Algèbre linéaire III

Mercredi 8 juin 2005. Maple TD 13. Exercice 1 : L'espace euclidien R3[X].

On note E l'espace vectoriel R3[X]muni du produit scalaire <, > où :

∀(P, Q) ∈ E2_{, < P, Q >=}Z 1 0

P (x)Q(x)dx et l'on note B = {1, X, X2_{, X}3_}.

1. Créer une procédure P S d'arguments (P, Q, X) qui renvoie < P (X), Q(X) >. 2. Transformer B en une BON de E pour le produit scalaire <, >.

3. On note F = R2[X] ⊂ E. Déterminer le projeté orthogonal de X3 sur F .

4. En déduire inf (a,b,c)∈R3 Z 1 0 (x3− ax2_{− bx − c)}2_dx ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Exercice 2 : Etude d'une matrice orthogonale. Soit A := 1 3   2 −1 2 2 2 −1 −1 2 2   1. Vérier que A est une matrice orthogonale.

2. Calculer le déterminant de A. En déduire la nature de l'endomorphisme f de R3_{associé à A dans la base canonique de R}3_.

3. Déterminer les caractéristiques de f. 4. Déterminer une base B de R3 _{tel que}

MB(f ) =   1 0 0 0 cos(θ) sin(θ) 0 − sin(θ) cos(θ)   où θ ∈ [0, 2π]. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1

Exercice 3 : Exponentielle de matrice. Soient M :=   1 0 −1 4 6 4 −2 −3 0 

 et f l'endomorphisme de R3 dont M est la matrice dans la base canonique B = (i, j, k) de R3_.

(Rappel : pour toute matrice M, on note eM _{la matrice P} n≥0

Mn n! )

1. On note e1:= 3(i + j + k), e2:= −3i − 4j − 3k, e3:= −2i − 3j − 3k.

Montrer que B0_{:= (e}

1, e2, e3)est une base de R3.

2. Déterminer la matrice M0 _{de f dans B}0_.

3. Déterminer une matrice D diagonale et une matrice N nilpotente telles que M0_{= N + D et ND = DN.}

4. En déduire une expression matricielle de eM0 _{puis de e}M_.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗