Devoir de synthèse n°2         4ème Mathématiques Mr Boudhaouia 03 03 09

Lycée 02 03 34 Ksar Hellal Devoir de synthèse N° 2 4ème _Math

Mr : Boudhaouia Durée 4h 03/03/2009

Exercice 1

Dans un plan muni d’un repère orthonormé = ( , , ) on considère la courbe C d’équation + 4 + 8 − 4 = 0 .

1) Montrer que C est une parabole et préciser son paramètre.

2) Déterminer ; relativement au repère ; les coordonnées de son sommet ; de son foyer et une équation de sa directrice .

3) a) Vérifier que 0 , est un point de C .

b) Déterminer ; relativement au repère une équation de la tangente à C en . c) Tracer la parabole C et sa tangente .

Exercice 2

Soit la fonction définie par ( ) = √1 − ; on désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , , ).

1) a) Justifier que ! _" est le domaine de définition de la fonction f. b) Etudier la dérivabilité de en 0.

c) Etudier les variations de et tracer sa courbe C.

2) a) Montrer que réalise une bijection de ! _" sur un intervalle # que l’on déterminera. b) Soit la fonction réciproque de ; calculer ( ) en fonction de .

c) Tracer la courbe C ’de la fonction .

Exercice 3

Soit la suite $_% définie sur IN∗ par : $_% = & (tan )% *

+ , - . 1) a) Calculer $ et $ . b) Montrer que ∀/ ∈ !1∗ on a : $_% ≥ 0. c) Montrer que ∀/ ∈ !1∗ on a : $_%" + $_% = %" . d) Calculer $₄ et $₅.

2) a) Montrer que la suite $ est convergente. b) Calculer la limite de la suite $.

3) a) Montrer que pour tout / ≥ 2 et ∀ ∈ 70 , 8

59 on a : (tan )% ≤ ;<= >?@A

b) En déduire que pour tout / ≥ 2 on a : $_% ≤

% B√2C

%

− 1 .

Exercice 4

I) Soit la fonction D définie sur ! _"∗par :D( ) = + ln − 1. 1) Etudier les variations de D.

2) Calculer D(1). En déduire le signe de D( ) sur ! _"∗.

II) Soit la fonction définie sur ! _"∗par :F ( ) =

G

+ H/ − 2 IJ > 0 (0) = 0 L On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , , ). 1) a) Etudier la continuité de en 0.

b) Etudier la dérivabilité de en 0. Interpréter graphiquement le résultat. c) Vérifier que :∀ ∈ ! _"∗ ; M( ) = D( ).

d) Dresser le tableau de variation de .

2) Soit P la parabole d’équation : = G − 2

a) Etudier sur ! _"∗ la position de C par rapport à P.

b) Tracer dans le même repère C et P .( L’unité graphique est : 2 NO ).

c) Soit P un réel tel que :0 < P < 1 ; calculer la mesure A(P) de l’aire du domaine plan limité par C , P et les droites d’équations : = P et = 1.

d) En déduire la mesure A de l’aire du domaine plan limité par C et P .

Exercice 5

Soit RS un carré de centre tel que :B RTTTTT ,TTTTT C ≡ 8 V2WX. Les points ! et # sont les milieux respectifs des segments V RX et V X.

1) Soit la similitude directe qui transforme en et S en !. a) Déterminer le rapport et l’angle de .

b) Construire son centre Ω.

2) a) Déterminer les images des droites (R ) et (RS) par . En déduire que : (R) = . b) Montrer que ( ) = #.

c) Déterminer : ( ⃘ )(R). En déduire que Ω est un barycentre des points R et #. 3) Soit σ la similitude indirecte qui transforme en et S en !. Et soit _(Z[) la symétrie orthogonale d’axe ( !).

a) Vérifier que : \ = _(Z[) ⃘ . b) Déterminer : σ (R).

c) Déterminer les éléments caractéristique de la similitude σ.