ARTheque - STEF - ENS Cachan | Simulation de quelques phénomènes physiques

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SIMULATION DE QUELQUES PHENOMENES

PHYSIQUES

Bernard VUILLEUMIER

Ecole Supérieure de Commerce Genève

Mots clefs;Oscillateurs harmonIQues, couplage, Pendule, ch&JS

Résumé: Nous presentons Quelques sImulatIOns Que nous avons reallsees avec un micro-ordinateur Moclntosh"', Ces simulatlons peuvent être utilisées pour simuler certaines expériences parfois difficilesilréaliser au laboratoire. Elles permettent en outre d'aborder Qualitativement

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Questions dont le traitement théorique est, pour un niveau donné. mathématiquement trop compliqué. Elles se prêtent trés bien Il une présentation visuellede cer\llins faits et facIlitent leur apprentIssage

AbstrllCt: We present sorne simulations whlch we real12lld wlth a Macintosh computer These simulations con be used to simulate experlments sometlmes dlfflcult to carry out ln the lab. They make lt pOSSIble to deal wlth the qualItative aspect of questlons whose ttleoretlcel handling IS. at a certain level, too complex from the mathematlcal angle, They are weil sulted to a vlsual dlsplayof certains facts and make thelr comprehension61JS>I.

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Introduction

Lorsquon entreprend l'etude des mouvements perIOdiques, on rencontre très frequemment des exemples de systèmes oscillants formes de masses accrochees a des ressorts ou de pendules Ces dispositifs rudlmenta Ires permettent d'Illustrer d'Importantes notions de udse, mais Il faut bien reconnaître qu'Ils n'excitent pas partlcullerement la curIOsite des etudlants Les notIOns auxquelles Ils renvoIent sont certes tres utiles pour comprendre de nombreux phenomenes physIques, mais les connais-sances théoriques et mathematlques nécessaires pour bien maîtrIser et tirer profit de ces notions constituent un serIeux obstacle pour les élèves qUI, bien :5ouvent, ne retIennent que l'aspect anecdotique de ces exemples et ne parviennent pasà degager la sIgnificatIOn physique des concepts et des èquations qU'Ils font IntervenIr

La slmulat Ion sur ordinateur peut leur venIr en aide et leur permettre, par le biaIs d'une exploratIOn ludique, de decouvrtr et de mIeux comprendre certains phénomènes Nous proposons ICI quelques étapes possibles d'une approche des phènomenes ondulatoires à l'aide de simulations que nous avons reallsees sur un micro-ordinateur Macintosh'"

1. Osci lIations libres. amorties et entretenues

Considérons une masse placee entre deux ressorts et qui sUbit une force de rappel F--KX proportionnelle à l'écart par rapport a sa position d'équilibre SI cette force est la seuleàs'exercer sur la masse (absence de frottement et de force extérieure), la pOSition de la masse en fonctIOn du temps est donnée par(1) .x(t) - A sln(2nvt) où A est l'amplitude de

1'0scO-lat ion et v sa fréquence

frotteur

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(1) N'1USoonnons en annexe les différentes équationsdumouvement Que nous Il'/ons COOSlœrees dansçh(l;un~dols simulations Que nous Il'/ons réalisées

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Si d'autres forces s'exercent sur la masseole problème deVient

mathema-tlQuement plus complique a traiter, maIs la SImulatIOn peut prendre le relais et permet tre à l'étudIant de poursuivre son Invest Igat IOn Que se passe-t-II par exemple SI, en plus de la force de rappel, Il ya une force de frottement F=-rx' proportIonnelle a la vItesse?

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a) positiondela masse en fonction du temps lorsque l'oscillateure~tsoumISilune force defrottement; bl vitesse en fonctlOndela position

Et 51, en plus des forces de rappel et de frottement, une (oree extèrieure pér10dlque F(t>=Fosin(2nvtJ agit sur la masse?

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~.al positiondela masse en fonction du temps lorSQue l'oscillateur est soumIsàune forea defrottement etilune force extérieure pèriooique; b) Vitesse en fonctiondeIIIposition

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2. Osci lIateurs couplés: les battements

Re lIOns maIntenant deux ose Illateurs par un ressort

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soumisilœsfur ces(Jefrottement, b) vitesse

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celte masse en fonction(Jesa position

3. Le pendule: oscillations et rotations

Pour ce diSPOSItif, la force de rappel n'est plus proportionnelle à l'ècart angulaire par rapportàla posItion d'èQuil ibre. Le problème est donc d'emblée assez compliqué, même en l'absence de frottement Ici encore, la simulatIOn peut venir en aIde et apporter des rêponses à de nombreuses Questions

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~.a) penllule constitué (j'une masse flxee a unetllJ3rlglàe et pouvant tourner autour(Je

l'axe; b) vitesse angulaire du pendule en fonction(Jel'angle lorsque le pen(jule oscille;

(5)

4. Apparition du chaos '

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~:al pendule soumIsàune forœœ rappel, (j'entretien etdefrottement De plus, l'électro-aimant exerce une force pérllxhque sur la masse magnétique Dans certaines circonstances, le com-portementdece pendule peut œvenir chaotique; b) posItIOn angulaire du pendule en fonctIon du temps

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c) Vitesse angulaire en fonctiondel'angle

5. Un

yo-yo

orIginal 1

Sion accroche une masse àun ressort et Qu'on la fait osci 11er comme un pendule, on peut alors, selon les condItions, observer un comporternt::i1t Inattendu 1Ce comportement est àrapproctler de celui des

oscillateurs couplés En effet. comme le dispOSitif autorise des mouve-ments d'osc! Ilatlon selon deux dIreCtions (x et Z), Il peut y avoir un couplage causant un transfert d'énergie entre ces deux modes d'osClllatlon

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(6)

ANNEXE

Equations dlftérentltllles correspondent aux différentes simulations Oscillateur harmOniQUe

L'équation du mouvement s'obtient en posant Que la masse du mobile multipliée par son a;celération est égale a la sommedesforcesQUIagissent sur lUI, mx"=IFx

SOit, en détai liant les forces

mx"=-kx -rx'+

F.

sint 21tV t)

2 Osel lIateurs coup~

Ach~ueOSCillateur correspond une équatIOn comportllllt une forcederappel et une

forcedefrottement, le œrOJer terme représente la force œcouplage:

mx,"=-k\x, -r,x,' -k(x,- x2)

mX2"=_{-k2x2 -r2x2' -k( x2- x,)}

3 Pendule

La œr ivée par rapport au temps du moment cinétique du pendu le est égale au moment

œ

forceQIliogll sur lui, dB/dt=mglsin(ex.), Après quelques calculs. on obtient l'équatIOn: ex."

=

-g sin(ex.)/ 1

'! Pendule "chaotique"

Pour ce pendule, nous avons utilisé l'équatIOn suivante:

où les deux premiers termes du second membre correspondentàla force de rappel, le deuxième

aux forces d'entr etlcf1 et œ dlsslpatIOn, et le œrnieràla force magnétique périoolque,

5Pendule~rochéilun ressort

Pour trouver les equatlOns du mouvement œce pendule (voir fig, 7) on procede ainSI:

\' on exprime l'énergie clOetique et potentielle œ la masse m en fonctIOndescwroonnees x et 2 '

2'On supposa ensulle que les écarts par rapportilla position d'équilibre sont petits. ce qui

permet d'ecrire le lagrangien suivant:

aveclIl_p2=g/zo IIl_r2=k/m et À =IIl_r2

1/

Zo 2 ,Celagrangien conduit alors aux équations : x" •III2x=ÀX2