Travaux dirigés
PC
∗Séries numériques
Exercice 1 Étude de convergence
Étudier la convergence des séries de terme général :
un= 1 +1 n n −e un= (ch n)α−(sh n)αavec α > 0 un= arccos n3+ 1 n3+ 2 e−(ln n)α
Exercice 2 Développement limité
Pour quelles valeurs de (a, b) ∈ R2la série de terme général un= ln(n) + a ln(n + 1) + b ln(n + 2) est-elle convergente ? Calculer
dans ce cas la somme de cette série.
Exercice 3 Comparaison à une intégrale
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de la somme : un=
2n
X
k=n+1
1 √
k; quelle est la nature de la série de
terme général un?
Exercice 4 Fonction zeta de Riemann Pour x > 1 on pose ζ(x) =
+∞
X
n=1
1
nx. En comparant ζ(x) à une intégrale calculer limx→1+(x − 1)ζ(x). Exercice 5 On pose un= 2n X k=1 (−1)k √
k. Donner un équivalent de unlorsque n tend vers +∞.
Indication. Regrouper les termes deux par deux puis comparer à une intégrale. Exercice 6 Étude de convergence
Étudier la convergence des séries de terme général :
un= (−1)n √ n2+ n un= s 1 +(−1) n √ n −1 un= (−1) n pnα+ (−1)n avec α > 0 un= (−1)n n3/4+ cos(n) un= (−1)nn1/n ln n
Exercice 7 Soit (un) une suite réelle positive décroissante, telle que
X
unconverge.
a) Montrer que lim nun= 0. Indication. Encadrer grossièrement
2n
X
k=n+1
uk.
b) Montrer que la série
+∞
X
n=1
n(un−un+1) converge et a même somme que
+∞
X
n=1
un.
c) Application. Calculer pour 0 6 r < 1 la somme
+∞
X
n=1
nrn.
Exercice 8 Presque un télescopage Soit une suite (un) telle que la série
X
nunconverge. Montrer que la série
X unconverge. Indication. Poser Sn= n X k=1
kuket exprimer unà l’aide des termes de la suite (Sn).
Exercice 9 Produit de Cauchy Soit a ∈ [0, 1[. Écrire 1
(1 − a)2 comme produit de deux séries, et en déduire la somme de la série +∞ X n=0 nan. Calculer par la même méthode +∞ X n=0 n2an.
Exercice 10 Soit σ une bijection de N∗dans N∗. a) Montrer queX 1
σ(n)2 converge.
b) Montrer queX 1
σ(n) diverge.
Soit σ une bijection de N dans N, etXanune série absolument convergente.
c) Montrer queXaσ(n)converge absolument.
d) Montrer que +∞ X n=0 aσ(n)= +∞ X n=0 an. page 2
