1 FICHE MATHS 3 R. DUPERRAY Lycée F. BUISSON PTSI
SYSTEMES DE COORDONNEES
1. Les coordonnées Cartésiennes
i → ,→j,k→ ⎛ ⎝⎜ ⎞
⎠⎟ base orthonormée directe fixe. Autres notations populaires : ex → ,e→y,e→z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟, ux → ,u→y,u→z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟. Un point P de l’espace est repéré par
(
x,y,z)
avec x ∈ −∞,+∞⎤⎦ ⎡⎣, y ∈ −∞,+∞⎤⎦ ⎡⎣ et z ∈ −∞,+∞⎤⎦ ⎡⎣.!
Vecteur positionOP
→
= x i→+y j→+z k→
!
Vecteur déplacement élémentaire dℓ→
≡dOP→ =dx i→+dy j→+dz k→
!
Volume élémentaire2
2. Les coordonnées polaires (2D)
u→r,u→θ ⎛ ⎝⎜
⎞
⎠⎟ base orthonormée directe mobile.
Un point P de l’espace est repéré par
( )
r,θ avec r ∈ 0,+∞⎡⎣ ⎡⎣, θ ∈ 0,2⎡⎣ π⎡⎣, x = r cosθ ety =rsinθ .
!
Vecteur positionOP
→
=r u→r
!
Vecteur déplacement élémentaire dℓ→
=dr u→r+r dθ u→θ
!
Surface élémentaire3
3. Les coordonnées cylindriques (polaires 3D)
u→r,u→θ,u→z ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ base orthonormée directe mobile.
Un point P de l’espace est repéré par
(
r,θ,z)
avec r ∈ 0,+∞⎡⎣ ⎡⎣, θ ∈ 0,2⎡⎣ π⎡⎣, z ∈ −∞,+∞⎤⎦ ⎡⎣, x = r cosθ et y =rsinθ.!
Vecteur positionOP
→
=r u→r+z u→z
!
Vecteur déplacement élémentairedℓ → ≡dOP→ =dr u→r+r dθ u→θ+dz u→z
!
Volume élémentaire dV = r dθ dr dz Note z et uz → (noté aussi k →4
4. Les coordonnées sphériques
u→r,u→θ,u→φ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ base orthonormée directe mobile.
Un point P de l’espace est repéré par
(
r,θ,φ)
avec r ∈ 0,+∞⎡⎣ ⎡⎣, θ ∈ 0,⎡⎣ ⎡⎣π ,φ ∈ 0,2⎡⎣ π⎡⎣,x =rsinθcosφ, y =rsinθsinφ et z = r cosθ .
!
Vecteur positionOP
→
=r u→r
!
Vecteur déplacement élémentairedℓ → =dr u→r+r dθ u→θ+rsinθ dφu→φ
!
Volume élémentaire dV =( )
r dθ( )
dr(
rsinθ dφ)
=r2sinθ dr dθ dφ Attention- Ne pas confondre le r des coordonnées cylindriques et le r des coordonnées sphériques, même notation mais désignent des grandeurs différentes.
- On utilise aussi la lettre grecque minuscule phi ϕ à la place de la lettre grecque majuscule phi φ . - Les mathématiens inversent les notations φ et θ (à moins que ce ne soit les physiciens ☺)
