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Fiche Maths 3-Coordonnees

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

1 FICHE MATHS 3 R. DUPERRAY Lycée F. BUISSON PTSI

SYSTEMES DE COORDONNEES

1. Les coordonnées Cartésiennes

i → ,→j,k→ ⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ base orthonormée directe fixe. Autres notations populaires : ex → ,e→y,e→z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟, ux → ,u→y,u→z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟. Un point P de l’espace est repéré par

(

x,y,z

)

avec x ∈ −∞,+∞⎤⎦ ⎡⎣, y ∈ −∞,+∞⎤⎦ ⎡⎣ et z ∈ −∞,+∞⎤⎦ ⎡⎣.

!

Vecteur position

OP

= x i→+y j→+z k→

!

Vecteur déplacement élémentaire dℓ

≡dOP→ =dx i→+dy j→+dz k→

!

Volume élémentaire

(2)

2

2. Les coordonnées polaires (2D)

u→r,u→θ ⎛ ⎝⎜

⎠⎟ base orthonormée directe mobile.

Un point P de l’espace est repéré par

( )

r,θ avec r ∈ 0,+∞⎡⎣ ⎡⎣, θ ∈ 0,2⎡⎣ π⎡⎣, x = r cosθ et

y =rsinθ .

!

Vecteur position

OP

=r u→r

!

Vecteur déplacement élémentaire dℓ

=dr u→r+r dθ u→θ

!

Surface élémentaire

(3)

3

3. Les coordonnées cylindriques (polaires 3D)

u→r,u→θ,u→z

⎝⎜

⎠⎟ base orthonormée directe mobile.

Un point P de l’espace est repéré par

(

r,θ,z

)

avec r ∈ 0,+∞⎡⎣ ⎡⎣, θ ∈ 0,2⎡⎣ π⎡⎣, z ∈ −∞,+∞⎤⎦ ⎡⎣, x = r cosθ et y =rsinθ.

!

Vecteur position

OP

=r u→r+z u→z

!

Vecteur déplacement élémentaire

dℓ → ≡dOP→ =dr u→r+r dθ u→θ+dz u→z

!

Volume élémentaire dV = r dθ dr dz Note z et uz → (noté aussi k →

(4)

4

4. Les coordonnées sphériques

u→r,u→θ,u→φ

⎝⎜

⎠⎟ base orthonormée directe mobile.

Un point P de l’espace est repéré par

(

r,θ,φ

)

avec r ∈ 0,+∞⎡⎣ ⎡⎣, θ ∈ 0,⎡⎣ ⎡⎣π ,φ ∈ 0,2⎡⎣ π⎡⎣,

x =rsinθcosφ, y =rsinθsinφ et z = r cosθ .

!

Vecteur position

OP

=r u→r

!

Vecteur déplacement élémentaire

dℓ → =dr u→r+r dθ u→θ+rsinθ dφu→φ

!

Volume élémentaire dV =

( )

r dθ

( )

dr

(

rsinθ dφ

)

=r2sinθ dr dθ dφ Attention

- Ne pas confondre le r des coordonnées cylindriques et le r des coordonnées sphériques, même notation mais désignent des grandeurs différentes.

- On utilise aussi la lettre grecque minuscule phi ϕ à la place de la lettre grecque majuscule phi φ . - Les mathématiens inversent les notations φ et θ (à moins que ce ne soit les physiciens ☺)

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