Théorèmes du rang et de la base incomplète

(1)

Exercice. Soit f ∈L R6_{, rg f}2_{= 3. Caractériser f et donner des exemples.}

Solution. im f2 ⊂ im f =⇒ rg f2 ≤ rg f ⇐⇒ 3 ≤ rg f . Supposons que rg f = 6.

D’après le théorème du rang, rg f + dim ker f = 6 ⇐⇒ dim ker f = 0. En dimension finie, nous avons donc f bijective donc f2 _{bijective comme}

composée d’applications bijectives donc rg f2_{= 6.}

Contradiction. Donc rg f < 6.

Supposons que rg f = 5.

Le théorème du rang donne dim ker f = 1 donc ∃u ∈ R6∗

, ker f = vect(u). Le théorème du rang donne dim ker f2 = 3.

Or, ker f ⊂ ker f2

donc en notant B une base de ker f2_{, d’après le}

théorème de la base incomplète, ∃(v, w) ⊂ B, ker f2_{= vect(u, v, w).}

f (v) ∈ ker f =⇒ ∃α ∈ R, f (v) = αu.

Si α = 0, alors v ∈ ker f donc u, v colinéaires donc (u, v, w) liée. Contradiction.

Donc α 6= 0.

De même, ∃β ∈ R∗, f (w) = βu.

Donc par division, soustraction et linéarité, f v α− w β = 0. Donc v α− w β ∈ ker f . Donc ∃γ ∈ R,v α− w β = γu. Or, 1

α 6= 0 donc la famille (u, v, w) est liée. Contradiction.

Donc rg f < 5.

Au final, 3 ≤ rg f ≤ 4.

Existe-t-il une telle application de rang 3 ?

Oui, il suffit de considérer l’application f dont la matrice dans la base

(2)

nique de R6 _est         1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0        

. Cette matrice est clairement de rang 3.

Elle est égale à son carré donc son carré est aussi de rang 3. Il en va de même pour f et f2_.

Existe-t-il une telle application de rang 4 ?

Oui, il suffit de considérer l’application f dont la matrice dans la base

cano-nique de R6 _est         1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0        

. Cette matrice est clairement de rang 4.

Son carré est la matrice         1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0        

, qui est clairement de rang 3. Il

en va de même pour f et f2.