJ RITURN 1 :'D

28-GENERE 1 (suite)

SUBIOUTI"E INDICEC (L,Cl)

C*****LA VALEUR DE Cl EST EIPRIMEE EN TERME DE L VARIANT DE 2 A 40. JJ-O IF(Cl.CT.2. )JJ-l L-Cl*10.+2.-2.*JJ RETUIlN END SUBROUTINE CALCUL(J,L,P,Cl,VAL) DIMENSION TAB(27,41),VALI(3) DIMENSION Z(27) COMMON /PROB/Z/DONNE/TAB,CS DA TA Z / . 000 l , • 0005 , • 00 l , . 00 5 , . 0 l , • 02 , . 0 2 5 , . 04 , . 0 5 , . l , . 2 , . 3 , . 4 • •• 5,.6,.7,.8,.9,.95,.96,.975, .98, .99, .995,.999,.9995,.9999/ T2(Yl,Y2,Y3,ll,12,13)-«Y3-Y2)*(12**2.-ll**2.)-(Y2-Yl)* 1(13**2.-12**2.»/«13-12)*(12-11)*(11-13» Tl(Yl,Y2,Y3,ll,12,13)-«Y2-Yl)-T2(Yl,Y2,Y3,ll,12,13)* 1(12-11»/(12**2.-11**2.) T3(Yl,Y2,Y3,ll,12,13)-Y2-Tl(Yl,Y2,Y3,ll,12,13)*12**2.-T2(Yl, lY2,Y3,ll,12,13)*12 DO 60 1-1,3 JJ-I-2 VALI(1)-TleTABeJ+JJ,L-l),TAB(J+JJ,L),TAB(J+JJ,L+l), lCS-.l,CS,CS+.l)*Cl**2.+T2(TAB(J+JJ,L-l),TAB(J+JJ,L),TAB 2(J+JJ,L+l),CS-.l,CS,CS+.l)*Cl+T3(TAB(J+JJ,L-l),TAB 3(J+JJ,L),TAB(J+JJ,L+l),CS-.l,CS,CS+.l) 60 CONTINUE VAL-Tl(VAL1(I),VALI(2),VALI(3),Z(J-I),Z(J),Z(J+1»*P**2.+T2 I(VAL1(I),VALI(2),VALI(3),Z(J-I),Z(J),Z(J+I»*P+Tl(VAL1(1), 2VALI(2),VAL1(l),Z(J-l),Z(J),Z(J+l» .ETUIN END

GENERE 2

SUBROUTINE PREPARE (P,VAL) DIHENSION P(l),VAL(l) COHHON tTRANS/A,B,C,N,INIT,Gl DATA Il/2147483647/,Xlt166l4000000000000000B/ DO 1 1-1, N 10 INIT-HOD(16807*INIT,Il) P(I)-FLOAT(INIT)*Xl

IF(P(I).LT •• OOOl.OR.P(I).GT .. 9999)GO TO 10 1 CONTINUE

Cl-2./B**.5

CALL GERE (P,VAL) U-C+B/A S-B**.5/ABS(A) DO 30 I-l,N VAL(I)-U+VAL(I)*S 30 CONTINUE RETURN END

SUBROUTINE GERE (P,VAL)

DIHENSION P(1),VAL(1),COEF(4,8,8),AC(8) COHHON tTRANS/A,B,C,N,INIT,Cl/CAL/COEF,AC DATA IPASS/O/

C*****LECTURE DES COEFFICIENTS (COEF)

IF(IPASS.GT.~~GO TO 1

REA D ( 1 0, * ) ( ( (COE F ( I N, JA ,1) , 1 -1 , B ) ,1 N-l ,4) ,J A -1 ,8)

IPASS-1 ID09IJ-l,N

CALL SECTION (P(IJ»

CALL VALEUR :~(IJ),Gl,VAL(lJ»

9 CONTINUE ltITURN END SUBROUTINE SECTION (P) C~~HON IINTER/IN,PP PP-P IF(PP.GT •• 5)PP-I.-PP PP--(ALOGIO(PP» IN-1 IF«P.LT •. 5).AND.(P.CE .• 04»lN-2 IF«P.GE .• 5).AND.(P.LT •• 95»IN-3 IF(P.CE •• 95)IN-4

ltETURN END

SUBROUTINE VALEUR (P,G,VAL) DIMENSION COEF(4,8,8),AC(8) COMHON ICAL/COEF,AC/INTER/IN,PP

C*****CALCUL DES 8 COEFFICIENTS POUR LA PROBABILITE P DO 30 JA-I,8 AC(U )-0. DO 32 1-),8 32 AC(JA)-AC(JA)+COEF(IN,JA,I)*PP**(I-l) IF(C.LT •• OOOOl) CO TO 33 30 CONTINUE

IF(P.CE •• 5.AND.P.LT •• 55)AC(1)-AC(1)-.000143329B VAL-O.

DO 40 JA-l,8

C*****SIMULATION DE LA VALEUR AU POINT (P,CI) VAL-VAL+AC(JA)*C**(JA-)

40 CONTINUE GO TO 9 33 CONTINUE

IF(P.CE •• 5.AND.P.LT •• 55)AC(1)-AC(l)-.0001433298 VAL-AC(l)

9 IETURN