L’évaluation du couple transmis par l’interface de fluide magnétorhéologique nécessite la connais- sance de la densité de flux magnétique B qui la traverse. Le module AC/DC [43] de COMSOL®est
employé à cette fin.
Même si elles ne sont que partiellement utilisées lors de la résolution, les équations de Maxwell sont présentées dans leur ensemble à la section 3.3.1. Ces équations peuvent aussi être exprimées dans leur forme de potentiel vecteur et puisque COMSOL® y fait souvent référence, cette formulation
est introduite à la section 3.3.2. Ce n’est que par la suite, à la section 3.3.3, que les équations de Maxwell sont simplifiées pour les besoins du problème, puis assignées au domaine de résolution. À la section 3.3.4, les équations de comportement associées aux différents matériaux (ferromagnétiques et à faible aimantation) sont assignées aux différents composants de l’embrayage. Puis, à la section 3.3.5, des conditions sont attribuées aux frontières du domaine de résolution. Pour terminer, la section 3.3.6 traite de la modélisation du bobinage qui est à l’origine du champ magnétique dans l’embrayage. À titre informatif, la portion du code MATLAB®qui implémente l’aspect électromagnétique du modèle
dans COMSOL®est présentée à l’annexe C.3.
3.3.1 Introduction aux équations de Maxwell
Les quatre équations suivantes ont été formulées dans leur intégralité et regroupées, pour la première fois, en 1865, grâce au génie de J. C. Maxwell. Elles décrivent, d’un point de vue macroscopique, les observations faites à l’égard des champs électromagnétiques. Leurs formes locales s’écrivent comme suit :
∇⋅B = 0 (3.23)
∇⋅D = ρ (3.24)
∇×E = −∂B/∂t (3.25)
∇×H = J +∂D/∂t (3.26)
où B [V s/m2]6 est la densité de flux magnétique, H [A/m] est le champ magnétique, D [A s/m2]
est la densité de flux électrique, E [V/m] est le champ électrique, J [A/m2] est la densité de courant
électrique et ρ [C/m3] est la densité de charge électrique. Le divergent (∇⋅) et le rotationnel (∇×)
sont essentiellement des opérateurs de dérivées spatiales effectuées sur un champ vectoriel. D’autres relations sont toutefois nécessaires pour clore ce système d’équations. Celles-ci décrivent le compor-
tement des matériaux du point de vue électromagnétique :
B= µ0(H +M) (3.27)
D= ε0E+P (3.28)
J= σE (3.29)
Les champs d’aimantation M [A/m] et de polarisation P [V s/m2] décrivent les phénomènes liés à la
présence de matériaux. Dans le vide, ces champs sont nuls et par conséquent, les relations concernées ne s’appuient plus que sur la perméabilité magnétique du videµ0(4π×10−7[V s/A/m]) et la permitti-
vité électrique du videε0(∼ 8,854×10−12[A s/V/m]). La conductivité électriqueσ [A/V/m] influence
le courant généré par la présence d’un champ électrique dans un matériau.
3.3.2 Introduction aux équations de Maxwell dans leur forme de potentiel vecteur
Les équations de Maxwell peuvent être remaniées de manière à simplifier leurs expressions. Cette section se penche sur la dérivation de cette seconde formulation, car COMSOL®en fait usage lors de
la description et de la résolution de l’analyse électromagnétique.
D’abord, il faut rappeler que la divergence du rotationnel d’un champ vectoriel quelconque donne toujours un champ scalaire nul :
∇⋅(∇×A) = 0
Lorsque combinée à l’équation 3.23, cette identité vectorielle implique que B doit être le rotationnel d’un champ vectoriel quelconque, désigné ici par A, le potentiel magnétique. Déjà, la solution de B, la densité de flux magnétique, est obtenue :
B= ∇×A (3.30)
Par la suite, l’équation 3.30 est substituée dans l’équation 3.25 introduite plus tôt. L’équation suivante est obtenue pour le champ électrique :
∇×E = −∂(∇×A)∂t (3.31)
L’ordre dans lequel s’appliquent les dérivées spatiales et temporelles n’a pas d’importance et ceci permet de regrouper les termes qui sont affectés par un rotationnel. Ainsi, l’équation 3.31 peut être réécrite comme suit :
∇×(E +∂ A∂t ) =0 (3.32)
De plus, le rotationnel du gradient d’un champ scalaire quelconque donne toujours un champ vectoriel nul :
Cette identité vectorielle implique que les termes E+ ∂A/∂t de l’équation 3.32 peuvent également décrire le gradient d’un champ scalaire, désigné ici par φ, le potentiel électrique. Pour une question de convention, le signe du terme∇φ est inversé. C’est ainsi qu’est obtenue la solution de E :
E= −∇φ −∂ A∂t (3.33)
Cette seconde formulation des lois de l’électromagnétisme est en tout point équivalente à celle de Maxwell. Elle est employée dans COMSOL®, car bien souvent, elle simplifie leur implémentation et
leur résolution. D’ailleurs, le potentiel magnétique A est employé pour décrire certaines conditions aux frontières du domaine de résolution.
3.3.3 Domaine de résolution de l’analyse électromagnétique
Comme seul le régime permanent est considéré, tous les termes qui évoquent une dépendance au temps peuvent être éliminés. L’interdépendance entre les champs électrique et magnétique disparaît et comme le champ électrique n’intervient pas dans le problème, il peut être écarté. Au final, seules les deux équations suivantes sont considérées lors de la résolution de ce problème, souvent désigné par « magnétostatique » :
∇⋅B = 0 (3.34)
∇×H = J (3.35)
Ces équations sont assignées au domaine de résolution illustré en gris à la figure 3.13. Celui-ci se compose de l’ensemble des composants de l’embrayage ayant reçu une représentation géométrique. Puisque le flux magnétique se disperse dans les environs, le domaine de résolution inclut aussi le milieu ambiant. ∇ ⋅B = 0 ∇ ×H = J Dimension radiale r Dimension axiale z
FIGURE3.13 – Domaine de résolution de l’analyse électromagnétique. Le domaine concerné, illustré en gris, est constitué de l’embrayage et de son environnement immédiat.
3.3.4 Équations de comportement
Pour lier la densité de flux magnétique B au champ magnétique H et ainsi compléter les relations 3.34 et 3.35, des équations de comportement suivantes sont assignées aux différentes parties du domaine de résolution : B= µ0µrH B= µ0µrH B= f (H) Dimension radiale r Dimension axiale z
FIGURE3.14 – Équations de comportement assignées aux différentes parties du domaine de résolution de l’analyse électromagnétique. Les matériaux ferromagnétiques sont illustrés en gris et les matériaux à faible aimantation, en blanc.
● Matériaux à faible aimantation
Ces matériaux ont un comportement magnétique linéaire, soit :
B= µ0µrH (3.36)
Dans COMSOL®, il suffit de spécifier que le milieu en question se comporte de façon linéaire
puis de définir la valeur de la perméabilité magnétique relative µr si celle-ci n’a pas déjà été
définie par le matériau du milieu en question. Comme le montrent les composants en blanc à la figure 3.14, cette équation de comportement est assignée au bobinage, à l’anneau de fixation des disques et au milieu ambiant.
● Matériaux ferromagnétiques doux
Comme il est fréquent de solliciter le comportement non linéaire des matériaux ferromagné- tiques, la densité de flux magnétique B est donnée en fonction de l’amplitude du champ magné- tique H, tel que décrit par la relation suivante :
B= f (H) (3.37)
Cette équation de comportement est assignée aux disques, aux flasques et à l’anneau ferroma- gnétiques tel que montré à la figure 3.14.
3.3.5 Conditions aux frontières du domaine de résolution
Les équations présentées plus tôt décrivent le champ magnétique au sein du domaine de résolution, mais rien encore ne décrit son comportement aux frontières. Les conditions qui s’y rattachent vont comme suit :
Sym´etrie axiale (Isolation magn´etique) n×A = 0 ´Etendue infinie
du milieu ambiant (Isolation magn´etique) n×A = 0 Sym´etrie de r´eflexion n×H = n×H0 Dimension radiale r Dimension axiale z
FIGURE3.15 – Limites du domaine de résolution de l’analyse électromagnétique. Les frontières as- sociées à la symétrie de révolution sont illustrées en vert, celles associées à la symétrie de réflexion, en bleu, et enfin, celle qui délimite le milieu ambiant, en rouge.
● Étendue limitée du milieu ambiant
L’étendue du domaine de résolution associé au milieu ambiant doit être limitée pour se confor- mer à la capacité de calcul disponible. La frontière qui résulte de cette limitation est isolée d’un point de vue magnétique en appliquant la condition suivante à la frontière illustrée en rouge à la figure 3.15 :
n×A = 0 (3.38)
où n représente la normale de la frontière du domaine de résolution. Cette condition force le champ magnétique à adopter une direction parallèle à la frontière et ceci confine l’énergie magnétique à l’intérieur du domaine de résolution. Ainsi, les pertes magnétiques dans le milieu ambiant sont prises en compte convenablement.
● Symétrie de révolution
La condition d’isolation magnétique présentée à l’équation 3.38 est également utilisée pour décrire la symétrie de révolution. Elle est donc appliquée à la frontière illustrée en vert à la figure 3.15.
● Symétrie de réflexion
L’exploitation de la symétrie de réflexion engendre des frontières fictives illustrées en bleu à la figure 3.15. Le champ magnétique doit être perpendiculaire à ces surfaces afin de bien représenter la condition de symétrie. Le module AC/DC de COMSOL®[43] met à disposition
la composante du champ magnétique tangentielle à la frontière, tel que d’écrite par l’équation suivante :
n×H = n×H0 (3.39)
En fixant H0à zéro (H0= 0), le champ magnétique est forcé d’adopter une direction normale à
la frontière. Cela représente en effet la symétrie de réflexion comme souhaité.
3.3.6 Modélisation du bobinage
La modélisation du bobinage est simplifiée en supposant que ses multiples tours n’en forment qu’un seul. Cette hypothèse est valide dans la mesure où les variations de courant demeurent faibles7. Elle
consiste à répartir le courant I de chacun des N tours sur l’ensemble de la section S du bobinage pour obtenir une densité de courant moyennée J, tel que :
Je= NI
2∫SdS
eθ (3.40)
Dans cette équation, l’aire de section du bobinage est multipliée par deux, car seul la moitié du bo- binage est représentée. Cette densité de courant J est appliquée à la représentation géométrique du bobinage grâce à l’entrée « Densité de courant externe » du module AC/DC de COMSOL®. Si le
nombre de tours N n’est pas connu, il est possible d’en faire l’estimation à partir du facteur de rem- plissage k et de l’aire de section A [m2] du fil conducteur :
N=2k∫SdS
A (3.41)
D’ordinaire, le fil qui est utilisé dans la fabrication du bobinage se conforme au standard américain American Wire Gauge (AWG). Si tel est le cas, l’aire de la section conductrice A du fil de calibre n est donnée par :
A= 0,012668×92(36−n)/19,5 [mm2] (3.42)
La longueur du fil conducteur l [m] peut être évaluée comme suit : l= N ∫S2πrdS
∫SdS
(3.43) Il est aussi possible d’évaluer sa résistance R [Ω] à partir de l’équation suivante :
R(T) =∫S
N
Aσ(T)2πr dS
∫SdS
(3.44) Avec l’introduction de la température T dans le modèle, la conductivité électrique σ varie sur le domaine et c’est pourquoi elle demeure dans l’intégrale.
7. Si le courant est continu, la densité de courant est uniformément répartie dans la section du fil conducteur et l’hypo- thèse est valide. Par contre, s’il s’agissait d’un courant alternatif, les forces magnétiques alors générées repousseraient les électrons vers la périphérie du fil. Ceci réduit l’aire de conduction effective et par conséquent, la résistance du fil augmente.