Électrodynamique quantique en circuit : mesures à grand nombre de photons

Texte intégral

(1)´ lectrodynamique quantique en circuit : Mesures a` E grand nombre de photons. par. Vincent Bouliane. mémoire présenté au Département de physique en vue de l’obtention du grade de maˆıtre ès sciences (M.Sc.). ´ DES SCIENCES FACULTE ´ DE SHERBROOKE UNIVERSITE. Sherbrooke, Québec, Canada, 22 septembre 2014.

(2) Le 9 octobre 2014 le jury a accepté le mémoire de Monsieur Vincent Bouliane dans sa version finale. Membres du jury Professeur Alexandre Blais Directeur de recherche Département de physique Professeur Denis Morris Membre interne Département de physique Professeur Claude Bourbonnais Président rapporteur Département de physique.

(3) ` ma famille et à ma copine A. iii.

(4) Sommaire Un excellent candidat pour la réalisation d’un ordinateur quantique est le qubit supraconducteur. Il s’agit d’un système dont le spectre est discret et dont les niveaux d’énergie sont séparés de manière anharmonique. On peut donc dire qu’il s’agit d’une réalisation en circuit d’un atome artificiel. Afin de contrôler cet atome artificiel, on s’inspire de l’électrodynamique quantique en cavité, o` u un atome interagit avec le champ électroma` gnétique confiné dans une cavité. A l’aide de circuit, il est possible d’atteindre des forces de couplage lumière-matière impossible à atteindre en cavité. Le système proposé par Blais et al. [1] remplace les atomes par des qubits supraconducteurs et la cavité par un résonateur coplanaire supraconducteur. Malheureusement, obtenir des solutions numériques pour ce problème devient rapidement très demandant et ce, surtout en présence d’une excitation extérieure de grande amplitude. Dans ce cas, plusieurs approximations ne tiennent plus lorsqu’on s’intéresse à la physique de ce système. Par exemple, à forte puissance, les qubits supraconducteurs ne peuvent plus être traités comme de simples systèmes a` deux niveaux. On doit e↵ectivement tenir compte des niveaux supérieurs du qubit. Un exemple de cette difficulté est la mesure a` avalanche, qui permet de déterminer l’état initial d’un qubit en regardant le nombre de photons dans le résonateur dans son état stationnaire. Dans un certain régime de paramètres, il est possible d’atteindre un nombre de l’ordre de 105 photons lors de cette mesure. Ceci correspond a` un espace de Hilbert très grand, de sorte que trouver numériquement l’état stationnaire est un défi, mais simuler la dynamique de ce système est un défi encore plus grand. Il faut donc se tourner vers des approximations ou des techniques numériques di↵érentes pour parvenir a` saisir la dynamique de ces systèmes. C’était donc la motivation première de ce projet. Pour y parvenir, il a fallu utiliser diverses méthodes numériques, ainsi que quelques approximations. Avec ces méthodes, on a étudié la dynamique de deux types de mesure qui se produisent a` très grand nombre de photons et donc nécessitant un très grand espace de Hilbert. iv.

(5) Remerciements Commen¸cons par le commencement, en remerciant mon directeur de recherche, Alexandre Blais. J’ai beaucoup appris durant ma maˆıtrise. Merci de ta patience avec des projets sans fin et ma maˆıtrise qui s’est étirée pour mes raisons personnelles ! Un gros merci aussi aux membres de ce groupe. Merci a` Andy, d’avoir travaillé avec moi pour une bonne partie de ma maˆıtrise. Les discussions avec toi se terminaient souvent par une nouvelle idée pour débloquer un problème. J’ai été très impressionné par ta connaissance des méthodes numériques. Merci aussi a` Kevin, qui a toujours de judicieux conseils pour bien coder. Merci enfin à mon voisin de bureau, Adam, qui a su répondre a` toutes mes petites questions, aussi insignifiantes soient-elles. Je ne peux pas négliger l’apport essentiel de mes amis de physique. Doum, Laurent, Papa, Gasse, Karl, So, Ken, Pete. Merci de m’avoir laissé envahir vos bureaux n’importe quand pour un 5-10 minutes. Je n’oublie pas non plus Lahur et Ga¨ ube, qui sont partis dans d’autres universités, mais qu’il me fait toujours plaisir de revoir pour nos vieilles traditions, comme les crevettes à volonté et le Shack à Doum. Merci a` toute la gang pour des discussions parfois longues et inutiles sur l’origine des trous noirs, sur le pourquoi du comment de la mécanique quantique, ou tout simplement pour perdre ”The Game”. Merci beaucoup a` mes parents, pour leurs conseils de vie toujours utiles. Merci aussi a` Anne-So de m’avoir encouragé. Un gros merci à Caro, ma copine, qui m’a supporté et enduré pendant mon chialage. Heureusement pour nous, c’était réciproque ! Enfin, je voudrais remercier mes anciens professeurs Michel et Guy au secondaire, qui m’ont donné le goˆ ut de poursuivre mon chemin vers la science. Un choix que je ne regrette pas !. v.

(6) Table des mati` eres Sommaire. iv. Table des mati` eres. vi. Liste des tableaux. ix. Table des figures. x. Introduction. 1. ´ 1 Electrodynamique quantique en circuit 1.1 Cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Pilotage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Non-linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Transmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Boˆıte de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Régime transmon . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Interaction entre circuits . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Couplage qubit-résonateur . . . . . . . . . 1.3.2 Couplage via une ligne à transmission . . 1.4 Référentiel tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Mesure du qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Mesure à avalanche . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Bifurcation dans des résonateurs couplés vi. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 4 7 7 9 10 14 14 17 19 19 20 21 24 25 25 26.

(7) Table des matières. vii. 2 Les trajectoires quantiques. 29. 2.1. Théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 2.2 2.3. Notion de trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ´ Equation de Schrödinger stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 2.4. Algorithme de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 2.5. 2.4.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Avantages et inconvénients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. ´ 3 Etats coh´ erents et espaces de phase 39 ´ 3.1 Etats cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 La fonction Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3. 3.4 3.5. D’une équation matricielle a` une équation aux dérivées partielles . . . . . . 42 3.3.1 Cavité seule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2 Cavité couplée a` un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ´ Equation de Schrödinger dans un référentiel déplacé . . . . . . . . . . . . . . 45 Transformation de polaron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 4 Principe variationnel 48 4.1 Principe variationnel dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.1.1 Variables complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 M´ ethodes num´ eriques 53 5.1 XMDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2 SQUACK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6 R´ esultats num´ eriques 6.1 Résultats avec la méthode d’espace de phase . . . . . . . 6.1.1 Résonateur seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Couplage avec qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Résultats pour la simulation de mesure avalanche . . . . 6.2.1 Analyse avec trajectoires sans référentiel déplacé 6.2.2 Analyse avec le référentiel déplacé . . . . . . . . . 6.2.3 Problème avec la transformation de polaron . . . 6.3 Résultats pour le simulation avec le principe variationnel. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 55 55 56 58 59 60 60 62 63.

(8) Table des matières. viii. 7 Analyse des r´ esultats avec le groupe Quantronique. 66. 7.1. Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. 7.2 7.3. Résonateurs non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Simulation à 4 résonateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69. 7.4. Simulation à 2 signaux de pilotage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. Conclusion. 74. Bibliographie. 78.

(9) Liste des tableaux 6.1. Paramètres de simulation avalanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. 7.1. Paramètres de simulation du groupe Quantronique . . . . . . . . . . . . . . 69. ix.

(10) Table des figures 1.1 1.2 1.3. Pics de transmission de la cavité Fabry-Pérot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Résonateur coplanaire supraconducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Schéma de la bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 1.4 1.5 1.6. Fonction Q des états L et H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Réponse de l’oscillateur non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 S-curve expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 1.7 1.8 1.9. Schéma de la boˆıte de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Niveaux d’énergie du transmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ligne a` transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 1.10 Mesure à avalanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. Trajectoire par saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 3.1. Exemple de fonction Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 6.1. 6.4 6.5. Solution pour l’état à un temps t arbitraire de l’équation aux dérivées partielles pour un résonateur seul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temps de simulation en fonction de la taille de l’espace . . . . . . . . . . . Solution de l’équation aux dérivées partielles pour un résonateur couplé a` un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Etat d’un résonateur avec qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fidélité de l’état variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7.1 7.2 7.3 7.4. Forme du signal d’excitation pour S-curves simulées . . . . . . . . . . S-curves a` 2 drives . . . . . . . . . Lecture du qubit avec S-curves . .. 6.2 6.3. la bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . 56 . 57 . 59 . 61 . 64 . . . .. 68 70 72 75.

(11) Introduction Plusieurs phénomènes naturels sont régis par les lois de la mécanique quantique. La désintégration atomique, la supraconductivité ou des réactions chimiques complexes, tous ces phénomènes ne peuvent être compris qu’à l’aide des lois de la mécanique quantique. Afin de mieux comprendre les systèmes quantiques et de faire des prédictions concernant leur comportement, il n’est toutefois pas suffisant de connaˆıtre les postulats de la mécanique quantique, il faut aussi pouvoir simuler l’évolution de système quantique. Comment s’y prend-on pour simuler efficacement des systèmes quantiques a` l’aide de processeurs classiques ? La réponse n’est pas simple. Il faut d’abord comprendre les exigences reliées a` la simulation d’un système quantique. Un des principes fondamentaux de la physique quantique est le principe de superposition. Dirac proposa d’ailleurs dans les Principes de la mécanique quantique [2] que le principe de superposition constitue le point crucial séparant la théorie classique de la théorie quantique. Un second concept fondamental est l’enchevêtrement. Ce concept a été a` l’origine de controverses, puisqu’il semblait remettre en question la causalité. Einstein, Rosen et Podolsky proposèrent l’expérience de pensée EPR [3] afin de montrer les contradictions apparentes de la mécanique quantique. La vérification expérimentale par Aspect [4], suivi par plusieurs autres groupes [5, 6], de la violation des inégalités de Bell a toutefois enlevé le doute entourant le concept d’enchevêtrement en mécanique quantique. Le principe de superposition et l’enchevêtrement sont responsables de la difficulté a` simuler un système quantique. Prenons par exemple un ensemble de N bits classiques. Pour décrire l’état complet du système, il faut N nombres (1 nombre, 0 ou 1, pour chaque bit). Avec des qubits, il faut maintenant 2 nombres pour chaque qubit, car ils peuvent être dans une superposition de 0 et de 1. En plus, puisqu’ils peuvent être enchevêtrés, et donc possiblement dans un état non-séparable, les N qubits ne peuvent être décrit par seulement 2N nombres. Le nombre de configuration possible de ce système est 2N , qui peuvent être en superposition. Il faut donc 2N nombres pour décrire un système de 1.

(12) Introduction. 2. N qubits. C’est pourquoi simuler un système quantique avec un processeur classique est une tâche ardue. La complexité augmente très rapidement et le temps de calcul devient trop long, malgré les supercalculateurs actuels. Ceci est une motivation importante pour la construction d’un ordinateur quantique. Richard Feynman avait d’ailleurs remarqué qu’un ordinateur obéissant aux lois de la mécanique quantique serait en bien meilleure position pour simuler des systèmes quantiques [7]. L’unité de base d’un ordinateur quantique, le qubit, peut être fabriqué de diverses manières : les spins, les niveaux atomiques, etc. Mais en plus de devoir les fabriquer, il faut aussi connaˆıtre leur fonctionnement, comprendre comment faire des mesures efficaces, ou comment optimiser les temps de décohérence. Afin de développer un ordinateur quantique fonctionnel, il nous faut être en mesure de simuler cet ordinateur, avec ses composantes pour la lecture des qubits ainsi que les manières de modifier l’état des qubits. Par exemple, dans le cadre de l’électrodynamique en cavité, des atomes de Rydberg interagissent avec le champ électromagnétique confiné dans une cavité [8]. Le champ électromagnétique permet de contrôler et de lire l’état de l’atome avec lequel il interagit, car les photons deviennent enchevêtrés avec l’atome, qui sert dans ce cas-ci de qubit [9]. Dans ce travail, on s’intéresse à la version en circuit de ce système, proposé par Blais et al. [1]. L’idée est la même : le champ électromagnétique confiné dans un résonateur interagit avec un atome artificiel. Le régime dispersif [10], valide à bas nombre de photons et a` couplage faible, a été utilisé pour expliquer diverses expériences [11]. Au-delà de ce régime, quand on augmente le nombre de photons dans le résonateur (en augmentant la puissance du signal micro-onde d’excitation), le régime dispersif n’est plus valide. Loin d’être un inconvénient, cela permet d’atteindre un régime o` u il est possible de faire la lecture d’un qubit en une seule mesure, la mesure de type avalanche [12, 13, 14]. En raison du grand nombre de photons, et donc de l’espace de Hilbert en jeu très grand, il n’est pas facile de simuler numériquement ce régime. Par exemple, lors d’une mesure avalanche, le résonateur peut contenir autour de 105 photons dans certains régimes de paramètres. On revient donc au problème initial. On veut un ordinateur quantique pour comprendre des phénomènes quantiques, mais il faut d’abord pouvoir simuler classiquement cet ordinateur quantique afin d’aider a` son développement et d’optimiser ses performances. Puisque la méthode en force brute demande trop de temps de calcul, il faut donc trouver d’autres approches pour pouvoir simuler l’ordinateur quantique. La motivation de ce travail était donc de simuler plus efficacement des systèmes dont l’espace de Hilbert du résonateur devient très grand. Normalement, il faudrait résoudre.

(13) Introduction. 3. numériquement l’équation de Schrödinger en présence d’un environnement. Dans cette situation, il est plus efficace de décrire la dynamique du système sous la forme d’une équation maˆıtresse o` u l’on a éliminé les degrés de liberté de l’environnement. Cette méthode constitue la méthode habituelle pour simuler l’évolution d’un système quantique dans un environnement. Elle n’est toutefois pas très efficace pour un grand espace de Hilbert. On a essayé diverses méthodes pour accélérer les calculs. D’abord, on a réécrit l’équation maˆıtresse en équation aux dérivées partielles en la projetant dans l’espace des phases et en résolvant l’équation pour la fonction Q de Husimi. Cela n’a pas été efficace, alors on a adopté une autre stratégie. En observant la fonction Q de la matrice densité, on a remarqué que les états se représentent souvent sous forme d’états cohérents. Une autre approche a donc été d’utiliser une méthode variationnelle afin de simuler efficacement un état qui aurait la forme donnée. Bien que cette méthode ait l’avantage d’être indépendante de l’espace de Hilbert, l’état du système ne restait pas vraiment dans la forme imposée et donc cette méthode n’était pas adéquate. Enfin, la dernière approche a été de combiner deux techniques existantes. La première technique utilisée est la méthode des trajectoires quantiques. Cette méthode est une méthode stochastique qui requiert de stocker beaucoup moins d’informations en mémoire que la méthode standard de résolution de l’équation maˆıtresse. La deuxième technique est d’utiliser un référentiel déplacé. En choisissant adéquatement notre référentiel dans l’espace des phases, il est possible de diminuer la taille de l’espace de Hilbert nécessaire à la description de l’état. En combinant les deux méthodes, on obtient une méthode de simulation qui a un très bon potentiel. On a appliqué cette technique pour simuler l’état lors d’une mesure a` avalanche, mais comme la méthode de calcul nécessite que l’état soit proche d’un état cohérent, la technique n’a pas été très utile (puisque, comme on le verra plus loin, l’état du système lors de cette mesure est très loin d’être un état cohérent). Enfin, la méthode combinée des trajectoires et du référentiel déplacé a pu être appliquée pour simuler une expérience du groupe de Quantronique à Saclay. Il s’agit de quatre résonateurs non-linéaires reliés à la même ligne ´ a` transmission. Etant non-linéaire, ces résonateurs peuvent accéder a` un régime dit bistable, dont les deux états stables sont un état a` bas nombre de photons et un état a` haut nombre. Le référentiel de chacun des résonateurs a été déplacé afin d’accélérer les calculs au maximum, peu importe l’état. La taille de l’espace de Hilbert pouvant devenir très grande en raison des e↵ets non-linéaires, c’est un bon moyen de vérifier l’efficacité de la méthode numérique. On s’intéresse a` la probabilité de bifurquer de l’état peu peuplé a` l’état très excité..

(14) Chapitre 1 ´ Electrodynamique quantique en circuit On présente dans ce chapitre les éléments constituants de l’électrodynamique quantique en circuit. On commence par le résonateur, en version linéaire et non-linéaire. Les qubits supraconducteurs, et en particulier le transmon, sont ensuite introduits. On verra ensuite les divers couplages lumière-matière (i.e. résonateur-qubit) possibles dans ce système. D’abord il y a le couplage entre le champ électrique et le moment dipolaire dans un système formé d’un transmon placé dans un résonateur. Un autre type d’interaction est le couplage indirect via une ligne a` transmission entre divers systèmes quantiques. Enfin, on discutera brièvement de deux expériences auxquelles je m’intéresserai dans le cadre de ce travail. Ces expériences permettent la lecture de l’état du qubit avec une bonne fidélité. Toutefois, la simulation numérique de ce type de mesure représente un grand défi, puisqu’elles nécessitent de travailler avec un très grand nombre de photons.. 1.1. Cavit´ e. La grande force de l’électrodynamique quantique en cavité est de confiner le champ √ électromagnétique dans l’espace. Puisque l’amplitude du champ augmente comme 1� V [15], avec V le volume de la cavité, ceci a pour e↵et d’augmenter le couplage avec le moment dipolaire d’un atome inséré dans la cavité. En pratique, la cavité est constituée de deux miroirs presque parfaitement réfléchissants. Une partie de la lumière entrant dans cet espace se trouve piégée. Elle fera des allers-retours entre les deux miroirs. Chaque allerretour ajoute une phase à l’onde et il se produit un e↵et d’interférence entre ces ondes. 4.

(15) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 5. 1. Transmission (U.A). 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0. 5. 10. 15. 20. Frequence (GHz). Figure 1.1 – Les pics de transmission de la cavité Fabry-Pérot. La position des pics est un multiple entier de !r . De plus, pour un facteur de qualité constant, la largeur des pics est plus grande à plus haute fréquence. Il en résulte un filtre de fréquence (voir figure 1.1). En e↵et, en raison de l’interférence, seules les ondes ayant une fréquence bien précise sont permises dans la cavité. Les autres seront réfléchies. On obtient donc un bon contrôle sur la lumière présente dans la cavité. En injectant un ou des atomes entre ces deux miroirs, on peut faire interagir les atomes avec la lumière dans la cavité [8]. L’état des atomes peut être contrôlé par la présence d’un champ de photons d’énergie donnée. L’atome et le champ électromagnétique peuvent s’échanger des quanta d’énergie. L’équivalent en circuit micro-ondes est réalisé à l’aide d’un résonateur coplanaire supraconducteur en guise de cavité. Une fa¸con imagée de comprendre le principe de fonctionnement de ce résonateur est une vue en coupe longitudinale d’un câble coaxial. On a ainsi une électrode centrale et des mises a` la terre de chaque côté. En coupant l’électrode centrale par une capacité de chaque côté, la section isolée ainsi créée devient l’équivalent d’une cavité résonante, comme on peut voir à la figure 1.2. C’est une version unidimensionnelle en circuit du résonateur Fabry-Pérot. Le confinement du champ fait.

(16) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 6. Figure 1.2 – Résonateur coplanaire supraconducteur. Un résonateur est formé de deux mises à la terre et d’une électrode centrale coupée aux bouts par 2 condensateurs. en sorte qu’il y ait des modes discrets du champ électromagnétique. La cavité accepte donc des photons dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence de résonance ωr . Les pics de transmission ont une certaine largeur, définie par le facteur de qualité de u κ est la constante de relaxation. la cavité. Il est défini par le rapport de Q = ωr /κ, o` Plus κ est élevé, moins la cavité est un bon filtre et plus il y a de perte. L’utilisation de matériaux supraconducteurs permet d’obtenir un très grand facteur de qualité. Les pics de transmission ayant alors une largeur beaucoup plus petite que la séparation entre ceuxci, les modes sont indépendants les uns des autres. Il est donc possible de ne considérer qu’un seul mode de sorte qu’une seule fréquence est importante. Les cavités réalisées en circuit peuvent avoir des facteurs de qualité de l’ordre de 105 [16]. L’Hamiltonien du champ électrique quantifié dans une cavité (sans tenir compte pour l’instant de la dissipation) a donc la forme Hr = ωr a† a. (1.1). ̵ = 1 pour tout le document). Il s’agit de l’opérateur hamiltonien d’un oscilla(notez que h teur harmonique. L’opérateur a(a† ) est l’opérateur de destruction (création) d’un quanta d’énergie dans un oscillateur harmonique. L’opérateur a† a est donc l’opérateur représentant le nombre de quanta dans l’oscillateur. On voit plus généralement l’Hamiltonien avec un facteur supplémentaire + ω2r représentant l’énergie du fondamental. Comme on s’intéresse à la dynamique de ce système, on laisse tomber ce facteur, qui ne fait qu’ajouter une phase globale sans intérêt physique..

(17) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 1.1.1. 7. Pilotage. La cavité est couplée capacitivement a` une ligne a` transmission. On peut envoyer un signal micro-onde dans cette ligne à transmission pour contrôler le champ électrique dans la cavité. On peut trouver simplement la forme du signal de pilotage dans la cavité avec un argument semi-classique. Le signal dans la ligne a` transmission est VL = A cos(!d t + ) (avec !d la fréquence du signal de pilotage) et on écrit le signal dans le résonateur comme VR = V0 (a + a† ). On traite donc le signal dans le résonateur comme un signal quantique, tandis que le signal de pilotage est traité classiquement. Si les deux voltages sont séparés par une capacité C, l’hamiltonien de pilotage est 1 1 Hd = C(VR − VL )2 = CV02 a† a�2 − ACV0 �a + a† � cos(!d t + ) + CA2 cos2 (!d t + ) (1.2) 2 2. On peut négliger le terme en A2 , car il est proportionnel a` la matrice identité et n’influencera pas la dynamique. De plus, on néglige le terme en CV02 a† a�2 puisqu’il est proportionnel à a† a. On peut l’inclure comme une renormalisation de !r dans l’équation(1.1) et la fréquence de résonance devient !r → !r + CV02 �2. Pour simplifier le terme restant, on doit faire l’approximation séculaire, aussi connue comme Rotating wave approximation (RWA) en anglais. Elle consiste à négliger les termes oscillant rapidement. On se convainc de la validité de cette approximation en passant dans la représentation d’interaction, o` u les opérateurs de destruction deviennent dépendant du temps et prennent la forme a → ae−i!r t . L’Hamiltonien de pilotage Hd contient donc des termes oscillant a` fréquence !r + !d et des termes oscillant a` !r − !d . La RWA consiste a` éliminer les termes oscillant a` la fréquence !d + !r . Ces termes vont osciller très rapidement autour d’une valeur moyenne nulle et sur les échelles de temps qui nous intéresse (∼ 1�!r ), l’e↵et de ces oscillations est négligeable. Ce faisant, on obtient l’Hamiltonien approximatif de pilotage, qui a la forme Hd = ✏ �aei!d t ei + a† e−i!d t e−i �. (1.3). avec ✏ = −ACV0 l’amplitude du signal de pilotage.. 1.1.2. Dissipation. Les pics de transmission ayant une largeur non nulle, la cavité n’est pas un filtre parfait. La largeur des pics, nommée  précédemment, correspond à la constante de.

(18) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 8. relaxation de la cavité. On ne peut inclure ce terme directement dans l’Hamiltonien, car celui-ci traite normalement des processus réversibles. Or, la dissipation étant irréversible (les photons perdus ne reviennent pas), il faut la décrire par une autre manière. La fa¸con habituelle de procéder est de traiter l’Hamiltonien complet formé du résonateur et de son environnement. L’idée est semblable à celle développée pour l’Hamiltonien de pilotage. Dans le cas de la dissipation, on doit prendre le signal dans l’environnement (la ligne a` transmission) dans sa version quantique, contrairement à la version classique utilisée pour dériver la forme du signal de pilotage. L’interaction entre le voltage de la ligne a` transmission et celui dans la cavité a la forme [15] HI = � d! (!) �a + a† � �b(!) + b† (!)�. (1.4). o` u (!) est le facteur de couplage à fréquence ! et les b(!) sont les opérateurs d’échelle créant (ou annihilant) un photon de fréquence ! dans l’environnement. Les opérateurs a. n’ont pas de dépendance en ! puisqu’on a spécifié plus haut qu’on ne prenait qu’un seul mode. La constante de couplage est importante autour de la fréquence de l’oscillateur harmonique. L’échange avec le bain se fait à des fréquences autour de la fréquence de résonance. On prend ensuite la trace partielle sur les degrés de liberté du bain pour avoir l’e↵et des pertes sur le résonateur, une procédure expliquée en détail dans la référence [10]. Il est nécessaire de faire les approximations de Born-Markov pour arriver a` un résultat simple. Ces approximations consistent à supposer que le couplage avec l’environnement est faible et que l’état initial de la cavité n’est pas corrélé avec celui de son environnement. Enfin, il faut supposer que l’environnement n’a pas de mémoire, ou que le temps de corrélation est très court. On obtient ainsi l’équation maˆıtresse [17] ⇢˙ = −i [H, ⇢] + D[a]⇢. (1.5). Contrairement a` l’équation de Schrödinger qui agit sur un ket, l’équation maˆıtresse donne l’évolution temporelle pour une matrice densité ⇢. Le couplage avec un bain fait en sorte que l’état devient une superposition statistique d’états purs, que l’on décrit avec la matrice densité. Le dernier terme de l’équation (1.5), appelé le dissipateur, est donné par D[a]⇢ = a⇢a† −1�2 (a† a⇢ + ⇢a† a). En regardant de plus près ces termes, on remarque que le premier terme du dissipateur (a⇢a† ), appelé terme de saut, détruit un photon. On le voit bien si on prend l’état de la cavité dans un état de Fock (les états de nombres, états propres de l’oscillateur harmonique quantique). Dans ce cas a � n � � n � a† = n � n − 1 � � n − 1 �. Les.

(19) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 9. deux autres termes du dissipateur sont particuliers. En e↵et, appliqué sur un état de Fock, ils ne modifient pas l’état. Il peut alors sembler étrange qu’ils soient inclus dans un terme nommé dissipateur. On peut toutefois les réécrire en les incluant dans l’Hamiltonien. Mais pour y arriver et garder la forme d’un commutateur (alors que ces termes ne sont pas de signes opposés), il faut les ajouter de manière non-hermitique. L’Hamiltonien pourrait donc s’écrire HN H = H − ia† a�2. (1.6). On peut donc décomposer l’équation maˆıtresse en deux parties : un Hamiltonien (nonhermitique) et un terme de saut a⇢a† . L’équation maˆıtresse prendra alors cette forme : ⇢˙ = −iHN H ⇢ + i⇢HN† H + a⇢a†. (1.7). L’Hamiltonien non-hermitique fait en sorte de diminuer la probabilité d’avoir un état à n > 0 photons. On verra plus loin comme il sera possible d’utiliser cet Hamiltonien afin de tenir compte de la dissipation dans le but de faire des trajectoires quantiques.. 1.1.3. Non-lin´ earit´ e. Il est possible d’insérer une jonction Josephson dans l’électrode centrale du résonateur afin de le rendre non-linéaire [18]. Le courant traversant une jonction Josephson dépend d’une manière non-linéaire de la di↵érence de phase aux bornes de la jonc� contrairement a` des éléments habituels de cirtion, I = Ic sin( �'0 ), avec '0 = h�2e, cuit qui ont une dépendance linéaire, comme une inductance ( = LI). Avec la dé@I et la relation entre et V , il est possible d’écrire finition de l’inductance V = L @t @I −1 L = � � . Cette définition permet d’obtenir l’expression suivante pour la jonction @ @I −1 Josephson LJ = � � = Ic cos('0 �'0 ) . C’est pourquoi on peut dire qu’une jonction Joseph@ son est un élément de circuit non-linéaire. En présence de la jonction, l’Hamiltonien du résonateur prend la forme [18] Hc = !r a† a +. K †2 2 K ′ †3 3 a a + a a 2 3. (1.8).

(20) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 10. Cet Hamiltonien est obtenu par un développement perturbatif autour de la phase [19]. Le pilotage n’est pas inclus dans cet Hamiltonien. La valeur de !r , qui est la fréquence de résonance de base de la cavité sans jonction Josephson est donnée par 1 !r = √ Lt C e. (1.9). o` u Ce est la capacité totale du circuit (incluant celle ajoutée par la jonction) et Lt = LJ + Le . LJ est l’inductance de la jonction Josephson et Le est l’inductance du circuit (sachant qu’une cavité se modélise par un condensateur et une inductance). Les paramètre K et K ′ , responsables d changement de la fréquence de résonance a` mesure que le nombre de photons augmente, analogue à l’e↵et Kerr, sont donnés par [18], K =−. ⇡p3 !r Ze RK. o` u (p = LJ �Lt ) est le ratio de participation, Ze = RK = h�e2 est le quantum de résistance. Puis, K′ =. (1.10). � Lt �Ce est l’impédance du circuit et. 2 K2 (10p − 9) 3p !r. (1.11). Une fa¸con de lire cet Hamiltonien est de voir la fréquence !r comme étant dépendante du nombre de photons (!r′ = !r + Ka† a�2 au premier ordre). Plus il y a de photons dans la cavité et plus la fréquence de résonance diminue car K est négatif.. 1.1.4. Bifurcation. Dans cette section, on regarde l’état stationnaire d’une cavité non-linéaire. Pour y parvenir, on suppose que l’état est semi-classique, donc que � a � = ↵. On calcule donc la valeur de ↵ quand ↵˙ = � a˙ � = 0. Cela est équivalent a` calculer Tr [a⇢] ˙ = 0, en utilisant l’Hamiltonien en référentiel tournant (qui sera expliqué plus loin à la section 1.4) ⇢˙ = −i �(!r − !d )a† a +. K †2 2 a a + ✏(a + a† ), ⇢� + D[a]⇢ 2. (1.12).

(21) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. H. (a). Response (arb. units). 11. L. 20 log( ). H. 10. B L. 0 (b). 3. 2 Ω/ΩC. 1. 0. Figure 1.3 – Réponse d’un résonateur non-linéaire. Figure tirée de [18]. (haut) Courant a` travers la jonction en fonction du désaccord en fréquence réduit pour di↵érentes puissances. (bas)Régions de stabilité en fonction du désaccord et de la puissance. La zone identifiée B est la zone o` u les deux solutions (L et H) sont métastables. On calcule donc l’état stationnaire de l’amplitude complexe ↵ du champ dans la cavité [18].  2 i �⌦ ↵ + K �↵� ↵� + ↵�2 = −i✏ 2. (1.13). avec ⌦ = 2Q(1 − !d �!r ) le désaccord réduit. La solution numérique de cette expression apparaˆıt a` la figure 1.3. Comme cette équation est un polynôme du troisième degré, il y a 3 solutions en général. Le nombre et la stabilité de ces solutions dépendent du signal de pilotage. Dans le graphique du haut de la figure 1.3, les 3 solutions sont affichées. Deux solutions sont stables (courbes pleines) et une est instable (en pointillés). On remarque qu’à basse puissance de pilotage, la réponse (définie comme �↵�) en fréquence de la cavité a la forme d’une Lorentzienne centrée en !d = !r . Toutefois, à haute puissance, la fréquence.

(22) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 12. Figure 1.4 – Dans l’espace de phase, les états stationnaires L et H d’un résonateur 2 non-linéaire. L’état H a un nombre de photons �↵� plus élevé que l’état L.. ` mesure qu’on augmente de résonance est modifiée par la présence du signal de pilotage. A. la puissance, la courbe de résonance commence à fléchir, jusqu’au point o` u la pente devient √ infinie (voir figure 1.5b) au point ⌦C = 3. En continuant d’augmenter la puissance, la non-linéarité permet d’avoir deux états stables avec des amplitudes ↵ très distinctes. 2 La réponse �↵� donne une idée du nombre de photons �↵� dans le résonateur. Ces deux solutions, nommées L et H, sont facilement distinguables. En e↵et, alors que L est l’état a` basse amplitude, le nombre de photons dans la cavité est très bas. L’état H quant a` lui est un état stable a` très grand nombre de photons. On peut d’ailleurs visualiser ces états dans l’espace des phases a` la figure 1.4. Ces deux états sont des états stables, mais les probabilités d’être dans un ou l’autre de ces états dépend de la puissance et de la fréquence du signal de pilotage. On voit sur la figure 1.3 (bas) qu’en augmentant la puissance, on traverse la séparation entre les deux états stables. En augmentant la puissance, l’état passe d’un état à peu de photons a` un état avec un très grand nombre de photons dans la cavité. Il y a une zone intermédiaire qui sépare ces deux états. La fréquence du pilotage détermine la largeur de cette zone. Plus cette zone est petite, plus la transition est abrupte. On peut représenter ce passage d’un état a` l’autre par des courbes.

(23) 13. -3. -2. -1 - / C. 0. 1. H. Response (arb. units). Response (arb. units). Response (arb. units). ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. -3. -1 - / C. 0. 1. -3. -2. (b) H. L -3. -2. -1 - / C. (d). 0. 1. -1 - / C. 0. 1. (c) H. Response (arb. units). Response (arb. units). (a). -2. L. L -3. -2. -1 - / C. 0. 1. (e). Figure 1.5 – Chaque graphique représente la réponse du système a` une puissance de pilotage de plus en plus forte (sauf en 1.5e o` u la puissance est la même qu’en 1.5c) En 1.5a, on voit qu’il existe une seule solution stable pour une valeur de ⌦ donnée. La puissance du signal étant très faible, la réponse est pratiquement celle d’un oscillateur linéaire. Si on augmente la puissance suffisamment, la réponse se courbe jusqu’à ce qu’une pente infinie (en 1.5b) apparaisse a` une puissance critique. Si on continue d’augmenter la puissance, il existe pour certaines valeurs ⌦ trois solutions, deux stables et une instable (en pointillés). Le système reste toutefois dans l’état L (en 1.5c, jusqu’à ce que la puissance devienne assez forte pour qu’il n’y ait qu’une seule solution (en 1.5d). Alors l’état passe à l’état H et même si on redescend la puissance (figure 1.5e), l’état reste en H, a` moins que la puissance descende suffisamment pour retourner en 1.5b, o` u il n’y a qu’une solution possible dans l’état L. en S, nommées S-curves (figure 1.6). Ce sont les courbes qui montrent la probabilité ` basse puissance, l’état reste confiné d’être dans l’état H en fonction de la puissance. A a` l’état L, donc la probabilité d’être en H est nulle. Puis, il y a une abrupte remontée pour atteindre 1, lorsque le résonateur non-linéaire est avec une probabilité unité dans l’état H. Cela se produit si la puissance est suffisamment élevée. Pour atteindre l’état H, il faut que la puissance du signal soit telle qu’à un désaccord ⌦ donné, il n’y ait plus qu’une solution (l’état H). Ensuite, même si on redescend le signal, l’état de la cavité reste coincé dans l’état H, a` moins de descendre suffisamment la puissance pour que le seul état stable soit l’état L. Il y a donc une hystérésis dans la réponse du résonateur. On peut voir schématiquement a` la figure 1.5 ce qui se produit. En résumé, l’état stationnaire d’un résonateur non-linéaire dans ce régime de paramètres est soit un état a` très bas nombre de photons, ou un état a` très grand nombre de.

(24) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 14. ` partir d’une puissance Figure 1.6 – Courbe en S (S-curves) expérimentale, tirée de [18]. A critique, la probabilité que l’état reste dans l’état H est de 100%. Le graphique représente la probabilité p(H) d’être dans l’état H en fonction de la puissance Pm du signal de pilotage. La puissance critique dépend de la valeur de ⌦. photons. On contrôle dans quel état on veut aboutir en choisissant la puissance du signal d’excitation ainsi que sa fréquence.. 1.2. Transmon. Dans cette section, il sera question de la boˆıte de Cooper, opérée dans un régime particulier, nommé le régime transmon. Cet élément de circuit agira comme qubit, ou de fa¸con générale, comme un atome artificiel dont on peut contrôler la séparation entre les niveaux.. 1.2.1. Boˆıte de Cooper. Voyons d’abord les principes de base d’une boˆıte de Cooper. L’idée de base est de modifier légèrement le circuit de l’oscillateur harmonique, formée d’une capacité et d’une.

(25) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 15. Figure 1.7 – Schéma de la boˆıte de Cooper Figure tirée de [1]. La boˆıte de Cooper est formée d’une capacité de grille Cg , d’une jonction Josephson d’énergie EJ et de capacité CJ . Un voltage de grille Vg est aussi appliqué au système pour fixer un point d’opération. Une impédance Z(!) représente l’environnement électromagnétique de la boˆıte et est responsable de la dissipation. inductance, pour en faire un objet ayant un spectre anharmonique tout en ayant un minimum de dissipation. Avoir un spectre anharmonique est important afin de pouvoir considérer l’objet comme un qubit. En e↵et, si la séparation entre les niveaux est la même comme pour l’oscillateur harmonique, on ne peut pas le traiter comme un qubit. En e↵et, une excitation ne fera pas seulement passer l’état du niveau � 0 � au niveau � 1 �,. mais passera également l’état de � n � a` � n + 1 �. Malheureusement, les éléments standard des circuits sont soit linéaires, soit dissipatifs. La solution a` ce problème est la jonction Josephson, qui possède une inductance LJ qui se comporte de manière non-linéaire avec la phase. De plus, comme la jonction est formée de supraconducteurs, il n’y a pas de dissipation, les paires de Cooper traversant la jonction par e↵et tunnel. La substitution de l’inductance par une jonction permet de fabriquer une boˆıte de Cooper. Elle est formée d’une ˆıle supraconductrice, qui est délimitée entre la jonction Josephson et une capacité Cg . Le circuit de la boˆıte de Cooper est illustré à la figure 1.7. Ce circuit possède un spectre anharmonique. Un autre système qui a un spectre anharmonique est l’atome d’hydrogène, c’est pourquoi le nom atome artificiel est utilisé fréquemment pour parler de ce type de circuit en général. Avec ce circuit, on peut toutefois changer plusieurs.

(26) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 16. paramètres, dont l’écart entre les niveaux. Son Hamiltonien est [20] ˆ − Ng �2 − EJ cos ˆ H = EC �N. (1.14). , o` u EC = (2e)2 �(2(CJ + Cg )) est l’énergie électrostatique d’une paire de Cooper, EJ est l’énergie de la jonction Josephson et CJ est la capacité de la jonction. De plus, Cg est la capacité de grille et Ng = Cg Vg �(2e) est la charge de polarisation introduite par ˆ et ˆ, le voltage Vg appliqué au circuit. Les deux opérateurs conjugués du système, N ˆ ] = i. Dans ce cas, respectent une relation de commutation similaire a` X et P , [ ˆ, N ˆ est le nombre de paires de Cooper ayant traversé sur l’ˆıle et ˆ est la di↵érence de N. phase entre les deux extrémités de la jonction Josephson. Ce circuit très simple peut être légèrement modifié afin d’avoir plus de contrôle. Si on remplace la jonction Josephson par un SQUID (une boucle formée de deux jonctions Josephson), on a maintenant un paramètre de contrôle supplémentaire. En e↵et, pour deux jonctions d’énergie EJ , on u ex est le flux magnétique remplace EJ dans (1.14) par EJ ( ex ) = 2EJ cos(⇡ ex �'0 ), o` externe qui passe dans la boucle. L’autre paramètre de contrôle est Vg . L’Hamiltonien de la boˆıte de Cooper a une solution analytique dans la base des phases, impliquant les fonctions de Matthieu [21]. En écrivant plutôt l’Hamiltonien dans la base discrète des. charges, on obtient un Hamiltonien qu’il faut simplement diagonaliser numériquement pour en avoir les solutions. Toutefois, pour mieux visualiser la physique du problème, on préfère ne pas utiliser la solution analytique, mais plutôt une solution approximée. ˆ et ˆ sont des variables conjuguées. Avec X et P , on Précédemment, on a vu que N peut construire l’opérateur de déplacement en x en utilisant eix0 P qui déplace la fonction d’onde de x0 . Ainsi, eiP déplace la fonction d’onde de x = 1. On peut faire l’analogue avec ˆ et ˆ, mais dans ce cas ei ˆ déplace la fonction d’onde de N = 1. C’est donc l’opérateur N de création d’une paire de Cooper sur l’ˆıle. Dans la base du nombres de paires de Cooper, ˆ = ∑ � N � � N � et l’opérateur ei ˆ = ∑ � N + 1 � � N �. Ici, N et ne sont plus l’opérateur N N. N. des opérateurs, mais des entiers, contrairement a` l’équation (1.14). L’Hamiltonien prend alors la forme H = � EC (N − Ng )2 � N � � N � − N. EJ (� N � � N + 1 � + � N + 1 � � N �) 2. (1.15). Si 2EC � EJ et si on restreint Ng a` des valeurs entre 0 et 1, cela fait en sorte que la charge se localise et N ne peut prendre que 2 valeurs. On peut alors seulement tenir compte.

(27) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 17. ` condition que des deux premiers états et l’Hamiltonien se réduit à une matrice 2 × 2. A l’énergie kB T soit plus petite que le gap et que l’énergie de charge, bref que les fluctuations thermiques ne soient pas plus fortes que les énergies en jeu, l’Hamiltonien devient alors 1 H = − (Ee 2. z. + EJ (. ex ) x ). (1.16). o` u Ee = Ec (1−2Ng ) et les matrices de Pauli sont exprimées dans la base {� N = 0 � , � N = 1 �}. Dans ce cas, les états et énergies propres sont encore plus simples a` trouver. Les énergies � propres sont ± 12 Ee2 + EJ ( ex )2 . On définit la fréquence de transition !01 de ce système a` deux niveaux comme la di↵érence des énergies propres. La séparation entre les niveaux d’énergie dépend de Ng . C’est pourquoi on appelle ce type de qubit un qubit de charge. 01 ` Ng = 0.5, le qubit devient insensible au bruit de charge, comme on Comme d! dNg = 0 a le voit à la figure 1.8. C’est pourquoi cette valeur de Ng est couramment nommée le sweet-spot.. 1.2.2. R´ egime transmon. La forme du spectre en fonction de Ng dépend fortement du ratio EJ �EC (voir figure 1.8). Ce ratio influence de deux manières le spectre. La première est la sensibilité au bruit de charge. Si ce ratio est augmenté, la courbure des bandes d’énergie devient de plus en plus petite. En d’autres termes, les bandes deviennent plates et une petite variation de Ng ne change pas l’énergie. L’augmentation du ratio semble être une bonne chose si on veut protéger le système du bruit (et on voudra très certainement en être protégé). Toutefois, un autre aspect important est influencé par le ratio EJ �EC . Il s’agit de l’anharmonicité. Pour pouvoir traiter le système comme un qubit (ou un atome artificiel au spectre anharmonique), il faut que la di↵érence entre les niveaux soit di↵érente pour tous les niveaux. En d’autres termes, il faut que !01 soit très di↵érent de !12 pour pouvoir traiter le système comme un qubit (!ij est la di↵érence d’énergie entre les niveaux i et j). L’augmentation du ratio EJ �EC a pour e↵et de diminuer l’anharmonicité. Ceci semble être mauvais si on veut pouvoir avoir un qubit, mais heureusement, en augmentant le ratio, l’anharmonicité diminue de fa¸con polynomiale tandis que la sensibilité au bruit diminue de manière exponentielle [21]. On peut donc avoir un système très peu sensible au bruit avec une anharmonicité suffisante. Le ratio optimal est a` EJ �EC = 50. Ce régime de paramètre se nomme le régime transmon. Il a le même Hamiltonien que la boˆıte de Cooper, mais opère dans un régime de paramètres optimal..

(28) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 18. Figure 1.8 – Niveaux d’énergie du transmon a` di↵érentes valeurs du ratio EJ �EC . La ligne noire représente l’énergie du niveau 0 E0 . La ligne rouge est E1 et la ligne bleue, � = 1 ici, Ei = !i . Figure tirée de [21]. Pour EJ �EC très petit, le E2 . Puisqu’on utilise h système est très sensible au bruit de charge. Pour EJ �EC très grand, le spectre devient pratiquement celui de l’oscillateur harmonique. Il y a une valeur optimale de EJ �EC = 50 à laquelle le système est suffisamment insensible au bruit de charge tout en restant suffisamment anharmonique..

(29) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 19. Finalement, ces bandes d’énergies plates permettent d’associer une seule fréquence à chacun des niveaux d’énergie. L’Hamiltonien prend alors une forme très simple Ht = � !i � i � � i � M. (1.17). i. ` cause de la locaavec M le niveau de troncation de l’espace de Hilbert du transmon. A lisation de charge dˆ u au grand rapport EJ �EC , les niveaux supérieurs du transmon sont ` faible signal de pilotage, les niveaux supérieurs a` 2 seront pratiquement peu peuplés. A. vides, donc on peut restreindre la taille de l’espace à 2. Si le pilotage devient plus intense, il faudra prendre M plus grand afin de tenir compte des populations dans les niveaux supérieurs. On voit donc que l’Hamiltonien peut être simplifié si on ne tient compte que de deux niveaux, pour obtenir Hq =. !a 2. (1.18). z. avec !a = !1 − !0 la fréquence de transition du qubit.. 1.2.3. Dissipation. Pour traiter la dissipation du transmon, on doit prendre une approche Lindbladienne, c’est-à-dire coupler le qubit a` un environnement et prendre la trace partielle sur ce dernier. Une approximation de Born-Markov comme celle utilisée pour traiter la dissipation dans un résonateur doit aussi être utilisée ici. Le résultat est [15] : ⇢˙ = −i [H, ⇢] +. 1 D[ − ]⇢ +. 2. D[ z ]⇢. (1.19). Le premier dissipateur détruit une excitation dans le qubit. Il s’agit de la relaxation spontanée, qui se produit après un temps caractéristique T1 = 1� 1 . L’autre dissipateur décrit Dans ce travail, toutefois, ces termes le déphasage du qubit qui se produit a` un taux de dissipation n’ont pratiquement jamais été utilisés, pour simplifier les simulations.. 1.3. Interaction entre circuits. Cette section décrit les deux types de couplage utilisés dans les simulations. La première est le couplage entre la cavité et un atome artificiel. L’autre type de couplage est.

(30) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 20. le couplage entre des résonateurs et une ligne a` transmission.. 1.3.1. Couplage qubit-r´ esonateur. Le couplage entre le transmon et le résonateur se démontre en suivant une démarche semblable a` celle utilisée pour la dissipation dans la cavité. On considère un couplage capacitif entre ces deux dispositifs. L’Hamiltonien prend la forme [21] M −1. HI = � gij �a† ⇧i,j + a⇧j,i �. (1.20). i<j. u l’on avec ⇧i,j = � i � � j �. Ce résultat s’obtient en faisant l’approximation séculaire, o` † a laissé les termes a⇧i,j + a ⇧j,i . De plus, on suppose qu’on peut approximer le transmon comme un système a` M niveaux. Dans le régime transmon, l’anharmonicité étant très faible (l’anharmonicité étant définie comme E12 − E01 , cette valeur est petite si la séparation entre les niveaux est presque constante et elle est nulle pour un oscillateur harmonique), on peut montrer que le couplage est important seulement pour les niveaux voisins du transmon. Ainsi, le couplage devient : M −2. HI = � gi,i+1 �a† ⇧i,i+1 + a⇧i+1,i �. (1.21). i. Bien souvent, on se restreint a` un système a` deux niveaux uniquement. En ajoutant l’Hamiltonien du résonateur ainsi que celui du qubit on obtient l’Hamiltonien de JaynesCummings [22] HI = g �a. +. + a†. −�. (1.22). Cette forme conserve le nombre total de quanta, si un photon est détruit, une excitation dans le qubit est créée et vice-versa. Le couplage atome-lumière peut être très simplifié si le couplage est faible devant le désaccord de fréquence entre la cavité et le qubit, g � � �, avec = !r − !a . Dans ce cas, il y a très peu d’échange entre le qubit et le résonateur, donc on peut diagonaliser très facilement l’Hamiltonien par une transformation unitaire † de la forme e � + a− − a � avec = g� [23, 24]. En appliquant cette transformation unitaire.

(31) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 21. a` l’Hamiltonien et en gardant les termes jusqu’au second ordre en , on obtient [1] : H ′ ≈ (!r −. z )a. †. a+. !a + 2. (1.23). z. 1 H ′ ≈ !r a† a + [!a + 2 (a† a + 1�2)] 2. z. (1.24). avec = g 2 � . On voit qu’il y a deux manières di↵érentes d’interpréter cet Hamiltonien. Dans le premier cas, la fréquence du résonateur est modifiée par l’interaction avec le qubit. Plus précisément, la fréquence du résonateur dépend maintenant de l’état du qubit. Un qubit dans l’état fondamental fera augmenter la fréquence de résonance de . En mesurant la fréquence de résonance de la cavité, on peut donc déterminer l’état du qubit. Cette mesure est dite dispersive. L’autre manière de voir cet Hamiltonien est de se dire que la cavité n’est pas a↵ectée, mais plutôt que la fréquence du qubit est modifiée par l’état du champ dans la cavité. La fréquence du qubit devient proportionnelle au nombre de photons dans la cavité. Il s’agit du décalage de Stark. Il y a aussi un terme qui déplace la fréquence du qubit de décalage de Lamb.. 1.3.2. même en l’absence de photons dans la cavité. Il s’agit du. Couplage via une ligne ` a transmission. Après avoir trouvé l’Hamiltonien d’interaction entre un résonateur et un qubit supraconducteur, on cherche ici a` trouver l’Hamiltonien d’interaction entre plusieurs résonateurs. Pour les coupler ensemble, la fa¸con de procéder étudiée ici consiste à les relier à une même ligne a` transmission afin de permettre un échange de photons via cette ligne. Ultimement, un circuit de la sorte permettrait de mesurer indépendamment chaque résonateur (leurs fréquences de résonance doivent être bien séparées) en envoyant un signal dans la ligne a` transmission. La figure 1.9 montre l’allure de ce circuit. La théorie décrite ci-dessous a été développée par Kevin Lalumière, du groupe d’Alexandre Blais. J’explique ici les grandes lignes de sa théorie. Elle permet d’obtenir l’équation maˆıtresse des systèmes quantiques, en éliminant les degrés de liberté de la ligne a` transmission. Il est utile de mentionner que cette théorie a été appliquée avec succès a` deux qubits reliés a` une ligne à transmission [25, 26]. L’idée consiste à écrire le Lagrangien du système au complet, incluant la ligne et des systèmes quelconques (qubit ou oscillateur harmonique, mais pourrait être tout système a` plusieurs niveaux). La ligne a` transmission est traitée comme étant formée d’un nombre infini d’inductances et de capacités en parallèle. Les.

(32) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 22. Figure 1.9 – Une ligne a` transmission (attention a` ne pas confondre ici avec un résonateur, les extrémités ne sont pas coupées) couplée capacitivement avec des systèmes quantiques. Sur cette image, tirée de [25], la ligne est couplée à des transmons, mais il pourrait s’agir de n’importe quel système quantique. Les systèmes quantiques couplés à la ligne a` transmission qui sont simulés dans le cadre de ce travail sont des résonateurs non-linéaires. résonateurs se couplent capacitivement en un point précis de la ligne a` transmission (les positions sont importantes car une phase s’accumule dans un signal voyageant d’un résonateur à l’autre). Une trace partielle est ensuite e↵ectuée pour éliminer tous les degrés de liberté de la ligne à transmission. Les opérateurs ai utilisés dans la description sont les opérateurs d’échelle des oscillateurs harmoniques, mais la théorie reste générale et ces opérateurs pourraient être les opérateurs d’échelle de n’importe quel système quantique. Le cas qui nous intéressera plus tard sera le cas de plusieurs résonateurs couplés à une même ligne a` transmission. On obtient enfin une équation maˆıtresse qui ne contient que des termes propres aux résonateurs [25] :. L’Hamiltonien est :. 1 1 ⇢˙ = −i [H, ⇢] + � ji �ai ⇢a†j − a†j ai ⇢ − ⇢a†j ai � 2 2 ij ˜ S + � Jji a† ai H =H j. (1.25). (1.26). i≠j. o` u le décalage de Lamb a été inclus dans l’Hamiltonien du système HS . Le taux de relaxation est : ji = ⇡gj∗ gi (!i ei!i tij + !j e−i!j tij ). (1.27).

(33) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 23. Ce terme agit comme un taux de relaxation sur tous les systèmes et fait en sorte que plusieurs systèmes peuvent relaxer en même temps. L’interaction d’échange [25] : Jji = ⇡gj∗ gi. !i ei!i tij − !j e−i!j tij 2i. (1.28). prend en compte l’échange de photons entre les résonateurs via la ligne a` transmission. De plus, on définit tij comme le temps pris par le champ électromagnétique pour aller de la cavité i a` la cavité j. Par définition, tij = tji . La fréquence propre de chaque résonateur est représentée par !i et leur opérateur d’annihilation est l’opérateur ai . On peut simplifier les définitions de Jji et ji en supposant que les systèmes quantiques sont des oscillateurs harmoniques. Dans ce cas, on peut évaluer facilement les coefficients gi . Sachant qu’une � cavité a un taux de relaxation i = ii , on déduit que gi = i �2⇡!i . On redéfinit donc les taux de relaxation et les termes de couplage : 1 (!i ei!i tij + !j e−i!j tij ) ji = � 2 Qi Qj Jji =. 1 � (!i ei!i tij − !j e−i!j tij ) 4i Qi Qj. (1.29). (1.30). avec Qi = !i �i le facteur de qualité de la cavité i. On est alors capable d’écrire l’Hamiltonien en fonction de quantités mesurables en laboratoire, soit la fréquence de résonance !i , le facteur de qualité Qi , ainsi que le temps de parcours tij , calculable à partir de la distance entre les systèmes. Il reste cependant un dernier détail a` régler. Pour pouvoir utiliser la méthode des trajectoires qui sera expliquée plus loin, il faut absolument une équation maˆıtresse qui a la forme ⇢˙ = −i [H, ⇢]+ ∑i i D[a′i ]⇢. Les dissipateurs doivent apparaˆıtre de fa¸con explicite, ce qui n’est pas le cas à l’équation (1.25). Ici, les opérateurs a′i peuvent être n’importe quelle combinaison linéaire des opérateurs de destruction de chaque système. On peut réécrire la somme de termes de relaxation d’une manière à ce qu’ils s’écrivent comme une somme de dissipateurs en les diagonalisant. Cela a été montré dans la référence [25] pour 2 qubits, mais la démarche est identique et il faut pour cela diagonaliser la matrice u U est une  définie par ses éléments ij . En la diagonalisant, on choisit d = U U † , o` � = (a1 , a2 ...), on peut y matrice unitaire. En écrivant les opérateurs ai dans un vecteur a appliquer la matrice U afin d’avoir les nouveaux opérateurs dans une base qui diagonalise.

(34) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit. 24. les termes de relaxation. La matrice U est particulière dans le sens qu’elle agit sur un vecteur d’opérateurs et non sur un vecteur de scalaires. Par contre, la matrice U est une matrice contenant des scalaires, dont la taille est égale au nombre de systèmes quantiques. La relaxation s’écrit enfin ⇢˙ = −i [H, ⇢] + � i. ai ]⇢ i D[˜. (1.31). les valeurs propres de la matrice définie par les ij et a ˜i = ∑j Uij aj les nouveaux opérateurs de saut. Réécrire l’équation maˆıtresse sous cette forme demande un peu de travail, mais permettra plus tard d’utiliser facilement la méthode des trajectoires avec. i. quantiques.. 1.4. R´ ef´ erentiel tournant. On peut résumer l’Hamiltonien du système tel que vu jusqu’à maintenant. Il est composé de plusieurs parties, soit l’Hamiltonien de la cavité Hc a` l’équation (1.8)), l’Hamiltonien du transmon Ht a` l’équation (1.17), l’Hamiltonien d’interaction HI a` l’équation (1.21) et l’Hamiltonien de pilotage Hd a` l’équation (1.3). Il est possible de se débarrasser de la dépendance en temps de l’Hamiltonien de pilotage en passant dans un référentiel tournant. Il y a un avantage d’un point de vue numérique d’éliminer cette dépendance au temps. Ces termes oscillent a` fréquence !d . Cette fréquence est en général de l’ordre du GHz, ce qui fait que ces termes oscillent très rapidement et la simulation numérique a alors besoin d’un très petit pas de temps pour intégrer l’équation maˆıtresse. † Pour enlever cette dépendance en temps, on utilise l’opérateur unitaire U = e−i!d t(a a) . La transformation sur l’Hamiltonien modifie l’Hamiltonien de la manière suivante : H ′ = U † HU − iU † U˙. (1.32). Sous cette transformation les Hamiltoniens changent légèrement ou pas du tout. On obtient en e↵et Hc′ = (!r − !d )a† a +. K †2 2 K ′ †3 3 a a + a a 2 3. (1.33).

(35) ´ Chapitre 1 : Electrodynamique quantique en circuit Ht′ = �(!j − j!d ) � j � � j �. 25. M. (1.34). j=0. Hd′ = ✏a + ✏∗ a†. (1.35). et l’Hamiltonien de couplage reste inchangé. Les termes dissipateurs dans l’équation maˆıtresse sont aussi inchangés dans le référentiel tournant.. 1.5. Mesure du qubit. Cette section a pour but d’expliquer deux approches di↵érentes pour mesurer l’état d’un qubit supraconducteur en électrodynamique quantique en circuit.. 1.5.1. Mesure ` a avalanche. On a vu précédemment qu’il est possible de faire une mesure non-destructive de l’état du qubit en mesurant la fréquence de résonance de la cavité [1]. Cette mesure dispersive a ses avantages, mais elle a l’inconvénient d’avoir un mauvais rapport signal sur bruit. Il faut alors penser a` une autre approche pour mesurer le qubit. Pour obtenir des meilleurs résultats, il est utile d’introduire une non-linéarité dans le système de fa¸con a` discriminer plus rapidement ou plus clairement entre les états du qubit [27]. Il est possible d’utiliser un résonateur avec une jonction Josephson a` l’intérieur afin de le rendre non-linéaire, mais l’approche expliquée ici consiste a` coupler un résonateur linéaire avec un transmon, qui en soi, est déjà non-linéaire [12, 13, 14]. Habituellement, on travaille a` basse puissance, donc on peut tenir compte seulement des premiers ordres en théorie des perturbations comme dans l’équation (1.24). Dans ce cas, la fréquence de la cavité est déplacée de ± selon l’état du qubit. Toutefois, à très forte puissance, le nombre de photons dans la cavité √ ` est tel que la cavité répond de fa¸con presque classique, puisque �N � � � N � ≈ �a�. A ce point, seul le terme !r a† a domine dans l’Hamiltonien la fréquence de la cavité revient a` !r . Le retour a` la fréquence propre se fait a` la manière d’une avalanche [12]. L’ajout de photons rapproche la fréquence de la cavité de sa fréquence propre. Il devient donc de plus en plus facile d’ajouter des photons et le déplacement de la fréquence vers la résonance se fait de plus en plus vite. L’état stationnaire de la cavité sera un indicateur de l’état initial du transmon. Le nombre de photons dans l’état stationnaire du résonateur.