Distribution asymptotique des statistiques de Kolmogorov pour un enchantillon

.

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DISTRIBUTION ASYMPTOTIQUE

DES STATISTIQUES DE KOLMOGOROV

POUR UN ECHANTILLON

PAR

DOMINIQUE POULIOT

Mémoire présenté à la Faculté des études avancées et d~ la recherche en accomplissement partiel des exigences pour l'obtention du grade de Maître ès Sciences.

M.Sc.

Département de mathématiques

Université McGill. Montréal Août 1979

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DISTRIBUTION ASYMPTOTIQUE

, 0

DES STATISTIQUES DE

KOL~'OGOROV

POUR UN ECHANTILLON

PAR

DOMINIQUE POULIOT

~ ~

RESUME

.,

Nous exposons dans ~~mémoire quelques preuves du célèbre théorème de Kolmogorov sur les lois {imites des statistiques D , D + et 0

. n n n

En 1949, Doob fait la supposition qu'il suffit de calculer les distributions appropriées du pont brownien pour obtenir la distribution asymptotique des statistiques de Kolmogorov. Cette

conjecture de Doob se justifie par la théorie de la convergence faible. Quant aux calculs sur le mouvement brownien, plusieurs approches seront examinées ici: celle de Doo~ et également celle de Durbin (1974), celle de Herz (1979). Cette dernière a l'avantage d'éliminer les calculs utilisant exp)icitement la propriété de Markov forte. Nous analysons également la m~thode de Gnedenko, basée sur le principe des promenades aléatoires sym6triques.

Département de mathématiques M.Sc •

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J\

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f

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.

ABSTRACT

~

In

th!s thesis, we examine a few proofs of KOlmo,orov's

famous

theorem on the asymptotic distributions of the stati~tics On' Dn+ and D -_n In 1949, Doob aS5umed that it suffices to calculate the _. appropriate distrièutions of thè Brownian Bridge to obtain the

asymptotic distributions of Kolmogorov's Statistics. This conjectbre can be justified by the theory of Weak Convergence. We a1so expIain Doob's calculations,on Brownian Motion and tho~e of Durbin (1974) • and of Herz (1979). This last approach ~ffers the advantage of eliminating calculations which involve explicitly the Strong Markov Property. We also inelude a discussion of Gnedenko's method based on the principle of symmetric random walks.

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1

i

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1

TABLE DES MATIERES

Il

PAGE

_i.

REMERCIEMENTS • . . . . • . .

~RODUCTION . . . . DEFINITIONS

ET

TERMINOLOGIE . . . . . . i i i . . . . . vi Il OiAPITRE 1 l' , Il. 52. 13. 14. 15. 16. 57.

IS.

Post don du probibe . ',' • . .

f. . . . .

Processus sto'chastiques et mouvement brownieh Temps d' art'8t • • • . . . • • .'.,'. . . . • Calculs de OOob sur le mouvement brownien

M~thode des con5tantes arbitraires . . . Evaluation, de C (n), 1 ., 1,2,3,4.

~Evaluation ~e ~b{D

>

~}

et d_ . • . . • , '{ + } 1

Prab 0 >). f • • • • •

Trois r~sultats importants do l'article de Doob

>

, , _l'

OIAPrrRE II

/

~1. Justification de l'hypothèse de Do ob'

a

l'aide de la th~orie de la convérg~ce faible et aperçu ,historique des origines au principe d'invariance 12. Appen(!licé au Chapitre Il . • • . J . . . .

O!AP ITRE III

f

11~Calcul de Prob{T+

<_}

et de • . • . . . • . . - - Prob{T

<,

'GD} par la m6thode de Harz 12. Appendice au Chapitre III' . . . . • . . . • .

OIAPITRE IV

SI. EXPlication de la m~thode de Gnedenko pour le calcul de la distribution asymptotique de la stàtistique de Kolmogorov . . . • • . , , CHA.P ITRE V

u.

12. 13. !4. 15.

/

.f,

Construct~on du mouvement brownien sur [0,1]

Pont brownien . . . • . • • . . . • • . , . Analyse de quelques ensembles mesurables importants Dficomposition de l'ensemble des trajectoires qui

coupe~t L=d ou ·L=-d en classes

Ap

et ~ . • . . '.

Just~fic~tion du pa~sage du mouvement brownien sur

[O,l} au pont brownien par la convergence faible .

Cal~ul de Prob (Al) par la m6thode de Durbin

... ,,,-"

"

1 1 4 7 17 40 41 49 52 58 58 68 76 76 85 90 90 III

III

116 lIB 120 . 133

(.

.

,

(

CiA-PITRE V (suite) 16.

H.

18. 19.

no.

Hl. ,

Calcul de Prob (Al) par ~e MEthode analogue l celle de Gnedenko pour les marches al&atoires • Calcul de Prob (Ak) et de Prob~ (Bk), k - 2,3, ••• par la m8me m'thode qu'A la section 16 . • • •

Explication de la s&rie·alternfe de Ko1mdgorov par la m6thode de Blackman . • • • • . • • • • • ExplIcation du calcul de _{wn de Doob •• • • •}

'Justification de Prob (At) - Prob (Bk) par le principe 'de syxétrie • • • . '. '.' . . . • Travaux r6cents sur le probllme 6tudi& et sur

des probl~mes reli6s . . • . • • • • • . • • • •

APpeNDICE PAR (J.C. Taylor)

Il. Quelques remarques sur le problame de Dirichlet pour l'équation de la chaleur • • • . • • • • • 12. Calcul du potentfel d'~quilibre pour un

demi-espace. Lien avec le calcul de

Wn

de Doob

BIBLIOGRAPHIE

. . .

.

.

.

.

. . .

.

. .

.

. . .

.

.

.

~ Iv .~~ ... >I<'", __ .... _.~-.-... _ _ _ _ _

-~-PAGE

f 136 -131 139 144 146 146 156 156 160 166

--. --.

, " f 1 ) "} \ .-~ ... ~~""'!' P. ~~; ,~')( i( k~'~~_, < ' ,~ " ~ ~ .. ~ ~ ~;,-... ~;:.1!;,~ ... ~ 1 '

-1-REMERCIEMENTS

Je tiens à témoigner en p~emier lieu ma profonde gratitude l mon' directeur de recherche, le Professeur V. Seshadri pour m'avoir suggéré le sujet de ce mémoire et pour m'avoir guidée et encouragée tout au long de ce travail •. Sans lut ce mémoir~ n'aurait pas été possible.

Je d6sire remercier tout particuli~rement le Professeur Carl Herz pour les nombreuses conversations que j'ai ,eues avec lui sur les temps d'an&t et le mouvement brownien .... Je lui dois aussi de_ m'avoir fourni cette preuve courte et 'l'gante du théorème de Kolmogorov, qui est expliquée au chapitre III.

Ma vive reconnaissance va Agalement au Profes~eur Anatole JOffe, Directeur du Centre de recherches mathématiquès de l'Universit6 de

• u •

Montréal, pour l'intérêt soutenu qu'il a apporté ~ ce travail malgré ses lourdes responsabilités,' pour la documentation qu'il a mise l ma

"

disposition et pour ses précieux conseils sur les promenades aléato~es

et le principe d'invariance. 1>

Je suis très endettée envers le Docteur Lockhart du Centre ae recherches. Il a eu la générosité de lire en entier et de commenter, pour mon bén6fice, le text'e primitif. Bon nombre d'améliorations lui sont dues.

'"

Je remercie aussi le Professeur John Taylor. Il m'a éclair&e sur, certains points de la théotie des processus stochastiques. Je lui sais gré également de m'avoir permis d'inclure en appendice sa justification ingênieusé d'un résultat de Ooob, basée sur la théorie du potentiel.

,

.

Je remercie chaleureusement le Professeur 'Cs(Srg'b de l 'Universi té Carleton pour les explications qu'il m'~ données sur la th~orie de la convergence faible et pour m'avoir fait part de l'Introduction à son

/ '

__ livre sur les lois fortes du principe"!i 'i!,variance' .

, j / ' .l~ ~\-.~.., ~\",:,t-' ,

.',

(

l

u

(

-ii-Pinalement. je remercie Madame Maura Crilly, Madaae Jackson et Madame Lynda Leadnow pour leùr excellent travail de dactylographie.

"

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1

•

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Q ,

1

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(

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-iii-\ 1

NTRODUCT 1 ON "

Supposons que nous ayons un 6chantillon de n observations ind6pen-dantes arrang6es en ordre croissant, de fonction de répartition commune P(x) supposé~ntinue. Le test de Kolmogorov permet d'évaluer l'6cart

ent~ une distr~bution hypothétique F (x) et la distribution empirique

• 0

F n (x) de Xl

<

_x2

< ... ,<

x

n' Nous nous proposons dans ce m6moire dt 6tu-dier la distribution asymptotique de cette statistique. L'intErSt d'un6 telle étude repose non seulement sur les applications pratiques du cri-tbe asymptotique de K.olmogox:ov t particuli~rement dans le ,domaine de l'

a-justement. mais sdTtout sur les méthodes ingénieuses qui ont été d6velop-pées de 1933 jusq~'à 1979 pour calculer cette distribution.

Soit 0 ""' n

'\

sup 1 F n (x) - F (x) 1 \,

-~

La probabilité que 0 soit inférieure

00 n 2 2

a

~

tend quand n ... 00 uniform6ment

en À vers t(À)

=

~oo

Srl)k e-2k À Tel est le r6sultat fondamental de

>

l'article de 1933 de Kolmogorov intitulé "Sulla Determinazione eurpirica di una Legge di Distribuzlone" (~2J. Dans cet artlcle se trouve la pre-miêre dé~ivation de ce résultat basée sur le calcul de la solution de

" 2

ft. i d 1 l ! I '

af

a

f ' f " , d' i

l '~quat on e a cnaleur at =

2

sat15 alSant certunes con 1t ons aux

as

'

frontières [42].

Quelques années plus tard, soit en" 1948,\ Feller utilise les fonc-tions génératrices et leurs formes limi~es pour obtenir une preuve

nou-.'

\)

,velle et 6lémentaire du théorame de Kolmogorov [2~. En 1949~ 1 la sug-gestion de Feller, Doob publie- son approche [16]: Son article "Heuristic

1

. , ';; '\

(

(

(

\

-iv-a'pproach to the KolJllOgorov-Smimov Theorems" al' avantage de faire le lien entre le calcul asymptotiq~e de D et la probâbilit~ que Îa

trajec-l ' , n ,

to~re d'une particule en mouVement brownien se tienne(l l'int6rieur de

.

frontiêres données. 'Doob base sa conjecture sur le fait suivant: soit y _n (x)

=

ln (F (x) - x) le processus empirique. _n ~ La' distribution limite _.

,

de (rn('X_{l ),} Yn(x2L''''Yn4(~» (0

< xl

<

~,

... ,

<"~

<

l, k - l,2, ••• ) est la

mame

que la distribution' jointe correspondante du pont brownien, soit celle de (P{x_l), P(x

2) , •• , ,P(~»,' Ceci lui a donn6 l'idEe

de

cal-culer les p~obabilit~s de sup P(x) (et de sup !p(x)l) au lieu de la limi-"

x X

te quand n + ~ de la probabilit6 de sup y (x) (et de sup Ir (x) 1 •

, • J x' n x n

La convergence des lois fini·dimensionnelles de y

(x!

vers la

dis-. n

tribut ion de P(x) ne suffit évidemment pas l justifier la convergence de la distribution d '~e fonction quelconque de Y

n (x). vers la distribution .. d'une, fonction correspondante de P(x) , L'article de BilÜngsley fournit

.

un contrexemple intEressant à cette situation [6, pp, 1-21. Il faudra donc utiliser tout l'outillage de la convergence faible pour justifier le passage de Doob. Déjà, en 1952, Do~sker [14] tente d'expliquer-le raisonnement heuristique de Doob. Ses mEthodes de _, preuve sont aujourd' hui d~passéès. Pourtm.at i l pose un jalon dans la th60rie de l'invari-ance et en 1951 [15] il publie son fameux th6or!me (voir Chapitre II), qui ~s t il la base de la thEorie de l'invariance. Prohorov et Siorokhod ont donné il la théorie sa forme actuelle. Et c'est il paTtir de leurs travaux qu'il ~st maintenant possible de justifier pleinement

l'hypo-th~se de DoèJb (48), [6]"

r7) ,

Tout: ncemment (avril 1979) C. lfe.rz ~ obtenu \.l'1e dérivation des limites de Kolmogorov.

." ) )

o

,'..,., ,

(

)

- -v-, ,

Le chapitre III de ce mémoire eXplique les idées d~ cette preuve

" 0 ,

courte et él'mentaire du théorème de Kolmogorov. Cette nouvelle méthode

"permet d'éviter les calculs utilisant explicitement ,la propriéd de Markov

forte.

Au Chapitre 1 nous présentons donc l'approche Ge Doob. Ce chapitre

cO'J!lPOrte e~sentielle~nt deux parties. Dans la première nous p~6sentons '

certaine~ notions sur le mouvement brownien et les temps d' an6t et darts la sec:onde nous exposons en détail les calculs de Doob sur le mouvement brownien.

Au Chapitre Il nous expliquons la supposition de Doob, l l'aide dé

la th~orie de la convellgence faible. Nous inclu~s dans ce-' c-ha:-p-~"" t:-r-e-Wl

bref aperçu historique des origines du prin~ipe d'invariance. ~

La méthode de Gnedenko pour le theorême de Kolmogorov fait l'objet

. o

du Chapitre IV. Cette approche est basee sur le principe des marches

\

,

aléatoires symetriques. ~

Au Chapitrtt-.Y nous analysons la prewe de Durbin en y appo~ta:nt

cer-taines modifications. En effet, Durbin utilise un

_.

_, cal~ul d'intégrales _"

pour déterminer la probabilité des ensembles A., B. définis au Chapitre

• 1 0' 1 l

"

v.

Nous avons utilisé

une

méthode ~alogue

i

celle de Gnedenko pour les

" r

marches alé~toires (voir Chapitre ~IV). La fin de ce chapitre fait

men-tion de techerches récentes sur 'le problème étudié et qes problêmes re-Uês.

~

Enfin, dans l'appendice, nous incluons, avec la permission de J.C.

Taylor une justification de la s'omme altern~e de Doob pour les probabili- .

\ t6s w

n (voir Chapitre Il, bas~e sur la th~orie du potentiel.

l"

t

C

,t

"\ 1\ ) ~' !' "

(

\ \ t -vi-ŒFINITIONS ET TERMINOLOGIE

\ DEFINITION 0.1. Soient ~1'~2"" des variables al~atoires i.i.d.

avec fonction de dist.ribution F(À) et soit "n(À) le nombre des ~i parmi

tl't₂ •• -.... t_n qui sont

<

A.

..

ou

v (À) peut encore s '6crire:

n n " (À)

=

t

'x

(~

. )

n i::::l (-CD. A] 1 X( __ .Aj(ti,)

= {

si ~. _l e (-CD, À] si ~. ~ (-CD. À] l

,

La fonction de distribution empirique Fn(À) est d~finie comme suit:

" (À)

F ( À)

=

--'n _____ _

n n

•

REMARQUE 0.2. Si F(;l.) est continue. la distribution de:

" "n(À)

l.u.b. ( - F(À»

n

est indépendante de F(À). Donc. il suffit d'~tudier la distribution de:

"n

P.1

d. D

+

l.u.b. ( - À)

n n

()<À.;!

où on a suppos6 les

t

_i - U(O,l). Le. FCA) = A; OQ.Q. De m8tne pour'

On et

on·

-

_{La preuve de cet énonce se trouve dans J. D. Gibbons (26}

J pp. 76-77

et pp. 23-24].

, ,

---~~---

-( )

-vii-DEFINITION 0.3. On appelle processus empirique et on dé~e y (t,Ill) n la fonction aléatoire ,.' 'J (t ,Ill) y n(t,lII) =

liie

n n - t)

REMARQUE 0.4. Pour le processus empirique on a:

E{y (t,Ill)} == 0 n B[{y (t,w) n 2 - {Yn(s,w)}] >= Ct-5) [1 - (~- 5)] OSsStSl

Et

évidemment: DEFINITlON 0.5. v Ct) D +

= l.u.b.

(--%- -

t) n oc;;t<:l , \1 Ct) n D = l.u.b. (t - - - ) n O<t..:l n v (t) 0 = l.u.b. 1 n '

-tl

, n ~..:l n

REMARQUE 0.6. Théorème de Kolmogorov:

o + _-2a 2 _\!'

1 : l~ Prob{

ln

Dn <: a}

=

1 - e

n--01> 2 2

H: lim Prob{

Iii

D

<

a}

=

1 - 2 l (_1)S-le-2s a n

n-- 5=1

,~ < • ~

., ....

'-(

l

-viii-Les définitions et remarques qui suivent nous seront utiles au chap-itre IV, plus partic~lièrement.

DEFINITION 0.7. Soit {E } une suite de sous-ensembles de X. Si la n

suite est telle que E c E l pour n c 1,2, ... c'est une suite croissante.

~ n n + \

Si li ~ E 1 pour n = 1,2, ..• c'est une sui te d~c:roissante. n n+

DEFINITION 0.8. Une suite croissante (ou décroissante) est appe16e monotone.

REMARQUE 0.9. Si {E } est une suite monotone alors 1im E existe

n ~ n

et est 6ga1e à _{n n} u E ou ( _{n n} nE) si la suite est croissante (ou décrois-sante) .

DEFINITION 0.10. Une classe non vide M d'ensembles est mgpôtone si pour toute suite monotone {E } d'ensembles de M on a lim E E M.

n _n-+oo n

REMARQUE 0.11. II désigne la mesure de Lebesgue.

DEFINITION 0.12.

M

est une famille ~'ensembles Lebesgue mesurables.

DEFINITION 0.14.

_,

Théorème de convergence monotone de Lebesgue. Supposons que E E

M.

Soit {f } lUle suite de fonctions mesurables telles

n que

o "

fI (x) " f₂ (x) " ... (xEE)

Soi t f définie par f

n (x) -+ f(x). (xEE), quand n -+ CIl. Alors

f

f d\.l -+

f

fd\.l quand n -+ CIl.

E n E

DEFINITION 0.15. Théorème de convergence dominée de Lebesgue.

Sup-, "

" ~~-- ,~-~

---

~---~

~~-()

,._-• 1 ; - \ ~ \t,ol""'~ ;1' ;:-'~. ~":,,l1l., r " -ix-posons E t M.

Soi t {f } une sui te de fonctions mesurables telles que f (x) -+ f(x)

n n

,

quand n"'''', (xe:E).

S'il existe une "fonction g Lebesgue intégrable sur E telle que

Alors

Hmf

n_ E f dIJ n =

f

E

DEFINITION 0.16. Soit S un espace métrique arbitraire. Alors S désigne la classe des sous-ensembles de Borel de S.

C'est-à-dire: [7, p. 3], S est la tribu engendrée par les ensembles ouverts. Pour l'espace C[0,11, C dénotera donc la classe des sous-en-sembles de Borel de C[a,l).

DEFINITION 0.17.

~

est la classe des ensembles de

Bo~el

de

IR~.

DEFINITION 0.18. Soit f une fonction réelle (ou réelle étendue) sur un espace topologique.

Si {x: f(x)

>

a} est ouvert pour chaque réel a, f est dite semi-continue inférieurement.

Si {x: f(x)

<

Cl} est ouvert pour chaque a réel, f est dite semi-continue supérieurement.

Dans ce qui suit, nous donnons les définitions et notations

princi-"

pales reliées au mouvement brownien et au pont brownien.

REMARQUE 0.19. X (",w) désigne une trajectoire du mouvement brownien

construit sur T =0 [O,c») et W (',Ii1I) lUle traject,oire du mouvement brownien

!"y.., 1 .. i

(

--_.-tr-"""--- '

-x-construit su~ T"" [0,1] 0 P (o,lIl) dEsigne une trajectoire du pont brownien

, de m~me que 'If (0 ,Ill) 0 On a utilisé P (0 ,UI) pour le pont brownien obtenu

par Doob par un changement de variables à partir de X (0 ,w) et 'tf (0 ,UI)

pour le pont brownien obtenu par Durbin et Billingsléy

a

partir de

W( 0 ,Ill) 0 Mais P (. ,UI) et Wo (. ,Ill) d~signent la meme chose. Des d~tails

supplEmentaires sur le mouvement et le pont browniens sont donnb aux

Chapi tres 1 et V.

(2) 5 désigne l.U\e trajectoire 6chantillon du mouvement brownien

construit sur (0,1]. Cette notation est utilisEe par Durbin.

(3) W

t designe la position (a16atoire) d'une particule en

mouve-ment brownien au temps to On peut encore Ecrire ceci Wt(lIl)

ou W (t,UI).

DEFINITION 0.20. C = ClO,l] dEnote l'espace des fonctions continues

sur [0,1). Deux points x et y dans C [0 ,lJ sont deux fonctions continues

sur [0,1]. La distance entre x et y est définie comme suit:

p(x,y)

=

sup Ix(t) - y(t)1

O<t~

....

, Cette distance donne à C [0,1] ce qu'on appelle la TOPOLOGIE UNIFORME,

[7, p. 54] 0

DEFINITION 0.21. Soit X une fonction d'~pace de probabilid

(O,B, P) dans un espace métrique S. Si X est mesurable alors on l'appel,le

élément aléatoire de S.

D

DEFINITION 0.22. La distribution de X est la mesure de probabilit'E

"

, • ~ ... , .... -,-- - ... ""'~_\oo ... _ .. _ ... _ _ _ _ _ _ _ _ _

?-_

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()

. / '

,

l ) -xi--1 P • P X sur (S,S). P (A)

=

P(x·l A)

=

p{w X(w) E Al

=

p{X e:

AL

Oonc on d~notera par W Wl U~ment aléatoire avec valeurs dans C [0,1]

et avec la mesure de Wiener comme distribution. On peut alors 6crire, si P

=

W où W dénote la mesure de Wiener:

W(A)

=

P(W-1 A) z p{w : W(w) E Al ; p{W E Al.

A e: C.

De la ~me maniilre, on peut ~crire, si P

=

rJ

où Wo dénote la mesure du pont brownien

tf (A)

=

peA)

=

P(~ -1 Al

=

P{III : 'ft (III) e: Al

A E: C.

REMARQUE 0.23. La mesure de Wiener W décrit la distribution de la

trajectoire d'une particule en mouvement brownien.

L'existence dans C[O,l] de la mesure de Wiener est pTouvee dans

(7, p. 62J.

REMARQUE O. 24 •

(1) Les accroissements du mouvement brownien sont stationnaires

c'est-~-dire que la distrïbution de X_t - Xs (par rapport à la mesure de Wiener)

d~pend

seulement de la différence t - s.

èC~s

accroissements

sont egalement indépendants.)

(2) La droite y

=

d est souvent désignée par L

=

d.

1.

-'.

1 ! ( '1

~,

c

(

-xii-.<3)

fi"

dbigne la fermeture de'F .

+

(4) 0

=

Max pet)

O<t<l 0-'" -Min pet)

()I;;;tca

0 II: ~fax ' Ip(t) 1 [16 .. p. 3951

O<t<;1

REMARQUE 0.25. Le processus {X(t)} (lI1()uvement brownien) l, 0<1:<;1.

utilis~ par Doob est ainsi d~fini par Doob dans son article (16).

o

(1) Pour chaque j, si O<t

1

< ... <

tj

< 1,

la distribution j.dimen.

sionne1le des variables X(t

1), X(t2), •••• X(tj) est gaussienne;

(2) E{X(t)}

=

0, ()ci;t<l

(3) E{ [X(t) -. X(s)) 2}

=

(t-s) (1 - (t-s))

et évidemment:

'E{ [X(t)] 2}

=

i{X(t)}

=

tel - t)

(4) Prob{X(O)

=

O}

=

1;

(S) On peut choisir le processus X(t) tel qu'il soit continu avec

probabi li téL

DEFIN'ITION 0.26. Etant données les fonctions échantUlons X(t)

dé"-finies l la remarque 0.25, on définit Y

f

{i ~

\S

fonctions échantillons continues.

comme étant l' èspace de telles _,

REMARQUE 0.27. Supposition de Doob:

,

lOéfin11:.ion dOnnée par Doob dans son .article liA Heuristic Approach to the Kolmogorov-Smimov'Theorems." (16)'.

,

.. i

!

, 1 1 / / ) -xiii-\) (t) lim ProblI.u.b-. [1; (_n _ _ - tH <; a} n-+clo OCt4ï;} n , c Prob{ max XCt) 4ï; a} I)Ii;tq

DEFINITION 0.28. Etant donnés des points t

l, •..• tk dans [0.1J soit

'1\' la fonction qui envoie XEC au point (xCtl), ... ,x(t.. ) de IRk.

t _{l , .. ·} t_{k .} k

Cette fonction est la PROJECTION de C dans lRk.

DEFINITION 0.29. Les ensembles cylindriques sont les ensembles de la forme

.1

-1

'Ir H

t l J ' , ' • • , t_k

REMARQUE 0.30. On peut définir

'if

~ partir de W ~voir Chapitre IV).

DEFINITION 0.31.

(1 ) p (x, F) "" 'inf sup ye;F O<t<;l

Ix(t) - y(t)1 x,y e; C[0,!1.

(2) p (W, w") <; ô vel1t ,dire: sup 1 W(t) - 'if Ct) 1 <; ô O<;t"'-l

REMARQUE 0.32. Prob_O dénote "la probabilité, partant de {l.' que

"

DEFINITION O.~3. Soit D= O[O,lJ l'espace de~ fonctions ayaflt de's discontinuités de la première espèce.

f) dénote la classe des sous-ensembles de Bo:x;.el de 0[0,1] .

~oici également quelques points saillants sur la convergen~ faible

". dont nous reparlerons au Chapitre II. Les' définitions et remarques 0.34"

.'

(

-.

, "

(

-xiv-i

0.40 ont éd tirées pour la

plupa~ d~

Billingsley (7) •

.

.

DEFINITION 0.34. Pn ~ P veut dire: P converge faiblement vers P.

n ,

Etant donné (S .S) •. un ensemble A :dans S est appe 16 ensemble

dè

p ..

'con-, '~"'~~~:

tinuit6 si sa [rontUre 3A satisfait P(3A) .. O.

/.-~tr , \

:rmOREP-m 0.35.

17.

p. 111:

'.

' Soient P e,t P des mesures de probabi

li-n "

té sur (S.S). Les éinq conditions suivantes sont fquivalentes:

(i) p:t>p n

(ii) Hm

J

f d P n -

J

f d ~,pour toutes ,les fonctions nelles f

n "1 " • ". (iii) (iv) (v) ! , • lI\,.~' ~

bornées, uni formement continues.

Hm sup P (F)

*'

P(F) pour toUs l~s ensembles fennEs F.

n n • ~

lim inf P (G) ;)0 P(G) pour tous les ensenbles ouvèrts G.

n n " ' , . '

lim P (A) == F(A) pour tous les ensemlles A de P-cOntinu.,j,té.

n n 0 ~'.~ , ,

DEFINITION 0.36. Etant donnée une suite {X } d'éléments albtoires

n

Qn di t q~e' cette suite converge en distribution l l'éUment a16~toire X

. 1 ;

si

"les di:stributions P des X convergent faiblement 1 la distribution P

n n

de X. -;:. ,,<><

0

Et on denote ceci par X .. X.

n _.... ". V P 1) nœOREME 0.37. Si X .. X et sip(X,Y) n n n .. 0 alors Y n + X. ",

RE~JARQUE 0.38. [7]. Dans ce thêor~me, on a suppose que pour chaque

n, X~t y ont un domaine commun et que S est séparable, ail 5 est

l'es-n n ~"""

pace - image.

"\ REMARQUE O.39.~ ,J,es espaces de pr~babilit~ de X.Xl,X2, ••• peuvent

~,._~-

- ---f-s,

-

---~---~)

1·

~

)

-

'AV-etre tous distincts mais l'espace-image 5 et la topologie de S doivent

etre les m8mes po~r tous les X'x

l'x2 •....

DEFINITION O~40. Soit a un élément de S, on dit que ~ converge en

probabili té i a et on écri t

p

X + a

n si

pour chaque € positif.

P{p(X ,a)

> El

+ 0

n , , 1

o

DEFINITION 0.41. Soit F l'espace d'états d'un processus stochastique

{Y(t)~ET' T <= lR •

. Alors

a

[0,"') (F) _{est l,a tribu engendrée par les ensembles de la} ~

forme

, pour Al ,A

2, ••.• \ 6léments de la tribu borélienne de F.

Dans le cas où F

:.IR,

B [0,"') (F)

=

F (Chapi tre 1 J S2).

DEFINITION 0.42. Soit (0', F', P') un espace de probabilité, y lD'le

variable aléatoire réelle mesurable par rapport

a

F', avec

EIYI

< ...

Soit G une tribu, Ge F'.

L'espé~ance conditionnelle E(YIG)

=

f(w} est une variable aléatoire

r1-mesurable telle que si A E G

f

f(w) dP(w)

=

f

Y(w) dP(w).

A

A

PROPRIETE 0.43. [3, p. 261]. Si Z est G-mesurable et si Y et YZ

(

l

(

, , , • ~ • ~ , . . ~.f'i ... > 0 "" ,.

-xvi-sont intégrables r alors

E(YZ IG) z: Z E(VIG) p.p.

nœOREME 0.44. [3, p •. 257]. E [EeVIG)) "'" E(Y).

DEFINITION 0.15. (9, p. 30]. Si Test lDl telllps d'arr8~ {Chapitre

l,

§3] par rapport à

{B

_t },

Br

par d6finiti~n est constitu6 detous les

en-sembles A dans ~ tels que A n {r

<

t } e Bt pour tout t

<

GD.

Br

est \Dle a1algèbre.

" ,

<

- -~.

..

".'

---~.~,.---.

'.

'-1-()

CHAPITRE 1

Sl.

POSITION

DU

PROB~EME Soient et \1 P,) Dn

=

-G.L.B. [_D_ - F(À)], -ao<). <sx> n /

les statistiques de Kolmogorov.

Le théor~me de Glivenko-Cantelli (26, p. 75) affirme que la

distri-

,-bution empirique s'approche avec prcbabilitê-l de la distri,-bution réelle

de la variable aléatoire observee, quand n tend vers l'infini'. La

pro-babilité d'occprrence des déviations entre ces distributions n'est

cepen-dant pas déterminée par ce théorème. Elle fait l'objet du célabre

thêo-rème

de Kolmogorov, c'est-l-dire:

\ Théor~me de Kolmogorov: (i) r " ='2 : (_I)lJt;.} e-1m2" 2 Hm Prob{ rn D ;;;.;U " n n-loCD 1 , 2

Hm Prob{fii D +;;;. À}=lim Prob{1rî D -

>

À}

=

e-2À

n n

n-loCD

n-(H)

Si FO) est continu, les distributions de D • 0

+

(et D -) sont

in-n n n

dépendantes de F("). (On peut consul ter Brelman [10] pour Wle preuve

dé-"

,

_.

, \ '

(

,

(

-2- t . '. ','

calculs, la di~tribution U(O,l). c.~st-a-dire F(l) = A ~our 00<1.

t

, Nous considhons

donc

v

P}

Dn

,.. L.U.B.I

-1l-_

À 1 ~<l n + v (A)

Dn

,..

L.U.B. [...!L- _ ,1.] OQ<1 ni .., et v (A) Dn .. -G.L.B. [..l!.- - À] o<A<l n

Prouver le' théoreme de Kolmogorov revient l d'terminer les distri-buÙons limites, quand n + œ, de D , D

+

et D " ainsi dHinis. Dans ce

n n n

chapitre. nous exposerons l'approche de Doob l ce problème. Soit,

d'a-v (t) .

bord, y n (t)

=

Iri

(-%- -

t ), O<t<l, le proces sus .ompi rique, poss~dant les proprietes suivantes:

et t..-(l)

Eh

(t)}

=

O· n (2) -E{ [y (t) n 2 - y (s)]

1'"

(t-5) n / .. REMARQUE. v Ct) \ -1L-:: F (t)

n

n

où F n (t) [1 - (t-5»), ~t<1, .\

dénote la distribution ellPirique. Nous emploierons indifferellllllent .1 ',un , '

ou l'autre au cours do. ce travai 1.

Suivant l'approche de Doob, le problème se divise ~n deux parties:

"

Premièrement, on suppose'qu'il suffit de calculer la distribution de

/

Q , " .

.

. \

, f' ~', ' " tt >' ~.

~---r~'---o

-3-.

SUp P(x) (et de sup 1 P(x) 1 pour ob'tenir la li"mite quand n + GO de la

~x.<:t.., ~1

probabilit~ de sup

y

(x) (et de 'sup

Ir

(x) 1), où P(x) d~ote le pont

0<x<1 n . ()(X<l n .. "

brownien.' .

t'"

Cette partie du problème 'n'a pas été justifiée par Doob. Elle est

laiss6e 1 l'état de conject\1re dans son. article liA Heuristic Approach to

the Kolmogorov-Smirnov Theorems" (16). Les idées de ,là convergence

fai-ble vont permettre me justification rigoureuse de cette hypothèse. Nous _,

y reviendrons au Chapitre II.

Deuxièmement. on calcule oIes distributions appropriées du pont

brow-Dien. c'est-à-dire:

2

(1) Prob{w: sup pet) ;;:. a}

=

e -2a (1)

tE [0,1)_ _{, ,}

et

co 2 2

(2) Prob{w:

sup

1 P(t,w)

j

~ a}=Z 1: ,'( _l}m+l e -2m a (2)

tdO,11 " .' IlE'l

.

",

Doob a démontré (1). et ·(2)· Far une série de réflexions sur le

mouve-ment brownien. Il passe du mouvemouve-ment brownien au pont brownien par _, un

simple changement de variables... PluS tard, en 1974, Durbin d~tre lui

J'

"aussi (1) et (2) par des réflexions sur le ~ouvement brownien. Les cal~

~~I culs de Durbin sur le mouvement brownien s,ont beau~oup plus simples.

lI)

Ceci est en partîe dû au type de construction particulier de mouve_t

brownien ut.ilisé par Durbin (sur T == (0,11) par opposition \au type de

. construction utilis6 par Doob (sur T

=

[O#co)). Par ailleurs ~passage

du pont brownien au mouvement brownien, dans le cas· de Durbin, est plus

d~licat et nécessite la théorie. de la convergence faible. Nous

expose-rons la preuve de Doob dans ce chapitre. et celle de~.Dufbin a':1 chapi ~re IV.

,

l '

.' " ,

(

•

(

-4-D

. Il nous faudra d' abord expli~uer ce que nous entendons par proces-sus stochastique, mouvement brownien, pont brownien et temps d'arrlt.

, " . Q

Nous nous basons pour la défini t:i:on du mouvement brownien. sur Free~an

[24]. It6 et McKean [341. et Breirnan [10].

, J

§2, PROCESSUS STOCHASTIQUES, ET MOUVEMENT B~OWNIEN

On

appelle processus' stochastique ou processus

a

p~r~être c~ntinu une collection de variables aléatoires {Yt(oo)} sur

(?,

B,

P) où t varie sur un intervalle T c IR. On le dénote, soit par {Yt(w)}" soit p~r {Y

t}. Le plus célèbre des processus stochastiques est le

mo~vement~brown-

_.

. .

ien. Dans ce cas, en appele X (. ,00) pp ur 00 fixe, une trajeçtoire'du mouvement brownien. 0 C'est une fonction X(~) sur T. Si on fixe t on

ob-tient la position aléatoire de la particule en mouvement brownien ~u temps t.

On note X, et on appelle mouvement brownien d€fini sur T

=

[~œ) un processus stochastique {Xt(oo)} sur (0, B, P) possédant les propriétés

(l) - (3).

et

X(t,oo) est une fonction à val,eurs réelles telle que

X(t,.) est B-mes~able pour chaque t

(1) X(O ,00)

=

0 pour chaque w;

X(. ,w) est continlJ~ pour chaque w;

---

,

P?-~t:-D<t?tz

< ... <

tn_l

<

_{tn 'les acèroissements X(t l ),} X(tZ)

-X(tl), ...• X(t )

~X(t

1) sont indépénâants et normalement

n

n-'i

()

)

~"

)

---",_-..

---

---~

-5-distribues avec moyenne

t _n-1).

..

_o '

Ceci est la définition dû mouv.eme~t brownien" partant de O.'

L'existence cl' 1.Dl tel processus a été, dp.montlrée pour la première foit

par Wiener.

En effet. si on dénot~ par,I l'esp~ce des fonctions continues de

•

[O,~) dans IR et nulles au temps t

=

0 et par

r

la tribu borélienne

en-gendrée par les cylindres alors il e~iste sur (T,F) une mesure de

proba-bilité, W telle que les conditions (1) et, (3) soient satisfaites [36]. Cette mesure est la mesure de Wiener.

On peut également définir le mouvement brownien partant de a, ae: lR.

Alors on a X(O,w)

=

a pour chaque w et la condition (3) est remplacée

par

(3') pour O<t

l<t2 < ... < tn_l<tn les accroissements _{, • :J}

.XCt_I) J XCt

2) - XCtl) , ...• XCtn) - XCtn_1)

sont indépendants et normalement distribués avec variances t

l,t2-tl,. " ,

t -t 1 et moyennes _{n n..!.}

k= 1.2 •... ,n-1.

En réalité. le mouvement brownien partant de a, !,e:lR est tme

collec--,(

.'

tion de processus stochastiques, tm pour chaque a _, e: IR. _\ Ces processus

sont reliés entre eu~ par la propriété de ~~rkov simple. L'énoncé de

cette propriété a été tiré de It6 et McKean [34].

. ,

',,1''''''' ..

" :r'

" " . ' ~J,J

c'

(

- - -

-~ ~-l'" t ''''1I._'''''v'''''--''~~_'' '\'~,."'~:t""", .... ~"...-.~·W'tr~_o::-_ _ )O'~~~_---.." ... _ _ _ _ _ _ _

d . . . . S"_.fl ...

o

-6-== _{ProbX(t ) [X(t-tn)} E: db] n

On peut donner de cette propriété une d6finition 6quivalente, tou-jours basée sur It6 et McKean [34J.

où

c,= X Ct

l), t_, 2 ;> t p atb E IR.

Où Bt • est la plus petite sous-algêbre de B qui rende tous les X(s)

me-~ 1

surables s <; t'l'

On peut maintenant d€finir le pont brownien P tel qu'il a été uti-lisé par Doob. C'est un proce~sus stochastique {Pt(w)}, t E: [D,m) sur

(n,

B',

p') possédant les propriétés suivantes:

P(t,w) est une fonction ~ valeurs réelles telle que PCt,.) est B'-mesurable pour chaque t et

(1) P(D,w) == 0 pour chaque

w;

(2) P(.,w) est continue pour chaque w; (3) E{P t}

=

0 et (4) E{P s Pt} == s (l-t)'. si s <; t (S) 'PCI,w)

=

1 avec Probabilité 1. ~

Une notion très importante pour la compréhension de la preuve de Doob est celle de"temps d'arr€t. Nous incluons une section sur les temps

. J

d'arrêt daRs ce chapitre. \

, r ,

\

()

:

)

. ,. l " . ~ p " f '1' Oo!' .. ""*~.~, .. '~~" ;~, ., < " - - - - ; <

-7-13. TEMPS n'ARRET

Soit

_Bt

tme famille de tribus telle que:

~ (1) 8 c _Bt si s<t 5 (2) B ₌₌ n _Bt 5 t>s

Chaque tribu Bt est la plus petite tribu qui rende mesurables tous les X(s). s<t.

La condition (1) e~rime le fait que la famille de tribus Bt est

/ '

une famille de tribus croissantes.

Une fon.ction cr: n ~ T u {-kt>} est appelée temps d'arrêt par rapport r~

à la famille CB

t } si {(Jt;' 0 (w) < t} E St pour -ç,haque t ET. Dans le cas

de Doob, T est~l'interval1e [O,a». (Dans le cas de Durbin cet

inter-valle sera [O. 1] .)

Dans l'article de Doob, comme dans celui de Durbin, les calculs sur le mouvement brownien se justifient à l'aide de la propriété de Markov

forte. Cette propriété est l'analogue de la propriété de Markov simple,

qui stipule que le comportement futur d'une trajectoire du mouvement

brownien est indépendant du passé. étant donné le présent au temps t =

s. Si. au lieu de considérer un temps fixe s on considère un temps alea-_,..

toire, c'est-à-dire un temps qui puisse varier d'une trajectoire à

l'au-tre. comme par exemple, le premier temps où la trajectoire atteigne

cert!iine frontière, alors on doit exiger certaines propriétés spécifiques

de la part du temps aléatoire et de la part du processus lui-même. Le

t~ aléatoire doit être un temps d'arrêt et le proce~sus. un processus

_J._~. __ .

c.

-8-de Markov au sens fort. En effet. selon 8reiman [10. p. 323) J 1Dl

"proces-sus de Markov {XCt)} avec probabilit~s de transition stationnaires est appelé ~tarkov fort si pour chaque temps d'arr!t t* et chaque point xEF et chaque ensemble AES[O'=)(F).

P (X( 'i"t*) E AI XCs). s<t*)

x

::: _PX(t*)

(XC·) E A) p.s. P • _x

on F désigne l'espace d'~tats du processus.

"

Dans ce cas on donne le nom de temps de Markov aux temps d'arrêt.

Le processus qu mouvement brownien poss~de la propriété de Markov forte. CI

Pour une preuve détaillee de ceci, nous reférons le lecteur à ItO et

Mc-Kean [34J. C'est Hunt qui a découvert. en 1956. de façon rigoureuse,

-cet aspect du mouvement brownien. Dans son article liA Heuristic Approach to the Kolmogorov-Smirnov Theorems" Doob utilise en fait les temps d'ar-rêt et la propriété de Markov forte mais de façon intuitive.

Nous nous proposons ici de justifier son approche à l'aide des no-tions qui suivent sur les temps d'arr!t. Les temps aléatoires utilisés

, ty

par Doob sont

fes

temps de première entrée dans un ensemble. Nous démon-trons i~i que de tels temps aléatoires, en particulier pour des ensembles ouverts et pour des ensembles fermes sont des temps d'arr!t.

PROPOSITION 1. Les temps de première entree dans un ouvert sont des . temps d' arr@t.

PREUVE. Soit CJ

G

un

temps de première entrlSe dans un ouvert.

.-

( )

,

-9-Il faut donc montre~ que {w: crG(w)

<

t} ~ St pour chaque t E T où

T dénotera ~oi t [0, .. ), soi t [0,1],

En eff.;t, si crO(tIl) < t alors 35 E IR s

<

t tel que X(S,UI) E' G.

, ' ,

Cotmne G est un ouvert alors 3s<q<t, qEQ, tel que X(q,w) E G, .A cause de

la continuité de XC.,UI). On peut exprimer ces idé~ en termes d'une

réu-nion dénombrable d'ensembles de St' c',est-â-dire:

"

{UI: O(UI)

<

t}

=

U {UI: X(q,tIl) E G}

q

rationnel

q<t

Pour chaque q<t, qEQ on a {UI: X(q,UI) E G} E St' La 'réunion

dénom-.'

brable d'ensembles .~e St est dans 'St: Donc, cr_G, le temps de premi~re

en-trée dans un ouvert est un temps d' arrEt. "

que,

PROPOSITION II, Si 0 est un temps d'arr!t alors

Vs on a {UI: o(w) ~ s} E

Bl'

PREUVE. {w: cr(UI)

<

s}

=

n

n>N

{UI: O(UI)

<

s +

i}

n Où NElN, N

quelcon-1

Donc {UI: 0 (LI»

<

S

+

il}

E B S+l/n c Ss+l/N si n'> N,

On a alors {LI>: cr (UI)

<

s} E S s+l/N pour chaque N E lN. Donc, {w: a(w)

<; s} E ,>~ B s+ lIN ~ B s'

PROPOSITION III. Si cr est un temps d'arr~t alors {LI>: a(w)

=

t}

E

PREUVE. En effet si cr est un temps d'arr!t alors

et

". l

;~,\ ~ ,l~

~'~ .. _.1,,"":'~,~11~ ... 7~.:;:.f; .~,

"

c

(

-.10-Donc

REMARQUE.

on

peut refo:rmuler la d!finition de temps d'arr@t de la -façon sui van te:

Une fo~ction a:

n

~ Test appelEe temp~ d'arr6t par rapport

a

la, famille -<St} si {w: a(w) ~t} E St pour chaque t E: T. ,

Sàit

{~

} une suite croissante de temps d'arrlt. , n ,

Alors _~ cr

=

lim cr _n est un temps d'arrft. _•

PREUVE. Fixons t quelconque dans T. Alors ,

{w: O'n(w) " t} E Bt ppur chaque n E IN.

Donc

n {w. a (Ill) " t} E ,,8

n ' t

n Mais

PRQPOSITION V. Les temEs de première entr6e dans un ferm6 sont des temps d'arrêt.

PREUvE. Soit F un ens~mble fermé. et soit G ::; {x: d(x,Fi

<

lin}

" ~ n

où d est une distance quelconque. G

n est un ouvert· Bn fait. {G } n constitue une suite d6croissante

d'ouverts: G

n ~ Gn

+

l quel q~ soit n E IN. On ,à n G

n

=

F. Si on ~cr.it an

=

cG

=

inf{t>O

n n

an

<

O'n+1 une suite croissante de temps'd'arr~t.

:- XCt,w) E G

n} on a

Posons oF = inf{t>O:

..

" ;J . ~, '. ,"

)

-11-X(t ,W) F; F}, (J~ z: Hm an' Par la proposi hon IV on obtient la conclusion n ...

d~sir-ée.

PROPOSITION VI.. Soit T un temps d'arr~t. Alors

'''' S(oo) "" infh

>

T(oo): X(~,w) e G}, CG ouvert)

est un tèmps d'arr!t. où Donc Soit PREUVE. On a: (1) (2) (2) JI

T

n (w)~ T (00) pour chaque 00;

T est ml temps

d'arr@t;--n {W~ T (w)

<

t} . . n :0:: {w: T(w)

<,

f5}

=

inf{t'> T (w): X(t,w) € G}. n . G un ouvert.

On va d~montrer que S est un temps d larr@t. C"est-~-iiire:

n {w: Sn(w)

<

t} e B t . 1 , J , 1 ,

.

" \. ... - --"'-Il __

, "."~ ~. ··,"~-'!'M,<1<lf1;lo . . _{<wtII_ ••} _b_Ilta~.lr.J ••

1_9.1_.d.1.' ... _,, ________________

.;-:.1>111 _ _ _

c

" ,

-12-On ~cri t

,

Sn (If) = inf{t'

>

Q: X(T (00) + t' J fil) E: G} . l) On a alors 5 (w)

=

T

(00)

+

5'(00) n n n {oo: S (00)

<

t}

=

{oo: T (00)

+

5'(00)

<

t} n n n

=

u ({w: Tn(w)

<

t - r} n

'CI.):

S~{IÎl)

<

r}]

rEQ

O<r<t Considérons {oo: T (00)

<

t - r} n {w: S'(w)

<

r} n n ,:. ,> "

=

u ({w: XCT n (00) + q,w) E G} n {w: Tn (w'}

< t -

rH, q<r

qEQ

On va montrer que '-.. {oo: X(Tn(w) + q.w) E G} n {w: Tn(w)

<

t - r}, E, Bt = u {w: X(Tn(w) + q,w) E G} n {w: Tn(w)

<

t - r} n{lIl: T (oo)=...!.J k n 2n = u k {oo: X(l. +

q~oo)

E G} n {w:

.!.'<

t - r} n{w: T (11.1)

=..!..}

~ ~ n ~

=

~

-<t-r 2n Le deuxième ensemble: est dans Bt' Le troisième ensemble:

{w:

l.<

t-r} est 'soit f, soit g et chacun

2n

{ _00: T ( ) _{n w}

₌

_2n k} _E B _k/2n ':,. _c B _{t 51} • _2n k

<

_t-r.

1

-~ - --_r _ _ _ ~-=:.,...~c..:::.:::::===-===.

___ _

_ _

, "

.

>

~h }~\ ~ , ,~, •• 1 ",~ { 't:; . ... t .. ' ' .)j1 H

..

( \

(

)

-13-Le premier ensemble: et

~

<

t - r. {w:

X(~

+ q,w) € G} € B k c B si q

<

r 2n _+q t 2n 2 n

Donc _{toute l',expression est dans St'}

.

On a alors (w: S _n (w)

<

tf

è Bt et S

n est un temps d'arr!t. On a S(w)

=

inf{t

>

T(w): X(t,w) e: G},

Sn (III) \t S(w).

Et l,~ _, limite d'une suite,d~cr9issante de temps d'arrêt est lm temps

\

\\

d'arrêt par la proposition VII qui suit. Donc S est un temps d'arr!t.

REMARQUE. Dans la preuve de Durbin cet ouv~rt.G sera, soit l'inter-valle (a,œ) soit l'interl'inter-valle (-œ,-a) suivant le cas. Dans le cas de Doob on doit consid~rer les propositions VIII et IX.

PROPOSITION VII.

,

Soit {a n

J

une suite décroissante de temps d'arrêt. Alors a

=

lim a est un temps d'arret.

n

et

PREUVE. Fixons t quelconque dans T.

{w: a(w) < t} == u

n

{w: a (w)

<

t} n

pour chaque ne:N.

PROPOSITION VIII. Soit T(w)

=

inf{t

>

0: X(t,w)

>

at

+

b}. Alors T"~ est lm temps d'arrêt.

PREUVE. {w: T(w)

<

s} = u ~{III: X(q,w)

>

aq

+ b}

q<s

qe:Q

l

(

-14-Fixons q

<

s. q E

Q.

On

a alors l'ensemble suivant:

{II): X(q.OI» a q

+

b}

=

{II): X(q,lI)) E: (aq

+

b,GD)

(aq

+

b,œ) est un ouvert

G.

On a' donc {w: X(q,w) E

G}

€ 8

s puisque q

<

s. Et T est un temps d'arr!t.

PROPOSITION IX.

Soit

T(II))

=

inf{t

>

0: X(t.lI))

>

at

+

b}

et

5(11))

=

inf{t

>

T(II)): Xet,lI))

< -

ct - d}

Alors 5(00) est un temps d'arr!t.

PREUVE.

Considérons Tn(w) d~fini _{plus haut. {Tn} est une suite}

décroissante de temps d'arr€t. Soit S _n (01)

=

inf{t

> T

_n (00): Xet.oo)

< -

ct - d} Soit S'(w)

=

in~{t'>

0: XtT:ttl n

t

n On a alors + t' , III)

< -

c(Tn (00) + t') - d} 5 (00)

=

T (11)) + 5'(00) 1 n, n n

,

On

va montrer que 5 est

un

temps d'arrêt, c'est-A-dire: n

{II): Sn (00)

<

t} E 8 t tER.

o

=

u

rEQ

1><r<t

-15-[{1Il: T (w) < t - r} n {1Il: S' (1Il)

<

rH

n n

Consid6rons \Il ~lêment de l'\Dlion d~nombrable:

.

" {w: T (1Il)

<

t - r} n {w: S'(w)

<

r}

n

n

=

u q<:r

qEQ

[{lIl: XCT (w)

+

q,w)

< -

cCT (w) + q) - d} n n fi {w: T (1Il)

< t -

r}) n On va montrer que: {w: X(T (w)

+

q. 1Il)

< -

c(T (00) + q) -

dl

n n n{lIl:

T

(1Il)

<

t - r} n

Mais ceci est 6ga1 1:

U {1Il: XC! (1Il)

+

q.oo)

< -

cCT (w)

+

q) - d} 'n {1Il: T (1Il)

<

t-r}

k n n n k . n {w: T (1Il)

= -}

n 2n

or

= U {1Il:

XC..!...

+

q.w)

< -

c(l-

+

q) -

dl

n {w:

l

<

t - r} k 2n 2n 2n n {w: T (1Il) =

.l.}.,

n

2n

k k = u {w: X(- + q,w)

< -

cCli + q) ï d}

1..

<t-rl 2n 2 2n k n {w:

Ji"

<

t -

Il

2 k fi {w: T (00) = - } n 2n

.

,

.

'. "

.---..-..,---

f

, ,

(

-,

;'

C

l r· (. " " ~

~

j \

.

~~j -16-•

- Chaqm ~es ensembles est dans Bt par le r~sOlD1ement utHis' dans la

preuve de là proposition VI.

"

Donc Sn est un temps d'arrêt. Sn~S' St la proposition est-

dSmon-tree.

Les seuls tellEs' cl t-arr8t qui seront consid~rEs daps Doob et Durb~n

sont de la forme: infimum des temps où X (. ,1.11) ".dEpJse a et ceci

Eg~l

i

r'infimum des temps ail X (. ,1.11) atteint a pour b. pre.Ure fois i cause

de la contin\.ti.d de X (.,1.11). Ou encore, ces temps d'arrSt seront de ~a

fo;rme: infimum des temps où X (. ,1.11) 4~passe la droite y,= at

+

b, dSnode

[a,b] et

ceci

est ég~l à l'infimum des temps'où ~ (.tl.ll~ atteint y= at

+

b pour la premi~re fois.

\ ,

.

Dans sa preuve des théorèmes de KOlmogorov t Doob utilise les trois

propriétés suivantes du mouvement ht.Q.wnien:

(1) Soit $ fixe, alors

Prob{ Max [X(s+t) - X(s)} ~ À~

, O<t<f

ç.

=

2 Prob{- (X(s+T) .. , X(s)]

>

M

- ", La preuVe '<l,e '(1), a 'd'abord ~té donn~e 'par Bachêli~r et LEvy.

.... ... f ~ , , ., ,

. ;: El·le est expliquée dçms Karlin ~ [38, p. 276] .

(2) Si aWIO, b:>O, a>O. B>O .',

,

.

,on a ProbH,. U. B-~ [X{t) - (at-flb)] ~ O}

o<t<.ao

,-\ '

=

_e -2ab/;' \

"

(3) Prob{L.U.R. [X(t) - (at+b)) >0 '()<;t<ioo _if 1 \ f' j , ,

.

, " " " , ' , ,,'

o

(j

,

.

c)

-: ---~-7-·

----

'.-. / ~ -11-f

ou

G.L.B. [X(t)

+

(1t

+-

BI

<

O} 0<t40 " { CIl '. 2 2 '

.. 1: "{e -2 [m ab+(m-1) (XB, + m(m-l) (aIH-4b)]

FI

·

2 ' 2

, ''+ e -~ [(m .. l) ab + m

aa

+ m(m-1)(aS+ab))

':" 2 "" ,

i -

e-

2

[m

(ab+aB) + m(m-1)aB + m(m+1}ab]

,.'

. ,,_ e

~2

[m2 (ù+aB)

+

m(m+l) aB

+

m(m-l)ab ]}

Pour 1~ c~leul de la distribution de Dn: dans le,~as, asymptetique on n'a besoin que d'un cas particulier de IV'" c'est-~ .. dire:

1 - •

Prob{L.tl.B. X(t) > at + b'QU G.L.B. X(t)

< -

at -

bl

O<t<Po . O<t<.»

:1 hob{L.U.B. IX(t) 1 >at

+

b}

O<t<Po . , P _ro b{L_{. .} 'U _{,. at} B'

J!W.l

₊

>

It}, b O<t<Po , r ,

L'appendice

à

l'article de Doob contient plusieurs pages de calcul

, .

pouré~a'de~onstratio~ de (2) and (3)~

, ,

expliquOns le contenu.

f _.

Dans

la séetion qui sùit,

nous'

en

.

,

§'4.

CALCULS DE DOOS SUR Le MOUVEMENT BROWNIEN

, , . .

.

-..

~ '.

·

" , ,

·

--',Calcu,l de C2)

•

_l

(2) Si~a>O, b>O, a.;>(), 6>0;,

..

.

, 1

.

, , . ' , . · It

lf'

-;«1 ;:!, J 1.1."

~J

t

(

,," F ~ j: ", ' \ '~ ;' ;"\ 0, ~:r f # t~ 7-'

-.

~~

f

,

t

~ ~ _, TI >, /, on a -18-r? .Prob{w: L.U.B. [X(t,w) Q<;'t<Po (at+b)1 ;> O}

L'énoncé· (2) ,s'exprime également ainsi.

,

.

On cnerche la probabilité qu'une trajectoire échantillon X(.,w) va

atteindre la droite y

=

at + b.

Et on appelle cette probabilité ~(a.b),

On désigne par

lu,

v] la droite y

=

ut +

v

et on sUppose hidemment

.

(J == 1. Prouver (2) revient alors l démontrer:

Ha,b) =e -2ab

Pour ce fai~ on montre que ,(a,b) satisfait les trois conditions

$ui-vantes:

'(i) «1> (a,b

l +b2)

=

Ha,b'lJ Ha,b2)

(H) -4--(a,b)

>

0

(Hi) cHa;b) est monotore non-croissant en b pour a fixe.

(iv) La seule solution à ces conditions est~ [1)

,«I>(a,b) = e -'f(a)b

On calcule' ensuite ~(a) gour avoir la valeur exacte de ,(a,b).

,W

Pour ce faire on montre que:

CD

=

e-'f(a)b :=:

f

e -"(a) as f ($) cl$'

" 0 T

, t

o~. fT désigne' la densi té de Tb"

)

.

---~

---

--(

./

(vi)

(vii)

-19-On calcule ensuite la distribution du temps d'arrêt Tb où Tb dénote le premier temps après 0 où la trajectoire X(.,w). atteint la droite y ~ b.

On obtlent finalement ~(a) ~ 2a et ,(a,b)

₌

e -2ab . Voici maintenant les détails de ces calculs.

REMARQUE. A cause de la continuité de X(· ,w), l' infimum des temps où X(·,w)

=

b pour la première fois est égal l'infimum des temps où X(: ,w) dépasse y

=

b pour la première fois. DoJ\c Tb

=

inf{t

>

0 € G} où G dénote ici l'ouvert (b,~).

PREUVE DE (i). 1 On a: cr n 1 puisque T =' inf{t

>

0: X t

>

at '1- b } cr

=

inf{ t

>

0: \

>

at + b l } k cr = - sur { w: - I l l ( k-l aCw) < ; -k } \ n Zn Zn 2n cr. On _fi aussi

P.oh

<

oo}

=

lim Po{ • . < oo}

n ... n . '

{w: • (~)

<

œ} t {w: .(w)

<

oo}

n .

X(t.w)

1 La PREUVE Dr (i) et les Calculs de CV) (p.22) nous ont été expliqués

t

par le Docteur" LO'ckhart.

.

~

1. 1 • Î

(

-20-P {t

<

ID} == p {at> 0: X(t)

>

at + b} o 0 == Ha.b) Maintenant considérons • P {T

<

m} o n p h <""}=E(P(T

<""!

F ) ) o n o n cr n

par un théorème fondamental de l'espérance conditionnelle [Théorème 0.44] .

""

= E t P CT'

<

CZI et C1

=.!...!

F )

k=l 0 n n 2n an

<".

pui~qu'on a une réunion d'ensembles disjoints. _o

....

- E

r

P [Elt

>

0: X(o +t)

>

(ak.j-b ) + (at+b

2) et a

=~!

F ]

k=l o n 2n 1 n 2n an

....

= E

r

P [Elt

>

0: XCo +t)

>

Ca .!...b₁) + Cat+b

2) 1 F ] Ha

=~}

k=l o n zn an n 2n

par la propriété des espérances conditionnelles citée dans l'introduction [propriété 0.431 .

""

=

E

r

Px rat

>

0: XCt)

>

(a

2~+bl)

+

at

+

_{b2] 1} {cr

~~}

k=l cr n 2n n

.

en appliquant la propriété de Markov forte

a

an' Telle qu' expliqu6e pré-cédemment [Chapi tre 1, § 3] •

CIO

=

E t

I.%'X -3

k _ b [Elt

>

0: X(t)

>

at + h

2] 1 {a =

l}

k=~-

an

ï1f

1 c n 2

.. >'.~

1 ( ,

---..:;:;=-=-"---'==---

"._~._~ ~-

.-()

-21-à cause de l'homogénéité spatiale du mouvement brownien [40, p2 79]

CD

=

E 1: Px

-Cao

+b 1 ) [at> 0: X(t) > at + b 2] 1 (a ""

l)

k=l a n n 2n n par substitution, On à: {a

<

CD}

=

{a

<

m} n

et X_{o -(aan+bl)} + 0 presque sOrement. n

De plus, Px(A) est une fonction continue de x si

A

=

{w: at

>

0: X(t,w)

>

at + h 2}

On obtient donc par le théorème de convergence dominée:

P (t

<

m)

=

lim P (t

<

CD)

o 0 n

n

-PREUVE DE (ii). ~(a.b)

>

o.

,(a,b) est la probabilité qu'une trajectoire échantillon atteigne la droite y

=

at + b. Soient E

=

{w: L.U.B. X(t,w) ~ at + b} ~t<m 1 1

,

~ 1 • •

-22-et

A= {W: X(l,w);;;' a+ b}

"

Alors AcE et donc P(A) ,.;; P(E). peE) = ~ Ca,b). Mais

Prob{w

CD 2

X(l,w) ;;. a + b} =

J

....L

e

-~

dx

>

0

a+b 1[;

Donc

peE) ;;. P(A) > 0 et Ha.b) > o.

PREUVE DE (iii)'. ~ (a.b) est monotone non croissant en b pour a

. /

fixe. Fixons a et soit 0

<

b

l

<

b. Alors

'\

(

Les

conditions de (i) sont réalisées soient b

1,b2

>

o.

bl + b2 ~ b et

on

a Comme i

=

1,2. Alors Calcu).S de (V) Soient Tb = inf{t

>

0: X_t = bl

,.oô :- 23-, REMARQUE. Tb

<

CD p.s. Soient T

=

inf{t

>

0: X t

>

at

+

b} et inf{t

>

0: X(T b n+t ) n _{+ at + b}} T : :

>

_aT b n On a t

>

Tb et ('n+Tb) décro~t vers 1'. Mais P (T

<

00)

=

B (P (T

<

00 1 FT

ri

,0 n 0 0 n b CD n k F "" B 1: P (T

<

00; T :::

-1

n) o k==l 0 n b 2n Tb al z: E 1: P (3 t

>

0: X

C-f.1

b+t)

>

à

l

+ at + b; o k=l 0 211 CD

=

E [E P (dt

>

0: o k=l 0 n ak

IF

XCT_b +t)

>

Zn

+

at

+

~ Tbn) • 1(T n ..,

.!..)1

b Zn al ., Bo

[~l

Px,. n (Elt

>

0: X(t)

>

at

+

b +

;~)

b

Mais

Xr

n est approximativement 6gal à b. b Si on remplace ~ n par b on b obtient: CD 1: k=l

~(a,

a!)} 2

c

(,.

(

::'24-Comme ~Ca,s) est une fonction continue en 5 et comme Tb a comme

densité fT' ceci converge à Wle certaine' intégrale de Riemann-Stiel tjes:

GO

REMARQUE. Dans ce' qui suit, nous d6noterons par A(a,bf=!!.), ak

l'en-2n

semble:

al< (3t

>

0: X

>

a t + b

+ -)

t 2n

Maintenant nous estimons la différence entre les deux expressions

considéré~s par:

...

1 E 1: PL (3t

>

0: X

>

at + b + ak) 1 (T n=l) o ~l

---r

n t 2n b 2n b CIl - E 1: P (~«a,b + ak) 1 (T n

=

l)

1 o k=l b 2n b 2n

.c;

IEo 1: CPX-r n - Pb)(ACa,b

+

;~»

_l(Tbn =

2~)1(Ix,.bn-bl

>

E)I

b

+

lE

1: (PL - Pb)(A(a,b

+

ak»

leT n -=

l)

1(1

L n - bl <E)

1

o -""1' n 2n b 2n -lb '

b

Nous avons que:

=

sup

le-'(a)ak/2n(e-~(a)(b-x)

_ 1)1

Ix-bise:

<

leE'(a) _ lle-~(a)ak/2n , , \ , ,..

~.,~ l " , " '"

()

(

)

-25-et évidemment: 1 CP - Pb) (A(a,b + ak) 1 ..;; 2 Xrbn 2n

Appliquons le deuxième estim~ au premier terme et le premier estimé, au second terme pour obtenir une différence inférieure ou égale

a

Pour E fixé positif le premier terme.~end vers 0 et le second vers

Quand € ~ 0 ce second terme tend vers o. Nous pourrons donc écrIre

désormais:

-'l'(a)as f ( )d

e T 5 S.

o

(vi) Calcul de la distribution de Tb

On a, déjà dlS fin i Tb comme suit:

t

b '" inf{t

>

0: X(t,w)

=

b} =::. inf{t

>

0: X(t,w) e: (b,"")} Pour déterminer la valeur de 'l'(a) il nous faut connattre la distri-bution de Tb'

La preuve qui suit est basée sur Karlin (40).

Prob{w: Tb(w) ..;; t}

=

Probo{w: max X(u,w)

>

b}

r

r

--~"'_"""",,_--I

li Il' 1IIlII_'"

,

d dl

.

' 1 •

l

,. Mais Donc Prob {w: o -26-,

max ~(U,W) ~ b}

=

2 Ptab {w: X(t,w)

>

b} par (1)

O<~t 0 GD 2

=

-L .

J

e -x 12t dx

&t

b t::" CIl 2 } 1'2

f

_-x /2t Prob {w: Tb (w)

<

t::: - . . . dx.

lit

b

Faisons le changement de variables

x =

rit

Donc y = ~, dx = d(ylt)

l't . et

y varie de

.!..

il -ho.. On a alors

rt

Prob{T_b

<

tl

=I!t

J"'b

li

2 e -r /2 d(y/i) I ? ' " 2 = (::..

J

exp [- ~ dy

=

F(t). 'If b 2

If

Pour obt:nir probtw: TbtW)

=

t} il faut diffêrencier pet} par rap-port il t. Mais f(t) = fi (t) = proMw: T b(lIl) = t}. pet)

=11

QO 2

J

e-Y /2 dy b·

If

CD

=

2

J

,2

-r

12 e dy lf,T b

fi