Correction Devoir de synthèsen°1 3ème Sc Techniques Me Karboul 10 12 14

(1)

UNE CORRECTION POSSIBLE du devoir

Proposée par Exercice 1 (3 pts) 1) ′ 1 2 ′ 1 2) lim → lim→ lim→ Exercice 2 (8 pts) Soit 1 0 2√ 1) lim → lim→ 1 lim_→ lim_→ 2√ lim_→ lim_→ 2√ lim_→ 2 √ 1

2) On a 1 0 pour que soit continue en

lim_→ lim_→ 2√ 2 !

3) On a 0 1

lim_→" _" " lim_→" #$%# % _lim →

alors est dérivable à droite en 0 est

Kooli Mohamed Hechmi

UNE CORRECTION POSSIBLE du devoir de synthèse n°1 3

ème

de Me Karboul du 10 /12 / 14

Proposée par Kooli Mohamed Hechmi

& ′ 2 0 ′ 4 lim lim_→ ′ 4 1 ( 0 0 ) ( 1 * 1 + lim → ∞ lim → 2√ √ √ lim→ √- .1 √/01023 lim → 2√ ₁ _lim → 2√ √ √ 1 1

soit continue en 1 il faut que lim

→ 0 ! 1 1 1 donc 1 0 alors lim_→" #$%# % _lim →" #$% # % # % _lim →" 4# # % _lim →" est 5 0 2

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/

ème

Sc Techniques

1 23 ∞ alors 1 lim_→" 2 ∈ 7

ematiques.kooli.me/

(2)

lim_→"_$ _" " = lim_→"_$ 4 = lim_→"_$ 4 = lim_→"_$ = lim_→"_$ + 1 = 1 ∈ ℝ

alors est dérivable à gauche en 0 est 5 0 = 1

4) a) ∀ ∈ 9−∞ , 0; 5 = + − 1 5 = 2 + 1 ∀ ∈ 90 , 1; 5 _{= < =}5₌ 4 = 4 ∀ ∈ 91 , +∞; 5 _{= >2√ − − 1?}5 _{= 2 ×} √ − 1 =√ − 1 b) 4 = 2√4 − 4 − 1 = −1 5 4 = √ − 1 = − 1 = − @: B = 5 ₄ _{− 4 + 4 @: B = −} _{− 4 − 1 @: B = −} _{+ 1}

5) a) Pour _" < 0 on a 5 _" = 2 _"+ 1 pour que la tangente à au point d’abscisse _" soit parallèle à la droite C: B = −3 + 5 il faut que 5 _" = −3 donc 2 _"+ 1 = −3 donc 2 _" = −4 donc _" = −2 < 0 alors il existe une tangente à au point d’abscisse _" < 0 parallèle à la droite C: B = −3 + 5

b) Pour ∈ 90 , 1; on a 5 =

% 4 pour que la tangente à au point d’abscisse soit parallèle

à la droite C : B =& − 3 il faut que 5 = & donc

% 4= & donc + 1 =F & donc + 1 = −GF & ou + 1 = G F

& alors = −1 − √& < 0 ou = −1 + √& < 0

or ∈ 90 , 1; alors il n’existe aucune tangente à au point d’abscisse ∈ 90 , 1; parallèle à la droite

C : B =& − 3

Exercice 3 (6 pts)

Soit = sin 2 − √3 cos ∈ ℝ

1) ∀ ∈ ℝ on a cos >2 sin − √3? = 2 cos sin − √3 cos = sin 2 − √3 cos

alors ∀ ∈ ℝ on a = cos >2 sin − √3?

2) = 0 ⇔ cos >2 sin − √3? = 0 alors cos = 0 ou 2 sin − √3 = 0

alors cos = 0 ou sin =√&= sinM

& alors = M+ NO ; N ∈ ℤ ou =M &+ 2NO ; N ∈ ℤ ou = M & + 2NO ; N ∈ ℤ Rℝ= SO_{2 + NO ; N ∈ ℤT ∪ S}O_{3 + 2NO ; N ∈ ℤT ∪ V}2O_{3 + 2NO ; N ∈ ℤW} = M+ NO ; N ∈ ℤ ∈ ;−O , O9 alors X = −Y_Z ou X =Y Z

= M_&+ 2NO ; N ∈ ℤ ∈ ;−O , O9 alors X =Y_[ = _&M+ 2NO ; N ∈ ℤ ∈ ;−O , O9 alors X =ZY_[

\; Y ,Y9 = S−Y_{Z ,}Y_{Z ,}Y_[T

(3)

3) > 0 ⇔ cos >2 sin − √3? > 0 = 0 = M ou = M_& ou = _&M −O −M M & M M & O cos − 0 + + 0 − − 2 sin − √3 − − 0 + + 0 − + 0 − 0 + 0 − 0 + \; Y ,Y9 = ^−O , −O_{2_ ∪ ^}O_{3 ,}O_{2_ ∪ `}2O_{3 , Oa} Exercice 4 (3 pts)

a) cos <3 +M= = cos 3 cosM− sin 3 sinM =√ cos 3 −√ sin 3

cos <3 −M= = cos 3 cosM+ sin 3 sinM= √ cos 3 +√ sin 3

cos <3 +M= + cos <3 −M= =√ cos 3 −√ sin 3 +√ cos 3 +√ sin 3 = √2 cos 3 cos <3 +M= + cos <3 −M= = 0 alors √2 cos 3 = 0 alors cos 3 = 0

alors 3 =M+ NO ; N ∈ ℤ \_ℝ= SY

Z+ bY ; b ∈ ℤT

b) sin <M

c− = = cos <Mc+ 2 = ⇔ sin <Mc− = = sin ^M− <Mc+ 2 =_

⇔ sin <M_c− = = sin <M−M_c− 2 = ⇔ sin <M_c− = = sin <M_&− 2 =

alors M_c− =M_&− 2 + 2NO ; N ∈ ℤ ou M_c− = O − <M_&− 2 = + 2NO ; N ∈ ℤ = M_&−M_c+ 2NO ; N ∈ ℤ ou M_c − = O −M_&+ 2 + 2NO ; N ∈ ℤ

= M_c+ 2NO ; N ∈ ℤ ou =M+ 2NO ; N ∈ ℤ

\ℝ = SY_{g + bY ; b ∈ ℤT ∪ S}Y_{Z + bY ; b ∈ ℤT}