Dynamique d'un gaz de bosons ultra-froids dans un milieu désordonné : Effets des interactions sur la localisation et sur la transition d'Anderson

(1)

Dynamique d’un gaz de bosons ultra-froids dans un milieu

désordonné :

Effets des interactions sur la localisation et sur la transition d’Anderson

Benoît Vermersch sous la direction de Jean-Claude Garreau

(2)

Un gaz de bosons ultra-froids (1)

1960 : Premier laser à Rubis

1980-1995 : Refroidissement et piégeage des atomes

(3)

Un gaz de bosons ultra-froids (1)

1960 : Premier laser à Rubis

(4)

Un gaz de bosons ultra-froids (2)

1995 : Premier Condensat de Bose-Einstein

1 objet quantique macroscopique (> 10000 atomes)

(5)

Un gaz de bosons ultra-froids (3)

Des phénomènes spectaculaires : Soliton [Becker et al., 2008], Transition de Mott [Greiner et al., 2002], ...

(6)

... dans un milieu désordonné

(7)

(8)

Sommaire

Localisation d’Anderson

Le système unidimensionnel

Le système tridimensionnel

(9)

Sommaire

(10)

1.1 : Le cadre du problème

(11)

(12)

1.2 : Un phénomène non-intuitif

Potentiel d ´esordonn ´e

Probabilit ´e de pr ´esence

|φ(x)|2 _{∼ exp[−2|x|/`]}

(13)

Explication 1D

Cristal parfait : Délocalisation du paquet

(14)

Rôle de la dimension

Théorie d’échelle par “le gang des quatre” [Abrahams, Anderson, Licciardello et Ramakrishnan ]

Comportement des systèmes électroniques de taille finie Conductance g ∝ Lβ β = d log g /d log L −4 −2 0 2 4 log g −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 β log ˜g D = 1 D = 2 D = 3 12

(15)

Rôle de la dimension

Théorie d’échelle par “le gang des quatre” [Abrahams, Anderson, Licciardello et Ramakrishnan ]

Comportement des systèmes électroniques de taille finie Conductance g ∝ Lβ β = d log g /d log L −4 −3 −2 −1 0 1 2 β log ˜g D = 1 D = 2

(16)

Exemple 2D

Sans désordre Avec désordre

(17)

1.3 : Situations physiques

Courant électrique dans les solides [Anderson, 1958]

Ondes électromagnétiques et sonores

[Chabanov et al., 2000, Hu et al., 2008].

Ondes de matière (atomes froids) Potentiel de tavelures optiques (speckle)

[Billy et al., 2008, Kondov et al., 2011, Jendrzejewski et al., 2012]

Réseaux bichromatiques [Roati et al., 2008] Rotateur pulsé [Chabé et al., 2008]

(18)

1.3 : Situations physiques

Courant électrique dans les solides [Anderson, 1958] Ondes électromagnétiques et sonores

[Chabanov et al., 2000, Hu et al., 2008].

Ondes de matière (atomes froids) Potentiel de tavelures optiques (speckle)

[Billy et al., 2008, Kondov et al., 2011, Jendrzejewski et al., 2012]

Réseaux bichromatiques [Roati et al., 2008] Rotateur pulsé [Chabé et al., 2008]

(19)

1.3 : Situations physiques

Courant électrique dans les solides [Anderson, 1958] Ondes électromagnétiques et sonores

[Chabanov et al., 2000, Hu et al., 2008]. Ondes de matière (atomes froids)

Potentiel de tavelures optiques (speckle)

[Billy et al., 2008, Kondov et al., 2011, Jendrzejewski et al., 2012] Réseaux bichromatiques [Roati et al., 2008]

(20)

Une expérience d’atomes froids (Institut d’Optique)

(21)

Le rôle des interactions dans un CBE ?

Collisions entre particules↔Interférences quantiques

Travail expérimental [Lucioni et al., 2010] Approche à plusieurs corps [Delande et al., 2013]

Simulations numériques dans le régime de champ moyen [Flach,

Shepelyansky, ..]

Études des excitations du condensat

(22)

Le rôle des interactions dans un CBE ?

Collisions entre particules↔Interférences quantiques Travail expérimental [Lucioni et al., 2010]

Approche à plusieurs corps [Delande et al., 2013]

Shepelyansky, ..]

[Lugan et al., 2007, Gaul & Müller, 2011]

(23)

Le rôle des interactions dans un CBE ?

Shepelyansky, ..]

(24)

Le rôle des interactions dans un CBE ?

Simulations numériques dans le régime de champ moyen [Flach, Shepelyansky, ..]

[Lugan et al., 2007, Gaul & Müller, 2011]

(25)

Le rôle des interactions dans un CBE ?

Simulations numériques dans le régime de champ moyen [Flach, Shepelyansky, ..]

Études des excitations du condensat [Lugan et al., 2007, Gaul & Müller, 2011]

(26)

Sommaire

(27)

2.1 : L’équation d’Anderson-Schrödinger non-linéaire

discrète

i ˙φn =vnφn−φn+1−φn−1+g|φn|2φn

Désordre : v_n∈ [−W /2, W /2] est aléatoire

Couplage : normalisé à 1.

(28)

2.2 : Stratégie 1 : Système de taille finie

Destruction de la localisation aux temps très longs Conséquence : Caractérisation complète impossible Stratégie 1 : Système fini ouvert (absorbeur numérique) Influence de la condition initiale L₀

(29)

Exemple avec W = 2, L

0

= 7

Localisé g = 0 Chaotique g _{∼ 10} Auto-piégé g _{∼ 100}

(30)

2.2 : Stratégie 1 : Système de taille finie

Notre observable : probabilité de survie p(t) =P_n|φn|2

10−2 ₁₀−1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 g 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p L0 3 7 13 21 31 41 Figure:t = 105 _{W = 4.}

3 régimes : quasi-localisé, chaotique et auto-piégé. (décrit également par [Laptyeva et al., 2010])

(31)

Expérience à Florence :

0.1 1 10 15 20 25 30 35 40 ( m ) time (s)

(32)

Comprendre ces 3 régimes :

i ˙φn= vn+g|φn|2φn−φn+1−φn−1

Localisé

Chaotique (à un instant donné)

Auto-piégé

(33)

Comprendre ces 3 régimes :

Localisé

(34)

Comprendre ces 3 régimes :

Localisé

Auto-piégé

(35)

Comprendre ces 3 régimes :

Localisé

(36)

Le régime auto-piégé :

Argument énergétique :

E = Eint+ Epot+ Ekin

Travail dans une bande de Bloch : E_pot+ E_kin< E_max Si E_int(t = 0)> Emax, E_int(t) = E − Epot− Ekin > 0

(37)

Comprendre ces 3 régimes :

i ˙φn= vn+g|φn|2

φn−φn+1−φn−1 Représentation en modes propres :

i ˙dν =νdν + g X ν1,ν2,ν3 Iν,ν1,ν2,ν3d ∗ ν1dν2dν3 (1)

Localisé : Populations sont stables

Chaotique : Excitation de nouveaux modes Auto-piégé : Dynamique entre modes excités

(38)

2.3 : Stratégie 2 : Propriétés spectrales

Objectif : Noter l’apparition des nouveaux modes

→ étudier l’apparition des fréquences correspondantes. Régime chaotique ?

Avantages numériques considérables.

(39)

2.3 : Stratégie 2 : Propriétés spectrales

Objectif : Noter l’apparition des nouveaux modes → étudier l’apparition des fréquences correspondantes.

Régime chaotique ?

(40)

2.3 : Stratégie 2 : Propriétés spectrales

Objectif : Noter l’apparition des nouveaux modes → étudier l’apparition des fréquences correspondantes. Régime chaotique ?

Avantages numériques considérables.

(41)

2.3 : Stratégie 2 : Propriétés spectrales

Objectif : Noter l’apparition des nouveaux modes → étudier l’apparition des fréquences correspondantes. Régime chaotique ?

(42)

Définition d’une observable

Représentation mode |φi =P νdν|νi Nombre d’états : Nombre modes excités.

P = P 1 ν|dν|4

Régime localisé P = P(t = 0)

Régime chaotique : nouvelles fréquences Régime auto-piégé : Nombre fini de fréquences.

(43)

Définition d’une observable

P = P 1 ν|dν|4 Régime localisé P = P(t = 0)

(44)

Définition d’une observable

Régime chaotique : nouvelles fréquences

Régime auto-piégé : Nombre fini de fréquences.

(45)

Définition d’une observable

(46)

Définition d’une observable

Spectre de puissance : S_f ∝ |TF [P(t)]|2 Localisé g _{∼ 1} 0.0 0.4 0.8 f 10−8 10−6 10−4 10−2 100 S (f ) (a) Chaotique g _{∼ 10} 0.0 0.4 0.8 f 10−6 10−4 10−2 100 S (f ) (b) Auto-piégé g _{∼ 300} 0.0 0.4 0.8 f 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 S (f ) (c) 28

(47)

Définition d’une observable

Notre observable : Entropie spectrale H =₋

´

df Sf log Sf log fmax

Sinusoïde : S_f =δ(f − f₀) → H = 0 Bruit blanc : S_f = 1/f_max→ H = 1

(48)

Définition d’une observable

´

df Sf log Sf log fmax Sinusoïde : S_f =δ(f − f0) → H = 0

Bruit blanc : S_f = 1/f_max→ H = 1

(49)

Définition d’une observable

´

df Sf log Sf log fmax Sinusoïde : S_f =δ(f − f0) → H = 0 Bruit blanc : S_f = 1/fmax→ H = 1

(50)

Résultats

10−2 ₁₀−1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 g 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 H L0 3 7 13 21 31 41

Les 3 régimes sont visibles

(51)

Caractérisation complète du système

10−2 ₁₀−1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 ˜ g 0.00 0.08 0.16 0.24 0.32 0.40 ˜ H L0 3 7 13 21 31 41 Lois d’échelle ˜g = gL−3/4, ˜H = HL3/4(L _{≥ `(W ))}

(52)

Caractérisation complète du système

et le désordre ! 0 10 20 30 W 0.15 0.30 0.45 0.60 ˜ Hm ax (a) 0 10 20 30 W 8 12 16 20 ˜gc (b) 0 10 20 30 W 1.5 2.0 2.5 3.0 σ (c) 32

(53)

Conclusion 1

„ere

partie

Résultats :

Description des régimes

Mise en évidence de la nature chaotique Lois d’échelles

Caractérisation complète L0, g , W

Autre approche : longueur de localisation effective Effets de décohérence

Perspectives :

Comprendre l’exposant de la loi d’échelle L−3/4₀ Effets du bruit quantique

(54)

Sommaire

(55)

3.1 : Le rotateur pulsé quasi-périodique

h = p 2

2 + K cos x (1 +ε cos ω2t cosω3t) X n δ(t_{− n)} 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t P u ls e s

(56)

3.1 : Le rotateur pulsé quasi-périodique

h = p 2

2 + K cos x (1 +ε cos ω2t cosω3t) X n δ(t_{− n)} 100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 t 100 101 102 103 104 105 106 107 108 hp 2i Régime localisé Régime critique Régime diffusif

Régime localisé petits (K, ) → Régime diffusif grands (K, )

(57)

Résultats expérimentaux

Récente démonstration expérimentale de l’universalité de la transition d’Anderson [Lopez et al., 2012]

A B C D E F G H I Data set 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Critical exponent ν

(58)

3.2 : L’effet des interactions

un condensat de Bose-Einstein quasi-1D avec conditions aux bords 2π-périodique.

Dans le régime de faibles interactions : E_int E_kin Équivalence brisée avec le modèle d’Anderson 3D

(59)

3.2 : L’effet des interactions

un condensat de Bose-Einstein quasi-1D avec conditions aux bords 2π-périodique.

(60)

3.3 : Équations de Bogoliubov

Le condensat est-il stable ?

Ψ =√Nφ +X k

bkuk + b†_kvk∗

Évolution du condensat (équation GP) i ~dtφ = hφ + g_|φ|2φ

Évolution de la fraction non-condensée [Castin & Dum, 1998] : i ~dt uk vk = Q Q∗ _{h + 2g |φ|}2_{− µ} _{g φ}2 −g φ∗2 _{−h − 2g |φ|}2_{+ µ} Q Q∗ uk vk Nombre d’excitations N_b =hvk|vki 39

(61)

3.4 : Stabilité du condensat

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 t

_×10

4

10

−5

10

0

10

5

10

N

b g = 0.01 g = 0.1 g = 1 g = 4

(62)

3.4 : Stabilité du condensat

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 t

_×10

4

10

−5

10

0

10

5

10

N

b g = 0.01 g = 0.1 g = 1 g = 4

Un condensat pulsé est stable pour les faibles forces d’interactions.

(63)

Régime localisé

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t ×104 0 50 100 150 200 hp 2i condensat excitations g = 0.0001 g = 0.01 g = 0.1

(64)

Régime diffusif

0 100 200 300 400 500 t 0.0 0.8 1.6 2.4 hp 2 i ×104 condensat excitations g = 0.0001 g = 0.01 g = 0.1 42

(65)

Propriétés critiques

Hypothèse :

σ2= tβFh(K− ˜K )tαi,

ν exposant critique pour longueur de cohérence ξ ∼ |K − ˜K|−ν limites localisées et diffusives ⇒

(66)

Propriétés critiques

10−4 ₁₀−3 ₁₀−2 ₁₀−1 g 6.2 6.3 6.4 6.5 ˜ K condensat excitations

Le condensat et les excitations possèdent le même paramètre de stochasticité critique ˜K

(67)

Propriétés critiques

10−4 ₁₀−3 ₁₀−2 ₁₀−1

g

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

ν

condensat excitations

(68)

Conclusion 2

ème

partie

Le formalisme de Bogoliubov nous a permis de : montrer la stabilité d’un condensat pulsé

mettre en évidence l’universalité de la transition d’Anderson pour un gaz de bosons ultra-froids

Perspectives

Construire l’expérience

Caractériser le condensat pour des temps plus longs

Nouvelles approches théoriques : Wigner,Husimi tronquée, TEBD, théories Bogoliubov ordre supérieur

Construire l’expérience

(69)

Le défi des simulateurs quantiques

Comprendre des systèmes complexes à l’aide de petits systèmes, plus simples

(70)

Merci

Merci pour votre attention

(71)

Anderson, P. W. (1958) Physical Review, 109 (5), 1492–1505. Becker, C., Stellmer, S., et al. (2008) Nature Physics, 4 (6), 496–501.

Billy, J., Josse, V., et al. (2008) Nature (London), 453, 891–894. Castin, Y. (2011).

In : http ://www.phys.ens.fr/_∼castin/.

Castin, Y. & Dum, R. (1998) Physical Review A, 57 (4), 3008–3021.

Chabanov, A. A., Stoytchev, M., et al. (2000) Nature (London), 404(6780), 850–853.

(72)

Delande, D., Sacha, K., et al. (2013) New Journal of Physics, 15 (4), 045021.

Gaul, C. & Müller, C. (2011) Physical Review A, 83 (6), 063629–. Greiner, M., Mandel, O., et al. (2002) Nature (London), 415, 39–44.

Hu, H., Strybulevych, A., et al. (2008) Nature Phys. 4, 945–948. Jendrzejewski, F., Bernard, A., et al. (2012) Nature Physics, 8 (5), 398–403.

Kondov, S. S., McGehee, W. R., et al. (2011) Science, 334 (6052), 66–68.

Laptyeva, T. V., Bodyfelt, J. D., et al. (2010) EPL (Europhysics Letters), 91 (3), 30001.

(73)

Lopez, M., Clément, J.-F., et al. (2012) Physical Review Letters, 108(9).

Lucioni, E., Deissler, B., et al. (2010) Idea, (x), 8.

Lucioni, E., Deissler, B., et al. (2011) Physical Review Letters, 106(23), 230403.

Lugan, P., Clément, D., et al. (2007) Physical Review Letters, 99 (18), 180402–.

(74)

Bonus

b H = ˆ dxΨb⊥(x )h(x, t) bΨ(x ) + g1D 2 ˆ dxΨb⊥(x ) bΨ⊥(x ) bΨ(x ) bΨ(x ) h = p 2

2 + K cos x (1 +ε cos ω2t cosω3t) X n δ(t− n) b Ψ =_baφφ + bΨ⊥ , hbΨ_⊥†Ψb⊥i hba†_φbaφi [Castin, 2011] b Ψ⊥= q baφ ba†φbaφ+ 1 ∞ X k=1 bkuk + b†_kvk∗ 52

(75)

Bonus

2 + K cos x (1 +ε cos ω2t cosω3t) X n δ(t− n) b Ψ =_baφφ + bΨ⊥ , hbΨ_⊥†Ψb⊥i hba†_φbaφi [Castin, 2011] b baφ ∞ X _†

(76)

Bonus

2 + K cos x (1 +ε cos ω2t cosω3t) X

n

δ(t− n)

b

Ψ =_baφφ + bΨ⊥ , _hbΨ†_⊥Ψ⊥b _{i hba}†_φbaφi

[Castin, 2011] b Ψ⊥= q baφ ba†φbaφ+ 1 ∞ X k=1 bkuk + b†_kvk∗ 52

(77)

Bonus

2 + K cos x (1 +ε cos ω2t cosω3t) X

n

δ(t− n)

b

Ψ =_baφφ + bΨ⊥ , _hbΨ†_⊥Ψ⊥b _{i hba}†_φbaφi [Castin, 2011]

b baφ

∞

(78)

Propriétés critiques

Assumption :

σ2 = tβF [(K − Kc)tα_]_,

ν critical exponent for the coherence length ξ∼ |K − K_c|−ν ξ ∝ σ ⇒ F(y) ∼ y2ν _{, K < Kc}

ξ ∝ σ2_/t_{⇒ F(y) ∼ y}ν _{, K > Kc}

localized limit : σ2 ∼ tβ[(K − Kc)tα]2ν ∼ cste, ⇒β − 2αν = 0 diffusive limit : σ2 ∝ tβF [(K − Kc)tα]ν ∼ t⇒β + αν = 1 critical regime σ2 = t2/3F(K− Kc)t1/3ν[?, Lopez et al., 2012]

(79)

Bonus

Λ =hp2it−2/3= F(K − K_c)t1/3ν=⇒ _{d log Λ} dK Kc ∝ t 1/3ν 3.6 3.8 4.0 4.2 ln p 2 t − 2/ 3 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 lo g( lo g ′ Λ ) Kc= 6.42g= 100.0 ν= 1.48