ARTheque - STEF - ENS Cachan | Le carré de la somme de deux nombres.

I I C A H Ë D E LA S O M M

P i D E U X

U

I

I

C e t t e leçon a é t é faite à des élèves de ir e _{a n n é e de} Collège T e c h n i q u e , section f é m i n i n e . Le p r o g r a m m e de c e t t e classe ne c o m p o r t a n t pa s l ' é t u d e d u p r o d u i t de d e u x s o m m e s , l ' é t a b l i s s e m e n t de l ' i d e n t i t é p a r le calcul a é t é d é l i b é r é m e n t négligé. M a i s cette solution p o u r r a i t ê t r e p r é s e n t é e à des élèves d o n t le niveau d é p a s s e r a it la m o y e n n e . S'il est b o n e n e f f e t de respecter les p r o -g r a m m e s officiels, il ne p a r a î t pas i n d i q u é d'en ê t r e l'esclave absolu et l'on doit a d a p t e r le cours à la f o r c e qui v a r i e d ' u n e a n n é e à u n e a u t r e , d ' u n lieu à un a u t r e . Il est c e r t a in en t o u t cas q u e le calcul e û t été f a i t d a n s u n e classe d e garçons.

L ' i d e n t i t é a été établie p a r la m é t h o d e g r a p h i q u e . On a c h e r c h é à é v i t e r u n e e x a g é r a t i o n qui, e n t r e a u t r e s d é f a u t s , a u r a i t celui de d e m a n d e r t r o p de t e m p s . D ' a u t r e p a r t , si n o u s d e v o n s h a b i t u e r nos élèves à voir, nou s ne p o u v o n s o u b l i e r qu'ils o n t , eux aussi, le d r o i t d ' a p p r e n d r e à raisonner. Ils ne sont pa s d a n s un Collège T e c h -n i q u e u -n i q u e m e -n t p o u r f a i r e l ' a p p r e -n t i s s a g e d ' u -n m é t i e r et a b s o r b e r t a n t bien q u e m a l q u e l q u e s f o r m u l e s , m a i s p o u r recevoir leur p a r t d ' u n e c u l t u r e g é n é r a l e qu'il leur sera m a t é r i e l l e m e n t impossible d ' a c q u é r i r a p r ès leur sortie de l'école.

U n e i m p o r t a n c e assez g r a n d e a été d o n n é e au x appli-c a t i o n s : au appli-calappli-cul algébrique , si t a n t est que appli-c e t t e expression n'est p a s t r o p p r é t e n t i e u s e ; au calcul m e n t a l t r o p s o u v e n t négligé. C e t t e négligence ne serait-elle pa s l'une des raisons des m a u v a i s r é s u l t a t s o b t e n u s en calcul « t o u t c o u r t » — et je ne pense p as s e u l e m e n t a u x élèves des Collèges T e c h n i q u e s . On sait de m o i n s en m o i n s

« c o m p t e r ». L a leçon se t e r m i n e r a en s u i v a n t l ' o r d r e inverse de celui du d é b u t de l'exposé. A s a v o i r : u n p r o b l è m e t r a i t é p a r l'applicatio n de la f o r m u l e , u n e d e u x i è m e solution, g r a p h i q u e , qui sera en m ê m e t e m p s la v é r i f i c a t i o n . N o s élèves ne disposent pa s de b e a u c o u p de t e m p s p o u r le t r a v a i l personnel. Q u a r a n t e h e u r e s de p r é s e n c e p a r s e m a i n e à l'école, c'est bien l o u r d p o u r des élèves de ir e _{Année. On ne peut, p a r suite, d e m a n d e r la « r é} -d a c t i o n » -de b e a u c o u p -de -devoirs. C e p e n -d a n t l'exërcice f a i t p a r l'élève « t o u t seul » est le c o m p l é m e n t nécessaire de la leçon et sans d o u t e le meilleu r m o y e n d ' a p -p r e n d r e celle-ci. On t e n t e r a de concilier ces deux

con-t r a i r e s en se b o r n a n con-t le plus s o u v e n con-t à exiger de nos j e u n e s gens la p r é p a r a t i o n des exercices au b r o u i l l o n . La c o r r e c t i o n de ceux-ci d o n n e r a lieu à une mise au p o i n t d o n t la nécessité est indiscutable .

I N T R O D U C T I O N On relie à la leçon p r é c é d e n t e :

L E C A R R É E T L E D O U B L E

a) Un carré a 4 cm. de côté. Quelle est son aire P (On dir a aussi sa s u r f a c e . )

4 X 4 q u e n o u s é c r i r o n s encore 42 _{et que nou s lirons} 4 au c a r r é .

Quel est son d e m i - p é r i m è t r e ? 4 X 2 ou 2 fois 4.

b) L a longueur du côté du carré est C ; x. La s u r f a c e est : C x C = C3_{; x}2_. L e d e m i - p é r i m è t r e : C X 2 = 2 C ; 2 x. N o u s ne c o n f o n d r o n s d o n c p a s le c a r r é ( p r o d u i t d ' u n n o m b r e p a r l u i m ê m e ) et le d o u b l e ( p r o d u i t d ' u n n o m -bre p a r 2). c) Le m a î t r e p r o p o s e quelques o p é r a t i o n s d o n t les r é s u l t a t s sont i m m é d i a t e m e n t d o n n é s p a r les élèves :

72 _{7 X 2 10X2 10}2

L E Ç O N P R O P R E M E N T D I T E A . — E T A B L I S S E M E N T D E L A F O R M U L E

a) La longueur

du côté du carré est une expression

Les élèves dessinent s u r d u p a p i e r quadrillé (gain de t e m p s ) un c a r r é de 5 cm. de côté, puis p r o l o n g e n t le c ô t é de 3 cm. p o u r o b t e n i r un c a r r é de 8 c m . de côté. Quelle est la s u r f a c e d u p r e m i e r c a r r é ? 5 X 5 ou 52_. Quelle est la s u r f a c e du g r a n d c a r r é ? 82_. C o m m e n t p e u t - o n encor e e x p r i m e r la l o n g u e u r d u côté du d e u x i è m e c a r r é P 5 + 3 et p a r suite sa s u r f a c e : (3 + 3) ( 5 + 3 ) (il y a u r a p e u t - ê t r e ici u n e occasion de revenir sur le rôle des p a r e n t h è s e s ) .

P e u t - o n d é c o m p o s e r le g r a n d c a r r é en d ' a u t r e s figures d o n t il est facile d ' e x p r i m e r les aires (les élèves f o n t cette d é c o m p o s i t i o n elles-mêmes p e n d a n t q u e le m a î t r e

suivant les indications de l'une d'entre elles réalise !a figure au tableau).

Et l'on obtient :

1 carré de 5 cm. de côté, aire : 5- (on écrit le résultat sur la figure).

1 carré de 3 cm. de côté.

2 rectangles de 5 sur 3 ( , X 3 ) X 2 .

Nous pouvons écrire :

(5+3)2 - 52+33 + 5 X 3 X 2 Vérifions : 82 = 5 ? +32 + j X 3 X 2

64 = 25 + 9+30

64 = 64

Une élève au tableau, les autres n'écrivent plus. Le côté du carré initial est a. On barre le 5 et on remplace ce nombre p a r - a .

L'allongement est b au lieu de 3.

5+3 -cl + b

•f

d

f"

5*

5 * 3

£X « b

OC + 2

Dans chacun des quadrilatères composants on écrit la formule qui exprime son aire.

Et on conclut :

(,a + b)2 _{= a}! _{+ b}2 _{+ 2ab}

La règle sera répétée par plusieurs élèves.

REMARQUE. — On ne s'est pas soucié d'ordonner le

trinôme. 11 s'agit d'une leçon donnant lieu pour la pre-mière fois peut-être à une expression algébrique relative-ment compliquée pour des jeunes filles de cet âge et de ce niveau. Les élèves ayant exprimé la formule elles-mêmes dans l'ordre indiqué, on remettra' à plus tard le .soin de la présenter sous son autre forme.

B. — A P P L I C A T I O N S a) Développer :

(.v+5)2 _{Le professeur fait le calcul au tableau.} (a + 3)2 _{Une élève au tableau.}

( b + 1 )2 _{Toutes les élèves sur leur cahier de brouillon.} (2a: + 5)2 _{Toutes les élèves sur leur cahier de brouillon.} b) Calculer en utilisant l'identité :

242 ₅₂2 ₈₁2

Les exercices sont traités dans lé même ordre.

312 _{Le calcul est fait oralement.}

c) Si la leçon s'est déroulée assez vite, on établira la règle de calcul mental permettan t d'obtenir le carré d'un nombre terminé par 5 en se bornant à un nombre de deux chiffres. Dans le cas contraire, cette règle pourra faire l'objet d'un exercice lors de la prochaine leçon.

d) Un problème.

La différence des côtés, de 2 carrés est 2 cm. La diffé-rence de leurs surfaces est 68 cm2_{. Trouver le côté du} petit carré, puis celui du grand.

1 ) S O L U T I O N PAR LE CALCUL

Choix de l'inconnue : le côté du petit, carré que nous désignerons par x.

.Mise en équation : le côté du grand carré est donc : x+2 et les surfaces sont exprimées respectivement par A-2 _{et ( x + 2 )}2_.

68 cm2 _{étant leur différence, nous pouvons écrire :} (x+2)2 _{— x}2 _{= 68}

Résolution: Elle est faite au tableau par une élève.

2 ) S O L U T I O N G R A P H I Q U E

Le dessin montre que la différence des deux surfaces : 68 cm2 _{(partie hachurée), représente la surface d'un} carré de 2 cm. de côté et celle de 2 rectangles ayant pour côtés 2 cm. et le côté du petit carré.

La surface des 2 rectangles est donc :

68 — 4 = 64

Celle de l'un d'entre eux : = 32 cm2 _{et l'un des}

2

côté étant 2 cm., l'autre mesure : _{3 2} « = 16 cm.

2

Les côtés mesurent donc 16 cm. et 18 cm.

C. — E X E R C I C E S A P R E P A R E R Compléter les identités suivantes :

( m - H O2 _{= ( * + 7 )}2 _{= ( 2 ^ + 3 ) 2 =} Calculer en appliquant la relation

(a + by- = a2 _{+ b? +2 ab}

522 34'- .22

P R O B L È M E

Deux ouvrières en broderie ont fourni 2 napperons carrés dont la différence des côtés est 3 cm. Le travail leur est payé 4 francs par cm2 _{et l'une d'entre elles a}

touché 396 francs de plus que l'autre. Calculer la lon-gueur du côté J e chacun de ces napperons (on désignera par .-v celle du côté du plus petit).

Sachant que l'exécution du petit napperon a nécessité 15 heures de travail, trouver le tarif horaire.

M. Laurent P R I G E N T , . Professeur adjoint au Collège Technique Mixte