Application des représentations diffusives à temps discret

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discret

Gabriel Dauphin

To cite this version:

Gabriel Dauphin. Application des représentations diffusives à temps discret. Traitement du signal et

de l’image [eess.SP]. Télécom ParisTech, 2001. Français. �tel-00005780�

presentee pour obtenir le grade de

docteur de l'



Ecole Nationale Superieure

des Telecommunications

Specialite : Signal et Images

Gabriel Dauphin

Application des representations

dif-fusives au temps discret

Soutenue le 20 decembre 2001 devant le jury compose de

Bernhard Maschke President

Laurent Baratchart

Rapporteurs

Pierre Rouchon

Olof Staans Examinateurs

Jean-Jacques Loiseau

Catherine Bonnet

Denis Matignon

Directeur de these



J'ai eu la chance d'eectuer ma these a l'Ecole Nationale Superieure des

Telecommunications sous la responsabilite de Denis Matignon. Je tiens a

ex-primerici ma sincere reconnaissance pour m'avoir fait partager son savoir faire,

sadisponibilite,mais aussi pour avoirsu melaisser une certaine liberte.

J'adresse mes remerciements ames rapporteurs LaurentBaratchart etPierre

Rouchon pour avoir accepte de prendre le temps de lire avec attention mon

ma-nuscrit de these, a mes examinateurs Bernhard Maschke, Jean-Jacques Loiseau

etCatherine Bonnet qui ont aussi contribuea ameliorerle manuscrit.

Je suis tout particulierementredevable aLaurent Baratchart pour avoir

pro-pose de multiples corrections et ameliorations, pour m'avoir fait decouvrir un

domaineparticulier et, mesemble-t-il meconnu,de l'analyse complexe.

Je suis egalement tres reconnaissant a Olof Staans, qui en plus de s'^etre

deplace jusqu'enFrance,m'a faitdecouvrirune autrelitteraturesur lessystemes

dissipatifsen dimension innie.

Je remercie sincerement Gerard Monsteny pour son enthousiasme et aussi

pour les fructueuses discussions que nous avons eues.

Je remercie DavidHeleschewitz pour notre collaborationagreable et riche.

Je remercie Dorothee Normand-Cyrot et Salvatore Monaco pour ^etre venu

repondre a mes questions sur le tempsdiscret.

Je remercie Pierre-Alexandre Blimanpour s'^etre interesse a mon travail.

Jeremercietousceux quejesuisallederangerquelquesfoisavecdesquestions

techniques et qui m'ont consacre amicalement leur temps pour me repondre, et

notamment Jamal Najim,Eric Moulines,GillesFay, Gerard Blanchet.

Jeremercieegalementtousmesamis(es)quiontaussiparticiped'unemaniere

oud'uneautrealarealisationdecetravail.Ilssontnombreux(ses),qu'ilstrouvent

icil'expression de masympathieet de ma profondereconnaissance.

Introduction 7

Guide de lecture . . . 12

Notations . . . 15

I Propriete generale des ltres diusifs 21 1 Exemples et denitions des ltres diusifs 23 1.1 Exemples de ltresdiusifs. . . 23

1.2 Denitiondes ltres diusifs . . . 26

1.2.1 Caracteristique entree-sortiedes ltres diusifs . . . 26

1.2.2 Realisationsdiusives . . . 28

1.3 Proprietes des ltres diusifs . . . 30

1.3.1 ConditionssuÆsantes pour qu'un ltre soitdiusif . . . . 30

1.3.2 Caracteristique de lafonction de transfertdiusiveau voi-sinagede lacoupure . . . 34

2 Proprietes asymptotiques des ltres diusifs 39 2.1 Lemme de Watson discret . . . 40

2.2 Lemme de correspondance asymptotique . . . 42

2.3 Processus aleatoire amemoirelongue genere par des ltres diusifs 45 3 Positivite et dissipativite des ltres numeriques 47 3.1 Positivite des ltres numeriques . . . 48

3.1.1 Denitionde lapositivite . . . 48

3.1.2 Positivited'un ltre diusif . . . 50

3.1.3 Positivited'un ltre rationnel . . . 53

3.2 Dissipativitedes ltresnumeriques . . . 55

3.2.1 Dissipativitedes ltres diusifs . . . 55

3.2.2 Dissipativitedes ltres rationnels . . . 57

d'un ltre rationnel 59

4 Presentation des couplages de ltres etudies 61

5 Stabilite energetique 69

6 Stabilite EBSB 77

6.1 StabiliteEBSB par un raisonnement

algebrique . . . 78

6.2 Resultat de decomposition . . . 81

6.3 Comportement asymptotiquede lareponse impulsionnelle . . . . 86

7 Stabilite interne asymptotique 93 7.1 Stabiliteinterne . . . 94 7.1.1 Realisationassocieea H S 2 2 . . . 94

7.1.2 Fonctionnelle de Lyapunov et stabiliteinterne . . . 96

7.1.3 Principed'invariance de LaSalle . . . 98

7.2 Stabiliteinterne asymptotique . . . 100

7.2.1 Convergence faiblede l'etat ' n vers zero etconvergence de X n etZ n vers zero. . . 100

7.2.2 Laconvergenceforteestuneconsequencede laconvergence faible . . . 101

8 Analyse asymptotique de la convergence 105 8.1 Etude du comportementasymptotique du couplage . . . 105

8.1.1 Transformee en Z . . . 106

8.1.2 Applicationdu resultat de decomposition . . . 108

8.1.3 Comportementsasymptotiques aux temps longs . . . 110

8.2 Exemple etsimulation . . . 112

A Integrales de Cauchy 133 B Espaces de Hardy 137 B.1 Denition de H 1 (E) . . . 137 B.2 Proprietede H 1 (E) . . . 141

B.3 Denition etproprieted'autres espaces de fonctionsanalytiques . 143 C Simulation des ltres diusifs 147 C.1 Methodes d'approximation classiques . . . 147

C.2 Approximationissue des diusions . . . 150

C.3 Algorithmesutilisespour faire lessimulations . . . 156

Cette these tra^te de l'etude des ltres causaux non rationnels et a temps

discret : la fonction de transfert de tels ltres n'est pas une fraction

ration-nelle, et leur reponse impulsionnelle est innie et n'est pas une combinaison

lineaire de suites geometriques. L'outil que nous nous proposons d'utiliser est

les representations diusives et cet outil s'applique a certains ltres, dits

dif-fusifs : ces ltres se mettent sous la forme d'agregation continue de ltres

au-toregressifs d'ordre 1, leur reponse impulsionnelle est une somme continue de

suites geometriques.

Applications des ltres non rationnelsatempsdiscret dans

la litterature

Les dierences fractionnaires et plus generalement les ltres non rationnels

font l'objet d'une etude theorique (cf [SKM87] et[Mat01]). Les applications des

ltres non rationnels seregroupent en trois domaines.

Certains ltres non rationnels ont ete introduits pour faciliter l'etude et la

simulationdes operateurs d'integration et de derivation fractionnaires. Ainsi les

formules de Grunwald-Letnikov ont permis de denir l'integration fractionnaire

comme le rappelle [Pod99, chapitre 2] : pour une fonction u(t) localement

som-mable, l'integration fractionnaire de u d'ordre  2]0;1[ est la fonction donnee

point par point,par :

I  [u](t)= lim T!0 E[ t T ] X k=0 h FI k T  u(t kT) (1) ou E[ t T

] est la partie entiere de t T

et h FI k

est la reponse impulsionnelle des

dierences fractionnaires d'ordre  . C'est un ltre causal dont la fonction de

transfert est (1 z 1

) 

, jzj > 1, ce ltre est note H FI

et servira d'illustration

tout aulong de la these (cf : exemple1 p.24).

Les methodes a pas multiples d'ordre fractionnaire, (cf : [Lub86]),

approxi-ment l'integration fractionnaire et aussi des operateurs pseudo-differentiels en

utilisantd'autresltresnonrationnelsatempsdiscret(voir[Hel00]).Parexemple

les ltres causaux de fonctions de transfert  1 2 (1 z 1 )(1+z 1 ) 1   , ou ( 25 12

4z 1 +4z 2 4 3 z 3 + 1 4 z 4 ) 

,pour jzj>1,sont deux autres approximationsde

l'integration fractionnaire mais, qui sont d'ordre plus eleve que (1 z 1

) 

. Le

premier ltre est note H BI

etservira aussi d'illustration (cf :exemple 2 p.24).

Dans l'article [Hur51], il est montre que le dimensionnement du barrage sur

le Nil en Egypte doit ^etre evalue a partir de donnees statistiques sur le niveau

des cruessur des milliersd'annees etnonsur une centaine d'annees.Lanecessite

de conna^tre un tres grand nombre de donnees passees traduit le phenomene de

memoire longue.

De tels processus aleatoiresx n

peuvent ^etre generesa partird'un bruit blanc

gaussien note ici " n

passe a travers un ltre a temps discret de reponse

impul-sionnelleh n . x n = n X k=0 h n k " k (2)

Un processus aleatoireest dit amemoire longuelorsque l'autocorrelation

E( P 1 n=0 x n x n+k

) n'est pas une suite sommable ou lorsque sa densite spectrale

(transformeeen Z decetteautocorrelation)estsinguliereen !=0(ouE designe

l'esperance mathematique). Simultanement dans [Gra80], [GJ80] et [Hos81], il a



ete propose de generer de tels processus avec (2) en prenant pour h n

la reponse

impulsionnelle de H FI

. Dans [Gra80] il a aussi ete montre que si h n = 1 () n  1

alors (2) genere aussi un processus aleatoire a memoire longue. Nous appelons

H LN

le ltre deni par cette derniere reponse impulsionnelle et il servira aussi

d'illustration. H LN

et H FI

permettent de generer des processus aleatoires dont

le comportement asymptotique de la densite spectrale est proportionnel a ! 2

quand ! !0.

Dans [WG78], l'apparition des t^aches solairesest aussi modelisee parun

pro-cessus aleatoire a longue dependance.L'autocorrelation de ce processus presente

des oscillationsdont l'amplitude decro^t lentement. La densite spectrale est

sin-guliere en une frequence ! = ! 0

6= 0 et non plus en ! = 0. [GZW86] montrent

quecesprocessuspeuvent^etregenerespar(2)ouh n

estlareponseimpulsionnelle

de (1 2cos(! 0 )z 1 +z 2 ) 

. Ces processus sont dits Gegenbauer, et ces ltres

peuvent aussi avoirune representation diusivemais sous une formegeneralisee,

dite de deuxieme espece, (cf : [DHM00]et [Hel00, x8.2]).

Dans [Lin91], il est propose de generer des processus aleatoires dont le

com-portementasymptotiquede ladensitespectrales'ecritsous laformedeL(!)! 2

ouL(!)est unefonctionlentementvariante(i.e.L(!)!1et8k >0; L(k!)

L(!)

!1

quand ! !0).

Plus generalement une litterature importante est consacree a l'etude de tels

quiexistent pour decrire ces longues dependances. Sion considere,  x k+1 =ax k +b P n j=1 u j k +" k+1 y j k =x k + j k ou" k et  j k

sont des bruits blancs gaussiens independants, x k

est l'etat et u j k

est

le contr^ole eectue par l'agent j connaissant l'informationy j 0 :::y j k . Alors, selon

[WR74] le meilleur contr^ole lineaire possible eectue par l'ensemble des agents

est donne par une fonction de transfert non rationnelle.

Etat de l'art sur les representations diusives

L'idee des representations diusives, a savoir chercher a representer un op

e-rateurnon-standardpar une agregationcontinue de dynamiquesd'ordre 1,n'est

en fait pas nouvelle. Cette idee a et e proposee par [GJ80] pour representer le

processus aleatoires X n

forme a partir de (2) quand h n

est la reponse

impul-sionnelle de H FI

. Plus precisement, dans cette optique, on considere K

proces-sus aleatoires independants generes par (1) ou,pour chaque processus aleatoire,

h n

est une realisation d'un tirage aleatoire suivant une loi Beta. Ces processus

sont independantsetilest montreque lamoyenne de ces processus tend vers X n

lorsqueK !1.Cetteideeaaussipermisa[VDO95]derepresenterlesprocessus

de Gegenbauer. Cette idee se distingue neanmoins des representations diusives

ence que,sur l'exempledeveloppepar[GJ80],lamoyennedes h n

ne concidepas

avec la reponse impulsionnellede H FI

.

Cetteidee d'agregerdes dynamiquesd'ordre1est classiqueen viscoelasticite.

Eneet, lenoyaude convolutionh(t)liantlacontrainteetladeformationest

ap-pelelafonctionderelaxationetest exprimeenfonctiond'unspectrederelaxation

H() (cf [Chr82,ch. 1]): h(t)= Z 1 0 H()e t  d (3)

D'ailleurs les operateurs diusifs fractionnaires sont utilises en mecanique des

milieuxcontinus etcette representation a permis de le justier (cf :[Rou53]).

Ce spectre de relaxation est aussi introduit, par [GM97], sur des exemples

d'operateursdifferentielsfractionnaireset,cespectreestappelefonctionspectrale.

Lesfonctionsde transfertsde ces operateurs sont analytiquementprolongees sur

CnR etlatransformeeinversede Laplacedesfonctionsdetransfertd'operateurs

differentielsest faiteavec un contour d'integrationparticulier appele Hankelqui

n'entoure que R .

continue sur [0;+1[, h(t) C 1 sur ]0;+1[ et 8n  0;( 1) n h (n) (t)  0); h(t)

est alors dite completement monotone. Ce resultat permet a [BBF74] d'ecrire

une realisation en dimension innie pour ces systemes, cette realisation est ce

que nous appelerions une realisation diusive. Ces idees ont ete appliquees a la

viscoelasticitedans [DM88] a l'aide des semi-groupes continus (voir par exemple

[CZ95]) et dans [Sta94] ou la dissipativite entra^ne le caractere bien pose du

systeme, (voirpar exemple [WST01 ]).

Mathematiquement,unefonctionainsidenieparuneagregationd'operateurs

autoregressifs d'ordre 1 est une integrale de Cauchy, dont certaines proprietes

sont exposees dans [NAC84] et dans [Mus92 ]. En electrostatique les potentiels

doublecouchess'exprimentaussiavec unformalismesemblable(cf[DL84,p.353],

[Mus92 , p.23-25]). Un historique sur les integrales de Cauchy se trouve dans

[Gak66, p.75-76].

L'etude des representations diusives est l'objet d'une thematique de

re-cherche developpee par le groupe de travail 1

. Les operateurs non-standard vises

par les representations diusives sont en faitdes operateurs pseudo-differentiels,

leur theorie a ete elaboree d'abord dans [Mon98] puis dans [Mon00b] (de

nom-breuses simulationssetrouventpar exempledans[DM00]).Lesrealisations

diu-sives(ausensde latheoriedessystemes)transformentuneequationpseudo-diff

e-rentielleavec desoperateurshereditairesenuneequationdierentielledupremier

ordre sur un espace de Hilbert de dimension innie. Cette structure permetune

analyse de la stabilite interne et fournit une methode naturelle pour

approxi-mer les solutions (cf [Hel00]). Des extensions aux equations temps-variantes et

non-lineaires ont ete envisagees (cf : [AMM00a ] et par exemple [Sor00] pour les

operateurs a hysteresis).

Les applications sont diverses (cf : [MM98 ] et [AMM00b ]). Elles concernent

l'etude theorique des processus aleatoires generes par des operateurs diusifs

(cf : [CC98 ]) et des applications sur les capteurs CCD (cf : [SLMF97]) ou sur

la simulationdes turbulencesdu vent sur une ailed'avion[IMM00 ]. Un contr^ole

diusifparretroactionpseudo-dierentielleaetepropose(cf:[MAM97 ],[Bid98]).

Un nouveau concept de robustesse est applique dans [VAMM00 ] : la

pseudo-invariance sous groupe de transformation. L'identication d'operateurs diusifs

est aussi un enjeu important(cf : [Bid98] et [GB98]).

Problemes examines dans la these

Notre activite de recherche se concentre tout d'abord sur la mise en place

des representations diusives a temps discret : l'analyse asymptotique, l'

elabo-ration d'un critere de dissipativite. Ces outils permettentensuite l'etudedu

cou-plaged'un ltrediusifavec un ltrede rationneldissipatif:stabilites etanalyse

asymptotiqueauxtempslongs.Cetravails'estfaitessentiellementatempsdiscret

(i.e.surdes ltresnumeriques) etautantavec une approche externeentree-sortie

qu'avec une approche interne systeme.

Ces objectifs soulevent un certainnombre de questions:

 Les ltres qui admettent une representation diusive sont dits diusifs.

Parmi lesexemplesde ltresnon rationnels citesci-dessus, quelssont ceux

quisont diusifs? (cf :x1.2).

 La discretisation d'un operateur diusif a temps continu est-elle encore

un ltre diusif a temps discret? Est-ce que cela depend du schema de

discretisation? (cf : x1.2.1).

 Est-ce que le quotient de deux ltres diusifs est encore un ltre diusif?

(cf: x6.2).

 Connaissantlesymbolediusif,peut-onsimulerleprolongementanalytique

d'unefonction de transfert dans le disque unite? (cf : xC.3).

 Pour un ltre diusif de fonction de transfert H (z) et de reponse

impul-sionnelleh n

,aquelles conditionsH (z)eth n

ont-ilslem^emecomportement

asymptotiqueque la fonction de transfert et la reponse impulsionnelle des

dierences fractionnaires? (cf : x2.1 etx2.2).

 Lesdierencesfractionnaires,H FI

estunltreditamemoirelongue.

Existe-t-ilun contr^oleur qui donne au bouclage une stabilite exponentielle? (cf :

x6.2pourunpointdevueentree-sortieetx8.1.3pouruneapprochesysteme).

 Pour un systeme couple forme d'un ltre rationnel et de H FI

, et en

sup-posant que le systeme soit asymptotiquement stable, est-ce que la vitesse

de convergence vers zero est aectee par le choix de la condition initiale

dultrediusif,peut-onaccelerer cetteconvergence en choisissant unltre

rationnelparticulier? (cf :x8.1.3 et x6.3).

 Pour un ltre diusif positif, existe-t-il une realisation dissipative? (cf :

x3.2).

 Lorsqu'onrajouteun retardsurunltrediusif,lenouveau ltren'estplus

positif;peut-onencore utiliserlapositiviteetla dissipativitepour prouver

les stabilites entree-sortie et interne d'un couplage comprenant ce ltre?

(cf: chapitre 4 etx7.1.2).

 Dans quelle mesure un ltre diusif peut-il ^etre utilise comme un terme

d'amortissement qui stabiliseun systeme instable? (cf : chapitre 5).

PourbeaucoupdecesquestionsnousproposeronsdesconditionssuÆsantes

Guide de lecture

Mise en place des representations diusives a temps discret

(chapitre 1)

Un ltre numerique diusif est une superposition continue de dynamiques

classiques d'ordre 1 (i.e. de ltres d'ordre 1). Le poids de cette superposition

est appele symbole diusif (ou aussi representation diusive) note . Il s'agit

dans beaucoup d'exemples d'une fonction sommablea valeurs reelles, denie sur

[ 1;1],generalementsinguliereen =1 etplut^otreguliereailleurs.Cettemise

enparalleledeltresd'ordre1constitueunsystemededimensioninnieavecune

structure markovienne en temps. L'etat du systeme est constitue de l'ensemble

des etats de chacun de ces ltreselementaires. Cette realisation diusive prend

son sens dans un cadre fonctionnelhilbertien approprie.

Les dierences fractionnaires (i.e. la discretisation de l'integration

fraction-naire par la methode d'Euler retrograde) sont un exemple de ltre diusif.Plus

generalementilaetemontrequecertainesmethodesdediscretisationsconservent

le caractere diusif.

L'analyse de la fonction de transfert d'un ltre diusif montre qu'il n'est

pas exponentiellement stable en general. Cette analyse conduit a la propriete

suivante :

 La fonction de transfert peut toujours ^etre prolongee analytiquement dans

ledisqueuniteavecen generalunediscontinuitelelongdu segment[ 1;1].

Etreciproquement,toutefonctionde transfertquipeut^etre prolongee

ana-lytiquement a l'interieur du cercle unite avec une discontinuite le long du

segment [ 1;1] est aussi un ltre diusif (sous quelques precautions

tech-niques).

Proprietes asymptotiques des ltres diusifs (chapitre 2)

Lareponseimpulsionnelleetlafonctiondetransferts'exprimental'aidedece

symbole diusif via deux expressions integrales simples. Ces relations ainsi que

les exemples de ltres diusifs, permettent d'etablir une correspondance entre

la singularite du symbole diusif  en  = 1 et, d'une part, la singularite de

la fonction de transfert H au voisinage de z = 1 et, d'autre part, la d

ecrois-sance lente de la reponse impulsionnelle h n

caracteristique du phenomene de

memoire longue (cf : [DM99]). Cette derniere correspondance porte le nom de

Dissipativite et positivite des ltres diusifs (chapitre 3)

Pour les ltres rationnels, un ltre est dit positif si le diagramme de

Ny-quist (i.e. l'image du cercle unite par sa fonction de transfert) se trouve dans

le demi-plan complexe droit ou, de facon equivalente, si la somme des produits

entrees-sorties est positive (la condition initialeetant alors supposee nulle). Ces

deux proprietes sont appelees positivite. Sous certaines precautions techniques,

les fonctions de transfert des ltres diusifs sont dans l'espace de Hardy note

H 1

(E) pour lequel cette equivalence reste vraie. Elle permet de construire un

critere de positivite portant sur le symbole diusif. Ces notions sont precisees

dans[DM01b].Notons quepour certainsschemasde discretisation,un operateur

diusifpositifa temps continu se transformeen un ltre diusif a tempsdiscret

quireste positif.

Le lien direct, (i.e. le premier terme de la reponse impulsionnelle et aussi le

terme D d'une realisationd'etat (A;B;C;D)), joue un r^ole particulier a temps

discret pour la positivite : un ltre positif a toujours un lien direct strictement

positif.Contrairement aux representations diusives a temps continu,le lien

di-rectd'un ltrediusif numerique ne depend pas dusymbolediusif,etlesltres

d'ordre1(i.e.ceuxutilisespourdenirH )nesontpaspositifs.Aussilecritere de

positivitea temps discret H (z =1) 0 est dierent de celui a temps continu

(()0),il incluten particulier des ltres ou() 0 (cf : [DM99]).

Al'imagede [Mon98],ilaaussietemontrequelorsquelecriterede positivite

est respecte, la realisationdiusive de ce ltre est dissipative : une fonctionnelle

de Lyapunovest construite, etsonevolution est telleque savariationlelong des

trajectoires soitmajoree par le produit entree-sortie. Rappelons quela

dissipati-vited'une realisationrevelela positivitedu ltre (cf : [Wil72]).

Tous ces outils vont ^etre tres utiles pour l'etude des stabilites de systemes

plus complexes.

Stabilite H 1

d'un systeme couple, forme d'un ltre

ration-nel positif et d'un ltre diusif positif (chapitres 4 et 5)

Lesproprietesetabliesprecedemmentpermettentmaintenantd'etudierla

sta-biliteducouplaged'unltrerationnelstableetpositifR,coupleavecunltre

dif-fusifpositifH.Cessystemesincluentune discretisationd'unoscillateurperturbe

par un operateur diusif, etudie en temps continu dans [Mat98b] et [MAM00 ]

notamment.

Leconceptdepositiviteavaitpermisdeproposerdesconjecturesetdeprouver

des resultats de stabilite sur le probleme de Lur'e a la n des annees 60 (cf :

[ZF68]).Ceconceptpermeticide prouverquelafonctiondetransfertdusysteme

boucle, H S

est dans H 1

, et par suite de prouver la stabiliteenergetique (i.e. si

repose sur le calcul d'un residu logarithmique. Cependant ce theoreme suppose

en general que les fonctions de transfert sont meromorphes sur un voisinage du

cercle unite (cf : [CZ95, p. 569]). Cette hypothese n'est pas veriee pour les

ltresdiusifs,maisuneanalyse plusnedu denominateurauvoisinagedez =1

permet d'appliquer ce theoreme, etainsi de prouver que lafonction de transfert

du systeme boucleH S

(z) est dans H 1

(E) (i.e. H S

(z) est holomorphe et bornee

hors du disque unite).

Stabilite EBSB du systeme couple (chapitre 6)

La stabilite EBSB (i.e. entree-bornee, sortie-bornee) de H S

s'appuie sur le

resultat precedent (H S 2 H 1 (E)) et s'obtient en analysant H S dans le disque

uniteet en particulier lesasymptotiques de H S

au voisinage des singularites.

H S

a unesingularitelelongdu segment [ 1;1],tout commeun ltrediusif.

Des arguments semblables a ceux utilises dans [BP00b] montrent que H S

n'a

qu'un nombre ni de p^oles stables et pas de p^oles instables. Le systeme etudie

est en fait la somme d'un ltre rationnel N etd'un autre ltre diusif. C'est le

resultatdedecompositionproposepar[Mat98b]entempscontinu.Lestechniques

de simulation (cf : annexe C) permettent de visualiser le symbole diusif  S

de

ce nouveau ltre diusifet de localiserles p^oles du nouveau ltre rationnel N.

Une correspondance est etablie entre la singularite de  (non-couple) et la

lente decroissance de reponse impulsionnelle du systeme boucle H S

au moyen

des resultats etablis au chapitre 2. On obtient ainsi dierents comportements

asymptotiques, suivant que R s'annule ou non en z = 1. Ces asymptotiques

prouventquedans denombreux cas,lesystemeest stableEBSB. Ceciest expose

dans [DHM00] pour l'exemplede l'oscillateurperturbe par un ltrediusif.

Stabilite asymptotique du systeme couple (chapitre 7 et 8)

La dissipativite a permis dans [MAM97] de prouver notamment la stabilite

interne de systemes plus complexes au moyen d'une fonction de Lyapunov qui

revelela dissipativite.

Le lemme de Kalman-Popov-Yacubovich (rappele et demontre dans [Cai88,

p.244-261])reveleladissipativitedetouterealisationminimaledeR.Onformela

realisationdusystemecoupleapartirdelarealisationdultrediusifH etd'une

realisation minimale de R. La dissipativite de chacune des realisations permet

de construire une fonction de Lyapunov globale qui revele la stabilite interne

du systeme (i.e. lorsque le systeme est soumis a une entree nulle et avec des

conditions initialesnon nulles, l'etat du systeme reste contenu dans un ensemble

borne de l'espace d'etat de Hilbert), ceci est expose dans le cas d'un oscillateur

couple avec un ltre diusifdans [DHM00].

for-[Mon00a]leprouvesur unexemple.Pour letempsdiscret,nousadaptonscertains

elementsdecettepreuve,etfaisonsusagedusystemeadjointpourconclure.Cette

demonstrationest exposee dans [DM01b]pourl'oscillateurperturbe parun ltre

diusif.Elle sefait en trois etapes:

 Une hypothese de coercivite prouve que l'entree du ltre diusif tend vers

zero.

 LastabiliteinternesuÆtalorsaprouverquel'etatdultrediusifconverge

faiblementvers zero.

 L'adjoint (au sens de l'espace de Hilbert) du systeme boucle s'interprete

aussi comme un couplage entre le ltre diusif H et un autre ARMA. Il

s'ensuitquelafonctiondeLyapunov,formequadratiqueenl'etatal'instant

n, setransformesous l'action de l'adjoint,en une formebilineaireen l'etat



al'instant initialet al'instant 2n :ellepeut alors s'interpreter commeune

reponse impulsionnelle diusive; la convergence faible de l'etat implique

dans ce cas la convergence fortevers zero.

Cetteinterpretationdiusive de la fonction de Lyapunov permetaussi d'evaluer

sa vitesse de decroissance en fonction de la singularite du symbole diusif et de

la singularite de la condition initiale de H (i.e. c'est une fonction qui peut ^etre

singuliere en  = 1). Ces asymptotiques justient a posteriori le choix de la

norme (et donc de l'espace de Hilbert) pour laquelle la convergence forte a ete

montree (i.e. il semble que des conditions initiales hors de cet espace de Hilbert

puissent ne plus entra^ner lastabilite interne).

En resume, les realisations diusives a temps discret ont ete mises en place,

quelques proprietes onteteetudiees, des outilsde simulationontetedeveloppes.

Lesapplicationsconcernent dessystemescouplesassociantun ltrerationnel

po-sitifetunltrediusif.Lesresultatsobtenussont:lecouplageestenergetiquement

stable gr^ace au theoreme de Nyquist; le couplage est EBSB-stable gr^ace a un

resultat de decomposition du systeme couple en un autre ltre rationnel stable

et un autre ltre diusif stable; le couplage des deux realisations est stable de

maniere interne parce que la dissipativite de chacun des elements permet de

construireunefonctiondeLyapunovglobale;cecouplageestenfaitaussi

asymp-totiquement stable.

Notations

Sigles

ARMA ltre dont la fonction de transfert se met sous la forme

d'une fraction rationnelle.

EBSB entree bornee, sortie bornee.

TFTD transformee en Z : P 1 h n z n

Filtres et Fonctions de transfert H FI , H BI , H LN etH UN

Filtresdiusifs denis auchapitre 1.

h n , h FI n , h BI n , h LN n et h UN n

reponses impulsionnellesdes ltres diusifs

H ,H FI ,H BI ,H LN etH UN ,ladenitionest dans x1.1. H 

Filtrediusif de symbolediusif .

H ! 0 et H z 0

Exemples de ltres dans 

1

denis dans

l'exemple 5 page 63 et dans l'exemple 6

page 65).

H S

Systeme boucle presente page 61.

H (+i0), H ( i0) lim

!0 +H (+i) et lim !0 +H ( i) (voir x1.3.1). ^

H ltre rationnelapprochant H (page 150).

H 0 H est un ltre positifausens deni page 48.

H 1

inverse du ltre H (voir lelemme 5).

N ltre rationnel(voir x6.2).

F, R, G, Q ltres rationnels presentes page 61.

Realisation d'un ltres

' n

, ' 0



etat et condition initiale de la realisation diusive

(p. 28). v n ;y n ;x n ;w n

entrees-sorties de la realisationcouplees (voirx7.1).

H v ;H y ;H x ;H X ;H ' n ' 0 transformees en Z de v n ;y n ;x n ;X n ; R I ' n ' 0 d (voirx8.1.2). H Z ,N Z

Fonction de transfert egale a l'une des transformees en

Z et partieentiere de H Z . H ' 0 ;R X 0

transformees en Z des sorties libres des realisations de

H et de R lorsque lesconditions initiales sont ' 0 et X 0 (voirx8.1). T S

, T operateurs de transition

S n+1 =T S  S n etoperateur de transitionpartiel  n+1 =T n (voir x7.1.1). V(' n

) fonctionnelledeLyapunov associee aunerealisation

dif-fusive(voirx3.2.1).

E( S

) fonctionnelle de Lyapunov associee aH

S

Symboles diusifs

 symbolediusifd'unltrenumeriquediusif(voirx1.2).

 FI ,  BI ,  LN et  UN symboles diusifsdeH FI ,H BI ,H LN etH UN (voir1.2.1 et1.3.1).  v ; y ; x ; ' n ' 0

symboles diusifs associes transformees en Z de

v n ;y n ;x n ; R I ' n ' 0 d (voir x8.1). ^

 interpolation lineaire de  sur un reseau de points

uni-forme(p. C.3).

() symbole diusifd'un operateurdiusif a temps continu

(voir x1.2.1).

 

symbole diusif de l'integrationfractionnaire pour  2

]0;1[(voir x1.2.1).

V 

valeur de continuited'un ltre diusif (p. 35).

Processus aleatoires

" n

un bruit blancde varianceegale a1.

Y n

processus aleatoirea memoirelongue.

S YY

(!) densite spectrale.

R YY

(n) fonction d'autocorrelation.

voirx2.3.

Variables muettes

n;k indices pour le temps.

;r variable d'integration.

%; j

points regulierset pointssinguliers de .

,! et! 0

pulsationreduite.

r p

reseau de points egalement repartis sur [ 1;1]

(voirxC.3).

Fonctions et distributions

C 1

unefonctionestC 1

,sielleest derivable etsaderivee est

continue.

, o etO operateurs permettant la comparaison des

comporte-ments asymptotiques de deux fonctions au voisinage

d'un point.

 p

(r) fonctiontriangle (voir xC.2).

P 1

, P 2

polyn^omes

deg(P1) degred'un polyn^ome

f, f +

etf f est une fonction sommable et f =f +

f .

suppf support de lafonction f.

1 

fonctioncaracteristique associee a l'ensemble.

k N

(!) noyau de Fejer(page 142).

g N

() suite de fonctions (page 142).

Æ 0

derivee de ladistribution de dirac.

vp et pf valeur principaleet partie nie en tantque distribution

causalesur R +

.

 

notationcompacte pour 

 (1 )  (page 106). Vecteurs et matrices I matrice unite. a i;j

coeÆcients d'une matriceA.

O(C;A) etC(A;B) matrices d'observabilite et de

commandabi-litedu systeme lineaire denipar A;B;C;D

(voir7.1.1). A R ;B R ;C R ;D R 

elementsdenissantslarealisationchoisiede

R (voir7.1.1). A RQ 1 ;B RQ 1 ;C RQ 1 ;D RQ 1 

elementsdenissantslarealisationchoisiede

RQ 1

(voir 7.1.1).

T matricepermettant de montrer queT etT

Plan Complexe

N entiers positifs.

i complexe,i

2

= 1.

R;C corps des reels et corps des complexes.

R 

;C 

reels et complexesnon nuls.

s variable de Laplace.

z variabledesfonctionsdetransfertdesltresnumeriques.

 variabledansuneintegralesuruncontourd'integration.

Re(z) etIm(z) partie reelle etpartie imaginairede z.

, 

contoursd'integrationpourlatransformee enZ inverse.

K un pavede C .

D, 

D et @D interieur du disque unite, disque unite ferme et cercle

unite.

E, 

E et @E exterieur du disque unite, exterieur du disque unite

fermeet cercle unite.

Ensembles

l p

ensemble des suites x n veriant P jx n j p <1. I supportde , I[ 1;1] (voir x1.2.2). S=f j

g ensemble ni de points contenus dans I. ou n'est pas

suÆsemment reguliere.

V,V j

voisinageen general et en  j

.

P ensemble d'entiers f1:::Pg ouf P ::: 1 1:::Pg.

M ensemble utilise dans lechapitre 7.

A() algebrede convolution (voirxB.3).

^ A()

^

A () espace de fonctions (voir xB.3).

W +

ltres EBSB stables (voirchapitre 6)

H espace de Hilbert associe aux realisations diusives

(voir x1.2.2).

H S

espace de Hilbert associe a H S 

(voir x7.1.2), le S etant

mispour systeme.

H 

espace de Hilbert associe aux etats ' et X de H S  (voir x7.2.2). <;> H , <;> H S et<;> H 

produits scalairesassociesaux espaces H, H S H  . H 1 ;H 2 ;H 1

espaces de Hardy (page 137).

kk H 1 ;kk H 2 ;kk H 1

normes des espaces de Hardy (page 137).

kk R N etkk R N R N

Liste des exemples

Lesdierentsresultatspresentesdanscedocumentsontappliquesadierents

systemes regroupesen sept exemples.

L'exemple 1 concerne leltre H FI

etse trouvepages 24, 28, 37,34, 53.

L'exemple 2 concerne leltre H BI

etse trouve pages 24,37,33, 41.

L'exemple 3 concerne leltre H LN

et setrouve pages 24,28, 37,34,43, 53.

L'exemple 4 concerne leltre H UN

etse trouvepages 25, 27,37,34,52.

L'exemple 5concernelecouplage H p

etsetrouvepages63,74,78,81,86,99.

L'exemple 6 concerne lecouplage H z

0

etse trouvepages 65,70, 74.

L'exemple6bisconcernelecouplage[(1 z 0 z 1 )+p(1 z 1 ) 1 2 ] 1 etsetrouve page 71.

L'exemple 7 bisconcerne le systeme deni par

' n+1 ()=' n () R 1 0  FI (r)' n (r)dr et se trouve page 112.

Remarques sur la forme du document

Ledocumentde these estorganiseen deux partiessuiviesd'unebibliographie

et des annexes, il y a en tout neuf chapitres numerotes independamment des

parties.A l'interieurde chaque chapitrese trouvent dierentes sectionsavec une

numerotation a l'interieur du chapitre, ainsi x2.1 signie la premiere section du

deuxieme chapitre.Lesdenitions, leslemmes, lespropositions,lestheoremes et

les remarques sont numerotees independamment des chapitres etannexes.

Pour alleger le propos, certaines conventions de langages ont ete adoptees.

Un ltredesigne larelationentree-sortied'un systeme lineaire temps invarianta

temps discret. Un operateur designe soit une application lineaire soit larelation

entree-sortied'unsysteme lineaire tempsinvariantatempscontinu.Lesltreset

lesoperateurs sontapriorisupposescausaux.Unltreetsafonctionde transfert

sontnotespar lem^eme symbole, par exempleH . Enrevanche larealisationd'un

ltre est notee dieremment par exemple H 

, parce qu'un m^eme ltre possede

plusieursrealisationsequivalentesdu pointde vueentree-sortie.Ennlestyle

im-personnelest adoptelorsquecequiestexposeestunefaconclassiquedeproceder.

Lorsque nous souhaitons attirerl'attention du lecteur sur une facon originalede

proceder avec des choix a discuter, nous emploierons la premiere personne du

Propriete generale des ltres

Exemples et denitions des ltres

diusifs

L'objet de ce chapitre est de denir et d'etudier les proprietes des ltres

numeriques diusifsen s'inspirantdesrepresentationsdiusivesatempscontinu.

L'integration et la derivation fractionnaires sont des exemples maintenant

classiques d'operateurs diusifs. A temps discret, les dierences fractionnaires

(1 z

1 )

sontaussiunexempledeltrediusif.Lors dux1.1nouspresenterons

d'autres exemples de ltres non-standard, ils sont obtenus en discretisant

l'in-tegration frationnaire. Nous montrerons par la suite que ces ltres sont aussi

diusifs.

Unltrenumeriquediusifestdenicommeuneagregationcontinuede

dyna-miquesclassiquesd'ordre1(i.e.deltres d'ordre1).Lepoidsde cetteagregation

estnote etestappelesymbolediusif(ou aussirepresentation diusive,ou

en-coredensited'une integralede Cauchydans [Mus92]).Cette denitiondes ltres

diusifspermet,commeentempscontinu,dedonnerunerealisationdedimension

innie appelee realisation diusive. La reponse impulsionnelle et de la fonction

de transfert peuvent aussi s'exprimer au moyen de deux expressions integrales

simpleset sontlineaires en .Ces notionssont exposees dans le x1.2.

Lorsdux1.3nousdonnonsuneconditionsuÆsantepourqu'unltresoit

diu-sif,cetteconditionportesurleprolongementanalytiquedelafonctiondetransfert

surCn[ 1;1].Puis nousmontronsquecette conditionest enfaitnecessaire sous

reserve d'une regularitesuÆsante du symbolediusif.

1.1 Exemples de ltres diusifs

L'integration fractionnaire et la derivation fractionnaire sont des operateurs

surlesdistributionscausales,leurdenitionestenonceedans[SKM87].Leur

fonc-tiondetransfertests 

dansRe(s)>0:2]0;1[pourl'integrationfractionnaire

1 ()t 1  si>0etÆ 0 ? 1 (+1)t  = 1 () pf  1 t 1  

si<0.L'integration

fraction-naire est un ltreanalogiquepasse-bas, tandisque laderivation fractionnaireest

un ltre analogiquepasse-haut.

Nous avons envisage trois schemas de discretisation : Euler retrograde, la

methode des trapezes (appelee aussi transformee bilineaire en traitement du

signal) et l'invariance impulsionnelle. Les trois ltres obtenus sont causaux et

denis sur jzj>1. Ce sont des ltres numeriques passe-bas quand > 0 etdes

ltres numeriques passe-haut quand <0. Cesltres ne sontpas

exponentielle-ment stables(leur fonction de transfert est singuliere en z =1).

Exemple 1 Le schema d'Euler retrograde permet de retrouver le ltre

introduit par [Gra80] sous le nom de Fractional Integrator.

H FI = (1 z 1 )  (1.1)

Cettediscretisationpreservelecomportementbassefrequenceetdoncaussi

lalentedecroissancedelareponseimpulsionnelle.Lafonction quigeneralise

lafactoriellepermetd'ecrirelareponseimpulsionnellesouslaforme:h FI n

= (+n)

() (n+1)

(cf:[GJ80,p.18]). LaformuledeStirling (cf:[AS72]) fournitle

comportementasymptotique h FI n  1 () 1 n 1  .

Exemple 2 La discretisationbilineairedenit H BI

,elle preserve les

com-portements basse frequence de s 

et amene les comportement haute fr

e-quence de s 

au voisinage de la demie frequence d'echantillonnage(i.e. le

comportementen hautefrequencese liten z = 1).

H BI (z)=  2 1 z 1 1+z 1   (1.2)

Exemple 3 La reponse impulsionnelle de l'integration fractionnaire est

singuliere enzero.Pour 2]0;1[,l'invariantimpulsionnelpermetde denir

un autre ltre : H LN

dont le comportement a basse frequence est celui

de s 

tandis que le premier terme de la reponse impulsionnelle h LN 0 est arbitraire.Enfaith LN 0

aetechoisiegaleah 1

demaniereapreserveratemps

discret la positivite de s 

(voir la proposition 6 p. 52). La denomination

H LN

provient dece quelesymbolediusif(i.e. une fonctionquicaracterise

un ltrediusif)est un logarithme.

h LN n = 1 ( ) 1 n 1  et h LN 0 = 1 ( ) (1.3)

Les reponsesimpulsionnellesde ces trois ltres sont representees sur lagure

1.1 pour  =0:4. Les trois suites de points decroissent lentement, en 0:45n 0:6

avaient introduits H FI

et H LN

an de decrire des series temporelles a memoire

longue (i.e. la connaissance d'un grand nombre de donnees passees d'une serie

chronologique aide ala prediction des donnees futures).

0

1

2

3

4

5

6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 1.1 {ReponsesimpulsionnellesdeH FI

(+),H BI

()etdeH LN

(o)pour=0:4.Leur

decroissancelente en0:45n 0:6

esttypiquedelamemoirelongue.

Exemple 4 Les asymptotiques des trois ltres H

FI , H BI etde H LN sont proportionnellesan (1 )

lorsque 2] 1;1[nf0g.Nousintroduisonsdonc

un nouveau ltre : 8n 1 h UN n = 1 n ; h UN 0 =1 et H UN (z)=1+ln(1 z 1 ) (1.4) Ledeveloppement analytiquede ln(1 z 1

) auvoisinage de l'inni prouve

que les deux caracterisations de H UN

sont coherentes. La denomination

H UN

rappelle que la decroissance de sa reponse impulsionnelle est en 1 n .

Nousmontreronsquece ltreest aussidiusifetnousl'utiliseronsult

erieu-rement dans ce chapitre.

Remarque 1 Lesfonctionslogarithmes(etdonclesfonctionspuissances,e ln(s)

)

utilisees pour denirces ltres sont multivalentessur C 

. Lesfonctions de

trans-fert de ltres causaux sont denis a l'exterieur d'un disque centre en z = 0 (i.e.

domainedeconvergence delaTZ). Il existeundomaine etune expression

mono-valente de la fonction logarithme compatible avec ces domaines : fsjRe(s)>0g

et ln(s)=lnjsj+iarg(s).

Nous avons donnes quatre exemplesde ltres non rationnels, les x1.2 et x1.3

sur la denition et les proprietes des ltres diusifs nous permettront aussi de

1.2 Denition des ltres diusifs

A temps continu, un operateur diusif est une agregation continue de

dyna-miques classiques d'ordre 1 (cf : [Mon98]). De m^eme a temps discret un ltre

numerique diusifH est aussi une agregationcontinue de dynamiquesd'ordre1.

Le poids de cette agregation est appele symbole diusif (ou aussi representation

diusive) etest note.Nouschoisissonsqueles dynamiquesagregees soientdes

ltresd'ordre1retardesetque leliendirecth 0

d'unltre diusifnedependepas

de .

Nousmontreronsqu'avecceschoixilexistedierentsschemasdediscretisations

quitransformentunoperateurdiusifenun ltrediusif,enparticulierlesltres

cites en x1.1 sont diusifs. Dans ces exemples, est une une fonction sommable



a valeursreelles, denie sur [ 1;1],generalementsinguliere en =1 etplut^ot

reguliere ailleurs.

Cette notion d'agregation avec un poids  conduit a une expression de la

reponse impulsionnelleet de la fonction de transfert lineaireen (cf : x1.2.1)et



a une realisationen dimension innie avec une structure diagonale(cf : x1.2.2).

1.2.1 Caracteristique entree-sortie des ltres diusifs

Pourunoperateurdiusifatempscontinude symbolediusif(),lareponse

impulsionnelle s'ecrit h(t) = R 1 0 ()e t

d et la fonction de transfert s'ecrit

H(s)= R 1 0 () s+

d. Nous proposons alors deux denitions equivalentes des ltres

diusifs. Par la suite nous noterons parfois aussi H 

le ltre diusif deni par

(1.6).

Denition 1 Un ltre H causal et a coeÆcients reels est dit diusif s'il existe

une fonction sommableavaleursreellestellequel'une desdeuxconditionssoit

veriee. 8n 1 h n = Z 1 1 () n 1 d et h 0 (1.5) H (z) = h 0 + z 1 Z 1 1 () 1 z 1 d o u jzj>1 (1.6)

Preuve (1.6) estlatransformee en Z de (1.5).

(1.5))(1.6) X n0 z n Z 1 1 () n 1

d est uneserieconvergentepourjzj>1 quidevient

(1.6) apres inversion du signesomme et integrale, ce que permet  2 L 1

( 1;1) et le

theoreme de convergencedominee de Lebesgue.

(1.6))(1.5) Onchoisit un contour qui encercle ledisqueunite. Pour n1 1

R

H (z)z n 1

 2 L 1

( 1;1) et le theoreme de convergence dominee de Lebesgue. Pour n = 0, on

remarquequeh 0 =lim z=0 H (z).  Exemple 4 (suite) H UN

est un ltre diusif de symbole diusif  UN

=

1 [0;1]

(), parce que (1.5) est veriee pour n 1: R 1 0  n 1 d= 1 n =h UN n .

Remarque 2 Ladenition1pourrait^etregeneraliseeaucaso uestunemesure

signee non-diuse (i.e.somme d'une partie discrete et d'une partie continue par

rapport a la mesure de Lebesgue.

A partir de ces deux denitions nous pouvons denir des ltres diusifs en

discretisant (cf [Hel00, annexe D]) par Euler retrograde ou par invariant

im-pulsionnel les operateurs diusifs dont le symbole diusif verie une condition

d'integrabilite, celle-ci exclut par exemple la derivation fractionnaire. A l'image

del'extensionpardierentiationdesoperateursdiusifs(cf:[Mon98]),nous

mon-trons aussi quel'operateurdes dierences appliqueaux ltres obtenus par Euler

retrograde denis de nouveaux ltres (1 z 1

)H (z) qui sont aussi des ltres

diusifs.

Proposition 1 Soit  lesymbolediusifd'unoperateurdiusifa temps continu

tel que R 1 0 j()j 1+

d <+1 (i.e. condition imposee dans [Mon98]), alors

a: la discretisation par Euler retrograde est un ltre diusif H a de symbole diusif a ()=( 1   ) et de lien direct h 0 = R 0 () 1+ d;

b: l'extension par l'operateur des dierences 1 H b (z) = (1 z 1 )H a (z) est

un ltre diusif de symbole diusif  b () = 1   ( 1   ) et de lien direct h 0 = R 0 () 1+ d

c: la discretisation par invariant impulsionnelest aussi un ltre diusif avec

 c ()=  ln  1  

.Siestsommablealorsleliendirectesth 0

= R

0

()d,

sinon le lien direct doit ^etre choisi arbitrairement, la proposition 6 du

cha-pitre 3 indique comment h 0

peut ^etre choisi de maniere a respecter la

posi-tivite du ltre.

Preuve Lesenoncesa:etb:s'obtiennententravaillantsurlafonctiondetransfert,

tandisquec:s'obtient avec lareponseimpulsionnelle.

a:La fonctionde transfertd'unoperateurdiusifest: Z +1 0 () s+ d.

IlsuÆtderemplacerspar1 z 1

,defairelechangementdevariable= 1 1+ et d'uti-liser () 1+ 2L 1

(0;1). pourmontrer que ladenition1 estveriee (i.e. a 2L 1 ( ;) etH a (z)=h 0 +z 1 R 1 1  a () 1 z 1 d ).

b: En remplacant s par 1 z 1 , H b (z) = Z +1 0 (1 z 1 )() 1+ z 1 d = Z +1 0 () 1+ d 1

Z +1 0 () (1+) 2 z 1 d 1 z 1 1+

.IlsuÆtdefairelechangementde variable= 1 1+ etd'utiliser () 1+ 2L 1 (0;1) pourtrouver b

() et dem^emeverierladenition 1.AinsiH b

est un

ltrediusif.

c:La reponse impulsionnelled'un operateurdiusifest :h(t)= Z +1 0 ()e t d.

IlsuÆtde fairelechangement de variable = ln() etd'observerque () 1+ 2L 1 (0;1)) ()e  2L 1 (0;1) ) c 2L 1 (0;1). Pour la determinationde h 0 , on observe que  2 L 1 (0;1) ,[lim t!0

h(t) existe]. Ainsi la denition 1 est veriee :

 c 2L 1 (0;1)etpourn1,h n = R 1 0 () n 1 d;aussiH c

estaussiunltrediusif.

Exemples 1 et 3 Le symbole diusif de l'integration fractionnaire est

  () = sin()   

. L'application de la proposition 1 prouve que H FI

est

un ltre diusifpour  2] 1;1[nf0getqueH LN

est un ltre diusifpour

2]0;1[,precisement:  FI () = sin( )    (1 )  1 ]0;1[ () (1.7)  LN () = sin( )   ln  1     1 ]0;1[ () (1.8)

Remarque 3 De nouveaux ltres diusifs peuvent ^etre construits en changeant

z en z, ce qui amene a echanger les comportements haute et basse frequences :

le ltre diusif associe a ( ) est H ( z) et la reponse impulsionnelle est

( 1) n

h n

pourn1.Cescalculssefontapartirdesequations(1.5)et(1.6).Ainsi

H FI

( z)=(1+z) 

est encore unltrediusif,etil nousserviraulterieurement

en x1.3.2.

1.2.2 Realisations diusives

La mise en parallele de ltres d'ordre 1 constitue un systeme de dimension

innieavec une structuremarkovienneen temps.L'etat dusysteme est constitue

de l'ensemble des etats de chacun de ces ltres d'ordre 1. Cette realisation

dif-fusive prend son sens dans un cadre fonctionnel hilbertien comme le precise la

proposition suivante. La realisation diusive ne sont pas hereditaires au sens ou

les entrees passees peuvent^etre resumees par un etat de dimension innie.

Proposition 2 Soit H un ltre de lien direct h

0 et de symbole diusif  de support I [ 1;1]. a. H = f'j R j()j' 2

b. Une realisation en dimension inniede H est :  ' n+1 () = ' n () + u n o u 2I;' 0 2 H etn 0 y n = R I ()' n ()d+h 0 u n (1.9) u n et y n

sont respectivementles entrees et sortiesreelles, tandis que' n

est

une fonction, en l'occurrence l'etat de dimension innie, et ' n

2 H . La

condition initiale ' 0

doit aussi verier : supp' 0

 supp.

c. Ce systeme peut s'ecrire sous la forme [A;B;C;D] o u A, B, C et D sont

des operateurs lineaires continus respectivement de H dans H , de R dans

H , de H dans R et de R dans R.

d. Cette realisation est asymptotiquement stable pour la topologie associee a

H au sens o u l'etat ' n

tend vers zero lorsqu'il evolue librement a partir

d'une condition initiale ' 0 2 H : u n = 0 et ' 0 2 H ) k' n k H ! 0 quand n!1. Preuve

a.H est unespace pondereparfois aussinote L 2 jj

(I).

b.(1.9) estunerealisationquidecoulede ladenition 1.En eet lasortie y n

du ltre

H depend lineairement de l'entree : y n = P n 1 k=0 h n k u k + h 0 u n . L'equation (1.5)

fait appara^tre dans cette expression une integrale a droite du signe somme. Apres



echange, l'expressiondevient :y n = R I () P n 1 k=0  n k u k d + h 0 u n .IlsuÆtdeposer ' n () = P n 1 k=0  n k u k et ' 0

() = 0 pourmontrer que(1.9) estunerealisation de H.

c. La continuite de C provient de l'hypothese  2 L 1

( 1;1) et de l'application de

l'inegalite de Cauchy-Schwartz : R j'j= R p jj p jjj'j q R jj q R jj' 2 .

Dansla realisation,l'operateurA estcontinusur H :kA'k H

k'k

H .

Pour les realisations diusives a temps continu, il appara^t un operateur semblable a

A:'() 7! '() quin'estpas continupourlatopologie hilbertiennechoisie.Cette

non-continuite oblige a introduireletriplet V,H et V 0

(voir par exemple[Mon98 ] ou

[Hel00 ,p.55]pourplusde details), ce qui estinutileatemps discret.

d.k' n k 2 = R 1 1 ()( n 1 ' 0 ) 2

d!0 gr^aceau theoreme de convergencedominee. 

Remarque 4 On pourrait denirlesltresdiusifsavecune mesure signee(cf:

[Rud75, chapitre 6])qui se decomposerait en une partiediscrete d

et une partie

continue  c

par rapport a la mesure de Lebesgue. La condition  2 L 1

( 1;1)

deviendrait la variation totale de ([ 1;1]) est bornee. La denition 1 resterait

valable et permettrait de considerer les ltres rationnels dont les p^oles sont sur

[ 1;1] comme des ltres diusifs. Les propositions 1 et 2 restent vraies, a ceci

pres que l'assertion d de la proposition 2 impose de ne pas considerer les ltres

ayant un p^oleen z=1 :  d

(f 1;1g)=0.

Remarque 5 Quand H est etudie du point de vue entree-sortie, la condition

initiale' 0

estsupposeenulle.Mais notammentpourl'etudede lastabiliteinterne

 Si ' 0

provient d'uneentreeu n

composeed'unnombre nidetermes, alors

' n

() est un polyn^ome en .

 Une entree u n

composee d'un nombre inni de termes peut aussi denir

une conditioninitiale' 0



aconditionquelaserie P n0  n u n convergedans H. Par exemple u n = 1 n 1 n<0 genere ' 0 () = 1  ln  1 1   2 H . En eet ln  1 1   = P n1  n n

est vrai sur 2] 1;1[comme restrictionde ln 1 1 z

pour jzj<1.

 Plus generalement,' 0

2H sans ^etreissu d'une suiteu n

peut aussi denir

uneconditioninitiale.Lorsduchapitre8nousetudionssurcertainsexemples

comment un systeme forme du couplage d'un ltre rationnel et d'un ltre

diusif est aecte par certaines conditionsinitiales.

Lesltresdiusifssontdeniscommeuneagregationcontinue dedynamiques

d'ordre 1 avec un poids . Il s'ensuit que la reponse impulsionnelle et la

fonc-tion de transfert sont des applications lineaires de  et que ces ltres peuvent

^

etre realises par un systeme de dimension innie. Ce travail permet de montrer

qu'un ltre est diusif lorsqu'on conna^t deja le symbole diusif. Nous allons

maintenant proposer un theoreme qui montre qu'un ltre est diusif apartir de

la connaissanceanalytique de safonction de transfert.

1.3 Proprietes des ltres diusifs

Nous donnons une condition suÆsante pour qu'un ltre H soit diusif lors

du x1.3.1, cette condition porte sur le prolongement analytique de la fonction

de transfert sur Cn[ 1;1]. Puis lors du x1.3.2 nous montrons que la fonction

de transfert d'un ltre diusif peut se prolonger analytiquement sur Cn[ 1;1]

et que ce prolongement verie une grande partie de la condition suÆsante. Ces

conditions sontenoncees sous la formede deux theoremes.

1.3.1 Conditions suÆsantes pour qu'un ltre soit diusif

Pourmontrerqu'un operateurpseudo-dierentielatempscontinuest diusif,

une methode classique [Mat98b,p.151-152]consistea prolongeranalytiquement

la fonction de transfert a gauche de l'axe imaginaire. Si l'operateur est diusif,

ce prolongementpeut sefaire sur CnR etlesymbolediusifest en general

pro-portionnel a la partieimaginaire de l'eventuelle discontinuitesur R . Montrons

que lam^eme methode peut s'appliquer atemps discret.

Les fonctions de transfert H FI

, H UN

et H BI

peuvent ^etre prolonges

analyti-quementsur Cn[ 1;1]ousur Cn[0;1] parcequelafonctionlogarithmeetdoncla

(i.e. H (z) = H (z)). La partie imaginaire de la fonction de transfert H FI

est

representee sur la gure 1.2.

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Z=1

Z=0

RE (z)

PARTIE IMAGINAIRE DE (1−z

−1

)

−0.4

IM (z)

Fig. 1.2 { Representation de la partie imaginaire de la fonction de transfert H FI

dans le

disqueunite(enfait seul ledemi-cercle superieurest represente).L'axedesymetriegureen

semi-pointille.

D'unemaniere generale pour reconna^tre qu'un ltre est diusif, onprolonge

analytiquementla fonctionde transfertaCn[ 1;1].Celapermetde choisir pour

laTZ inverseun contour quin'entoure queladiscontinuitede H .Enseplacanta

lalimitelecontours'aplatitsurlacoupureetlaTZinverseestalorsuneexpression

integrale de la reponse impulsionnelle conforme a la denition 1. Le symbole

diusif  peut ainsi ^etre identie et il appara^t alors qu'il s'exprime en fonction

de la discontinuite de la fonction de transfert. Ce procede est illustre sur la

gure1.3 etest exposedans[Mat98b].Letheoremequisuitgeneraliseceprocede

et donne une condition suÆsante pour qu'un ltre soit diusif. Des conditions

techniques sont necessaires pour assurer la convergence de l'integrale lorsque le

contour s'aplatit sur la coupure. Comme dans [Boc97] les limites superieurs et

inferieursde H (z)sur lacoupure sont notees H (i0) = lim !0

+H (i).

Theoreme 1 Soit r g

;r d

2 [ 1;1] et H un ltre dont la fonction de transfert H

est prolongeable sur Cn[r g

;r d

] en une fonction holomorphe. Soit S un ensemble

ni de points contenu dans [ 1;1] et incluant r g et r d . Si (H1) : pour tout  j 2S,(z  j )H (z)!0 quand z ! j avec z 62[r g ;r d ]; (H2) : pour tout % 2 [r g ;r d

0

₁

ι

−1

cercle

coupure

Γ

Re (z)

Im (z)

unité

Γ

₁

2

12

Γ

Γ

Γε

12

+

-Fig. 1.3 { TZinverseappliqueeauprolongementde Hal'interieurducercleuniteavecun

contourd'integration 

.La formedu contouraetechoisiepour fairelapreuvedutheoreme

1:icipourS=f 1;1g,  = 2 S + 12 S 1 S 12 . on denit alors : (%)= 1 2i [H (% i0) H (%+i0)] (1.10)

(H3) :  denit par (1.10) est prolongee sur [ 1;1] et verie 2L 1

( 1;1)

alors H est un ltre diusifau sens de ladenition 1dont le symbolediusif

 est donne par (1.10),

Preuve Lademonstrationestfaitepourr g

= 1et r

d

=1.LeselementsdeSsont

notesf j

g(i.e.ce nesontpasdesp^oles).Lareponseimpulsionnelleh n

deHs'exprime

aumoyendelaTZinversedeHavec uncontourd'integrationparticulier  represente sur la gure 1.3 :  entoure [ 1;1], 

est la reunion d'arcs de cercles autour des

singularites j

notes j

etde segments horizontaux joignant ces arcs de cercles notes +

j;j+1 et

j;j+1 .

Soit >0.La demonstration consisteamontrer qu'ilexisteuncontour  tel que     1 2i Z  H (z)z n 1 dz 1 2i Z 1 1 [H ( i0) H (+i0)]  n 1 d     <  (1.11)

(1.11) permet de conclureparce qu'alors h n

= R

1 1

()davec  denie par(1.10), et

que doncHrespectela denition1 d'unltrediusif.

maximalÆ 

pourlesarcsdecercle j

,puis(H2)montrequ'ilexistedessegments + j;j+1

et j;j+1

.

1. Un calcul simpleprouve que    1 2i R j H (z)z n 1 dz    sup z2 j   H (z)z n 1 (z  j )   et(H1) montre l'existence deÆ 0  tel que 8Æ<Æ 0  ; jz  j j<Æ )    1 2i R j H (z)z n 1 dz    <  4 . (H3) prouve l'existencede Æ  <Æ 0  telque    R V () n 1 d    <  4 ouV  =[ 1;1] S fj8j;j  j j<Æ  g. 2. Soient K + j;j+1

despaves dontle bordinferieur@K j;j+1

sont sur[ 1;1]nS,et qui

sont secants avec les cercles de centre  j et de rayon Æ  (i.e. 8j V  T @K j;j+1 6= ). La fonction z 7! H (z)z n 1 se prolonge sur K + j;j+1

en une fonction continue

gr^ace a (H2) et en fait une fonction uniformement continue parce que K + j;j+1 est un compact. En particulier la continuite uniforme implique la convergence

uniformedelasuitedefonctionsH (+ie)(+ie) n 1 devariables 2@K j;j+1 vers H (+i0) n 1 quande!0 + .Ainsi R @K j;j+1 H (+ie)(+ie) n 1 dconvergevers R @Kj;j+1 H (+i0) n 1 dquande!0 +

.Le raisonnementsymetriquesurK j;j+1 prouve R @K j;j+1 H ( ie)( ie) n 1 dconverge vers R @K j;j+1 H ( i0) n 1 d quande!0 +

.Ilexistedoncdessegments + j;j+1 et j;j+1 telsque    R + j;j+1 S j;j+1 H (z)z n 1 dz R @K j;j+1 [ H ( i0) H (+i0)] n 1 d    <  2

(ilfautaussi tenircompte du sens des contoursd'integrations + j;j+1 et j;j+1 ). Lessegments + j;j+1 et j;j+1

sont telsqu'ils peuvent^etre joints pardes arcs de

cercles decentre  j

et derayon inferieura Æ 

enrespectant (1.11).

Ce problemeest aborde dans[Cha85 ,ex.10, p.187]. 

Remarque 6 Comptetenu decequeH esta coeÆcientsreels,(1.10)peut aussi

s'exprimer () = 1 

ImH (+i0). La gure 1.2 permet alors de lire le symbole

diusif.

Exemple 2 (suite) Ce theoreme permet de prouver que H

BI

est un

ltre diusif.En eet, lafonction puissance utilisee pour denir H BI

peut

^etre prolonge analytiquement sur CnR , ce prolongement etend H BI

sur

Cn[ 1;1]. Pour tout r 2] 1;1[, H BI

(z) converge quand z ! r lorsque

Im(z) > 0 et H BI (z); (z  1)H BI (z) ! 0 quand z ! 1 avec z 2 Cn[ 1;1]; enn  7! 1 2i  H BI ( i0) H BI (+i0)  2 L 1 ( 1;1).  BI () = sin( )  (1 )  (1+)  1 ] 1;1[ () (1.12)

Un raisonnement identique permet a [BK00] d'exprimer H (z) = (e

i z 1 )  (e i z 1 ) 

sous laforme de (1.6) pour  2R +

nN.

Remarque 7 La fonction de transfert d'unltre diusif peut^etre prolongee sur

Cn[ 1;1] en lafonction denie par (1.6) : H (z) = h 0 + R 1 () d. En eet le

theoreme de convergence dominee montre que cette expression est derivable sur

Cn[ 1;1].

1.3.2 Caracteristique de la fonction de transfert diusive

au voisinage de la coupure

Il est maintenant naturel d'esperer que les ltres diusifs verient des

pro-prietessemblablesauxhypothesesdutheoreme1.LafonctiondetransfertHd'un

ltre diusif seprolongesur Cn[ 1;1].Nous allonsmontrer que ladiscontinuite

de ce prolongement analytique est imaginaire pure et est proportionnelle a .

Cette discontinuite n'est pas symetrique par rapport a l'axe des abscisses et il

appara^t une valeur de continuite notee V 

. V 

est en fait la partie reelle de la

fonction de transfert sur [ 1;1] etdepend lineairementde .

Cette valeurde continuiteest aussideniea tempscontinusur lesoperateurs

diusifs. Dans [Mon98], le symbole diusif associe a la composition de deux

operateurs diusifs de symboles diusifs  1

et  2

est deni par  1 # 2 = 1 (vp 1  ?  2 )+ 2 (vp 1  ? 1

). Pour un operateur diusif H c de symbole diusif , vp 1 

?

est justement l'equivalent atemps continu de V 

.

Dans [Hel00, annexe B], cette valeur de continuite est notee R (), elle est

denieparlim !0

+

Re(H c(+i))etparvp 1 

?,sonimportancepourleresultat

de decompositionest soulignee.

Dans [NAC84 ] V



() est appelee la valeur principale de Cauchy et est notee I 1 1 (r)  r dr.

Remarque 8 En ecrivant (1.6) sous la forme de H (z) h

0 = Z 1 1 () z  d,

on reconna^t une integrale de Cauchy, et sous des conditions techniques on peut

montrer que H est une fonction sectionnellement analytique (cf [NAC84] et la

denition 4 en annexe p. 4).

And'utiliserlesresultatssurlesintegralesde Cauchy,ladenitiondes

fonc-tions holderiennesest rappelee (cf[Gak66, P.5{7]).

Denition 2  est holderienne sur un ferme J s'il existe > 0 et  2]0;1] tel

que 8r;2J;j() (r)jj rj  . De plus 2C 1 sur J )  holderienne )  C 0 sur J

EnoutreestlocalementholderiennesurJ siest holderiennesurtoutcompact

sur contenu J, (dans ce cas J n'est pas necessairement un ferme).

  UN

=1

[0;1]

est holderiennesur [0;1]

  FI () = sin()    (1 )  1 [0;1]

() est localement holderienne sur [0;1[

et(1 )

 

FI

() est holderienne sur [0;1].

  LN () = sin()  h ln  1  i  1 [0;1]

() est localement holderienne sur [0;1[

et(1 )

 

LN

() est holderienne sur [0;1].

Theoreme 2 Soit 2 L 1

( 1;1). Soit S= f j

g un ensemble ni contenu dans

[ 1;1] et contenant 1 et 1. Si  est localement holderienne sur [ 1;1]nSet si

pourtout  j 2S,9 j >0, tel que ()j  j j  j

estholderienne sur un voisinage

de  j

,

alors le ltre diusifH deni par h 0 et  verie pour 2] 1;1[nf j g H (z) ! i()+V  ()+h 0 quand z! et Im(z)>0 H (z) !i()+V  ()+h 0 quand z ! et Im(z)<0 (1.13)

o u la valeur principale de Cauchy V 

est denie par :

V  (r)= lim !0 + Z jr j> () r  d (1.14) De plus V 

est localement holderienne sur [ 1;1]nS

et V  ()=o  1 j j j  et H (z)=o  1 j j zj  .

Preuve Le caractere holderiende V 

setrouve enonce et demontre dans[Gar81,

chapitre 3] dans un contexte legerement dierent : le segment considere est un arc

de cercle au lieu d'^etre un intervalle ferme contenu dans [ 1;1]. Une

transforma-tionconformepermetd'utiliserce resultat pource theoreme. Lesautresresultatssont



enonces etdemontres avec des conclusionsplusfortesdans[Mus92 , p.53{55 et p.83{

85]ou plusrecemment dans[Gak66,p.53{62]. 

Leshypotheses etlesconclusionsdu theoreme 2ontetechoisies detelle sorte

que ces conclusions verient leshypotheses du theoreme 1 qui considere en

par-ticulier des limites tangentielles. Cela permet lors du chapitre 6 de coupler les

deux theoremes. Cependant il existe d'autres facon de construire un theoreme 1

et 2 qui puissent aussi ^etre couples et avec des hypotheses plus faibles comme

l'explique laremarque 9

Remarque 9 L'hypothese Holder permet de contr^oler les oscillations de . Ce

contr^ole est necessaire lorsqu'on considere les limites tangentielles comme le

montre cet exemple. Si = 1 X n=2 1 [ g n ; d n ] avec  g n =1 1 n et  d n = g n + 1 n 2 alors par

un calcul utilisant l'exemple H UN on montre que H  (z) = 1 X ln  1  d n z 1 1  g nz 1  .

La discontinuitede H 

est alorsbornetandis quelavaleur decontinuiteest

com-posee d'une innite denombrable de pics en z =  d n

et z = 

g n

. Ces pics sont

dans [0;1] et tendent vers z = 1. En revanche nous aurions pu tolerer de telles

oscillations si dans l'enonce du theoreme 1, les limites considerees n'etaient pas

tangentielles.En eetlalitteraturecontientde nombreuxresultats demontrantla

convergence d'integrales de Cauchy R

L (s) s z

ds sous des hypotheses de regularites

beaucoup plus faibles sur  que les conclusions du theoreme2.

 Selon [Gar81, chapitre 3], sile support L de ladiscontinuite est une droite

et si 2L 1 alors R L (s) s z

ds converge pour latopologiefaible- etde plus V 

est L 1

.

 Selon [Hof88, chapitre 6],quand L est un cercle, si t7! (e i(+t) ) (e i( t) ) 2tan ( t 2 ) 2 L 1 ( ;) alors R L (s) s z

ds converge non- tangentiellement en presque tout

point de L.

Le calcul analytiquede V 



a partirde est rarement explicite.Les exemples

de ltresdontnousconnaissonslafonctionde transfert,permettentde constituer

une table de correspondance entre etV  valable pour 2] 1;1[nf0g. () V  () H FI (z) sin()    (1 )  1 [0;1] () (cos( )  (1 )  1)1 [0;1] () H FI ( z) sin()  ( )  (1+)  1 [ 1;0] () (cos ( )  (1+)  1)1 [ 1;0] () H UN (z) 1 [0;1] () ln   1   1 [0;1]() H UN ( z) 1 [ 1;0] () ln  1+   1 [ 1;0] () (1.15)

Remarque 10 Lavaleur decontinuiteetlesymbolediusifd'unltre diusifH

s'interpretentcommeRe(H (+i0)) et 1 

Im(H (+i0)),parceque H esta

coef-cients reels. On nepeut pas determinera partir de V 

alorsque V 

s'exprime

enfonction de.Laformuled'inversiondeHilbert(i.e.V 

7!)n'estpas valable

ici. Dans [NAC84] il est montre que la fonctionnelle 7! V 

n'est pas injective

parce queH est analytiquesur un arc [ 1;1] quin'est pas un contour.En

l'occu-rence les deuxpremieres lignes du tableau (1.15)donnent deuxsymboles diusifs

distincts associes aux m^emes valeurs de continuite V  FI () (r) = V  FI ( ) (r).

Dans [NAC84] il est montre que le noyau de 7!V 

est de dimension 1 et une

formule d'inversion adaptee est donnee.

Remarque 11 La valeur principale de CauchyV

 est en fait L p ( 1;1)des lors que  2 L p

( 1;1) pour p > 1 comme le rappelle [Gak66, x5.3]. V  est dans L 1 ( 1;1) quand  2 L 1

( 1;1) (cf [Gar81, p. 116] dans un contexte legerement

dierent).