trigonometrie-3eme-sc-experimentales

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 1}

Trigonométrie 3ème Sc Expérimentales

Exercice 1

Pour chacune des questions suivantes une et une seule réponse est exacte. 1) Pour tout de ℝ le réel sin 3 − est égale à :

a) − cos b) − sin c) sin d) cos 2) Pour tout de ℝ le réel cos + est égale à :

a) − sin b) sin c) cos d) −cos 3) Soit un élément de ℝ le réel −2 + −2 est égale à :

a) −2 b) −1 c) 2 d) 1 4) Soit et deux éléments de ℝ. Le réel cos − est égale à :

a) cos − cos b) sin a sin − cos cos c) cos cos + sin sin 5) Soit un reel ∈ − , 0" tel que cos =$_% alors sin + est égale à :

a) −$

% b) −√$'% c) √$'%

Exercice 2

1) a) Résoudre dans ℝ puis dans (– , * l’équation : cos − sin = 1 b) Résoudre dans ℝ l’équation : 1 − 2 sin cos = 2

2) Résoudre l’inéquation : cos >√

a) dans ℝ b) dans ,0 , 2 - c) dans ,− , -

3) Soit . la fonction définie par : . = sin 3 2 cos − 1 . Déterminer le signe de . sur ,0 , -.

Exercice 3

1) Résoudre dans ℝ l’équation : sin cos 2 − cos sin 2 =√ 2) Résoudre dans ,0 , 2 - l’équation : cos 2 + 2 cos = −1 3) Résoudre dans ℝ l’inéquation : 2 sin ≥ −√3

4) Résoudre dans ,− , 2 - l’inéquation : 2 cos ≤ √3 5) Résoudre dans ,− , - l’inéquation : 123 4

$5 671 4> 0

Exercice 4

1) Résoudre l’inéquation : 2 sin ≤ 1

a) dans ℝ b) dans ,0 , 2 - c) dans ,− , -

2) Résoudre dans ℝ puis dans ,0 , 2 - l’équation : cos − √3 sin = 1 3) Résoudre dans , , 2 - l’équation : 2 sin 2 = √3

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 2} 4) Soit . la fonction définie par : . = sin + 2 cos + 1

a) Résoudre dans ,0 , - l’équation . = 0 b) Déterminer le signe de . sur ,0 , -

Exercice 5

Soit la fonction . = √3 cos 2 − sin 2 1) Calculer .

% ; . ; . − ; . % ; . '%

2) Montrer que : ∀ ∈ ℝ ; . + = . 3) a) Montrer que : ∀ ∈ ℝ ; . = 2 cos 2 +

9

b) Montrer que : ∀ ∈ ℝ ; . = 2 − 4 +

$

c) Calculer . 0 et en déduire la valeur exacte de sin

$

4) a) Résoudre dans ℝ l’équation : 2 cos 2 +

9 = √2

b) Résoudre dans IR l’inéquation : 2 sin 2 +₉ + 1 ≥ 0

Exercice 6

1) Montrer que ∀ ∈ ℝ ; √2 cos − √2 sin = 2 cos +_% 2) Résoudre dans ℝ l’équation : √2 cos − √2 sin = 0

Exercice 7

Sans utiliser une calculatrice calculer les expressions suivantes

; = _{8 +} 3_{8 +} 5_{8 +} 7₈

? = _{12 +} 3_{12 +} 5_{12 +} 7_{12 +} 9_{12 +} 11₁₂

A = cos 12cos512 + sin 12 sin512 B = cos 12 cos512 − sin 12 sin512

C = _{7 +} 5_{14 + 12 +} 11₁₂

Exercice 8

1) Soit ∈ ℝ\ EF ; F ∈ ℤI a) Montrer que : tan + $

KL3 4= 123 4

b) Montrer que : tan + $

KL3M _N=₁₂₃%M ₄− 2

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Exercice 9

Soit un réel, montrer les identités suivantes : sin 3

sin −cos 3cos = 2 ; 1 − cossin = 1 + cos = tan 2 ; Qsin 4 − =1 − sin 21 + sin 2

Exercice 10

Exercice 11

Pour tout réel on pose :

; = √3 + S +5_{12T +} S −5_12T

? = √3 + S +5_{12T +} S −5_12T

C = √3 cos 2 + cos S2 +5_{6 T + cos S2 −}5_{6 T} 1) Justifier les égalités suivantes :

a) ; + ? = 2 + √3 b) ; − ? = C

2) a) Montrer que pour tout réel : C = 0 b) En déduire les valeurs de ; et ? 3) En calculant ;

$ de deux manières, trouver la valeur exacte de cos$

Exercice 12

1) Montrer que ∀ ∈ ℝ ; sin 2 − 2 = 2 cos sin − cos

2) Résoudre alors dans l’intervalle ,0 , 2 - l’équation : sin 2 − 2 = 0

Exercice 13

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct U , VW , XW on donne les points ; et ? de coordonnées polaires respectives 2 , et 2 ,

9

1) a) Placer les points ; et ? b) Calculer U;YYYYYW , U?ZYYYYYW

c) En déduire que le triangle U;? est isocèle rectangle en U 2) Donner les cordonnées cartésiennes de ; et ?

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 4} 3) Soit le point A tel que UAYYYYYW = U;YYYYYW + U?YYYYYW

a) Montrer que U?A; est un carré b) Montrer que VW , UAZ ≡YYYYYW '_$ ,2 -

c) Donner les cordonnées cartésiennes de A 4) En déduire cos' $ ; cos$ ; cos \ $ ; cos $$ $ ; sin ' $ ; sin$ ; sin \ $ ; sin $$ $

Exercice 14

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct U , VW , XW on donne les points ; et ? de coordonnées polaires respectives 4 ,

% et 4 ,

1) a) Montrer que le triangle U;? est isocèle

b) Placer dans le repère U , VW , XW les points ; et ? c) Montrer que U;YYYYYW , U?ZYYYYYW ≡_$ ,2 -

2) a) Calculer les coordonnées cartésiennes des points ; et ? b) En déduire que cos

$ = √9]√% et sin$ =√95√%

Exercice 15

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct U , VW , XW on donne le point ^ de coordonnées _2√3 , 2` 1) Donner les coordonnées polaires de ^ dans le repère U , VW , XW

2) On considère le point a tel que Ua = $U^ et U^YYYYYYW , UaZYYYYYYW ≡

% ,2 -

Déterminer les coordonnées polaires de a dans le repère U , VW , XW 3) a) En utilisant les formules d’addition, calculer cos$$

$ et sin $$

$

b) En déduire les coordonnées cartésiennes de a dans U , VW , XW

4) Calculer la distance ^a et une valeur approchée à 105 par défaut de ^UYYYYYYW , ^aZYYYYYYYW

Exercice 16

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct U , VW , XW on donne les points : ;_3√3 , 3` ; ?_3√3 , −3` et A_4√3 , 0`

1) a) Calculer A;YYYYYW. A?YYYYYW et céQ_A;YYYYYW , A?YYYYYW`. En déduire cos A;YYYYYW , A?ZYYYYYW et sin A;YYYYYW , A?ZYYYYYW . b) Déterminer alors la mesure principale de l’angle orienté _A;YYYYYW , A?YYYYYW`

2) a) Préciser les coordonnées polaires de A et ? b) Placer alors les points A , ? et A

c) Donner la mesure principale de l’angle orienté _U;YYYYYW , U?YYYYYW` 3) a) Justifier alors que les points U, ;, ? et A sont cocycliques