Optimisation d’un embrayage
magnétorhéologique à disques
Mémoire
David Vallée
Maîtrise en génie mécanique
Maître ès sciences (M.Sc.)
Québec, Canada
© David Vallée, 2016
Résumé
Les technologies de contrôle modernes ont reçu beaucoup d’attention depuis les trente dernières an-nées et avec elles revient un intérêt grandissant envers les fluides magnétorhéologiques et les appli-cations connexes. Cet ouvrage porte sur le développement d’un outil de conception et d’optimisation d’embrayages magnétorhéologiques à disques pour les produits de nouvelle génération.
D’abord, un modèle d’écoulement de fluide magnétorhéologique est implémenté dans le logiciel COMSOL®, un outil de résolution numérique basé sur la méthode des éléments finis. Le
compor-tement liquide du fluide magnétorhéologique est évalué à partir du modèle viscoélastique de Casson, où la contrainte d’écoulement et la viscosité varient avec le taux de déformation et la densité de flux magnétique dans le fluide. L’implémentation numérique s’appuie également sur l’approche de Bercovier-Engelman, c’est-à-dire que le comportement solide du fluide est pris en compte par un li-quide très visqueux. La symétrie de révolution de l’embrayage est alors exploitée pour ramener la définition du problème à un espace bidimensionnel et les équations qui en découlent sont introduites dans COMSOL® sous leur forme faible. Ultimement, la résolution du profil de vitesses en régime permanent dans l’interface de fluide permet de calculer le couple transmis.
Par la suite, un modèle d’embrayage magnétorhéologique à disques est développé afin de prédire les caractéristiques (masse, couple, température, etc.) d’embrayages quelconques définis à partir de pa-ramètres décrivant leur géométrie simplifiée, leurs matériaux et leur source d’alimentation électrique. Le modèle d’écoulement établi au préalable dépend de la densité de flux magnétique qui est alors éva-luée dans COMSOL®. Ce dernier est également utilisé pour estimer la température de l’embrayage
qui s’avère déterminante lors de son dimensionnement.
Enfin, une séquence d’optimisation basée sur les prédictions du modèle d’embrayage magnétorhéo-logique est mise en place avec l’objectif de maximiser le couple massique. Pour mieux comprendre l’impact qu’ont certains paramètres sur les performances et mieux orienter la recherche, l’espace de solution est d’abord exploré de façon aléatoire. Un algorithme évolutionniste permet alors de mettre au jour une conception optimisée pour les besoins spécifiques du projet.
Abstract
Modern day control technologies have received much attention since the last thirty years and with them comes a growing interest in magnetorheological fluids and related applications. This work focuses on the development of a design and optimization tool for magnetorheological disc clutch, aimed toward next generation products.
First, a flow model of magnetorheological fluid is implemented in COMSOL®, a numerical resolution
tool, based on the finite element method. The liquid behavior of the magnetorheological fluid is eval-uated based on Casson’s viscoelastic model, where the yield stress and the viscosity vary with the rate of deformation and the magnetic flux density in the fluid. The numerical implementation is also based on Bercovier-Engelman’s approach, that is to say, the solid behavior of the fluid is taken into account by a highly viscous liquid. The axial symmetry of the clutch is then exploited to bring the definition of the problem to a two-dimensional space and the resulting equations are introduced into COMSOL®
under their weak form. Ultimately, the resolution of the steady-state velocity profile in the fluid gap is used to calculate the transmitted torque.
Thereafter, a magnetorheological disc clutch model is developed to predict the characteristics (mass, torque, temperature, etc.) of any clutches defined from parameters describing their simplified geome-try, their materials and their electrical source. The flow model previously established depends on the magnetic flux density, which is therefore evaluated in COMSOL®. The latter is also used to estimate the temperature of the clutch, a decisive factor in sizing.
Finally, an optimization sequence based on the predictions of the magnetorheological clutch model is set up with the aim of maximizing the torque-to-weight ratio. To better understand the impact of some parameters on the performance and better orient the search, the solution space is first explored randomly. An evolutionary algorithm is then used to bring foward an optimized design for the specific needs of the project.
Table des matières
Résumé iii
Abstract v
Table des matières vii
Liste des tableaux xi
Liste des figures xiii
Remerciements xvii
1 Introduction 1
1.1 Mise en contexte . . . 2
1.1.1 Principe de fonctionnement des fluides magnétorhéologiques . . . 2
1.1.2 Principe de fonctionnement des embrayages magnétorhéologiques à disques . . 3
1.2 Motivations et problématiques . . . 5
1.3 Revue de littérature pour la conception et l’optimisation d’un embrayage magnéto-rhéologique . . . 6
1.4 Objectifs . . . 7
1.5 Choix au niveau de la méthodologie de résolution . . . 8
1.6 Organisation du mémoire . . . 9
2 Implémentation numérique d’un modèle de fluide magnétorhéologique en écoulement 11 2.1 Comportement typique des fluides magnétorhéologiques . . . 11
2.2 Modèles empiriques du comportement des fluides magnétorhéologiques . . . 13
2.2.1 Modèle de Bingham . . . 13
2.2.2 Modèle de Herschel-Bulkley . . . 14
2.2.3 Modèle de Casson . . . 14
2.3 Modèles empiriques adaptés pour la résolution numérique . . . 14
2.3.1 Modèle de Bercovier-Engelman . . . 15
2.3.2 Modèle de Papanastasiou . . . 16
2.3.3 Modèle de Susan-Resiga . . . 17
2.3.4 Adaptation de l’approche de Bercovier-Engelman au modèle de Casson . . . . 18
2.4 Détermination des paramètres de Casson en fonction de la densité de flux magnétique . 19 2.4.1 Méthode de caractérisation du fluide magnétorhéologique utilisé . . . 19 2.4.2 Données expérimentales du comportement du fluide magnétorhéologique utilisé 21
2.4.3 Expression analytique des paramètres de Casson . . . 23
2.5 Implémentation d’un modèle d’écoulement dans COMSOL® . . . 25
2.5.1 Équations de Navier-Stokes dans un système de coordonnées cylindriques . . . 26
2.5.2 Hypothèses et simplifications . . . 27
2.5.3 Calcul des contraintes visqueuses dans le fluide magnétorhéologique . . . 28
2.5.4 Calcul du taux de cisaillement dans le fluide magnétorhéologique . . . 30
2.5.5 Formulation forte du problème . . . 30
2.5.6 Formulation faible . . . 31
2.5.7 Calcul du couple transmis par l’interface de fluide magnétorhéologique . . . . 32
2.6 Validation de l’implémentation du modèle d’écoulement dans COMSOL® . . . 34
2.6.1 Modèle analytique du couple transmis . . . 34
2.6.2 Implémentation numérique correspondant au modèle analytique . . . 34
2.6.3 Comparaison entre le couple analytique et numérique . . . 36
2.6.4 Effet d’une zone solide sur l’estimation du couple . . . 36
2.6.5 Effet de la qualité du maillage sur l’estimation du couple . . . 37
3 Modèle de l’embrayage magnétorhéologique à disques 43 3.1 Géométrie du modèle . . . 43
3.1.1 Simplifications géométriques . . . 44
3.1.2 Étapes de construction de la géométrie . . . 45
3.1.3 Paramétrisation des configurations géométriques étudiées . . . 50
3.1.4 Paramétrisation de la géométrie du domaine de résolution . . . 53
3.2 Matériaux . . . 55
3.2.1 Introduction au comportement magnétique des matériaux . . . 56
3.2.2 Matériaux ferromagnétiques doux . . . 57
3.2.3 Matériaux à faible aimantation . . . 58
3.2.4 Propriétés des différents constituants du fluide magnétorhéologique . . . 59
3.2.5 Homogénéisation des propriétés du fluide magnétorhéologique . . . 60
3.2.6 Propriétés des différents constituants du bobinage . . . 63
3.2.7 Homogénéisation des propriétés du bobinage . . . 64
3.2.8 Résumé des propriétés des matériaux associées au domaine de résolution . . . 66
3.3 Analyse électromagnétique . . . 69
3.3.1 Introduction aux équations de Maxwell . . . 69
3.3.2 Introduction aux équations de Maxwell dans leur forme de potentiel vecteur . . 70
3.3.3 Domaine de résolution de l’analyse électromagnétique . . . 71
3.3.4 Équations de comportement . . . 72
3.3.5 Conditions aux frontières du domaine de résolution . . . 73
3.3.6 Modélisation du bobinage . . . 74
3.4 Analyse magnétorhéologique . . . 75
3.4.1 Domaine de résolution de l’analyse magnétorhéologique . . . 75
3.4.2 Conditions aux frontières du domaine de résolution . . . 75
3.5 Analyse thermique . . . 77
3.5.1 Domaine de résolution de l’analyse thermique . . . 78
3.5.2 Conditions aux frontières du domaine de résolution . . . 78
3.5.3 Conditions aux interfaces du domaine de résolution . . . 80
3.5.4 Sources de chaleur . . . 81
3.7 Résolution du problème . . . 85
3.8 Estimation de la masse de l’embrayage . . . 85
3.9 Validation expérimentale du modèle d’embrayage magnétorhéologique à disques . . . 87
4 Optimisation de l’embrayage magnétorhéologique 91 4.1 Exploration aléatoire de l’espace de conception . . . 91
4.1.1 Définition de l’espace de conception . . . 92
4.1.2 Effets de différents paramètres sur les performances de l’embrayage . . . 95
4.2 Optimisation par un algorithme génétique . . . 100
4.2.1 Introduction aux algorithmes génétiques . . . 101
4.2.2 Définition des fonctions objectifs . . . 102
4.2.3 Raffinement de l’espace de conception . . . 104
4.2.4 Choix et réglage de l’algorithme génétique . . . 105
4.2.5 Analyse des résultats . . . 106
4.2.6 Choix de la conception optimale . . . 109
5 Conclusion 111 Bibliographie 115 A Données expérimentales de BASF 119 B Solutions du modèle d’embrayage magnétorhéologique 121 C Code MATLAB® 125 C.1 Initialisation et définition des paramètres . . . 125
C.2 Définition de la géométrie . . . 130
C.3 Définition du problème électromagnétique . . . 133
C.4 Définition du problème magnétorhéologique . . . 134
C.5 Définition du problème thermique . . . 136
Liste des tableaux
2.1 Contrainte d’écoulementτC et viscositéµC de Casson du fluide BASONETIC® 5030 de
BASF pour différentes densités de flux magnétique B. . . 21 3.1 Paramètres décrivant la géométrie du modèle d’embrayages magnétorhéologiques à disques. 54 3.2 Propriétés de quelques matériaux ferromagnétiques doux retenus pour leur aimantation à
saturation élevée et leur faible rémanence. . . 66 3.3 Propriétés de quelques matériaux à faible aimantation sélectionnés pour leur légèreté et
leurs excellentes propriétés mécaniques et thermiques. . . 66 3.4 Propriétés homogénéisées du fluide magnétorhéologique BASONETIC®5030 de BASF
ainsi que les propriétés de chacun de ses constituants qui ont servi aux calculs d’homogé-néisation. . . 67 3.5 Propriétés homogénéisées du bobinage ainsi que les propriétés de chacun de ses
consti-tuants qui ont servi aux calculs d’homogénéisation. . . 68 3.6 Valeurs des paramètres pour chaque étape de construction du maillage. . . 85 3.7 Principales caractéristiques de l’embrayage magnétorhéologique à disques utilisé pour
valider le modèle numérique. . . 88 4.1 Variables de conception et les plages de valeurs associées qui sont étudiées dans le cadre
de l’exploration de l’espace de conception. . . 95 4.2 Contraintes géométriques linéaires qui assurent une cohérence entre les paramètres
géo-métriques et la description géométrique de l’embrayage magnétorhéologique. . . 95 4.3 Variables de conception et les plages de valeurs associées qui sont employées lors du
processus d’optimisation. . . 105 4.4 Variables de conception du problème d’optimisation qui correspondent à la conception
optimale choisie. . . 110 A.1 Contrainte de cisaillement du fluide magnétorhéologique BASONETIC®5030 de BASF
Liste des figures
1.1 Microscopie électronique à balayage de particules ferromagnétiques extraites d’un fluide
magnétorhéologique non utilisé. . . 2
1.2 Principe de fonctionnement des fluides magnétorhéologiques. . . 4
1.3 Principe de fonctionnement des embrayages magnétorhéologiques à disques. . . 5
2.1 Comportement du fluide magnétorhéologique à l’état solide et à l’état liquide. . . 12
2.2 Effet de la densité de flux magnétique B sur le comportement du fluide magnétorhéolo-gique à l’état solide et à l’état liquide. . . 12
2.3 Effet de la densité de flux magnétique B (∥B∥) sur les paramètres du modèle de Bingham. La contrainte d’écoulementτBest fortement influencée par B. . . 13
2.4 Effet du paramètreη introduit par le modèle de Bercovier-Engelman et détermination de la frontière entre l’état liquide et l’état solide. . . 16
2.5 Vue de section de la cellule magnétique développée par BASF pour la caractérisation de fluides magnétorhéologiques. . . 19
2.6 Signification de la contrainte de cisaillement apparenteτa et de la contrainte de cisaille-ment réelleτ. . . 20
2.7 Évolution de la contrainte de cisaillementτ du fluide BASONETIC®5030 de BASF pour différents taux de cisaillement ˙γ et différentes densités de flux magnétique B. . . 22
2.8 Contrainte d’écoulement du fluide magnétorhéologique BASONETIC®5030 de BASF en fonction de la densité du flux magnétique B. . . 23
2.9 Évolution de la viscosité de Casson µC du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 de BASF en fonction de la densité du flux magnétique B. . . 25
2.10 Contrainte de cisaillementτ en fonction de la densité de flux magnétique B et du taux de cisaillement ˙γ. . . 25
2.11 Système de coordonnées cylindriques. . . 27
2.12 Domaine de résolution utilisé pour valider l’implémentation du modèle d’écoulement dans COMSOL®. . . 35
2.13 Comparaison des couples évalués à partir du modèle analytique et du modèle numérique correspondant. . . 37
2.14 Effet de l’établissement d’une zone solide dans l’interface de fluide magnétorhéologique sur l’estimation du couple. . . 38
2.15 Erreur sur l’estimation du couple pour différentes qualités de maillage. . . 39
2.16 Solutions produites pour valider l’implantation du modèle d’écoulement dans COMSOL®. 40 2.17 Quelques maillages utilisés pour valider l’implémentation du modèle d’écoulement dans COMSOL®. . . 41
3.1 Géométrie du modèle de l’embrayage magnétorhéologique. . . 44 3.2 Étape 1 : Définition de l’entité géométrique correspondant au disque central. Étape 2 :
Dé-finition du disque adjacent au disque central (second disque). Étape 3 : DéDé-finition du disque adjacent au second disque (troisième disque). Étape 4 : Duplication du second disque. Étape 5 : Duplication du troisième disque. . . 46 3.3 Étape 6 : Définition de l’entité géométrique correspondant à l’anneau de fixation des
disques. Étape 7 : Définition du domaine occupé par le bobinage. . . 47 3.4 a) Étapes 8 et 9 : Définition des entités géométriques correspondant au flasque et à
l’an-neau magnétique. . . 49 3.5 a) Étape 10 : Définition de l’entité géométrique correspondant au fluide
magnétorhéolo-gique. b) Vue agrandie. . . 49 3.6 Étape 11 : Définition de l’entité géométrique correspondant au milieu ambiant. . . 50 3.7 Quelques possibilités d’agencement (huit configurations géométriques) des principaux
composants d’embrayages magnétorhéologiques à disques. . . 52 3.8 Dimensions associées aux paramètres décrivant la géométrie du modèle d’embrayages
magnétorhéologiques à disques pour les configuration 3 et 5. . . 53 3.9 Matériaux associés aux différentes entités géométriques du domaine de résolution. . . 55 3.10 Aimantationµ0M en fonction du champ magnétique H de quelques matériaux
ferroma-gnétiques doux. . . 57 3.11 Représentation de la maille utilisée pour la résolution de la formulation de Maxwell Garnett. 61 3.12 Aimantation µ0M du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 en fonction du
champ magnétique H. . . 62 3.13 Domaine de résolution de l’analyse électromagnétique. . . 71 3.14 Équations de comportement assignées aux différentes parties du domaine de résolution de
l’analyse électromagnétique. . . 72 3.15 Limites du domaine de résolution de l’analyse électromagnétique. . . 73 3.16 Domaine de résolution du problème magnétorhéologique. . . 75 3.17 Conditions aux frontières du domaine de résolution de l’analyse magnétorhéologique. . . . 77 3.18 Domaine de résolution de l’analyse thermique. . . 78 3.19 Conditions aux frontières du domaine de résolution de l’analyse thermique. . . 80 3.20 Conditions aux interfaces de l’analyse thermique. . . 81 3.21 Élément triangulaire de type Lagrange utilisé pour la discrétisation du problème dans
COMSOL®. . . 83
3.22 Maillage du modèle de l’embrayage magnétorhéologique. . . 84 3.23 Couple statique (expérimental) et dynamique (simulé) en fonction du courant
d’alimenta-tion de l’embrayage magnétorhéologique MRC1. . . 90 4.1 Évolution du couple massique selon la capacité en couple des embrayages pour les
confi-gurations 2 et 3 (disques en périphérie) et pour les conficonfi-gurations 4 et 5 (disques au centre). 97 4.2 Effet des matériaux ferromagnétiques sur le couple massique pour les configurations 2 et
3 (disques en périphérie) et pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). . . 98 4.3 Effet du nombre de disques N sur le couple massique pour les configurations 2 et 3
(disques en périphérie) et pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). . . 99 4.4 Effet de la longueur des ailettes (Rf−Re) sur le couple massique pour les configurations
2 et 3 (disques en périphérie) et pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). . . 100 4.5 Principe général d’un algorithme génétique typique. . . 101 4.6 Convergence du problème d’optimisation évolutionniste. . . 106
4.7 Couple massique (premier critère de performance p1) en fonction de l’efficacité (second
critère de performance p2) . . . 108
4.8 Prototype d’embrayage magnétorhéologique (MRC3) développé au Laboratoire des Sys-tèmes Mécaniques Intelligents (LSMI). . . 110 B.1 Solution de l’analyse électromagnétique. . . 121 B.2 Solution de l’analyse magnétorhéologique : Distribution de la vitesse tangentielle vθ dans
l’interface de fluide magnétorhéologique et b) une vue agrandie. . . 122 B.3 Densité d’énergie dissipée par les effets visqueux dans l’interface de fluide
magnétorhéo-logique et par l’effet Joule dans le bobinage. . . 123 B.4 Solution de l’analyse thermique : Distribution de la température dans l’embrayage
Remerciements
Cette étape de ma vie a été parsemée d’embûches de toutes sortes. Malgré tout, j’ai persévéré et au bout du compte, j’en ressors grandi et je peux maintenant être fier de ne pas avoir baissé les bras. Toutefois, rien n’aurait été possible sans l’appui de certaines personnes et je tiens donc à faire quelques remerciements.
Merci d’abord à mon directeur de recherche, Yves St-Amant, qui a cru en moi en me confiant ce projet. J’ai énormément appris de lui et je me sens privilégié d’avoir travaillé avec quelqu’un qui fait preuve d’autant de dévotion, de dynamisme et de rigueur. Je lui suis très reconnaissant et je lui souhaite beaucoup de succès dans la réalisation de ses projets.
Merci à mes amis et à ma famille pour leur appui et leurs encouragements sans lesquels je n’aurais probablement jamais tenu le coup. Merci à Louis Gagnon qui a su m’aider dans les moments les plus difficiles. Merci à mon grand-papa qui m’a transmis la persévérance et merci à mon père pour son expertise en français. Je vous dois énormément !
Merci également aux organismes de subvention et aux industriels qui ont soutenu le projet : – Conseil de Recherches en Sciences Naturelles et en Génie du Canada (CRSNG) – Consortium de Recherche et d’Innovation en Aérospatiale au Québec (CRIAQ) – Mitacs
– Bell Helicopter Textron Canada (BHTC) – Bombardier Aéronautique
Merci à Pasquale Spina, qui m’a supervisé et covoituré lors de mon stage chez Bell Helicopter. Enfin, merci à tous ceux qui ont travaillé de près ou de loin à la conception et à fabrication des embrayages magnétorhéologiques, plus spécialement à Luc Harvey, Karl Hébert, Justin Lefebvre et Jean-Claude Gariépy.
1 Introduction
Vers la fin des années quarante, W. M. Winslow constate qu’une suspension de fines particules di-électriques1dispersées dans un fluide isolant2se consolide sous l’influence d’un champ électrique et
permet ainsi de moduler les efforts transmis par cisaillement [1, 2]. L’effet est très rapide (< 1 [ms]) et totalement réversible. Cependant, les efforts pouvant être transmis avec ces fluides dits électrorhéo-logiques sont relativement faibles. Simultanément, au National Bureau of Standards des États-Unis (NBS)3, des chercheurs tentent par tous les moyens de développer des embrayages à action rapide qui
permettent d’améliorer les temps d’accès à l’information contenue sur les bandes magnétiques des ordinateurs électroniques numériques de l’époque. Inspiré par les travaux de Winslow, J. Rabinow a aussitôt l’idée de transposer le principe électrostatique à la magnétostatique. En incorporant de fines particules ferromagnétiques4à un fluide diamagnétique5, il obtient un mélange qui se solidifie sous
l’effet d’un champ magnétique [3, 4, 5]. Du coup, les efforts transmis par cisaillement sont décuplés par rapport aux fluides électrorhéologiques. C’est ainsi qu’apparaissent les fluides magnétorhéolo-giques de même qu’une panoplie d’applications qui mettent à profit leurs propriétés. Les embrayages6
magnétorhéologiques à disques comptent parmi celles-ci et font l’objet du présent ouvrage.
Les trente dernières années révèlent un regain d’intérêt marqué envers ce type d’embrayage et cela se reflète en partie par le rythme croissant de publication d’ouvrages en la matière. Cette recrudescence peut être expliquée par la présence maintenant généralisée de circuits de contrôle électroniques qui confèrent une grande souplesse aux embrayages magnétorhéologiques. En effet, ces derniers jouissent d’un temps de réponse relativement court et le couple transmis peut être modulé à volonté suivant l’intensité du courant qui alimente l’embrayage.
1. Un milieu diélectrique est susceptible de présenter des dipôles électrostatiques capables d’interagir avec un champ électrique.
2. Un milieu isolant électrique ne favorise pas le passage d’électrons.
3. Le NBS est devenu en 1988 le National Institute of Standards and Technology (NIST).
4. Un milieu ferromagnétique se magnétise très fortement sous l’effet d’un champ magnétique externe.
5. Un milieu diamagnétique ne se magnétise que très faiblement sous l’effet d’un champs magnétique externe. À toute fin pratique, leur magnétisation peut être considérée nulle.
1.1 Mise en contexte
Avant d’exposer la problématique et l’objectif de recherche, quelques précisions liées à la composition et au fonctionnement des fluides magnétorhéologiques sont apportées. Cela mène ensuite à approfon-dir le principe de fonctionnement d’un embrayage magnétorhéologique.
1.1.1 Principe de fonctionnement des fluides magnétorhéologiques
Les fluides magnétorhéologiques sont des suspensions de particules ferromagnétiques dans un fluide porteur qui lui, ne se magnétise pas. Typiquement, les particules ont la taille7de quelques micromètres
et sont constituées de fer carbonyle de grande pureté (Fe 99,5%). Souvent, de l’huile synthétique fait office de fluide porteur. Sous l’effet de la gravité, les particules ferromagnétiques, qui ont une densité bien supérieure à celle du fluide porteur, se déposent au fond en quelques heures. De la même façon, les forces engendrées par les gradients magnétiques provoquent l’agglomération de particules. Des agents de surfaces sont alors ajoutés au mélange pour ralentir ces processus et faciliter la dispersion des particules lors du brassage. La figure 1.1 présente une microscopie électronique à balayage de particules ferromagnétiques extraites d’un fluide magnétorhéologique.
10 µm
voir b)
a)
1 µm
b) Vue agrandie
FIGURE1.1 – Microscopie électronique à balayage (20,0 [kV], 12,0 [mm]× 2,50 [k]) de particules ferromagnétiques extraites d’un fluide magnétorhéologique (BASONETIC®5030 de BASF) non
uti-lisé. Ces particules sont composées de fer carbonile (Fe 99,5%). Leur diamètre est dans la plage de 1 à 3 [µm]. Source : Laboratoire de conception d’actuateurs et de moteurs de l’Université de Sher-brooke (CAMUS)
La figure 1.2 résume les grandes lignes du principe de fonctionnement des fluides magnétorhéolo-giques. Sous l’effet d’un champ magnétique externe, les particules ferromagnétiques uniformément 7. Les fluides magnétorhéologiques et les ferrofluides se distinguent par la taille des particules qui les constituent. Pour les ferrofluides, elles ont la taille de quelques nanomètres seulement. Les particules sont tellement petites que seule la chaleur suffit à les maintenir en suspension, et ce, malgré la présence d’un champ magnétique intense. Les comportements bien distincts de ces deux fluides obligent à faire cette distinction.
réparties dans le fluide (voir fig. 1.2 a)) acquièrent un dipôle magnétique et s’alignent pour former des structures filamenteuses orientées avec la direction du champ magnétique B (voir fig. 1.2 b)). Ces structures sont responsables de la transition rhéologique8 des fluides magnétorhéologiques, qui
passent d’un état liquide à un état solide en quelques millisecondes tout au plus. C’est un processus très rapide en comparaison aux délais que présentent généralement les systèmes purement mécaniques. Lorsque le fluide magnétorhéologique est soumis à des efforts de cisaillement F modérés, ces struc-tures se déforment légèrement (voir fig. 1.2 c)). Le comportement s’apparente alors à celui d’un so-lide. Toutefois, lorsque les efforts de cisaillement surpassent les forces magnétiques, ces structures se brisent au fur et à mesure qu’elles se forment. Le fluide magnétorhéologique adopte alors un compor-tement liquide et la capacité à transmettre les efforts de cisaillement par rapport au cas solide diminue légèrement.
Avec un apport d’énergie additionnel, soit par l’application d’un léger cisaillement, d’un champ ma-gnétique plus intense, d’une variation cyclique du champ mama-gnétique, etc., ces structures continuent à se complexifier et à se densifier jusqu’à ce qu’elles parviennent à un nouvel état d’équilibre (voir fig. 1.2 d)). Au cours de ce processus, le comportement du fluide poursuit son évolution pour atteindre un niveau de solidification supérieur.
Enfin, en désactivant le champ magnétique, les particules se démagnétisent et les particules se dis-persent à nouveau sous l’effet des agents de surface. Le fluide retrouve alors son comportement initial, ou presque. En effet, il subsiste de petites forces résiduelles provenant de la rémanence magnétique des particules. Un léger brassage ou une simple oscillation décroissante du champ magnétique (déma-gnétisation) suffit généralement à détruire les amas de particules résiduels.
1.1.2 Principe de fonctionnement des embrayages magnétorhéologiques à disques
La figure 1.3 présente la coupe longitudinale d’un embrayage magnétorhéologique à disques et sert de support explicatif à leur principe de fonctionnement. Le couple transmis d’un arbre de transmission à l’autre (1 et 2) s’effectue par cisaillement à travers une interface de fluide magnétorhéologique (7). Pour maximiser l’aire de transmission effective, deux séries de disques (8 et 9) indépendantes en rotation sont intercalées et fixées séparément à chacun des arbres de transmission (1 et 2). L’espace entre les disques (de quelques dizaines ou quelques centaines de micromètres) est maintenu par des espaceurs (10 et 11) intercalés entre les disques d’une même série (8 ou 9). À la figure 1.3 b), pour bien distinguer ces deux assemblages indépendants en rotation et séparés par l’interface de fluide magnétorhéologique, l’un d’eux est illustré en orange et l’autre en bleu.
La figure 1.3 b) illustre la densité de courant électrique J dans le bobinage (6) et la densité de flux ma-8. La rhéologie est l’évolution comportementale associée à la déformation et à l’écoulement d’un matériau qui subit l’effet d’une contrainte appliquée.
a) b) c) d)
FIGURE1.2 – Principe de fonctionnement des fluides magnétorhéologiques : a) Les particules ferro-magnétiques sont dispersées uniformément. Aucun champ magnétique n’est appliqué. b) Sous l’effet d’un champ magnétique, les particules s’alignent pour former des structures filamenteuses orientées avec la direction du champ magnétique B. c) Ces structures se déforment lorsque des efforts de cisaille-ment F sont appliqués. d) Les déformations causées par le cisaillecisaille-ment engendrent des structures plus denses qui permettent à leur tour d’augmenter les efforts de cisaillement transmis.
gnétique B qui en résulte. Le flux magnétique parcourt le circuit magnétique constitué des disques (8 et 9) et des flasques ferromagnétiques (4 et 5) pour ultimement être canalisé à travers l’interface de fluide magnétorhéologique (7). De cette façon, l’intensité du courant électrique dans le bobinage (6) agit sur la densité de flux magnétique dans le fluide magnétorhéologique et permet de contrôler sa viscosité avec précision. Ainsi, le couple transmis peut être modulé à volonté.
Le circuit magnétique est constitué d’un matériau ferromagnétique doux (ex. : fer). Il facilite le pas-sage du flux magnétique et permet d’en accroître la densité dans l’interface de fluide. Pour éviter de dévier une partie du flux en dehors de l’interface de fluide, les autres composants sont générale-ment constitués de matériaux à faible aimantation (ex. : aluminium). À la figure 1.3 a), les matériaux ferromagnétiques sont illustrés en gris foncé et les matériaux à faible aimantation, en gris pâle. L’espace comblé par le fluide magnétorhéologique est rendu étanche par des joints statiques (13) et dynamiques (14). Des paliers9(3) assurent le positionnement et l’orientation des disques tout en
per-mettant leur rotation. La solidification du fluide dans l’environnement immédiat de ces composants peut engendrer une défaillance prématurée. Pour cette raison, l’embrayage est conçu de façon à ca-naliser le flux magnétique loin des joints dynamiques (14) et des paliers (3). Enfin, des ailettes (12) servent à dissiper la chaleur dégagée par le bobinage (6) et par le fluide magnétorhéologique (7) et permettent de maintenir la température de l’embrayage dans sa plage d’opération.
9. Le terme général « palier » désigne les composants qui supportent les arbres de transmission et qui en assurent le guidage en rotation avec le moins de frottement possible. L’emploi de ce terme réfère autant aux paliers lisses qu’aux paliers à roulements (roulements à billes).
a) b)
FIGURE 1.3 – a) Principaux composants d’un embrayage magnétorhéologique à disques : arbre de transmission d’entrée (1) et de sortie (2), paliers (3), flasques ferromagnétiques d’entrée (4) et sor-tie (5), bobinage (6), fluide magnétorhéologique (7), disques d’entrée (8) et de sorsor-tie (9), espaceurs d’entrée (10) et de sortie (11), ailettes (12), joints statiques (13) et dynamiques (14). Les matériaux ferromagnétiques et les matériaux à faible aimantation sont illustrés en gris foncé et en gris pâle res-pectivement. b) Densité de flux magnétique B traversant l’interface de fluide magnétorhéologique et la densité de courant J dans le bobinage qui en est la source. Pour bien distinguer les assemblages qui sont indépendants en rotation, l’entrée et la sortie sont illustrés en orange et en bleu respectivement.
1.2 Motivations et problématiques
Le potentiel des embrayages magnétorhéologiques apparait suffisant pour présenter une piste de so-lution viable pour le développement de produits de nouvelle génération, mais la technologie demeure toujours méconnue et n’a toujours pas atteint le stade de la maturité. Les partenaires de l’industrie aéronautique qui ont collaboré au projet ont en effet démontré un intérêt pour préciser leurs capacités, surtout en ce qui a trait au couple massique. Ils cherchent également à soulever les problèmes qui pourraient remettre en question l’intérêt porté envers ce type d’embrayage. Afin de respecter les en-tentes de confidentialité prises avec les partenaires industriels qui ont pris part au projet, l’application visée ne sera toutefois pas dévoilée et certains aspects seront couverts avec peu de détails.
La performance d’un embrayage magnétorhéologique dépend de plusieurs facteurs :
– La faculté du fluide à transmettre un effort de cisaillement dépend de la densité de flux magné-tique qui le traverse.
– La densité de flux magnétique est influencée par la géométrie du circuit magnétique, le choix des matériaux utilisés et l’intensité du courant fourni au bobinage.
le couple transmis peut être grand. Cependant, ceci peut se faire au détriment d’une réduction de la densité de flux magnétique et d’une augmentation de la masse.
– La réponse du fluide magnétorhéologique et le bon fonctionnement de certains composants dépend de la température de l’embrayage, qui elle, est fortement influencée par l’action du bobinage et par les pertes visqueuses dans le fluide.
– L’ajout d’un dispositif de refroidissement (ailettes ou autres) permet d’augmenter le courant dans le bobinage, et de ce fait, le couple transmis. Par contre, l’ajout d’un tel dispositif peut accroître la masse.
Il existe donc une panoplie de configurations possibles et, de toute évidence, l’optimisation du couple massique n’est pas un problème trivial.
1.3 Revue de littérature pour la conception et l’optimisation d’un
embrayage magnétorhéologique
Dans les deux dernières décennies, de nombreux travaux concernant les embrayages et freins magné-torhéologiques ont été publiés dans la littérature. Cette section résume les travaux les plus pertinents qui ont dirigé la définition du projet présenté dans ce mémoire.
Pour déterminer le couple en régime permanent, W. H. Li et H. Du, [6] présentent une description analytique du comportement du fluide basé sur le modèle viscoélastique de Bingham (voir 2.2.1, page 13). La densité de flux magnétique nécessaire au calcul est obtenue par la méthode des éléments finis. K. Karakoc, E. J. Park et A. Suleman [7], G. Marannano, G. V. Mariotti et C. Duboka [8], W. H. Gudmundsson, F. Jonsdottir et F. Thorsteinsson [9, 10], Q. H. Nguyen et S. B. Choi [11], procèdent essentiellement de la même façon. La correspondance avec les valeurs expérimentales est jugée bonne dans tous les cas. Malgré tout, A. Farjoud [12] propose une autre façon d’évaluer le couple transmis. Il utilise des notions de la mécanique des milieux continus et un modèle comporte-mental introduit par M. Bercovier et M. Engelman [13] en 1980 pour résoudre le champ de vitesse dans l’interface de fluide et ainsi évaluer le couple transmis. Cette méthode prend en considération la solidification du fluide dans les zones moins sollicitées en cisaillement. Selon Farjoud, cet effet peut avoir un impact non négligeable sur le couple transmis.
Karakoc, Park et Suleman [7] cherchent à maximiser le couple de freinage pour un volume donné. Ils utilisent un algorithme de recherche aléatoire qui est ensuite complété par un algorithme d’opti-misation basé sur la dérivation de la fonction objectif. Le frein qui en résulte produit un couple de 23 [N m] pour une masse d’environ 11,8 [kg] (2 [N m/kg]). La performance du frein destiné à l’industrie automobile est loin d’être suffisante et la conception doit être repensée.
performance des systèmes magnétorhéologiques. Bien que Karakoc, Park et Suleman [7] aient abordé cette problématique, Marannano, Mariotti et Duboka [8], qui s’adonnent eux aussi au développement d’un frein destiné à ralentir une automobile, y ont porté une plus grande attention. Lors du processus d’optimisation, l’échauffement du frein est évalué par la méthode des éléments finis. La température se répercute sur l’évaluation des performances et devient aussi une contrainte de conception. Le frein qui en résulte produit un couple théorique de 1020 [N m] pour une masse de 25,8 [kg] (40 [N m/kg]). Un genou prothétique magnétorhéologique a été développé par Gudmundsson [10]. La géométrie paramétrée a été optimisée grâce à un algorithme génétique. Une optimisation multiobjectif a permis de maximiser le couple massique ainsi que le gain de couple entre le mode actif et inactif. Le frein qui en résulte possède un couple de 60 [N m] pour une masse estimé à 2 [kg] (30 [N m/kg]). Alors que les freins de Karakok [7] et Marannano [8] ne comptent que trois disques, celui-ci en compte 71. De plus, contrairement aux conceptions de Karakoc et Marannano, les disques de ce frein sont déportés à l’extérieur du bobinage pour maximiser le bras de levier.
Nguyen et Choi [11] ont étudié d’autres configurations géométriques du circuit magnétique pour voir si l’une d’entre elles se démarque en ce qui a trait au couple transmis pour un volume donné. La confi-guration pour laquelle l’interface de fluide magnétorhéologique et le bobinage sont à égale distance du centre de rotation semble plus prometteuse. Cependant, la configuration étudiée par Gudmundsson n’a pas été considérée dans cette étude.
À partir de ces travaux, plusieurs constats sont fait :
– La méthode d’évaluation du couple semble assez bien établie bien qu’une autre méthode pour-rait donner des valeurs plus précises selon Farjoud.
– La littérature ne semble pas faire mention de freins ou d’embrayages magnétorhéologiques qui présentent une densité de couple supérieure à 50 [N m/kg]. Or, un couple massique de 60 [N m/kg] doit être atteint pour que la technologie présente un réel attrait pour les partenaires industriels.
– Plusieurs configurations de freins et d’embrayages ont été étudiées, mais il demeure toujours difficile de déterminer la configuration optimale. En effet, celle-ci semble dépendre de plusieurs facteurs propres au contexte dans lequel évolue le système.
– Les implications liées à la température ont été considérées à maintes reprises. Cependant, l’ajout de dispositifs de refroidissement (ailettes ou autres) dans l’espoir d’augmenter le couple mas-sique n’a pas été étudié.
1.4 Objectifs
L’objectif principal de ce travail de recherche est donc de développer un outil de conception/optimi-sation d’embrayage magnétorhéologique à disques pour maximiser le couple massique. Les objectifs
spécifiques suivants ont été établis :
– Implémenter un modèle décrivant le comportement des fluides magnétorhéologiques dans un outil de résolution numérique. Le but est de prédire le couple transmis par le fluide en fonction de l’intensité du flux magnétique et du taux de cisaillement. Les équations permettant cette prédiction ne sont pas intégrées par défaut à l’environnement de résolution utilisé. Il faut donc les dériver et les introduire manuellement.
– Développer un modèle d’embrayage magnétorhéologique à disques s’appuyant sur le modèle de fluide tout juste implémenté. Le but est d’arriver à prédire la performance de différentes conceptions à partir de paramètres décrivant la géométrie et les matériaux.
– Mettre en place une séquence d’optimisation basée sur les prédictions du modèle d’embrayage. Le but est de cibler la conception optimale en tenant compte des critères de performance établis selon les exigences des partenaires industriels.
1.5 Choix au niveau de la méthodologie de résolution
Cette section explique le choix fait en début de projet concernant le logiciel utilisé pour modéliser les embrayages magnétorhéologiques. Quelques logiciels commerciaux tels que COMSOL®
Multi-physics et ANSYS MultiMulti-physics, ainsi que d’autres alternatives moins connues, mais évoluant en tant que logiciels libres, tels que Agros2D et GetDP, permettent d’implémenter le problème souhaité. Le choix s’est arrêté sur COMSOL® en raison de sa disponibilité et de la bonne connaissance de son
fonctionnement par l’auteur.
COMSOL®est un logiciel qui permet de faciliter l’ensemble des étapes devant être franchies lors d’un
processus de modélisation s’appuyant sur la méthode des éléments finis. Son environnement permet de définir la géométrie du domaine de résolution et d’en faire la discrétisation par la construction d’un maillage. Il permet également de définir et d’associer aux différents domaines les propriétés des matériaux ainsi que les lois de comportement des phénomènes physiques qui entrent en jeu, d’en faire la résolution et de visualiser les résultats.
Plusieurs fonctionnalités de COMSOL® le rendent particulièrement intéressant pour les besoins du
projet :
– Au besoin, COMSOL®permet d’implémenter des équations différentielles quelconques. Cette possibilité d’y introduire des modèles au choix permet de simuler l’écoulement particulier du fluide magnétorhéologique et de calculer le couple transmis par l’embrayage.
– COMSOL® possède un module d’analyse des champs électromagnétiques. Il permet donc de calculer la densité de flux magnétique dans l’interface de fluide magnétorhéologique.
– COMSOL®possède un module d’analyse des transferts thermiques. Il permet donc de calculer
– COMSOL® peut coupler les différentes analyses (électromagnétiques, mécaniques des fluides, transferts thermiques, etc.) s’il existe des interdépendances entre les différents phénomènes. Entre autres, la conductivité électrique du bobinage pourra être influencée par la température. – Il est possible d’établir un lien direct entre COMSOL® et MATLAB®. Ce dernier peut donc
être utilisé pour contrôler la construction de la géométrie du modèle d’embrayage. Ce lien peut également faciliter l’utilisation des algorithmes d’optimisation déjà implémentés dans MAT-LAB®.
Le choix de COMSOL®apparaît donc convenable.
1.6 Organisation du mémoire
À chaque objectif correspond un chapitre. Plus spécifiquement, ce mémoire est organisé comme suit : ● Chapitre 2 : Implémentation d’un modèle de fluide magnétorhéologique
Le chapitre 2 présente l’implémentation d’un modèle de fluide magnétorhéologique dans COM-SOL®. Quelques modèles viscoélastiques sont d’abord introduits pour décrire l’évolution de la
viscosité du fluide magnétorhéologique en fonction du taux de cisaillement et de la densité de flux magnétique. Par la suite, cette viscosité est introduite dans les équations de Navier-Stokes qui sont établies dans un repère cylindrique afin de permettre d’exploiter la symétrie de révolution de l’embrayage. Ces équations sont ensuite introduites dans COMSOL® sous
leur forme faible (formulation variationnelle). Le profil de vitesses dans l’interface est alors résolu (et par le fait même, le taux de cisaillement et la viscosité) ce qui permet enfin de calculer le couple transmis à partir de la puissance dissipée par les effets visqueux.
● Chapitre 3 : Développement d’un modèle d’embrayage magnétorhéologique à disques Le chapitre 3 présente le développement d’un modèle d’embrayage magnétorhéologique à disques s’appuyant sur le modèle d’écoulement implémenté au chapitre 2. Une géométrie sim-plifiée de l’embrayage magnétorhéologique est d’abord paramétrée dans COMSOL®. Les
pro-priétés des matériaux sont ensuite assignées aux entités géométriques correspondantes. Le mo-dule AC/DC de COMSOL®permet alors d’estimer la densité de flux magnétique nécessaire à
l’évaluation de la viscosité du fluide magnétorhéologique et de ce fait, le couple transmis. Quant à la température, elle est estimée grâce au module de transferts thermiques de COMSOL®. La
masse de l’embrayage est également évaluée. Au final, le modèle permet de prédire les ca-ractéristiques (masse, couple, température, etc.) d’embrayages quelconques définis à partir de paramètres décrivant leur géométrie, leurs matériaux, leur source d’alimentation électrique, etc.
● Chapitre 4 : Optimisation de l’embrayage magnétorhéologique
Le chapitre 4 met en place une séquence d’optimisation basée sur les prédictions du modèle d’embrayage magnétorhéologique établi au chapitre 3. Dans un premier temps, l’espace de conception est exploré de façon aléatoire. Cela permet d’étudier l’impact qu’ont certains pa-ramètres sur les performances de l’embrayage magnétorhéologique. Dans un second temps, une séquence d’optimisation basée sur un algorithme génétique permet de mettre au jour un embrayage magnétorhéologique optimisé pour les besoins spécifiques du projet.
● Chapitre 5 : Conclusion
Le chapitre 5 conclut sur les aspects importants de l’ouvrage et oriente les futurs efforts en la matière.
2 Implémentation numérique d’un modèle de fluide
magnétorhéologique en écoulement
L’objectif de ce chapitre est de proposer un modèle du comportement du fluide magnétorhéologique en écoulement, d’en expliquer l’implémentation numérique dans COMSOL®pour finalement en arriver
à prédire le couple transmis par l’interface de fluide magnétorhéologique. Pour y arriver, le compor-tement typique des fluides magnétorhéologiques est d’abord présenté à la section 2.1. Les principaux modèles empiriques qui en font la description sont ensuite présentés à la section 2.2. Pour surmonter les difficultés associées à la résolution numérique de ces modèles, quelques méthodes ont été propo-sées dans la littérature. Il en est question à la section 2.3. Par la suite, les données provenant d’une caractérisation expérimentale du fluide magnétorhéologique utilisé sont présentées à la section 2.4. Un des modèles présenté à la section 2.3 est alors adopté puis ajusté pour en décrire le comportement réel. Enfin, la section 2.5 s’attarde à l’implémentation numérique du modèle dans COMSOL®. En effet,
COMSOL®4.1 permet de simuler l’écoulement de fluide viscoélastique, mais pas de façon à exploiter
la symétrie de révolution de l’embrayage. Les équations ont donc été dérivées dans un repère cylin-drique puis introduite manuellement dans COMSOL®. Une validation est effectuée à la section 2.6
pour assurer l’intégrité de l’implémentation du modèle dans COMSOL®. Ultimement, la résolution
des équations permet de calculer le couple transmis via l’interface de fluide magnétorhéologique.
2.1 Comportement typique des fluides magnétorhéologiques
Lors de l’application d’un champ magnétique et tant et aussi longtemps que la contrainte de cisaille-mentτ n’excède pas la contrainte d’écoulement statique τy,s, le fluide magnétorhéologique adopte un
comportement qui s’apparente à celui d’un solide élastique [15]. La contrainte de cisaillement dans le fluide à l’état solide croît proportionnellement à la déformationγ qu’il subit, soit :
τ(B,γ) = K(B)γ si τ < τy,s (2.1)
où B désigne l’amplitude de la densité de flux magnétique (B≡ ∥B∥ pour alléger la notation) et où la constante élastique K croit avec l’augmentation de cette dernière. La courbe présentée à la figure 2.1 a) (pour γ< γc) illustre ce comportement. Lorsque la contrainte d’écoulement statique est atteinte (τ=
τy,s), il y a une transition de l’état solide à l’état liquide. Les observations montrent alors que la
limite d’écoulement dynamiqueτy,d, où :
τy,s> τy,d
Une fois que l’état liquide est bien établi, la contrainte de cisaillement progresse plus ou moins li-néairement à mesure que le taux de cisaillement ˙γ augmente. Cette progression est illustrée à la fi-gure 2.1 b). Déformation en cisaillementγ Contrainte de cisaillement τ τy,s τy,d γc a) État solide Taux de cisaillement ˙γ Contrainte de cisaillement τ τy,s τy,d b) État liquide
FIGURE2.1 – Comportement du fluide magnétorhéologique a) à l’état solide (pourγ< γc) et b) à l’état
liquide.
La figure 2.2 illustre l’effet du champ magnétique sur les contraintes d’écoulement statique et dy-namique. Pour de faibles champs magnétiques, ces contraintes augmentent proportionnellement au carré [16] de la densité de flux magnétique. Toutefois, cette évolution commence à stagner lorsque l’énergie contenue dans le champ magnétique est suffisante pour forcer l’agglomération de la presque totalité des particules en ces structures qui participent à la transmission des efforts de cisaillement et stagne davantage lorsque les particules ferromagnétiques s’approchent de leur seuil de saturation magnétique. Déformation en cisaillementγ Contrainte de cisaillement τ a) État solide Taux de cisaillement ˙γ Contrainte de cisaillement τ b) État liquide
FIGURE2.2 – Effet de la densité de flux magnétique B (∥B∥) sur le comportement du fluide magnéto-rhéologique a) à l’état solide et b) à l’état liquide.
2.2 Modèles empiriques du comportement des fluides
magnétorhéologiques
Dans la littérature, le comportement des fluides magnétorhéologiques en écoulement est souvent dé-crit par des modèles empiriques de fluides viscoélastiques. La contrainte de cisaillement est ajustée en fonction du taux de cisaillement et de la densité de flux magnétique de façon à refléter les compor-tements observés expérimentalement. Les modèles de Bingham, Herschel-Bulkley et Casson sont les plus rencontrés dans la littérature et sont détaillés aux sections 2.2.1, 2.2.2 et 2.2.3 respectivement.
2.2.1 Modèle de Bingham
Le modèle de Bingham [17, 18] est sans contredit le modèle le plus utilisé dans la littérature pour décrire le comportement des fluides magnétorhéologiques. Il lie la contrainte de cisaillement τ au taux de cisaillement ˙γ par une simple relation linéaire, soit :
τ(B, ˙γ) = µB(B) ˙γ+τB(B) si τ > τy
˙
γ= 0 autrement
(2.2)
oùτy est la contrainte de cisaillement minimale qui suffit à provoquer l’écoulement du fluide
magné-torhéologique (et cela suppose que le modèle ne fait aucune distinction entreτy,setτy,d). La figure 2.3
illustre le comportement associé au modèle de Bingham. Il est constaté que la contrainte de cisaille-mentτB[N/m2] et la viscosité de BinghamµB [N s/m2] varient selon la densité de flux magnétique B
dans le fluide. Taux de cisaillement ˙γ Contrainte de cisaillement τ τB µB
FIGURE2.3 – Effet de la densité de flux magnétique B (∥B∥) sur les paramètres du modèle de Bingham. La contrainte d’écoulementτBest fortement influencée par B.
2.2.2 Modèle de Herschel-Bulkley
De façon générale, le taux de croissance de la contrainte de cisaillementτ dans les fluides magnéto-rhéologiques diminue légèrement avec l’augmentation du taux de cisaillement ˙γ. Il est alors question de fluidification par cisaillement. De par sa linéarité, le modèle de Bingham ne peut pas représenter ce genre de comportement. Lors de caractérisations expérimentales, l’utilisation du modèle de Bingham se traduit souvent par une surestimation de la véritable contrainte d’écoulement [19]. Pour remédier à ce problème, plusieurs font appel au modèle à trois paramètres de Herschel-Bulkley, lui aussi, très présent dans la littérature, soit :
τ(B, ˙γ) = K(B) ˙γ1−n+τ
HB(B) si τ > τy
˙
γ= 0 autrement
(2.3) où les paramètres K [N s/m2] et n permettent de tenir compte de la variation de la viscosité en fonction
du taux de cisaillement ˙γ. Si n est positif, il est question de fluidification par cisaillement et c’est généralement le cas des fluides magnétorhéologiques. Si n est négatif, il est question d’épaississement par cisaillement.
2.2.3 Modèle de Casson
D’autres, comme H. M. Laun, C. Gabriel et C. Kieburg [20], se sont plutôt tournés vers le modèle de Casson [21] qui arrive à faire une description toute aussi juste mais ne fait intervenir que deux paramètres plutôt que trois, soit :
τ(B, ˙γ) = (√µC(B) ˙γ+√τC(B)) 2 si τ> τy ˙ γ= 0 autrement (2.4)
Le premier paramètre est la viscosité de CassonµC[N s/m2] et le second est la contrainte d’écoulement
de CassonτC[N/m2]. Comme ces paramètres sont affectés par une racine carrée, ils ne peuvent adopter
une valeur négative. Ceci restreint le modèle de Casson à la description de fluides qui se fluidifient sous l’effet d’un cisaillement accru alors que le modèle de Herschel-Bulkley peut également décrire les fluides qui ont une tendance à s’épaissir. Comme ceci n’est généralement pas le cas avec les fluides magnétorhéologiques, l’utilisation du modèle de Casson demeure approprié, voire même préférable, puisqu’il fait intervenir un paramètre de moins.
2.3 Modèles empiriques adaptés pour la résolution numérique
Les modèles présentés à la section 2.2 ne peuvent être introduits directement dans COMSOL®. En
exprimée sous la formeτ= µ ˙γ. Les modèles présentés jusqu’à présent n’ont pas cette forme a priori puisque d’autres termes, ne représentant pas cette dépendance linéaire avec le taux de cisaillement, interviennent dans l’expression de la contrainte de cisaillement. Il apparait alors naturel de remanier l’expression des modèles précédents de façon à faire ressortir la viscosité apparenteµ qui émerge de la formeτ= µ ˙γ. À titre d’exemple, la viscosité apparente µ découlant du modèle de Bingham prendrait la formeµB+τB/ ˙γ car :
τ= µBγ˙+τB
= (µB+τγ )˙B γ˙
= µ ˙γ
Par contre, lorsque le taux de cisaillement ˙γ approche zéro, la valeur de la viscosité apparente explose et ceci donne lieu à des instabilités numériques. Les modèles comportementaux présentés au cours de cette section permettent d’éviter ce problème.
De plus, selon l’état des contraintes dans l’interface de fluide magnétorhéologique, certaines zones adoptent un comportement solide alors que d’autres adoptent un comportement liquide. Suivre l’em-placement de la transition d’état est une tâche a priori ardue car ceci implique généralement de ré-soudre simultanément les deux équations de comportement associées à chacun de ces deux états. Cependant, les modèles comportementaux présentés au cours de cette section usent d’une approche différente qui permet d’y parvenir plus facilement. L’influence de la transition d’état sur le couple transmis peut donc être étudiée et il en est question à la section 2.6.
Les sections 2.3.1, 2.3.2 et 2.3.3 présentent les modèles de Bercovier-Engelman, Papanastasiou et Susan-Resiga respectivement. Ces modèles ont été retenus puisqu’ils répondent aux besoins mention-nés. Le comportement liquide et solide est évalué dans un régime en écoulement seulement. L’in-fluence des zones à l’état solide est prise en compte en leur attribuant une viscosité accrue. Cepen-dant, ces modèles n’offrent pas la possibilité de suivre la déformation du fluide lorsque les efforts de cisaillement ne suffisent pas à solliciter le régime en écoulement. Ceci est le principal inconvénient de ces modèles. Toutefois, ils ont l’avantage d’être faciles à implémenter dans un outil de résolution nu-mérique tel que COMSOL®. De plus, ces solutions s’adaptent aisément à tous les modèles présentés plus tôt à la section 2.2. Il est donc facile d’y transposer les données expérimentales puisées dans la littérature.
2.3.1 Modèle de Bercovier-Engelman
En 1980, M. Bercovier et M. Engelman [13] ont surmonté les problèmes d’implémentation numérique en proposant quelques modifications au modèle de Bingham. Leur solution revient à introduire un paramètre de régularisationη au dénominateur de la viscosité pour éviter l’occurrence d’une division
par zéro (lorsque ˙γ= 0) se qui rendrait la résolution du problème numérique impossible, soit : τ(B, ˙γ) = (µB(B)+τγ˙B(B)
+η )γ˙ pour tout ˙γ (2.5)
Ce faisant, l’état solide est pris en compte par l’apparition d’une très grande viscosité pour les faibles taux de cisaillement et l’introduction d’une seconde équation de comportement pour l’état solide n’est plus nécessaire. Comme le montre la figure 2.4, plus la valeur du paramètreη est petite, plus la transition entre l’état solide et l’état liquide est abrupte. Ceci a cependant pour effet négatif de rendre la convergence du problème plus ardue. À l’opposé, plus sa valeur est grande, plus les déviations par rapport au modèle de Bingham se font importantes, mais la convergence numérique est plus facilement atteignable. Le paramètreη est donc ajusté par essais et erreurs afin de trouver le bon compromis entre la stabilité du calcul et la justesse du modèle. La frontière entre l’état solide et l’état liquide peut alors être approximée par la ligne qui se définit là où la contrainte de cisaillementτ correspond à la contrainte d’écoulement de BinghamτBtel que présenté à la figure 2.4. Le comportement réel du fluide
magnétorhéologique ne pourra être considéré liquide que siτ≥ τB(ou plutôt, ˙γ≥ ˙γc). Autrement, son
comportement réel sera considéré solide. La validité de cette hypothèse repose sur une petite valeur deη. µB η diminue Liquide Solide Taux de cisaillement ˙γ Contrainte de cisaillement τ τB ˙ γc
FIGURE2.4 – Effet du paramètreη introduit par le modèle de Bercovier-Engelman et détermination de la frontière entre l’état liquide et l’état solide à partir de la contrainte d’écoulement de BinghamτB.
2.3.2 Modèle de Papanastasiou
Une alternative au modèle de Bercovier-Engelman est le modèle de Papanastasiou [22] qui a été dé-veloppé en 1987. Avec le temps, ce modèle est devenu très populaire pour la simulation numérique de fluides viscoélastiques. Bien qu’il y ait des différences du point de vue mathématique, l’idée derrière cette solution demeure essentiellement la même que celle de Bercovier-Engelman. Dans ce modèle, la contrainte d’écoulement (τB) est affectée par le facteur 1−e(−a ˙γ). Le paramètre a permet de mieux
contrôler l’évolution exponentielle de la transition entre l’état solide et l’état liquide. τ(B, ˙γ) =⎛ ⎝µB(B)+ τB(B)(1−e−a ˙γ) ˙ γ+η ⎞⎠γ˙ pour tout ˙γ (2.6) Lorsque a approche zéro, le comportement décrit correspond à celui d’un fluide newtonien. Encore plus important, lorsque a approche l’infini, le comportement décrit est équivalent à celui du modèle de Bingham. En pratique, le paramètreη doit tout de même être ajouté au dénominateur avec ˙γ afin d’éviter une division par zéro lors du calcul de la viscosité. Par contre, pour le modèle de Papanasta-siou, cette valeur peut être aussi petite que le permet la précision numérique de l’outil de résolution. Dans COMSOL®, la valeureps1peut être utilisée à cette fin.
2.3.3 Modèle de Susan-Resiga
Les modèles présentés plus tôt ne peuvent tenir compte de la différence entre la contrainte d’écoule-ment statiqueτy,set la contrainte d’écoulement dynamiqueτy,d. Plus récemment, en 2007, D.
Susan-Resiga [23] a élaboré un modèle pour représenter cette particularité du comportement des fluides magnétorhéologiques. Encore une fois, l’approche est très similaire à celles de Bercovier-Engelman et de Papanastasiou. Essentiellement, il s’agit de décrire le comportement du fluide en combinant deux fonctions, l’une décrivant les contraintes à l’état solide et l’autre, à l’état liquide. Leurs contributions respectives sont pondérées par une troisième relation w qui est fonction du taux de cisaillement ˙γ, soit : τ(B, ˙γ) = µ0(B) ˙γ(1−w) ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ Solide +(τ′(B, ˙γ))w ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ Liquide pour tout ˙γ (2.7)
L’état solide est décrit par un fluide newtonien auquel lui est attribuée une grande viscositéµ0et l’état
liquide est décrit par un modèleτ′(B, ˙γ) au choix (Bingham, Herschel-Bulkley, Casson, etc.). Quant
à la fonction de pondération w, Susan-Resiga propose trois équations2sans toutefois préconiser l’une
d’entre elles :
w1= 1−e−γ/ ˙γ˙ c, w2= tanh( ˙γ/ ˙γc), w3= erf( ˙γ/ ˙γc) (2.8)
Ensemble, les paramètres µ0 et ˙γc permettent de contrôler la transition d’état, caractérisée par les
contraintes d’écoulement statique et dynamique. À titre d’exemple, en optant pour le modèle de Bin-gham et la fonction de pondération w2, le modèle suivant est obtenu :
τ(B, ˙γ) = (µ0(B)[1−tanh( γ˙ ˙ γc(B))]+[µB(B)+ τB(B) ˙ γ ]tanh( ˙ γ ˙ γc(B)))γ˙ (2.9) pour tout ˙γ
1. epsest la précision numérique de l’outil de résolution. Elle correspond à la plus petite valeur qui permet de distinguer deux nombres différents.
2. Une de ces trois fonctions fait intervenir la « fonction erreur » erf qui est obtenue par l’intégration de de la distribution normale (qui est une forme normalisée de la fonction de Gaussienne).
Le modèle de Susan-Resiga implique deux paramètres supplémentaires (µ0et ˙γc) par rapport au
mo-dèle τ′ choisi (Bingham, Herschel-Bulkley, Casson, etc.) et chacun d’eux (µ
0 et ˙γc) suppose une
relation additionnelle pour exprimer sa dépendance envers la densité de flux magnétique B. De plus, l’ajustement de l’ensemble des paramètres du modèle de Susan-Resiga s’avère assez ardu en raison de leur interdépendance dans la zone de transition. Par ailleurs, le fait de tenir compte de la contrainte de cisaillement statique peut complexifier l’allure du comportement au point de rendre la convergence de la méthode des éléments finis plus difficile. Pour ces raisons, les modèles de Bercovier-Engelman et de Papanastasiou sont habituellement préconisés.
2.3.4 Adaptation de l’approche de Bercovier-Engelman au modèle de Casson
Le fluide BASONETIC®5030 utilisé dans le cadre de ces travaux dispose d’une très grande fluidité par
rapport à sa contrainte d’écoulement. Ceci le rend particulièrement intéressant pour les applications d’embrayage. Les caractéristiques de ce fluide sont rendues disponibles de la part du manufacturier BASF qui l’a caractérisé à partir du modèle de Casson. Donc, pour faire usage des données expé-rimentales de BASF dans COMSOL®, une des trois méthodes empiriques doit être adaptée pour le
modèle de Casson.
Dans le cadre de ce projet, la méthode de Bercovier-Engelman a été adaptée. Pour ce faire, il suffit simplement d’exprimer le modèle de Casson sous la formeτ= µ ˙γ. Ceci permet de mettre en évidence l’expression de la viscositéµ. L’occurrence d’une division par zéro lorsque ˙γ devient nulle est évitée en introduisant le paramètreη aux dénominateurs (de la même façon que Bercovier et Engelman ont procédé avec le modèle de Bingham). Le modèle de Casson-Bercovier-Engelman est alors obtenu :
τ(B, ˙γ) =⎛⎜ ⎝ τc(B) ˙ γ+η +2 ¿ Á Á Àτc(B)µc(B) ˙ γ+η + µc(B) ⎞ ⎟ ⎠ ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ µ ˙ γ pour tout ˙γ (2.10)
Pour la suite de la démarche, il n’est question que du modèle de Casson-Bercovier-Engelman. Tou-tefois, l’emploi de la méthode de Bercovier-Engelman est un choix subjectif et l’approche de Papa-nastasiou aurait été tout fait adéquate. À titre d’information, le modèle de Casson-PapaPapa-nastasiou va comme suit : τ(B, ˙γ) =⎛⎜ ⎝ ¿ Á Á Àτc(B) ˙ γ+η (1−e− √ a ˙γ)+√µ c(B) ⎞ ⎟ ⎠ 2 ˙ γ pour tout ˙γ (2.11)
2.4 Détermination des paramètres de Casson en fonction de la densité
de flux magnétique
Le modèle de Casson-Bercovier-Engelman présenté à la section 2.3.4 a besoin d’être complété par des données expérimentales afin de bien représenter le comportement réel du fluide. Afin de mettre en contexte les mesures expérimentales effectuées par BASF, la méthode de caractérisation est d’abord introduite à la section 2.4.1. Ces données expérimentales sont ensuite présentées à la section 2.4.2 et comme elles ont été caractérisées grâce au modèle de Casson, la section 2.4.3 s’attarde à lier les valeurs des paramètresτcetµcavec la densité de flux magnétique B.
2.4.1 Méthode de caractérisation du fluide magnétorhéologique utilisé
Un rhéomètre est un appareil de laboratoire permettant d’étudier les propriétés d’écoulement (ex. : vis-cosité) d’un liquide ou d’une suspension en réponse à une force appliquée. Les efforts de caractérisa-tion de BASF ont mené au développement une cellule magnétique spécialisée (MRD180/1T) pour le rhéomètre Physica MCR501 d’Anton Paar. Cette cellule contrôle le flux magnétique qui traverse deux interfaces (d’épaisseur h) de fluide magnétorhéologique de part et d’autre d’un disque en rotation et le rhéomètre mesure le couple résultant pour en déterminer la viscosité. La figure 2.5 montre une vue de section du montage expérimental.
FIGURE 2.5 – Vue de section de la cellule magnétique (MRD180/1T pour le rhéomètre Physica MCR501 d’Anton Paar) développée par BASF pour la caractérisation de fluides magnétorhéologiques. L’interface de fluide a une épaisseur de 0,3 [mm]. Le disque a un diamètre de 19,4 [mm] et une épais-seur de 1 [mm]. L’arbre qui maintient le disque en rotation a un diamètre de 5 [mm]. Traduit de : C. Gabriel [20]
Comme la géométrie du montage montre de fortes ressemblances avec un embrayage magnétorhéolo-gique à disque (qui n’en possède qu’un seul), cette méthode de caractérisation s’avère idéale pour le type d’application étudié, mais il y a un inconvénient. En effet, en raison de la variation de ˙γ avec la
distance r de l’axe de rotation du disque ( ˙γ= ˙γ(r)), la mesure de la contrainte de cisaillement ne peut s’effectuer pour un ˙γ donné. Par conséquent, la contrainte cisaillement τ( ˙γ) doit être déduite par une méthode indirecte. La figure 2.6 soutient les explications liées à cette méthode.
Taux de cisaillement ˙γ= rω/h Contrainte de cisaillement τ τa( ˙γR) τ( ˙γR) ˙ γ˙R γR τa( ˙γ) τ( ˙γ) µ
FIGURE2.6 – Signification de la contrainte de cisaillement apparenteτaet de la contrainte de
cisaille-ment réelleτR. ˙γ correspond au taux de cisaillement à l’extrémité du disque de rayon R.
À partir d’une mesure de couple M, prise à une vitesse de rotationω donnée, une première estima-tion de la contrainte de cisaillement à l’extrémité du disque (où r= R et ˙γR≡ ˙γ(R)) est effectuée en
supposant un comportement newtonien et un écoulement de Couette. Bien qu’elle ne corresponde pas à la valeur réelleτ( ˙γR) recherchée (car le comportement réel est non-newtonien), cette contrainte
de cisaillement apparenteτa( ˙γR) nouvellement obtenue s’avère tout de même représentative de l’état
des contraintesτ(r) sur l’ensemble du disque pour une vitesse de rotation ω donnée. En cumulant plusieurs valeurs de τa( ˙γR) pour différentes vitesses de rotation ω, il s’avère que la courbe
résul-tanteτa( ˙γ) contient toute l’information permettant de déterminer indirectement la véritable contrainte
de cisaillementτ( ˙γ). Weissenberg et Rabinowitsch [20] ont déterminé le lien pour passer de τa( ˙γ)
àτ( ˙γ), soit : τ( ˙γ) = τa( ˙γ)(3+n 4 ) où n≡ ˙ γ τa( ˙γ) dτa( ˙γ) d ˙γ (2.12)
En ce qui concerneτa( ˙γR) utilisé pour tracer la courbe τa( ˙γ), son expression se dérive comme suit.
D’abord, tel que mentionné précédemment, un comportement newtonien (τ(r) = µ ˙γ(r)) et un écoule-ment de Couette ( ˙γ(r) = ωr/h) sont supposés, de telle sorte qu’à l’extrémité du disque :
τa( ˙γR) = µ ˙γR et γ˙R=ωR
h (2.13)
À partir de ces hypothèses, il suffit d’effectuer l’intégrale M= 2π ∫0Rτ(r)r2dr pour affirmer que :
M( ˙γR) = πR 3
2 µ ˙γR (2.14)
et alors, en combinant les équations 2.13 et 2.14, l’expression deτa( ˙γR) est obtenue, soit :
