Points-selle en horizon infini de jeux différentiels linéaires quadratiques régis par des équations aux dérivées partielles : méthodes directes et passivité

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Points-selle en horizon infini de jeux différentiels

linéaires quadratiques régis par des équations aux

dérivées partielles : méthodes directes et passivité

Jean Lévine

To cite this version:

Jean Lévine. Points-selle en horizon infini de jeux différentiels linéaires quadratiques régis par des

équations aux dérivées partielles : méthodes directes et passivité. Automatique / Robotique.

Univer-sité Paris Dauphine - Paris IX, 1976. Français. �pastel-00834009�

POINTS-SELLE

EN

HORIZON INFINI

DE JEUX DIFFERENTIELS LINE/\IRES

QUADRATIQUES REGIS PAR DES EQUATIONS

AUX DERIVEES PARTI ELLES

r1ETHODES DIRECTES ET PASSIVITE

A B S T R ACT

The aim of this work is to study saddle-point problems for Linear quadratic differential games with partial differential equations on an infinite time interval.

After recalling, in the first part, known results concerning the finite time 'inte rva l case, we prove, in the second part, that in the finite interval case, the open-loop saddle-point, (as well as the closed-loop one) can be deduced from the solution of an infinite dimensional Riccati equation under two kinds of assumptions.

The third part is devoted to the infinite time interval case. We first prove the existence of an open-loop saddle point and then study the algebraic Riccati equation.

This leads us to consider the limit, as the interval length T goes to infinity, of the value of the game. The simplest case is when the value of the game is non decreasing as T-++'Xl: very precise convergence theorems for the state and the optimal strategies can be obtained. Though weaker convergence resul ts may be shown in the case where the value has no special behaviour as T

-» ..'>C

, it is possible to prove the existence of a solution of the algebraic Riccati equation and therefore the existence of a closed-loop saddle-point. Under a certain assumption, it is possible to reduce the saddle-point problem to an optimal control problem having the property that the Riccati equation is the same for the game and for the minimization problem. Thus the stability assumptions on the system may be weakened.

We give a few examples as a conclusion.

In the fourth part,~Ietry a different approach to study the solutions of the algebraic Riccati equation using the concept of "Passivity". For this purpose; we give a general ization in abstract Hilbert spaces of the "positive real Lemma" and of the "frequency domain inequality". Then, we prove that the set of operators which appear in the positive real Lemma, has a minimal element, and with an additional assumption, a maximal element too, as in finite dimensional linear systems. The passivity theory is very useful to prove the existence of a solution to sorne algebraic Riccati equations and thus, for the study of saddle points. Moreover it gives a necessary and sufficient condition for the existence of a saddle-point, and so , it is possible to solve an inverse problem for differential games.

Je tiens àremercier Monsieur BENSOUSSAN pour

avoirdirigé mes recherches etpour ses encouragements etconseils fructueuxsans lesquelsce travail n'aurait pu être mené àbien.

Je remercie Honsieur BERNHARD qui m'a accueilli dans son équipedu Centre d'Automatiquede l'E.N.S.H.P. où j ' a i trouvéunenvironnement particulièrement stimulant et amical.

Je remercieMonsieur EKELAND qui abien voulu faire part ie du jury.

ou x jRUXd i f f é r e n t i e l s linéaires quadratiques] o o u x joueurs etd s o rnrne nu l l e , régis par des éc u ctfo n c aux dérivées p a r t i e l l e s .

Le prohlèmeabordé ici r onntstR à étu u i er les strat6gi es

optimal esen boucle ouverte ou fermée dansun interva l l ede temps infini.

Lesdeux p rfr cjp aIo s questionsque l'on

l'existenceou non de points-selieen b c u c l n

et 1il manièrede les cal cu Ln r par l ' intRrmFid lair'8 de l ' é[]uôtion

première partie, on déf init lesc o n cs.p ts

tégie, de p cint>sell e Rn b o u n l nouverte et c n bou clo fermRR

la deuxième parti e , on démontreun résu Itot pré

: le point-selJR Rn boucleouverte en horizon fLn L;

ca l cul e commeun point- sell e en boucle fermée, à l ' a i de l'équationdo 1,lccati a s s o ctée ,

Dans 1ù tr o i sip'~le part I u , on étud ieet en compare les

conditions d'existence de point-selle en boucloo u v e r t a et boucle fermée e n horizon i nflrLi, par des métno o e s de passage

dernièr8 pdI'tie, on fait l'étudedirecte dus points en h c u c l e ferméeèJ l'aide du o o n c e ot ce Passivité

[ A B L [

1. Rap p BIs sul'les.ieu xcii ffér en t Le I sl in éa i re s duréc~fi x 88,av 8 c cj8 S

équations ëluxdérivée5pert in l Ln s .

1.1. Stratégies.potnt.r au l Le .

1.2 [Joint-selle Bn bu.ic l e fermée. Point-selle enboucle ouverte. 1.3.Existence de point-selle houcl e OLJVDrteen horizon fini(sans

cnnt.r-eint e ) .

1.4. ExistencfJ de point-selle enboucle fermée enhor Jvon fini dans

'2. L'équatiun deRiccati et le point-selloenboucle ouverte en bor iz un fini. 2.1. Présentation du réeu lt.vt .

2.2.L'op6rateurP(tJet la[Dnction d t ) . 2.3.La u irnensLonfLn i.e .

2.4.FindR la dérnonstratiDn 3.L'6quation d'Isaacs-OelllT'rlll.

4.Point-selle enboucle ouv sr-tnml lio rizon.irrfini ,

4.1.tcypnthhses et notations. 4.2. Théornme d'existence.

5. Equation deRiccati stationnaire et point-selle en boucle fermée en

5.2.M6thoeJe de cr-ots sonr.e

5.4.L'hypothRso(H1) :D1~O.et. la st,lbilLé,ahililR 5.5 exemples et.illUc,trations uou r le chi1fJitre'i

6. L'C,quation d' Isùacs-BellméHl st.ationnêJ.lre.

7. Systèmes pclsc,ifs. l.urnrne positif 7.1.No t.at.Luris .

7.L D-pClssivité et rétro-commandabillté 7.3.Le lemme pooitif réel: prus8ntatiun.

7.4._{Démonstration du lomme pusitif réeJ : condition n6cessaire.} 7.S _{Démonstration du lemme fJositif réel: condition suffisantp-.} 7.6.CarClct.érisCll.ionsde laO-pClssivi.té.

ô. Réalisation minimale. 8.1.Réalisation minimale.

tJ.2.Convexit?J de l'r·m~err,b]e riu s réCllisdtions.

s ,

Réalisation max trne l e .

111. Cj-passivité point-selle. 10.1. Position du problème.

10.2. ['équation de RiccClti; solutinns négatives. 10.3 Existence de point-selle.

1U.4. FXRmple.

11 Le problème Lnver so .

11.1. Position du problème.

11.2. Résultat préllminaire : ] 'é'ludtion de Riccati: condition

_{n~JCU5s<,üre.}

~11.3.Unecondition nécessaire et suffü;ante pourqlJ8le fJroblèmc inl/Rrse

lP1)ait une solution.

11.4. Conditions puur que [11.17) soit pônsif. 11.5.Ex(~mple

11.6. Réduction problème [P₁₎

problèmr~[P 7)

11.8. Un contre-exemfJ]u, 12.Tdbleau n5capitulatif.

1ère P ACiTrE

1. RAPPELS SUR LES JEUXDIn2RE~ITI[LSLINEAIRES QUADRATIQUES A DURFE FIXEE.

AVEC DES EQUATIDNSAUX DERIVEESPARTIELLES.

1.1.Stratégies. Pnint-selle.

Soit unsy stème contrôlé par deux joueurs 1 et 2, dontl'évolution tout intervalle

lo,e]

linéaire:

d6crite par une équation eux dérivéesper-tLo Llus

déi'inieà l'airludes données suivantes:

So.-i.evU:VeXHdeux Hilbe.tLt!.l llee.-€'6 !.>epaJLableJ.>,.td6que. Cl,,f'.-inje.c.tion

ê •.tcu1/tc.OI1/t.{.nuee..t Vé.tavrt den6('.dal1J.>H.On no.te. :.,.) le. pllodui:t !.>c.aia.{.Jle. de.H

et:

1.

1la nollme. aJ.>!'>ouél'.. On no.teIl. Il La nollme de.V. Onc.ol1J.>.-idèlle.IjtE[0,0 [une. 6ollme. b.-iLLnéaÙLe.Cl[t: • , .) :

1

a[t,.,.): forme bilinéaire est continue sur VxV, IjtE[0,8 [ • t~~ a[t,<jl,1jJ) est mesurable sur

[0,0[,

Ij<jl,1jJE V. [1.2J

3

À2:.0et Cl >0tels que:

la(t:<jl,<jl) +ÀI<jlI? 2:. CllltPl12,Ij<jl E V,IjtE[O 8C'

a[t:.,.ldê6.{.n..{..t aioM de man-ièILe. uMqlle un OpéILate.MI\[t)E~(V:V') (en!.>embLe de.!.> appüc.ation!.> .e;'néa.{.Jle!.> c.onanue.!.> de.Vdansv') pM :

a(t:<jl,1jJJ~<At t )<jl,ljJ>Ij<jl,1jJEV,Ijts

[u.er: '

OÙ< ','> dê.!.>.-igne. .{le pllodu.-t.t f.Jc.aia.{.Jle. de fa duaWê. <v',V>.

S.-i EeMuV!ef.Jpac.e de H.-iXbetLt, on dê6.{.n.-LtL2( O, 8 : E JpM :

{<jlltll<jl(tl

II~dt

<+

ooJ.

C'ef.Jt uV! e.f.>pac.e. de. HilbefL-t pOM La 110'Lme :

11ct>IIL2(O,8:EJ~

(tll<jl(tl

II~rltll/2.

(1.3)

: Hilberts réels séparables dont les produits scalaires respectifs sont notés(.,. )E

1' (.,. )E

2

et les normes Il.11[1' Il.II E2 c ,Id te:

[n,o[,

i =1,7. <Di (URi,V>rnesur-ebl e sur

lo,oLId

eiEE_i,IdVEV,i =1,2. EL2( O, O; V ' ), YaE H.

La Mi'.ut:loV!yde. (1. Il est: ai'.oM déMYl--ie. de man--ièJte un.{,Que, pOUft t.our v 1EL 2_{( 0 , 8 : E} 1 ) ,": EL 2 ( O. O; f₂₎ e:tvéftl6,Le,:

[1.4) YEL2ro,O;VJ,dye.L2[O,8;V'J,

dt

~t

ét:ant:pM/., au M.IMdes

eüJ.,tftlbut.loYl~.

Sod \<)(0,0]= {cfll<jJE l?(O,O;V),**e:L2( O, O; V ' ) }mun--i de i'.a YloJtme.:

IlcflIIWln,OJ(

Ilcflll~2(o,O;V)+

11*1

eXf.,od c°l[O.O]:H)

i'.'e~emble.

deA

app.€.lc.aûo~

cOYlÜYlue.J.> de

[~),èJda~

H, mun--i de i'.a t:opoi'.ogle de la cOYlvengeYlce uYllnOftme •

aV!MA.X

(Uo~-MageYleA

[1'!:.I)

Qu.e:W(O,O)c[Or

[o,ciJ;HJ,

i'.'--i.Yljec..t..loYl é-tant: cowywe, ~--ibleVi Que .€1ét:a:t

y,

Mi'.u:t.loYl de [7. 1) eAt UYle 1oYlCüoV/ COW.J1uedu t:e.mpf.,.

Dans tout ce qui suit,onsuppose que l'horizon Telu jeu est unré,Rl positif ou +00.

Défini.ssons maintenant CR qu'on entend par-stratégie des deux jnueurs: Définition 1.1: Unestrùté"ie pour le joueur i est une application vi d8

LO,TfxH dans E

_i, i~1 ,7. On note U

il'llnsemble des strat6gies du joueur i,i=1,2. U

1etU2sont suppo sôs connus de chacun des joueurs audébut du jeu. Les joueurs mesurent lBSporformanc8s de Leur-s stratégies b J' aiue d'une fonctionnelle quadratique:

est unHilbert l'peIséparable dontIpproduit scalaire et la norme sont notés [ . , . \et Il.II_F•

(1.6) C(t) c(,(:(V;F), Il,,(t)11~(v;F)

.:5.-

c Ift f' [J,T[. tJ--+ (Ut)v,fl

Festrnesuz-ob l.esur[0,TL Ifv EV,Iff EF. E L2( O, T ; F ) .

(1.71

.:5.- c,

N~

(tl

~

[l''il t L, Ift E[0, TL tf->- (;"i (t)ei,eiJE.est mesurable sur [D, T[ Ife_i,ejEEi

>0 tel que: (Ni (tJei,ei)c i~

Vi Ileill~i IfeiEFr: Iftc[n, T[

Lejoueur 1 cherche, àl'aide dev

1'à mirlimiser J le joueur 2, à

(1.8)

l'aide de":' chercheà r;laximiser J.

Cependant,commeJmesure la p er-For-manc e de la trajectoire engemJrée par

(v_{1,v 2}J ,i l faut que celle-ci existe et r.o lt unique.,,'est pourquoi on

Oéfin.ition 1.2: On dit que le couple(v_{1,v 2)} EU

1xU2est jouable si et seulement si y(t,v

1,v 2),solution de (1.1) engendrée par(v , ,v2],existe et est unique dansL2(O,T;V).

La solution du jeu, elle existe, consisteà jouer (Von~,eumann Morgenstern

[27J)

des stratégies(u~,u;)qui forment unpot r.tvs e l l o deJ

EU

1xU2'

(u~

,u;) :jouable. J

(u~,u;J.:5.-

J

(v1,u;)

v

1cU 1telque[v1,u;):jnuahle v

2c U2telque(u~,v7):jouable

Dans la suite,on necorlsidère que des stratégies jouahles. LD théorBme suivant d'pxisterlced"point-selle pour desfonct iorinotLer.

THEOREME7.1.:On M-ppOM queVi

eht

un e/.>pac.e. de HilbeAt c.on-te.nu daM U_ie.t queKiest:WlQonvexe 6e.!Lmé. de.Vi'l=1,2.On -6Upp0.6e. aU-6-6-<' que :

If

"z

EK:? ' v₁~ Jlv1,v 2)

es«

-6t!L-i.dement convexz.,-6.Q,{.. Ifv

1EK1' ":1->-Jlv1,v?)

est:

-6.t!L-i.Qtemen-t c.oYlQave., -6.Q.-6.

ex:

(v~ ,v~)E K₁xK₂teR. que:

J(v~,v?) Jlv_1,v;J --;-+oofoMque Ilvlllul+Ilv:?ll

u2

- ->-AfoM i l ewte un uMque po-<'nt--6e.R.fe deJ.

1.2.Point-selle en boucle fermée.Point-selle en bouclD ouverte. Deux classes .impcr-t ont.e s destratéEies peuvent être définies (les concepts classiques seront ici légèrement modifiés pour s'adapter au cadro équations auxdérivéf~spartielles).

Définition 1.3.: On appelle stréltégiD en boucle fermée dans L2 l o, T :E i)pour le joueur i un élément ViEU_itel que pour tout v_{3- i}EU

J_ lvérifiant: (vi ,v

3- iJest jouûble, on a i t : v

i(.,yl.:v i,v 3_ iJ) f:1_ 2

l O, T; E i) ,i=1,2,

oùylt:vi,vJ_iJest la solution de (1.1 J dans L2[0,T,V)engendrée par [vi,v J_1

Définition 1.4.: Une stratégie enboucle ouverte pour 18 joueurj est une stratégie en boucle fermRe dans L2(0, T;EiJconstante sur H :

On noteU~l'ensemble des stratégies en boucleouvor-t.o pour le joueurI , i=1,2,Dt on peut identifÏlJrU:et L2lD,T;E

I) ,i

~

1,2. On dira que(u~,u;) est un point-sE!lle Fln tlOucle fGrméc dans L2(0, T:E₁Jx L2(0,T;E:?.L

u~

fr-e spectivement u;) est une strat,sEie en boucle ferm6e dans L2(0, T:E

1J (resp. dans L

2_{(0, 1: [2) J et si}

_(u~

_{,u;) Rst un}

point-selle d8 J contre toutes les stratégies jouables enboucle fermée uarrs L2(0,T;L

On pourra considérer la notion de point-selle en boucle fermée dans

~~oc~1~~oc~21

qui sedéfinit de la même manière que précédemment enchangeant L2en

L~oc

•

Finalement, on dira que

[u~

,u;) est un point-selle en boucle ouverte si

u~

(r-esp , u;)est un élément de L2(0, T:E

1) (r-eap , L2(0, T:E2)) et si (u~,u;) est un point-selle deJcontre toutes les stratégies en boucle ouverte.

6erkovitz

[5J

a établi le résultat decomparaison suivant dans un cadre analogue :

LEMME1.7.:-6i(u~,u;)v.,;tun poin.t-Mileenboude ouvvr;tedeJ , c'e-6.t auMi un POin.t-Mil'-eenboude6eJtmée deJdaML2(0,T:C₁₎ x L2(O,T:E₂₎ .

La réciproque est généralement fausse.Cependant, comme un couple de stratégies jouables engendre une solution de (1.1) sur tout l'intervalle [0,

Tl,

on établit facilement le :

LEMME1.2.:Soil

[U~,u;)

un c.ouple.de-6t!ta;(:égie.-6enboude 6eJtmée. daM 1.L(0, T:E

1) x L 2[0,

T;E_2),jouable.

Pou.!t que.(U~,u;) Mil un poin.t--6elle e.n boude. 6eJtmée.deJdans L2(0,T:E

1) x L 2(O,T;E.

2),il 6aut

ct

il-6u.66il que: r ;J

(u~

,v

2)

.2

J(u~

,u;]

.2

J[v1,u;)

\ 0

~

0 : l ( . b0

1

\jV

1E:U1;t"-A-que (v1,u 2): [oua

z.e.,

' , \jV

2E:

u;

;telque

(u~,V2)

:

[ouaoi»;

1.3. Existence de point-selle en boucle ouverte enhorizon fini(sans contrainte)

Lemaire D2] a donné une condition pour laquelle les hypothèses du théorème 1.1. sont vérifiées:

THEOREME1.2.:Si : [H1l\J 1

>

0

ct

\J2

>C;;~

,

où : (1.9)

G~

=

cl1

2 2 2 .116 211 2 2 2

oo!(L [0, T:V);L [0,

r.r n

:;i(L [0, T;E 2);L[0, T:V'))

aXoM i le.Wt:e.W'1wùque. pO.ÙU:-.6e11.e. e.n bouc.le. ouve/u:« de.Jc.alLadéWé pan.

le. .6Y.6t:è.medt équaUOY!!.l VaIL..taUonl'1e11.u :

r-clrlu7. Vj 1+b

(u~,VI)

LI (VI)=0 \fVIE:L2[0, T; El) (1.10)

i

a2lu~

.vz) b*lu7 ,V2) Lz [vz)=0

v

vzc L2_{[O. T;E z 1}

, [uî.u~)E: L 2[O.T;[1)Xl.2[O. T;f21 OÙl'on apO!.lé :

(YlVI.V2) GjvI+c2Vz+g

\ al (VI ,I;JI) = iT{[C[t1GjvI.CltlGlwjlF+[NI (tl vj ,WI lEj }dt

[1.11)

li::::::::'."

6

T: : : : : : : : : : : : : : : : : ,

lF:::;:":::::::::'w,lF

ldt

Lj(Vj) =

t[C[tJ~

ZcI'C(t)Gjv)lF d t

Lz(v21=

6r(C[tJ~

Zd'CltlCzVZ)F d t .

La condition [1.9)garantit la stricte concavité de Jetla coercivité

Introduisons l'état adjoint p :

j

-

*

+A*[.)p=C*(.JiF( [ ( . ) y zdl [1.121

lp[TJ

=0,PEL?[D. T;V)

où y:=y[uî,u~)et if' est l'injection de f dans F'. [1.121aunu solution unique.

Le système(1.101devicrt alors:

p.[1.tE

[o.f]

[1.131

où : i

E"est l' inj ection deE" dans E

k '

k~ 1,2 ,

Alors si l'on pose:

{Ddt)

~

[1 .15)

~

02 [tJ

~

C:*:[tJiFCl t )

l

g[tJ ~ C:*:It )iFz_dït )

B~[t)

en iilirnjnant [uî,u;)del'8tat[1.1)et do l'état adjoint[1.12),onobtient:

dy

j

'dt

+A[.Jy+Dl[.)p~f [1.16) \ -

*

+A:*:[.)p D2( . ) y

~

g

\

ilu[DJ

~

s; ,

P [1 J~0,y,p E L2[0, T; V)

1.4.Existence depoint-selle enboucle fermée en ilorizon fini dans L2[D,T;El~2)[sanscontraint8).EquationdeRiccati.

BenSDussan

1)]

a montréquosi:

[1.17J

ID, l L)L'''VlL_.; n ) ,Ift E[0,

T1,

j~1 ,2, Ift €

[D,T] ,

i ~ 1,2 .

dr: V dans~Iest compacte.

, I f f€F.

[H2) 0l[t)~0 Ift€

0,1J

alors le couple[u~

,U;J

défini pùr:

:*: -1 -1:*:

i

u [t,yl~ [~1[Cl if' 6 1[tl [P[tly+r-Lt ) J 1 1 [1.191 U;ït ,YJ

~

1,,;1 l t J

i~~

s;

(t J LPït1y+d t 1 J est Url point-selle en boucle Fermée dons LZ(D, T;E

11 x L 2CO,_T;E

z

],

où P et r sort solutions respectivpmerl1, de :

J

Cd~~tl

ln+P LtJMtJn+A:*:CtJPLtln+PCtlD 1LtlPCtln

~

D2[t ln

~

A L '

lnE: LZ(O, T;HJ Idnvérlflant: C1./0l

1

CiLnc.WlD,Tl et

%t

+AL.ln E: L2lD,T;Hl, ,el1orJ Pl. lne WCO,Tl. P[Tl -1] \![tl E:cZtH;Hl , P:*:Ltl

~

PLtl, Pltl 0 Id tF:

~,

Tl . dr :*:

J

L-\

dt

+A (.lr ; P.l.10_1[·Jr=P[.lf+g , tE: O,T L1.211 r(T] =D , r c WLO,Tl .

L'équatiorl [1.201 est ùpp8lée équéltien de Riccati.

OnViJ voir dcms la suite que cette équation joue un rôle fundômental ecris

Ilème

2. L'EQUATION DE RICCATI ET LEPOII~T-SELLEEN BDUCLE OUVERTE EN HORIZON FINI. 2.1. Présentation du résultat

THEOREME

2.1 :

On !.>UppaJ.>e que :

{

a l t ; .•. )

donné

pM11.2)

v.,t identique

à a[ ... ) 'ritE

@,-o

(2.1)

et done.

Alt) AE~V;V') •

(1.5), (I.rl

et (1.1T) ont lieu..

et que:

(Hf) VI>0 ,\)2>Q5~

(donné

pM11. 91)

AC.oM

i lewte

un opéJLa:teU!L

pit)

et une 6onc.tion

r MlutioYl/.>

de. (1.20)

et

(1.21)

et le. point-J.>e.Ue. e.n bou.c.le.

ouve.M:e.lu~,u;)

de.

J

est: donné

pM :

. ;=

B~ltl

lPlt)ylt)+rLtl l

[2.2) psp ,tE

[o,i]

U;lt)=N;1

ltJi~~

B;[t) [P(t)y(tl+rLtl l

où

y

ess: la. Mlution de

(1. 16) •

Ce théorème est l'analogue du résultat du paragraphe 1.4,pour le point selle en boucle ouverte.

Notons que l2.2) permet de définir (u~,u;) sous forme depoint-selle en boucle fermée par la formule(1.19). Ceci n'est pas étonnant au vu duLemme 1.1

Cependant l'hypothèse (H2) n'implique pas en général que 0 1Ct) ~ [1 'ritE [0, TJ, et aucune théorie ne donne alors de résultat d'existence de pet) solution de l'équation de Riccati (1.20).

La démonstration du théorème 2.1 se fait en trois parties: I\u §2.2, on montre l'existence deP[tl et r et certaines de leurs propriétés à l'aide d'estimations a priori tirées directement du système (1.16)

Au §2.3, on construit une suite lPm,r_m)par la méthode deGalerkin, approximant P et r dans des espaces dedimension finie oùl'on sait que Pm vérifie l'équation deRiccati.

Enfin, au §2.4, ontermine, enpassant à la limite lorsque m--+00,la

démonstration du théorème 2.1.

Le corollaire 2.1 donne une synthèse des résultfltS.

2.2. L'opérateurPCtl Rt la fonction r

LEMMEZ.I.:SOM,t~hljpothiL6csduthéolLème Z. 1, ,te .61jJ.>tème :

r

~t

+AqJ+°1 [.)1jJ=f

J

tE:

Js,l [

,0.::.s<T

(2.3l, *+A*1jJ 02(.lcp=g

l

cp(s) = h , 1jJ[ iJ =0 ,cp , ljJE:L2[s,T;V) admetWleM-tu:tton un-i.que{cp,ljJ} ,h étan-t donné daM H •

Démonstration: Considérons 18 système:

[2.4)

f

%t

+ AQ = f +

°

_{1 [.)v 1 +}1:J_{2 [ ·}lv 2, tE:Js,T[ , 0.::.s< T lcp[s) = heH,cpE:L2Cs,T;VJ

et la fonction coût:

On introduit l'état adjoint tjJ par:

{

-~+ A*ljJ = C*(.Ji [C(.]<j>

[2.5l dt 2f

(~(Tl=0 , 1jJcL ls , T; vj,

où <j> =

ljJ[u~

,u;), avec

[u~

,u;)point-selle enboucle ouverte de

J:,

l '

*

:1:

Alors on a :{U: Ct) = 6 1 [t)1jJ [t]

A p.p.tE:

G,T]

u₂[ t ) B;[t]1jJ(t)

d'où

[2.3) cprès avoir' 6liminéCU~'u~)dans [7.4) ct [2.5).

Démonstration: Soit une suite {hn}nc IN deH v6rifiant : h n--+ h lorsque

tE

Js,T[

Multipliant la deuxième équation par lJ!n et intégrant des à T :

mais on a, {A[tJ ,t

2:.

o} étant le semi-groupe rortement continu engendré por-A:

+

CT,t~~,TJ"

D2[tJ

Il

Il Mt-Tl Il

II

D

1h l

ii

{T1lJ!n[t1Idt etcorne

Il

[]2[tl Il ..::. c , Il D₁(t)

Il ..::.

c et

Il

Mt)

Il

<eÀt , IftE

[o,r],

où c et c ' sont indépendantes den et de s. Donc 8nreportant [2.8l dans[2.7l:

et comme Ihnl :: c₁ V nEJI!puisque h_n-->-h dans H fort, on o ,c et c '

dés i g n a n t des con s tôn tes dive l'se sj~n dép end a n tes des e tden:

On peut alors appliquer l'inégalité deGronwùll :

Alors, en multipliant par <l>n et en:LntéErant entre s et T :

et,compte tenu de la décroissance de Le fonction e -2Àt, on a,Erâce èJ [2

.~J

(II

cPnll 2 d t : : constante indépendante des ot de n. Compte tenu de (2.9J, onpout extraire une sous-suite {cPlJ,l/Jp} de

L2(s, T;V) x L2(s, T;VJ telle; que:

{

<P p -»

~

dans L2( s , T ; V Jfaible

(2.11) ev 2

l/J_p-->l/J dar s Lls , T ;V]faible

et par continuité et linéarité ue 1\,01 (t)et 02(t), onpeut passerà 1<3 limite dans (2.6) :

{

*

+

A~

+ 01( •

l~

=0 "v S<t < T

*

+

A;:~

O;>(.l~

=0 "v "v "v"v ;> cP[sl =h , 1/![Tl=0 , cP,1/!cL [s, T;Vl

Donc, la solution du système étant unique,

~

=cP,

~

=1/! ce qui prouveLe continuité faiblo de la p ertLe linéaire del'applicationh r->-{(j>,1/!} , d'où

le résultat.

COROLLAIRE2.1 :L'applicationh t-->1/![s)

eAt

a6MnecortUnue deCidaMH.

rJémonstration : L'application h!-->-\f!(s)est composée de :

1

1est affine continue deHdans W[s,Tl xW[s, Tld'après le lemme 3.2. 1

2est linéaire continue do W(s,T)xW(S,Tl dansHcomme application trace.

COROLLAIRE2.2 :L'applicationh ..-(~(s)6'ê-c.W de man-LiUœ un-Lque : ljJ(sl =fJ[slh+r[sloù.l'ls)c~(II;I~l ,r Ls)cli.

LEMME2.3 :Sod{y,p}6Olution de (2.3)afOfU> :

[2.12) pltl =Pltly[tl+r(t] \Jtc[O,TJ •où.Pltl

e6t

donnépMla

Jtègle 6u-LVante :

r*

+AB+01(')Y=0 ) dv ;: (2.131 \

dt

+ Ay U2( . 113=0 Blsl=h ,y(T)=0 ct: (2.141 ylsl=P(SHl

ctoù.r-Lt ll'AtdonnépMla JtègleI.lu-LVaVlXe :

r~+An+[]1(·)t;=f

(2.15)

~

*

+A'J<t; l1/.1n =g

e:t:

[2.16) r-Ls l=

ses)

LEMME 'Z.4 : 011a :

[2.17] P*[t)=P[t) , pet]~0 'dtE

[o,f]

C§monstration : De [/'.13), on t i r e :

Soit o l o r-s S tel que(B,y)soit solution de [2.131 pour SlsJ=hEri .Alors:

o

=

{f [-

%t(t)+A*y[t1 o2ltJS[t1 ,Slt) Idt =

et comme y(s] =P[slh et SCs) =

h,

on a :

et comme O;(t)=02lt1 et

o~rt)

=0₁ft] IftE[0,TJ' on a: P*[t1 P l t ) . Pour prouver quofOlt) ..:::. 0, il suffit de montrer que:

[2.19) lP(slh,h1=Min Max :J:,T(v₁, V₂₎ =Max Min

v 1 ": v 2 v 1

\*

+AS=B_1[·)v1+B2[.lv 2't c

Js,T[

"lstS)

=h

En effet, l'on suppose (2.19) un instant démontré, oni3:

~IJ ,\j he H puisqueN 1[ t )>0• MontrollSClUI1C[7.19) :

Comme le ["loint-selle en boucle ouverte de

J~.

Texiste ete stunique grdceà (H1).en dppliquant le théorème1.2eten i.ntroduisant l'état ùdjointy :

le système(2.1J) d alors une solution unique et:

p.p.t E

G.T]

~ (P(s l h , h) d'aprèsC2.1ô1.et le lemmeest prouvé. LEMME2.5 :L' appUca..UoV! :

(2.22) t[--->-[1'fUh,hl

eJ.,:t

conUV!ue \jt,

C [O.IJ '

\j h.h c H . Démonstration:Considérorl5 une suite de réels posHifs {s)ilEINtelle quu

srI

C[O,T[

lin

E

INet

~::

rour tout n ,ons eiL que le système:

aune solutinnlHlirllJu.

Alors,multipliant scaldirer~8ntleJseconu8 équation de [;:' .23) par 1J!n ot

intégrant de snàl ,puis prucéuant dela mi\me façun qu'au Lemmu 2.:0:', on

[2.24) !1J!n(snJI

~

0, (111J!nI12dt

~

c , c étant une r-orrstantc imJépŒluante

Fn suivant tuujours la méthode du Lemme 2.2,posant:

(2.2'.>J (lI<PrJ

2dt~constante

indépendante den , On fait maintenant le ohangement devo rtab lr.:

et on puse:

Alors, d'après [2.24)et[7.25), on a:

Orl p8LJtdunc cxt reir e o.mc sous-suite {<PIJIJ '1J! IJIJ}tclle que:

s s

et comme c/J

IJIJ et 1J!IJIJvérifient le système:

r%r

c/J_IJ IT-sIJJrAc/JIJ

1

+[T-sIJJ (A*1J!IlIJ

ôvec: OYCTJ~ O. (s +T(T-sJJ ,i~1,7 ,

l 1 ] J ]J

II~]J

2[0,1 V'/_C'

c élant indéperldante de s]J .Alors par cuntinuitR [lt linéarité deA, onp uut p e s s e rcola limit8 lnrsque]Jtend lIers 1'00, compte-tenu duf,lit que :

tend vers :(~s, (l-sJA;l(OJ +(~s,(T-sJu~(T)GJlorsque]J tend vers1'00,'dec V

dans

iD'

(]O,1 [l pur- exemple. On a doncà la limite:

s o i t ,pùr unic:ité de la solution :

t~P[tHl, cequi prouv e (2.22J.

LEMME2.6.:GV!a : IpltJhl

.2

cl hl 'dhEH, 'dtc

[9,

TJ Démonstration: On conni riùrccomme précédemmentle système:

(

~+AijJ+0(.ll/!~0

LJt 1

l

*

+A;l(l/! O;;(.Jep

~

0

l

eplsJ

~

il,l/!ll J O , ep,1jJEL2 (s, 1 ;Vl

En procédant de nouveau commeaut.orrrne 7.2,on onticnt l'inégalité:

Dtcoumeuna déjà vu quu lec;constùntes étaient indépendantes de s,on

11jJ(s]12

~

clrl12,d'où le rRsultat puisque 1jJ[s)

~

P("Jh. On vamairltenant justifier le fait fjLlel'opérateurPvérifiel'éqllAtion

Btque lafunctio n l ' v é r i f i e :

%%

+A*r+1'0

11'

~

Pf+g t E

Jo,

1 [ dTJ On utilise,commeLions

[13J '

la méthode Faedo-Galerklrl. Z.O.La dimension finie

l'état approché d'ordrern,par:

• d

(

~dt Ym(v

1,v

z],w

jJ +a(Yrn(v1,vZ],w jJ ~

rr

+tJ1( · J v1+B2( · J v2, wj)

(Z.7I1J~ 1~j~ rn

ly

m( 0 : v1, vZJ~ Yc'Jm ~ (;imwi ->Yo Lians H fort quand rn --;.00

La fonction coût Jrnest donnée par :

(Z.29J J_m(v1,v

Z)

~

6

1

{

IlCCt]y

_mCt;v1,vzJ zd(t)

Il

~

+CN₁(t)v1(tJ ,vi (t) lEi

Onr.hnr-choAlors(u~,u~Jpuint-selle enboucle ouverte deJ_m:

m m Z 2

((U

1, lJ_ZJ EL(0,T;[1) xL(U,r;czl (Z.30)

~ Jm(u~,v2J ~ Jm(LJ~,u~l

<

Jm(v1'u~)

i\,vv

1E L

2(O,T;F

1 ] ,'dv:!. C LZCO,T:[zl

Soue. l'hypothèse[Hi] : Vi >net V

2

>i~~

, (7.30)admet une solution unique. On Lnt.ruuuit.l'Rtat adjoint Pm approché Li'ordre m :

[Z.31) ) ( +il*(Pm'WjJ

~

(oZ(')Ym+g,wjJ ,1

~ j':::'

m

lpm(TJ

~

U , Pm E L7(U,T;V_rn)

V

et en éliminantu~ctu~dans l2.26), on obtient: ( ( +al:m,W

_o)

+CUir ,)Pm'w

_o

1 -(f,w O) " 1~j~m (2.33)

Î (

+alPm,w j1 (02(. )yIl1,WJ1 -[g,wj)

lYm(Ol- Yom' Pm(Tl -0 ,_{Ym,P m}

e

L2(o,T:Vm) On peut alors énoncer l e :

THEOREMEZ. Z : SOM

te/.>

hypothè.6e/.> pltéc.éde.nte/.>,et.!Ji

t

1

Ln]e.c.:ti..on

de

v

daMH

v.,t c.ompac..te., on a :

Y m--+Y ,Pm--+PdaML2(0,r.v:ôolLt

u~

-ë-u_kdaML2(o,T;E k)

6olLt,

k

~

1,2 ,

tOMqUe.

m -+DO•

Démonstration: On considère le système (2.33)entre s et T ,0~s<T ,

dont la solution (Ym'P_m)est donnée sous la forme:

On multiplie la sDconde C'quation dEJ (2.33) par TIim(t), onsomme sur i m et on Lr tùgr:e entre s et T pour obtenir:

Ipm(sl!2+20,

fT

_{11 Pml12dt:5. 2 ( l l l D2(t)Ym(}t lll

v'

+

Ilg(tlll

v,:

Il Pm(t111 dt+ +2À

fT

1Pm(tJ 12dt .

On é(Orit Y

ym[t) =Am[t-s)Y

om+[tAm(t-ŒJl-O'1 (Œ)Pm(Œ)+ f(Œ))dŒ, s

~

t

~

T et donc, puisquo

IlAm[t)11

~

eH, 1ft

~

0 , ona:

En reportant [2.35) dans (2.341,onobtient, après un rapide calcul:

toutes los constantes étant indépendantes de m et de s.

Etcomme Yom -;- Yo dansIlfort, on a: IY_{o ml}2

~

constante indépp.ndante de m et s. Donc:

iPm[tJ 12+a

{Til

Pml1 2 dt

~

K₁+K₂{Tlpm[t)1 2

dt et l'inégalité de Gronwall donne:

donc,on particulier pour

[2.36) Ipm[O)

1

2

~

c ,

(II

Pmll 2 dt

~

c .

En introduisant commo au t.errrne2.2:

éPm(t)~

e-ÀtYm(t) facilement quo:

donc, avec [2.3Gl, on peut extraire une sous-suite [Yll,Pll) telle que: (y --;-) dansL2( O, T ; \I ) faible

[2.38)~ Il "v 2

l

Pll -;- P dans L [D,T;\I) faible

et par 10 mêmo argument de linéarit8 et de continuitéqUBprécèdemmont, on

peut passeriila limite dans (2.33]:

[2.39J

=Y

o

,p[T)

0 ,

),p

c L 2[O,T;\IJ

Donc, d'aprèsC2.32), on a :

u~

-->u kdans L

2CO,_T;E:

k)faible, k

~

l,Z.

démontrer la convergence forte.

les opérateurs CCt),N₁Ctl et N_2Ct)étant notés,pour simplifier,C, N₁ N_Z' On sait,comme conséquence dela convergence de la méthode deFaaoo Galerkin [Lions

G3]J,

que:

YmCV1,vz)~Y[V1'VZ)

dansL2CO,1;VJfort

Ym[u~'U2)

---+y[u

1,u Z)dans L

2CO,_{T;V] faible}

m...œ

Comme JCv_1,vZ)estfaib Lerrerrts.c.L pour ": fixé, on a :

~JCU 1' u2)

puisque

u~

-->u₁dans L2[O,T;E 1)faible,

D'autre part,comme J[v

1,v 2)est faiblement svcvs ,à v 1fixé,

u~

->U

zdans L2(0, T;E2)faible, on a :

donc on peut extraire unesous-suite telle que:

donc nécessairement

En procédant dela même façon,on a:

~

Jrn(u1'u~) ~

Jlu1,u 21

et donc,nécessairement,

lT

[1\J2u;,u~)ot

--+

lT

[1\J 2u2, U2)dt

Alors,d'aprèsl2.2ÔJ,on a, 'drn>O:

puisquc Y m--+ydans L 2(D,_{T;VJfaill18 et}

_u~

-+u 1et u; -+u2dans L 2(O,_T;E 1) ct L2[ O, T 1E 2Jforts.

~{~IYm(TJ

y(T)1 2 +

lla ( Y

_rn- Y ' YmyJd t }

~

~ ~{~IYm[TlI2

(YmlT),y(TJJ

lT

a l Ym y,yJdt lTa(y'Ym)cJt}

+

~ {~IYm(T)

1 2 +6Ta(Yn'Ymldt}

~

1y(TJ1 2

_lT

a(y,yJdt+

~

1y(T)1 2 +6Ta(y,y)dt

on obtient, pour rn suffisamment grand:

et d'après l'inégalité de Gronwall:

On procède dela même façon pour la convergence forte des Pm : d'après (3.36),

Lirn

{~I

Pm(OJ

1

2

+

lT

a*[Pm'Pmldt}=

lT

l02(tly+g,pldt m-+OO

on a, pour rn auf fLuerrmnrrtgrand:

2.4.Fin de là dÂmonstration

Il reste à montre!' rI'une part que Pm vurifio une équatiun de Riccati d'autre part,que l'on peut pac;s8r là limite pour avoir l'existence d'une solution ciu [1.20), [1.21).

Comme la rlémonstration,classique dans1" cas du cn-rtr-ôl e optimal,

s'ad'3pte entiRrement, onronvoiu le lecteur,~[Lions[13J. Théorèmos 4.2 à 4.4,pages 11]0 à 165). :1: -1 -1:1: Enfin,comme{U 1l t )~-N1 Ct) iE181[t)p[t) p.p. tE

[0,

r]

u;

lt ) N;1ït )

i;~

B;

(t)p(t ]

et commepI t )~Pf t Ly Lt l+d t ), (2.2)o st éLeb li .ce qui achève la démonstration.

On donn" maintenant une synthèse desn~sultatsdes chapitres 1 et 2

COROLLAIRE 2.7. : S.[ 12.7) a üeu U1.>.[l'rme quelconque. des hypothèl.>e.6 I.>tUvaYU:M Mt vé!tJ..b.[ée :

(111) V₁> 0 U V₂

>G~

(HZ) 0₁lt )~( J ' l i tE

[o,rJ

MNL6il!ewte. unOpéILate.utl pet)ei: une 6onctionr I.>Dlut--LoVl!.> de (7.20)ex (7.27), et le. couple.(u

1,u Z)déMn-L pan. :

En oiün«,1.>.[[H1)a üe.u, [~1 ,LJ::>]déb.[n-LpaIL :

u

1ït )~u1(t .Yït ) ) , u

2(t) ~

"z

lt ,Y(tl )

e.J.>:t un. po-in.:t--6e.Lte

en.

bouc.fe. ouveJLte. de.

J.

On a donc,pour cetype dejeu différentiel, un procédé unique donnant le point-selle en boucle fermée et en boucle ouverte. Cette propriété n'existe plus forcément dans d'autres types de jeux différentiels à somme nonnulle. En particulier, en ce qui concerne l'équilibre deNash pour des fonctionnelles quadratiques, l'équation de Riccati donnant la solution en boucle ouverte n'est pas la même que celle qui donne la solution en boucle fermée [Bensoussan

[3]),

On va maintenant étudier uneéquation équivalente à l'équation de Riccati, appelée équation d' Isaacs-Bellman qui, aulieu dedonner un opérateur pet], donne la valeur du jeu:

V[s,h) ~ ~[P[s)h,h)

3. L'EQUATION 0' ISAACS - BELLMAN

On considère le casf ; 0et Zd ; 0 pour simplifier.

L'E'ltat est donné par:

dy _

(3.1)~

dt

+Ay ;Bit ,JV₁+B_z(')v₂ \.. ylsl ; h

et laronction coût par:

[NZ(tlVZ(t'Y)'VZ[t'Y)]EZ}dt OnSB place dans le cadre ducorollaire Z.i.

Posons:V[h,sJ : valeur dujeu pour la condition initiale ( sjh l (3.3) V(h,sJ;

~

U

1etUzél.artles ensembles de stratE'lgiBs enboucle fermée dans l_2[IJ, T;E 1J et L2(0,T;c

Z)pour les joueurs 1 et 2.

3.1.Lecas(H2):D1[t]~O ~.

Comme Bensoussan

[2J '

on considère a priori le problème de minimum oùl'état est donné par:

( ;rt-

+Ay ;

n~I2(.

Jv (3.4J

~

l y ( s ) ;h

et la fonction coût:

10 minimum étant cherché dans Lz(s, T;HJ .

L'existence du minimum et de l 'opérateut' P sont c)ssurés par la théorice classique [Lions [13J)

t~-

(h,s)+

:~~I H(h,~

(h,s),s,p) =0 'Ifh s V ,p.p. sC

[O,fl

[3.6)

V[ll,Tl =0

[3.7) H(h,p,s,p)= [

Ona e I urs 18 théorémfc! :

THEOREME 3. 1.:SOM

tu hypoth'M e--:l du c-oftoUaJ.!te

2. 1

avec-

(HZJ,

V(

h•sJdé

6i

YÙ

_e

pan.

13.3)

ut conëinue de

[J,fi

x/-i

dan-6

1R+,

~

et

~

exA.-6tent

Il hEV

ex

p.p.Ss

lo,

r] ec

V(h,s)

véJUMe t'équation d'I-6aaC/.\-BeUman :

Démonstration:On vacorupur e r : Max Min Ilh,p,s,01,8

2) =Mirl Max Ilh,p,S,81, P.2) et Mjn H(h,p,S,I3)

8

213 1 131 8

2

[oume l(h,p,s,e

1, 82]=

([I::l~[S)P'R1)

+

~

(N1(s)e1,8 1)}+

onvoitfiJcilemBllt que le point-selle surE

1xL?de l e s t rRalisé pour:

Or, un rapide calcul montre que:

l'lin H(h,p,s,el

~

Il C(s)hll

~

[p,Ah)

i

[[)1 [slp,p) eEH

On a alors[3.8)en remplaçant dans(3.5) Min H(h

~

,s,e)par eEH

Reste à montrerqUI"VU-I,S) définie par [3.6) et[3.ô) vÉrifie[3.3).Pour

cela, il suffit deremarquer que

[P[s)h,hl LV[h,sl et que Pts) vôrifie[1.20),qu'il soit donné par le problème de minimum ou par le problème depoint-selle,et le théorème est démontrô.

3.2.LecélS(1i1J:V1~2~~_

THEOREME 3.:2.:SOM

.te/.>

hypothè.6 eJ.> du c.O!LoilaitLe. :2. 1 ave.c. (H1 ] aV! a .ta C.OV!C.fM-tOV!du théoltème- 3.1.

Démonstration: On a: V[h,s)

~

i

(F)(slh,hldoncVest continue de

[U,T]

x

H

dans

m+grâce aux lemmes 2.2 à 2.5 et

~[h,sl ~

i

~pls ) h

existent \1 hEV et p.p.sE[0, T]grâce authéorème 2.1. D'après l '6quation

de Riccati,ona\j hEV etpv p , E [D, T}

(

~[GJh,h)

+2[P[s)h,Ahl +

(N~1

[sJ

i~~

av

av

, av

0 .

av

-

'1

j

35[h,5J+

r

[n'ah"lh,s),s)~ 0 \fhEV et p.p. sE

Lp,T.I.

l

l/Lh , Tl

~

0 [puisque P[T]

~

0)

On vérifie alors comme auparagraphe précédent que l'on a:

IIIème

4. pomT-SELLE EN BOUCLE OUVERTE EN HORIZON INFINI 4.1. Hypothèses et notations

Le but dece chapitre est l'étude du cas1=+COpour des stratégies en

Dnfait 18shypothùs e s suivantes;

V et H sont des Hilberts séparables réels,tels que VeH, avec injectionconti.nuo, V dense dans H.

(4.1) {

a[.,.)est uneforme bilinéaire continue sur VxV telle que:

3a

> 0 : alcjJ,cjJ) .:-:.ail <!JII2 Id<Ps V . \ E

1et E2sont des Ililberts réels s épor-ob l es (4.2)

1

BiE;t'([j;H),i=1 , 2 .

~

fEL2[ O, CO ; H), YosH •

On peut alors définir l'état y comme solution unique dans L2(O,co;V) pour tout couple (v

1,v 2)de L 2_{[ O, OO ; E}

1)x L 2_{( O, CO ; E}

2) ,de l'équation;

On considère la fonction coût:

F:Hilbert l'6el "éparable

(4.5) CE·:;t'CH;r) S:;{CCi;E: i)

,N~

=Nie t ] Vi >0 tel que: (NiVi,vi)C i Vi

l'

Vi

Il

~i

IfVi C[ i ' i=1,2 .

Enfi n onpose:

4.2.Thé o rèmeO'lI>< i s t lIOCli.

THfORUlE 4.1.:Sou.6lu.hljpothè~ u. (4.1)il14.6 )

« û :

tH

f

""

:

v,

>

a

.

V

2

>~

i.

""

pn: ;0(;0: '2 2

t

IUl.U2]t:L1O.o<>.E,il<l (C...1:. 2) (4.lJ al(u~-v,).!;ltu; .V,} L,lv,)aD !lZl u; .'o':z)+

b

;O:lu ~

.v,l LZlv Z}"0

avec

lM

"ota.,tiQ~:

Yl 'o',.'o'ZI -G,'o',• G, 'o'_Z•

~

14. 6 1

"

, ['0'

,

,

J

~

l1tN

1V, ,)E.,• [CG,v ,.CG1w, JF}c1 t "Z I ...Z Z)

.f,...

(IN

2VZ 2)E:z ICG2v2·CGZw7)F}o t b l v

r:

'o',J.

~

(ICG2V7.CG1V, l retd tf b;O(tv1·'o',,1

Démons t r a t i on:Puuri1pp liquer1111rêauI:e t det.eeerra [' 2J.11suff i tdemontrer

l'e><istencedeG,.G Z.e t

g

...

érif iant: (4. 91 y(v,''o' 2) ·G,'o'1•G7'o'2•

l

.

où: G i

f.è{'1l

2 tD

.

""

1

(1 )

I

L

2{

D,

OO

~V))

•1-'.Z•at

go

E \oI{O....1, t>0 l a'.7

Il suffit donc de montrer la continuité deG_ide L_2[0,00;E iJ dansL

2_{[ 0 . 00; VJ.}

Soit alors une suite

{v~}n

EN de L2[ 0 , CO ; E_iJ vérifiant:

Posonsy~;G

iv~.D'après[4.1 OJ on [4.13J

%t~

+

I\Y~

;

6iv~

• t >0 ,

Y~[OJ

;u .

Montrons que ,Y~Jdt est une intégrale convergente:

comme

Y~

EW[O,coJ, ona , V T>0:

~IY~[TJ

1

2 ;

Et commeY~[TJest continu enT et tend vers0lorsque T-+O:>, ona, pilr semi continuité inférieure de la norme:O;~

De(4.14), ont i r e :

Et,d'après(4.12), ona :

Il

y~11

L 2( O, oo; VJ

~

constorrt a indépendante den.

Un peut doncextr eLreune sous-suite Yiqui converge faiblement vers zidans

L2[ O, oo; VJ comme 1\ et Bisont lin6aires et continus,donc faiblement continus

onpeut passer à lé] limite dans[4.13) :

Mais, comme la solution dB (4.15)est unique:z i ; Giv

i ,ce qui prouve la continuité faible et donc la continuité, V i ; 1,2,et le théorème est prouvé. THEOREME4.2.:SOLL6le-éhypo-thiL6e-6 du -thé-onème4.1, le!.>y!.>-tème :

(4.10J

J

%t

+Ay+D_1P; f

~

%t+

A;i(p-02 Y -g

y(OJ=Yo y.pcL2( O, oo; VJ

IlW1.~ ~OIt4t«""~u.e.IlV,"-C:

01

"

B

1N~

'

1~:6

~

R_2N;' 1; :e ;. O2L

C

~

lFC

e,t g" C"'iFZd

O~n~trl!t1on:

n

-ecrës

(4. n, (U~ 'lJ;) f15t ceractéri l;épar: Zrtl.G, v,1•

(N

,U

~.

1,11 If"}dt..0

"

V,

(;

L2 10....,1:,) L

d1.G 2v2)

(

!Il2U~ .V2)E.21dt

.. 0

v

1,12 cL2!O••,E2)

oû y ..y[u~.u;).

Introclu1sotl5el o n. 1'étatadjoinl P par :

(4.18) -

*

.

A"'p•

C

~l

F{

CY

-zd '..02Y..g t

~

0•PC l2(O.oo;Vl Ons"'it IUons [131) Qu'untel pe:d s teeteetl,In iquli.etvérifie:

lim Ip{tJl •0 Donc:

t~

eten élimind"tIU~,U;}de l'èt<'Jtetde1<1.'6),on obtient [4.161.c-ccle résultat.cOlTCJtll-tenudel'u nl c itA do

lu

~

_.

_u

_;)

~.:On ne cecrplusa~1iQulilrbrut a l eme'lt..à par t i rdu~ystêlno:'

(4.16).le s majorat ionsdu ïeeee 2.2puisque l·intervallece temps.n'''~t pas

bornéet Que CIiI6milj o r lltlons dépendentdeT.On doitdonc.tro uv ord·...·,JtrOl!'>

méthode scccr n:mtrer l'okl11lenclild'unpsolution de l'écuelion deI:llcca~l

THEOREME4.3. :Sous.e~ hljpa;the-6~ (4.1)à(4.6)

e.-t

Û : (H2) D >0

1

-Démonstration : On58ramène au problème de minimum suivant:

Ce minimum existe et est unique d'après la théorie classique sur Le minimi sationdes fonctionnelles convexes, et il vérifie:

2 VVEL (D,oo;H1 .

Soit l'état adjoint[posant y[u:':)=y) :

(4.21) -

*

+A:':p

~

D_2y+g Alors (4.20) dovient:

(J(D~/2P

+u:':,v1dt

~

0 , VVE L2(O,OO;H1,

s o i t: u:':

~

-

D~/2p

• Alors dans[4.19) et(4.21) on obtient le système (4.161 Dt le théorème est démontré.

5. I::.QUATION DE RICCATI S1ATIDNNAIRE ET PDINT-3ELLI::. EN BOUCLE FERMEE EN HORIZONI~IFINI

5.1.Introduction

On avu au chapitre 4, qu'il existait. cve c (H1.),un point-selle en boucle ouverte sur l'intervalle

[0,00[.

On va maintenant chercher en déduire, comme au chapitre 2, l'existence d'un opérateurl-'solution d'une équation de

On va montrer,sous l' hypothèse(H1J, l'existence d'un tel opérateur10 par passage à la limi.te lorsque l'horizon T tend vers l'infini.

Pour cela, on pourra utiliser deux types de méthodes:

• uneméthode liée à la croissance des opérateurs PT en fonction de T (§5.7) • uneméthode plus générale, en l'absence de croissance, mais ne dormant des rpsultatsde convergence quedans des espaces du type Lioc (§ 5.3).

Enfin, au§5.4, on étudie le même problème avec l'hypothèse [H2).Les résultats sont ici plus généraux, grâce à l'emploi des concepts destabili sabilité et de détectabilité.

Danschaque paragraphe, on donne une interprétation des résultats sous forme d'existence depoint-selle en boucle fermée.

Enfin, pour illustrer ces résultats, on donne une série d'exemples, envisageant aussi les limites de cette théorie.

On utilisera, dans ce qui suit, les notations suivantes [pour toutT>OJ:

. 6

s, T est l'état dans l'intervalle~,1J donné par:

lorsque s~0 ou lorsqu'aucune ambigüité n'ost possible sur s , on écrit:

Bs,T=BT·

.

u~'

T et

u~'

T sont les composantes du point-sol le enboucle ouverte

sur [s,TJ. Par lelomme2.4, on sait que:

(5.3J [PT(S)h,h)= ,u;,T)

où PT(s) ost solution dans l'intervalle [0,

T]

dol'équation deRiccati (1.20).

• Si zest unefonction quelconque définie sur [S,TJ prolongement par0sur

C9,co[,

en dehors do [s,T] On est maintenant en mesure d'exposer les résultats.

5.2.Méthode de croissance

ev ,on note z son

On se place dans le cadre du chapitre 4 et on suppose, dans tout ce paragraphe, que (H1J a lieu:

On va étudier la croissance des opérateurs PTltl et montrer que cette suite d'opérateurs aurielimite qui vérifio l'équation de Riccati stationnaire.

On commence par le :

LEMME5.1. :Sails

2.

0eX.6OÙ-ntT

1,T2teû queT2

2.T

1>s .On a MaM : [5.4) [PT(sJh,h)

2.

(PT (sJh,h) \JhE H.

Démonstratio~

: On note 2

(u~

,u;Jle point-selle en boucle ouverte de

J:,

T T2larestrictiondeU

1 l· 2 etr

11ui i3[s, T1

J.

i=1,2.On note aussi:

Alors, d'après la définition du point-selle en boucle ouverte de

TZ T1 Z T_Z T_Z CS T1(rT1u1,u

z

1IlF+lN 1rT1u1,rT1 u 11E 1 T₁ T₁ lNzu

_z

,u

_z

lEZ}dt

par définition du point-selle enboucle

Comme, par ailleurs: lP_T/slh,h1~ démontré.

le résultat est

Remarque 5.1.: La suite des valeurs VTls,h1

~

;lPTlslh,h1 est donc croissante en1,àhet s fixés. Par suite,plus Iodurée du jeu est longue,plus le

jeu est favorable au joueur Z.Mais le résultat n'est pas général, comme on le verra au§'0.3 . Il est c s suntie l Lernerrt dû iciàla linéarit6 du système

et à la positi.vité du terme:

[III

CS_T

Il~dt

.

LEMME

5.

Z.:

u:

e.wte

un opéJtate.UftPünéaJ.Jt12., pof.,;;U6 ou nui., auto-adj oint de

'oLeli;

Hl, indépendant du tempf." véniMant pOUlts<coMxé :

P~ lim PTlsl pOUlt l.a topologie. nonte. des OpéJtate.uM. T->=

Q...émonstration : On rnorrt r-e d'abord que l'on peut trouver uneconstante c indépendante de T et de ttelle que:

Id T~U , Idt:2.T ,

Il

PTltlllci:lH;Hl :2.c .

+ (aD +1 J fTIl CEh Il

~dt

(en utilisant le fait que : 2 ab

2

~o

a2+ao b

2 , choisi),

où aDest un réel strictement positif arbitrairement

III

CEII~,

co=Il CEII<>('(H1L2 ( O, co; F J )•

Vérifions que III CElllo,co est incJépendant deT. Si l'on pose:Y_h=Eh,

Y

hest solution dB :%th+AYh=[], yh(O)=h • Et donc. multipliant par

Y_het intégrant de [] à 1'00, on a :

III

CliiiO,co

2

2i,

et donc:

Alors, d'après 18 lemme5.1, la famille {PT(s)1T~ s } , d'opérat8urs linéaires,positifs ounuls,auto-adjoints de',;.('(H;H),est,pour s <00 fixé,

uniformément bornée. On sait alors (Riesz-Nagy [21J)qu'il existe un opérateur linéaire positifauto-ieo jotrt de~[H;H) tel qU8:

P[s)=lim PT[sl pour la topologie forte des opérateurs. T-+oo

s<T

Resteilmontrer que P(s)ost indépendant de s.

On vérifie aisément que:

Soiont alors s1~0et ~0fixés et 1

2=T1 s1 +s2 . Alors:

'dhËH.Donc: lim PT(tlh=

P[OJhd~f

Ph, 'd t

~

0 , cequi achève la T-+oo

démonstration.

On étudie maintenant la convnr-g enc e des stratégies optimales, de l'état et dol'état adjoint 10rsqueT->-00.

THEOREME5. J.:

(5.7J YT -->- Yoo 'P'T -->- PoodaYlJ.> L2(O,00;VJbO!üt •

Démonstration: D'après le lemme 5.1.on a:

l5,9)

lI

~i l

l

2 cc L(O,«I;l: , '

O'olu trapart.si J'onpes acc rrrne h<5b ltcle ll ..ment :

on a(L_i re [12JJ

fneer-eicutier•pour v

2•

I.o

~

, i l ...lent;

où c, etC

2nacécenceot. pas deT, Donc,coeote tanu Ù8 (5.9 ), on <!I:

(5.10J

Il

~~II

'1

~

cons t a n t e lndép8nddntorie T L IO.«I:E2)

L'étol t est<!Ilors don n épar:

EnmuHl~llo!lntsuëleIr-ereer rt par Y

Teten11"1tégulnt(je 0à r.nmettent. d"5

rreofcutetIonsus uell e s.onobtient:

Soit:

1<;;.11l jYjl TlI

~

c•

II

';TlIl?W

.

...,VI

~

t:•

Ou/T',êmll . l'ét~ t«,joint estClonné pa r :

Et.par1<'1mêroométhod eqlJapr-écéceoment•on obtient :

On peutdonc tr o uver une su it eln tellequaTn--quand n- e'; te r re Que :

(

'~T;~Tn)

- LzsqIcene

"'(O

,

.,V,,'

retbt e CS.1'! }

~

-...

~

denn L?IO."' IV·) f"lbllil

<'

}n

-1 -1." 2

"1<. --\0'1<.. NI<. Il:"Io..Bk Q dflns LrO''''IE_k}reiei e•k •1.2.

Onpeut; et cr epasser A la lfrnfte dan.,:

,

dYT '" '"

1

lit"

.

AY_T • °1PT •Yr lTnl6lt-Tnl •f n n n dPT "'"" '"

dt"

•

A PTn D?y_{r n•}il

~rn(

())

- Yo

'~<(Tn )·

0 po u r oo t enir-: : Z• Yooet q .Poo

Y

1 + Yoo ' PT + Poo dans L 2(O,oo;VJ faible lorsqueT+oo

Montrons maintenant lesconvergences fortes

avec les notationsprécédentes, que:

a1[;';~,u1-;';~l

=

a~[u~'U1-U~J

a1(v,wJd<;fa~[v,wJ

b(;';;,u1-;';~l

=

bT(u~,u1-U~J

b(v,wld~f

boo(v,wl

a2(;';~,u2-;';~J

=

a~[u~,u2-U~l

a2[v,wJd~f

a;(v,wl

Montronspar exemple première égali té :

t.:::.

T

=

6

T { [CC₁u

~,CG1

[u 1

-u~

) J F + = a

~ [u~'

u 1 - u

~

J

a1[u1-;'1~,u1-;Y~J

a1(u1,u1-;'1~J

a~(u~,u1-u~J

a 1 ( u 1 ' u 1 -;'1

~

J= L 1 ( u 1;';

~

J - b (u 2' u 1

-;y~

J

}dt

jot

a₁

(u1-'èJ~, u1-'èJ~

) +a₂[u₂

-'èJ; ,

u₂

-'èJ; )

=

fOOt

c~-zd'

C (G_{2u 2-G 1}U 11 ] dt

i l yjp.nt

~~

~

u₁dans L2 ro.oo:E ,1 fort

~;

....li]

d"n~

L]I O.OO,E"2 ) fort

lI

~l

·

y ll

L210....:V J ·

Il

::;,Iu

l -~~ l

Gz

ru]-~;)llL1(o

.»:V )

Y

_T- Y densLZIO.OO1VJ forL

Fino!llQlllen l

h{~T-P)

•

A

"

{~I- P)

:

°

2[ ~r - Y

)

Ip

TIO;-p!Oll]

·

(l

1

1 ~r-p l l~2{0

.

oo

:vl

~ ~1I~

r -yll

~7tD

''''I

V)

PT

~

P

n

ens L2[O....:V l fort. et le th.:lo r6f'1li

démontré

On te r mi n e per-leré s ul t a t atte nc u

CP.Qu i

THEOREME---.i..:..!.:

s

cue

Ü.s

hlfp

oth ~ H'!'

(4 .

J

:

a

(4.6:

e

t

.'li

(Hl) \1

₁

>

0 e

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G

;

.

..

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.

alo .u:

I

l

il

exüte lilt

opf.'t

attu't

P

...

olu t io" dltn

'"

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I HI H

1

de

l

'l! qua Uolt

d

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ltt .i

.st a ti onlt ai Jte

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t

(PA~A~P • pn,P lh• OZ h 1'l.1S)

p• • P • P~0

et

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~onc t io l1

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t•do n"lt

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"'ani~ -'t t

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ltlt

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Pf +

s

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2:

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po.int· _Hlt e

en

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uve e z

e

d

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J

en koltizon .in

6ùt.i.

"oU

{u ~.u; )

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~ -1 1 ~

}(.11[t ) · N,

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6₁(t'y l tJ +rit )1 [5. '11

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f't;1 1f.:: ;(PYlt J • rltl)

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\yI O J• Yo• y E L2(0

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coupl ede 6t"aa9 Ü ~ dé6·Ù1--l.pM

t

·

u 1 1", 1

r

e•yl - )\,11E,61[Py • rttIl (<;.18) . -1 1 ", "c 'tvyl • "a 1E. 2 B]IPy • riL)J

e4tun poI.n t-&elte en boucle 6e!l.mé€. da l1.6L"(D, ""E, J L2( O.OOJE₂J d, J

pour 1" t.cncLcgfe fo r tede s o oàr-eteure de ;i(HHl, lin c00 •

O'eutr-e pert, grac e au thé orè me 5. 1, un salt qu e le système

t

*

+Ay • 01 P• 0

-*

.

A"'p D

2y : 0

(0) • h , Y.DCL2(O. '" V)

soluti on ur1iGlUOI-. Alo rs._c omrnRptt) Py!t). ....t ~0 yest so lu t i o n d e

%t

.

lA+O,f'IY· 0 •

v

t r n

-

h • Y

c

L2(O. ooJVl

ên est doncas sur éde rtexreteno e d'un sem;-a-c vo« {/ipltl

1

R.l

r o rtemer.t co ntinue ng enct r- ë par A• o,P [I).1 9J

v

t

t1.. !lpltlh Su pp osonsun Ln stent.dé mon trée l'ioenti té [5.20 ) (Ptl.h l · ( {lD;>Y,Y) +[O, P, pl} dt F.n r epo rte nt (5.19) de ns [5.;:>01, o n o btLent et ene ppïtque nt Id prop o s it i on4.3 (i iiJdo eeo s oo e s en-uer r our Mi lterI~J, onl' qu e P e st soIutLo n d" (A~ P •PA+PD 1Pl h 0Zh , I:Ih EV . Et comme on., Vu eu Le mme 5.Z, que P E .:t'lH,Hl • p• • 1-', P':" 0 a [S.1 5) Mont ro n s donc l5.201 . '1/T':"0 , on e (PTIOlh. h l .t;T{102YT'YTl • [0 1PT,P T J}d t '1<1111 co mme Y

_T

-

y

,

YT

-

Y

,

PT

-P.

PT- P dansL<'t O, "';Vl fort

48

on pe ut cess e r il je limite lo r s q u e T-.., LP.te r-mededroi te vera : ('{{OzY,Y) • (01P,pl} a t et cel ...Lda geucha ver s (Ph hl,et on d (~.20) • P o u r tar - nL ner- la d é monstrati on du p o i nt 1J. 11 fa u t r - r ontre r-rr ( cJ •donc

Il

PT (c l

Il;t

(

H:

Hl

I

l

~

r

I

l

;i l (O."';I-<J ~c o n stente in d é pen d a ntede T. COMpte tenudu tné c rène '>.1 et au Le mme5.:' Onp aut do n c extr-ejr-uune suite T

n tell equa T_n'"'"

L" (O.<»,H J fa itll'l.

,

Lors qu a 0_00 et "rn-+Plors q u e n-s ee •ce os

Alor s p satlsfait p(tJ ~ Py ltJ plt1 . üo nc

~ Ay _°1P y f

°

_{1 0},

do _{I\"P y}

D,Y

,

,o.)I(p , 00ô

dt

dt

E.E.

IA"P PA PD 1P Oz)y A'P PD1P Pf g pt Pe st soluti o n ('),15J, op _A'p PD,p

dt

CommR. crcut r-c part. p est donné pPC ( lemme2.3)

Ar] • 0 1

1.

•

f A*t; 0;Zn ~ g pts) ( ( s ] \1s~0 (516) •

n

(0) ~ 0 n .1,;€ W(O,"') W( O."' ). c a qui Le po i nt2) dé c o u l e cu f.,lt queu~

JII;

'

JE;:

B;P

L8poi n t 3) vientdu tnê nrème 11 1. 1 de êe n eou s s e n [2]

"'.3 Résulta tsdansoe sespaces Li a c "nL'abs ence dac;.rol""dnce

Onpoutenf<311 '-apess er-nvutLï Ls er-IIILemme5. ' et

e

oeo

ter les th60rèmes ..., et S.2 pour ce"!ofo n c t i o n n e l l e s c'ur. type plus gé('llh"l :

On SUPPO'-8 QU8 l'éttllt Iy",,'}) est do n n "

oc

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avec zd"E L2tO''"'lf",) , "

~

1.2 .J'1<'1i5, po u r sJmplifier le8 calc ul s rféjil trèe lo u rds,onnil tr-ertar-erc r qu e le ce a 1₀",. 0 ,

",

r cnctieo de 1 , on ne p e ut plusconclure sur la croie s e oc ada

la ve r eo r (sIellee x LsteJ e u je u

boucle ouverte, puis on montre la convergenceuesPT lorsque pourarriver l'analoguedu théorème 5.2.

Avant d'énoncerle rés u Lt et qui suit, on introduit les

THEOREME5.3.: S~l ' hypothè-6 C-rHI) ,

v1

>~~

r

v2

>

~ ~

al~e_u, aloIL-6POUIL tout T >0 [éve.ntuellement+ooj ~le.x.Lst;e:un

a~[v1,w1J

=

lT{(C1G~V1,C1G~w1J

-

[C2G~V1'CZG~W1)

+ + [N 1v1,w1)j d t

a~[v2,w2J ~

lT{[N2V2,w2J-[C1G;VZ,C1G;w2) + +

[C2G~V

2'

C2G~w2

Jlut [5.25J b T [v 2' v 1 J l l {[C₁G; v 2' C₁

G~

v 1J

[C2G~V

2'

C2G~V

1 J }ct d~fb:*:T [v l ' v 2 J

L~(V1J ~ 6T{[C1G~V1,C1~1J

(C2G~V1,C2~2)}dt

Li

l V2 )

~ 6T{lC2G~V2,c2'i2)

(C1G~V2'C1~1J}dt

Remarque5.2 : L' hypothèse (H1)' assure lastricteconvexe concavité

n'estpas positif. l ' hypothèse surV

1 est évidemment restricti ve que dans lecas croissant [§5.2), alors queV

2 inchangé. Enfin, siC₂

=:

0, on retrouve bien l'hypothèse (H1).

Démonstration : Il est clairque l'on al'existence d'opérateurs linéaires continus

G~ de~(L2[0,00;E

_i);L2[0,00;V)), i

~

1,2 , k =1,2 et de fonctions

~i

de L 2 [0,00; V) , i

~

1,2donnés d k k

~

-t [ Gv ) + A,_[Gv ) d l l " ll

G~V

l(0) 0 k~1,2 fi 1,2 telsque: (5.26) 1,2 reportant (5.26) dans (5.22) à u~ u~ a use n s deGât eaux :

dérivant parrapport

Doncune condition pourque tu

~,

u; )soit un point - s e Ll s

des conditionsà vérifier. Supposons que ces conditions soientréalisées, alorson obtient (5.24) avec les notations[5.2'J) Ilfaut donc vérifierque lafonctionnelle 1₁ est convexe-concave

s . c . i . en v₁ en v₂et que: J T[ V1, v2) +00Ij v 2

Il

v111+00 JT [ v 1 ' v 2) ~ - 0 0Ij v 1 .

Il

v211+00

Oo n c 53 si "'1

>

G

~

on aura par un raisonneme nt e neïogus au pré cé de nt , on trouv e On int ro duit

Il

C1

1

1

<>L.

'~I V

F 1) class iq ue . on véri f1 €que (:'.24Jdo nn '"

remp laçant

(u~,

u~] par s e valeurdans (5.21) on obt ient do ne, en poSan t yk

~

Yk Lu

~

,u; ] , k=1,2 : Y1(OJ

-:

₁ * 1

A~P1

* 2 A;P2 [Y 1) Y2 ( 1

₎

0 1\2 y(OJ

o

c;l(c)

~

0; 2 2

B~N~1i~~B~;l(

~ y0 ' yet pvérifient

THEOREME5.4.: SOU-6

le-6

nljpothè-6e-6 (5.21), [5.22)

et

-6i : [Hl)' :

v

₁

>CO~.

V

_z

>G~'

AlO!l.-6:

1)

Le

-6lj-6tème (5.28) a une unique -6olution{yT.PT},lIfEJo.ooI • 2)

re

exÙ;f:e

un opéllateull PTlt) Eot'lHxH;HxH) • P;(t) P T l t ) . Il t E

[o.

T]. Il T E

]o.oo[ •

et

vélli6iant :

(5.29) yTlt) = PT[t)BTlt) où{BT.Y

T}

e-6t

la -6olution

de

(5.28) poutr.f = 0,

et :

PTlt)

e-6t

-6olution

de

l'équation de

Riccati

(1.20). 3)

Le

point--6elle

en

boucle

ouvellte

(u~ .u~)

-6ull

[o.

TJ

de

J

e.si;

donné pail :

p. p. t E

[o.

T1

où

"r

es :

-6olution de :

(5.31) ) %fT +A:':r T +P Tl,)D 1r T = PT[·)f

l

r [ T) =0 • rTE LZ ( 0 •T ;VxV) let

%%TELZ

r o•T ;

V 'xV ' ) ) •

et

où Y Te.st:-6olution

de

:

• +AYT+ D1P T[· ]Y T (5.32) Y Tl 0) =y0 • YTE LZ(o.T;VxV) • 4)

Le

couple de -6tllatégie-6 déMnie-6 pM :

t

~ ~ t t . y )

=

N~18~(PT[t)y

+rT[t]) (5.33)

~

i

[ t .y) =N; 1 8; lPT (tI Y+"r (t ) )

e.-6t un point-!.Jelle.

en

bouc.le

6ellmée

dan-6 LZCO.T;c_1)XL2(O.T;E_Z]

de

J,

Démonstration : C'est une adaptation des résu l tats antérieurs, On étu dte maintenant la convergence lorsque

T-+-oo.

LEMME5.3.: IdT>0

et

Id

s

~T , on pe.u:t :tILOUVVl une Qon.6:tan:te

c

indé.pendal1:te de T

e.t:

de s:tei-te que

Il

PT[s) Ilèit(HxH;HxH)

~

c

Démonstration: On procède commee u lemme5.2 en remarquant que:

[5.34) [PT(s).'1, .'1)

~

{'{[D₂B_s,T (D,

u~'

TJ,5 s,T [O.u ; 'T))

[iIJ2U~

, T,

u;'

TJ}dt Bs,T est lasolution

s' obt ient en rai sant u~'T sy stème

précéd ent. Po sons Ss, T

5

s, T (0,

u~'

T) •On a donc :

dans ('J.34), par similaireà celuidu lemme 5.2,

prenant (a_o> 0

G~

%

>

~-G~

>

+(a_o+1)

Il

C₁E₁h₁

Il

~

1 } dt orbi troirement choisi) :

THEOREME5.5.:SOU-6

fe-6

hypo.thè-6e-6 (5.21),(5.22)

e.t

(HI)',

i..f

e.xcs

t:e:

un opélta.te.uflp c,:;t[HxH;HxH) i..ndépe.ndant du .te.mp-6, vélti..Martt: :

p* ~ p , Ph

et

:tOu:t s <+00

~.:: PTlsJh daM HxH Üai..b-fe POUIt

t.o

u ; hcHxl1

De p-fU-6, ona

\

) T ..,.

v: '

PT ... Poodan-6

L~oc(O,oo;VXV)

(;':~

,;y;

J ... lu

~'

u;) davis L

~

0c (0,00;E 1) xL

~

0c (0,00;EL J

Démonstration Y

Tvérifie [pour f = 0) :

mul t i p l i a n t s c e Le Lr e ras nt parY T et

t

' ~T

dt + Ay. T = - D1PTl.JYT (5.35J yTlOJ =Y_o alors t oc ] 0, T [ t cJO, T [ intégrant de 0 t o lonnote VxV = VL)

1Y_T(toJ IL+CI.

1;t

oIlYTIlL2 d t :5.-1il12+ c ILdt V

grâce au lemme 5.3. [On continue ànoter

1.1

la HxH) •

avec l ' inégali téde Gronwall

i

Il YT Il 2 2:5.-clt o J L [0,t_o;V ) (5.36J iYTltoll 5:.-c(toJ • plus, u t i l i s a n t (5.LO), on indépendante PT(TJ = 0 , et donc:

On peut alorsrefaire lesmêmes estimationspourt o..:::. T à condi tionde prolongerY_Tet PT par0en

On peut donctrouver une {Tn}nEO'J' telleque Tn-+ro

lorsque n-+ro ettelle que If t_o -+ q dansL 2 [0, t

o;v2 )

convorgonce forte semontre exactement comme au théorème ,6 deremplacer l ' i n t e r v a l l e ]0,""

l

par [0,t_o]•

a posé: Y""=y , Poo=p , u₁=u₁ u₂ =u₂

kesteàmontrer laconvergence des p[[ t ) •

Comme on a : PT l a )= P_T-_s[0) If s <T, i l passerà

limitepour I"J 1(0). [PT(0) h •

h)

=

l

T{(D 2YT(t L, YT(t J)+(°₁PTt t ) Y T

ri

i ,PT (t JYTttl J}dt l ' ét atElng en dré par (u

~

, u~] ct

h.

gT l t J =

1

to

si t >1 .

0' après ce qui précède, on a :

~T

->- y dansW l o clO,oo) où ct ~r.. p dansW l o c(D,co) • Or, commeIf t_o >0, on a : W(0 ,t0) =

{cp

1

cp

s

L 2 [ 0, t0 ;V2 ] •

Ms

L 2 ( 0 , t0 ;V • 2 )} CCa ([0 ,t0

J;Il x

1-[J (Lions-Magenes

[15J) ,

on a : Y

r ->- y , ~1 ->- p uniformément sur tout compact de fR+ • Alors on voit facilement que gr (t ) ->- g (t ) simplement lorsque T+oo,

avecg(tJ = (02y(t).y(tJJ+ [D 1P(t),p(t)).

D'ôutrepart, c o rnrnoon a : (Pr(O)h,hJ.:: clhl2, on peut trouverune culte {T n} nElN[dépendant éventuellement de h ) que T -e-00 lorsque n->-oo e t : PT (OJh ->- qdans Hxhfaible.

Alors comme{'ilTnl tl d t

~

(P1n(O lh.hl

~

cl

hl

2• on.!J. cer le Lemme dl' re tcu Mo ntron s l' l nA g iJl:lté a nvers e 60 lacond i t i on rni t ic re ètant h On vcit sec rie nc nt• d'ap r è s qui précè de, que

'0

Et comme [PTn(Dl n.h)

2

JTn {u" uz l. T_n _ T_n 2 (q.hl::..l1m JTn(u" u

_z

)

~ ~.::

6

{

II

c';

Tn

ll

+(N1u1,u1J (NZU :

n

.

u:

Il)

l

o

t

-({II

Cyll2 +IN1u1,u1J-(NZUZ,uZJ}dt -( { l OZ Y l ll,yll))+[01P(tJ.pltl)}dl

~tg[t J d t

et do n c lqihl ~ (°F,(t ldt Comm.. oic r s ie li mi te nl'!dâpe riu

pas de ICIsu i tec etr-et te, c'e st to ute la famille {PTl O l tl} r > o

Qui co n v er g e fo'liol e m ~ n t

Poso n s eic r e G · Pn. On

da m;Hx Hreiute, 50:!t Py[t l "pLtL, Do nc