Équation fonctionnelle intégrale
Samuel Rochetin
Dimanche 1er mai 2016
Énoncé. Déterminer les applications continues f : [0; 1] → R telles que Z 1 0 f x22 dx = Z 1 0 f (x) dx −1 3 Solution. Nous remarquons tout d’abord que
1 3 =
Z 1
0
x2dx
Soit f une application vérifiant les conditions et l’équation de l’énoncé. L’ap-plication t 7→ t2 est bijective et de classe C1 de [0; 1] dans [0; 1]. Le changement
de variable x = t2permet alors d’écrire
Z 1 0 f (x) dx = Z 1 0 2tf t2 dt Les variables x et t étant muettes, nous pouvons écrire
Z 1 0 2tf t2 dt = Z 1 0 2xf x2 dx Par linéarité de l’intégrale, la fonction f vérifie
Z 1 0 f x22 − 2xf x2 + x2dx = 0 C’est-à-dire Z 1 0 f x2 − x2 dx = 0
Or, la fonction x 7→ f x2 − x2est continue sur [0; 1] (par opérations sur
des fonctions continues) et positive, donc ∀x ∈ [0; 1], f x2 − x2 = 0, c’est-à-dire f x2 = x. L’image par f d’un réel x2 de [0; 1] est sa racine carrée x
(car x est positif), donc si f vérifie les conditions et l’équation de l’énoncé, alors ∀x ∈ [0; 1], f (x) =√x.
Réciproquement, nous vérifions que l’application définie par ∀x ∈ [0; 1], f (x) = √
x est continue et que Z 1 0 √ x22 dx = Z 1 0 x2dx = 1 3 = 2 3− 1 3 = 2 3x 3 2 1 0 −1 3 = Z 1 0 √ x dx −1 3 L’unique solution est donc l’application définie par ∀x ∈ [0; 1], f (x) =√x.
