Problèmes de préservation locale
Thèse
Tarik Jari
Doctorat en Mathématiques
Philosophiæ doctor (Ph.D.)
Québec, Canada
© Tarik Jari, 2016
Résumé
Dans cette thèse en théorie des opérateurs, on s’intéresse aux problèmes de préservation locale. Après un chapitre introductif, on présente les définitions et les principaux résultats sur la théorie spectrale locale. Nous présentons aussi les théorèmes fondamentaux de préservation locale.
Dans le chapitre suivant, nous nous intéressons à caractériser les applications surjectives qui conservent le spectre périphérique locale du produit et du produit triple de deux operateurs. Aussi nous éta-blissons la continuité automatiques des applications linéaires qui augmentent le rayon spectral local en un point fixé. De plus, nous présentons une application de ce résultat.
Dans le dernier chapitre, soit X un espace de Banach de dimension infini et B(X ) algébre des opérateurs bornés définis sur X , nous caractérisons les applications surjectives qui verifient
ιT ±S(x) = 0 si est seulement si ιϕ(T )±ϕ(S)(x) = 0,
pour tout x ∈ X et S,T ∈ B(X ),où ιT(x) est le rayon spectral intérieur local. Enfin, nous
détermi-nons toutes les applications bicontinues bijectives qui conservent le rayon spectral intérieur local en un point fixé.
Abstract
In this PhD thesis in Operator theory, we are interested in preserver problems of local spectra. After an introductory chapter, we present the definitions and the main results on local spectral theory. We also present the fundamental theorems of preserver problems of local spectra.
In the next chapter, we address two long standing problems in the context of local spectral radius preservers. First, we completely describe the form of maps preserving the peripheral local spec-trum of product or triple product of operators. Second, we establish the automatic continuity of linear maps increasing the local spectral radius of operators at a fixed nonzero vector.
In the last chapter, letB(X ) be the algebra of all bounded linear operators on an infinite dimen-sional complex Banach space X , and letιT(x) denote the inner local spectral radius of an operator
T ∈ B(X ) at any vector x ∈ X . We characterize surjective maps on B(X ) satisfying ιT ±S(x) = 0 if and only if ιϕ(T )±ϕ(S)(x) = 0,
for all x ∈ X and S, T ∈ B(X ). We also determine the form of all bicontinuous bijective maps on B(X ) preserving the inner local spectral radius of the difference and sum of operators at a nonzero fixed vector.
Table des matières
Résumé iii
Abstract v
Table des matières vii
Remerciements xi Avant-propos xiii Introduction 1 1 Préliminaires 3 1.1 Notations et Rappels . . . 3 1.2 Spectre local . . . 5
1.3 Rayon spectral local-Rayon spectral local intérieur . . . 7
1.4 Les applications linéaires qui conservent le spectre . . . 9
1.5 Isométries spectrales et applications spectralements bornées . . . 10
1.6 Les applications linéaires qui conservent le spectre local . . . 12
1.7 Les applications linéaires qui conservent le rayon spectral local intérieur et le rayon spectral . . . 13
1.8 Les applications qui conservent le spectre local . . . 14
2 Peripheral local spectrum presevers and maps increasing the local spectral radius 15 2.1 Abstract . . . 15
2.2 Résumé . . . 15
2.3 Introduction . . . 15
2.4 Statement of the main results . . . 17
2.5 Preliminaries and auxiliary results . . . 18
2.6 Proof of theorem 2.4.1. . . 21
2.7 Proof of theorem 2.4.2. . . 25
2.8 Proof of Theorem 2.4.3 . . . 30
2.9 Comments and open problems . . . 33
3 Non linear maps preserving the inner local spectral radius 35 3.1 Abstract . . . 35
3.2 Résumé . . . 35
3.4 Preliminaries . . . 37
3.5 Maps preserving operators of inner local spectral radius zero . . . 40
3.6 Inner local spectral radius preservers at a nonzero fixed vector . . . 42
3.7 Concluding remarks. . . 44
Conclusion 47
Remerciements
Je voudrais tout d’abord exprimer mes remerciements et ma gratitude à mon directeur de re-cherche M. Javad Mashreghi pour sa disponibilité, son soutien et ses encouragements tout au long de ma thèse.
Je tiens à remercier mon co-directeur de recherche M. Abdellatif Bourhim de son effort pour ré-pondre à mes questions.
J’aimerais aussi remercier les professeurs du département de mathématiques et de statistique de l’Université Laval.
Finalement, je remercie sincèrement mes parents et ma sœur de leurs encouragements pour aller jusqu ’au bout.
Avant-propos
La thèse comprend deux articles. Le premier article intitulé Peripheral local spectrum presevers and
maps increasing the local spectral radius a été soumis en collaboration avec A. Bourhim et J.
Mash-reghi. L’objecif de cet article est de caractériser des applications surjectives conservant le spectre périphérique locale du produit et du produit triple de deux operateurs. Aussi nous établissons la continuité automatiques des applications linéaires qui augmentent le rayon spectral local en un point fixé.
Quand au second article intitulé Non linear maps preserving the inner local spectral radius a été publié et traitant la caractérisation des applications surjectives qui verifient
ιT ±S(x) = 0 si est seulement si ιϕ(T )±ϕ(S)(x) = 0,
pour tout x ∈ X et S,T ∈ B(X ),où ιT(x) est le rayon spectral intérieur local. Enfin, nous déterminons
toutes les applications bicontinues bijectives qui conservent le rayon spectral intérieur local en un point fixé.
Introduction
En 1896, Frobenius a determiné toutes les applications linéaires qui conservent le determinant d’une matrice. Ce résultat a mis en lumière le problème général de préservation linéaire. Cette no-tion est définie comme suit : Soit S une algèbre. Une applicano-tion linéaireϕ : S → S est dite préserver
1. La propriété P définie sur S, si T ∈ S vérifie la propriété P alors ϕ(T ) la vérifie aussi ; 2. La fonction f définie sur S, si f (ϕ(T )) = f (T ) ;
3. Le sous -ensembleΩ ⊆ S, si ϕ(Ω) ⊆ Ω ;
4. La relation ≈ définie sur S, si A ≈ B alors ϕ(A) ≈ ϕ(B).
Le travail de Frobenius a généré une perspective de recherche dans ce domaine afin de caractéri-ser les applications qui concaractéri-servent certaines propriétés de types spectrales ou qui sont liées a des propriétés d’une algèbre de Banach. Dans ce contexte Kaplansky [5] a énoncé la conjecture sui-vante : Soient A et B deux algèbres de Banach semi simples etϕ : A → B une application linéaire unitaire, surjerctive et queϕ préserve les élèments inversibles (i.e x ∈ A inversible implique que
ϕ(x) inversible dans B) alors ϕ est un morphisme de Jordan (i.e ϕ(x2) = ϕ(x)2pour tout x ∈ A). La
formulation de cette conjecture est dûe à Aupetit [3]. Elle a été résolue dans plusieurs cas : 1. En dimension finie.
2. Si B est une algèbre commutative.
3. Si A = B(X ), B = B(Y ) où X , Y sont des espaces de Banach, B(X ) et B(Y ) sont les algèbres d’opérateurs bornés de X dans Y .
4. A et B sont deux algèbres de Von Neumann.
Le problème de Kaplanky est encore ouvert en général même pour les C∗-algèbres. Nous invitons le lecteur à consulter [3],[5],[28],[29] pour plus de détails.
Le but de cette thèse est de développer des techniques pour résoudre les problèmes de préserva-tion locale.
Plusieurs auteurs se sont intéressés à ces problèmes : A. Bourhim, T. Ransford [13], M. Gonzales, M. Mbekhta [25] , J. Braˇciˇc et V. Müller [15].
Dans le premier chapitre de cette thèse nous rappelons des définitions et certains résultats concer-nant la théorie spectrale locale qui seront utilisées dans la suite. Puis nous présentons également un rappel sur les théorèmes fondamentaux de la théorie de préservation locale.
Dans le second chapitre, nous donnons les details de l’article soumis [14]. L’objet de cet article est de caractériser toutes les applications définies surB(X ) qui conservent le spectre périphérique local du produit et du produit triple de deux opérateurs, dans la première partie. Dans la deuxième partie, nous démontrons le théorème suivant :
D’abord nous soulignons que rT(x0) et r(T ) désignent le rayon spectral local en un point fixé x0∈ X
non nul et le rayon spectral respectivement.
Théorème 0.0.1. Soitϕ : B(X ) → B(Y ) une application linéaire surjective, et soit x0un élément non nul dans X . Si elle existe une constante M > 0 telle que
rT(x0) ≤ Mr(ϕ(T )) (0.0.1)
pour tout T ∈ B(X ), alors ϕ est continue, bijective et spectralement bornée superiérement.
et nous donnons des applications de ce théorème.
Le troisième chapitre englobe l ’article publié [30] qui traite la détermination de toutes les applica-tions surjectives qui vérifient
ιT ±S(x) = 0 ⇐⇒ ιϕ(T )±ϕ(S)(x) = 0,
pour tout x ∈ X et S,T ∈ B(X ), où ιT(x) est le rayon spectral intérieur local. Par suite nous
déter-minerons toutes les applications bicontinues bijectives qui conservent le rayon spectral intérieur local en un point fixé x0non nul .
Chapitre 1
Préliminaires
Dans ce chapitre nous présentons les définitions, les principaux résultats sur la théorie spectrale locale et les théorèmes fondamentaux de préservation locale. Nous invitons le lecteur à consulter [1] et [31] pour plus de détails sur la théorie spectrale locale.
1.1 Notations et Rappels
Soient X ,Y deux espaces de Banach de dimension infinie et B(X ,Y ) désigne l’espace des ap-plications linéaires bornées de X dans Y . Dans le cas où X = Y cet espace sera noté B(X ). Soit
T ∈ B(X ). On désignera par σ(T ) le spectre de T défini par :
σ(T ) = {λ ∈ C : (T − λ Id)n’est pas inversible}.
L’ensemble résolvantρ(T ) de T est le complémentaire du spectre.
Rappelons que si T ∈ B(X ), σ(T ) est un compact de C non vide. Le spectre ponctuel de T , noté
σp(T ), est l’ensemble des valeurs propres de T . Autrement dit par définition :
σp(T ) = {λ ∈ C : K er (T − λ I d) 6= {0}}.
Le spectre approximatif et le spectre de surjection sont definis respectivement par :
σap(T ) = {λ ∈ C : inf
kxk=1k(T − λ I d)xk = 0}.
et
σsu(T ) = {λ ∈ C : (T − λ)X 6= X }.
Nous rappelons les propriétés suivantes du spectre approximatif et du spectre de surjection pour un opérateur T ∈ B(X ) démontrés dans [31]. Notons X∗le dual de X et T∗l’adjoint de T ∈ B(X ).
1. σ(T ) = σsu(T ) ∪ σp(T ).
2. σap(T ) est un compact non vide deC qui contient la frontière du spectre de T
3. σsu(T ) est un compact non vide deC qui contient la frontière du spectre de T .
4. σsu(T ) = σap(T∗), etσap(T ) = σsu(T∗).
Démonstration. Voir[31, page 10].
La borne inférieure et la borne de surjection de T ∈ B(X ) sont definies respectivement par :
m(T ) := inf{kT xk,kxk = 1}.
et
q(T ) = sup{² ≥ 0,²BX ⊆ T (BX)},
où BX désigne la boule unité fermée de X .
Remarque : Les deux suites (m(Tn)n1)n≥1et (q(Tn)
1
n)n≥1convergent car on a m(Tm)m(Tn) ≤ m(Tn+m)
et q(Tm)q(Tn) ≤ q(Tn+m) pour tous n,m ≥ 0.
Maintenant nous allons définir le rayon spectral, le rayon spectral intérieur et le rayon spectral de surjection.
Définition 1.1.2. Soit T ∈ B(X ).
1. On appelle rayon spectral de T le réel r (T ) = max{|λ| : λ ∈ σ(T )}, ou encore r (T ) = limn→∞kTnk
1
n.
2. On appelle rayon spectral intérieur de T le réel r1(T ) = min{|λ| : λ ∈ σap(T )}, ou encore r1(T ) =
limn→∞m(Tn)1n.
3. On appelle rayon spectral de surjection de T le réelδ(T ) = min{|λ| : λ ∈ σsu(T )}, ou encore
δ(T ) = limn→∞q(Tn)
1
n.
Lemme 1.1.3. Soit T ∈ B(X ).
1. m(T ) = 0 ⇐⇒ r1(T ) = 0 ⇐⇒ T n’est pas injectif ⇐⇒ l’image de T n’est pas fermée.
2. q(T ) = 0 ⇐⇒ δ(T ) = 0 ⇐⇒ T n’est pas surjectif. 3. σap(T ) = {λ ∈ C : m(T − λ) = 0}.
4. σsu(T ) = {λ ∈ C : q(T − λ) = 0}.
Démonstration. La preuve est triviale.
1. L’application T 7−→ δ(T ) est semi-continue inférieurement.
2. L’application T 7−→ m(T ) et l’application T 7−→ q(T ) sont uniformements continues.
1.2 Spectre local
Dans cette section nous allons définir le spectre local, la propriété de l’extension unique SVEP et nous présentons certaines propriétés du spectre local.
Définition 1.2.1. Soit x ∈ X . On note ρT(x) l’ensemble résolvant local de T ∈ B(X ) en x défini
comme la réunion de tous les ouverts U deC sur lesquels il existe une fonction analytiqueφ : U → X telle que (T − λ)φ(λ) = x pour tout λ ∈ U . Le spectre local de T en x est
σT(x) = C\ρT(x).
Pour tout x ∈ X , la fonction φ : ρ(T ) → X définie par : φ(λ) = (T − λ)−1x est analytique surρ(T ) et
satisfait (T − λ)φ(λ) = x pour tout λ ∈ ρ(T ). Nous signalons que σT(x) est fermé et contenu dans
σ(T ).
Définition 1.2.2. Soit T ∈ B(X ) et λ0∈ C. On dit que T satisfait la propriété de l’extension unique (SVEP) enλ0si pour tout ouvert U deC contenantλ0et pour toutλ ∈ U la seule fonction analytique φ : U → X qui satisfait l’équation
(T − λ)φ(λ) = 0,
(λ ∈ U), est φ ≡ 0. On dit que l’opérateur T satisfait SVEP si T satisfait SVEP pour tout λ ∈ C.
Remarque : Une conséquence importante de la propriété SVEP est l’existence d’une fonction
ana-lytique maximale notéeφ qui est une extension de (T −λ)−1x sur l’ensembleρT(x), pour tout x ∈ X .
La fonctionφ satisfait aussi l’équation
(T − λ)φ(λ) = x pour toutλ ∈ ρT(x). La preuve de cette remarque est triviale.
Exemples :
1. Soit T ∈ B(X ) tel que l’intérieur de σp(T ) est vide. Alors T vérifie la SVEP. En particulier
chaque opérateur de rang fini satisfait la SVEP.
2. Soit T ∈ B(H ) . Alors T normal implique que T a la SVEP. Supposons qu’il existe une fonc-tion analytiqueφ(λ) sur un ouvert U satisfaisant (T −λ)φ(λ) = 0 pour tout λ ∈ U ⊆ C. Comme les vecteurs propres d’un operateur normal, associé a des valeurs propres sont orthogonaux. On fixeλ ∈ C alors pour tout µ ∈ C tel que µ 6= λ on a kφ(λ) + φ(µ)k2= kφ(λ)k2+ kφ(µ)k2. En faisantµ → λ on déduit que φ(λ) = 0. Ceci est vrai pour tout λ ∈ U alors φ ≡ 0.
Lemme 1.2.3. Soit T ∈ B(X ), x, y ∈ X et α ∈ C tels que α 6= 0.
1. Si T a la SVEP et x 6= 0 alors σT(x) 6= ;.
2. σT(αx) = σT(x) etσαT(x) = ασT(x).
3. σT(x + y) ⊂ σT(x) ∪ σT(y). On a l’égalité siσT(x) ∩ σT(y) = ;.
4. Si T a la SVEP, x 6= 0 et T x = λx tel que λ ∈ C, alors σT(x) = {λ}.
5. Si T a la SVEP et T x = αy, alors σT(y) ⊂ σT(x) ⊂ σT(y) ∪ {0}.
6. Si R ∈ B(X ) et R commute avec T , alors σT(R x) ⊂ σT(x).
7. Pour tout x ∈ X et n ≥ 1,σTn(x) = {σT(x)}n.
Démonstration. Voir [1, page 70]
Le Lemme suivant montre la relation entre le spectre locale et le spectre du surjection.
Lemme 1.2.4. ([31, page 35]) Pour tout T ∈ B(X ) on a : 1. σsu(T ) = ∪x∈XσT(x).
2. L’ensemble {x ∈ X : σsu(T ) = σT(x)} est de deuxième catégorie de Baire.
3. σ(T ) = σsu(T ) si T a la SVEP, etσ(T ) = σap(T ) si T∗a la SVEP.
Nous introduisons maintenant la notion des sous-espaces analytiques spectraux locaux de T.
Définition 1.2.5. Soit T ∈ B(X ). Soit F une partie fermée de C. Le sous espace analytique spectral
local XT(F ) de T (relativement a F ) est défini par XT(F ) = {x ∈ X : σT(x) ⊆ F }.
D’après (1),(2)et (6) du Lemme 1.2.3 on déduit que XT(F ) est un sous espace vectoriel,
hyperinva-riant (i.e :
R(XT(F )) ⊂ XT(F )
pour tout R ∈ B(X ) tel que RT = T R) qui n’est pas nécessairement fermé. Voir [31, page 20]. Aussi, nous définissons la notion des sous espaces spectraux globaux de T.
Définition 1.2.6. Soit T ∈ B(X ). Pour une partie fermée F de C, soit XT(F ) le sous espace spectral
global de T (relativement à F ) est défini par :
XT(F ) := {x ∈ X : (T − λ) f (λ) = x a une solution analytique f sur C\F }.
Nous voyons facilement queXT(F ) est un sous espace vectoriel,XT(F ) ⊆ XT(F ) etXT(F ) = XT(F ∩
σ(T ). D’aprés le Théorème de Liouville on déduit trivialement que XT(;) = {0}. La Proposition
Proposition 1.2.7. Soit T ∈ B(X ). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
1. T a la SVEP.
2. XT(F ) = XT(F ), pour tout ensemble fermé F ⊂ C.
3. XT(;) est fermé.
4. XT(;) = {0}.
1.3 Rayon spectral local-Rayon spectral local intérieur
Dans cette section, nous présentons les définitions et les propriètès du rayon spectral local et du rayon spectral local intérieur.
Définition 1.3.1. Soit T ∈ B(X ). Le rayon spectral local en un point x ∈ X non nul, noté par rT(x)
est défini par :
rT(x) = lim n→∞sup kT
n
xk1n.
L’exemple suivant montre que la limite de kTnxkn1 n’existe pas toujours.
Exemple : Soit l∞l’espace des suites complexes bornées. La norme sur l∞est kxk = sup
n∈N{|xn|}.
Soit T un operateur de shift à poids défini par : T x = (0, a1x, ··· ,anx) tel que 0 ≤ an < 1. Il est
clair que T ∈ B(X ). Soit x = (1,0.··· ,0) donc Tnx = (0,··· ,a1a2 an,0,0, ··· ,0) et par suite kTnxk
1
n =
(a1a2 an)
1
n. Il suffit de choisir des poids tels que la limite n’existe pas. Prenons par exemple an=
(12)nsi n = 10N pour N > 0, et an= 1 autre.
D’aprés [31, Proposition 3.3.13 page 235], nous déduisons que :
Lemme 1.3.2. Soit T ∈ B(X ). Alors :
rT(x) = inf{r ≥ 0 : x ∈ XT(D(0,r ))}
où D(0,r ) est le disque fermé de centre 0 et de rayon r .
En appliquant le Lemme 1.2.4, on démontre la Proposition 1.3.3 qui établit le lien entre le rayon spectral local et le rayon spectral. Ce résultat est prouvé dans [31, page 236].
Proposition 1.3.3. Pour tout T ∈ B(X ) on a :
r (T ) = max{rT(x) : x ∈ X }.
Nous définissons encore de la même facon le rayon spectral local intérieurιT(x).
Définition 1.3.4. Soit T ∈ B(X ). Le rayon spectral local intérieur en un point x ∈ X non nul, noté
parιT(x) est defini par :
ιT(x) = sup{r ≥ 0 : x ∈ XT(C\D(0,r ))}
La borne supérieure du spectre localΓT(x) et la borne inférieure du spectre localΥT(x) sont
defi-nies par :
ΓT(x) = max{|λ| : λ ∈ σT(x)}.
ΥT(x) = min{|λ| : λ ∈ σT(x)}.
Par convention siσT(x) = ;, on pose
ΓT(x) = −∞
et
ΥT(x) = ∞.
Le Corollaire suivant établit le lien entre le spectre local et le rayon spectral local, et aussi entre le spectre local et le rayon spectral local intérieur.
Corollaire 1.3.5. SiσT(x) 6= ;, alors on a :
ιT(x) ≤ ΥT(x) ≤ ΓT(x) ≤ rT(x).
Si T ∈ B(X ) satisfait la SVEP, alors rT(x) = ΓT(x) etιT(x) = ΥT(x).
Le lien entre le rayon spectral de surjection,le rayon spectral local intérieur et entre la borne infé-rieure du spectre local est donné par le Lemme suivant :
Lemme 1.3.6. ([8]) Soit T ∈ B(X ). On a
δ(T ) = min{ιT(x) : x ∈ X } = min{ΥT(x) : x ∈ X }.
Nous notonsθ(U,X ) l’espace de Fréchet des fonctions analytiques définies sur un ouvert U de C à valeurs dans X , muni de la topologie de la convergence uniforme sur tous les compacts dans U .
Démonstration. On suppose queδ(T ) > 0, soit D = {λ :| λ |< δ(T )} et d après le [33, théorème 5.1], l’application TD:θ(D,X ) → θ(D,X ) définie par TDf (λ) := (T − λ)f (λ), (λ ∈ D), est surjective.
En particulier, pour tout x ∈ X il existe fx ∈ θ(D,X ) telle que TDf (λ) := (T − λ)fx= x, (λ ∈ D), et
x ∈ XT(C\D). Doncδ(T ) ≤ ιT(x) ≤ ΥT(x) pour tout x ∈ X . D’aprés le lemme 1.2.4, il existe x0tel que σsu= σT(x0), alors d’après le corollaire 1.3.5 on aδ(T ) ≤ ιT(x0) ≤ ΥT(x0) = min{|λ| : λ ∈ σsu(T )} =
δ(T ).
Nous allons terminer cette section par le Lemme suivant :
Lemme 1.3.7. Soient x0∈ X , y0∈ Y deux éléments non nuls, soit T ∈ B(X ), et cT(x0) désigne l´un des éléments :σT(x0), rT(x0),ι(x0),ΓT(x0) ouΥT(x0). Pour A ∈ B(X ,Y ) et B ∈ B(X∗,Y ) deux appli-cations bijectives, on a
1. cAT A−1(Ax0) = cT(x0)
2. Si Ax0et y0sont linéairement independants, alors ils existent T1, T2∈ B(X ) tels que cAT1A−1(y0) =
cT2(x0) = 0 et cAT2A−1(y0) = cT1(x0) = 1 .
3. Il existe T ∈ B(X ) tel que cBT∗B−1(y0) = 0 et cT(x0) = 1, et vice versa.
Démonstration. Voir [25]
1.4 Les applications linéaires qui conservent le spectre
Soient x ∈ X et f ∈ X∗. On désigne par x ⊗ f l’opérateur défini par (x ⊗ f )(y) = f (y)x, y ∈ X . Signa-lons que tout opérateur de rang un s’ecrit sous cette forme. De plus on a queσ(x ⊗ f ) = {0,f (x)}. Jafarian et Sourour [29] ont confirmé la conjecture de Kaplansky pour les applications linéaires sur-jectivesφ : B(X ) → B(Y ) qui conservent le spectre. Ce résultat est une généralistion du théorème de Marcus et Moyls dans un espace de Banach de dimension finie. Voir [35]
Théorème 1.4.1. ([29]) Soitφ une application linéaire et surjective de B(X ) dans B(Y ) qui conserve le spectre (i.eσ(φ(T )) = σ(T )). Alors
i) il existe une application linéaire bijective bornée A : X → Y telle que φ(T ) = AT A−1pour tout T ∈ B(X ), ou bien
ii) il existe une application linéaire bijective bornée B : X∗→ Y telle que φ(T ) = BT∗B−1pour tout T ∈ B(X ).
Omladi˘c et Šemrl ont montré qu’on obtient le même resultat avec les mêmes hypothèses en sup-posant queφ est seulement additive. Beaucoup de chercheurs se sont intéressés aux applications linéaires ou additives qui conservent différentes quantités spectrales. Voir [12],[28],[29],[41]. La base de la preuve de Jafarian, Sourour, Omladi˘c et Šemrl est la caractrésation des opérateurs de rang un.
Lemme 1.4.2. ([29],[41]) Soit R ∈ B(X ) un opérateur non nul. Les conditions suivantes sont équi-valentes :
(i) r ang (R) = 1
(ii) σ(T + R) ∩ σ(T + λR) ⊂ σ(T ) pour tout T ∈ B(X ) et λ ∈ C (iii) σ(T + R) ∩ σ(T + 2R) ⊂ σ(T ) pour tout T ∈ B(X ).
L’equivalence entre (i) et (ii) est dûe a Jafarian et Sourour [29, Théorème 1 page 257]. Celle entre (i) et (iii) est dûe a Omladi˘c et Šemrl [41, Lemme 2.1 page 68].
Le Théorème suivant caractérise les applications linéaires qui conservent les opérateurs de rang un. Nous notons par F (X ) l’ensemble des opérateurs de rang fini .
Théorème 1.4.3. ([29] et [41] ) Soitφ : F (X ) → F (Y ) une application linéaire (resp. additive), bijec-tive et qui conserve les opérateurs de rang un. Alors il existe A : X → Y et B : X∗→ Y∗des applications linéaires (resp.linéaires ou anti-linéaires) bijectives telles que
φ(x ⊗ f ) = Ax ⊗ B f ,x ∈ X , f ∈ X∗,
ou bien il existe des applications linéaire (resp.linéaires ou anti-linéaires), bijectives C : X∗→ Y et
D : X → Y∗telle que
φ(x ⊗ f ) = C f ⊗ Dx,x ∈ X , f ∈ X∗,
Dans [44], Sourour a montré que le Théorème 1.4.1 reste vrai pour les applications unitaires,linéaires et bijectives qui préservent les éléments inversibles dans une seule direction.(i.eσ(φ(T )) ⊂ σ(T )).
Théorème 1.4.4. ([29]) Soitφ une application unitaire, linéaire et surjective de B(X ) dans B(Y ) qui conserve les éléments inversibles dans une seule direction (i.eσ(φ(T )) ⊂ σ(T ))), alors ou bien φ s’annule sur F (X ) ou bienφ est injective. Dans le dernier cas ou bien
(i) il existe une application linéaire bijective bornée A : X → Y telle que φ(T ) = AT A−1, pour tout T ∈ B(X ), ou bien
(ii) il existe une application linéaire bijective bornée B : X∗→ Y telle que φ(T ) = BT∗B−1, pour
tout T ∈ B(X ).
Remarque : SoitH un espace de Hilbert séparable de dimension infinie. Toute application linéaire
et surjective deB(H ) dans B(Y ) qui conserve les éléments inversibles dans une seule direction est automatiquement injective. Voir [44, Théorème 6.1 page 26].
1.5 Isométries spectrales et applications spectralements bornées
Dans cette section, nous allons présenter la définition de la notion du radical de Jacobson. Par la suite, nous allons définir la notion d’isométrie spectrale et spectralement bornée. Finalement, nous déterminons les applications linéaires qui sont isométriquement spectrales, spectralement bornées et spectralement bornées inférieurement.
Définition 1.5.1. SoitA une algèbre de Banach avec identité. Le radical de Jacobson, noté RadA est
l’intersection de tous les idéaux à gauche (ou à droite) maximaux deA . Ce qui équivalent l’ensemble des éléments x ∈ A satisfaisant r (xa) = 0 pour tout a ∈ A . On dit que A est semi-simple si RadA =
{0}.
1. B(X ) est semi-simple. Voir [39, Théorème 42 page 16].
2. Toute C∗-algébreA est semi-simple ( Pour toute x ∈ A on a 0 = r (x∗x) = kxk2si est seule-ment si x = 0).
Nous considérons maintenantA et B sont deux algébres de Banach semi-simples.
Définition 1.5.2. Une application linéaireφ : A → B est dite
1. Spectralement bornée s’il existe M > 0 tel que pour tout x ∈ A on a r (φ(x)) ≤ Mr (x),
2. Spectralement bornée inférieurement s’il existe m > 0 tel que pour tout x ∈ A on a r (φ(x)) ≥ mr (x),
3. Une isométrie spectrale si pour tout x ∈ A on a r (φ(x)) = r (x).
Propriétés : Soitφ : A → B une application linéaire
1. Siφ conserve le spectre alors φ est une isométrie spectrale.
2. Siφ est unitaire (i.e. φ(1A) = 1B), qui conserve les éléments inversibles alorsφ est
spectrale-ment bornée inférieurespectrale-ment.
3. Siφ est un épimorphisme de Jordan alors φ est unitaire et conserve les éléments inversibles. Par conséquentφ est spectralement bornée inférieurement.
Remarque : Siφ : A → B est spectralement bornée et surjective alors φ est continue. Voir [2, Théo-rème 5.5.2 page 100].
Le Lemme 1.5.3 est une application du Théorème de caractérisation spectrale du radical de Zemá-nek. Voir [2, Théorème 5.3.1 page 95].
Lemme 1.5.3. Soitφ : A → B une isométrie spectrale et surjective. Alors φ est bjective et continue.
Démonstration. Soit a ∈ K er φ. Puisque φ est une isométrie spectrale, pour tout x ∈ A on a r (φ(x + a)) = r (φ(x)) = r (x) . D’après le théorème de caractérisation spectrale du radical de Zemánek [2, Théorème 5.3.1 page 95], alors a ∈ RadA . Donc a = 0 car A est semi-simple.
Théorème 1.5.4. ([16]) Soitφ une application linéaire surjective de B(X ) dans B(Y ). L’application φ est une isométrie spectrale si et seulement s’il existe α ∈ C de module égale un et
1. ou bien il existe une application linéaire bijective bornée A : X → Y telle que φ(T ) = αAT A−1,
pour tout T ∈ B(X ), ou bien
2. il existe une application linéaire bijective bornée B : X∗→ Y telle que φ(T ) = αBT∗B−1, pour
tout T ∈ B(X ),
D’après ce théorème, nous déduisons les applications linéaires surjectives qui conservent le spectre approximatif, et le spectre de surjection.
Dans [42], Šemrl a determiné les applications qui sont spectralement bornées surB(H ) où H est un espace de Hilbert complexe de dimension infinie. Mais la description des applications linéaires qui sont spectralement bornées surB(X ) est inconnue.
Le théorème suivant caractérise les applications qui sont spectralement bornées et spectralement bornées inférieurement.
Théorème 1.5.5. ([24]) Soitφ une application linéaire surjective de B(X ) dans B(Y ) . On suppose qu’il existe deux constantes M et m telles que mr (A) ≤ r (φ(A) ≤ Mr (A) pour tout A ∈ B(X ). Alors il existe une fonctionnelle linéaireϕ spectralement bornée et un nombre complexe c non nul tel que
1. il existe une application linéaire bijective bornées A : X → Y telle que φ(T ) = c AT A−1+ϕ(T )I ,
pour tout T ∈ B(X ), ou bien
2. il existe une application linéaire bijective bornée B : X∗→ Y telle que φ(T ) = BT∗B−1+ϕ(T )I , pour tout T ∈ B(X ).
1.6 Les applications linéaires qui conservent le spectre local
Nous rappelons qu’une application linéaire conserve le spectre local en un point x0∈ X fixé non
nul si et seulement si pour tout T ∈ B(X ), σφ(T )(x0) = σT(x0).
Dans la littérature, M. Gonzales et M. Mbekta [25] ont montré le resultat suivant : Une applica-tion linéaireφ définie sur Mn(C) conserve le spectre local en un point x0 ∈ Cn fixé non nul, si
et seulement si pour T ∈ Mn(C), il existe une matrice inversible A ∈ Mn(C) telle que Ax0= x0 et φ(T ) = AT A−1.
J. Brešar et V. Müller ont généralisé ce résulat dans un espace de Banach de dimension infini [15].
Théorème 1.6.1. ( [15]) Soit x0un élément non nul de X . Soitφ une application linéaire continue et surjective de B (X ) sur B (X ). Alors pour tout T ∈ B(X ), on a σφ(T )(x0) = σT(x0) si et seulement s’il existe une application linéaire bijective bornée A : X → X tel que Ax0= x0etφ(T ) = AT A−1pour tout T ∈ B(X ).
La preuve de ce Théorème repose sur le Théorème de l’application ouverte et le Lemme suivant :
Lemme 1.6.2. ( [15]) Soient T ∈ B(X ), et x0un élément non nul de X . Alors, pour toutλ ∈ σsu(T ) et
² > 0, alors il existe S ∈ B(X ) tel que kT − Sk < ² et λ ∈ σS(x0).
Ce Lemme est très important dans la théorie de préservation locale. En présence de la continuité, ce Lemme ramène le problème de la préservation du spectre local à un problème de préservation du spectre global.
Le Théorème suivant détermine les applications linéaires continues et surjectives sur B (X ) conser-vant la borne supérieure (resp. la borne inférieure) du spectre local.
Théorème 1.6.3. ([15], [10]) Soient x0 un élément non nul de X , y0un élément non nul de Y , et φ une application linéaire continue et surjective de B(X ) sur B(Y ). Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) Γφ(T )(y0) = ΓT(x0) pour tout T ∈ B(X ). ii) Υφ(T )(y0) = ΥT(x0) pour tout T ∈ B(X ).
iii) il existe une application linéaire bijective bornée A : X → Y et α ∈ C tels que Ax0= y0etφ(T ) = αAT A−1pour tout T ∈ B(X ).
1.7 Les applications linéaires qui conservent le rayon spectral local
intérieur et le rayon spectral
Le résultat suivant caractérise les applications linéaires continues et surjectives surB(X ) qui conservent le rayon spectral local intérieur en un point fixé x0non nul.
Théorème 1.7.1. Soient x0un élément non nul de X , y0un élément non nul de Y , etφ une applica-tion linéaire continue et surjective deB(X ) sur B(Y ). On a pour tout T ∈ B(X )
mιT(x0) ≤ ιφ(T )(y0) ≤ MιT(x0),
(T ∈ B(X )) où M,m ≥ 0 si et seulement s’il existe une application linéaire bijective bornée A : X → Y tel que Ax0= y0etφ(T ) = αAT A−1.
La preuve de ce Théorème se base essentiellement sur le Lemme 1.6.2 , [10, Lemme 2.1] et que le rayon spectral du surjection est semi-continue inférieurement.
Le Théorème suivant établit une description complète des applications linéaires surjectives sur B(X ), qui sont spectralement bornées localement et spectralement bornées inférieurement loca-lement. Ce résultat est une version locale du Théorème 2.5.3 qui détermine toutes les applications linéaires qui sont spectralement bornées et spectralement bornées inférieurement. Voir [10].
Théorème 1.7.2. Soient x0un élément non nul de X , y0un élément non nul de Y , etφ une applica-tion linèaire surjective de B (X ) sur B (Y ). Alors
mrT(x0) ≤ rφ(T )(y0) ≤ MrT(x0),
(T ∈ B(X )) tels que M,m ≥ 0 si et seulement s’il existe une application linéaire bijective bornée A :
X → Y tel que Ax0= y0etφ(T ) = αAT A−1pour tout T ∈ B(X ).
Remarques :
1. Les Théorèmes 1.6.1 et 1.6.3 ont été prouvé par A. Bourhim, T. Jari et J. Mashreghi sans la condition de la continuité. Voir chapitre 2. On en deduit, donc, que la condition de la conti-nuité est redondante.
2. Dans [13], A. Bourhim et T. Ransford ont démontré que l’identité est la seule fonction addi-tive qui vérifieσφ(T )(x) = σT(x), pour tout T ∈ B(X ) et x ∈ X .
3. Costara a caractérisé les applications linéaires qui préservent le rayon spectral égal à zero. Par ailleurs, soitφ une application linèaire surjective Costara a montré que pour tout T ∈ B(X ) et x ∈ X , il existe c ∈ C non nul telle que φ(T ) = cT. Ce résultat reste valide si on suppose que
φ n’est pas nécessairement linéaire. Voir A. Bourhim, J.Mashreghi [9].
1.8
Les applications qui conservent le spectre local
Dans [38], Molnár a déterminé toutes les applications surjectives qui conservent le spectre du pro-duit de deux operateurs sur un espace de Hilbert complexe de dimension infinie.
Théorème 1.8.1. ([38]) SoitH un espace de Hilbert complexe de dimension infinie. Une application ϕ surjective sur B(H ) vérifie pour tous T , S
σ(ϕ(T )ϕ(S)) = σ(T S), (1.8.1)
si et seulement s’il existe une application linéaire bijective bornée A :H → H telle que ϕ(T ) =
±AT A−1, pour tout T ∈ B(H ).
Récement A.Bourhim et J.Mashreghi ont caractérisé les applications (non nécessairement linéaires) surjectives qui conservent le spectre locale du produit et du produit triple de deux opérateurs en un point fixé x0∈ X non nul dans un espace de Banach :
Théorème 1.8.2. ([7]) Soient x0 un élément non nul de X , y0 un élément non nul de Y etφ une application surjective deB(X ) sur B(Y ). Alors
σϕ(T )ϕ(S)(y0) = σT S(x0), (T, S ∈ B(X )), (1.8.2)
si et seulement s ’il existe une application linéaire bijective bornée A : X → Y telle que Ax0= y0 et ϕ(T ) = ±AT A−1, pour tout T ∈ B(X ) .
Théorème 1.8.3. ([6]) Soit x0un élément non nul de X , soit y0un élément non nul de Y , etφ une application surjective deB(X ) sur B(Y ). Alors
σϕ(T )ϕ(S)ϕ(T )(y0) = σT ST(x0), (T, S ∈ B(X )), (1.8.3)
si et seulement s’il existe une application linéaire bijective bornée A : X → Y telle que Ax0= y0 et ϕ(T ) = λAT A−1, pour tout T ∈ B(X ), et λ ∈ C tel que λ3
= 1.
La base de la preuve des Théorèmes 1.8.2 et 1.8.3 est le principe d’identité et la caractéristion locale des operateurs de rang un en fonction du spectre local. Voir [6],[7].
Chapitre 2
Peripheral local spectrum presevers and
maps increasing the local spectral radius
2.1 Abstract
We address two long standing problems in the context of local spectral radius preservers. First, we completely describe the form of maps preserving the peripheral local spectrum of the product or triple product of operators. Second, we establish the automatic continuity of linear maps increa-sing the local spectral radius of operators at a fixed nonzero vector.
2.2 Résumé
Nous nous intéressons à deux problemes de longue date dans le cadre de préservation de rayon spectral locale. Premièrement, nous déterminons toutes les applications (non necessairement li-néaires) qui conservent le spectre le spectre périphérique locale du produit de deux operateurs et de trois opérateurs. Deuxièmement, nous établissons la continuité automatique des applications linéaires qui augmentent le rayon spectral local en un point fixé.
2.3 Introduction
Throughout this paper, X and Y denote infinite-dimensional complex Banach spaces, andB(X ,Y ) denotes the space of all bounded linear maps from X into Y . When X = Y , we simply write B(X ) instead ofB(X ,X ). The local resolvent set, ρT(x), of an operator T ∈ B(X ) at a point x ∈ X is the
union of all open subsets U of the complex planeC for which there is an analytic functionφ : U → X such that (T − λ)φ(λ) = x, (λ ∈ U ). Clearly ρT(x) contains the resolvent setρ(T ) of T , but this
containment could be proper. The local spectrum of T at x is defined by
and thus it is a closed subset ofσ(T ), the spectrum of T . The local spectral radius of T at x is defined by rT(x) := limsup n→+∞ kT n xkn1,
and coincides with maximum modulus ofσT(x) provided that T has the single-valued extension
property (SVEP). Recall that T ∈ B(X ) is said to have SVEP provided that for every open subset U
ofC, the equation (T − λ)φ(λ) = 0, (λ ∈ U), has no nontrivial analytic solution φ. Every operator
T ∈ B(X ) for which the interior of its point spectrum, σp(T ), is empty enjoys this property. The set
γT(x) := {λ ∈ σT(x) : |λ| = rT(x)}
is called the peripheral local spectrum of T at x. Note thatγT(x) = ; provided that max{|λ| : λ ∈
σT(x)} < rT(x). The remarkable books by P. Aiena [1] and by K.B. Laursen, M.M. Neumann [31]
pro-vide an excellent exposition as well as a rich bibliography of the local spectral theory. The problem of linear preservers of local spectra of matrices and operators was initiated by A. Bourhim and T. Ransford in [13], and then it was continued by several authors ; see for instance [5,10,15,18,19,20,
21,23,30] and the references therein. However, we should add that the literature on this subject is very extensive. In [15], J. Braˇciˇc and V. Müller characterized surjective linear and continuous map-pings onB(X ) preserving the local spectrum (local spectral radius) at a fixed nonzero vector e of X , and thus extending the main results of [11,25] to infinite-dimensional Banach spaces. In [21, Theo-rem 1.2], C. Costara showed that every linear surjective map onB(X ) decreasing the local spectral radius at a nonzero vector of X is automatically continuous. In [18], C. Costara characterized linear maps on the algebra Mn(C) of all n × n complex matrices preserving the local spectrum or local
spectral radius at non-fixed vectors. He, in particular, showed that ifϕ is a linear map ϕ on Mn(C)
then for every T ∈ Mn(C) there exists a nonzero vector xT∈ Cnsuch thatσϕ(T )(xT) ∩ σT(xT) 6= ; if
and only ifϕ is an automorphism or an anti-automorphism on Mn(C).
Besides linear local spectra preservers, nonlinear maps preserving different local spectra were considered by a number of authors. In [20], C. Costara described surjective linear maps onB(X ) which preserve operators of local spectral radius zero at points of X . He showed, in particular, that ifϕ is a surjective linear map on B(X ) such that for every x ∈ X and T ∈ B(X ), we have rT(x) = 0
if and only if rϕ(T )(x) = 0, then there exists a nonzero scalar c such that ϕ(T ) = cT for all T ∈ B(X ). This result has been extended in [9] to the nonlinear setting where it shown that ifϕ is a surjective (not necessarily linear) map onB(X ) satisfying rT −S(x) = 0 if and only if rϕ(T )−ϕ(S)(x) = 0, for every
x ∈ X and S, T ∈ B(X ), then there is a nonzero scalar c ∈ C and an operator A ∈ B(X ) such that ϕ(T ) = cT + A for all T ∈ B(X ). In [19], C. Costara described surjective mapsϕ on Mn(C) preserving
the local spectral radius distance and showed that if x0is a nonzero vector ofCn, then a surjective
mapϕ on Mn(C) satisfiesϕ(0) = 0 and
rϕ(T )−ϕ(S)(x0) = rT −S(x0), (T, S ∈ Mn(C)) (2.3.1)
if and only if there exists an invertible matrix A ∈ Mn(C) and unimodular scalarα ∈ C such that
Mn(C), where x0is the complex conjugation of x0. In [6,7], Bourhim and Mashreghi determined
the structure of all surjective maps onB(X ) preserving the local spectrum at a nonzero fixed vector of product and triple product of operators.
In this paper, we settle two important problems in this field. First, we characterize surjective maps onB(X ) ‘preserving the peripheral local spectrum’ at a nonzero fixed vector of product and triple product of operators. Second, we show that any linear surjective map on B(X ) ‘increasing the local spectral radius’ at a nonzero vector of X is bijective and continuous. The main tools in the proofs of our results are the characterization of the linearly independence of two operators and the characterization of rank one operators in term of the peripheral local spectrum at a nonzero fixed vector of product and triple product of operators. These marginal results by themselves are interesting.
2.4 Statement of the main results
In this section, we gather the statement of our main results. However, to prove each theorem some further tools are needed which are developed in subsequent sections. Each case is discussed below. In Section 4, we first establish a local spectral identity principle that characterizes the linear depen-dence of two operators in term of the peripheral local spectrum of product of operators. Second, we provide a local spectral characterization of rank one operators in term of the peripheral local spectrum of product of operators. These are the essential ingredients in establishing the following result that describes the structure of all surjective maps onB(X ) preserving the peripheral local spectrum at a nonzero fixed vector of product of operators.
Theorem 2.4.1. Let x0∈ X and y0∈ Y be two nonzero vectors. A map ϕ from B(X ) onto B(Y ) satisfies
γϕ(T )ϕ(S)(y0) = γT S(x0), (T, S ∈ B(X )), (2.4.2)
if and only if there exists a bijective bounded linear mapping A from X into Y such that Ax0= y0, and eitherϕ(T ) = −AT A−1for all T ∈ B(X ) or ϕ(T ) = AT A−1for all T ∈ B(X ).
In Section 5, we characterize maps preserving the peripheral local spectrum at a fixed vector of triple product of operators. More explicitly, we prove the following result. Its proof uses as well a local spectral identity principle that characterizes the linear dependence of two operators a local spectral characterization of rank one operators in term of the peripheral local spectrum of triple product of operators.
Theorem 2.4.2. Let x0∈ X and y0∈ Y be two nonzero vectors. A map ϕ from B(X ) onto B(Y ) satisfies
if and only if there exists a bijective mapping A ∈ B(X ,Y ) such that Ax0= y0andϕ(T ) = λAT A−1 for all T ∈ B(X ), where λ is a third root of unity, i.e., λ3= 1.
In Section 6, we turn our attention to linear maps increasing the local spectral radius at a nonzero fixed vector of X . We show that any linear surjective mapϕ from B(X ) into B(Y ) increasing the local spectral radius at a nonzero vector of X is bijective, continuous and spectrally bounded from below ; i.e., there is a constant m such that r(T ) ≤ mr¡
ϕ(T )¢ for all T ∈ B(X ). If the reverse
inequa-lity is satisfied thenϕ is called spectrally bounded. Here, r(T ) denotes the classical spectral radius of any operator T ∈ B(X ).
Theorem 2.4.3. Let x0∈ X be a fixed nonzero element, and let ϕ be a surjective linear map from
B(X ) into B(Y ). If there is a constant M > 0 such that
rT(x0) ≤ Mr(ϕ(T )) (2.4.4)
for all T ∈ B(X ), then ϕ is a continuous bijective map spectrally bounded from below.
A few comments must be added to the statement of the result. In [42], Šemrl described spectrally bounded maps onB(H ) when H is an infinite-dimensional complex Hilbert space and provided an example showing that there are infinite-dimensional Banach spaces X and spectrally bounded maps onB(X ) that are of standard forms. In general, the complete description of all surjective linear maps fromB(X ) into B(Y ) that are spectrally bounded or spectrally bounded from below is still unknown and remains an open problem. Of course, if such a description is obtained, then one would be able to characterize surjective linear maps onB(X ) increasing or decreasing the local spectral radius of operators at a fixed nonzero vector. In [24], Fošner and Šemrl obtained a characterization of the surjective linear maps onB(X ) that are both spectrally bounded and spectrally bounded from below. The obtained forms are somehow different from the ones appeared in [16] where Brešar and Šemrl showed that a surjective linear map onB(X ) preserves the spectral radius if and only if it is either an automorphism or anti-automorphism multiplied by a scalar of modulus one.
2.5 Preliminaries and auxiliary results
In this section, we fix some notions and collect some useful lemmas needed for the proof of our main results. We also establish some results which are interesting in their own right. The first lemma summarizes some basic properties of the local spectrum which will be used frequently.
Lemma 2.5.1. For an operator T ∈ B(X ), vectors x, y ∈ X and a nonzero scalar α ∈ C, the following
statements hold.
1. If T has SVEP, thenσT(x) 6= ; provided that x 6= 0.
3. σT(x + y) ⊂ σT(x) ∪ σT(y). The equality holds ifσT(x) ∩ σT(y) = ;.
4. If T has SVEP, x 6= 0 and T x = λx for some λ ∈ C, then σT(x) = {λ}.
5. If T has SVEP and T x = αy, then σT(y) ⊂ σT(x) ⊂ σT(y) ∪ {0}.
6. If R ∈ B(X ) commutes with T , then σT(R x) ⊂ σT(x).
7. σTn(x) = {σT(x)}nfor all x ∈ X and n ≥ 1.
Proof 2.5.1. See for instance [1,31].
For any operator T ∈ B(X ), let T∗be its adjoint on the dual space X∗of X . For every nonzero x ∈ X and f ∈ X∗, let x ⊗ f denote the rank one operator defined on X by
(x ⊗ f )(y) := f (y)x.
Note that every rank one operator on X can be written in this way and every finite rank operator is a finite sum of rank one operators.
The second lemma is a useful observation needed to establish the linearity of surjective mapsϕ : B(X ) → B(Y ) satisfying either (2.4.2) or (2.4.3).
Lemma 2.5.2. If x0is a nonzero vector in X and R is a rank one operator inB(X ), then following assertions hold.
1. γ(T +S)R(x0) = γT R(x0) + γSR(x0) for all T, S ∈ B(X ).
2. γR(T +S)R(x0) = γRT R(x0) + γRSR(x0) for all operator T, S ∈ B(X ).
Proof 2.5.2. The proof relies on the following fact that
γx⊗f(x0) = {0} if f (x0) = 0 { f (x)} if f (x0) 6= 0 (2.5.5)
for all x ∈ X and f ∈ X∗.
We close this section with two more lemmas needed in the sequel.
Lemma 2.5.3. Let x0∈ X and y0∈ Y be nonzero vectors, and let A : X → Y and B : X∗→ Y∗ be bijective linear transformations. The following statements are equivalent.
1. For every x ∈ X and f ∈ X∗, we have rx⊗f(x0) = rAx⊗B f(y0).
2. A is continuous, B = αA∗−1and Ax0= βy0for some nonzero scalarsα, β ∈ C with |α| = 1.
Proof 2.5.3. If A is continuous, B = αA−1and Ax0= βy0for some nonzero scalarsα, β ∈ C with
|α| = 1, then
for all x ∈ X and f ∈ X∗. This establishes the implication (2) ⇒ (1).
Conversely, assume that rx⊗f(x0) = rAx⊗B f(y0) for all x ∈ X and f ∈ X∗. Let x ∈ X and f ∈ X∗. First, note that rx⊗f(x0) = 0 if f (x0) = 0, | f (x)| if f (x0) 6= 0. (2.5.6)
Second, let us show that
| f (x)| = |B f (Ax)|. (2.5.7)
Assume first that f (x0) 6= 0, and note that, since rAx0⊗B f(y0) = rx0⊗ f(x0) = | f (x0)|, we have B f (y0) 6=
0. Thus (2.5.6) shows that
| f (x)| = rx⊗f(x0) = rAx⊗B f(y0) = |B f (Ax)|.
This ensures that (2.5.7) holds in this case. If, however, f (x0) = 0, take a linear functional g ∈ X∗such that g (x0) 6= 0 and note that it follows from what has been shown previously that
|( f + λg )(x)| = |B( f + λg )(Ax)| = |B f (Ax) + λB g (Ax)|
for all nonzero scalarsλ ∈ C. Letting λ goes to 0, we get |f (x)| = |B f (Ax)| which establishes (2.5.7) in this case too ; as desired.
Now, let us show that A is continuous and B = A−1. Let (x
n)nbe a sequence in X converging to 0, and
let y ∈ Y such that limn→∞Axn= y. For every f ∈ X∗, we have
|B f (y)| = lim
n→∞|B f (Axn)| = limn→∞| f (xn)| = 0,
and thus, B is bijective and f ∈ X∗ is an arbitrary linear functional, we see that y = 0. The closed graph theorem tells us that A is continuous.
Moreover, if f ∈ X∗is a fixed linear functional, then for every x ∈ X , we have
| f (x)| = |B f (Ax)| = |A∗B f (x)|,
and thus A∗B = α1X for some nonzero scalarα ∈ C. Now, we show that x0and A−1y0are linearly
independent. If not, there is a linear functional f in X∗such that f (x0) = 1 and f (A−1y0) = 0 and
1 = rx0⊗ f(x0) = rAx0⊗B f(y0) = rαAx0⊗A∗−1f(y0)
= rαA(x0⊗ f )A−1(y0) = rαx0⊗ f(A
−1y0) = 0.
This contradiction shows that there is a nonzero scalarβ ∈ C such that Ax0= βy0. To finish the proof, we show thatα must has modulus one. Pick up a linear functional f in X∗such that f (x0) = 1, and
note that
1 = rx0⊗ f(x0) = rAx0⊗B f(y0) = rαA(x0⊗ f )A−1(y0)
= rαx0⊗ f(A
−1y
0) = rαx0⊗ f(x0) = |α|.
Remark 2.5.4. If the local spectral radius is replaced by the peripheral local spectrum in the first
statement of the above lemma, then it is easy to see thatα must be 1 in the second statement.
Lemma 2.5.5. Let x0∈ X and y0∈ Y be nonzero vectors, and let C : X∗→ Y and D : X → Y∗ be bijective linear mappings. Then there are x ∈ X and f ∈ X∗such that rx⊗f(x0) 6= rC f ⊗Dx(y0).
Proof 2.5.4. Choose a nonzero linear functional g ∈ Y∗ such that g (y0) = 0 and set x = D−1g . Be-cause x and x0are nonzero vectors in X , one can find a linear functional f ∈ X∗such that f (x0) 6= 0
and f (x) 6= 0. Then 0 6= |f (x)| = rx⊗f(x0) and rC f ⊗Dx(y0) = rC f ⊗g(y0) = 0; as desired.
2.6 Proof of theorem
2.4.1
To prove Theorem2.4.1, we need two auxiliary, but important, result : first, a local spectral identity principle that characterizes the linear dependence of two operators in term of the peripheral local spectrum ; second, a spectral characterization of rank one operators in term of the peripheral local spectrum.
Theorem 2.6.1. Let x0∈ X be a nonzero vector, and let A, B ∈ B(X ). The following statements are equivalent.
1. A = αB for some nonzero scalar α ∈ C.
2. For every T ∈ B(X ), we have rAT(x0) = 0 if and only if rBT(x0) = 0.
3. For every rank one operator T ∈ B(X ), we have rAT(x0) = 0 if and only if rBT(x0) = 0.
Proof 2.6.1. The implications (1) ⇒ (2) and (2) ⇒ (3) are trivial. We only need to establish (3) ⇒ (1).
Assume that (3) holds, i.e., rAT(x0) = 0 if and only if rBT(x0) = 0 for all rank one operators T ∈ B(X ). Let us first show that Ax0 and B x0are linearly dependent. Suppose to the contrary that Ax0 and B x0 are linearly independent. This implies that x0, Ax0and B x0 are linearly dependent. Since, if not, there is a linear functional f0∈ X∗ such that f0(x0) = f0(Ax0) = 1 and f0(B x0) = 0. For T0:= x0⊗ f0, we have (AT0)nx0= Ax0 for all n ≥ 1 and rAT0(x0) = 1. We also have (BT0)
nx
0= 0 for all n ≥ 2 and thus rBT0(x0) = 0. This is a contradiction. Thus, there are constants α and β in C such
that x0= αAx0+ βB x0. Note that eitherα 6= 0 or β 6= 0 and thus we may and shall assume that α 6= 0. Let f1∈ X∗be a linear functional such that f1(Ax0) = 1 and f1(B x0) = 0. For T1:= x0⊗ f1, we have (AT1)nx0= αAx0for all n ≥ 1 and rAT1(x0) = 1. We also have (BT1)
nx0= 0 for all n ≥ 2 and
rBT1(x0) = 0. This contradiction shows that Ax0= αx0B x0for some nonzero scalarαx0.
Now, let x be an arbitrary vector in X , and let S ∈ B(X ) be an operator such that Sx0= x. Replacing
T by ST in the third statement, we note that rAST(x0) = 0 if and only if rB ST(x0) = 0 for all rank one operators T ∈ B(X ). By what has been shown above, there is αxthat Ax = ASx0= αxB Sx0= αxB x
for some nonzero scalarαx. Thus, there is a nonzero scalarα ∈ C such that A = αB.
As a consequence, we obtain the following corollary which characterizes, in term of the peripheral local spectrum, when two operators are the same.
Corollary 2.6.2. Let x0∈ X be a nonzero vector, and let A, B ∈ B(X ). The following statements are equivalent.
1. A = B.
2. γAT(x0) = γBT(x0) for all operators T ∈ B(X ).
3. γAT(x0) = γBT(x0) for all rank one operators T ∈ B(X ).
Proof 2.6.2. We only need to show that (3) ⇒ (1). So, assume that γAT(x0) = γBT(x0) for all rank one operators T ∈ B(X ), and note that there is a nonzero α ∈ C such that A = αB, by Theorem2.6.1. To show that suchα must be one, assume first that there is x ∈ X such that Bx and x0are linearly independent, and let f ∈ X∗be a linear functional such that f (B x) = f (x0) = 1. Set T := x ⊗ f , and
note that BT = B x ⊗ f and thus γBT(x0) = γBT(x0− B x) ∪ γBT(B x) = {0, 1}. It follows that {1} =
γBT(x0) = γAT(x0) = γαBT(x0) = {α}, and α = 1.
Now, if B x and x0are linearly dependent for all x ∈ X , then either B = 0 and there is nothing to prove, or B = x0⊗ f for some f ∈ X∗. If the last case occurs, pick up x 6∈ Ker(f ) such that f (x) = 1 and a linear functional g ∈ X∗such that g (x0) = 1. Let T := x ⊗ g , and note that B x = x0and that BT x0= B x = x0. It follows that {1} = γBT(x0) = γAT(x0) = γαBT(x0) = {α}.
The following theorem, which may be of independent interest, gives a spectral characterization of rank one operators in term of the peripheral local spectrum.
Theorem 2.6.3. For a nonzero vector x0of X and a nonzero operator R ∈ B(X ), the following state-ments are equivalent.
1. R has rank one.
2. γRT(x0) is a singleton for all T ∈ B(X ).
3. γRT(x0) is a singleton for all operators T ∈ B(X ) of rank at most two.
Proof 2.6.3. Obviously, if R has rank one and T ∈ B(X ) is an arbitrary operator, then RT has rank
one too and thusγRT(x0) is a singleton. This shows that the implication (1) ⇒ (2) always holds. So, we only need to establish the implication (3) ⇒ (1).
Assume thatγRT(x0) is a singleton for all operators T ∈ B(X ) of rank at most two. Suppose, by the way of contradiction, that R has rank at least two, and let us first show that x0is not in the range of R. If x0is not in the range of R, then there are u, v ∈ X such that x0= Ru and x1= Rv are linearly independent. Let f0and f1be two linear functionals in X∗such that fi(xj) = δi j, whereδi j is the
delta Kronecker symbol. For T0:= (2v − u) ⊗ f0+ v ⊗ f1, we have RT x1= Rv = x1and RT (x0− x1) = R(2v − u) − x1= −(x0− x1).
Thus,
andγRT(x0) = {−1,1} contains two different elements. This contradiction shows that x0is not in the range of R.
Now, pick two elements u = Rx and v = R y from the range of R so that x0, u and v are linearly
independent. Choose two linear functionals f and g in X∗such that f (x0) = f (u) = 1, f (v) = 0,
and
g (x0) = −g (v) = 1, g (u) = 0.
For R1:= x ⊗ f + y ⊗ g , we have
RR1u = u, RR1x0= u + v and RR1(RR1x0− u) = −v = −(RR1x0− u). Thus,σRR1(u) = {1} and σRR1(RR1x0− u) = {−1}, and therefore
σRR1(RR1x0) = σRR1(RR1x0) ∪ σRR1(RR1x0) = {−1, 1}.
From this, we see that
{−1, 1} = σRR1(RR1x0) ⊂ σRR1(x0) ⊂ σRR1(RR1x0) ∪ {0} = {−1, 0, 1},
andγRR1(x0) = {−1, 1} contains two different elements. This contradiction shows that R has rank
one, and establishes the implication (3) ⇒ (1). The proof is therefore complete.
We have collected all necessary ingredients and we therefore are ready to prove our first main re-sult, i.e., Theorem2.4.1.
Proof 2.6.4 (Proof of Theorem2.4.1). We only need to establish the ‘only if ’ part whose proof is long
and delicate. Hence, we break it into several steps. Assume thatϕ satisfies (2.4.2).
Step 1 : We show thatϕ is injective and ϕ(0) = 0. If ϕ(A) = ϕ(B) for some operators A and B in B(X ), we get
γAT(x0) = γϕ(A)ϕ(T )(y0) = γϕ(B)ϕ(T )(y0) = γBT(x0)
for all T ∈ B(X ). By Corollary2.6.2, we have A = B and thus ϕ is injective. But since ϕ is assumed to be surjective, the mapϕ is, in fact, bijective. For the second part of the claim, note that for every T ∈ B(X ), we have {0} = γ0×T(x0) = γϕ(0)ϕ(T )(y0). Again by Corollary2.6.2and the bijectivity ofϕ, we see thatϕ(0) = 0.
Step 2 : We show that either
γϕ(T )(y0) = γT(x0) (2.6.8) or
for all T ∈ B(X ). To do so, we first prove that ϕ(1) = 1 or ϕ(1) = −1. Indeed, for every T ∈ B(X ), we have
{0} = γT(x0) = γT2(x0) ⇐⇒ {0} = γϕ(T )2(y0) = γϕ(T )(y0),
and thus
γϕ(T )(y0) = {0} ⇐⇒ γT(x0) = {0} = γ1T(x0) ⇐⇒ γϕ(1)ϕ(T )(y0) = {0}.
By the surjectivity ofϕ and Lemma2.6.1, we see thatϕ(1) = α1 for some nonzero scalar α ∈ C. Such α must be 1 or −1 since
{1} = γ12(x0) = γϕ(1)2(y0) = γα21(y0) = {α2}.
Ifϕ(1) = 1, then for every T ∈ B(X ), we have
γT(x0) = γ1×T(x0) = γϕ(1)ϕ(T )(y0) = γ1×ϕ(T )(y0) = γϕ(T )(y0),
and (2.6.8) is established. Ifϕ(1) = −1, then
γT(x0) = γ1×T(x0) = γϕ(1)ϕ(T )(y0) = γ−1×ϕ(T )(y0) = −γϕ(T )(y0)
for all T ∈ B(X ). This establishes (2.6.9).
Step 3 : The next goal is to show thatϕ is a linear map preserving rank one operators in both direc-tions. Let R ∈ B(X ) be a rank one operator, and note that, since ϕ(0) = 0 and ϕ is bijective, ϕ(R) 6= 0. Moreover, for every operator S = ϕ(T ) ∈ B(Y ), we have γRT(x0) = γϕ(R)ϕ(T )(y0) = γϕ(R)S(y0) contains at most one element. By Theorem2.6.3, we see thatϕ(R) has rank one. The converse holds since ϕ is bijective andϕ−1satisfies (2.4.2) too, and thusϕ preserves rank one operators in both directions. Step 4 : To establish the linearity ofϕ, let us first show that ϕ is homogeneous. For every λ ∈ C and S, T ∈ B(X ), we have
γλϕ(S)ϕ(T )(y0) = λγϕ(S)ϕ(T )(y0) = λγST(x0) = γλST(x0) = γϕ(λS)ϕ(T )(y0).
Sinceϕ is bijective, Corollary2.6.2shows thatϕ(λS) = λϕ(S) for all S ∈ B(X ) and λ ∈ C ; as desired. Now, to show thatϕ is additive keep in mind that ϕ preserves rank one operators in both directions. Let R ∈ B(X ) be a rank one operator and T, S ∈ B(X ), and note that, by Lemma2.5.2, we have
γϕ(T +S)ϕ(R)(y0) = γ(T +S)R(x0) = γT R(x0) + γSR(x0)
= γϕ(T )ϕ(R)(y0) + γϕ(S)ϕ(R)(y0)
= γ¡ϕ(T )+ϕ(S)¢
ϕ(R)(y0).
By the arbitrariness of the rank one operator R, the bijectivity ofϕ and Lemma2.6.1, we deduce that ϕ(T + S) = ϕ(T ) + ϕ(S)
Step 5 : We show thatϕ takes the desired form. Since ϕ is a bijective linear map preserving the rank one operators in both directions, either there are bijective linear mappings A : X → Y and B : X∗→
Y∗such that
ϕ(x ⊗ f ) = Ax ⊗ B f , (x ∈ X , f ∈ X∗), (2.6.10) or there are bijective linear mappings C : X∗→ Y and D : X → Y∗such that
ϕ(x ⊗ f ) = C f ⊗ Dx, (x ∈ X , f ∈ X∗); (2.6.11) see for instance [41, Theorem 3.3]. By Lemma2.5.5, the second form can not occur, and thusϕ only takes the form (2.6.10). Sinceϕ satisfies either (2.6.8) or (2.6.9), Lemma2.5.3shows that A is conti-nuous, B = αA∗−1and Ax
0= βy0for some nonzero scalarsα, β ∈ C with α = ±1. After replacing A byβ−1A, we may and shall assume that Ax0= y0and keep in mind thatϕ(x ⊗ f ) = ±A(x ⊗ f )A−1for all x ∈ X and f ∈ X∗. Now, for every rank one operator R ∈ B(X ) and every T ∈ B(X ), we have
γ±AT A−1ϕ(R)(y0) = γAT A−1AR A−1(y0) = γAT R A−1(y0) = γT R(x0) = γϕ(T )ϕ(R)(y0).
By Corollary2.6.2, we see thatϕ(T ) = ±AT A−1for all T ∈ B(X ). The proof is now complete.
2.7 Proof of theorem
2.4.2
For the proof of Theorem2.4.2we need two new ingredients that we establish below. The first re-sult is a local spectral identity principle that characterizes in term of local spectral radius of triple product of operators when two given operators are linearly dependent. The second result charac-terizes rank one operators in term of the peripheral local spectrum of triple product of operators.
Theorem 2.7.1. Let x0∈ X be a nonzero vector, and let A, B ∈ B(X ). The following statements are equivalent.
1. A = αB for some nonzero scalar α ∈ C.
2. rT AT(x0) = rT BT(x0) for all operators T ∈ B(X ).
3. rT AT(x0) = rT BT(x0) for all rank one operators T ∈ B(X ).
Proof 2.7.1. We only need to show that the implication (3) ⇒ (1) holds.
Assume that rT AT(x0) = rT BT(x0) for all rank one operators T ∈ B(X ), and let x be a nonzero vector from X and f ∈ X∗a linear functional for which f (x0) 6= 0 and f (x) 6= 0. For T := x ⊗ f , we have
| f (x) f (Ax)| = rT AT(x0) = rT BT(x0) = |f (x) f (B x)|, and thus
| f (Ax)| = | f (B x)| (2.7.12)
for all linear functionals f ∈ X∗ satisfying f (x
0) 6= 0 and f (x) 6= 0. Now, let f ∈ X∗ be a linear functional in X∗ for which f (x0) 6= 0 and f (x) = 0, and note that x and x0 must be linearly in-dependent. Pick up a linear functional g ∈ X∗ such that g (x0) = 0 and g (x) = 1, and note that
