Le thème des fonctions dans l'enseignement élémentaire

PRESENTEE

A L'ECOLE DES GRADUES

DE L'UNIVERSITE LAVAL

POUR OBTENIR

LA MAITRISE EN SCIENCES DE L'EDUCATION (pédagogie de la mathématique)

PAR

DENIS THERRl'EH

LE THEME DES FONCTIONS DANS L'ENSEIGNEMENT ELEMENTAIRE

AOUT 1969

-Depuis quelques années, nous connaissons un engouement spectaculaire pour les mathématiques modernes. Ces dernières sont élaborées à partir d'un petit nombre de concepts d'une ex-trême généralité. Ainsi les maîtres sont amenés à étudier les notions d'ensemble, structure, treillis, groupe, espace, et bien

sûr, la notion de fonction qui est la plus fondamentale après celle d'ensemble.

C'est dans une perspective historique globale que l'on découvre la longue histoire de la formulation du concept de fonc-tion; historiquement, les fonctions ont toujours été présentes... Mais l'objectivation s'est effectuée relativement tard; en même temps, on prenait conscience du rôle primordial de la notion vis-à-vis l'édification des mathématiques. Ces considérations du chapitre I vont poser le problème de la réorganisation de l'ensei-gnement autour de ce thème.

Jusqu'à maintenant, l'insertion de la notion de fonction dans les programmes scolaires, était plus ou moins artificielle, voire même accessoire... Il est vrai que cette notion est l'une des dernières venues dans l'ordre d'acquisition des connaissances mathematiru.es;par contre, elle s'avère être première dans l'ordre de construction de l'édifice mathématique. Du point de vue didac-tique, il faut voir eue l'élaboration d'une telle notion n'est

pas un fa.it banal. Il serait temps de répondre aux questions sui-vantes: A Quel niveau les élèves feront-ils l'apprentissage des fonctions? Comment pourront-ils le faire? Le chapitre II

l'élé-auelles beaucoup de nos enseignants ne sont pas familiers. Notre

t r a v a i l se voudrait aussi un o u t i l commode entre l e s mains des

maî-t r e s qui doivenmaî-t assumer la présenmaî-te maî-transimaî-tion de l'enseignemenmaî-t

de la mathématique... I l nous paraissait donc nécessaire de réunir

les éléments de mathématique indispensables à une formulation e f f i

-cace de la notion; c'est l ' o b j e t du chapitre t r o i s .

Assistons d'abord à la naissance et à la construction

pro-gressive de l a notion de fonction, par l'humanité...

Historique de la notion de fonction.

En 1899j dans une conférence prononcée aux Etats-Unis,

Emile Picard déclarait: "Toute la science mathématique repose sur

l ' i d é e de fonction... I l a fallu longtemps avant qu'on se rendit

compte de l'étendue extraordinaire de cette notion."(l) itous pouvons

déjà reconnaître une manifestation de cette idée chez les Babyloniens,

l o r s o u ' i l s formaient des tables associant à tout entier n, la valeur

l/n; d'autres tables exhibaient les multiples de 7, 10, 12 l/2 e t c . .

De plus, on les u t i l i s a i t en sens inverse; en langage moderne, on

d i r a i t q u ' i l s c o n s i d é r a i e n t l a r é c i p r o q u e de l a f o n c t i o n

qui a p p l i q u e t o u t n s u r l / n . La chose é t a i t p r é s e n t e mais

e l l e n ' é t a i t pas o b j e c t i v é e ; encore f a l l a i t - i l l a nommer1

I l faut attendre 3700 années pour voir apparaître le terme

fonction ainsi qu'une première notion étroitement reliée au contexte

analytique. I l semble que Leibniz aurait mentionné le mot fonction

pour la première fois, en 1694. Au cours de la même année, B e r n o u l l i

et Leibniz échangent de la correspondance au sujet des n o t a t i o n s . . .

(1) Picard, Emile,

Développement de_ l'analyse,

Durant 200 ans, on va u t i l i s e r le concept de fonction sans

plus de généralisation. Pendant cette période de gestation, on sent

quand même une nréoccupation de préciser la notion... C'est ainsi

que vers 1748, Euler "considère qu'une "fonction est définie par une"

égalité où apparaissent uniquement les signes et notations de l ' a l

-gèbre, de l a trigonométrie, du logarithme...". En 1797, dans sa

"Théorie des fonctions analytiques." Lagrange définit une fonction

comme étant une propriété d'une série de puissances de la variable

indépendante. Deux ans plus t a r d , i l résume ainsi l'historique de l a

notion: "Les premiers analystes n'avaient employé ce mot que pour

désigner l e s différentes puissances d'une même quantité; on a

ensui-te éensui-tendu la signification à touensui-te quantité formée d'Une manière

quelconque d'une autre q u a n t i t é . . . et i l est aujourd'hui

générale-ment adopté pour exprimer que la valeur d'une quantité dépend,

sui-vant une l o i donnée, d'une ou de plusieurs autres quantités données. (2)

I l f a l l a i t beaucoup de hardiesse pour éliminer les parasites du

con-cept: é g a l i t é , expression analytique, séries, grandeur,, quantité,

va-r i a b l e , constante, e t c . .

En 1829, Dirichlet donne pour l a première fois une

défini-tion de la foncdéfini-tion complètement dissociée de l'idée d'expression

analytique et définit avec précision le graphe d'une fonction: i l

ne sera plus nécessaire que ce soit la même l o i oui exprime la

dépen-dance entre y et x pour tout l ' i n t e r v a l l e s u r lequel est définie l a

fonction; bien plus, i l ne sera même plus nécessaire que cette

dépen-dance s'exprime par des opérations mathématiques.* Cette définition

(•) Nous avons u t i l i s é un a r t i c l e de M Fernand Lemay s u r

l a n o t i o n de f o n c t i o n : l a p l u p a r t des c i t a t i o n s sans

r é f é r e n c e p r o v i e n n e n t de c e t a r t i c l e .

(2) Lagrange,

sont fonctions l'une de l ' a u t r e dans l e sens l e plus général, s ' i l

existe une dépendance quelconque entre l e s valeurs qu'on peut leur

attribuer." Malgré ce début d'abstraction, l a notion de fonction

demeurait assez floue...Par exemple, l'expression "y est fonction"

signifierait ou'une fonction est un a t t r i b u t ou un nombre; i l

fau-drait également éliminer l e s parasites: dépendance, valeur.

Frege, dans une conférence prononcée en 1891, fait un effort

conscient d'objectivation de l a fonction: "So i f the function were

really the reference of a mathematical expression, i t would just be

a number... I am concerned to show that the argument does not belong

with the function but goes together with the function to make up a

complete whole... and in t h i s respect, functions differ

fundamental-ly from numbers." (3) En 1903, Russel voudrait l u i aussi, éliminer

le parasite nombre:'"function i s a notion,which i s hot often clear-'

ly explained.;.'.. TheMdèa of function i s so important, and has been

so often considered with exclusive reference to numbers, that i t i s

well to f i l l our minds with instance of non-numerical functions.

,' (4)

Ainsi Frege et Russel se sont appliqués à rendre le

con-cept de fonction moins tributaire de l'analyse et plus

particulièrement du nombre.

Malgré toutes ces contributions, l a notion de fonction r e s

-(3) Geach Peter, Black Max,

Translation from the Philosophical Writing of Gottlob

Frege.

Philosophical Library, New York, 1952, pp. 23-24. (4) Russel Bertrand,

Principles of Mathematics.

tait encore vague pour certains. Voici par exe .pie comment white-head la définissait en 1911: "l.re can define a function in mathe-matics as a correlation between two variable numbers called res-pectively the argument and the value of che function, such that whatever value be assigned to the argi.v.ient of the function, the value of the function is definitely ,i.e. uniquely) determined".(5) Selon ce dernier, une fonction est une corrélation. Mais au fait, eu"est-ce qu'une corrélation? Comme on le voit, avec ce genre de définition, nous restons dans .l'imprécision. L'enseignement dans notre milieu était forcément influencé dans ce sens et bon nombre d'enseignants ont fait leurs mathématiques à ce moment là.

Ainsi, Vers 1945* au département de mathématique de l'Uni-versité Laval, on retrouvait des expressions du genre: "Quand les valeurs d'une variable y sont déterminées par celles que reçoit une autre variable x, on dit que y est une fonction de x". "En analyse pure... on se contente de considérer une fonction y de x comme une correspondance entre les deux variables y et x, laquel-le correspondance peut être mise sous forme d'un tablaquel-leau montrant quelle valeur de y correspond à chaque valeur de x..." Pendant ce temps, le champ d'application de la notion s'étendait toujours davantage.

En particulier, notre époque a connu de grands déve-loppements dans l'organisation conceptuelle de la mathématique. De nouveaux termes sont apparus: foncteurs , éléments universels,_ catégories, etc.. Ces innovations entraînent une nouvelle façon d'envisager la mathématique; dans ce contexte, l'utilisation des fonctions est systématique. On voit donc que la mathématique

d'au-(5) Whitehead, A.M.,

An Introduction to Mathematics, Oxford University, 1948, p. 107.

Une reformulation de la notion s'imposait.

Au début du siècle, Hausdorff donne une définition

complète et généralisée de la fonction.(6) On trouvera une

version de cette définition au chapitre III•

Comme on le constate, il a fallu un effort

pa-tient et conscient pour tirer l'objet fonction des tables

babyloniennes. Voyons maintenant le cheminement de jeunes

élèves qui construisent une telle notion.

(6) Hausdorffj

Menqenlehre.

Une situation d'apprentissage de l a notion

de fonction à l'élémentaire.

L'enseignement primaire repose presqu

exclusivement s u r

l'étude des nombres et nous croyons avec Fletcher que: "Les

nom-bres ne sont pas tout et i l s ne sauraient plus être à l a base de

notre enseignement."(7) En effet, plusieurs commencent à douter

a u ' i l f a i l l e nécessairement commencer l'enseignement des

mathé-matioues par l a seule étude du nombre.Il faudrait que l ' o n

débou-che t r è s t ô t sur l'enseignement des mathématiques l Or que fait

le mathématicien? I l élabore des structures c'est-à-dire des

"ensembles u t i l i s a b l e s " . Par exemple l'ensemble des nombres r a

-tionnels possède l a structure de "corps". C'est un ensemble mu- .

ni de l'opération +, ( l o i de composition interne) qui est

associative et pour laquelle i l existe un élément neutre et un é l é

-ment symétrique pour chaque élé-ment. A ce stade

l'en-semble des rationnels est devenu le groupe des

rationnels pour l'opération + . Il est également muni de l ' o

-pération x (signe de la multiplication) qui est

distribu-tive par rapport à la première; de plus l'ensemble des

ra-tionnels moins l'élément neutre de l'addition forme un

grou-pe par rapport à la multiplication. Ainsi pour des éléments

génériques a et b du corps des rationnels, i l est loisible

(7) Fletcher, T.J.,

L'apprentissage de la mathématique d'aujourd'hui,

O.C.D.L., Paris, 1966, introduction.

de c o n s i d é r e r a + b , a - b , a b e t a / b p o u r v u que b ^ 0 . Or l e s fonctions jouent un r ô l e indispensable dans l ' é t u d e des s t r u c t u r e s . Godement va encore plus l o i n en affirmant: "C'est en g é n é r a l i s a n t de plus en plus l a notion de fonction qu'on a é t é amené à c o n s t r u i r e une bonne p a r t i e des mathématiques contemporai-n e s . " (8) C'est pourquoi contemporai-nous croyocontemporai-ns que l a contemporai-notiocontemporai-n de focontemporai-nctiocontemporai-n de-v r a i e n t se p r é s e n t e r naturellement assea t ô t dans l'enseignement élémentaire. '

Mais au f a i t , q u ' e s t - c e qu'une fonction? Interrogeons l e mathématicien contemporain: "soient deux ensembles quelconques S et F; une fonction de E dans F e s t l a donnée, outre E et F, d'un ensemble G de couples (ordonnés) dont l e premier élément appartient à E et l e second à F, cet ensemble v é r i f i a n t l a propriété suivante: pour chaque élément de E i l e x i s t e un élément de F et un seul t e l que l e couple formé de ces deux éléments (dans l ' o r d r e ) a p p a r t i e n -ne à G. U-ne fonction de E dans F est donc l a donnée d'un t r i p l e t

(E,F,G) formé de t r o i s ensembles s a t i s f a i s a n t à l a condition p r é -cédente." Et puis après? Est-on plus avancé? Pourquoi se sent-on obligé de donner hâtivement une d é f i n i t i o n de l a notion de fon- • t i o n ? I l s ' a g i t probablement d'une v i e i l l e habitude s c o l a s t i q u e . . .

En r é a l i t é , beaucoup de bons t r a i t é s de mathématiques p r o

c è d e n t de c e t t e f a ç o n : Mais i l f a u t d i s t i n g u e r un t r a i t é s y n

-t h é -t i q u e de c o n n a i s s a n c e s e -t un ouvrage de d i d a c -t i q u e : Par

ex-emple l e s éléments de Bourbaki, pas plus d ' a i l l e u r s que ceux d'Eu-c l i d e , ne sont un ouvrage d i d a d'Eu-c t i q u e ; et i l ne faut pas r é p é t e r l ' e r r e u r d ' e s s a y e r de p r é s e n t e r à de jeunes élèves une synthèse. La démarche des enfants v i s - à - v i s l ' a p p r e n t i s s a g e d'une notion,

(8) Godement, Roger, Cours d'algèbre.

ressemble à celle que nous avons observée his;: .^riquement au cha­

pitre I : la définition d'une notion arrive ■; ].a fin d'un long

processus de familiarisation avec une chose préexistante mais non objectivée.

La véritable question à se poser c'esc plutôt: quel est le rôle d'une définition? Plusieurs mathématiciens s'accordent à dire que les définitions jouant un rôle primordial en mathématiquesJ Frege nous précise ce rôle:

"Definitions show their worth b\ pro­ ving fruitfull. Those that would just as well be omitted and leave no link missing in the chain of our proofs

should be rejected as completlv worth­ less. "(9)

Ces réflexions nous suggèrent que la définition d'une no­ tion sera construite pour rendre compte des faits reconnus dignes d'être retenus dans une situation donnée.

Une bonne partie du travail qui suit M'inspire de quelques leçons données à douze élèves de 5e année régulière. Nous avons voulu vérifier si de jeunes élèves sont en mesure d'élaborer une notion de fonction conforme à la notion modernn, et chercher une situation propre à conduire les élèves sur la voie d'une prise de conscience de cette notion établissant par là même que cette notion "abstraite des mathématioues séculaires", convient parfaitement aux intérêts et possibilités des enfants.

La situation eue nous avons choisie e,\t le "codage": il s'agit de trouver pour chaque mot d'une langue, une "image"' uni­ que. Par exemple, le mot "soleil" pourrait se traduire par un cer­

(9) Frege, Gottlob,

The Foundations of Arithmetic, Harper, (?), p. 81.

cle rouge. Mais il est plus commode de donner pour chaque lettre, un équivalent unique: ainsi la lettre "a" devient "*", la lettre

!'b» devient "#», etc..

Le choix du codage comme situation de départ, peut sem-bler assez arbitraire. Pour être en mesure d'en juger, examinons les critères d'un choix judicieux; un bon choix devrait permettre un transfert possible à une autre situation, susciter des généra-lisations et analogies, déboucher sur des notions connexes et en-fin, mettre en évidence les éléments parasites pour conduire à une notion claire. Nous croyons donc que les jeux sur les "codes" nous fournissent la possibilité de mettre en évidence les principaux éléments de la notion la plus complète de la fonction. C'est ce que nous allons essayer de démontrer dans ce qui suit.

Les élèves savent d'une certaine manière ce qu'est un code puisqu'ils utilisent ce mot convenablement dans une discussion cou-rante. Cependant, ils ne le savent pas au point d'en donner une dé-finition stricte. Il y a, toute proportion gardée, le même écart entre une définition stricte de code qu'entre la notion moderne de fonction et les tables des Babyloniens. Les leçons feront prendre conscience aux élèves de la surprise de ne pas pouvoir dire claire-ment ce qu'est un code, les conduiront à abstraire une notion libre

de parasites, et finalement, à formuler une notion abstraite. Un premier transfert (par exemple, à une situation géométrique) les mettra en possession d'une notion puissante et généralisée. Cette

dernière étant prête à être utilisée au sens de l'activité mathéma-tique d'aujourd'hui.

Les premiers moments de la discussion fournissent déjà en vrac, des germes de la notion de fonction... La première leçon débute par la question suivante: qu'est-ce qu'un code? D'abord hésitation ...

Ensuite, réponses plus ou moins vagues: "Il y en a qui fqnt des messages secrets, ils marquent des noms et ça fait un nom... Non! 1 représente a,b représente 2... Des noms comme ça". Comme on le constate, on nous suggère déjà de représenter les lettres par des chiffres. L'idée "d'association", de "correspondance" dont il est question ici, est fondamentale en regard des fonctions. Bien enten-du, pour les élèves, c'est encore très confus. D'ailleurs on ne va pas plus loin pour le moment...

Il est maintenant question du nombre de lettres de l'alpha-bet. 'Due fait-on avec un alphabet? "... - Des mots. Peut-on en fai-re beaucoup? Yvan avance le nombfai-re 1000 . Les autfai-res trouvent cela vraisemblable. Mais alors nous leur demandons s'ils sont bien cer-tains de ce nombre... Où pourrait-on compter ces mots? Les élèves répondent en choeur: " Dans un dictionnaire". Lequel? Il y en a des petits... des gros.. Pourrait-on se fabriquer des dictionnaires pour nous? Tout de suite ils réalisent que ce nombre de mots est beaucoup plus considérable que d'abord supputé. Nous nous permettons-ici de souligner la richesse de cette situation: les élèves ressentent la nécessité de s'enfermer dans un ensemble de référence, de placer la question dans un "univers", i.e., un ensemble universel. En fait ils sentent (inconsciemment) le besoin de se situer dans les cadres en-semblistes ce qui justifie d'une façon moins artificielle, le désir d'étudier les mathématiques en partant des ensembles. Nous aurions pu leur demander s'il était possible de compter ces mots dans le Pe-tit Larousse. Nous imaginons que chacun aurait pu choisir une page pour en compter le nombre de mots et ensuite multiplier par le nom-bre de pages; on n'aurait pas manqué de poser le problème de l'échan-tillonnage. ..

ensembles d'ensembles: nous avons l ' a l p h a b e t A, un ensemble dont l e s éléments sont des l e t t r e s . Ensuite on considère l e d i c t i o n n a i ­ r e D qui e s t un ensemble dont l e s éléments sont des m o t s , i . e . , des ensembles de l e t t r e s . Un t e x t e T peut ê t r e envisagé comme un ensemble dont l e s éléments sont des p h r a s e s , i . e , des ensembles de mots, i . e . , des ensembles de l e t t r e s . On peut c o n t i n u e r en pen­ sant à un volume comme un ensemble de t e x t e s . . . e t c . . . I l faut r e ­

m a r q u e r q u e l ' e n s e m b l e D r e s s e m b l e q u e l q u e p e u à ' (A. q u i e s t l ' e n s e m b l e de t o u s l e s sous­ensembles de A. Par c o n t r e , "Un" e t

"nu" sont deux éléments d i s t i n c t s de D t a n d i s que j u , n ] e t \ n , u ?

f- f - i '

sont l e même élément de ,■ (A); j n , a, v j 1/ (k) t a n d i s que nar £ D; dada e s t un élément de D sans ê t r e un élément de / (A). Malgré c e ­ l a , c e t t e é c h e l l e d'ensembles suggère qu'on peut c o n s i d é r e r A, j"* (k) /'"(>■' (A).l. . e t c . . .Revenons au "codage".

Supposons eue nous décidions de c h o i s i r un alphabet p l u s p e t i t , s o i t un alphabet de cinq l e t t r e s . Peut­on f a i r e autant de mots? I l e s t é v i d e n t que non s i l ' o n s ' e n t e n d sur l e f a i t que "mot"

s i g n i f i e i c i un mot du P e t i t Larousse. Voiui l ' a l p h a b e t que nous avons c h o i s i :

A = j a, i , n , o, u j .

Remarquons que les lettres sont écrites dans l'ordre alphabétique ce qui a été fait involontairement ou bien la cause en est le con­ ditionnement de l'ordre alphabétique. D'ailleurs, à un moment don­ né, Nicolas se réfère à cet ordre, en disant: "Les lettres sont en ordre". Alors je lui demande: "Comment peux­tu dire qu'elles sont en ordre?" Ce à quoi il me répond: "a vient avant i... etc.." Il y aurait lieu d'exploiter ce nouveau champ: l'ordre alphabétique est­il arbitraire? Quel rôle joue un ordre?...

Mais les élèves sont déjà pris au jeu et ils s'empressent de trouver les mots du dictionnaire de notre alphabet; ils le font d'abord empiriquement... "oui", "nouai", "au", "ou", "on", "ni", "noua", "nia"... Petft-on former encore d'autres mots? -Michel croit

i

que non. Les autres hésitent... Je leur demande alors s'ils ne pour-raient pas mettre au point un procédé leur permettant de trouver tous les mots sans exception. Alors Mario décrit ainsi sa façon de faire : a i n o u

ai

_na

_oa

_ua

an

in

ni

oi

ui

ao

no

on

un

au

iu

nu

ou

uo

La technique est simple pour lui, il considère chaque lettre de l'alphabet A, et lui associe à tour de rôle chacune des autres lettres. Ainsi, ils découvrent qu'ils avaient oublié de former le mot "un". Pour les mots de trois lettres, il n'est pas plus emba-rassé; il choisit d'abord a et il lui adjoint i avec respective-ment n, o, u, ensuite il lui adjoint n avec respectiverespective-ment i, o, u,

etc.... Il reprend tout le processus avec i et ainsi de suite... ce qui donne le tableau suivant:

ain ian nai oai uai aio iao nao oan uan aiu iau nau oau uao

anx m a nia oia uia

ano ino nio oin uin

anu inu niu oiu uio

aoi ioa no a ona una

aon ion noi oni uni

aou iou nou onu uno

aui iua nua oua uoa

aun iun nui oui uoi

auo iuo nuo oun uon

Ils découvrent encore qu'ils avaient oublié les mots: "ion", "nui", et "uni". Nous n'avons pas continué le procédé. Mentionnons seule-ment que pour les assemblages de quatre lettres toujours sans répé-tion, nous en trouvons quatre-vingt; quant aux assemblages de cinq lettres nous atteignons le nombre imposant de cent vingt i Comme nous le constatons, cette situation débouche directement sur la combina-toire; nous sommes déjà engagés dans un processus de génération de nouveaux ensembles: la formation de produits d'ensembles, les mots de deux lettres ne sont pas autre chose que les éléments de A x A moins

2 la diagonale; les mots de trois lettres rappellent A xA.

Un élève a suggéré aussi le mot "non". La répétition des lettres dans un mot peut amener certaines complications en regard des codes mais elle ne manque pas d'Intérêt. Pour le moment, on décide de l'i-gnorer.

Le moment est venu de coder nos mots; déjà, on pourrait demander aux élèves des suggestions. Mais nous avons préféré procé-der autrement vu le peu de temps que nous avions à notre disposition...

J'ai "capté" que le mot "oui" se représentait par "341" (lire trois-quatre-un) et que le mot "noua" se représentait par "2340". Quelles informations peut-on tirer de ces mèches? Peut-on coder les autres mots? Par exemple comment pourrait-Peut-on

repré-senter "ou"? Naturellement, les élèves établissent le tableau suivant :

a i n o u

0 1 2 3 4

évidemment l'exemple que je viens de leur proposer est t r è s

sim-ple. Chacun se sent en état d'en constituer de plus résistants,

Ce qui a l l a i t conduire au problème de savoir s ' i l est possible de

constituer des codes de complexité toujours plus grande, donc à

comparer les codes, autrement dit à les objectiver, et même à

con-cevoir un ensemble de codes l Assurément, on progressait en

géné-r a l i t é et cela n ' é t a i t possible que pagéné-rce que la notion de code gagnait

en p r é c i s i o n .

Les élèves se groupent par t r o i s et décident de fabriquer

des codes d i f f i c i l e s à déchiffrer. La chose les passionne: i l s sont

convaincus q u ' i l s peuvent construire des codes absolument

indéchif-frables. Voici un exemple d'un code q u ' i l s ont r é a l i s é :

a > 3

n » 4

i > 5

o > 1

u > 2

A première vue ce code est semblable à celui que je le leur avais proposé auparavant. Mais l'explication qu'ils donnent nous révèle des choses intéressantes. On part de:

a n i o u 1 2 3 4 5

Pour r e p r é s e n t e r a, on l e f a i t "glisser"en i et l ' o n prend 3. Pour n on l e f a i t ' ' g l i s s e r " en o et l ' o n prend 4 . . . e t c . . . Comme on l e v o i t l e s enfants u t i l i s e n t spontanément l ' i d é e de t r a n s l a t i o n . Pour renchérir,. Gérard suggère que "a" pourrait devenir " b " , n — > o , i > i , o > p , u >v. De l à à exécuter une permutation sur l ' ensemble de nos cinq l e t t r e s , i l n ' y a qu'un p a s , . . . et ce pas n ' -e s t a u t r -e qu-e l -e g-erm-e d-e 1 ' i n i t i a t i -e n à l a structur-e d-e group-e î

Mais i l s ont l a surprise de voir l e u r code reconstitué d ' -après un minimum d'informations 1 I I faut absolument compliquer nos codes. Alors nous l e u r proposons l e s quatre mots suivants avec l e u r r e p r é s e n t a t i o n codée:

-> 01 a i ^ 02 07

oui > 17 22 OS noua —i ^ 14 19 24 04

Comment écrirait-on "nui" dans ce code? Ici nous avons une période de tâtonnements où l'on tente de multiples explications... Finale-ment, on se livre aux déductions suivantes:

Dans "ai" , i est représentée par "07"',

dans "oui", u devient "22" et i devient "08", dans "noua", n est représentée par "14",

Donc "nui" sera représenté par "13 22 08"; i l s reproduisent main-tenant l e tableau suivant:

a a.

n

u

01

06

11

16

21

02

₀₇

12

₁₇

22

03

08

13

18

₂₃

04

09

14

19

24

10

15

20

25

En quoi ce code d i f f è r e - t - i l des premiers? Chaque l e t t r e a cinq r e p r é s e n t a t i o n s . Par exemple, s i l a l e t t r e n est dans un mot de t r o i s l e t t r e s , on l a codera par " 1 3 " . C'est l e germe de l a s u r j e c -t i o n , ou sous un a u -t r e asnec-t. nous avons l à un exemple de fonc-tion définie sur un ensemble de couples (voir p . 36)

Mais e s t - c e qu'une même r e p r é s e n t a t i o n peut s e r v i r pour p l u s i e u r s l e t t r e s ? I c i l e s élèves ne nous suivent p l u s . I l ne faut pas conclure cependant que l a question l e s dépasse. C'est tout 'sim-plement un problème de langage. Voici la même question proposée schéma-tiquement:

Que signifie "32" d'après ce code? Ni ou nu? Peut-on utiliser un tel code? Certains sont d'accord, d'autres pas; le code porte à

confusion. Nous touchons i c i à l ' e s s e n t i e l de la notion de fonction:

lorsque l'on déchiffre un code, nous opérons sur*l'ensemble des r e

-présentations des l e t t r e s d'un alphabet. Nous constatons que si

: deux l e t t r e s ont la même représentation, le code devient

pratique-ment i n u t i l i s a b l e . I l faudra donc distinguer entre l'ensemble des

l e t t r e s et l'ensemble de leurs représentations. Historiquement, la

notion de fonction s'est éléborée en ignorant plus ou moins ces deux

ensembles. On voit i c i qu'on ne pourra pas le faire étant donnée l a

situation de départ. Cela confirme d ' a i l l e u r s qu'une définition s ' é

-labore pour c r i s t a l l i s e r en quelque sorte l ' e s s e n t i e l d'une

situa-tion. Celui qui f a i t un code doit s'assurer que le déchiffrage ne

porte pas à confusion: pour cela le '.'coalphabet" devra être l i é à

l'alphabet d'une certaine façon. Par exemple, un symbole du

"coal-phabet" ne peut pas en même temps représenter deux l e t t r e s .

(Autre-fois, on a considéré des fonctions à valeurs multiples, aujourd'hui

c'e st abandonné.)

Les élèves constatent donc q u ' i l y a un ensemble sur lequel

on t r a v a i l l e dans le déchiffrage, c'est le "coalphabet" ou encore

l'ensemble de départ. Pour chacun des éléments de cet ensemble, on

associe un et un seul élément de l ' a u t r e ensemble. Cette

correspon-dance qui existe entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée

a besoin d'être mise en vedette: pour ce faire, nous avons repris un

alphabet suggéré par l'un d'eux:

A = j r , m, o, u, e J

et le coalphabet C = (5, 6, 7, 8, 9?.

Nous posons l e s questions suivantes: "moe" e s t - i l un mot du Petit

Larousse? "rm" a - t - i l un sens par rapport au Petit Larousse? "567"

représente quel mot? Les élèves hésitent encore... i l faudrait savoir

ce que représente 5, 6 et 7. Autrement dit, il faut accoupler chaque élément de l'ensemble C à un seul élément de l'ensemble A; nous for-mons un nouvel ensemble: |(r,6), (m,5), (0,9), (u,8), (e,7)j .

j Par la suite, les élèves seront appelés à élaborer leur pro-pre définition d'un code. Toutes les fois que l'on est en présence de trois ensèmbles(ensemble de départ, ensemble d'arrivée et ensem-bles des "associés" du genre de celui réalisé par les codes), on dira que l'on a construit une fonction. Des exercies quelconques de cons-truction de tels trois ensembles viendront compléter les leçons... Remarquons que la notion de couple n'a pas été élaborée; on l'a uti-lisée implicitement. Lorsqu'il a été question du dictionnaire comme ensemble de mots, on aurait pu saisir l'occasion pour distinguer en-tre couples et ensembles à deux éléments. Par exemple, dans/ (A)

(A étant l'alphabet), -(u, nj[ = £n, u ? tandis que dans le diction-naire un 7^ nu. Nous reviendrons sur cette distinction au chapitre trois.

Dans l'annexe II, on trouvera quelques travaux d'élèves, qui montrent que ces derniers, après deux ou trois leçons, manipulent dé-jà aisément les codes. Ajoutons qu'il est très difficile de mesurer un tel apprentissage. Cependant, l'intérêt soutenu des enfants et

leur aisance dans la situation confirment assez bien qu'ils sont ca-pables d'acquérir la notion de fonction. D'ailleurs le meilleur test réside dans le fait qu'ils sont en mesure de construire leur propre définition.

Nous sommes maintenant à même d'apprécier la justesse du choix que nous avions fait. Le codage est une situation extrême-ment riche parce qu'elle permet l'approche ensembliste et qu'elle débouche sur des notions connexes telles que les ensembles d'ensem-bles; elle permet en outre des généralisations étourdissantes com-me les produits d'ensembles A x A x A...

Dans les pages suivantes, nous proposons une façon de coder à l'aide d'une géométrie finie. Encore là nous serons conduits à la notion de fonction. On dégage ainsi la notion d'un cadre particulier en montrant que la situation de départ peut être la géométrie, d'où un transfert possible... Le fait eue l'idée de code puisse se

trans-férer presque naturellement en géométrie, est extrêmement prometteur. Car on peut entrevoir que-dans un avenir assez rapproché, les toutes

premières expériences mathématiques des enfants ne porteront plus seule-ment sur le nombre mais aussi sur le plan et l'espace qui présentent

Considérons sur un ensemble /T de neuf éléments, (voir pa^e précé-dente) la "structure géométrique" déterminée par la donnée dos "droites" suivantes:

La droite 1 passe par a, i, n,

II ₂ ii _{. o, u> b,} tl

₃

₅

₆

₇

On sait que la donnée d'un triangle quelconque, par exemple le triangle(a,i,o) et de son transformé, disons (s,n,e), détermine une trans-formation unique de TC , respectant les droites. H suffit donc de connaî-tre les "correspondants" des trois éléments a, i, o pour retracer toute la transformation; d'où une situation analogue au codage. En effet, l'ensemble

TC est un alphabet, la transformation peut établir un code, qui grâce aux contraintes géométriques peut se"retenir facilement; il suffit de se

rap-peler d'une façon mnémonique que "aoi" devient "sen". Les autres lettres sont transformée comme suit: ( en se basant sur l'alignement)

n ­» b e +■ f f •» i u > a s > u b ■ ■ ' "> o

Nous pourrions considérer d'autres geometries­finies. Par exemple celle de vingt­cinq éléments offrirait la possibilité de construire un code couvrant tout l'alphabet à une exception, près.

Les éléments concourant à la formation de la notion de fonction sont maintenant réunis. Il est nécessaire de les fixer avec précision sur le plan mathématique...

Définition de l a notion de fonction et langage a s s o c i é .

Comme nous l ' a v o n s vu l a fonction est un objet mathématique a b s t r a i t . L'approche de construction d'un t e l objet peut v a r i e r . . . I c i nous a l l o n s considérer l e s fonctions comme un cas p a r t i c u l i e r des r e l a t i o n s . Auparavant, i l faudra i n t r o d u i r e des concepts p r é l i -m i n a i r e s . . .

Couples.

Etant donnés des objets x et y, on suppose qu'on peut for-mer un nouvel objet déterminé par x et y, à savoir le couple (x,y). Pratiquement, dans un couple, on tient compte de la "position" des éléments de telle sorte que des couples (x,y) et (x',y') sont égaux si et seulement si les éléments qui les déterminent coïncident, i.e.,

(x,y) = (x',y») <==^> x = x' et y = y'.

Ensemble p r o d u i t .

Soient des ensembles X et Y. Construisons l'ensemble des couples (x,y) t e l s que x i X et y tY. On d i t que l ' o n a formé l ' e n

-semble produit do X et de Y. Cn note cet en-semble X x Y (liro X croix Y):

X x Y = j (x,y)f x IX et y t Y. j

R e l a t i o n s .

Considérons l a r e l a t i o n " ê t r e c a p i t a l e de" e n t r e

un ensemble de v i l l e s X e t un ensemble de pays Y. Si c e t t e

r e l a t i o n e s t d é s i g n é e par l a l e t t r e R, l a l o c u t i o n "x e s t

c a p i t a l e de y " , s e r a abrégée xRy, e t p o u r r a ê t r e s c h é m a t i

-sée p a r une f l è c h e d ' u n diagramme du t y p e s u i v a n t :

Cette façon d ' i l l u s t r e r une relation n'est pas toujours possible ni

mê-me désirable, ( dans le cas d'ensembles infinis par exemple). Et

pra-tiquement, chaque flèche ou "lien" est essentiellement la donnée d'un

couple ( v i l l e , p a y s ) .

Se référant toujours à l'exemple donné c i - d e s s u s

X x Y = J (Ottawa, France), (Ottawa, Canada),(Ottawa ,

Angle-terre), (Paris, France),(Paris, Canada), (Paris,

An-gleterre), (Montréal, France),(Montréal, Canada),

(Montréal, Angleterre)i

Dans X x Y i l y a des couples pour lesquels la relation R est v r a i s ; i l s ' a g i t de l'ensemble:

j(Ottawa, Canada), (Paris, France) T

qu'on appelle le graphe de la relation R. Il n'y aurait donc pas lieu de distinguer R de la partie de X x Y constituée des couples d'éléments liés par R.

Deux relations sont équivalentes si leur graphe coincide. Ainsi une relation se verra associer un sous-ensemble de X x Y et inversement, un sous-ensemble de X x Y caractérisera une telle relation (à équiva-lence près).

C'est pourquoi l'on peut dire que le graphe d'une relation de X à Y est un sous-ensemble de X x Y. Plus précisément,

c'est l'ensemble des couples (x,y) tels que x f X et y £ Y et pour lesquels x R y est vraie.

A toute relation x R y, on peut associer la même relation considérée comme proposition du couple (y,x); il s,'agit alors de la relation réciproque de R. Pour distinguer, on dira que X est l'ensemble de départ tandis que Y. est l'ensemble d'arrivée. Le

"lien" suggéré par ces désignations peut se faire de un ou plusieurs éléments de X à un ou plusieurs éléments de Y. Illustrons ce fait par la relation: "tel individu est le neveu d- tel individu, défi-nie sur un ensemble de'neveux...

Une relation de X à Y permet en quelque sorte le "passage" de l'ensemble de départ vers l'ensemble d'arrivée. On peut alors se demander ce qui est conservé ou perdu lors de ce passage...

Relation(s) particulière(s).

Il serait sans doute-intéressant de conserver l'égalité: supposons une relation de X à Y. Dès que deux éléments arbitraires choisis dans X,

coincident, leurs correspondants dans Y coïncident nécessairement, on dit que cette relation est univoque.

Une relation univoque définie sur tout X (i.e., tout élément de X fait l'objet d'un choix) est une fonction, une application ou

occasion-nellement, une tranformation de X dans Y. Formellement,

Une fonction de X dans Y est l a donnée de t r o i s ensembles X, Y, et G c: X x Y. De p l u s , G e s t a s s u j e t t i à l a r e s t r i c t i o n suivante: pour t o u t x -£ X, i l e x i s t e un et un seul y t Y t e l que

( x , y ) E G.

Tout comme pour l e s r e l a t i o n s , on p a r l e r a d'une fonction f de X dans Y où X e s t l'ensemble de départ et Y l'ensemble d ' a r r i v é e ; on abrège c e t t e l o c u t i o n de l a façon suivante:

f: X ^ Y ou X — — j » Y .

Lorsqu'il est question de plusieurs fonctions composées, des

diagrammes du genre suivant sont commodes.

f

A « =—^B

L'élément de Y que l a fonction f associe à x c X se note

f ( x ) . On d i t q u e f ( x ) e s t l a v a l e u r ou l ' i m a g e de x p a r f. D'une fonction dont l'ensemble de départ e s t X, on d i t aussi q u ' e l -l e e s t définie sur X. Lorsque -l ' o n veut d é f i n i r une fonction f, i -l faut exhiber un ensemble de d é p a r t , un ensemble d ' a r r i v é e et un en-semble de couples. Par exemple, l a donnée dans l ' o r d r e , des enen-sembles

X = / a , b j e t Y = , 5 , 8 , 1 0 ] e t du s o u s - e n s e m b l e ( a ; 5 ) , ( b , 8 ) d e XxY, d é f i n i t u n e f o n c t i o n f d e X d a n s Y. Et l ' o n a :

: X ——■

_{_ _ ^ y}

x H.a; - o

:> f(b) = 8

L'ensemble j 5, 8 j _ Y e s t a p p e l é : p o r t é e de f.

Voici graphiquement un exemple d'une fonction:

e t deux exemples de c o r r e s p o n d a n c e s q u i ne s o n t pas d e s

f o n c t i o n s :

I I

Dans l'exemple I I , " l ' é g a l i t é " n ' e s t pas conservée t a n d i s que dans l'exemple I I I , 11 y a un élément de X qui n ' a pas d'image dans Y. Examinons l'exemple I : nous remarquons que deux objets d i f f é r e n t s x, et Xp, ont même image y. .

On peut, en plus de conserver l ' é g a l i t é , (ce qui nous a amené à considérer un type p a r t i c u l i e r de r e l a t i o n : l a fonction) v o u l o i r conserver l a " d i s p a r i t é " , i . e . , des objets d i s t i n c t s aur a i e n t des images d i s t i n c t e s . On d i t a l o aur s que l a fonction e s t i n -j e c t i v e ou que c ' e s t une i n -j e c t i o n . De façon p r é c i s e , s o i t une fonc-t i o n f de X dans Y, on dira que f esfonc-t une injecfonc-tion s i pour fonc-toufonc-t u € X

e t y t X,

u f v - = > f(u) * f(v)

Soient encore f: X -^Y et A <^ X. L'ensemble B des trans-formés des éléments de A s'appelle l'image de A par f et sera dési-gné par î ( k )9 et l'on a f(A) c Y. On peut considérer la fonction de

} '] (X) dans/7 (Y) qui associe à chaque A i. /'" (X) son image f (A) £

/••'(Y). L'on désigne cette fonction comme étant l'extension de f aux ensembles de parties de X et de Y. Par abus de langage, on no-te encore cetno-te fonction par f et l'on écrit:

f r P (X) > /^(Y)

A t --> f(A) = B.

Considérons une fonction f: X >>Y. Il arrive que la por-tée coïncide avec l'ensemble d'arrivée; on dit alors que f est

sur-jective ou que f est une surjection. Autrement dit,

Une fonction qui est à la fois injective et surjective est dite bijective. soit N l'ensemble des nombres naturels et P l'ensem-ble des nombres naturels pairs; la fonction f de N dans P qui

as-socie à chaque nombre naturel son double ( n -y 2x\) > e s t

bijec-tive et l'on a: f: N >p a \ — p > f(a) = 2a 1 | ?-f(l) = 2 2 ( 5»f(2) = 4

3 r- ^f(3) - 6

Si f e s t une b i j e c t i o n de X dans X, on d i r a que f est une permuta-t i o n de X.

Considérons encore f : X "/^Y et B _ Y. La p a r t i e A _ X constituée des éléments x & X t e l s que f ( x ) £ B s ' a p p e l l e l'image réciproque de B par f que l ' o n note f(B), Et nous avons comme

ci-dessus

f : T^(Y) , ïfa)

B h * f(B) = A

Cette fonction f est dite l'extension réciproque de f aux parties de X et Y. A toute bijection f de X dans Y, on peut associer une autre bijection g dite réciproque de f et caractérisée par:

g(y) = x , si y = f(x)(poxir tout x € X et y e Y)

Soient maintenant une fonction f: X >Y et A C X. On peut définir une fonction g: A >Y telle que g(x) = f(x) pour x £ A. La

fonc-'tion g e s t appelée l a r e s t r i c t i o n do f à A que l ' o n désigne par f/A ou f^. On d i t a l o r s que f e s t un prolongement de g à X.

Voici qxielques exemples de fonctions d'un usage courant:

1) S o i t f une f o n c t i o n d é f i n i e sur X. Si f ( x ) e s t l e même

élément pour t o u t x­X, f e s t d i t e c o n s t a n t e sur X.

2) Considérons l a fonction de R dans R qui associe à t o u t r é e l x £ R, l e nombre r é e l 2x + 1:

f: R * R

x I j> f (x) = 2x + 1

3) Soit A c X, on peut construire une fonction f de la façon suivante:

f:

{1,0}

x r p f(x) = 1 si x e A

x J­ r> f (x) = 0 si x f A, on dit alors que f est la fonction caractéristique de A.

4) Soient A et X des ensembles, avec A ■£ X; considérons la fonction f de A dans X, qui associe à chaque a t A, "a" considéré comme élément de de X:

f: A ► X

a i

f- a

5) Considérons la fonction pr^ définie sur l'ensemble X x Y et qui prend ses valeurs dans X:

prx : X x Y -> X

(x,y) I £> prx((x,y)) = x,

et qui à chaque couple (x,y), associe le premier élément du.couple. On définit de même pr2 en associant à (x,y), le deuxième élément du

cou-ple.

6) La fonction i de X dans X, qui associe à chaque x £_ X le même élé-ment x est dite l'application identique de X sur lui-même.

On notera une différence fondamentale entre les exemples 3), 4 ) , 5), 6 ) , d'une part et l ) , 2 ) , d'autre part. En effet, dans le premier cas, la donnée des ensembles de départ et d'arrivée suffit à déterminer la fonction sans qu'il soit fait appel à d'autres données ou décisions supplémentaires; tandis que dans le cas de la fonction f de l'exemple 2 ) , la donnée des ensembles de départ et d'arrivée (qui coincident ici) doit être amplifiée par une construction arbitraire d'un élément associé à cha-que x £ R. Les fonctions du premier type jouent naturellement un rôle fondamental. On dit qu'elles sont des applications canoniques.

Le plus souvent, on peut définir plusieurs fonctions de X dans Y. Si X et Y sont des ensembles finis comprenant respectivement a et b éléments,

Y

alors le nombre de fonctions de X dans Y égale ba . D'où la notation Y

pour désigner l'ensemble des applications de X dans Y qui est un sous-en-semble de F (X x Y ) ; on note aussi cet ensous-en-semble par /' (X, Y ) .

des fonctions,qui joue un rôle important. Soient deux fonctions f et g

X f > Y S * Z

il existe une fonction g o f : X ^ Z qui est telle que (g o f) (x) = g(f(x))

A titre d'exemple, examinons la composée de deux symétries par rapport à deux droites concourantes A et B.

La symétrie sg par rapport à la droite B est une fonction de l'ensemble 7 f des points d'un plan vers lui-même:

5B :

7T s- n

qui associe à tout point x g ff un point y 6 *f tel que le milieu de {x,y j. appartienne a B et qu'il existe une droite perpendiculaire à B^ comprenant x et y. On définit s^ de la même façon. La composée s^ o Sg; n'est alors rien d'autre qu'une rotation de centre 0.

?

H est évident que nous n'avons pas tout dit au sujet des fonc-tions dans ce bref exposé. Notre intention était plutôt de fournir des indications initiales mais indispensables à l'étude de la notion de fonc-tion. Pour une étude plus approfondie, on pourra consulter les volumes de la bibliographie. Essayons maintenant de tirer les conséquences du pré-sent travail.

Ces quelques lignes nous ont permis de constater premiè-rement, que la notion de fonction a mis des siècles pour se géné-raliser et devenir applicable à toutes sortes de situations.

Deuxièmement, l'idée de "code" donne accès à la notion de fonction. Ce n'est pas la seule approche pour l'étude des fonctions, mais toute autre approche devrait satisfaire aux critères .suivants: la situation d'apprentissage doit être adaptée aux possibilités et

intérêts de jeunes élèves; elle doit être assez souple pour réali-ser un transfert; elle doit aussi pouvoir intégrer les notions con-nexes et susciter des généralisations* .

Enfin ce document de ''style''didactique voudrait se destiner aux maîtres actuels qui ont à poser les premiers jalons du renou-veau de l'enseignement élémentaire des mathématiques. Nous souhai-tons eue notre travail devienne une modeste contribution à la

Le t a b l e a u des deux pages suivantes i l l u s t r e un code pour l e s v i n g t s i x l e t t r e s de l ' a l p h a b e t . Chaque l e t t r e a neuf r e p r é -s e n t a t i o n -s -selon q u ' e l l e apparaît dan-s un mot de une, d e u x . . . ou neuf l e t t r e s .

Ce code e s t basé sur l a congruence modulo neuf; i l nous permet a i n s i de déceler c e r t a i n e s e r r e u r s de t r a n s c r i p t i o n . Par exemple, dans ce code l e mot foi devient 047 128 074 . Remarquons que foi est un mot de t r o i s l e t t r e s ; s i l ' o n f a i t l a somme des

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page,

Introduction. 3.

Chapitre I. 5.

Chapitre II. 10.

Chapitre III. 27.

Annexe I. . 39.

Annexe II. 42.

Conclusion. 55.

Liste des ouvrages consultés. 56.